Toán Tập hợp và logic dành cho ngành Tiểu học

TR

NG Đ I H C PH M VĂN Đ NG

KHOAăS ăPH MăT ăNHIÊN

BÀI GI NG

C S LÝ THUY T T P H P VÀ LÔGIC
TOÁN
NGÀNH GIÁO D C TI U H C
TRÌNH Đ CAO Đ NG

NĂM


TR

NG
I H C PH M V N
KHOAăS ăPH MăT ăNHIÊN

NG

BÀIăGI NG

C ăS ăLÝăTHUY TăT PăH PăVÀăLÔGICă
TOÁN
NGÀNH GIÁO D C TI U H C
TRÌNH

CAO

NG

Gi ng viên: Ph măHuyăThông

N Mă2013

1


L I NịI

U

“C ă s ă lýă thuy tă t pă h pă vàă lôgic toán”ă làă m tă h că ph nă trongă ch ngă trìnhă
khung đàoă t oă giáoă viênă ti uă h că trìnhă đ ă caoă đ ng,ă bană hànhă theoă Quy tă đ nh s ă
17/2004/Q ăậ BGD &ă Tăngàyă16/6/2004ăc aăB ătr ngăB ăGiáoăd căvàă àoăt o.
Hi nănay,ăch aăcóăgiáoătrìnhănàoăbiênăso năchoăh căph nănày,ăch ăy uălàăcácătàiă
li uăthamăkh oăhayătàiăli uăbiênăso năchoăD ăánăphátătri năgiáoăviênăti uăh căc aăB ă
Giáoăd căvàă àoăt o.
Vi căbiênăso năbàiăgi ngă“C ăs ălýăthuy tăt păh păvàălôgicătoán”, giúp cho sinh
viênăngànhăgiáoăd căti uăh căcóăthêmăm tătàiăli uăđ ăh căt păvàănghiênăc uăkhiăh că
t păh căph nănàyăvàăcácăh căph năti pătheo.
H căph nă“C ăs ălýăthuy tăt păh păvàălôgicătoán” cóăth iăl ngăb ngă2ăđ năv ătínă
ch ăg măhaiăch ng:
Ch ngă1:ăC ăs ălýăthuy tăt păh p.
Ch ngă2:ăC ăs ălôgic toán.
âyălà l năđ uătiênăchúngătôiăbiênăso năbàiăgi ngănày,ăch căch năs ăkhôngătránhă
kh iănh ngăthi uăsótănh tăđ nh.ăR tămongănh ngăýăki năđóngăgópăc aăcácăth yăcôă

giáoăvàăsinhăviênătrongănhàătr ng.
Xin chân thành c mă n.
TÁCăGI

2


Ch

C

S

ng 1

Lụ THUY T T P H P

M c tiêu
Ki năth c:ăNg iăh c
ứăHi uăcácăkháiăni măv ăt păh p,ăquanăh ,ăánhăx ăvàăbi tăxâyăd ngăcácăvíăd ă
minhăho ăchoăm iăkháiăni măđó.
ứăN măđ căđ nhăngh aăc aăcácăphépătoánătrênăt păh păvàăánhăx .ăPhátăbi uăvàă
ch ngăminhăcácătínhăch tăc aăchúng.
K ăn ngă:ăă
Hìnhăthànhăvàărènăchoăng iăh căcácăk ăn ng:
ứăThi tăl păcácăphépătoánătrênăt păh păvàăánhăx ;
ứăV nd ngăcácăki năth căv ăt păh păvàăánhăx ătrongătoánăh c;
ứăCácăquanăh ăt ngăđ ngăvàăth ăt .
Tháiăđ :
ứăCh ăđ ngătìmătòi,ăphátăhi năvàăkhámăpháăcácă ngăd ngăc aălíăt păh pătrong d yă

vàăh cătoán.

3


1.1. T P H P
1.1.1. Khái ni m t p h p
1.1.1.1. Kháiăni m
T pă h pă làă m tă trongă cácă kháiă ni mă c ă b nă c aă Toánă h c.ă Kháiă ni mă t pă h pă
khôngăđ căđ nhăngh aămàăch ăđ cămôăt ăquaăcácăvíăd :ăT păh păcácăh căsinhăc aă
m tăl păh c,ăt păh păcácăc uăth ăc aăm tăđ iăbóng,ăt păh p cácăcu năsáchătrênăm tă
giáăsách,ăt păh păcácăs ăt ănhiên,...
Cácăđ iăt ngăc uăthànhăm tăt păh păđ căg iălàăcácăph năt ăc aăt păh p đó.
Ng iătaăth ngăkíăhi uăcácăt păh păb iăcácăch ăA,ăB,ăC,ăX,ăY,ăZ,...ăvàăcácăph năt ă
c aăt păh păb iăcácăch ăa,ăb c, x, y, z, ...
N uăaălàăm tăph năt ăc aăt păh păAăthìătaăvi tăa  Aă(đ călàăaăthu căt păh păA.
N uăaăkhôngăph iălàăm tăph năt ăc aăt păh păAăthìătaăvi tăa  Aă(đ călàăaăkhôngă
thu căt păh păA).
1.1.1.2. Cácăcáchăxácăđ nhăt păh p
- Li tăkêăt tăc ăcácăph năt ăc aăt păh p.
Víăd ă:ăAă=ă{ă1,ă2,ă3ă}ăBă=ă{ăa,ăb,ăc,ădă}
- Ch ăraătínhăch tăđ cătr ngăc aăcácăph năt ăc aăt păh p.
Víăd :ăCă=ă{ăxă/ăxălàă căc aă8ă}
1.1.1.3. Chú ý:
- Ng

iătaăbi u th ăt păh păAăb ngă m tăđ

ngăcongăkhépăkínăg iălàăbi uăđ ă

ven.
A
.a
. b
- T păh păcóăvôăs ăcácăph năt ăg iălàăt păvôăh n
- T păcóăh uăh năph năt ăg iălàăt păh uăh n
- T păh păkhôngăcóăph năt ănàoăg iălàăt păr ng, kíăhi u:ă 
Víăd :ăNghi măc a ph ngătrìnhăx2 +ă2ă=ă0ălàăt păr ngăă 
1.1.2. T p con. Các t p h p b ng nhau
1.1.2.1. T păh păcon
T păh păAăđ căg iălàăt păconăc aăt păh păXăn uăm iăph năt ăc aăAăđ uălàăph nă
t ăc aăX. Kíăhi u: A  X hay X  A
Kíăhi uă  g iălàăd uăbaoăhàm.ăAă  Xăg iălà m t baoăhàmăth c.
Víăd ă:ăAă=ă{ăa,ăb,ăcă}  X = { a, b, c, d, e }
N uăt păAăkhôngălà t p con c aăt păX, taăkíăhi u:ăAă  X
1.1.2.2. T păh păb ng nhau

4


Haiăt păh păAăvàăBăđ căg iălàăb ngănhauăn uăm iăph năt ăc aăAălàăm tăph năt ă
c aăBăvàăm iăph năt ăc aăBălàăm tăph năt ăc aăA.ăKíăhi u:ăAă=ăB.
Víăd :ăT păcácănghi măth căc a ph ngătrìnhăx2 ậ 1ă=ă0ăb ngăt p h p g măhaiăs ă
1 và ậ 1.
1.1.2.3. Tínhăch tă
V iăcácăt păb tăkìăA,ăB,ăCătaăcó:
(i)   A
(ii) A  A
(iii)ăN uăAă  B và B  C thì A  C
(iv)ăN uăAă  B và B  A thì A = B

(v)ăN uăAă  B thì A  Băho căBă  A
1.1.3. T p h p nh ng t p h p
Víă d :ă Tr ngă trungă h că ph ă thôngă Nguy nă Trưiă cóă 5ă l pă 10:ă 10A,ă 10B,ă 10C,ă
10D và 10E.
Taăxemăl pă10A,ăkíăhi uăb iăA,ălàăm tăt păh păh căsinh.ăCácăph năt ăc a t păh pă
nàyălàănh ngăh căsinh.ăTaăvi t: A = {a1, a2, ..., am}.
Taăc ngăcóăth ănóiăđ năt păh păEăcácăl păkh iă10ăc aătr ng.ăCácăph năt c aăt pă
h pănàyălàăcácăl păkh iă10ăc aătr ng.
E = {A, B, C, D, E}.
T păh păcácăl păkh iă10ăc aătr ngălàăm tăt păh pănh ngăt păh p.
1.1.4. S t p con c a m t t p h p h u h n
Víăd : A =ă{a,ăb,ăc},ăk ăc ăt păconălàă  .
T păh păt tăc ăcácăt păconăc aăAălà:
P ({a, b, c}) = {{a, b, c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a}; {b}; {c};  }.
V yăt păh păAă=ă{a,ăb,ăc}ăcóăc ăth yă8ăt păcon.
Choăt păAăcóănăph năt ,ăkhiăđóăs ăcácăt păconăc aă Aăs ălàă 2n ph năt .ăKíăhi uă
P(A)ălàăt păcácăt păconăc aăA.

1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRểN CÁC T P H P
1.2.1. Giao c a các t p h p
1.2.1.1. nhăngh aă
Giaoă c aă haiă t pă h pă Aă vàă Bă kíă hi uă Aă  Bă làă t pă h pă g mă cácă ph nă t ă v aă
thu căAăv aăthu căB
x  A  B  x  A và x  B
T ăđ nhăngh aătaăsuy ra: x A ăBăkhiăvàăch ăkhiăx A và x B.ăTaăvi t:
x A ăB
x A và x B.
1.2.1.2. Víăd :ă
(i) A = { x  Nă/ăxăb iăc aă4ă}, B = { y  Nă/ăyăb iăc aă6}
thì A  B = { x  Nă/ăxălàăb iăc aă12}

5


(ii)ăChoăt păh p A = {x  R : 2x ứ 1 < 0}.
Tìm A Nă(Nălàăt păh păcácăs ăt ănhiên).
Ta có: A = {x  R : x <
Doăđó: A

1
}
2

N = {0}.

1.2.1.3. Tínhăch tă
V iăcácăt păh păb tăkìăA,ăB,ăC,ătaăcó
(i) A  B = B  A
(ii) (A  B)  C = A  ( B  C)
(iii)   A = 
( iv) A  A = A
1.2.2. H p c a các t p h p
1.2.2.1. nhăngh aă
H păc aăhaiăt păh păAăvàăB, kíăhi uăA  Bălàăt păh păg măcácăph năt ăthu căít
nh tăm tătrongăhaiăt păh păđó.
x  A  B  x  Aăho căxă  B
T ăđ nhăngh aăh păhaiăt păh pătaăsuyăra:ăxă  A  B  x  A và x  B
1.2.2.2. Víăd :ă
(i) N uăAă=ă{ăa,ăb,ăc,ăd, e } B = { b, e, f, g}
thì A  B = { a, b, c, d, e, f, g }

(ii) H păc aăt păh păcácăs ăh uăt ăvàăt păh păcácăs ăvôăt ălàăt păh păcácăs ăth c.
1.2.2.3. Tínhăch t:
V iăcácăt păb tăkìăA,ăB,ăCă
(i) A  B = B  A
(ii) (A  B )  C = A  ( B  C )
(iii)   A = A
(iv) A  A = A
1.2.3. Hi u c a hai t p h p
1.2.3.1. nhăngh a
Hi uăc aăhaiăt păh p A và B, kíăhi uăA\Bălàăt păh păg măcácăph năt ăthu căAămàă
khôngăthu căB.
T ăđ nhăngh aăc aăAă\ B suy ra: x  A\B  x  A và x  B
1.2.3.2. Víăd :ă
A = { a, b, c, d, e,f}, B = { c, e, g, h, k }
ta có A\B = { a, b, d, f }
1.2.3.3. Tínhăch tă
V iăcácăt păb tăkìăA,ăB,ăC,ătaăcó
( i) A \ B  A
(ii)ăN uăAă  B và C  D thì A \ D  B \ C
(iii)ăN uăCă  D thì A \ D  A\ C

6


(iv) A  B  A\B = 
1.2.4. Không gian. Ph n bù c a m t t p h p
1.2.4.1.Trongălýăthuy tăt păh p,ăcácăt păh păđ căxétăth
choătr c.ăKhiăđóătaăg iăt păXălàăm tăkhôngăgian.

ngălàăconăc aăm tăt păXă

1.2.4.2. Gi ăs ăXălàăm tăkhôngăgianăvàăAă  X.ăT păh păXă\ Aăđ
c aăAăkíăhi u:ăCAăhayăCXA
x  CA  x  A

căg iălàăph năbùă

1.2.4.3.Tínhăch t
(i) X  A = A
(ii) X  A = X
(iii) CX = 
(iv) C  = X
(v) C(CA) = A
(vi) A  B  CB  CA

1.3. QUAN H
1.3.1. Tích đ các c a các t p h p
1.3.1.1. C păth ăt
Dưyăg măhaiăđ iăt ngăaăvàăb,ăđ căs pătheoăth ăt ăaăđ ngătr c,ăbăđ ng sauăg i
là m tăc păth ăt ,ăkíăhi uălàă(a,ăb);ăaăg iălàăph năt ăđ ng tr c,ăbălà ph năt ăđ ngă
sau.
N uăaă  băthìă(a,ăb)ăvàă(b,ăa)ălàăhaiăc păth ăt ăkhácănhau.
Haiăc păth ăt ă(a,ăb)ăvàă(c,ăd)ălàăb ngănhauăkhiăvàăch ăkhiăaă=ăbăvàăcă=ăd.
Víăd :
M iăs ăph călàăm tăc păth ăt ă(a,ăb)ăc aăhaiăs ăth c.ăTaăbi tăr ngăhaiăs th căaăvàă
b khác nhau thì (a, b) vàă(b,ăa)ălàăhaiăs ăph căkhácănhau;ăHaiăs ph că(a,ăb)ăvàă(c,ăd)ă
b ngănhauăkhiăvàăch ăkhiăchúngăcóăph năth căb ng nhauăvàăph nă oăb ngănhau,ăt că
là a = c và b = d.
1.3.1.2. Tíchăđ cácăc aăhaiăt păh p
Choăhaiăt păh păXăvàăYă.ăT păh păt tăc ăcácăc păs ăth ăt ă(a,ăb)ăv iăaă X, b Y

g iălàătíchăđêcácăc aăhaiăt păh p.ăKíăhi u:ăXă  Y = { (a, b) / a  X, b  Y}
N uăYă=ăXăthìăt păh păXăxăXăcònăđ căkíăhi uălàăX2 .
Nh ăv y, X2 = {(x, y) : x X, y X}.
Víăd : Cho X = { a, b } Y = { c ,d }
Ta có: X  Y = { ( a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}
1.3.1.3. M ăr ngăđ nhăngh aătíchă êcácăchoăm tăs ăh uăh năt păh p.

7


Choămăt păh păX1, X2,ă…,ăXm.ăKhiăđóătíchăđ các c a măt păh p X1, X2,ă…,ăXm,
kíăhi u: X1  X2  …ă  Xm = { (x1, x2,ă…,ăxm)/ xi  Xi }
N uăX1 = X2 = ... = Xm=ăXăthìăt păh păX1 x X2 x... x Xm đ căkíăhi uălàăXm.
Nh ăv yăXălàăt păh păcácădưyămăph năt ă(x1 , x2 , ..., xm),ătrongăđóăx1, ..., xm X.
1.3.2.

nh ngh a quan h hai ngôi

1.3.2.1. nhăngh a:ă
Choăhaiăt păh păXăvàăY.ăT păconăRăc aătíchăđ cácăXă  Yăg iălàăm tăquanăh ăhaiă
ngôi trên X  Y.
N uăRălàăt păconăc aăXă  XăthìătaănóiăRălàăm tăquanăh ăhaiăngôiătrênăX.
N uăR làăm tăquanăh ăhaiăngôiătrênăXă  Y và (x, y)  X  Yăthìătaăvi tăăxRy
N uă(x,ăy)  Răthìătaănóiăxăkhôngăcóăquanăh ăRăv iăy. Quanăh ăhaiăngôiăth ngă
đ căg iăt tălàăquanăh .
1.3.2.2. Các víăd
(i) Cho X ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, A = { 1, 2}, B = { 1, 4 } Y = { A, B }.ăG iăRălàă
quanăh ă“ph năt ăthu căt păh p”ătrênăXă  Y.
Theoăđ nhăngh a ta có R = { (1, A), (1, B), (2, A), (4, B)}
(ii) Choăt păh păXă=ă{2,ă3,ă5,ă8,ă15}.ăHưyătìmăquanăh ăchiaăh tăRătrênăX.

Taăhi uăRălàăquanăh ăhaiăngôiătrênăXăxăX.
Theoăđ nhăngh aăquanăh ăhaiăngôi,ătaăcó:
R = {(2, 2), (2, 8), (3, 3), (3, 15), (5, 5), (5, 15), (8, 8), (15, 15)}.
1.3.3. M t s tính ch t th

ng g p c a quan h hai ngôi

1.3.3.1.Tính ch tăph năx
Quanăh ăhaiăngôiăRătrênăXăg iălàăph năx ăn uă  x X, ta có xRx
Víăd 1:ăQuanăh ăchiaăh tătrênăt păh păs ănguyênăd ngăN*ălàăph năx vìăv iăm iă
s ănguyênăd ngăx,ăxăchiaăh tăx.
Víăd 2: Quan h ă≤ă(nh ăh năho căb ng)ătrênăt păh păcácăs ăth căRălàăph năx ăvìă
v iăm iăxă R, x ≤ăx.
1.3.3.2.Tínhăch tăđ iăx ng
Quanăh ăhaiăngôiăRătrênăXăg iălàăđ iăx ngăn uă  x, y X, xRy  yRx
Víăd 1: Gi ăs ăXălàăm tăt păh păkhácăr ng.ăT păh p:ăRă=ă{(x,ăx)ă:ăx X} X2
g iălàăquanăh ăđ ngănh tătrênăX.ă
Nh ăv y,ăv iăm iăx,ăyă X, x R y
x = y.
D ăth yăquanăh ăđ ngănh tătrênăXălàăđ iăx ng.
Víă d ă 2: Quană h ă “vuôngă gócă v i”ă trênă t pă h pă các đ ngă th ngă c aă m tă m tă
ph ngălàăđ iăx ng.
1.3.3.3.Tínhăph năđ iăx ng
Quanăh ăhaiăngôiăRătrênăXăg iălàăcóătínhăch tăđ iăx ngăn uă  x, y, z X, ta có
xRy và yRx  x = y.
Víăd 1: Quanăh ă“  ”ătrên t păcácăs ăth căR cóătínhăch tăph năđ iăx ng vì  x, y
R, x  y và

8

y  x thì x = y
Víăd ă2: Quanăh ăhaiăngôi “vuôngăgócăv i”ătrênăt păh păcácăđ
m tăph ngăkhôngăph iălàăm tăquanăh ăph năđ iăx ng.

ngăth ngăc aăm tă

1.3.3.4.Tínhăch tăb căc u
Quană h ă haiă ngôiă Ră trênă Xă g iă làă cóă tínhăch tă b că c uă n uă  x, y, z X, ta có
xRy, yRz  xRz
Víăd 1:ăQuanăh ăhaiăngôiăchiaăh tătrênăt păNăcóătínhăch tăb căc u.
Víăd ă2:Quanăh ăhaiăngôiă“<”ătrênăt păh p s ăth c Rălàăb căc u.
Víăd ă3: Quanăh ăhaiăngôiă“vuôngăgócăv i”ătrênăt păh păcácăđ ng th ngăc aăm t
m tăph ngăkhôngăph iălàăm tăquanăh ăb căc u.

1.4. QUAN H T
1.4.1.

NG

NG

nh ngh a vƠ ví d

1.4.1.1.ă nhăngh a: Quanăh ăhaiăngôiăRătrênăt păh păXăg iălàăquanăh ăt ngăđ ngă
trênăXăn uănóălàăph năx ,ăđ iăx ngăvàăb căc u,ăt călà:
a) V iăm iăxă X, x R x,
b)ăV iăm iăx,ăyă X, x R y y R x,
c)ăV iăm iăx,ăy,ăză X, x R y và y R z x R z.
Quanăh ăt ngăđ ngăth ngăđ căkíăhi uălàă~.ăKhiăđóăxăRăyăđ căkíăhi uălà

xă~ăyăđ călàăxăt ngăđ ngăv iăy.
1.4.1.2.ăVíăd
(i) G iă~ălàăquanăh ăhai ngôi trên t păs ăth căR xácăđ nhăb iăxă~ăyă  xứăy Z.
TrongăđóăZ làăt păh păcácăs ănguyên.
Quanăh ă~ălàăquanăh ăt ngăđ ngătrênăR.
Th tăv y,ăv iăm iăxă R,ătaăcóăxứăxă=ă0ă Z;ădoăđóă~ălàăph năx .ă
V iăm iăx,ăyă R,ăn uăxă~ yăthìăxứăyă Z;ădoăđóăyứăxă=ăứ(xứăy)ă Z;ăV yă~ălàăđ iă
x ng.ă
Cu iăcùng,ăv iăm iăx,ăy,ăză R,ăn uăxă~ăyăvàăyă~ăz,ăt călàăxứăyă Zăvàăyứăză Z thì
xứăză=ă(xứăy)ă+(yứăz)ă Z;ădoăđóă~ălàăb căc u.
(ii) Chiaăm tăs ăt ănhiênăb tăkìăchoă3,ăs ăd ăc aăphépăchiaălàă0ăho că1ăho că2.
Quanăh ă“cóăcùngăs ăd ăv i...ătrongăphépăchiaăchoă3”ătrênăt păs ăt ănhiênăN hi nă
nhiênălàăph năx ,ăđ iăx ngăvàăb căc u.ăDoăđóănóălàăm tăquanăh ăt ngăđ ngătrênă
N.
1.4.3. Các l p t
1.4.3.1.ă T pă th

ng đ

ng vƠ t p th

ng

ng:ă Gi ă s ă X   vàă ~ă làă m tă quană h ă t

ngă đ

ngă trênă X.ă V iă

m iăxă  X,ăkíăhi u:ă x = { y X / x ~ y}

T pă x g iălàăl păt ngăđ ngăc aă quanăh ă~ătrênăXăcóăph năt ăđ iădi nălàăx.
T păh păcácăl păt ngăđ ng c aăquanăh ~ trên X, kíăhi uăX/~ g iălàăt păth ng.
V yăX/~ = { x / x X }

9


1.4.3.2. Tínhăch tăc aăl păt

ngăđ

ng

nhălý:ăGi ăs ăă~ălàăm tăquanăh ăt
(i)  x X, x  x

ngăđ

ngătrên X khácăr ng.ăKhiăđó:

(ii)  x1, x2  X, x1 = x 2  x1 ~ x2
(iii)  x1, x2 X, x1  x 2 thì x1  x 2 = 
1.4.3.3. Víăd :
(i) G iă~ălàăquanăh ăhaiăngôiătrênăt păs ăth căR xácăđ nhăb iăx~yă  x ậ y Z
Ta có quanăh ă~ătrênăR chiaăt păRthànhăcácăl păt ngăđ ng.ăTaăth yăt tăc ăcácăs ă
nguyênăđ uăthu c cùng m tăl păt ngăđ ng.
(ii) TrongăVíăd ăquană h ă“cóăcùngăs ă d ăv i...ătrongă phépăchiaăchoă3”ăchiaăt pă
h păN thànhăbaăl păt ngăđ ng:ăM iăs ăt ănhiênăchiaăh tăchoă3ăđ uăthu căl p.ăM iă
s ăt ănhiênăcóăs ăd ălàă1ătrongăphépăchiaăchoă3ăđ uăthu căl p.ăM iăs ăt ănhiênăcóăs ă
d ălàă2ătrongăphépăchiaăchoă3 đ uăthu căl pă.ă

1.5. QUAN H TH
1.5.1.

T

nh ngh a

Quanăh ăhaiăngôiăRătrênăt păh păXăđ căg iălàăquanăh ăth ăt ăn uănóălàăph năx ,ă
b căc uăvàăph năđ iăx ng,ăt călàăn uăRătho ămưnăcácăđi uăki năsau:
a)ăV iăm iăxă X, x R x,
b)ăV iăm iăx,ăy,ăză X, (x R y và y R z) x R z,
c)ăV iăm iăx,ăyă X, (x R y và y R x) x = y.
Ng iătaăth ngăkíăhi uăquanăh ăth ăt ălàă“≤”.ăNh ăv yăxăRăyăđ căvi tălà x ≤ăy,ă
đ călàăxănh ăh năho căb ngăy,ăhayăyăl năh năho căb ngăx.
N uă≤ălàăm tăquanăh ăth ăt ătrênăt păh p X thì c pă(X,ă≤)ăg iălàăm tăt p h păs pă
th ăt .ăNg iătaăc ngăg iăXălàăm tăt păh păs păth ăt ăkhiăch ănói t iăm tăquanăh ă
th ăt ănàoăđóătrênăX.
1.5.2. Ví d
(i) Quanăh ă“chiaăh t”ătrênăt păs ăt ănhiênăN* làăm tăquanăh ăth ăt ătrênăN*.
vì:

V iăm iăs ănguyênăd ngăn,ătaăcóănă/ănă(năchiaăh tăn),
V iăm iăm,ăn,ăk N*, (m / n và n / k) m / k,
V iăm iăm,ăn N*, (m / n và n / m) m = n,
(ii) Choăt păh păX≠ă vàăt păh păQănh ngăt păconăc aăXă(Q P(X)),ăQă≠ă .
Quanăh ăhaiăngôiă“ch aătrong”ătrênăQălàăm tăquanăh ăth ăt ăvì:
V iăm iăA Q, A A,
V iăm iăA,ăB,ăCă Q, (A B và B C) A C,
V iăm iăA,ăBă Q, (A B và B A) A = B.

1.5.3. Quan h th t nghiêm ng t

10


1.5.3.1. nhăngh a:ăQuanăh ăhaiăngôiăRătrênăXăg iălàăquanăh ăth ăt ănghiêmăng tă
nóăth aămưnăcácăđi uăki n:
(i)  x  X,ăkhôngăcóăxRx,ăt călàă(x, x) R
(ii)  x, y, z  X, xRy, yRz xRz.
Quanăh ăth ăt ănghiêmăng tăth ngăđ căkíăhi uă“<”
1.5.3.2.Víăd :ă
D ădàngăth yăr ngăquanăh ăhaiăngôiă“l năh n”ă(theoăngh aăthôngăth
t păh p s ăth căRălàăm tăquanăh ăth ăt ănghiêmăng t.
1.5.3.3.

ng) (>) trên

nhălí 1

N uă làăm tăquanăh ăth ăt ătrênăt păh păXăthìăquanăh hai ngôi < trên X xác
đ nhăb iăxă<ăyăkhiăvàăch ăkhiăxă≤ y và x ≠ y,ălàăm tăquanăh ăth ăt ănghiêm ng tătrênă
X.
1.5.3.4.

nhălí 2

N uă<ălàăm tăquanăh ăth ăt ănghiêmăng tătrênăt păh păXăthìăquanăh hai ngôi ≤ trên
Xăxácăđ nhăb i:ăxă≤ yăkhiăvàăch ăkhiăxă<ăyăho căxă=ăy,ălàăm t quanăh ăth ăt ătrên X.
1.5.4. Quan h th t toƠn ph n vƠ quan h th t b ph n.

1.5.4.1. Quanăh ăth ăt ă ≤ trênăt păh păXăg iălàătoànăph năn uăv iăhaiăph năt ăb tăkì
x,ăyăc aăX,ătaăcóăxă≤ yăho căyă≤ x.
N uăt năt iăítănh tăhaiăph năt ăx,ăyăc aăXăsaoăchoăc ăhaiăđi uăki năx ≤ y và y ≤ x
đ uăkhôngăx yăraăthìă≤ g iălàăquanăh ăth ăt ăb ăph n.
1.5.4.2. Víăd ă
(i) Quanăh ăth ăt ă“≤”ă(theoăngh aăthôngăth ng)ătrênăt păh p s ăth căR là toàn
ph n.
Quană h ă “chiaă h t”ă trênă t pă h pă s ă t ă nhiênă N* làă quană h ă th ă t ă b ă ph nă vìă
ch ngăh năs ănguyênă3ăvàă7ălàăkhôngăsoăsánhăđ c”.ăTaăkhôngăcóă3ă/ă7,ăc ngăkhôngă
có 7 / 3.
Quanăh ăth ăt ănghiêmăng tă<ătrênăt păh păXăđ căg iălàătoànăph năn uăv iăhaiă
ph năt ăkhácănhauăb tăkìăx,ăyăc aăX,ătaăcóăxă<ăyăho căyă<ăx.
1.5.5. Các ph n t t i đ i, t i ti u
1.5.5.1. Gi ăs ă(X,ă≤)ălàăm tăt păh păs păth ăt .ăPh năt ăx0  Xăđ
n uăv iăm iăxă  X,ăn uăx0 x thì x = x0.

căg iălàăt iăđ iă

Víăd 1ă:
G iăXălàăt păh păcácăs ănguyênăl năh nă1ăvàălàăquanăh ≤ă trên Xăxácăđ nhănh ă
sau:ăV iăm iăm,ănă  X, m ≤ năkhiăvàăch ăkhiămăchiaăh tăchoăn.
D ădàngăth yăr ngă≤ălàăm tăquanăh ăth ăt ătrênăX.ăTaăch ngăminhăr ngăm iăs ă
nguyênăt ăđ uălàăm tăph năt ăt iăđ i.ăTh tăv y,ăn uăpălàăm tăs ănguyênăt ăvà n  X,
p ≤ năthìănă=ăp.ăDoăđóăp làăm tăph năt ăt iăđ i.ăNh ăv yăt păh păs păth ăt ăXăcóăvôă
s ăph năt ăt iăđ i.
Víăd ă2:
Kíăhi uă≤ làăquanăh ă“chiaăh t”ătrênăt păh păs ăt ănhiênăN* làă“ă/”

11

V iăm,ănănguyênăd ng,ămă≤ n
m / n.
T păh păs păth ăt ăN* khôngăcóăph năt ăt iăđ iăvìăv iăm iănă≤ N*, ta có n / 2n và
2n ≠ n,ăt călàănă≤ 2n và 2n ≠ n.
1.5.5.2. Gi ăs ă(X,ă≤)ălàăm tăt păh păs păth ăt .ăPh năt ăx0  Xăg iălàăt iăti uăn uă
khôngăcóăm tăph năt ănàoăc aăXăđ ngătr cănó,ăt călàăkhôngăt năt iăxă  X, x ≠ x0
sao cho x ≤ x0 hay  x  X x ≤ x0 thì x = x0.
Víăd ă1ă:
Gi ăs ăXălàăt păh păcácăs ănguyênăl năh nă1.ăTaăbiétăr ngă(X,ă/) là m tăt păh pă
s păth ăt ă(kíăhi uă/ ch ăquanăh ă“chiaăh t”ătrênăX).ăN uăpălàăm tăs ănguyênăt ăthìă
v iăm iănă  X, mà n / p,ătaăcóănă=ăp.ăDoăđóăpălàăm tăph năt ăt iăti uăc aăt păh păs pă
th ăt ăX.
Nh ăv y,ăXăcóăvôăs ăph năt ăt iăti u,ăđóălàăt tăc ăcácăs ănguyênăt .
Víăd ă2ă:
G iăXălàăt păh păcácăs ănguyênăl năh nă1ăvàă≤ làăquanăh ă“chiaăh tăcho”ătrênăX.ă
T păh păs păth ăt ă(X,ă≤)ăkhôngăcóăph năt ăt iăti uăvìăv iăm iănă  X, ta có 2n chia
h tăchoănăvàă2nă≠ n, t călàă2nă≤ n và 2n ≠ n.
1.5.6. Các ph n t l n nh t, nh nh t
1.5.6.1. Ph năt ăl nănh t
Gi ăs ă(X,ă≤)ălàăm tăt păh păs păth ăt .ăPh năt ăx0  Xăg iălàăl nănh t n u:ă
x ≤ x0 v i m iăx  X.
nhălí 1:ăT p h păs păth ăt ă(X,ă≤)ăcóănhi uănh tălàăm tăph năt ăl nănh t. Ph nă
t ăl nănh tălàăt iăđ i.
Víăd
(i) Trongăt păh păs păth ăt ă(P,ă  )ă(Pă=ăPă(X)ălàăt păh păt tăc ăcácăt păconăc a
h păXă≠ ),ăt păh păXălàăph năt ăl nănh t.
(ii) T păh păs păth ăt ă(N*,ă/)ăkhôngăcóăph năt ăt iăđ i.ăDoăđó,ătheoă nhălí1,ăt pă
h p N* khôngăcóăph năt ăl nănh t.
1.5.6.2. Ph năt ănh ănh t

Gi ăs ă(X,ă≤)ălàăm tăt păh păs păth ăt .ăPh năt ăx0  Xăg iălàănh ănh tăn uăx0 ≤
xăv iăm i x  X.
T ngăt ănh ătrongă nhălí1,ăd ădàngăch ngăminh đ căr ng.
nhălý 2: T păh păs păth ăt ă(X,ă≤)ăcóănhi uănh tălàăm tăph năt ănh ănh t.ăPh nă
t ănh ănh tălàăt iăti u.
Víăd :
Trongăt păh păs păth ăt ă(P,ă  ),ătrongăđóăPălàăt păh păt tăc ăcácăt păconăc aăt pă
h păXă≠ , làăph năt ănh ănh tăduyănh t.

1.6. ÁNH X
1.6.1.
1.6.1.1.

nh ngh a ánh x vƠ ví d
nhăngh a

12


Gi ăs ăXăvàăYălàăhaiăt păh p.ăQuanăh hai ngôi f trên X x Y g iălàăm tăánhăx t ă
XăvàoăYăn uăv iăm iăph năt ăxă  X,ăt năt iăm tăph n t ăduyănh tăyă  Y sao cho
x f y.
Ánhăx ăfăt ăt păXăvàoăt păYăđ căkíăhi u là: f : X
Y.
N uăxălàăm tăph năt ăc aăt păh păXăthìăph năt ă yăc aăt p h p Y sao cho x f y
đ căg iălàă nhăc aăxăquaăánhăx ăfăvàăđ căkíăhi uălàăfă(x).
Hi nănhiênăánhăx ăfăđ căxácăđ nhăn uă nhăfă(x)ăc aăm iăph năt ăxă  Xăđ uăđ că
f
f (x), x  Xăho căxă 
xácăđ nh.ăVìăv yăng iătaăcònădùngăkíăhi uăxă

 y, x  X
đ ăch ăánhăx ăf.
Gi ăs ăfă:ăX ăYălàăm tăánhăx ăt ăt păh păXăvàoăt păh păY.ăKhiăđó,ăXăđ căg iă
làăt păxácăđ nhăc aăánhăx ăf.ăT păh păcácă nhăfă(x)ăc aăt tăc ăcácăph năt ăxăc aăt pă
h păXăđ căg iălàă nhăc aăánhăx ăf,ăkíăhi uălàăf(X).
Nh ăv y,ăv iăm iăyă Y, f(X) = {y Yă:ăt năt iăxă X sao cho y = f(x)}.
1.6.1.2. Víăd
(i) Choăt păh păXă=ă{a,ăb,ăc}ăvàăánhăx ăf:ăXă
x
f(x)

a
1

b
3

Năxácăđ nhăb iăb ngăsau:

c
5

Tìmă nhăc aăf.
nhăc aăánhăx ăfălàă: f (X) = {1, 3, 5}.
(ii) Ánhăx ăfă: R ăRăxácăđ nhăb iăcôngăth căx f(x) = sinxălàăm tăánhăx ăt t pă
h păcácăs ăth căRăvàoăR.
T păxácăđ nhăc aăhàmăs ăfălàăR.ăT păđ năc aăfăc ngălàăR.ă nhăc aăánhăx làăt pă
h p:ăfă(R)ă=ă{yă Ră:ứ1ă≤ăyă≤ă1}.
1.6.2. nh vƠ t o nh qua m t ánh x
1.6.2.1.ă nhăc aăm tăt păh păquaăm tăánhăx

a. nhăngh a:ă
Gi ăs ăfă:ăX ăYălàăm tăánhăx ăvàăAălàăm tăt păconăc aăX. T păh păcácă nhăc aă
t tăc ăcácăph năt ăc aăAăquaăánhăx ăfăg iălàă nhăc a t păh păAăquaăánhăx ăf,ăkíăhi uă
là f(A).
Nh ăv y,ăv iăm iăy Y, y f(A)ăkhiăvàăch ăkhiăt năt iăxă A sao cho y = f(x).
Doăđó:ăf(A)ă=ă{y Y:ăT năt iăxă A sao cho y = f (x).
b. Víăd :
(i) Choăánhăx ăf:ăRă  Răxácăđ nhăb iăxă
f(x) = 2x + 1 và A = { 1, 2}
Khiăđóăf(A)ă=ă{3,ă5}
(ii) Choăhaiăt păh păXă=ă{a,ăb,ăc,ăd,ăe},ăYă=ă{1, 2,ă3,ă4,ă5,ă6}ăvàăánhăx ă
f : X Yăxácăđ nhăb iăb ngăsau:
x
a
b
c
d
e
f(x)
1
3
2
5
1

13


Choăhaiăt păconăAăvàăBăc aăXă:ăAă=ă{a,ăc,ăe};ăBă=ă{a,ăd}.ă nhăc aăAăvàăB qua
ánhăx ăfălà:ăf(A)ă=ă{1,ă2};ăfă(B)ă=ă{1,ă5}.

c)ă

nhălí

Choăánhăx ăfă:ăX ăYăvàăcácăt păconăA,ăBăc aăX.ăKhiăđó:
(i)ăăN uăA B thì f(A) f(B),
(ii) f (A B) = f (A) f(B),
(iii)ăfă(A ăB)ă= f(A) ăf(B).
1.6.2.2.T oă nhăc aăm tăt păh păquaăm tăánhăx
a. nhăngh a:
Gi ăs ăfă:ăX ăYălàăm tăánhăx ăvàăCălàăm tăt păconăc aăY.
T păh păt tăc ăcácăph năt ăxă X sao cho f(x) Căg iălàăt oă nhăc aăt păh păCă
quaăánhăx ăf.ăăKíăhi uălàăf-1(C).
Nh ăv yă, v iăm iăx X, x f-1(C)ăkhiăvàăch ăkhiăf(x) C.
f-1 (C) = {x X : f(x) C}.
b.Víăd :ă
f(x) = 2x + 1 và C =(0, 1)  R.
Choăánhăx ăf:ăRă  Răxácăđ nhăb i x
1
2

Khiăđó:ăf-1(C) = { x  R/ {f(x)} = C }= { x  R / f(x) = 0, f(x) = 1}= {  , 0}
c.ă

nhălí

Gi ăs ăf:ăXă ăYălàăm tăánhăx ,ăCăvàăDălàănh ngăt păconăc aăY.ăKhiăđó:
(i)N uăCă D thì f-1 (C) f-1 (D),
(ii) fứ1 (C D) = f-1 (C) f-1 (D),
(iii) fứ1 (C D) = f-1 (C) f-1 (D),

(iv) fứ1 (C\D) = f-1 (C) \f-1 D).
1.6.3. Ánh x b ng nhau
Gi ăs ăXăvàăYălàăhaiăt păh p,ăfăvàăgălàăhaiăánhăx ăt ăXăvàoăY.ăTaănóiăr ngăhaiăánhă
x ăfăvàăgălàăb ngănhau,ăvàăvi tăfă=ăg,ăn uăfă(x)ă=ăgă(x)ăv iăm iăxă  X.
Víăd :ăăánhăx ăăăăăăăăăăăfă:ăRă R
f (x) = x3 ứ 1
x
vàăánhăx ăg:ăRă R
x
g (x) = (x ứ 1) (x2 + x + 1)
làăhaiăánhăx ăb ngănhau.
1.6.4. H p c a các ánh x
1.6.4.1. Choăhaiăánhăx ăfă:ăXă Y và g : Y
Z.ăánhăx ăhă:ăXă Z xác đ nhăb iă
x
h(x) =ăgă[f(x)]ăg iălàăánhăx ăh păc aăhaiăánhăx ăfăvàăg,ăkíăhi uălàăg f.
Nh ăv y,ăgof:ăXă Zălàăánhăx ăxácăđ nhăb i:ă(gof)ă(x)ă=ăg[f(x)],ăxă X.
1.6.4.2.Víăd ă
Choăhaiăánhăx .ăf:ăRă
x

R
f (x) = 2 x ứ


3

14

và g : R
R xácăđ nhăb i x
f (x) = sin x. (Rălàăt păs ăth c)
Khiăđó,ăánhăx ăh păc aăfăvàăgălà:ăăgof : R
R
x

(gof) (x) = sin (2x ứ


).
3

1.6.4.3. Chú ý:
Theoăđ nhăngh aăánhăx ăh păc aăhaiăánhăx ăfă:ăXă  Y và g : Y  Z thì g făch ă
t năt iăkhiăf(X)ă  Y.
1.6.4.4. nhălí
V iăm iăánhăx ăfă:ăXă

1.7.
1.7.1.

Y, g : Y

Z và h : Z

V, ta có ho (gof) = (hog) of.

N ÁNH, TOÀN ÁNH, SONG ÁNH VÀ ÁNH X NG

C

n ánh

1.7.1.1. nhăngh a:ăÁnhăx ăf:ăXă Yăg iălàăm tăđ năánhăn uă v iăm i x1, x2  X,
x1 ≠ x2  f(x1) ≠ f(x2)
Hi nănhiên,ăđi uăki nătrênăt ngăđ ngăv iăđi uăki năsau:
V iăm iăx1, x2  X, f(x1) = f(x2)  x1 = x2.
1.7.1.2.Víăd :
(i) Ánhăx ăfă:ăRă Răxácăđ nhăb iăf(x)ă=ăx2 khôngăph iălàăm tăđ năánhăvì:
ch ngăh n,ăf(ứ1) = f(1) = 1.
(ii) Ánhă x ă gă :ă N*ă Qă xácă đ nhă b iă g(n)ă =ă 1/nă làă m tă đ nă ánhă vìă v iă haiă s
nguyênăd ngăm,ănăb tăkì,ăn uămă≠ năthìăf(n)ă≠f(m).
(iii) Ánhă x ăf : R
Răxácăđ nhăb iăf(x)ă=ă sinxăkhôngăph iălàă m tăđ năánhăvì:ă
ch ngăh n,ăf(0) = f ( ) = 0.
1.7.2. Toàn ánh
1.7.2.1. nhăngh a:ăÁnhăx ăf:ăXă Yăđ căg iălàăm tătoànăánhăn uă:ăf(X)ă=ăY.
T ăđ nhăngh aăc aătoànăánhăsuyăraăr ng: f : X
Yălàăm tătoànăánhăkhiăvàăch ăkhiă
v iăm iăyă  Y,ăt năt iăítănh tăm tăph năt ăxă  X sao cho f(x) = y.
1.7.2.2.Víăd :
(i) Cho haiăt păh păXă=ă{a,ăb,ăc,ăd,ăe,ăf}ăvàăYă=ă{M,ăN,ăP,ăQ}.ă
Xétăánhăx ă  : X Yăchoăb iăb ngăsau:
x
a
b
c
d
e

f
N
M
Q
P
Q
N
 (x)
Taăcóă nhăc aăălà  (X) = {M, N, P, Q} = Y. V yă  là toàn ánh.
(ii)


2


2

tăAă=ă{x  R :  < x < }. Ánhăx ăfă:ăAă

Răxácăđ nhăb iăf(x)ă=ătgxălàă

m tătoànăánhăvìăv iăm iăyă  R,ăt năt iăxă  A sao cho f (x) = tgx = y.

15


1.7.3.1. nhăngh a:ăÁnhăx ăfă:ăXă Yăg iălàăm tăsongăánhăn uănóăv aălàăm tă
đ năánhăv aălàăm tătoànăánh.
Taăch ngăminhăđ c ánhăx ăfă:ăXă Yălàăm tăsongăánhăkhiăvàăch ăkhiăv iăm iă
ph năt ăyă  Y,ăt năt iăm tăph năt ăduyănh tăxă  X sao cho f(x) = y.

1.7.3.2. Víăd :
(i) Ánhăx ăg:ă R * ăRăxácăđ nhăb iăg(x)ă=ălnxălàăm tăsongăánhăvìăv iăm iăs ăth că
y,ăt năt iăm tăs th căd ngăduyănh tăxăsaoăchoălnxă=ăy.ă
x
(ii) Ánhăx ăhă:ăR
R * xác đ nhăb iăh(x)ă=ăe làăm tăsongăánhăv iăm iăs d ngă
y,ăt năt iăm tăs ăth căduyănh t x sao cho f(x) = ex = y.
1.7.4. Ánh x ng

c

1.7.4.1. nhăngh a:ăăGi ăs ăfă:ăXă Yălàăm tăsongăánhăt ăt păh păXălênăt păh păY.ă
Ánhăx :ăgă:ăYă Xăxácăđ nhăb i:ăăy
g(y)ă=ăx,ătrongăđóăxălàăph năt ăduyănh tăc aă
Xăsaoăchoăf(x)ă=ăy,ăg iălàăánhăx ăng căc aăánhăx ăf.ăÁnhăx ăng căc aăsongăánhăfă:ă
X Yăđ căkíăhi uălàăf-1.
1.7.4.2. nhălí 1:ăN uăfă:ăXă Yălàăm tăsongăánhăvàăf-1 : Y
Xălàăánhăx ăng că
c aăfăthìăv iăm iăxă  X, y  Y, fứ1(f(x)) = x và f(fứ1 (y)) = y,
t călà:ăf -1 f = Ix và f fứ1 = IY,ătrongăđóăIX và IY,ătheoăth ăt ,ălàăánhăx ăđ ng nh tă
trênăt păh păXăvàăt păh păY.
1.7.4.3.ă nhălíă2.ăGi ăs ăhaiăánhăx ăfă:ăX ăYăvàăgă:ăY ăXătho ămưnăcácăh ăth că
sau:ăg(f(x))ă=ăxăv iăm iăx Xăvàăfă(g(y))ă=ăyăv iăm iăy Y
Khiăđó
(i)ăăfăvàăgălàănh ngăsongăánh.
(ii)ăăgălàăánhăx ăng căc aăf.
1.7.4.4.Víăd :
(i) Ánhăx ă f: R  R và
x

2x + 3

g:R  R
x 3
x
2

làăhaiăánhăx ăng căc aănhau.
(ii)ăÁnhăx ăăăăăăăăăăăăăăăăăăă
g:R R
f :R R
và
trongăđóăaă>ă0ăăaă  1ăălàăhaiăánhăx ăng
x log ax
x ax
nhau.

16

căc aă


BÀI T P CH

NG 1

1.1. T P H P
1.ăHưyăli tăkêăcácăph năt ăc aăcácăt păh păsau:
a)ăAălàăt păh păcácăb iăt ănhiênăc aă3ăl năh nă20ăvàănh ăh nă40;
b)ăBălàăt păh păcácăs ănguyênăt ăl năh nă30ăvàănh ăh nă50;

c)ăCălàăt păh păcácă căt ănhiênăc aă36.
2.ăHưyăli tăkêăcácăph năt ăc aăcácăt păh păsau:
a) A = {x N : 2x2ứă15xă+ă13ă<ă0};
b) B = {x R: 2x3 + 5x2 + 3x = 0};
c) C = {x Z : 6x2+ăxứă1ă=ă0}.
3.ăChoăcácăt păh p
A = {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27};
B = {17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47};
Hưyănêuăm tătínhăch tăđ cătr ngăc aăcácăph năt ăc aăm iăt păh păđưăcho(t călàă
tínhăch t,ănh ăđóănh năbi tăđ căm tăđ iăt ngălàăph năt ăhayăkhôngph iălàăph năt ă
c aăt păh păđưăcho).
4.ăChoăcácăt păh p:
A = {x N : x4ứă4ă<ă0};
B = {x N : 2x2ứăxă<ă10};
C = {x R : x2 + 20 < 11 3 };
D = {x R : (x2 + 1) (2x ứă1)ă>ă0}.
Ch ngăminhăr ng:
A B và C D.
5.ăB ngăph ngăphápăquyăn p,ăhưyăch ngăminhăr ngăn uăt păh păAăcóăn ph năt ăthìă
nóăcóăc ăth yă2n t păcon.
1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRểN T P H P
1.ăG iăAălàăt păh păcácăs ăl ăgi aă10ăvàă40ă(l năh nă10ăvàănh ăh nă40)ăvàăB làăt pă
h păcácăs ănguyênăt ăgi aă10ăvàă40.
a)ăTìmăcácăt păh păA B,ăA ăB,ăAă\ B và B \ A.
b)ăL păl căđ ăVenăđ iăv iăhaiăt păh păAăvàăB.
2.ăG iăAălàăt păh păcácăs ăt ănhiênăchiaăh tăchoă2ăvàăBălàăt păh păcácăs ăt nhiên
chiaăh tăchoă5.
a)ăTìmăcácăt păh păA B,ăA ăB,ăAă\ B và B \ A.
b)ăL păs ăđ ăVenăđ iăv iăAăvàăB.
3.ăChoăhaiăt păh păAă=ă{xă Ră:ă|x|ă≥ă5}ăvàăBă=ă{xă Ră:ăứ6ă≤ăxă<ă0}

Tìmăcácăt păh păA B, A B, A \ B và B \ A.
4.ăCh ngăminhăr ngăv iăcácăt păh păb tăkìăA,ăB,ătaăcó:

17


a) A \ B = A \ (Aă ăB)ă;ă
b)ăAă=ă(Aă ăB)ă (A \ B);
c) A \ (A \ B) = A ăB.
5.ăV iăm tăt păh păh uăh năAăb tăkì,ăkíăhi uăN(A)ăch ăs ăph năt ăc aăA.
Ch ngăminhăr ngăv iăhaiăt păh păh uăh năA,ăBăb tăkì,ătaăcó:
N (A B)ă=ăNă(A)ă+ăNă(B)ứăNă(Aă ăB).
6.ăChoăbaăt păh păh uăh năA,ăB,ăC.ăCh ngăminhăr ng:
N (A B C)ă=ăNă(A)ă+ăNă(B)ă+ăNă(C)ă+ăNă(A ăB ăC)ứăNă(A ăB)ứ Nă(A ăC)ứă
Nă(B ăC).
7.ăTrongăm tăl păh căngo iăng ,ăt păh păAăcácăh căviênăn ăcóă4ăph năt , t păh păBă
cácăh căviênăt ă20ătu iătr ălênăcóă5ăph năt .ăCóă3ăh căviênăn ăt 20ătu iătr ălên. Tìm
s ăph năt ăc aăt păh păA B.
8.ăTrênăm tăbưiăđ ăxe,ăcóă42ăxeăg mătaxiăvàăxeăbuýt.ăCóă14ăxeămàuăvàng và 37 xe
buýt ho căxeăkhôngăcóămàuăvàng.ăH iătrênăbưiăđ ăxeăcóăbaoănhiêu xe buýt vàng?
9.ăM tăl păh căcóă40ăh căsinh,ătrongăđóăcóă15ăemăh căkháămônăToán,ă16emăh căkháă
mônăV năvàă17ăemăh căkháămônăTi ngăAnh.ăCóă5ăemăh căkhá c ăhaiămônăV năvàă
Anh, và 2 emăh căkháăc ăbaămôn.
H iăcóăbaoănhiêuăh căsinhăch ăh căkháămônăToán?ăCh ăh căkháămônăV n? Ch ăh că
kháămônăAnh?ăKhôngăh căkháămônănào?
1.3. QUAN H
1.ăChoăhaiăt păh păAă=ă{2, 4, 7, 9} và B = {1, 3, 4, 5, 12, 14}.
Tìmăquanăh ă“chiaăh t”ăRătrênăAăxăBăvàăbi uădi năquanăh ăRăb ngăl

căđ ăhình tên.

2.ăChoăt păh păXă=ă{1,ă2,ă7,ă8}.ăTìmăquanăh ă“chiaăh t”ăRătrênăXăvàăbi u hi năquană
h ăRăb ngăl căđ ăhìnhătên.
3.ăChoăt păh păXă=ă{1,ă2,ă6,ă7,ă8}.ăTìmăquanăh ă“chiaăh tăcho”ăRătrênăXăvà bi uădi nă
R b ngăl căđ ăhìnhătên.
4.ăTìmăquanăh ă“chiaăh tăcho”ăRătrênăt păh păcácăs ănguyênăd
Răb ngăl căđ ăhìnhătên.

ngăN*ăvà bi uăhi nă

5.ăChoăcácăt păh păXă=ă{1,ă2,ă3,ă4,ă5,ă7},ăAă=ă{1,ă2,ă9},ăBă= {4, 9}, C = {6, 7, 8} và
Y = {A,ăB,ăC}.ăTìmăquanăh ăRă“ph năt ăthu căt păh p”ătrênăXăxăY. Bi uădi năquană
h ănàyăb ngăl căđ ăhìnhătên.
6.ăChoăcácăt păh păAă=ă{1,ă2},ăBă=ă{1,ă5,ă7},ăCă=ă{1,ă2,ă5,ă7,ă8}ăvà X = {A, B, C}.
Tìmăquanăh ăbaoăhàmă“ch aătrong”ăRătrên X.
(Quanăh ăbaoăhàmă“ch aătrong”ăR đ căchoăb iăAR Băkhiăvàăch khi A B).
7.ăChoăt păh păXă=ă{1,ă2,ă3,ă5,ă7}.ăTìmăquanăh ă“nh ăh n”ă(<)ătrênăX (quanăh ă“nh ă
h n”ăđ căhi uătheoăngh aăthôngăth ng).

18


1.4. QUAN H T

NG

NG

1.ăG iăRălàăquanăh ăhai ngôiă“cóăcùngăs ăd ăv i...ătrongăphépăchiaăchoă4”
trênăt păh p s ăt ănhiên N.

a)ăCh ngăminhăr ngăRălàăm tăquanăh ăt ngăđ ngătrênăt păh păN.
b)ăQuanăh ăt ngăđ ngăRătrênăNăchiaăt păh păNăthànhăm yăl păt ng đ
Hưyăv ăs ăđ ăVenăbi uădi năcácăl păt ngăđ ngăc aăquanăh ăR.

ng?ă

2.ăChoăt păh păXă=ă{1,ă2,ă3,ă4,ă5}ăvàăPă=ăP(X)ălàăt păh păcácăt păconăc aăX.
G iă~ălàăquanăh ăhaiăngôiătrênăPăxácăđ nhăb i:ăAă~ăBăkhiăvàăch ăkhiăNă(A)ă=ăNă(B)
TrongăđóăNă(C)ălàăs ăph năt ăc aăt păh păCă X.
a)ăCh ngăminhăr ngă~ălà m tăquanăh ăt ngăđ ngătrênăP.
b)ăTìmăl păt ngăđ ngăc aăquanăh ă~ătrênăP,ăcóăđ iădi nălàăph năt ă{1,ă3}ăc aăP.
3.ăG iăXă=ăR2 làăt păh păcácăđi măc aăm tăph ngăvàă~ălàăquanăh ăhaiăngôi trênăt pă
h păR2 xácăđ nhăb i:ă(x1, y1) ~ (x2, y2)ăkhiăvàăch ăkhi x12  y12  x 22  y22
a)ăCh ngăminhăr ngă~ălàăm tăquanăh ăt ngăđ ngătrênăR2 .
b)ăTìmăt păth ngăR / ~.
4.ăChoăm tăt păh păXă≠ă  vàăm tăph năt ăaă X.ăG iăP =ăPă(X)ălàăt păh păcácăt pă
con c aăXăvàă~ălàăquanăh ăhaiăngôiătrên Păxácăđ nhănh ăsau:
V iăm iăA,ăBă P,ăAă~ăBăkhiăvàăch ăkhiăAă=ăBăho căaă A B.
a)ăCh ngăminhăr ngă~ălàăm tăquanăh ăt ngăđ ngătrênăt păh păP.
b)ăTìmăt păth ngăP/~.
5.ăKýăhi uăC*ăch ăt păh păcácăs ăph căcóăph năth căkhácă0.ăG iăRălàăquanăh ăhaiă
ngôi trênăC*ăxácăđ nhăb iă(aă+ăbi)ăRă(că+ădi)ăkhiăvàăch ăkhiăacă>ă0.
a)ăCh ngăminhăr ngăRălàăm tăquanăh ăt ngăđ ngătrênăC*
b)ăMinhăho ăhìnhăh căcácăl păt ngăđ ngăc aăquanăh ăR.
1.5. QUAN H TH T
1.ăChoăt păh păXă=ă{1,ă3,ă9,ă18,ă36}.ăG iă≤ăălàăquanăh ă“chiaăh t”ătrênăX.
a)ăCh ngăminhă≤ălàăm tăquanăh ăth ăt ătrênăX.
b)ăQuanăh ăth ăt ăă≤ăătrênăXăcóăph iălàătoànăph năkhông?
2.ăChoăt păh păAă=ă{3,ă6,ă12,ă36,ă48}.ăQuanăh ă“chiaăh tăcho”ătrênăAăcóăph iălàăm tă
quanăh ăth ăt ăkhông?ăN uăcó,ănóăcóăph iălàăm tăquanăh ătoànăph năkhông?

3.ăChoăRălàăquanăh ăhaiăngôiătrênăt păh păCăcácăs ăph căxácăđ nhănh ăsau:
V iăm iăaă+ăbi,ăcă+ădiă C,ă(aă+ăbi)ăRă(că+ădi)ăkhiăvàăch ăkhiăaă≤ăăcăvàăbă≤ăăd.
a)ăCh ngăminhăr ngăRălàăm tăquanăh ăth ăt ătrênăC.
b)ăRăcóăph iălàătoànăph n không?
4.ăChoăt păh păXă=ă{1,ă2,ă3,ă4,ă5,ă6,ă7}ăvàăquanăh ăhaiăngôiăRăxácăđ nhătrênăXănh ă
sau:ăV iăm iăx,ăyă X,ăxăRăyăkhiăvàăch ăkhiăxă≤ăyăvàă2ă/ (xứăy).
a)ăCh ngăminhăr ngăRălàăm tăquanăh ăth ăt ătrênăX.
b)ăRăcóăph iălàătoànăph năkhông?
c)ăBi uădi n quanăh ăRăb ngăl căđ ăhìnhătên.

19


5.ăChoăt păh păs păth ăt ă(X,ă),ătrongăđóăXă=ă{2,ă5,ă8,ă10,ă20,ă40}ăvàă≤ăălàăquanăh ă
“chiaăh t”ătrênăX.
a)ăTìmăcácăph năt ăt iăđ iăvàăt iăti uăc aăX.
b)ăTìmăph năt ăl nănh tăvàănh ănh tă(n uăcó)ăc aăX.
6.ăChoăt păh păs p th ăt ă(X,ă≤ )ăv iăXă=ă{35 , 36 , 37 , 38 , 39 }ăvàălàăquanăh “chiaă
h tăcho”ătrênăX.ăTìmăgiáătr ăl nănh tăvàăgiáătr ănh ănh tăc aăX.
1.6. ÁNH X
1.ăChoăhaiăt păh păXă=ă{a,ăb,ăc,ăd,ăe},
Yă=ă{0,ă1,ă2,ă5,ă7,ă9}ăvàăquanăh ăhaiăngôiăRătrênăXăxăYăxácăđ nhăb i:
R = {(a, 0), (b, 1), (c, 2), (e, 9)}.
a)ăBi uădi năquanăh ăRăb ngăl căđ ăhìnhătên.
b)ăRăcóăph iălàăm tăánhăx ăkhông?
2.ăChoăhaiăt păh păAă=ă{1,ă2,ă3,ă4,ă5},ăBă=ă{a,ăb,ăc,ăd,ăe,ăf}ăvàăquanăh ăhai
ngôiăRătrênăAăxăBăxácăđ nhăb i:
R = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, d), (5, e), (3, c)}.
a)ăBi uădi năquanăh ăRăb ngăl căđ ăhìnhătên.
b)ăRăcóăph iălàăm tăánhăx ăkhông?

3.ăChoăhaiăt păh păXă=ă{3,ă5,ă7,ă12},ăYă=ă{1,ă6,ă13,ă17,ă35,ă36}ăvàăquanăh ăhaiăngôiă
“chiaăh t”ă  trên X x Y.
(v iăm iăxă X, y Y, x  yăkhiăvàăch ăkhiăxăchiaăh tăy)
a)ăTìmăquanăh ă  .
b)  cóăph iălàăm tăánhăx ăkhông?
4.ăChoăhaiăt păh păAă=ă{2,ă3,ă5,ă7, 9}ă,ăBă=ă{11,ă13,ă18,ă35,ă101}ăvàăquanăh ăhaiă
ngôiă“chiaăh t”ăfătrênăAăxăB.
a)ăTìmăquanăh ăfăvàăbi uădi năfăb ngăl căđ ăhìnhătên.
b)ăfăcóăph iălàăm tăánhăx ăkhông?ăTìmăt păxácăđ nhăvàă nhăc aăfă(n uăfălàăánhăx ).
5.ăKýăhi uăPă=ăPă(R)ăch ăt păh păt tăc cácăt păconăc aăt păh păcácăs ăth căR.ăChoă
ánhăx ăfă:R ăPăxácăđ nhăb iăcôngăth c: f(x) = {y R : y ≤ăă|x|
Tìm f(-2), f(0) và f (x2).
6.ăChoăt păh păXă=ă{xă Ră:ă0ă≤ăxă≤ăă2}ăvàăánhăx ăfă:ăXă ăRăxácăđ nhăb i

Tìmă nhăfă(X)ăc aăánhăx ăf.
7. Hai ánhăx ăf;ăg:ăR Răxácăđ nhăb i:

và

20


cóăph iălàănh ngăánhăx ăb ngănhauăhayăkhông?
8.ăTìmăcácăánhăx ăh păgofăvàăfogă(n uăcó)ăc aăm iăc păhàmăs ăsau đây.
N uăkhôngăt năt iăgofăho căfogăthìăgi iăthíchălíădo:
a) f : R R
và
g:R
R
x f(x) = lnx

x g(x) = ex
b) f : R* ăR
và
g : R* ăR
1
x
f x ln x
x
g x
x
Cho hai t p h p X = {a , b , c , d , e , f , g , h} ;
Y = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 },
ánh x f X Y xác đ nh b i b ng sau:
x
a
b
c
d
e
f
g
h
f (x)
1
2 4
2
7
4
7
8

vàăhaiăt păconăAă,ăBăc aăXă:ăAă=ă{aă,ăbă,ăc} ; B = {c , d , h}
a)ăBi uădi năánhăx ăfăb iăl căđ ăhìnhătênăvàăcácăt păh păA,ăBăb iăl căđ ăVen
b) Tìm f(A), f(B) , f(A B), f(A) f(B),ăA ăB,ăf(A) ăf(B)ăvàăf(A ăB)
c)ăN uăm iăquanăh ăgi aăhaiăt păh păf(A ăB)ăvàăf(A) ăf(B).
10.ăChoăhaiăt păh păXă=ă{a , b , c , d , e , f } , Y = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8}
ánhăx ăfă:ăX ăYăxácăđ nhăb iăb ng
x
a
b
c
d
e
f
f(x)
1
3
2
3
6
6
vàăt păconăCă=ă{1ă,ă2ă,ă3ă,ă7ă,ă8} c aăX
a)ăBi uădi năánhăx ăfăb iăl căđ ăhìnhătênăvàăt păh păCăb iăl
b)ăTìmăcácăt păh păf-1(C) và f(f-1 (C))
c)ăN uăm iăquanăh ăgi aăhaiăt păh păCăvàăf(f-1 (C)).
11.ăChoăánhăx ăf:ăXă ăRăvàăhaiăt păh păA,ăB,ăAă X, B
vàăt oă nhăf-1 (B) trong tr ngăh păsau:
f(x) = sin 2x ; X = { x Ră:ă0≤ăxă≤ă6 },


A = {x Ră:ă0ă≤ăxă≤ }U {x R : ≤ăxă≤ă +

}
4
4
B = { y R :ứ1 y 0 }

căđ ăVen

R.ăTìmă nhăf(A)

1.7.
N ÁNH, TOÀN ÁNH, SONG ÁNH VÀ ÁNH X NG
C
1. Choăhaiăt păh păAă=ă{a,ăb,ăc,ăd},ăBă=ă{1,ă2,ă3,ă4,ă5,ă6}ăvàăhaiăánhăx ăfă:ăA ăB,ă
g : A ăBăxácăđ nhăb iăhaiăb ngăsau:

21


x
f(x)

a
1

b
2

c
3

d
2

x
g(x)

a
2

b
1

c
4

d
3

a)ăBi uădi năcácăánhăx ăfăvàăgăb iăl căđ ăhìnhătên.
b)ăfăvàăgăcóăph iălàăđ năánhăkhông?
2.ăChoăhaiăt păh păXă=ă{a,ăb,ăc,ăd,ăe},ăYă=ă{1,2,3,4,5}ăvàăhaiăánhăx ăf,ăgă:ăXă
xácăđ nhăb iăcácăb ngăsau:
x
a
b
c
d
e
f(x)
5

1
3
2
4
x
g(x)

a
2

b
3

c
4

d
5

e
1

a)ăBi uădi năfăvàăgăb iăl căđ ăhìnhătên.
b)ăCh ngăminhăr ng făvàăgălàănh ngăsongăánhăvàătìmăánhăx ăng
3.ăChoăhaiăs ăth căa,ăb,ăaă≠ă0.ăCh ngăminhăr ngăánhăx ăfă:ăRă
f(x)ă=ăaxă+ăbălàăm tăsongăánhăvàătìmăánhăx ăng căc aăf.

căc aăfăvàăg.

ăRăxácăđ nhăb i

4.ăCh ngăminhăr ngăcácăánhăx ăsauăđâyălàănh ngăsongăánhăvàătìm ánhăx ăng
m iăánhăx ăđó:
a) f: R+
R+ xácăđ nhăb iăf(x)ă=ă x
b) g: R
R xác đ nh b i g(x) = x3
1
c) h : R* R xác đ nh b i h x
x

22

ăYă

căc aă


Ch

C

S

ng 2

LỌGIC TOÁN

M c tiêu
Ki năth că:ăNg iăh căn măđ cănh ngăki năth căv ă:

- C ăs ăc aălôgicăm nhăđ
- Cácăphépăsuyălu năth ngăg p
- Cácăphépăch ngăminhăth ngăg p
- V năd ngăcácăphépăsuyălu năvàăch ngăminhătrongăd yăvàăh cătoán
K ăn ngă:ăHìnhăthànhăvàărènăluy năchoăng iăh căcácăk ăn ngă:
- Phânătíchăc uătrúcăc aăcácăm nhăđ :ăph ăđ nh,ăh i,ătuy n,ăt ngăđ ngă
th ngăg p vàăxácăđ nhăgiáătr ăchânălíăc aăchúng
- V năd ngăcácăphépăt ngăđ ngălôgicăth ngăg pătrongătoánăh c
- Phânătíchăcácăphépăsuyălu năvàăch ngăminhătrongăd yăh cătoánă ăti uăh c.
Tháiăđ ă:
Ch ăđ ngătìmătòi,ăphátăhi năvàăkhámăpháăcácă ngăd ngăc aălôgicăm nhăđ ătrongă
d y vàăh cătoán

23


2.1. M NH

VÀ CÁC PHÉP TOÁN LỌGIC

2.1.1. M nh đ
2.1.1.1. Kháiăni m
Trongămônăti ngăVi tă ătr ngăph ăthông,ăchúngătaăđ călàmăquenăv iăkháiăni mă
v ăcâu.ăCácăcâuăth ngăg păcóăth ăchiaăthànhăhaiălo i:ălo iăth ănh tăg mănh ngăcâuă
ph năánhătínhăđúngăho căsaiăm tăth căt ăkháchăquan.ăM iăcâuănh ăth ăđ căhi uălàă
m tăm nhăđ .ăLo iăth ăhaiăg mănh ngăcâuăkhôngăph năánhătínhăđúng ho căsaiăm tă
th căt ăkháchăquanănào.
ăkíăhi uăcácăm nhăđ ătaădùngăcácăch ăcáiăa,ăb,ăc....ăTrongălôgicătaăkhôngăquană
tâmăđ năc uătrúcăng ăphápăc aăcácăm nhăđ ămàăch ăquanătâmăđ nătínhă“đúng”ăho că
“sai” c aăchúng.ă

N uăaălàăm nhăđ ăđúngăthìătaănóiănóăcó giáătr ăchânălíăb ngă1,ăkíăhi uălàăG(a)ă=ă1,
N uăaălàăm nhăđ ăsaiăthìătaănóiănóăcóăgiáătr ăchânălíăb ngă0,ăkíăhi uălàăG(a)ă=ă0
Ch ngăh n,ăcácăcâu
+ă“HàăN iălàăth ăđôăc aăn căVi tăNam”ălàăm nhăđ ăđúng
+ă“N căPhápăn mă ăChâuăPhi”ălàăm nhăđ ăsai
+ă“15ălà s ăl ”ălàăm nhăđ ăđúng
+ă“S ă35ăchiaăh tăchoă3”ălàăm nhăđ ăsai
Các câu
+ă“2ănhână2ăb ngăm y?”
+ă“B ăphimănàyăhayăquá!”
đ uăkhôngăph iălàăm nhăđ .ă
Nói chung,ănh ngăcâuănghiăv n,ăcâuăm nhăl nhăvàăcâuăc măthánăđ uăkhôngăph iă
làăm nhăđ
2.1.1.2. Chú ý:
a. Trongăth căt ătaăg pănh ngăm nhăđ ăm ălàănh ngăm nhăđ ămàăgiáătr ăđúng,ăsaiă
c aănóăph ăthu căvàoănh ngăđi uăki nănh tăđ nhă(th iăgian,ăđ aăđi m,...)ăNóăđúngă
th iăgian,ăđ aăđi mănàyănh ngăl iăsaiă ăth iăgian,ăđ aăđi măkhác.ăSongă ăb tăk ăth iă
đi mănào,ăđ aăđi mănàoănóăc ngăluônăcóăgiáătr ăchânălíăđúngăho căsai.ăCh ngăh n:
+ăSinhăviênăn măth ănh tăđangăt păquânăs
+ăTr iăn ngănóng
+ăN ngăsu tălúaăn mănayăcaoăh năn măngoái
+ă12ăgi ătr aăhômănayătôiăđangă ăHàăN i
b. ăkíăhi uăa làăm nhăđ ă“2ă+ă2ă=ă5”ătaăvi tăaă=ă“2ă+ă2ă=ă5”
c. Taăth aănh năcácălu tăsauăđâyăc aălôgicăm nhăđ :
Lu tăbàiătrung:ăM iăm nhăđ ăph iăho căđúngăho căsai,ăkhôngăcóăm nhăđ ănào
khôngăđúngăc ngăkhôngăsai
Lu tă mâuă thu nă (hayă cònă g iă làă lu tă phiă mâuă thu n):ă khôngă cóă m nhă đ ă nàoă
v a đúngăl iăv aăsai
2.1.2. Các phép lôgic
2.1.2.1.ăPhépăph ăđ nh

a.ă nhăngh a:ăPh ăđ nhăc aăm nhăđ ăaălàăm tăm nhăđ ,ăkíăhi uălàă a ,ăđúngăkhiăaă
saiăvàăsaiăkhiăaăđúng.

24