Chuyên đề mặt nón mặt trụ mặt cầu

Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 1


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU
MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 4. HÌNH NÓN, MẶT NÓN, KHỐI NÓN ................................................................ 3
CHỦ ĐỀ 5. MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ ........................................................... 17
CHỦ ĐỀ 6. MẶT CẦU - HÌNH CẦU VÀ KHỐI CẦU.......................................................... 30

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 2


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

CHỦ ĐỀ 4. HÌNH NÓN, MẶT NÓN, KHỐI NÓN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Định nghĩa mặt nón
Cho đường thẳng  . Xét một đường thẳng d cắt  tại O và không vuông góc

với  (Hình 1).
Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng dnhư thế khi
quay quanh  gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn
giản là mặt nón).
 gọi là trục của mặt nón.

d gọi là đường sinh của mặt nón.
O gọi là đỉnh của mặt nón.
Nếu gọi  là góc giữa d và  thì 2 gọi là góc ở





đỉnh của mặt nón 00  2  1800 .
2. Hình nón tròn xoay
Cho ΔOIM vuông tại I quay
quanh cạnh góc vuông OI thì
đường gấp khúc OIM tạo thành
một hình, gọi là hình nón tròn
xoay(gọi tắt là hình nón) (hình
2).
Đường thẳng OI gọi là trục, O
là đỉnh, OI gọi là đường cao và
OM gọi là đường sinh của hình
nón. Hình tròn tâm I, bán kính
r = IM là đáy của hình nón.
3. Công thức diện tích và thể tích của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là ℓ thì có:
Diện tích xung quanh: Sxq=π.r.l

Diện tích đáy (hình tròn):

Sd  r 2

Diện tích toàn phần hình tròn: S  Sd  Sxq

1
V  r 2 .h
3
Thể tích khối nón:
4. Tính chất
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh→Thiết diện là tam giác cân.

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 3


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi
đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau
xảy ra:
+ Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón→giao tuyến là một đường tròn.
+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón→giao tuyến là 2 nhánh của 1
hypebol.

+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón→giao tuyến là 1 đường
parabol.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Gọi l,R,h lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón.
Đẳng thức nào sau đây luôn đúng
2
2
2
1
1
1
A. l  h  R
B. 2  2  2
l
h
R

2
2
2
C. R  h  l

2
D. l  hR

Hướng dẫn giải
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác

S

vuông SOA ta có
2
2
2
SA2  SO2  OA2 hay l  h  R

l
h

Vậy chọn đáp án A.
O

R

A

Câu 2. Gọi l,R,h lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón
(N). Diện tích xung quanh S xq của hình nón (N) là
A. S xq   Rl

C. S xq  2 Rl

B. S xq   Rh

2
D. S xq   R h

Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức S xq   Rl . Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 3. Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón

(N). Diện tích toàn phần Stp của hình nón (N) là
A. Stp  Rl  R2

2
B. Stp  2 Rl  2 R

2
C. Stp   Rl  2 R

2
D. Stp   Rh   R

Hướng dẫn giải

Stp  Sxq  Sd  Rl  R2 . Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 4. Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của khối nón
(N). Thể tích V của khối nón (N) là
2
A. V   R h

1
2
B. V   R h
3

2
C. V   R l

1
2

D. V   R l
3

Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 4


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

1
2
Áp dụng công thức V   R h . Vậy ta chọn đáp án B.
3

Câu 5. Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Diện tích xung quanh hình nón
là
A. 40 a 2

B. 20 a 2

D. 12 a 2

C. 24 a 2
Hướng dẫn giải
S

Áp dụng công thức

Sxq  Rl  4a.5a  20a2 .
3a

Vậy chọn đáp án B.
O

4a

A

Câu 6. Cho hình nón có bán kính đáy là 3a, chiều cao là 4a. Thể tích của hình nón là
A. 12 a3

C. 15 a3

B. 36 a3

D. 12 a3

Hướng dẫn giải
S

Áp dụng công thức

1
1
V  R2 h  .9a2 .4a  12a3 .
3

3

4a

Vậy chọn đáp án A.

O

3a

A

Câu 7. Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Diện tích toàn phần hình nón là
2
A. 38 a

2
B. 32 a

2
C. 36 a

2
D. 30 a

Hướng dẫn giải
Áp

dụng

công

thức

Stp  Sxq  Sd  Rl  R2
3a

 .4a.5a  .16a2  36a2 .
Vậy chọn đáp án C

O

4a

A

Câu 8. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa một cạnh bên
0
và đáy bằng 60 , diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp

tam giác ABC là
A.

13a2
12

B.

a2 13
12

C.

a2
12

D.

a2 13
12

Hướng dẫn giải

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 5


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

Áp dụng công thức Sxq  Rl

S

Với

A

1
1 a 3 a 3
R  OH  AH  .

3
3 2
6

600

l  SH  SO2  OH2


 AO.tan 60 
0

2

a

O

O

C

A

B

H

H

C

B

 OH

2

2

2

2 a 3
 a 3
a2 a 13
  .
. 3 

  a2 
3 2
  6 
12
2 3

 


Vậy Sxq  

a 3 a 13 a2 13
. Vậy chọn đáp án B.
.

6 2 3
12

Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và đáy
0
bằng 60 , diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác

ABC là
A.

 a2
4

B.

 a2
6

C.

 a2
3

D.

5 a 2
6

Hướng dẫn giải
Áp

dụng

công

thức

S

Sxq  Rl

A

Với

1
1 a 3 a 3
R  OH  AH  .

3
3 2
6

O

a

A

C

600

O

B
H

H

C

B

a
l  SH 

Vậy Sxq

OH

a
2 3 
1

3
cos60
2
0

a 3 a
a2
. Vậy chọn đáp án B.

.

6
6
3

Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và
0
đáy bằng 60 . Thể tích khối nón nội tiếp trong hình chóp là:

A.

a3
36

B.

a3
72

a3

48
Hướng dẫn giải
C.

D.

a3
24

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 6


Chuyên đề: Hình học không gian
Áp

dụng

công

thức

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU
S

1
V  R2 h
3

A

Với

O

a

1
1 a 3 a 3
R  OH  AH  .

3
3 2
6

h  SO  OH tan 600 

A

C

600

O

B

C

H

H

B

a
2

1
1  a 3  a a 3
Vậy V  R 2h   
. Vậy chọn đáp án B.
. 
3
3  6  2 72
Câu 11. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa cạnh bên và
0
đáy bằng 60 , diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn ngoại tiếp

hình chóp là
A. 3a2

B.

a2
3

2a2
3

Hướng dẫn giải

D. 2a2

C.

Áp dụng công thức Sxq  Rl

S

2 a 3 a 3

Với R  AH  .
3 2
3
l  SA 

AH
a 3 2a 3


1
cos60
3
3.
2

Vậy Sxq  

600

A

a 3 2a 3 2a2
.

3
3
3

C
a

H

I

B

Vậy chọn đáp án C.
Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Diện tích xung
quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp là
A. a2 2

B.

a2 2
4

a2

2
Hướng dẫn giải
C.

D.

a2 2
2

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 7


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

Hình nón ngoại tiếp hình

S

chóp tứ giác đều có đỉnh là S
và đáy là đường tròn ngoại
tiếp hình vuông ABCD.
Lúc đó:

R  AH 

A

a 2
và l  SA  a
2

D

B

H
C

Vậy Sxq  .

a 2
a2 2
.a 
.Vậy chọn đáp án D.
2
2

Câu 13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a. Diện
tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp ABCD là
A.

 a 2 17

B.

8

 a 2 15
4

C.

 a 2 17

D.

6

 a 2 17
4

Hướng dẫn giải
Với R  OH 

a
và
2

S

2

l

2
2 a

2 a
2a


4a

  2
4
 

A

2a

A

2

17a
a 17


4
2

D

a

O

H

O
B

D

C

B

C

a a 17 a2 17

Vậy Sxq   .
2 2
4
Vậy chọn đáp án D.
Câu 14. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc
vuông bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón là
A.

B. 2 a 2

 a2 2
2

C.

 a2 2

D.

3

 a2 2
4

Hướng dẫn giải
S

Áp dụng công thức

Sxq  Rl  .

a 2
a2 2
.a 
2
2

a

B

Vậy chọn đáp án A

O

A

Câu 15. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh huyền 2a.
Thể tích của khối nón bằng
A.

 a3
3

B.

2 a 3
3

3
C.  a

3
D. 2 a

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 8


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức

S

1
1
a3
V  R2 h  .a2 .a 
3
3
3
B

Vậy chọn đáp án A

a

O
A

Câu 16. Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh
bằng

3 và thiết diện qua trục là tam giác đều là

A. 6

B. 12

C. 18

D. 16

Hướng dẫn giải
Đặt cạnh của tam giác đều SAB là a.

S

Ta có:
1

1
1
1


2
2
3 
OH2 SO2 OB2
a
a 3


 
 2 
2


1

4
4
1 16
 

 
a4
2
2
3 3a
3 3a2
a


1



1



H
3

B

O

Vậy Stp  .2.4  .22  12 .

A

Vậy chọn đáp án B.
Câu 17. Cho hình nón có đường sinh l, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là 300 .
Diện tích xung quanh của hình nón này là
A.

 3l 2
4

B.

 3l 2
2

C.

 3l 2
8

 3l 2

D.

6

Hướng dẫn giải
S

Ta có

Sxq  Rl  .l.cos300.l 

l2 3
.
2

l

300

Vậy chọn đáp án B.

O

Câu 18. Thể tích V của khối nón (N) có chiều cao bằng a và độ dài đường sinh bằng a 5 là
4 3
A. V   a
3

3
B. V  4 a

5 3
C. V   a
3

2 3
D. V   a

3

Hướng dẫn giải
Ta có: R  5a2  a2  2a
2
1
4a3
Vậy V  .  2a  .a 
.
3
3

S

a 5
a

Vậy chọn đáp án A.
O

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 9


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

Câu 19. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc

vuông bằng a. Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600 . Diện tích của thiết diện
này bằng
A.

a2 2
2

B.

C. 2a 2

a2 2
3

D.

a2 2
4

Hướng dẫn giải

1
Diện tích thiết diện là SSCD  SH.CD
2
Ta có: AB  a 2  R 

S

a 2
 SO

2

a 2
SO
a 2
SH 
 2 
3
3
sin 600
2

a

O
A

a2
CD  2CH  2 R  OH  2
 SO.tan 300
2
2



2

Vậy diện tích SSCD 

B

600



2

D

H
C

2

a2  a 2 3 
2 3
2

.
a
 


2  2
3 
3

1a 2 2 3
2a2
. Chọn đáp án B.
.

a
2 3 3
3

Câu 20. Hình nón có đường cao 20cm, bán kính đáy 25cm. Một mặt phẳng (P) qua đỉnh của
hình nón và có khoảng cách đến tâm là 12cm. Diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình nón là
A. 450(cm2 )

B. 500(cm2 )

C. 600(cm2 )

D. 550(cm2 )

Hướng dẫn giải
Theo đề:

S

h  20,R  25,OH  12

Ta có:

1
OH


2



1

1
SO
2



2


1

1

H

OM

OM
OH
 OM  15

2



2

1

SO

2



1
OM

2



1
12

2



1
20

2



1
225

O

M

D

C

SM  SO2  OM2  202  152  25
CD  2CM  2 R2  OH2  2 252  152  40

1
1
Vậy SSCD  SM.CD  .40.25  500 . Chọn đáp án B.
2
2
Câu 21. Khối nón (N) có chiều cao bằng 3a . Thiết diện song song và cách mặt đáy một
64 2
 a . Khi đó, thể tích của khối nón (N) là
đoạn bằng a, có diện tích bằng
9
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 10


Chuyên đề: Hình học không gian
3
A. 48 a

B.

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU
C. 16 a

25 3
a
3

3

D.

16 3
a
3

Hướng dẫn giải
Diện tích của thiết diện

S  r 2 

S

64 2
8
a  r  a
9
3

O

r 2
3
3 8
Ta có:   R  r  . a  4a
R 3
2
2 3

r

O

Vậy thể tích khối chóp là:

R

1
1
V  R2 h  .16a2 .3a  48a3 . Vậy chọn đáp án A.
3
3
Câu 22. Một khối nón có thể tích bằng 4 và chiều cao là 3 . Bán kính đường tròn đáy của
hình nón là
A. 2

B.

2 3

3

C.

4
3

D. 1

Hướng dẫn giải

1
12 12

 4  R  2 . Vậy chọn đáp án A.
Ta có: V  R2 h  4  R2 
3
h
3
Câu 23. Cho khối nón có chu vi đường tròn đáy là 6 , chiều cao bằng

7 . Thể tích của

khối nón là
A. 12

B. 9 7

C. 3 7

D. 36

Hướng dẫn giải
Chu vi đường tròn đáy là: 2R  6  R  3 .

1
9 7
 3 7 . Vậy chọn đáp án C.
Thể tích khối nón là: V  .9. 7 
3
3
Câu 24. Cho hình nón có diện tích xung quanh 25 , bán kính đường tròn đáy bằng 5 . Độ
dài đường sinh bằng
A. 5

B. 1

C. 3

D.

5
2

Hướng dẫn giải
Ta có: Sxq  Rl  25  l 

25 25

 5 . Vậy chọn đáp án A.

R
5

Câu 25. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng 2 3 . Thể tích của khối nón này là
A. 3 3

B.  3

C. 3

D. 3 2

Hướng dẫn giải

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 11


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

Ta có:
l

S

2 3

2

 6 và R  3

Suy ra: h  6  3  3.

1
Do đó: V  .
3

 3 . 3  
2

3

R

O

Vậy chọn đáp án B.
Câu 26. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có diện tích bằng
4 . Diện tích xung quanh của hình nón là

A. 8

B. 8 2

C. 2 2

D. 4 2

Hướng dẫn giải
Ta có:

S

1
SSPQ  4  .l2  4  l  2 2
2
Và R  2
Suy ra: Sxq  Rl  .2.2 2  4 2

Q
R

O

Vậy chọn đáp án D.

P

Câu 27. Một khối nón có thể tích bằng 30 , nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính
khối nón đó lên 2 lần thì thể tích của khối nón mới bằng
A. 60

C. 40

B. 120

D. 480

Hướng dẫn giải

1
Gọi V1  R12 h1 là thể tích khối nón ban đầu.
3
2
1
1
4
Gọi V2  R22 h1    2R1  h1  R12 h1
3
3
3

Như vậy V2  4V1  120 . Vậy chọn đáp án B.
Câu 28.
Cho hình nón có đáy là đường tròn có đường kính
10 . Mặt phẳng vuông góc với trục cắt hình nón theo
giao tuyến là một đường tròn như hình vẽ. Thể tích
của khối nón có chiều cao bằng 6 là
A. 8

B. 24

00
C.
9

D. 96

6

15

P
9

O

10

Hướng dẫn giải
Ta có:

r
6
6
6
  r  R  .10  4
R 15
15
15

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 12


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

1
1
Vậy thể tích khối chóp là: V  r 2 h1  .16.6  96 . Vậy chọn đáp án D.
3
3
Câu 29.
Cho hình nón

N

có bán kính đáy bằng 10, mặt phẳng

vuông góc với trục của hình nón cắt hình nón theo một

x

đường tròn có bán kính bằng 6, khoảng cách giữa mặt

6

phẳng này với mặt phẳng chứa đáy của hình nón  N  là 5.

5

Chiều cao của hình nón  N  là

10

A. 12,5

B. 10

C. 8,5

D. 7
Hướng dẫn giải

Ta có:

x
6
  x  7,5 . Chiều cao của hình nón là: 7,5  5  12,5
x  5 10

Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 30. Cho hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 600 . Diện tích xung
quanh của hình nón là

a2
A.
2

3a2
B.
2

5a2

C.
2

a2
D.
3

Hướng dẫn giải
Vì góc ở đỉnh 600 nên thiết diện đi qua trục là tam giác

S

đều cạnh a.

600

a
a
a2
Do đó: R  . Vậy Sxq  Rl  . .a 
.
2
2
2

a

Q
R

Vậy chọn đáp án A.

O
P

Câu 31. Cho hình nón có chiều cao h và đường sinh hợp với trục một góc 450 . Diện tích
xung quanh của hình nón là:
A.

2h2
3

B.

2h2

C.

2h2
4

D.

3h2
3

Hướng dẫn giải

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 13


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

Vì hình nón có chiều cao h và đường sinh hợp với trục

S

một góc 450 nên góc ở đỉnh hình nón là 900 , nên thiết
900

diện đi qua trục là tam giác vuông cân.
Do đó: R  h. và l  h 2 .

h

Q

Diện tích xung quanh của hình nón là:
R

Sxq  Rl  h.h 2  2h2 .

O
P

Vậy chọn đáp án B.

Câu 32. Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF có cạnh bên bằng 2a và tạo với đáy một
góc 600 . Diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp là
A. 2a2 .

B. 4a2 .

C. 6a2 .

D. a2 .

Hướng dẫn giải
Từ giả thiết suy ra mặt chéo của hình chóp

S

là tam giác đều. Do đó hình nón ngoại tiếp
hình chóp có bán kính đáy R  HA  a và
đường sinh l  SA  2a .

2a

Vậy diện tích xung quanh của hình nón

F

A

600

ngoại tiếp hình chóp là

B

E

H

2

Sxq  Rl  2a .

D

C

Vậy chọn đáp án A.
Câu 33. Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF có cạnh bên bằng 2a và tạo với đáy một
góc 600 . Diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp là
A.

3a2
2

B.

3a2
4

C.

a2
4

D.

a2
2

Hướng dẫn giải

a 3
Bán kính đáy của khối nón là R  HI 
2

S

(Do tam giiacs HDE đều).
Chiều cao của hình nón

SH  SE2  HE2 

2

 2a  a2  a 3.

Vậy thể tích khối nón là:

600

B

E

H

2

1 2
1 a 3
3a2
V  R h  . 
 .a 3 
3
3  2 
4

2a

l

F

A

I
C

a

D

Vậy chọn đáp án B.

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 14


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

Câu 34. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Hãy tính diện tích xung quanh của
hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình
vuông ABCD. Đáp án là:
A.

5a2
2

B.

a2
4

C.

5a2
4

D.

a2
2

Hướng dẫn giải
Bán kính đáy hình nón là R 

a
2

C'
O

Đường sinh của hình nón là
2

B'

D'

A'

2

a
5a
a 5
l     a2 


4
2
2

C
B

Diện tích xung quanh của hình nón là:

Sxq

I

a a 5
5a2
 Rl   .

2 2
4

D

A

Vậy chọn đáp án C.
Câu 35. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO.

ọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy

của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và SAO  300 , SAB  600 . Diện tích

xung quanh của hình nón là
A. a2

C. 3a2 3

B. 3a2

D. a2 3

Hướng dẫn giải
ọi I là trung điểm của AB, ta có

S

OI  AB, SI  AB, OI  a ,
AO  SA.cosSAO  SA.cos300 

3
SA
2

1
và AI  SA.cosSAI  SA.cos600  SA .
2

O

AI
1
.



AO
3

Mà

B

30°

A

I

6 OI
a
AI
1
 sin IAO 


.
 cos IAO  cos IAO 
3 OA OA
AO
3

Vậy OA 

3a
6



a 6
.
2

Xét tam giác vuông SAO, ta có: SA 

OA
cos30

0



a 6 2
.
a 2
2
3

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 15


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

Vậy diện tích xung quanh của hình nón đ cho là: Sxq  .OA.SA  .

a 6
.a 2  a2 3 .
2

Vậy chọn đáp án D.

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 16


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

CHỦ ĐỀ 5. MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. Mặt trụ
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1: Mặt trụ là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi
xoay quanh đường thẳng  song song và cách l một khoảng R. Lúc
đó,  được gọi là trục, R gọi là bán kính, l gọi là đường sinh.
Định nghĩa 2: Mặt trụ là tập hợp tất cả những điểm cách đường
thẳng  cố định một khoảng R không đổi.
Đường thẳng  được gọi là trục của mặt trụ, R được gọi là bán

kkinhs của mặt trụ.
2. Tính chất
II. Hình trụ
Hình trụ là hình giới bạn bởi mặt trụ và hai đường tròn bằng
nhau, là giao tuyến của mặt trụ và 2 mặt phẳng vuông góc với
trục.
Hình trụ là hình tròn xoay khi sinh bởi bốn cạnh của hình một
hình chữ nhật khi quay xung quanh một đường trung bình của
hình chữ nhật đó.
Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2π.R.l
Diện tích toàn phần hình trụ: Stp = 2π.R.l+2π.R2
III. Khối trụ
Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong của hình trụ đó.
Thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính R và đường cao h là: V = pR2.h.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ.
Đẳng thức luôn đúng là:
A. l  h

B. R  h

2
2
2
C. l  h  R

2
2
2
D. R  h  l

Hướng dẫn giải
Rõ ràng l  h . Như vậy ta chọn đáp án A.
Câu 2. Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ
(T). Diện tích xung quanh S xq của hình trụ (T) là
2
A. S xq   R h

B. S xq   Rh

C. S xq   Rl

D. S xq  2 Rl

Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức S xq  2 Rl . Vậy chọn đáp án D.

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 17


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

Câu 3. Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ
(T). Diện tích toàn phần Stp của hình trụ (T) là
2
A. Stp   Rl   R

2
B. Stp  2 Rl  2 R

2
C. Stp   Rl  2 R

2
D. Stp   Rh   R

Hướng dẫn giải
2
Ta có: Stq  Sxq  S2d hay Stp  2 Rl  2 R . Vậy chọn đáp án B

Câu 4. Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của khối trụ (T).
Thể tích V của khối trụ (T) là
1
2
A. V   R l
3

2
C. V   R h

3
B. V  4 R

4
2
D. V   R h

3

Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức V  Bh  R2 h . Vậy chọn đáp án C.
Câu 5. Cho hình trụ có bán kính đáy 5 cm chiều cao 4 cm. Diện tích toàn phần của hình trụ
này là:
2
A. 90 (cm )

2
B. 92 (cm )

2
C. 94 (cm )

2
D. 96 (cm )

Hướng dẫn giải
2
Ta có: R  5, h  4 . Áp dụng công thức Stp  2 Rl  2 R

S  25.4  2.52  90 . Vậy chọn đáp án A.

Câu 6. Cho hình trụ có bán kính đáy 3 cm, đường cao 4cm. Diện tích xung quanh của hình
trụ này là
2
A. 24 (cm )

2

B. 22 (cm )

2
C. 20 (cm )

2
D. 26 (cm )

Hướng dẫn giải
Ta có: R  3, h  4  l . Áp dụng công thức Sxq  2Rl  2.3.4  24
Vậy chọn đáp án A.
Câu 7. Một hình trụ có bán kính đáy 6 cm, chiều cao 10 cm. Thể tích của khối trụ này là
3
A. 320 (cm )

3
B. 360 (cm )

3
C. 340 (cm )

3
D. 300 (cm )

Hướng dẫn giải
Ta có: R  6, h  10 . Áp dụng công thức V  R2 h  .62.10  360
Vậy chọn đáp án B.
Câu 8. Thể tích V của khối trụ có chiều cao bằng a và đường kính đáy bằng a 2 là
1 3
A. V   a

2

C. 2a3

1 3
B. V   a
3

1 3
D. V   a
6

Hướng dẫn giải
Ta có : d  a 2  R 

a 2
a
, ha .

2
2

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 18


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

2

 a 
a3
Áp dụng công thức V  R h  . 
.a


2 .
 2
2

Vậy chọn đáp án A.
Câu 9. Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết
0
AC  a 2 và ACB  45 . Diện tích toàn phần Stp của hình trụ (T) là
2
B. Stp  10 a

A. Stp  4a2

2
C. Stp  12 a

2
D. Stp  8 a

Hướng dẫn giải

Stp  2Rl  2R2 . Như vậy ta cần tìm bán kính và độ

A

D

dài đường sinh.
Tam giác ABC vuông cân tại B  BC  a và AB  a .

a 2

Như vậy:

Stp  2a.a  2a2  4a2

450

B

Vậy chọn đáp án A.
Câu 10. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng
song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng

C

3R
. Mặt phằng   song
2

R
. Diện tích thiết diện của hình

2

trụ với mp   là:
A.

3R 2 3
2

B.

2R2 3
3

C.

3R 2 2
2

D.

2R2 2
3

Hướng dẫn giải
Theo đề ta có h 

3R
R
; OH 
2

2

O'
B

A
3R
2

Diện diện là hình chữ nhật ABCD
SABCD

2

 R  3R 3 3R2
 DC.AB  2HC.AB  2 R    .

2
2 2
2

R

O
D

H

C

Vậy chọn đáp án A.
Câu 11. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA’ = 2a. Tam giác ABC vuông tại A có

BC  2a 3 . Thể tích của hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ này là:
3
A. 6 a

3
B. 4 a

3
C. 2 a

3
D. 8 a

Hướng dẫn giải

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 19


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

Ta có: R  a 3 và h  2a.

A'

C'

B'

O'

Áp dụng công thức

 

2a

2

2

3

V  R h  . a 3 .2a  6a .
A

Vậy chọn đáp án A.

O

B

2a 3

C

Câu 12. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, mặt bên là các hình
vuông. Diện tích toàn phần của hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ là
2
A. 4 a

B.

2
C. 2 a

2 a 2
( 3  1)
3

D.

3 a 2
2

Hướng dẫn giải

2 a 3 a 3

Ta có: R  AO  .
3 2
3
Stp  2Rl  2R 2  2.






2 1  3 a

A'

C'
O'
B'

a 3
a 3
.a  2

 3 
3



2
a

A

2

O

a

C

B

3

Vậy chọn đáp án B.
Câu 13. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 2a, AD = 4a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB và CD. Quay hình chữ nhật ABCD quanh trục MN ta được khối trụ tròn
xoay. Thể tích khối trụ là:
A. 4a3

B. 2a3

C. a3

D. 3a3

Hướng dẫn giải
Ta có: R  a và h  4a .

B
M

Áp dụng công thức

2a

A

V  R2 h  a2 .4a  4a3 .

4a

Vậy chọn đáp án A.

C
D

N

Câu 14. Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một
hình vuông có cạnh bằng 3a. Diện tích toàn phần của khối trụ là:
A. a2  3

B. 27a2

C.

a2  3
2

D.

13a2 
6

Hướng dẫn giải

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 20


Chuyên đề: Hình học không gian
Ta có: R 

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

3a
và l  3a .
2

B
O
A

Áp dụng công thức
3a

2
3a
Stp  2. .3a  2.  3a   27a2 .
2

C

Vậy chọn đáp án B.

N

D

3a

Câu 15. Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AB = 4a, AC = 5a. Thể tích của khối
trụ là:
A. 16a3

B. 8a3

C. 4a3

D. 12a3

Hướng dẫn giải
Ta có:

B
O

AB  4a,AC  5a  BC  3a  h và R  2a

4a

A

Áp dụng công thức
5a

V  R2 h  .4a2 .3a  12a2 .

C

Vậy chọn đáp án D.

D

O'

Câu 16. Cho một khối trụ có chiều cao bằng 8cm, bán kính đường tròn đáy bằng 6cm. Cắt
khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 4cm. Diện tích của thiết diện
được tạo thành là:
A. 16 5cm

B. 32 3cm

C. 32 5cm

D. 16 3cm

Hướng dẫn giải
B

Diện tích thiết diện

O

SABCD  BC.CD  BC.2CH  8.2.2 5  32 5 .

A

8

Vậy chọn đáp án C.

C

6

O'
4

H

D

Câu 17. Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AD = 12 và góc ACD bằng 600. Thể
tích của khối trụ là:
A. 1296

B.

C. 24

D. 112

Hướng dẫn giải

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 21


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

Áp dụng công thức V  R2 h

B
O
A

Với
h  12 R 

CD AD tan 300 12. 3


6 3
2
2
2

 

12

2

C

600

Vậy V   6 3 .12  1296

O'

D

Vậy chọn đáp án A.
Câu 19. Cho một khối trụ có bán kính đường tròn đáy bằng 6. Cắt khối trụ bởi một mặt
phẳng song song với trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có A, B thuộc cùng
một đáy của khối trụ. Biết AB = 10. Khoảng cách từ trục của khối trụ đến thiết diện được
tạo thành là:
A. 15

C. 2 5

B. 11

41

D.

Hướng dẫn giải
Khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết

B
O

diện là

10

A

OH  R2  CH2  62  52  11

Vậy chọn đáp án B.

C

6

O'

H
D

Câu 20. Cho một khối trụ có khoảng cách giữa hai đáy bằng 10, biết diện tích xung quanh
của khối trụ bằng 80 . Thể tích của khối trụ là:
A. 160

B. 164

C. 64

D. 144

Hướng dẫn giải
Ta có:
h  10  l;Sxq  2Rl  80  R  4 .

Áp dụng công thức V  R2 h  .16.10  160
Vậy chọn đáp án A.
Câu 21. Cho một khối trụ có độ dài đường sinh bằng 10, biết thể tích của khối trụ bằng

90 . Diện tích xung quanh của khối trụ là:
A. 81

B. 60

C. 78

D. 36

Hướng dẫn giải
Ta có: l  10  h và V  R2 h  90  R2 .10  R  3.
Áp dụng công thức Sxq  2Rl  2.3.10  60 .
Vậy chọn đáp án B.
Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2AD=2. Quay quanh hình chữ nhật ABCD lần
lượt quanh AD và AB ta được 2 hình trụ tròn xoay có thể tích V1,V2 . Hệ thức nào sau đây
đúng

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 22


Chuyên đề: Hình học không gian
A. V1  V2

B. V2  2V1

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU
C. V1  2V2

D. 2V1  3V2

Hướng dẫn giải


Quay hình chữ nhật quanh AD thì ta được hình

1

A

D

trụ có bán kính R1  AB  2, h1  1

 V1  R12 h1  4


2

Quay hình chữ nhật quanh AB thì ta được hình
trụ có bán kính R2  BC  1, h2  2

 V2  R22 h1  .1.2  2

B

C

Vậy chọn đáp án C.
Câu 23. Cho hình trụ tam giác đều, có tất cả các cạnh bằng a. Xét hình trụ tròn xoay ngoại
tiếp hình trụ đó. Xét hai mệnh đề sau:
I) Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông
II) Thể tích hình trụ là V 

a3
.
3

Hãy chọn câu đúng
A. Chỉ I)

B. Chỉ (II)

C. Cả 2 câu sai

D. Cả 2 câu đều đúng

Hướng dẫn giải

Xét đáy của hình trụ là đường tròn có bán
kính R 

a
3

 PQ 

2a
3

N

A'

C'
O'

, NP  a

M
B'

Như vậy thiết diện qua trục là hình chữ

a

nhật MNPQ.

P

Suy ra: Mệnh đề I) đúng.
Mặt khác: Vtru

A

a2
a3
 R h  . .a 
3
3
2

O

C

a

B

Q

Vậy chọn đáp án B.
Câu 24. Một hình trụ tròn xoay, bán kính đáy bằng R, trục OO' 

R 6
. Một đoạn thẳng
2

AB  R 2 với A   O  ,B  O'  . Góc giữa AB và trục hình trụ là:

A. 300

B. 450

C. 600

D. 750

Hướng dẫn giải

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 23


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

óc giữa AB và trục hình trụ BAC

A
O

R 6
AC
3

Ta có: cosA 
 2 
AB R 2
2

R 6
2

R 2

Vậy chọn đáp án A.

C
O'
B

 

Câu 25. Một hình trụ tròn xoay bán kính R  1 . Trên 2 đường tròn  O  và O' lấy điểm A
và B sao cho AB  2 và góc giữa AB và trục OO’ bằng 300 . Xét hai mệnh đề sau:
I) Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông
II) Thể tích hình trụ là V  a3 .
Hãy chọn câu đúng
A. Chỉ I)

B. Chỉ (II)

C. Cả 2 câu sai

D. Cả 2 câu đều đúng

Câu 26. Cho ABB’A’ là thiết diện song song với trục OO’ của hình trụ (A,B thuộc đường
tròn tâm O). Cho biết AB  4,AA'  3 và thể tích của hình trụ bằng 24. Khoảng cách d từ
O đến mặt phẳng là:
A. d  3

C. d  2

B. d  2

D. d  5 3

Hướng dẫn giải
Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng thiết

B'
O'

diện là OH .

A'

Ta có: h  AA'  3
Áp dụng công thức
V  R2 h  24  R2  8  R  2 2

B
O

Lúc đó: OH  8  4  2

H
A

Vậy chọn đáp án C.
Câu 27. Thiết diện qua trục của hình trụ (T) là một hình vuông có cạnh bằng a. Diện tích
xung quanh S xq của hình trụ (T) là
2
A. S xq   a

1 2
B. S xq   a
2

2
C. S xq  2 a

2
D. S xq  a

Hướng dẫn giải
Ta có : R 

a
a
và l  a . Nên Sxq  2Rl  2. .a  a2 . Vậy chọn đáp án A.
2
2

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 24


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU

Câu 28. Một hình trụ T  có diện tích xung quanh bằng 4 và thiết diện qua trục của
hình trụ này là một hình vuông. Diện tích toàn phần của T  là
A. 6

B. 12

D. 8

C. 10
Hướng dẫn giải

a
Gọi a là cạnh của hình vuông. Lúc đó: R  ,l  a
2
a
Áp dụng công thức Sxq  4  2Rl  4  .a  2  a  2
2
Diện tích toàn phần: Stp  4  2  6 . Vậy chọn đáp án A.
Câu 29. Một hình trụ có bán kính 5cm và chiều cao 7cm. Cắt khối trụ bằng một mặt phẳng
song song với trục và cách trục 3cm. Diện tích thiết diện tạo bởi khối trụ và mặt phẳng
bằng
A. 56cm2

B. 54cm2

C. 52cm2

D. 58cm2

Hướng dẫn giải
Ta có: OH  3 , h  7  AA' và R  5

B'
O'

Thiết diện là hình chữ nhật ABB’A’

A'

Lúc đó:

SABB'A'  AB  AA'  2 HB.AA'  2. 52  32 .7  2.4.7  56

B
O

Vậy chọn đáp án A.

H
A

Câu 30. Một hình trụ có chu vi của đường tròn đáy 4 a , chiều cao a . Thể tích của khối

trụ này bằng
3
A. 4 a

C. 16 a

3
B. 2 a

3

D.

4 3
a
3

Hướng dẫn giải
Ta có 2R  4a  R  2a . Áp dụng công thức V  R2 h  .4a2 .a  4a3 .
Vậy chọn đáp án A.
Câu 31. Hình trụ có bán kính đáy bằng 2 3 và thể tích bằng 24 . Chiều cao hình trụ này
bằng
A. 2

D. 6

C. 2 3

D. 1

Hướng dẫn giải

 

Ta có: V  R2 h  . 2 3

2

h  24  h  2 . Vậy chọn đáp án A.

Câu 32. Một hình trụ có chu vi của đường tròn đáy là c , chiều cao của hình trụ gấp 4 lần
chu vi đáy. Thể tích của khối trụ này là
A.

c3


D.

2c 3



3
C. 4 c

D.

2c 2

2

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 25