BỘ 8 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN THPT NĂM 2017

CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON

CH 1: KHO ST HM S
Chng I:

KHO ST HM S
3
2
Bi 1: Cho hm s: y = - x + 6x - 9x + 4
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho.
2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti giao im ca (C) vi trc
honh.
3) Tỡm m phng trỡnh sau õy cú 3 nghim phõn bit:
x 3 - 6x 2 + 9x - 4 + m = 0

Gii
Tp xỏc nh: D = R
o hm: y Â= - 3x 2 + 12x - 9
ộx = 1
Cho y Â= 0 - 3x + 12x - 9 = 0 ờờx = 3
ờở
2

Hm s ng bin trờn khong (1;3), nghch bin trờn cỏc khong (;1) v
(3;+)
Hm s t cc i y CD = 4 ti x CD = 3 ;
t cc tiu y CT = 0 ti x CT = 1
Gii hn: lim y = + Ơ ; lim y = - Ơ
xđ - Ơ

xđ + Ơ

Bng bin thiờn
x


yÂ

1
0

+

+

y

3
0
4

+



0

ộx = 1
y = 0 - x 3 + 6x 2 - 9x + 4 = 0 ờờ
ờởx = 4
trc tung: x = 0 ị y = 4

y

Giao im vi trc honh:
Giao im vi
th hm s:
4
2

O

1

2

3 4

x

(C ) : y = - x 3 + 6x 2 - 9x + 4 .
Vit pttt ti giao im ca (C) vi trc honh.
1


CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON

Phng trỡnh honh giao im:
ộx = 1
- x 3 + 6x 2 - 9x + 4 = 0 ờờ
ờởx = 4

Giao im ca (C) vi trc honh: A(1; 0), B(4; 0)
pttt vi (C) ti A(1; 0):

ùù
+ x 0 = 1 v y 0 = 0 ỹ
ý ị pttt tai A : y - 0 = 0(x - 1) y = 0
+ f Â(x 0 ) = f Â(1) = 0ùù
ỵ

pttt vi (C) ti B(4; 0)
ùù
+ x 0 = 4 v y = 0 ỹ
ý ị pttt tai B : y - 0 = - 9(x - 4) y = - 9x + 36
+ f Â(x 0 ) = f Â(4) = - 9ùù
ỵ
Vy, hai tip tuyn cn tỡm l: y = 0 v y = - 9x + 36
3
2
3
2
Ta cú, x - 6x + 9x - 4 + m = 0 - x + 6x - 9x + 4 = m (*)

(*) l phng trỡnh honh giao im ca (C ) : y = - x 3 + 6x 2 - 9x + 4 v
d:y = m nờn s nghim phng trỡnh (*) bng s giao im ca (C) v d.
Da vo th ta thy (*) cú 3 nghim phõn bit khi v ch khi
0 Vy, vi 0 < m < 4 thỡ phng trỡnh ó cho cú 3 nghim phõn bit.
3

2

Bi 2: Cho hm s: y = x - 3x + 3x
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho.
2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) bit tip tuyn song song vi ng
thng cú phng trỡnh y = 3x.
Gii
y = x 3 - 3x 2 + 3x
Tp xỏc nh: D = Ă
o hm: y Â= 3x 2 - 6x + 3
Cho y Â= 0 3x 2 - 6x + 3 = 0 x = 1
Hm s ng bin trờn c tp xỏc nh; hm s khụng t cc tr.
Gii hn: lim y = - Ơ ; lim y = + Ơ
xđ - Ơ

xđ + Ơ

Bng bin thiờn
x
yÂ

+

y
Giao im vi trc honh:
Cho y = 0 x 3 - 3x 2 + 3x = 0

1
0

+

+

1

x= 0

+

y
2


CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON

Giao im vi trc tung:
Cho x = 0 ị y =

0

Bng giỏ tr:

x 0
1
2
y 0
1
2
th hm s (nh hỡnh v bờn õy):

(C ) : y = x 3 - 3x 2 + 3x . Vit ca (C) song song vi ng thng D : y =

Tip tuyn song song vi D : y = 3x nờn cú h s gúc k = f Â(x 0 ) = 3
Do ú:

3x 02

- 6x 0 + 3 = 3

3x 02

3x .

ộx = 0
- 6x 0 = 0 ờờ 0
ờởx 0 = 2

Vi x 0 = 0 thỡ y 0 = 03 - 3.02 + 3.0 = 0
v f Â(x 0 ) = 3 nờn pttt l: y - 0 = 3(x - 0) y = 3x (loi vỡ trựng vi
Vi x 0 = 2 thỡ y 0 = 23 - 3.22 + 3.2 = 2
v f Â(x 0 ) = 3 nờn pttt l: y - 2 = 3(x - 2) y = 3x - 4
Vy, cú mt tip tuyn tho món bi l: y = 3x - 4
Bi 3

D)

Cho hm s: y = - x 4 + 4x 2 - 3
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th

(C )

ca hm s ó cho.

2) Da vo (C), hóy bin lun s nghim ca phng trỡnh:

x 4 - 4x 2 + 3 + 2m = 0

3) Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti im trờn (C) cú honh bng
Gii
y = - x 4 + 4x 2 - 3
Tp xỏc nh: D = Ă
o hm: y Â= - 4x 3 + 8x
Cho

ộ4x = 0
y Â= 0 - 4x 3 + 8x = 0 4x (- x 2 + 2) = 0 ờờ 2

ờở- x + 2 = 0

Hm s ng bin trờn cỏc khong
(-

(- Ơ ; -

2),(0; 2) ,

ộx = 0
ờ
ờx 2 = 2
ờở

3.

ộx = 0
ờ
ờ
ờởx = 2

nghch bin trờn cỏc khong

2;0),( 2; + Ơ )

Hm s t cc i yC = 1 ti x CD =
Gii hn: lim y = - Ơ ; lim y = - Ơ
xđ - Ơ

2,

t cc tiu yCT = 3 ti

x CT = 0 .

xđ + Ơ

Bng bin thiờn
x
yÂ

y

-

+

2

0
1

2
0
0 + 0
1

+

3


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN

–

–3

–

éx 2 = 1
 Giao điểm với trục hoành: cho y = 0 Û - x + 4x - 3 = 0 Û êê 2
Û
êëx = 3
Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = - 3

4

 Bảng giá trị: x

-

y

3

-

0

2

1

0
–3

2

2

3

1

0

 Đồ thị hàm số:

éx = ± 1
ê
ê
êëx = ± 3

y
1
-1

- 3
- 2

3

1
O

2

-3

x

y = 2m

2m

 x 4 - 4x 2 + 3 + 2m = 0 Û - x 4 + 4x 2 - 3 = 2m (*)
 Số nghiệm pt(*) bằng với số giao điểm của
 Ta có bảng kết quả:



x0 =

M

2m

m > 0,5
m = 0,5
–1,5< m <
0,5
m = –1,5
m < –1,5

2m > 1
2m = 1
–3< 2m <
1
2m = –3
2m < –3

(C ) : y = - x 4 + 4x 2 - 3

và d: y = 2m.

Số giao
Số
điểm
nghiệm
của (C) và
của pt(*)
d
0
0
2
2
4

4

3
2

3
2

3 Þ y0 = 0

g f ¢(x 0 ) = f ¢( 3) = y ¢= - 4x 3 + 8x = - 4 3

 Vậy, pttt cần tìm là:

y - 0 = - 4 3(x -

Bài 4 Cho hàm số: y =

3) Û y = - 4 3x + 12

2x - 1
x- 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc
bằng – 4.
Giải


y=

2x - 1
x- 1

 Tập xác định:

D = ¡ \ {1}

4


CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON

o hm:

y Â=

- 1
(x - 1)2

< 0, " x ẻ D

Hm s ó cho nghch bin trờn cỏc khong xỏc nh v khụng t cc tr.
Gii hn v tim cn:
lim y = 2 ; lim y = 2 ị y = 2 l tim cn ngang.
xđ - Ơ

xđ + Ơ

lim y = - Ơ

; lim y = + Ơ

x đ 1-

ị x= 1

x đ 1+

l tim cn ng.

Bng bin thiờn

y

x

yÂ

y

1

+

3
2,5
2



2

+


Giao im vi trc honh:

1

2
y = 0 2x - 1 = 0 x =

-1 O

1

2

1 2

3

x

Giao im vi trc tung: cho x = 0 ị y = 1
th hm s


(C ) : y =

2x - 1
x- 1

Tip tuyn cú h s gúc bng 4 nờn f Â(x 0 ) = - 4
ộ
ộ
ờx - 1 = 1
ờx = 3
- 1
1
ờ0
2
2 ờờ 0
2

=

4

(
x
1)
=

ờ
0
2
4
ờx - 1 = - 1
ờx = 1
(x 0 - 1)
ờ0
ờ0
2
2
ở
ở
3
ổ 3ữ
ử
2. 2 - 1
3
ỗỗx - ữ y = - 4x + 10
y
4
=
4

x
=
ị
y
=
=
4
Vi 0
.pttt l:
0
ỗố
3
ứ
2
- 1
2ữ
2

Vi

2. 21 - 1
1
x0 = ị y0 = 1
= 0.
2
- 1
2

pttt l:

ổ 1ử
ữ
y - 0 = - 4 ỗỗỗx - ữ
ữ y = - 4x + 2
ố
2ứ

Vy, cú 2 tip tuyn tho món ycbt l :
Bi 5

y = - 4x + 2

v

y = - 4x + 10

2
2
Cho hm s: y = x (4 - x )
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C ) ca hm s ó cho.
2) Tỡm iu kin ca tham s b phng trỡnh sau õy cú 4 nghim phõn

bit: x 4 - 4x 2 + log b = 0
3) Tỡm to ca im A thuc
+ 2011 = 0
Gii
y = x 2(4 - x 2 ) = - x 4 + 4x 2

(C )

bit tip tuyn ti A song song vi (d): 16x y

5


CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON

Tp xỏc nh:
o hm: y Â=
Cho

D= Ă
- 4x 3 + 8x

ộ4x = 0
y Â= 0 - 4x 3 + 8x = 0 4x (- x 2 + 2) = 0 ờờ 2

ờở- x + 2 = 0

Hm s B trờn cỏc khong (- Ơ ; - 2),(0;
Hm s t cc i yC = 4 ti x CD = 2 ,
t cc tiu yCT = 0 ti x CT = 0 .
Gii hn: lim y = - Ơ
;
lim y = xđ - Ơ

xđ + Ơ

2) ,

ộx = 0
ờ
ờ
ờởx = 2

ộx = 0
ờ
ờx 2 = 2
ờở

NB trờn cỏc khong

(-

2;0),( 2; + Ơ )

Ơ

Bng bin thiờn
x
yÂ

-

+

y

0
2

0 + 0
4
0

2

0
4


Giao im vi trc honh:
cho

ộx 2 = 0
4
2
y = 0 - x + 4x = 0 ờờ 2

ờởx = 4
im vi trc tung: cho x = 0 ị

Giao
Bng giỏ tr:

x

- 2

-

2

+


y

ộx = 0
ờ
ờx = 2
ờở

4
y = logm

y= 0

0
4

2

2

y 0
0
0
0
th hm s nh hỡnh v bờn õy:
-2 - 2

O 2 2x
4
2
4
2
x - 4x + logb = 0 - x + 4x = logb (*)
S nghim ca phng trỡnh (*) bng s giao im ca (C) v d: y = logb
Da vo th, (C) ct d ti 4 im phõn bit khi v ch khi
0 < log b < 4 1 < b < 104

Vy, phng trỡnh (*) cú 4 nghim phõn bit khi v ch khi 1 < b < 104
Gi s A(x 0; y 0 ) . Do tip tuyn ti A song song vi d : y = 16x + 2011 nờn nú cú h
s gúc
f Â(x 0 ) = 16 - 4x 03 + 8x 0 = 16 4x 03 - 8x 0 + 16 = 0 x 0 = - 2

x0 = - 2 ị y0 =
Vy, A(- 2; 0)
Bi 6:

0

Cho hm s: y = 2x 3 + (m + 1)x 2 + (m 2 - 4)x - m + 1
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 2.
2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti giao im ca

(C )

vi trc tung.

3) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m hm s t cc tiu ti x = 0.

Gii
Vi m = 2 ta cú hm s: y = 2x 3 + 3x 2 - 1
6


CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON

Tp xỏc nh: D = Ă
o hm: y Â= 6x 2 + 6x
Cho y Â= 0 6x 2 + 6x = 0 x = 0 hoac x = - 1
Hm s ng bin trờn cỏc khong (- Ơ ; - 1),(0; + Ơ ) , nghch bin trờn khong
Hm s t cc i yC = 0 ti x CD = - 1 , t cc tiu yCT = 1 ti x CT = 0 .
Gii hn:

lim y = - Ơ

xđ - Ơ

(- 1; 0)

; lim y = + Ơ
xđ + Ơ

Bng bin thiờn
x
yÂ

1
+ 0
0

0
0 +

+Ơ
+Ơ

y

Giao im vi trc honh:
cho y = 0 2x 3 + 3x 2 - 1 = 0
Giao im vi trc tung: cho

1
x = - 1 hoac x =

y
1
2

x = 0ị y = - 1

-1 O

Bng giỏ tr:

1
x - 23 - 1 - 21
0
2

y -1
0 - 21 - 1 0
th hm s: nh hỡnh v bờn õy
Giao im ca (C ) vi trc tung: A(0; - 1)
x0 = 0 ; y0 = - 1
f Â(0) = 0
Vy, pttt ti A(0;1) l: y + 1 = 0(x - 0)
y = 2x 3 + (m + 1)x 2 + (m 2 - 4)x - m + 1
Tp xỏc nh D = Ă
y Â= 6x 2 + 2(m + 1)x + m 2 - 4
y ÂÂ= 12x + 2(m + 1)
Hm s t cc tiu ti x 0 = 0 khi v ch khi

ớù f Â(0) = 0
ù

ỡ ÂÂ
ùù f (0) > 0
ợ
ớù m 2 - 4 =
ùỡ
ùù 2m + 2 >
ùợ

1

x

2

-1

y= - 1

ớù 6.02 + 2(m + 1).0 + m 2 - 4 = 0
ùỡ
ù 12.0 + 2(m + 1) > 0
ùợù
ớù m = 2
0
ùỡ
m = 2 (loai m = - 2 vỡ - 2 < - 1)
ùù m > - 1
0
ợ

Vy, vi m = 2 thỡ hm s t tiu ti x 0 = 0 .
Bi 7 Cho hm s: y = x
x+1

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti cỏc giao im ca (C) vi

D :y = x

7


CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON

3) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s k ng thng d: y = kx ct (C) ti 2 im phõn
bit.
Gii
Hm s

y=

x
x+1

Tp xỏc nh:
o hm: y Â=

D = Ă \ {- 1}
1
> 0, " x ẻ D
(x + 1)2

Hm s ng bin trờn cỏc khong xỏc nh v khụng t cc tr.
Gii hn v tim cn:
lim y = 1 ; lim y = 1 ị y = 1 l tim cn ngang.
xđ - Ơ

xđ + Ơ

lim y = + Ơ

x đ (- 1)-

;

Bng bin thiờn
x
yÂ

y

lim y = - Ơ

x đ (- 1)+

ị x= - 1

l tim cn ng.
y

+

- 1

+

+
1

+Ơ

1
- Ơ
Giao im vi trc honh: cho y = 0 x = 0

Giao im vi trc tung: cho x = 0 ị y = 0
Bng giỏ tr: x
0
1
- 3
- 2
- 1
y 3/2 2
||
0 1/2
th hm s nh hỡnh v :
Phng trỡnh honh giao im ca (C) v

2
1
0.5
-2 -1

D

O 1

x

l:

x
= x x = x (x + 1) x 2 = 0 x = 0
x+1
x0 = 0 ị y0 = 0

f Â(x 0 ) = f Â(0) = 1
Phng trỡnh tip tuyn cn tỡm l: y - 0 = 1(x - 0) y = x
Xột phng trỡnh:

x
= kx
x+1

(*)

x = kx (x + 1)

ộx = 0
x = kx 2 + kx kx 2 + (k - 1)x = 0 x (kx + k - 1) = 0 ờờ
ờởkx = 1 - k (2)
d: y = kx ct (C ) ti 2 im phõn bit khi v ch khi phng trỡnh (*) cú 2
ớù k ạ 0

phõn bit phng trỡnh (2) cú duy nht nghim khỏc 0, tc l ùỡ
ùù 1 - k ạ 0
ợ

nghim
ớù k ạ 0
ù
ỡ
ùù k ạ 1
ợ

Vy, vi k ạ 0, k ạ 1 thỡ d ct (C ) ti 2 im phõn bit.
Bi 8
Cho hm s: y = - x 3 + 3x 2 - 1 cú th l (C)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
8


CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON

2) Da vo th (C), hóy tỡm iu kin ca tham s k phng trỡnh sau õy cú
3 nghim phõn bit: x 3 - 3x 2 + k = 0
Gii
Hm s y = - x 3 + 3x 2 - 1
Tp xỏc nh: D = Ă
o hm: y Â= - 3x 2 + 6x
Cho y Â= 0 - 3x 2 + 6x = 0 x = 0 hoac x = 2
Hm s ng bin trờn khong (0;2); nghch bin trờn cỏc khong (;0), (2;+)
y
Hm s t cc i y CD = 3 ti x CD = 2
t cc tiu y CT = - 1 ti x CT = 0
3
y= m-1
Gii hn: lim y = + Ơ ; lim y = - Ơ
xđ - Ơ

xđ + Ơ

Bng bin thiờn
x

yÂ

y

+

0
0

1

+

2
0
3

+


O
-1

1 2

3 x

-1

1

Giao im vi trc tung: cho x = 0 ị y = - 1
Tõm i xng: y ÂÂ= - 6x + 6 = 0 x = 1 ị y = 1 .
Tõm i xng: l I(1;1)
Bng giỏ tr:
x 1 0
1
23
y 3 1 1
3 1
th hm s nh hỡnh v:
x 3 - 3x 2 + k = 0 x 3 - 3x 2 = - k - x 3 + 3x 2 = k - x 3 + 3x 2 - 1 = k - 1 (*)
S nghim ca phng trỡnh (*) bng s giao im ca (C) v d: y = k 1
(*) cú 3 nghim phõn bit - 1 < k - 1 < 3 0 < k < 4
Vy, phng trỡnh ó cho cú 3 nghim phõn bit 0 < k < 4
Bi 9:
Cho hm s: y = x 4 + (m + 1)x 2 - 2m - 1 (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1.
2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im trờn (C ) cú honh bng 3) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) cú 3 im cc tr.
Gii
Vi m = 1 ta cú hm s: y = x 4 + 2x 2 - 3
Tp xỏc nh: D = Ă
o hm: y Â= 4x 3 + 4x
Cho

3.

y Â= 0 4x 3 + 4x = 0 x = 0

Hm s ng bin trờn cỏc khong (0; + Ơ ) , nghch bin trờn khong
Hm s t cc tiu yCT = 3 ti x CT = 0 .
y

(- Ơ ; 0)

9


CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON

Gii hn:

lim y = - Ơ

;

xđ - Ơ

lim y = + Ơ

xđ + Ơ

Bng bin thiờn
x

0
0

yÂ

+Ơ

+

+Ơ

+Ơ

y
3
Giao im vi trc honh:
ộx 2 = 1
Cho y = 0 x + 3x - 3 = 0 ờờ 2
x2 = 1 x = 1
x
=
3
ờở
Giao im vi trc tung: cho x = 0 ị y = - 3
4

2

th hm s:
x 0 = - 2 ị y 0 = 5
f Â(x 0 ) = f Â(- 2) = 4.(- 2)3 + 4.(- 2) = - 12 2
Vy, pttt cn tỡm l: y - 5 = - 12 2(x + 2) y =

y = x 4 + (m + 1)x 2 - 2m - 1 (1)
Tp xỏc nh D = Ă
y Â= 4x 3 + 2(m + 1)x (õy l mt a thc bc ba)



- 12 2x - 19 .

ộx = 0
y Â= 0 4x 3 + 2(m + 1)x = 0 2x (2x 2 + m + 1) = 0 ờờ 2
ờở2x = - m - 1 (*)
Hm s (1) cú 3 im cc tr (*) cú 2 nghim pbit khỏc 0

- m - 1> 0 m < - 1

Vy, vi
Bi 10:

m<- 1

thỡ hm s (1) cú 3 im cc tr.

x4
- x2 - 4
Cho hm s: y =
2

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th (C) v trc honh.
3) Tỡm m phng trỡnh sau õy cú ỳng 2 nghim phõn bit:

Gii
x4
Hm s: y = - x 2 - 4
Tp xỏc nh:
o hm: y Â=
Cho

2
D= Ă

2x 3 - 2x

ộx = 0
y Â= 0 2x 3 - 2x = 0 ờờ
ờởx = 1

Hm s ng bin trờn cỏc khong

(- 1;0),(1; + Ơ ) ,

nghch bin trờn cỏc khong

(- Ơ ; - 1),(0;1)

Hm s t cc i

y CD = - 4

ti

x CD = 0 .

10


CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON

Hm s t cc tiu
Gii hn:

9
2

y CT = -

lim y = + Ơ

ti

lim y = + Ơ

;

xđ - Ơ

x CT = 1 .
xđ + Ơ

Bng bin thiờn
x

yÂ

0
+ 0
4

- 1

0

+Ơ

y

-

9
2

1
0

+
+
+Ơ

-

9
2

Giao im vi trc honh:
Cho

y = 0

1 4
x - x2 - 4 = 0
2

Giao im vi trc tung: cho

ộx 2 = 4
ờ
x2 = 4 x = 2
ờ2
ờởx = - 2
x = 0ị y = - 4
-2

y
-1 O

1

2

x

th hm s:
Giao ca (C ) vi Ox: cho
Din tớch cn tỡm:

y = 0 x = 2

-4
2

S =

2

ũ- 2

x 4 -

-4.5

ổx 5 x 3
ử
ổ1 4
ử
224
ữ
ỗ ỗỗ x - x 2 - 4ữ
ữ
ữ
ỗ

dx
=
4
x
=
ữ
ữ
ũ- 2 ỗố2
ỗ
ứ
ố10
ứ- 2
3
15

1 4
x - x 2 - 4 dx =
2

2

(vdt)

x4
x4
- x2 = m
- x 2 - 4 = m - 4 (*)
2
2
4

giao im ca (C ) : y = x - x 2 - 4 v d : y = m - 4
2

2x 2 - 2m = 0 x 4 - 2x 2 = 2m

S nghim ca pt(*) bng vi s

T ú, da vo th ta thy pt(*) cú ỳng 2 nghim phõn bit khi v ch khi
ộm - 4 > - 4
ộm > 0
ờ
ờ
ờ
ờ
9
ờm - 4 = ờm = - 1
ờở
ờở
2
2

Bi 11
2

2

Cho hm s: y = (x - 2) - 1
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Da vo th (C) bin lun s nghim phng trỡnh: x 4 - 4x 2 = m .
Gii

Hm s: y = (x 2 - 2)2 - 1 = x 4 - 4x 2 + 4 - 1 = x 4 - 4x 2 + 3
Tp xỏc nh: D = Ă
3
o hm: y Â= 4x - 8x
ộx = 0
3
2
ờ
Â
Cho y = 0 4x - 8x = 0 4x (x - 2) ờ
ờởx = 2
11


CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON

Hm s ng bin trờn cỏc khong (- 2;0),( 2; + Ơ ) , nghch bin trờn cỏc khong
(- Ơ ; -

2),(0; 2)

Hm s t cc i y CD = 3 ti x CD = 0 .
Hm s t cc tiu y CT = - 1 ti x CT = 2 .
Gii hn: lim y = + Ơ
;
lim y = + Ơ
xđ - Ơ

xđ + Ơ

Bng bin thiờn
x

-



yÂ

2

0

+Ơ

0
+ 0
3

2

+

0 +
+Ơ

y
1
Giao im vi trc honh:
ộx 2 = 1

ộx = 1
ờ
ờờ
Cho y = 0 x - 4x + 3 = 0 ờ 2
x
=
3
ờở
ờởx = 3
Giao im vi trc tung: cho x = 0 ị y = 3
4

2

1
y

y= m+ 3

3

x
x 2 1 0
12
-1
1
-2
O
2
y 3 1 3 1 3

-1
th hm s: nh hỡnh v bờn:
x 4 - 4x 2 = m x 4 - 4x 2 + 3 = m + 3 (*)
S nghim ca phng trỡnh (*) bng s giao im ca (C) v d: y = m + 3
Ta cú bng kt qu nh sau:
S giao im
S nghim
m
m+3
ca (C) v d
ca pt(*)
m>0
m+3>3
2
2
m=0
m+3=3
3
3
4 < m < 0
1< m + 3 < 3
4
4
m = 4
m + 3 = 1
2
2
m < 4
m + 3 < 1
0

0

Bng giỏ tr:

Bi 12:
2x + 1
x- 1
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im trờn (C) cú tung bng 5.
Gii
Hm s y = 2x + 1

Cho hm s: y =

Tp xỏc

x- 1
nh: D = Ă \ {1}

12


CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON

o hm:

y Â=

- 3
(x - 1)2

< 0, " x ẻ D

Hm s luụn nghch bin trờn cỏc khong xỏc nh v khụng t cc tr.
Gii hn v tim cn:
lim y = 2
; lim y = 2 ị y = 2 l tim cn ngang.
y
xđ - Ơ

lim y = - Ơ

x đ 1-

xđ + Ơ

; lim y = + Ơ

ị x= 1

x đ 1+

Bng bin thiờn
x
yÂ

y

l tim cn ng.

1

+

+

+

2

1
O 1 2

+Ơ

2

- Ơ

Bng giỏ tr:

x 2 0
1
y 1 1
||
4
th hm s nh hỡnh v :
2x + 1
= 5 2x 0 + 1 = 5x 0 - 5
y 0 = 5 0

x0 - 1
- 3
f Â(x 0 ) =
= - 3
(2 - 1)2

Phng trỡnh tip tuyn cn tỡm:
Bi 13:
Cho hm s:

4

x

-2

Giao im vi trc honh: cho y = 0 x = - 1
2
Giao im vi trc tung: cho x = 0 ị y = - 1



5
4
3
2

-1

24

5
x0 = 2

y - 5 = - 3(x - 2) y = - 3x + 11

x3
y = f (x ) = + 2x 2 - 3x
3

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im trờn (C) cú honh x0, vi

f ÂÂ(x 0 ) = 6 .
3) Tỡm tham s m phng trỡnh x 3 - 6x 2 + 9x + 3m = 0 cú ỳng 2 nghim phõn
bit.
Gii
3
Hm s: y = f (x ) = - x + 2x 2 - 3x
3

Tp xỏc nh: D = Ă
o hm: y Â= - x 2 + 4x - 3
Cho y Â= 0 - x 2 + 4x - 3 x = 1; x = 3
Hm s ng bin trờn khong (1;3), nghch bin trờn cỏc khong
;1), (3;+)
Hm s t cc i y CD = 0 ti xCD = 3 ,
t cc tiu y CT = - 4 ti x CT = 1

(

3

13


CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON

Gii hn:

lim y = + Ơ

Bng bin thiờn
x

3
0
0

+

+

y
Tõm i xng:

xđ + Ơ

1
0

yÂ

lim y = - Ơ

;

xđ - Ơ

-

+


4
3



y ÂÂ= - 2x + 4 = 0 x = 2 ị y = -

Tõm i xng l:

ổ 2ử
ữ
I ỗỗỗ2; - ữ
ữ
ố
3ứ

2
.
3

Giao im vi trc honh: cho y = 0 x = 0; x =
Giao im vi trc tung: cho x = 0 ị y = 0
Bng giỏ tr:
x 0
1
2
34
y 0 4/3 2/3 0 4/3
th hm s nh hỡnh v:



f ÂÂ(x 0 ) = 6 - 2x 0 + 4 = 6 x 0 = - 1 ị y 0 =

y
y= m
O 1

3

2

3

4

x

-2/ 3
-4/ 3

16
3

f Â(x 0 ) = f Â(- 1) = - (- 1)2 + 4(- 1) - 3 = - 8

16
8
= - 8(x + 1) y = - 8x 3
3
1 3
3
2
3
2
2
x - 6x + 9x + 3m = 0 x - 6x + 9x = - 3m - x + 2x - 3x = m (*)
3
S nghim phng trỡnh (*) bng s giao im ca (C ) v d : y = m

Phng trỡnh tip tuyn cn tỡm:

y-

Da vo th ta thy phng trỡnh (*) cú ỳng 2 nghim phõn bit

ộm = 0
ờ
ờ
ờm = - 4
ờở
3

Bi 14
1 4
x - 2x 2
2
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s nờu trờn.
2) Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th (C) vi trc honh.
Gii

Cho hm s: y =

1 4
x - 2x 2
2
Tp xỏc nh: D = Ă
o hm: y Â= 2x 3 - 4x

Hm s:



Cho

y=

ộx = 0
y Â= 0 2x 3 - 4x = 0 ờờ
ờởx = 2

Hm s ng bin trờn cỏc khong
(- Ơ ; -

(-

2;0),( 2; + Ơ ) ,

nghch bin trờn cỏc khong

2),(0; 2)

Hm s t cc i

y CD = 0

ti

x CD = 0 .
14


CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON

Hm s t cc tiu y CT = - 2 ti x CT

Gii hn: lim y = + Ơ ; lim y = + Ơ
xđ - Ơ

= 2.

xđ + Ơ

Bng bin thiờn
x
yÂ

-



2

0

+

+Ơ

0
2
0 0
0

+
+

+Ơ

y
- 2

- 2

y

Giao im vi trc honh:
Cho

ộx 2 = 0
ộx = 0
ờ
ờ

ờ2
ờx = 2
ờởx = 4
ờở
cho x = 0 ị y = 0

y= m

1
y = 0 x 4 - 2x 2 = 0
2

Giao im vi trc tung:

Bng giỏ tr:
x -2 - 2 0
2
2
y 4 -2 0 -2 0
th hm s: nh hỡnh v bờn:
2 Giao ca (C) vi Ox: cho y = 0 x = 0; x = 2
2
0
Din tớch cn tỡm: S = ũ- 2 1 x 4 - 2x 2 dx = ũ- 2 ( 1 x 4 -

-2

- 2

2

O

2 x

-2

2x 2 )dx +

2

1

ũ0 ( 2 x

2
2
0
2
ổx 5 2x 3 ử
ổx 5 2x 3 ử
32
32
64
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
S = ỗ + ỗỗỗ = + =
ữ
ữ
ữ
ữ
ố10
ứ
ố
ứ
3 -2
10
3 0
15
15

15

4

- 2x 2 )dx

(vdt)

Bi 15:
Cho hm s:

y=

x 2 (x - 3)
2

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti giao im ca (C) vi trc honh.
3) Tỡm iu kin ca k phng trỡnh sau õy cú nghim duy nht:
3
x - 3x 2 - k = 0 .
Gii
x 2 (x - 3) x 3 - 3x 2
=
Hm s: y =
2
2
Tp xỏc nh: D = Ă
3x 2 - 6x
2

2
y Â= 0 3x - 6x = 0 x = 0; x = 2

o hm:

y Â=

Cho
Hm s B trờn cỏc khong (- Ơ ;0),(2; + Ơ ) , NB trờn khong
Hm s t cc i yC = 0 ti xCD = 0
t cc tiu yCT = 2 ti x CT = 2 .
Gii hn:

lim y = - Ơ

xđ - Ơ

(0;2)

; lim y = + Ơ
xđ + Ơ

Bng bin thiờn
15


CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON


x

0

- Ơ

+

yÂ

0

2


+Ơ

0

0
y



- Ơ

y ÂÂ= 3x - 3 = 0 x = 1 ị y = -

+
+Ơ

2
1 . Tõm i xng: I (1; - 1)

ộx = 0
y = 0 x 3 - 3x 2 = 0 ờờ
ờởx = 3
cho x = 0 ị y = 0

Giao im vi trc honh:

Giao im vi trc tung:
th hm s: nh hỡnh v bờn :

y
y=k
O 1

-1

2 3

x

-1
-2

Vi

x 0 = 0, y 0 = 0 ị f Â(x 0 ) = 0 .

Pttt l:

ộx = 0
y 0 = 0 ờờ 0
ờởx 0 = 3
y - 0 = 0(x - 0) y = 0

Vi

x 0 = 3, y 0 = 0 ị f Â(x 0 ) =

9
.
2

Pttt l:

y- 0=

Giao im ca (C) vi trc honh: cho

9
9
27
(x - 3) y = x 2
2
2

x 3 - 3x 2
= k

x - 3x - 2k = 0 x - 3x = 2k
2
3

2

3

2

S nghim ca pt(*) bng s giao im ca (C ) v ng thng d : y = k
Da vo th ta thy, pt(*) cú ỳng 1 nghim khi v ch khi: k > 0 hoc
Bi 16
Cho hm s:

y=

k<- 2

3 - 2x
x- 1

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C ) ca hm s.
2) Vit pt tip tuyn ca (C) bit tip tuyn vuụng gúc vi ng thng
D :x - y + 1= 0

3) Tỡm cỏc giỏ tr ca k (C) v d: y = kx - 3 ct nhau ti 2 im phõn bit.
Gii
Hm s:
Tp xỏc

3 - 2x
- 2x + 3
=
x- 1
x- 1
nh: D = Ă \ {1}
y=

o hm:

y Â=

- 1
(x - 1)2

< 0, " x ẻ D

Hm s nghch trờn cỏc khong xỏc nh v khụng t cc tr.
Gii hn v tim cn:
lim y = - 2 ; lim y = - 2 ị y = - 2 l tim cn ngang.
xđ - Ơ

xđ + Ơ

16


CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON
lim y = - Ơ

x đ 1-

; lim y = + Ơ

Bng bin thiờn
x

1

l tim cn ng.
+



yÂ

y

ị x= 1

x đ 1+



2

+

Giao im vi trc honh:

2
y = 0 - 2x + 3 = 0 x =

Giao im vi trc tung: cho x = 0 ị y = - 3
Bng giỏ tr:
x 0 1/2 1 3/2
y 3 4
||
0 1
th hm s nh hỡnh v bờn õy

3
2

y

2

O

1

2

x

-1
-2

-3
-4



(C ) : y =

- 2x + 3
x- 1

Tip tuyn vuụng gúc vi ng thng

D :y = x + 1

nờn cú h s gúc

k = f Â(x 0 ) = - 1
ộx - 1 = 1
ộx = 2
2
ờ0
ờ0
=
1

(
x
1)
=
1

0
ờx - 1 = - 1
ờx = 0
2
(x 0 - 1)
ờở 0
ờở 0
Vi x 0 = 2 ị y 0 = - 1 . pttt l: y + 1 = - 1(x - 2) y = - x + 1



- 1


Vi

x0 = 0 ị y0 = - 3 .

Xột phng trỡnh :

pttt l:

y + 3 = - 1(x - 0) y = - x - 3

3 - 2x
= kx - 3 3 - 2x = (kx - 3)(x - 1) kx 2 - (1 + k )x = 0
x- 1

(*)

S nghim ca phng trỡnh (*) bng s giao im ca (C) v d: y = kx
(C) v d cú 2 im chung (*) cú 2 nghim phõn bit
ớù a ạ 0
ùỡ

ùù D > 0
ợ

Vy, vi

ớù k ạ 0

ỡù
ùù (1 + k )2 > 0
ùợ

ớù k ạ 0
ù
ỡ
ùù k ạ - 1
ợ

thỡ (C) ct d ti 2 im phõn bit.
1 4 3 2 5
y
=
x + x Bi 17Cho hm s:
4

2
4
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im cc tiu ca nú.
3) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh sau õy cú 4 nghim phõn bit:
kạ 0

v

kạ - 1

x 4 - 6x 2 + 1 - 4m = 0
Gii
17


CHUYấN ễN THI TT NGHIP MễN TON
1 4 3 2 5
y
=
x + x Hm s:
4
2
4

Tp xỏc nh: D = R
3
o hm: y Â= - x + 3x
ộx = 0
ờ

Cho y Â= 0 - x + 3x = 0 x (- x + 3) ờ
ờởx = 3
3

2

Hm s ng bin trờn cỏc khong
(-

3),(0; 3) ,

(- Ơ ; -

nghch bin trờn cỏc khong

3;0),( 3; + Ơ )

Hm s t cc i

y CD = 1

ti

t cc tiu

y CT = -

5
4

Gii hn:

lim y = - Ơ

ti

x CT = 0 .

lim y = - Ơ

;

xđ - Ơ

;

xCD = 3

xđ + Ơ

Bng bin thiờn
x
yÂ


+
+

-

0

0

3

3

0 +

0

1



1

y

- Ơ

-

5
4

- Ơ

y

Giao im vi trc honh:
1
3
5
y = 0 - x4 + x2 = 0
4
2
4

1

ộx = 1
ờ
ờ
ờởx = 5
5
x = 0ị y = 4

ộx 2 = 1
ờ
ờx 2 = 5
ờở

Giao im vi trc tung: cho

- 5

-1
- 3 O

5

1
3

5
4

x
y = -1 - m

th hm s: nh hỡnh v bờn õy
im cc tiu ca th cú:


x = 0ị y = -

5
4

f Â(x 0 ) = f Â(0) = 0

5
5
= 0(x - 0) y = 4
4
x 4 - 6x 2 + 1 - 4m = 0 - 1 x 4 + 3 x 2 = 1 - m - 1 x 4 + 3 x 2 - 5 = - 1 - m (*)
4
2

4
4
2
4
S nghim ca phng trỡnh (*) bng s giao im ca (C ) v d: y = 1

Vy, tip tuyn ti im cc i ca hm s l:

y+

m. Do

ú, da
vo th ta thy (*) cú 4 nghim phõn bit khi v ch khi
5
1
1
< - 1- m < 1 - < - m < 2 - 2 < m <
4
4
4
Vy, khi - 2 < m < 1 thỡ phng trỡnh ó cho cú
4
-



4 nghim phõn bit.

BI TP V XẫT TNH N IU CA HM S

18


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN

19


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN

Bài 5: Tìm m để hàm số y = (4m - 5)cosx + (2m-3)x + m2 – 3m + 1 giảm

Bài 6: Tìm m để hàm số

1
1
y  mx  sinx  sin 2 x  sin 3x
4
9

tăng

x  R

x  R

20


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN

BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

  '  9m2  3m m  1  0
 3m  4m  1  0  m  0 hoÆc m 

1
4

Vậy m < 0 hoặc m > 1/4 thì hàm số có cực trị.
Bài 2: Cho hàm số :

y

1 3
1
x  m  1 x 2  3 m  2  x  .
3
3

Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0
Giải
f '(0)  0
Hàm số đạt cực đại tại x  0  
f ''(0)  0
Ta có

f '(x)  x 2  2 m  1 x  3 m  2 

f ''(x)  2x  2 m  1) 

f '(0)  3  m  2  ; f "  0   2 m  1

3  m  2   0
m  2
Thay vµo hÖ : 

m  1
2  m  1  0

Vậy với m = 2 thì hàm số đạt cực đại tại x =0

21


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN
4
3
2
Bài 3: Tìm m để hàm số y  x  4mx  3  m  1 x  1 có một cực trị.

Giải
Ta có:

y '  4x 3  12mx 2  6 m  1 x  0
x  0
 2
2x  6mx  3(m  1)  0

(1)

(2)

Để hàm số có một cực trị thì (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có hai
nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0.
(2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép   '  0
 9m2  6(m  1)  0 

1 7
1 7
m
3
3

(2) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0
 '  0

3(m  1)  0

1 7
1 7
m 
m 

3
3  m  1
m  1


Vậy với

1  7 1  7 
m 
;
  1 hàm số có một cực trị.
3 
 3

Bài 4:
2
Cho hàm số: y  x  2mx  2
mx  1

. Tìm m để hàm số đạt cực đại,cực tiểu

tại hai điểm x1, x2 thỏa mãn x1+x2 = 4x1.x2.
Giải
mx 2  2x  4m
Ta có: y ' 
0
(mx  1)2
 f(x)  mx 2  2x  4m  0

Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1, x2


m  0
m  0
m  0
 1



1

 1 1
  '  0
 1  4m2  0    m   m    ;  \ 0 (*)
2
 2 2
 1
 2
 2
4m

3



f    0

0
m
 m
  m 

22


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN

2


 x1  x 2 
Theo Vi-ét ta có: 
m
 x1.x 2  4
2
1
 x1  x 2  4x1.x 2   16  m 
m
8
Tho¶ mãn (*)
Vậy m = 1/8 thì hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn x1+ x2 = 4x1.x2.
Bài 5:
x2  x  m
Cho hàm sô : y 
TÌm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm
x 1

về hai phía của trục Oy.
Giải
x 2  2x  1  m
Ta có y ' 
0
(x  1)2
 f(x)  x 2  2x  1  m  0

Để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục Oy thì f(x) = 0 có hai
nghiệm phân biệt thỏa mãn:
 x1  0  x 2


 x1  1
af(0)  0
1  m  0


f( 1)  0
1  m  0
 m 1

23


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN

CHỦ ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LÔGARIT
A.PHƢƠNG TRÌNH,BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ
I. PHƢƠNG TRÌNH MŨ
Bài 1 Giải các phương trình mũ
a) 22 x2  3.2x  1  0
b) 22x+5 = 24x+1.3-x-1
Giải:
2 x2
x
2x
x
a) 2  3.2  1  0  4.2  3.2  1  0
Đặt t  2x ; t  0 . Khi đó phương trình trở thành: 4t 2  3t  1  0
1
Phương trình này có nghiệm t  1; t  .

4
+ Với t  1 : không thỏa điều kiện.
1
4

1
4

+ Với t   2 x   x  2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = -2.
b) 22x+5 = 24x+1.3-x-1
2x+5
= 3x+1.8x+1.3-x-1
 2
2x+5
= 8x+1
 2
2x+5
= 23(x+1)
 2
 2x + 5 = 3x + 3
 x = 2.
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Bài 2: a.Giải phương trình : 6.9x  13.6x  6.4x  0
b. Giải phương trình 7 x  2.71x  9  0 .
Giải
2x

x

a. Chia hai vế phương trình cho 4 :

x

3
3
6   - 13   + 6 = 0
2
2

x

3
*Đặt t =   . Điều kiện t > 0 được phương trình bậc hai
2

6.t2 – 13t + 6 = 0
*Hai nghiệm t 

3
2
hoặc t = (hai nghiệm thỏa mãn điều kiện )
2
3

*Nghiệm của phương trình (1): là x = -1 hay x = 1
b.
7
9  0
7x

 7 2 x  9.7 x  14  0
 7 x  2.

7 x  7
x  1
 x

 x  log 7 2
7  2
24


CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN

II.BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ
Bài 1: Giải các bpt mũ sau
a) 6 x x  36
(1)
Giải :
a) (1)  6 x x  6 2
2

b) 9x + 6.3x – 7 > 0

(2)

2

 2  x  1
nghiệm 2  x  1

 x2  x  2  0

Vậy bpt có
b) Đặt t = 3x, ( t > 0)

Khi đó bpt trở thành: t 2 + 6t -7 > 0

t  7

t  1
t > 1.  3 x  1  x  0

Kết hợp với điều kiện t > 0 ta được
Vậy bpt có nghiệm x > 0.
Bài 2 : Giải bất phương trình: 3x  9.3x  10  0
Giải : Đặt t = 3x , đk: t > 0
Bpt trở thành t2 – 10t + 9 < 0
1 t  9

 1  3 x  32
0 x2

Vậy bất phương trình có nghiệm 0Bài 3 : Giải bất phương trình: 49x+1 + 40.7x+2 - 2009 < 0
Giải :
pt  49.72x + 40.49.7x - 2009 =<0
 72x + 40.7x - 41 < 0
Đặt t = 7x > 0
Bất phương trình trở thành t2 + 40.t - 41 < 0

 -41 < t < 1
Vì t>0 nên
0  t 1

 0  7x 1
 x  log 7 1
 x0

B. PHƢƠNG TRÌNH,BẤT PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT
I. PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT
Bài 1: Giải các phương trình logarit sau
a) log2x + log4x + log8x = 11
2
3
b) lg x  lg x  4  0

Giải :
a) Điều kiện: x > 0
log2x + log4x + log8x = 11
25