Bài giảng Toán cao cấp B1 dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng Kỹ thuật

UBND T NH QU NG NGÃI

TR

NG

I H C PH M V N

NG

------------

BÀI GI NG

TOÁN CAO C P B1

NG

I BIÊN SO N: NGUY N VI T TRÍ
Đ N V : KHOA C

B N

Qu ngNgãi, tháng 04 - 2014


GI I THI U MÔN H C
Toán cao c p B1 là ch ng trình toán dành cho sinh viên kh i ngành k
thu t. N i dung c a toán cao c p B1 g m nh ng ki n th c c b n v dãy s , hàm
s , gi i h n và liên t c, đ o hàm và vi phân, nguyên hàm và tích phân c a hàm m t
bi n s . Các khái ni m c b n c a hàm s nhi u bi n s th c. Ph ng trình vi phân,

lý thuy t chu i. c bi t là các ng d ng các n i dung nêu trên trong k thu t.
T p bài gi ng này đ c biên so n theo ch ng trình qui đ nh n m 2013 c a
Tr ng
i h c Ph m V n
ng cho kh i ngành k thu t, trình đ cao đ ng đào
t o theo h c ch tín ch .
Ch ng trình có 7 ch ng ng v i 3 tín ch (45 ti t lên l p, 90 ti t t h c).
Ch ng 1: Hàm s , gi i h n và s liên t c c a hàm s m t bi n.
Sinh viên c n n m ch c các khái ni m c b n v dãy s , hàm s , gi i h n c a
dãy s và hàm s , hàm s liên t c, các hàm s th ng dùng trong k thu t.
Ch ng 2:
o hàm và vi phân c a hàm s m t bi n.
Sinh viên n m ch c khái ni m, cách tính và ý ngh a đ o hàm, vi phân các c p
c a hàm s . Áp d ng c a đ o hàm vi phân trong k thu t.
Ch ng 3: Tích phân c a hàm s m t bi n.
Sinh viên n m v ng đ nh ngh a, các ph ng pháp tính nguyên hàm, tích
phân xác đ nh c a các hàm s (hàm h u t , hàm l ng giác, hàm vô t ...). N m và
bi t khai thác các ng d ng c a tích phân trong k thu t và cu i cùng n m đ c tích
phân suy r ng.
Ch ng 4: Hàm s nhi u bi n s .
Sinh viên n m v ng các khái ni m c b n v hàm nhi u bi n s , các v n đ v
tính liên t c, vi phân, c c tr , giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a hàm s nhi u bi n
s . Áp d ng trong k thu t.
Ch ng 5: Ph ng trình vi phân.
Sinh viên n m v ng đ nh ngh a, cách gi i ph ng trình vi phân c p1, 2 c b n
th ng g p. Các ng d ng th c t c a chúng
Ch ng 6: Chu i s .
Sinh viên n m v ng các khái ni m chu i s , s h i t , phân k c a chu i s .
Các d u hi u h i t c a chu i s d ng, chu i s b t k .
Ch ng 7: Chu i hàm s .

Sinh viên n m v ng các khái ni m dãy hàm s , đ nh ngh a và các d u hi u v
s h i t , h i t đ u c a dãy hàm s , chu i hàm s . nh ngh a, cách khai tri n và
ng d ng c a chu i l y th a, Chu i l ng giác.
Trong m i ch ng sau vi c trình bày lý thuy t đ u có nêu lên các thí d đ
minh ho tr c ti p khái ni m, đ nh lý ho c thu t toán đ giúp sinh viên d dàng
trong ti p thu bài h c, c ng nh t h c. Cu i ch ng có các câu h i và bài t p

2


luy n t p, giúp sinh viên n m ch c h n lý thuy t và ki m tra m c đ ti p thu bài
h c. Sinh viên c n tr l i các câu h i và làm đ y đ bài t p sau m i ch ng.
h c t t h c ph n này, sinh viên c n chú ý nh ng v n đ sau:
+ Thu th p đ y đ các tài li u tham kh o.
[1] Tr n Ng c H i- Nguy n Chính Th ng- Nguy n Vi t ông (2005), Giáo trình
toán cao c p B và C, Tr ng H Qu c gia Tp HCM.
[2] Nguy n Công Khanh (2003), Toán cao c p 1 , HQG Tp HCM.
[3] Thái Xuân Tiên (2005), Giáo trình toán cao c p, Tr ng H à N ng.
[4] Nguy n ình Trí và nhi u tác gi khác (2003), Bài t p toán cao c p t p II ,
NXBGD.
[5] Nguy n V n Khuê (1998), Bài t p, Toán cao c p, NXN khoa h c và k thu t
[6] Nguy n M nh Quý (2007), Giáo trình ph ng trình vi phân, NXB HSP.
[7] Lê V n H t (2005), H ng d n gi i bài t p toán cao c p, H Kinh t Tp HCM
[8] anKô- A.G. PoPôp- T.IA.CogiepNhiCôVa (1996), bài t p toán cao c p
(Sách dùng cho các tr ng i h c k thu t), NXB Giáo d c.
+ N m v ng l ch trình gi ng d y, nghiên c u n m nh ng ki n th c c t lõi c a bài
gi ng tr c khi lên l p h c.
+ Khi k t thúc m i ch ng sinh viên ph i hoàn thành các bài t p do gi ng viên yêu
c u c a ch ng đó vào tu n ti p theo, cu i m i ph n l n có các bài t p t ng h p.

3


Ch

ng 1. HÀM S , GI I H N HÀM S

VÀ HÀM S

LIÊN T C

1.1 Dãy s và gi i h n c a dãy s
1.1.1 Dãy s
nh ngh a 1.1.1 Ánh x f : N *  R t t p s nguyên d ng N * vào t p s
th c R đ c g i là dãy s .
t f (n)  an thì dãy s đ c vi t d i d ng
a1 , a2 ,..., an ,... (1) hay an  hay ( an )

G i an là s h ng ( hay ph n t ) t ng quát th n c a dãy s (1).
Thí d 1.1.1 1, 3, 5, ..., 2n  1,... là m t dãy s
3
2n
1, 2, , ...,
,... là m t dãy s
2
n 1

có s h ng t ng quát: an  2n  1 .

có s h ng t ng quát: an 

2n
n 1

1.1.2 Các dãy s đ c bi t
1.1.2.1 Dãy s đ n đi u
nh ngh a 1.1.2 Dãy a n  đ

c g i là:

- Dãy s t ng (ho c t ng nghiêm ng t) n u an 1  an .(ho c an 1  an ) ;   N *
- Dãy s gi m ( ho c gi m nghiêm ng t) n u an 1  an .(ho c an1  an ) ; n  N *
- Dãy s có t t c các ph n t đ u b ng nhau đ c g i là dãy d ng
- Dãy s t ng ho c gi m g i chung là dãy s đ n đi u
Thí d 1.1.2 Dãy an    21


; n  N *  là dãy gi m nghiêm ng t
n 1


Dãy an  v i an   1  1   1  1  ...  1  1n  là dãy t ng nghiêm ng t
2
4
2
Dãy an   (1)



n 1



 

  1, 1,1,..., (1)

1.1.2.2 Dãy s b ch n
nh ngh a 1.1.3 Dãy a n  đ

n 1



,... là dãy s không đ n đi u

c g i là:

- Dãy s

b ch n trên n u v i k  R : an  k ; n  N *

- Dãy s

b ch n d

i n u v i k  R : an  k ; n  N *

- Dãy s v a b ch n trên, v a b ch n d

iđ

c g i là dãy s

b ch n

( t c là  k  R: k  0 sao cho an  k v i n  N )
*

Thí d 1.1.3 Dãy an    22

n 1

ch n trên b i 1, b ch n d


; n  N *  là dãy s gi m nghiêm ng t và b ch n (b


i b i 0).

4


1.1.3 Dãy con

an   a1 , a2 , ..., an ,...(1) ta trích ra m t dãy

nh ngh a 1.1.4 T dãy s

a   a
nk

n1 , an2 ,..., ank

;... V i các ch s n1 , n2 ,..., nk ,... là dãy s t nhiên t ng

a  đ

nghiêm ng t. Khi đó, dãy s

nk

c g i là dãy con trích ra t dãy s a n  .

    1   1,1,...,1,... là dãy

Thí d 1.1.4 Cho dãy s a n    1n .th thì dãy an
con c a dãy a n    1

n

2k

k



Nh n xét: nk  n ; n
1.1.4 M t s dãy s th

ng đ

c dùng trong tin h c:

- Dãy s theo th t t ng (ho c gi m) d n: Trong tin h c th ng yêu c u nh p vào
m t dãy s và s p x p dãy s y theo th th t ng d n ho c gi m d n, ch ng h n bài
toán tuy n sinh sau khi có dãy các t ng đi m, đ xác đ nh đi m chu n và danh sách
trúng tuy n c n s p x p t ng đi m theo th t gi m d n.
- Các dãy s đ c cho b i công th c truy h i (Ch ng h n dãy s bi u th bài toán
tháp Hà N i, Dãy s Fibonaci, …)
1.1.5 Gi i h n c a dãy s
1.1.5.1

nh ngh a 1.1.5 Ta nói r ng dãy s th c an  có gi i h n l  R khi

n   và vi t

lim an  l hay an  l khi n   n u   0 bé tu ý cho tr
n 

t n t i s nguyên d

ng

N ( )

c,

sao cho n  N * : n  N ( )  an  l  

Dãy s th c có gi i h n còn g i là dãy h i t , dãy s không có gi i h n g i là dãy
phân k



1

Thí d 1.1.5 Ch ng minh lim  2    2
n 
n


S h ng t ng quát c a dãy s đã cho là an  2 
V i    0 bé tu ý cho tr

1
n

c, ta c n ch ng minh t n t i s nguyên d

ng

N ( )

1
1
sao cho n  N * : n  N ( )  an  l  2    2    . Mu n v y ta xét an  l  




n

n

1
1
1
   n  . Do đó ch n N ( )    (V i  x  là ph n nguyên c a s th c x)
n

 

1.1.5.2 Các d u hi u h i t
nh lý 1.1.1 N u 3 dãy s th c an  , bn  , cn  th a mãn
bn  a n  cn ;  n  N * : n  n 0 và lim bn  lim cn  l thì a n  c ng h i t và lim an  l .
n 

n 

5

n 


1
1 
 1


 ... 
Thí d 1.1.6 Ch ng minh dãy s  2
 h i t
n2  2
n 2  n 
 n  1

Gi i:

1

t an 



1

1

 ... 

; bn 

n 1
n 2
n n
 bn  an  cn ; n và lim bn  lim cn  1  an  h i t
2

2

n 

2

n
n n
2

; cn 

n
n2 1

n 

nh lý 1.1.2 M i dãy đ n đi u và b ch n đ u h i t
- Dãy s đ n đi u t ng và b ch n trên thì dãy h i t
- Dãy s đ n đi u gi m và b ch n d i thì dãy h i t
Thí d 1.1.7 Ch ng minh s h i t c a dãy s an  v i
1  
1 
 1 
an   1    1  2  ...  1  n 
 2  2   2 

Gi i: Ta có a n 1   1  1n 1   1  a n 1  a n ;  n  a n  là dãy s t ng (1)
2
a
n





M t khác áp d ng x, y  R : x  0, y  0  ln(xy)=lnx+lny và ln(1  x)  x ta đ
1
 1

ln an  ln  1    ln 1  2
 2
 2

1  1 1
1
1


*
  ...  ln  1  n    2  ...  n  1  n  1 ; n  N
2
2

 2  2 2

 ln an  ln e  an  e; n  an  b ch n trên (2)

T (1) và (2) suy ra an  đã cho h i t
1.1.5.3 Các phép toán
a 

nh lý 1.1.3 N u a n  và bn  h i t thì an  bn  , an .bn  ,  n  c ng h i t
 bn 
lim(an  bn )  lim an  lim bn
n 

n 

và

n 

lim( an .bn )  lim an .lim bn
n 

n 

n 

an
an lim
 n
, v i lim bn  0
n  b
n
lim bn
n

lim

n 

1.1.5.4 M t s tính ch t đ n gi n c a gi i h n dãy s
a. Tính duy nh t
nh lý 1.1.4 Gi i h n c a dãy s (n u có) là duy nh t
Ch ng minh: B ng ph ng pháp phán ch ng
b. Tính b ch n
nh lý 1.1.5 M i dãy s th c h i t đ u b ch n
c. S liên h gi a s h i t c a dãy con và dãy s ban đ u
nh lý 1.1.6 N u dãy s a n  h i t và có gi i h n L thì m i dãy con c a nó đ u
h i t và có gi i h n L

6

c


1.1.5.5 M t s gi i h n đáng nh
a. nh lý 1.1.7
0 khi a  1

1. . lim an  
n 



khi a  1

2. lim n a  1 khi a  0
n

3. lim n n  1
n 

b. S e
Ta ch ng minh đ

c dãy s a n  v i s h ng t ng quát
 1
an  1  
 n

n

t ng và b ch n trên nên h i t
n

 1
nh ngh a 1.1.6 lim  1    e
n
 n

S e là m t s vô t , có giá tri e = 2,718 281 828 459 045... S e đóng vai trò quan
tr ng trong k thu t. Lôgarit c s e g i là lôgarit Neper hay lôgarit t nhiên;
Lôgarit Neper c a x ký hi u là lnx.
1.2 Hàm s
1.2.1

nh ngh a

nh ngh a 1.2.1 Cho t p X  R

Hàm s m t bi n xác đ nh trên t p X ( X  R ) là m t ánh x f t t p X vào
t p R. Ng i ta th ng vi t g n hàm s :
f :X R
x  y  f ( x)
b i đ ng th c y  f ( x ) . Trong đó x đ c g i là bi n s đ c l p (hay đ i s );
y  f ( x) đ c g i là bi n s ph thu c (hay là hàm). T p X đ c g i là t p xác
đ nh c a hàm s

f  x

T p Y  f ( X )   y  R x  X ; y  f ( x) đ

c g i là t p giá tr c a hàm s .

N u x  x0  X thì y0  f ( x0 ) g i là giá tr c a hàm s t i x0 .
1.2.2 Các ph

ng pháp cho hàm s

1.2.2.1 Ph ng pháp gi i tích
Cho hàm s b i m t đ ng th c mà v th nh t là giá tr y c a hàm t i x, v th
hai là m t ho c nhi u bi u th c gi i tích đ i v i x. T p xác đ nh c a hàm s là t p
các giá tr c a đ i s x đ bi u th c có ngh a

7


Thí d 1.2.1 Hàm s

y  4  x 2 có t p xác đ nh là t p nh ng giá tr c a x sao cho

4  x 2  0  2  x  2



cos x neáu x   2





y
2)
có t p xác đ nh là R
5 x  3 neáu  2
2



s inx neáu x  2

1.2.2.2 Ph ng pháp b ng
Ph ng pháp gi i tích th ng đ c dùng trong nh ng nghiên c u lý thuy t,
nh ng nhi u khi nó không ti n l i trong th c hành vì ph i tính đ m i phép toán khi
tính giá tr c a hàm s .
tránh đi u đó, ng i ta th ng dùng ph ng pháp cho
theo b ng Ph ng pháp này th ng đ c dùng trong v t lý, k thu t
1
Thí d 1.2.2 Ng i ta l p b ng giá tr các hàm s y  x 2 , , lg x, x , s inx, t anx,...

x
1.2.2.3 Ph ng pháp đ th

T p G  ( x, y)  R 2

x  X , y  f ( x) đ

c g i là đ th hàm s y = f(x) xác

đ nh trên X và nó đ c bi u di n b i m t đ ng trong m t ph ng Oxy.
th c a
hàm s cho ta có m t hình nh hình h c nh n bi t d dàng nhi u tính ch t c a hàm
s đó. Vì th , trong kinh t và k thu t ng i ta cho hàm s b ng cách cho đ th
c a nó. Ch ng h n đ th bi u di n đi n áp c a l i đi n, đ th bi u di n nh p tim
hay đ th bi u bi n v ch ng khoán,…
Nh c đi m c a ph ng pháp cho hàm s b ng đ th là thi u chính xác.
1.2.3 Các phép toán trên hàm s
1.2.3.1 C ng tr nhân chia hàm s
nh ngh a 1.2.2 Cho hai hàm s f, g có t p xác đ nh t ng ng là t p D và G.
f
Khi đó f + g, f – g, f.g, ( g ( x )  0 ) là hàm s xác đ nh trên X  D  G và
g

 f  g  x   f  x   g  x 
 f .g  x   f  x  .g  x 
f  x
 f 
; g  x  0
  x 
g  x

g
Thí d 1.2.3 Hàm s y = cosx + sinx là t ng c a hàm s f(x) = cosx và hàm s
g(x) = sinx.
1.2.3.2 Hàm s h p
nh ngh a 1.2.3 Cho hàm s y = f(x) xác đ nh trên t p X, nh n giá tr trên t p Y và
hàm z = g(x) xác đ nh trên t p Y. Khi đó z c ng là hàm c a x xác đ nh trên t p X

8


z  g  f ( x) .

z đ

c g i là hàm s h p c a hai hàm s f và g. Ký hi u: g f
V y z ( x)   g 0 f  ( x )  g  f ( x )  .

Thí d 1.2.4 Cho hai hàm s

f ( x )  2 x và g ( x ) 



 g f  ( x)  g  f  x   g  2x  



 f g  ( x) 

f  g  x    f

x

. Khi đó:

2x

 x  2

x

1.2.3.3 Hàm s ng c
nh ngh a 1.2.4 Cho hàm s : f : X  Y
x  y  f ( x)

N u t n t i hàm s  : Y  X
y  x   ( y) sao cho f ( x)  y

thì hàm s  đ

c g i là hàm s ng

c c a hàm s f. Ký hi u:   f 1 .

Ta có:  ( y )  f 1 ( y )  f 1  f  x    x .
Chú ý Ng

i ta th

thay cho hàm x  f

phân giác th nh t.

ng vi t l i hàm s ng
1

( y) .

c c a hàm s

th hai hàm s ng

Thí d 1.2.5 Hàm s y = 3x có hàm s ng

1
y  f (x) là y  f (x)

c nhau đ i x ng nhau qua đ

c là y 

ng

x
3

1.3 Các hàm s đ c bi t
1.3.1 Hàm s đ n đi u
nh ngh a 1.3.1 Hàm s y  f ( x) đ
-

c g i là:

n đi u t ng (ho c gi m) trong kho ng  a, b  n u x1 , x2  (a , b) : x1  x2

thì f ( x1 )  f ( x2 ) ( ho c f ( x1 )  f ( x2 ) ).
- T ng nghiêm ng t (ho c gi m nghiêm ng t) trong kho ng  a, b  n u
x1 , x2  (a, b) : x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) (ho c f ( x1 )  f ( x2 ) ).

Thí d 1.3.1
- Hàm s y  x 2 là hàm gi m nghiêm ng t trong các kho ng  , 0  và t ng
nghiêm ng t trong kho ng  0,  
- Hàm s y  x3 là hàm t ng nghiêm ng t trong kho ng  ,  

9


1.3.2 Hàm s b ch n
nh ngh a 1.3.2 Hàm s
f ( x ) đ c g i là b ch n trên (ho c d i) trong t p
D  X (X là mi n xác đ nh), n u t n t i M  R sao cho ta có: f ( x)  M (ho c
f ( x)  M ) v i x  D .
Hàm s y  f ( x) đ c g i là b ch n trong t p D n u nó v a b ch n trên, v a
b ch n d

i trong t p D. Ngh a là t n t i M  R : M  0 sao cho f ( x )  M ; x  D .

Thí d 1.3.2 Hàm s

y  s inx là các hàm s b ch n trong R vì sin x  1; x  R .

1.3.3 Hàm s ch n l
1.3.3.1

nh ngh a 1.3.3 Cho hàm s

y  f ( x) xác đ nh trên t p đ i x ng D.

Hàm s y  f ( x) đ c g i là hàm s ch n (ho c hàm s l ) trên t p D n u
 x  D luôn có:  x  D và f (  x)  f ( x) f (  x)  f ( x) (ho c f (  x)   f ( x) ).
1.3.3 Hàm s
f ( x)  f ( x) .

Thí d

y  x 2 là hàm s

ch n trên R. vì x  R   x  R và

Hàm s y  x 3 là hàm s l trên R vì x  R   x  R và f ( x)   x3   f ( x) .
1.3.3.2 Tính ch t
th c a hàm s ch n nh n tr c tung làm tr c đ i x ng.
th c a hàm s l nh n g c t a đ làm tâm đ i x ng.
1.3.4 Hàm s tu n hoàn
1.3.4.1 nh ngh a 1.3.4 Cho hàm s y  f ( x) xác đ nh trên t p D.
Hàm s y  f ( x) đ c g i là hàm s tu n hoàn trên D  [x  D,
L  R : L  0  x  L  D sao cho f ( x  L)  f ( x) ]

1.3.4.2 Chu k c a hàm tu n hoàn
nh ngh a 1.3.5 Gi s y  f ( x) là hàm s tu n hoàn trên t p D. N u t n t i s
d ng T nh nh t sao cho: f ( x  kT )  f ( x); x  D; k  Z thì T đ c g i là chu

k c a hàm tu n hoàn y  f ( x) .
Thí d 1.3.4 Hàm s y  tan x là hàm s tu n hoàn v i chu k T   .
1.3.5 M t s hàm s th

ng dùng trong k thu t và công ngh thông tin

Trong th c ti n k thu t hay kinh t ng i ta th ng xét đ n nhi u hàm s nh
hàm s chuy n đ ng c a m t ch t đi m, qui lu t gi m nhi t c a m t thanh kim lo i
đ t nóng đ c đ t trong môi tr ng có nhi t đ n đ nh th p h n hay hàm s n xu t,
hàm tiêu dùng, hàm thu nh p, hàm tính lãi kép…
Trong tin h c các ngôn ng l p trình có các hàm có s n nh các hàm s h c, các
hàm lôgic, các hàm th ng kê. Ch ng h n nh các hàm Max, Min, DIV, Mod, IIF,
Cound,…

10


1.4 Các hàm s s c p c b n
1.4.1
nh ngh a
nh ngh a 1.4.1 Các hàm s sau đ c g i là hàm s s c p c b n
+ y = C ( C là h ng s ).
+ Hàm s lu th a y  x  ,   R .
+ Hàm s m y  a x ; (0  a  1)
+ Hàm s lôgarit y  log a x; (0  a  1)
+ Các hàm s l ng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.
+ Các hàm s l ng giác ng c: Có b n hàm s ng c c a các hàm s l
giác sau đây:
1.4.1.1 Hàm s y = arc sinx là hàm s ng c c a y = sinx
sin y  x


arc sinx = y  
   
y 2 , 2 




ng

   
Hàm s y = arc sinx có t p xác đ nh là [-1,1] và có mi n giá tr là  , 
 2 2
1.4.1.2 Hàm s y = arc cosx
cosy  x
arc cosx = y  
 y  0,  
Hàm s y = arccosx có t p xác đ nh là [-1,1] và có mi n giá tr là  0,  
c c a hàm s y= tan x
  
arc tanx=y  x = tan y v i y    ;  .
 2 2
Hàm s y = arc tanx có t p xác đ nh là (   ,   ) và có mi n giá tr là

1.4.1.3 Hàm s

y =arctanx là hàm s ng

  
 ; 

 2 2
1.4.1.4 Hàm s y = arc cot x là hàm s ng c c a hàm s y = cotx
arc cot x = y  cot y = x v i y   0;   .
Hàm s y = arccotx có t p xác đ nh là

(   ,  ) và

có mi n giá tr là  0,  

1.4.2 Hàm s s c p
nh ngh a 1.4.2 Hàm s s c p là hàm s đ c t o thành t các hàm s s c p c
b n nh các phép toán c ng, tr , nhân, chia, phép l p hàm s h p, phép l p hàm s
ng c
Thí d 1.4.1 Hàm s y  2 x  x  1  log3 ( x 2  5) là hàm s s c p

11


1.5. Gi i h n hàm s .
1.5.1. Các khái ni m
1.5.1.1 Lân c n c a m t đi m
nh ngh a 1.5.1 Cho đi m x 0  R và   0 . Lân c n c a đi m x0 bán kính  là t p
t t c các đi m x  R sao cho x  x0   . Ký hi u: U  ( x 0 ) ho c U(x0).
V y: U ( x0 )   x  R x0    x  x0      x0   , x0    .
Do đó lân c n c a đi m x0 chính là kho ng nh n x0 làm tâm bán kính 
Thí d 1.5.1 Lân c n đi m x = 1 bán kính b ng 2 là kho ng 1  2,1  2    1, 3 
1.5.1.2 Các đ nh ngh a gi i h n c a hàm s .
nh ngh a 1.5.2 (Theo ngôn ng    ).
Cho hàm s y  f ( x) xác đ nh trong lân c n U ( x0 ) , (có th tr x0 ).
S Lđ

c g i là gi i h n c a hàm s

f ( x) khi x d n v x0 n u    0 cho tr

c bé

tùy ý,    ( )  0 sao cho x  U ( x0 ) : 0  x  x0    f ( x)  L   .
Ký hi u: lim f ( x)  L hay f ( x)  L khi x  x 0 .
x  x0

Thí d 1.5.2 Dùng đ nh ngh a ch ng minh lim(4 x  1)  9 .
x2

Gi i: Xét

 4 x  1  9

 4 x2   x2 



. Khi đó:   0 ta ch n   sao
4
4

cho  x  U  (2) : 0  x  2     4 x  1  9  4 x  2    lim(4 x  1)  9
x2

nh ngh a 1.5.3 (Theo ngôn ng dãy s ).

Cho hàm s y  f ( x) xác đ nh trong lân c n U ( x0 ) , (có th tr x0 ).
S Lđ

c g i là gi i h n c a hàm s

xn  mà xn  U ( x0 ) và xn
 f ( x n ) luôn d n đ n L.

f ( x ) khi x d n v

x0 n u v i m i dãy s

 x0 khi n   thì dãy các giá tr t

ng ng c a hàm là

V y lim f ( x )  L    xn  , xn  U ( x0 ) mà xn  x0  f ( xn )  L 
x  x0

Chú ý: 1) nh ngh a 1.5.2 (Theo ngôn ng    ) t ng đ ng v i đ nh ngh a 1.5.3
(Theo ngôn ng dãy s )
2) S d ng đ nh ngh a gi i h n hàm theo ngôn ng dãy s ta áp d ng đ c
các k t qu gi i h n dãy s đ nghiên c u gi i h n c a hàm s và nó th ng áp
d ng đ ch ng minh m t hàm s không có gi i h n.
1
x

Thí d 1.5.3 Ch ng minh r ng hàm f ( x)  s in không có gi i h n khi x  0

12

Gi i: Th t v y l y 2 dãy  xn  ,  xn/  v i xn 

1
; xn/ 
2 n

1

khi y xn  0;

2
ng ng c a hàm là dãy f ( xn )  0  0; f ( xn/ )  1  1

x n/  0 nh ng dãy giá tr t

2n 

V y khi x  0 thì f(x) không có gi i h n
1.5.1.3 Gi i h n m t phía
nh ngh a 1.5.4 Cho hàm s y  f ( x) xác đ nh trong lân c n trái c a x0 (có th tr
x0 ). S L đ

c g i là gi i h n trái c a hàm s

  0 cho tr

f ( x ) khi x d n v x0 t bên trái n u

c bé tùy ý,    ( )  0 sao cho m i x thu c lân c n trái c a x0

th a mãn 0  x0  x    f ( x)  L   .
Ký hi u: lim f ( x)  L hay f ( x)  L khi x  x0 .
x  x0

T

ng t cho hàm s

x0 ). S L đ

cho tr

y  f ( x) xác đ nh trong lân c n ph i c a x0 (có th tr

c g i là gi i h n ph i c a hàm s

f ( x) khi x d n v x0 n u    0

c bé tùy ý,    ( )  0 sao cho m i x thu c lân c n ph i c a x0 th a mãn

0  x  x0    f ( x)  L  

Ký hi u: lim f ( x)  L hay f ( x)  L khi x  x0 .
x  x0

nh lý 1.5.1 lim f ( x)  L  lim f ( x)  lim f ( x)  L .
x  x0

x  x0

x  x0

1 khi x  0

Thí d 1.5.3 f ( x)  0 khi x  0  lim f ( x)  1; lim f ( x)  1
x 0
1 khi x  0 x0


V y f(x) không có gi i h n khi x  0
1.5.2 Gi i h n

vô t n và gi i h n vô t n:

1.5.2.1 Gi i h n vô t n
nh ngh a 1.5.5 Cho hàm s y  f ( x) xác đ nh t i m i x có x khá l n.
Hàm f(x) đ

c g i là có gi i h n L khi x   , n u    0 cho tr c bé
tu ý, luôn luôn t n t i s M  0 l n tùy ý sao cho khi x  M thì f ( x)  L   . Ký
hi u: lim f ( x )  L
x 

Hàm f(x) đ

.
c g i là có gi i h n L khi

x  

, n u   0 cho tr

c bé

tu ý, luôn luôn t n t i s M  0 l n tùy ý sao cho khi x   M thì f ( x)  L   .
Ký hi u: lim f ( x)  L .
x 

Thí d 1.5.4 Ch ng minh r ng lim

x  

1
 0.
x

13


c, n u mu n có 1  0    x  1 Do đó    0 cho tr

V i    0 cho tr
tu ý ta ch n M 



x

c nh

1
1
1
 0 l n tùy ý, sao cho x  M   0   . V y lim  0 .
x  x
x


1.5.2.2 Gi i h n vô t n
nh ngh a 1.5.6 Cho hàm s

y  f ( x) xác đ nh trong lân c n U ( x0 ) , ( có th tr

t i đi m x0 ). Hàm s

c g i có gi i h n là  khi x  x 0 , n u v i m i s

f ( x) đ

A  0 l n bao nhiêu tu

Ký hi u: lim f ( x)  

0  x  x 0   thì f ( x)  A .

Hàm s

f ( x) đ

luôn luôn     A   0 sao cho  x  U ( x 0 ) :

ý,

x  x0

c g i có gi i h n là  khi x  x 0 , n u v i m i s

A0 l n

ý, luôn luôn     A   0 sao cho  x  U ( x 0 ) : 0 x  x0   thì

bao nhiêu tu

f ( x)   A . Ký hi u: lim f ( x)  
x  x0

Thí d 1.5.5 Ch ng minh lim

1
  .
x2

V i m i s

c l n tùy ý ta có

x 0

0 x 

A  0 cho tr

1
1
hay
 A  0  0  x2 
2
A
x

1 . Do đó ch c n ch n
1
 
A
A

1.5.3 M t s tính ch t c a hàm s có gi i h n
nh lý 1.5.2
1. Gi i h n c a m t hàm s (n u có) là duy nh t
2. N u f ( x)  C (h ng s ) thì lim f ( x)  C .
x  x0

3. N u f ( x)  g ( x) trong lân c n nào đó c a x0 và khi x  x0 các hàm f(x), g(x)
h i t thì lim f ( x)  lim g ( x )
x  x0

4.

N u

x  x0

lim f ( x)  L

x  x0

và

n u

t n

t i

m t

lân

c n

U ( x0 )

tho

  f ( x)   ; x  U  x0  : x  x0 thì   L   .

5. N u lim f ( x )  lim g ( x ) thì t n t i m t lân c n U ( x0 ) , x  U ( x0 ), x  x 0 :
x  x0

x  x0

f ( x)  g ( x) .

6. N u lim f ( x )  L thì lim f ( x )  lim f ( x )  L .
x x
x x
x x
0

0

0

1.5.4 Các phép toán v gi i h n
1.5.4.1 Gi i h n c a t ng, hi u, tích, th

ng các hàm s

14


nh lý 1.5.3 N u f(x) và g(x) h i t

khi x  x0 thì f ( x )  g ( x ); f ( x ). g ( x );

f ( x)
g ( x)

c ng h i t khi x  x0 và
a) lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
x  x0

x  x0

x  x0

b) lim f ( x ). g ( x )  lim g ( x ). lim f ( x)
x  x0

x  x0

x  x0

lim f ( x )
c) lim f ( x )  x  x
; v i lim g ( x )  0 .
x x
0

x  x0

g ( x)

lim g ( x )

0

x  x0

H qu 1 N u t n t i lim f ( x) và k  const thì lim k . f ( x)  k . lim f ( x) .
x  x0

x  x0

x  x0

H qu 2 N u f1 ( x ), f 2 ( x ),..., f n ( x) là m t s h u h n các hàm s có gi i h n khi
x  x0 thì ta có:

a) lim  f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x)   lim f1 ( x)  lim f 2 ( x)  ...  lim f n ( x) .
x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

b) lim  f1 ( x). f 2 ( x)... f n ( x)   lim f1 ( x). lim f 2 ( x)... lim f n ( x) .
x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

1.5.4.2 Gi i h n hàm s h p

nh lý 1.5.4 (Gi i h n c a hàm s h p)
Cho hàm s h p f  . N u lim   x   u0 , lim f (u )  L thì lim f   x    L
x  x0
x  x0
u u0
Thí d 1.5.6 Tính lim arctan
x1

t u

x2
x  x 1
2

x2
x2

thì u  1 khi x  1  lim arctan 2
 lim arctan u 
1
1
x

u

x  x 1
x  x 1
4
2

1.5.4.3 Gi i h n hàm s s c p
nh lý 1.5.5 (Gi i h n c a hàm s s c p)
N u f(x) là hàm s s c p xác đ nh t i x0 và lân c n x0 thì lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0

Thí d 1.5.7 lim

x 1

5 x  2 5 1  2

7
4x  3 4 1  3

1.5.5 Tiêu chu n t n t i gi i h n
1.5.5.1 Tiêu chu n 1 (Nguyên lý k p)
nh lý 1.5.6 N u g ( x)  f  x   h  x  ; x  U  x0 
thì f(x) c ng h i t khi x  x0 và lim f ( x)  L .
x  x0

s inx
 1 (1)
x
s in u(x)
1
(2)
c lim
u ( x )0
u ( x)

Áp d ng tiêu chu n1 ta ch ng minh đ
Áp dung (1) ta ch ng minh đ

c lim
x 0

15

và lim g ( x)  lim h ( x)  L
x  x0

x  x0


s in5x-sin3x
x0
sin x
s in5x sin3x
5.
-3
s in5x-sin3x
5
3x  5  3  2
x
 lim
Gi i: lim
x 0
x

0

sin x
sin x
1
x
1.5.5.2. Tiêu chu n 2 (đ n đi u b ch n)
nh lý 1.5.7 N u hàm f(x) là hàm s t ng và b ch n trên trong kho ng (a,b) thì
hàm f(x) có gi i h n bên trái khi x  b 
nh lý 1.5.8 N u hàm f ( x ) là hàm s gi m và b ch n d i trong kho ng (a,b) thì

Thí d 1.5.8 Tính các gi i h n sau lim

hàm f ( x ) có gi i h n bên ph i khi

x  a
x

 1
c s t n t i gi i h n c a 1   khi x  
 x

Áp d ng tiêu chu n 2 ch ng minh đ



1

x

và lim 1   = e (3)
x  

x


Áp d ng gi i h n (3) ta ch ng minh đ
1

lim 1  x  x  e . (5) và
x 0


k 
c: lim 1 

u ( x ) 
 u( x) 

u( x)

 ek ; (k  0).

(4) .

1

lim 1  k . ( x )  ( x )  e k ; (k  0). (6)

 ( x )0

 x 1

x 2

Thí d 1.5.9 Tính các gi i h n sau lim 

x  x  1


 x  1
lim 

x  x  1



x 2

2 

 lim 1 

x 
x 1


x 1 3

x 1
3

2  

2  
2
 lim 1 

.
1
 
 e .
x 


x
x
1
1
 
 
x 1 


1.5.6 Vô cùng bé, vô cùng l n
1.5.6.1 nh ngh a:
nh ngh a 1.5.7 Hàm   x  đ

c g i là m t vô cùng bé khi x  x0

lim  ( x )  0 .

x  x0

Hàm   x  đ

c g i là m t vô cùng l n khi x  x0 n u lim  ( x)  
x  x0

Thí d 1.5.10 Khi x  0 thì  ( x )  sin x là m t VCB . Vì lim sin x  0 .
x 0
1
1
là m t VCB . Vì lim  0 .
x x
x
1
1
Khi x  0 thì  ( x)  là m t VCL . Vì lim  
x

0
x
x

Khi x   thì  ( x) 

1.5.6.2 Liên h gi a VCB và hàm có gi i h n

16

n u

 f ( x)  l   ( x)
nh lý 1.5.9 lim f ( x )  l  
xx
 ( x) VCB khi x  x0
0

1.5.6.3 Các tính ch t c a vô cùng bé
nh lý 1.5.10 Trong quá trình nào đó thì t ng các VCB là VCB
Tích c a m t VCB và 1 đ i l ng b ch n là VCB và ngh ch đ o c a VCB là VCL.
1
Thí d 1.5.11 lim x 2 .sin  0
x 0
x
2
vì khi x  x0 thì x là VCB và sinx là đ i l ng b ch n
1.5.6.4 So sánh các vô cùng bé
nh ngh a 1.5.8 Gi s  ( x) ,  ( x) là hai VCB trong cùng m t quá trình nào đó.

 ( x)
 0 thì ta nói  ( x ) là m t VCB b c cao h n VCB  ( x )
 ( x)
hay  ( x ) là m t VCB b c th p h n VCB  ( x) trong quá trình đó.

Khi đó: + N u lim

 ( x)
 k  0 thì ta nói  ( x ) và  ( x ) là hai VCB cùng b c
 ( x)
trong quá trình đó.
c bi t:

+ N u k  1 thì ta nói  ( x ) và  ( x ) là hai VCB t ng đ ng trong quá

+ N u lim

trình đó, ký hi u  ( x)   ( x) khi x  x0 . ( ho c x   )
sin x
Thí d 1.5.12 Khi x  0 thì sinx  x vì lim
1
x0 x
Khi x  0 ta ch ng minh đ c các VCB sau t ng đ ng sau:
sin ax ~ ax; (a  0) ;
arc tan ax ~ ax; (a  0)
log a (1  x) ~
1  cos x ~

1
x ;(0  a  1)
ln a

ln(1  x) ~ x ;

(1  x )  1 ~  x ; (   R) ;

1 2
x ; ;
2

a x  1 ~ x. ln a ; (0  a  1) ;

e x 1~ x

arcsin ax ~ ax; (a  0)

1.5.6.5 So sánh các VCL
nh ngh a 1.5.9 Gi s  ( x) ,  ( x) là hai VCL trong cùng m t quá trình nào đó
( Ch ng h n x  x0 ) . Khi đó:
+ N u lim

 ( x)
 0 thì ta nói  ( x ) là m t VCL b c th p h n VCL  ( x )
 ( x)

hay  ( x ) là m t VCL b c cao h n VCL  ( x ) trong quá trình đó.

17


+ N u lim

 ( x)
 L  0 thì ta nói  ( x ) và  ( x )
 ( x)

là hai VCL cùng b c

trong quá trình đó.
c bi t, n u L  1 thì ta nói  ( x ) và  ( x ) là hai VCL t
đ ng trong quá trình đó.
Thí d 1.5.13 Khi x   thì x 5 là VCL b c cao h n các VCL x 4 , x 3 , x 2 , x
1.5.6.6 Áp d ng VCB ho c VCL trong tìm gi i h n

a.Thay th t ng đ ng:
nh lý 1.5.11 N u   x  ,   x  là các VCB khi x  x0 và  ( x) ~  1 ( x) ;

ng

  x
  x
 lim 1
và
x  x0   x 
x  x0   x 
1

 ( x) ~ 1 ( x) khi x  x0 thì lim
lim  ( x ). ( x )  lim  1 ( x ).1 ( x)

x  x0

x  x0

1  cos 2 x  tan 2 x
0
( có d ng vô đ nh ).
x0
x sin x
0

Thí d 1.5.14 Tìm lim
Gi i: Khi x  0

 2x 
ta có 1  cos 2 x ~

2

 2 x 2 ; tan 2 x ~ x 2 và sin x ~ x .

2
1  cos 2 x  tan x
1  cos 2 x
tan 2 x
2x 2
x2
Suy ra: lim
 lim
 lim
 lim
 lim
3
x 0
x 0
x  0 x sin x
x  0 x. x
x  0 x. x
x sin x
x sin x
2

b. Ng t b VCB b c cao
nh lý 1.5.12 N u   x  là m t VCB b c cao h n VCB   x  trong quá trình nào

đó thì   x     x     x  trong quá trình đó
Quy t c ng t b các VCB b c cao
N u   x   1  x    2  x   ...   n  x  ;   x   1  x    2  x   ...   m  x  ; trong
m t quá trình nào đó và 1 ( x) ; 1 ( x) là các VCB b c th p nh t

trong t ng

 x
  x
 lim 1
x  x0   x 
x  x0   x 
1

  x  ,   x  Thì lim

x  sin 3 x  t an 7 x
x
1
 lim

4
8
x0
x0 3 x
3
3x  x  6 x
3
7
4

8
Vì khi x  0 thì sin x, tan , x ,  6 x là các VCB b c cao h n x có th ng t b
c. Quy t c ng t b các VCL b c th p
N u f  x   f1  x   f 2  x   ...  f n  x  ; g  x   g1  x   g 2  x   ...  g m  x  là

Thí d 1.5.15 lim

các t ng VCL trong m t quá trình nào đó và f1 ( x) ; g1 ( x) là các VCL b c cao nh t
t

ng ng trong các t ng f ( x), g ( x) thì lim

18

f ( x)
f ( x)
 lim 1
g ( x)
g1 ( x)


3

Thí d 1.5.16 lim

3x 3  2x  1  3 7x 2  8
x  2  x 1

x 

Vì khi x  

3

thì

2

3

3x 3  2x  1
x 2

x 

3

3

3

3x 3
x

3 x 3  2 x  1 và

x 2  2 , nên các vô cùng l n b c th p

ng d ng kh d ng vô đ nh

 lim

x 

2

7 x 2  8 là m t VCL b c th p h n

m t VCL b c th p h n
b .
1.5.6.7 M t s

 lim

2
3

33
x  1 là

t và m u b l

c

0 
; ;   ; 0. ; 00 ; 1 ; 0  ;  0 ...
0 

Thí d 1.5.17 Tính các gi i h n:
1.

lim
x 2

x 3  3 x 2  2x

3. lim 1  x 2 
x0

x2  x  6

2x 2  3x  5
x
5x  1

lim

2.

cot 2 x

4. lim

x 



1 x  x



x( x  1)
x3  3 x 2  2x 
0
( x  2)( x 2  x)
2
Dang

lim
 lim

Gi i 1. lim


2
x2 x  x  6
x
x
x



0
(
2)(
3)
3
5
x2


 x2
2x 2  3x  5
2x 2
2 x  2
~
~
.

5x  1
5x
5 x
5

2. Khi x   ta có

2x 2  3x  5  2

x
5x 1
5

V y lim
ng t

T

2x 2  3x  5
2

x

5x  1
5

lim

3. lim 1  x 2 

cot 2 x

x0

Ta có lim 1  x

2

x0

4. lim

x 

lim

x  







D ng 1



cot 2 x


= lim  1  x 2
x0




x2



1
x2



x



2

lim 


 tan 2 x
 e x0 tan x   e1  e





1  x  x (D ng    ) Ta bi n đ i kh d ng vô đ nh

1 x 



x  lim



x  

1 x 



x



1 x 

1 x 
x



x

  lim

x  



1
1 x 

x



0

1.6 S liên t c c a hàm s .
1.6.1

nh ngh a

1.6.1.1 S liên t c c a hàm s t i m t đi m
nh ngh a 1.6.1 Hàm s f ( x ) đ c g i là liên t c t i x0 n u và ch n u tho mãn
2 đi u ki n:

19


+ f ( x ) xác đ nh t i x0 và trong lân c n x0
+ lim f ( x )  f ( x0 )
x  x0

Thí d 1.6.1

 sinx
khi x  0

f ( x)   x
1 khi x  0

liên t c t i x = 0

s inx
 1  f (0)
x
Chú ý: M t hàm không liên t c t i m t đi m đ c g i là hàm s gián đo n t i đi m
đó
1 khi x  0

Thí d 1.6.2 f ( x)  0 khi x  0 gián đo n t i x = 0
 1 khi x  0


Vì lim f ( x )  lim

x0

x0

1.6.1.2 S liên t c m t phía
nh ngh a 1.6.2 Hàm s y  f ( x) đ

c g i là liên t c trái t i x0 n u

+ f ( x ) xác đ nh t i x0 và trong lân c n trái x0
+ lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0 

T

ng t hàm s

f ( x) đ

c g i là liên t c ph i t i x0 n u

+ f ( x ) xác đ nh t i x0 và trong lân c n ph i x0
+ lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0 

nh lý 1.6.1

i u ki n c n và đ đ hàm s

y  f ( x) liên t c t i x0 là y  f ( x)

liên t c trái và liên t c ph i t i x0 .
1.6.1.3 S liên t c trong kho ng và
trên m t đo n
nh ngh a 1.6.3 Hàm s y  f ( x)
đ c g i là liên t c trong kho ng
a; b n u nó liên t c t i m i

AA

B

x   a; b  .

Hàm s

y  f ( x) đ

c g i là

liên t c trên đo n a; b n u nó liên
t c trong kho ng a; b và liên t c
trái t i b , liên t c ph i t i a .
1.6.1.4 Ý ngh a hình h c c a hàm
s liên t c

Hình 1.1

20

N u hàm s y  f ( x) liên t c trên đo n a; b  thì đ th c a nó là m t đ
n i đi m Aa; f (a) và Bb; f (b)  (Hình 1.1)

ng li n nét

1.6.2 Các phép toán trên hàm s liên t c
1.6.2.1 T ng, hi u, tích, th
nh lý 1.6.1 N u hàm s

ng các hàm s liên t c
f ( x); g ( x) liên t c t i x0 thì f ( x)  g ( x), f ( x ). g ( x),

f ( x)
g ( x)

.v i g ( x )  0 là nh ng hàm s liên t c t i x0 .
1.6.2.2 S liên t c c a hàm s h p
nh lý 1.6.2 N u hàm u   ( x ) liên t c t i x0 và hàm f (u ) liên t c t i u0    x0 
thì hàm h p z   f  ( x) c ng là hàm s liên t c t i x0 .
N u hàm lim  ( x )  L và f liên t c t i
x  x0

L

thì lim  ( f 0 )( x )   f  lim  ( x )   f  L 
x x
 x  x

0

0

1.6.2.3 S liên t c c a hàm s ng c
nh lý 1.6.3 Hàm s liên t c và đ n đi u trong m t kho ng thì có hàm s ng
hàm s ng c c ng đ n đi u, liên t c

c và

1.6.3 S liên t c c a hàm s s c p
nh lý 1.6.4 M i hàm s s c p liên t c trên mi n xác đ nh c a nó
Thí d 1.6.3 Hàm s y  sinx  3 là hàm s c p xác đ nh trên R nên nó liên t c trên
toàn tr c s .
1.6.4 Các tính ch t c a hàm s liên t c trên m t đo n
1.6.4.1 Tính b ch n cu hàm s liên t c
nh lý 1.6.5 (Weierstrass) N u f ( x ) liên t c trên đo n  a , b  thì nó b ch n trên
đo n đó, t c là  M , m  R sao cho m  f ( x )  M ;  x  [ a , b ] .
1.6.4.2
t giá tr l n nh t và bé nh t
nh lý 1.6.6 (Weierstrass) N u f ( x) liên t c trên đo n  a , b  thì nó đ t giá tr l n
nh t và nh nh t trên đo n đó, t c là: x1 , x2   a, b  sao cho:
m  f ( x1 )  f ( x)  f ( x2 )  M ; x   a, b  .

1.6.4.3 Nh n giá tr trung gian
nh lý 1.6.7 (Bolzano-Cauchy) N u f ( x )
m    M v i m; M l n l

liên t c trên đo n

 a, b

và có

t là giá tr nh nh t và l n nh t c a f ( x) trên đo n đó

thì t n t i ít nh t m t đi m c   a, b  sao cho f (c)  
H qu : N u f ( x ) liên t c trên đo n  a , b  và có f (a). f (b)  0 thì t n t i ít nh t
m t đi m c   a, b  sao cho f (c)  0 t c là ph
nghi m trong (a, b)

21

ng trình f ( x)  0 có ít nh t m t


1.6.4.4 B o toàn d u c a hàm s liên t c
nh lý 1.6.5 N u f ( x ) liên t c trên đo n  a , b  , x0   a, b  và f ( x0 )  0 ho c
( f ( x0 )  0) thì U ( x0 )  (a, b) sao cho x  U ( x0 ) : f ( x)  0 ( ho c f ( x)  0 )
Chú ý: Các tính ch t hàm s liên t c trên m t đo n có nhi u ng d ng
Thí d 1.6.3 Ch ng minh r ng ph ng trình x 5  3 x  1 có ít nh t m t nghi m
thu c kho ng (1,2)
Gi i: t f ( x)  x5  3 x  1 thì ph ng trình đã cho  f ( x)  0 ta có hàm s f ( x)
liên t c trên đo n [1,2], f (1)  3  0; f (2)  35  0 theo h qu c a nh lý 1.6.7 có
ít nh t c  1, 2  : f (c)  0 . V y ph

ng trình x 5  3x  1 có ít nh t m t nghi m thu c

kho ng (1,2)

H

NG D N T H C, CÂU H I ÔN T P CH
NG 1
Ch ng 1 sinh viên c n n m ch c các khái ni m c b n v dãy s , hàm s , gi i
h n c a dãy s và hàm s , hàm s liên t c, các hàm s th ng dùng trong k thu t.
ây là nh ng v n đ c b n c a gi i tích toán h c, làm công c nghiên c u các
ch ng ti p theo c a toán cao c p. Song các v n đ này đã đ c h c ph thông và
do th i l ng h c trên l p h n ch , sinh viên c n t đ c k n i dung t ng ph n, liên
h v i toán ph thông, làm đ y đ các bài t p. Tham kh o các tài li u [1]; [2] và
sách toán gi i tích l p 11, l p 12, tr l i các câu h i và làm đ y đ các bài t p sau:
1.
nh ngh a: Dãy s , các dãy s đ c bi t, hàm s và cho thí d các dãy s ,
hàm s trong th c t
2.
nh ngh a hàm s h p, hàm s ng c. Cho thí d .
3.
nh ngh a gi i h n c a hàm s
4. Phát bi u các tính ch t c a gi i h n c a dãy s , hàm s .
5. Phát bi u các tiêu chu n t n t i gi i h n c a dãy s , hàm s . Cho thí d
6.
nh ngh a VCB và VCL. Nêu các tính ch t c a nó.
7.
nh ngh a VCB t ng đ ng và nêu ng d ng c a VCB t ng đ ng.
8. Phát bi u và ch ng minh đ nh lí liên h gi a VCB và hàm có gi i h n h u
h n.
9.
nh ngh a hàm s liên t c t i m t đi m, trong m t kho ng và trên m t
đo n.Ý ngh a hình h c c a hàm s liên t c trên m t đo n.
10. Nêu các tính ch t c a hàm s liên t c trên m t đo n. Minh h a hình h c t ng
tính ch t và nêu các ng d ng c a chúng
BÀI T P CH

NG I
Bài 1 Tính các gi i h n c a các dãy s an  sau

22


1) an =

( n  1)( n  2)(n  3)
;
n3
2

2

2

2) an = 1  1  ... 
1.2

3) an = (1 + 2 + ... + n )/ n
5) an =

3;

2.3

1
n ( n  1)

n

4) an = n / (n+1)n ;

n.sin n
;
n2  1

6) an =

n
;
6n

Bài 2 Ch ng minh s h i t c a dãy an  v i
1) an   1  1   1  1  ...  1  1n 
3
9
3




 



2) a1  1, a2  2  2 ,..., an  2  2  ...  2 ( n c n)
Bài 3 Cho f(x) = x2, g(x) = 2x.
Hãy xác đ nh các hàm s h p sau:  f g  x  ,  g f  x  ,  f f  x  ,  g g  x 

Bài 5. 1). Cho f(x) = ax + a-x. Ch ng minh r ng: f(x+y) + f(x-y) = f(x).f(y)
2). Cho hàm f ( x) 

x

, hãy tìm

1  x2

f  f ... f ( x) 


n lan

Bài 6 Tìm t p xác đ nhc a các hàm s sau:
1) y  2  x 2
3) y  arcsin

2) y 

3x 2
1 x

1
c os 2 x

4) y  lg  lg x 

Bài 7. Cho bi t:
lim u( x)  1, lim v( x)  , lim[u( x)  1]v( x)  L

x a

x a

x a

Ch ng minh: lim[u ( x)]

v( x)

x a

 eL .

Áp d ng k t qu này hãy tính gi i h n sau:



1) lim 1  x 2
x 0

cot 2 x



1
 1
3) lim  sin  cos 
x 
x

x


2) lim(1  tan 2
x 0

1
cot g
x

1

x )2x
1

 1  tgx  s inx
4) lim 

x  0 1  s inx



Bài 8 Tính các gi i h n

23


1) lim

x 



3

x2  1  3 x



1  cos5x
1  cos3x
ln( x  ln x)
4) lim
x 0
x
2x
e 1
6) lim
x 0
3x
tgx  sin x
8) lim
x 0
x3
2) lim
x 0



3) lim  x  x  x  x 

x 



1  cos x 
5) lim
x4

x0

 1  x2 
7) lim  2 
x 
 x 
9)

2

x 2 1

 s inx 
lim 

x 
x 0 

 x 3
10) lim 

x x  2




sin x
x s inx

1

12)lim  cos x  x2

x 0

11) lim 1  4 x 2 

x 5

2

x 0

cot 2 x

x0

Bài 9

So sánh các vô cùng bé sau:

1)
2)

1
x
n
x
 ( x )  1  cosx ,  ( x )  sin
3

 ( x )  n 1  x  1,  ( x ) 

khi x  0
khi x  0

Bài 10 Tính các gi i h n b ng thay th VCB t

ng đ

ng

1 2x 1
1) lim
tan 3 x
x0

2) lim

sin 2
x  0 ln 2 (1  2 x )

4) lim

x 1

ln 1  3 x  4 x 2  x 3 

ln cos x
x 0 ln 1  x 2
 

3) lim

e2 x  1
x  0 ln(1  4 x )

1  1  4 x2
6) lim
x 0 1  1  arctan x

5) lim

Bài 11

ln 1  x  3 x 2  2 x 3 

Xét s liên t c c a các hàm s sau:

 x2  4
khi x  2

1) f ( x )   x  2


khi x  2
4

1

 x sin khi x  0
2. f ( x )  
x
0
khi x  0

Bài 12 Tìm k đ hàm s f(x) liên t c trên R:
 sin 3 x
khi x  0

1) f ( x)   x
 k
khi x  0

e x
2) f ( x)  
x  k

24

khi x  0
khi x  0

Bài 13
1. Ch ng minh các ph
a) x  3x  1  0
4

2. Ch ng minh ph
kho ng (1,2)

Bài 14

ng trình sau có nghi m:
b)

x6  x  1

ng trình

b)

x5  3x2  10  0

2 x  4 x.

có ít nh t m t nghi m thu c



neáu x 
 2 sin x
2



-

Cho f ( x)   A sin x.  B neáu  x 
2
2



neáu x 
cos x
2


Tìm A và B đ hàm s liên t c trên toàn tr c s .

25