Chuyên đề Mặt cầu - ÔTĐH

Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1
mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
Phần 1: Lý thuyết
I. Định nghĩa : Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện (Đ) gọi là mặt cầu ngoại
tiếp hình đa diện (Đ).
Từ định nghĩa suy ra : Tâm mặt cầu là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình
đa diện.
II. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và hình lăng trụ
1.Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
a.Trục của đờng tròn ( O; R ) : Đờng thẳng d gọi là trục của đờng tròn
(O; R) khi và chỉ khi d qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa đờng tròn đó.
b. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp : Hình chóp S.A
1
A
2
...A
n
nội tiếp mặt cầu (S) khi
và chỉ khi đáy của nó là một đa giác nội tiếp một đờng tròn.
Chứng minh:
Giả sử hình chóp S.A
1
A
2
...A
n
nội tiếp trong mặt cầu (S). Khi đó, các đỉnh A
1
,
A
2

, ..., A
n
của hình chóp nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp và đồng thời nằm
trên đờng tròn giao tuyến của mặt phẳng đáy và mặt mặt cầu. Do vậy, đa giác đáy
nội tiếp trong đờng tròn đó.
Ngợc lại, S.A
1
A
2
...A
n
có đáy

A
1
, A
2
, ..., A
n
nội tiếp trong đờng tròn (C)
thì ta gọi

là trục của đờng tròn đó và gọi O là giao điểm của

với mặt phẳng
trung trực của một cạnh bên, chẳng hạn SA
1
. Khi đó, OS = OA
1
= OA

2
= ... = OA
n
.
Vậy hình chóp có hình cầu ngoại tiếp, đó là mặt cầu tâm O, bán kính R.
c. Nhận xét
Phần thứ hai của việc chứng minh bài toán trên cũng chính là một trong những
cách xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp ( trong trờng
hợp ta đã biết hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp ).
Việc xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp sẽ dễ hơn nếu ta biết trục


của đờng tròn ngoại tiếp đa giác đáy đồng phẳng với một cạnh bên bất kỳ. Khi đó,
mặt phẳng trung trực của một cạnh bên sẽ đợc thay thế bằng đờng trung trực của
cạnh bên đồng phẳng với

Ta cũng có thể xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo định nghĩa,
tức là xác định điểm O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp, thông thờng là các
đỉnh của hình chóp nhìn một đoạn thẳng dới một góc 90
0
, hoặc là phải dựa vào các
yếu tố cân, đều của hình chóp ...
2. Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
a. Chứng minh rằng một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là
hình lăng trụ đứng và đáy là một đa giác nội tiếp một đờng tròn.
Chứng minh :
Nếu (H) là một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì các mặt bên là những hình
bình hành có đờng tròn ngoại tiếp nên phải là hình chữ nhật. Vậy (H) phải là hình
1
Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1

lăng trụ đứng. ngoài ra, vì (H) có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải là một đa
giác có đờng tròn ngoại tiếp.
Ngợc lại, cho (H) là hình lăng trụ đứng có các đờng tròn (C), (C) ngoại tiếp hai
đa giác đáy. Gọi I, I lần lợt là tâm hai đờng tròn đó thì
II là trục của hai đờng tròn. Vì vậy, gọi O là trung điểm của đoạn II, suy ra O
cách đều tất cả các đỉnh của hình lăng trụ đã cho. Vậy hình lăng trụ có mặt cầu
ngoại tiếp.
b. Nhận xét
- Việc chứng minh ý hai của bài toán trên cũng chính là một trong những cách
xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.
- Cũng tơng tự hình chóp ta còn tìm một điểm O cách đều tất cả các đỉnh của
hình lăng trụ.
***********************************
Phần 2: Một số dạng bài tập áp dụng
Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
Trong dạng bài tập này ta sẽ xét một số bài tập xác định tâm và bán kính của mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp đều, hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, hình chóp
có một mặt bên vuông góc với đáy, hình lăng trụ đứng có đáy là các đa giác dễ xác
định tâm của đờng tròn ngoại tiếp nó.
Bài 1: (Hình chóp đều) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp
hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là .
Lời giải:
Giả sử S.ABC là hình chóp tam giác
đều cạnh đáy a. Gọi M là trung điểm BC,
G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó,
theo giả thiết của bài toán thì SG chính
là trục của đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC và
SMG
= .

Gọi I là trung điểm SA, kẻ đờng trung
trực của SA cắt SG tại O, ta có :
OS = OA = OB = OC, suy ra O chính là tâm
của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp,
bán kính OS.Ta có AM =
2
2 2 2
3
4 2
a a
AB BM a = =
suy ra
2 3
3 3
a
AG AM= =
;
1 3
2 6
a
GM AG= =
. Trong tam giác vuông SGM
2
O
S
A
B
C
MG
N

I
Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1
ta có :
3
6
GM GM a
cos SG
SG cos cos


= = =
, trong tam giác vuông SGA:
Hai tam giác vuông SGA và SIO đồng dạng nên ta có
SO SI
SA SG
=
, suy ra:
2 2
. (1 4 ) 3 (1 4 )
.
2 12
3 4 3
SA SI SA a cos cos a cos
SO
SG SG cos
a


+ +
= = = =

. Vậy bán kính của mặt cầu (S)
là
(1 4 )
4 3
a cos
R SO

+
= =
.
Nhận xét:
Trong bài toán xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ta hay phải giải
quyết các bài toán liên quan nh : xác định khoảng cách , xác định góc. Do vậy,
giáo viên cần hớng dẫn học sinh phải xác định một cách chính xác hai bài toán
xác định hình trên. Chẳng hạn, khi ta xác định trục của đờng tròn ngoại tiếp đa
giác đáy của hình chóp hay hình lăng trụ thì ta thờng tìm hai điểm cách đều các
đỉnh của hình chóp và hình lăng trụ, hoặc tìm một điểm cách đều các đỉnh và
vuông góc với mặt phẳng đáy...
Cũng với dạng bài toán trên ta có thể đa ra rất nhiều bài toán tơng tự nh sau:
1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp tam giác đều
trong các trờng hợp sau:
a. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b
b. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng
c. Hình chóp có cạnh bên bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng
d. Hình chóp có cạnh bên bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng
e. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, chiều cao h
f. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt bên bằng
g. Hình chóp có tất cả các cạnh bằng a.
2. Hoàn toàn tơng tự ta cũng có các câu hỏi trên khi thay hình chóp tam giác đều
bằng hình chóp tứ giác đều

3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi E, K lần lợt là
trung điểm của các cạnh AD và BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.EBK.
Bài 2: (Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy) Xác định tâm và bán
kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA vuông góc với đáy, SA = 2a,
ABC là tam giác đều cạnh a.
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, d là đờng thẳng qua G và vuông góc với
mặt phẳng (ABC). Khi đó, d chính là trục của đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC . I là trung điểm SA suy ra SA // d. Gọi I là trung điểm SA, kẻ đờng trung trực
của SA qua I cắt d tại O. Khi đó, OS = OA = OB = OC, suy ra
3
Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1
O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC,
bán kính R = OS. Tơng tự bài 1 ta có
3
3
a
AG =
,
2
a
AI OG= =
,
suy ra
2 2
2 2
21
4 3 6
a a a

R OA OG AG= = + = + =
Nhận xét :
- Trong trờng hợp hình chóp có một cạnh
bên vuông góc với đáy thì trục của đờng tròn ngoại
tiếp đa giác đáy và cạnh bên này luôn đồng phẳng.
- Ngoài cách xác định tâm mặt cầu theo cách
hình học cổ điển nh trên, trong những bài toán dạng này ta còn có thể sử dụng ph-
ơng pháp tọa độ để làm.
- Ngoài việc cho một cạnh bên vuông góc với đáy trực tiếp nh trên thì có những
bài toán cạnh bên nh vậy đợc cho là giao tuyến tuyến của hai mặt bên vuông góc
với đáy.
Chẳng hạn, ta xét bài toán sau :
Cho hình chóp S.ABCD. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy. Đáy
ABCD là tứ giác nội tiếp trong đờng tròn tâm O, bán kính R. Xác định tâm và tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biêt SA = h.
Lời giải bài toán trên hoàn toàn đơn giản, vì trục của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
ABCD là đờng thẳng qua O và song song với SA.
Đáp số :
2
2
4
h
r R= +
Hoàn toàn tơng tự ta cũng có các bài toán sau:
1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD
biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a.
2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD
biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình vuông cạnh 2a.
3. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD
biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình thang cân nội tiếp trong đờng

tròn đờng kính AD = 2a.
4. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết ba góc
đỉnh S bằng 90
0
và SA = a, SB = b, SC = c.
5. Cho tam giác ABC vuông cân cạnh huyền AB = 2a. Trên đờng thẳng d qua A
và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S khác A.
Chứng minh rằng hình chóp SABC chỉ có một cặp cạnh đối diện vuông góc với
nhau.
6. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC. Tính bán kính R khi góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30
0
.
4
G
S
A
B
C
M
N
O
I
Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1
Đáp số: a. AC

SB b.
42
6
a

R =
7. Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, xét các hình chóp S.ABCD có SA vuông góc
với đáy ( S, A cố định ), SA = h cho trớc, ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp trong
đờng tròn đã cho mà AC vuông góc với BD.
a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
b. Tứ giác ABCD là hình gì để thể tích hình chóp S.ABCD lớn nhất ?
Đáp số: a.
2 2
'
4
2
h R
R
+
=
b. ABCD là hình vuông
8. Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn đờng kính AB = 2R, M là một điểm chuyển
động trên đờng tròn , MH vuông góc với AB tại H sao cho AH = x,
0< x < 2R. Dựng đờng thẳng vuông góc với (P) tại M trên đó lấy điểm S sao cho
MS = MH. Xác định tâm và tính bán kính r mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABM. Tìm
x để r lớn nhất.
Đáp số :
2
1
(2 )
4
r R x R x= +
; r lớn nhất khi x = R
Bài 3: ( Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy )
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a; BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC)

vuông góc với nhau, góc

BDC bằng 90
0
.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD theo a và b.
Lời giải:
Gọi M là trung điểm BC, do hai mặt phẳng
(ABC) và (BCD) vuông góc với nhau nên
AM

(BCD), mặt khác, tam giác BCD
vuông tại D nên M chính là tâm của đờng
tròn ngoại tiếp tam giác BCD, suy ra, AM
là trục của đờng tròn ngoại tiếp tam giác
BCD . Do vậy, tâm và bán kính của mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng chính
là tâm và bán kính của đờng tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
Tam giác ABC có AB = AC = a, BC = b suy ra
2 2 2
2 2 2
4
4 2
b a b
AM AB BM a

= = =

và S

ABC
=
2 2
1 . 4
.
2 4
b a b
AM BC

=
.Do vậy,
2
2 2
. .
4
4
ABC
a a b a
R
S
a b
= =

Nhận xét:
5
A
B
C
D
M

N
O