Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z

z  1  z 2  z  1 . Tính giá trị của M.n

nhỏ nhất của biểu thức P
A.

. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

13 3
4

B.

39
4

C. 3 3

D.

13
4

¾ Cách 1:
Re( z ) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z

™ Đặt t
™ t2

z  1 d z  1 d z  1 2 Ÿ t  >0;2@

z  1 , ta có: 0

1  z
1  z


™ z2  z 1

1 œ z.z 1

1  z.z  z  z

z 2  z  z.z

2  2Re( z ) Ÿ Re( z )

z z 1  z

 2Re( z )  1


2

t2  2
2

2Re( z )  1

t2  3

™ Xét hàm số: f  t
t  t 2  3 , t  >0;2@ . Xét 2 TH:
Ö Maxf  t


13
; Minf  t

4

3 Ÿ M .n

13 3
4

¾ Cách 2:
™ z r  cos x  i sin x
a  bi
™ Do z
™ P

­
° z.z
1Ÿ ®
°r
¯

z

2

1

a 2  b2

1

2  2cos x  2cos x  1 , đặt t

ª

cos x  > 1;1@ Ÿ f  t


1º

™ TH1: t  « 1; »
¬ 2¼
f 't


­maxf  t

1
°
2!0Ÿ®
2  2t

°minf  t

¯

f 1
3
§1·
f¨ ¸
©2¹

3

ª1 º

™ TH1: t  « ;1»
¬2 ¼
f 't


1
2  2t

Ö Maxf  t


2 0œt

13
; Minf  t

4

7
 Ÿ maxf  t

8
3 Ÿ M .n

§ 7 · 13
f ¨ ¸
© 8¹ 4

13 3
4

2  2t  2t  1


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao - Phạm Minh Tuấn

Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i
2

2

z  2  z  i . Tính module số phức w M  mi

nhỏ nhất của biểu thức P
A. w

5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị

2 314

1258

B. w

C. w

3 137

D. w

2 309

¾ Cách 1:
™ P 4x  2 y  3 Ÿ y
™ z  3  4i

P  4x  3
2

5 œ  x  3
  y  4

2

2

2

§ P  4x  3
·
5 œ  x  3
 ¨
 4¸  5
2
©
¹
2

f  x


™ f '  x
8  x  3
 8  P  4 x  11
0 œ x 0,2P  1,6 Ÿ y 0,1P  1,7
ª P 33
¬ P 13

™ Thay vào f  x