Chuyên đề tích phân phạm thanh phương
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.21 MB, 54 trang )
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
Tác giả: PHẠM THANH PHƢƠNG (Đà Nẵng)
Biên tập: Lê Bá Bảo (Huế)
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG
Chủ đề 2:
I. ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
1. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số f liên tục trên K và a , b là hai số thực bất kì thuộc K . Nếu F là một
nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F b F a gọi là tích phân của f từ a đến b , ký hiệu
b
b
a
a
f x dx . Nếu a b thì f x dx gọi là tích phân của
f trên đoạn a; b .
b
Hiệu số F b F a còn được ký hiệu là F x , do đó nếu F là một nguyên hàm của f
a
b
trên K thì
a
Vì
b
f x dx F x F b F a
a
.
b
f ( x)dx là một nguyên hàm bất kỳ của f nên ta có
f x dx
a
f (x)dx a .
b
Ta gọi a là cận dưới, b là cận trên, x là biến lấy tích phân, f là hàm số dưới dấu tích
phân, f x dx là biểu thức dưới dấu tích phân.
Tích phân chỉ phụ thuộc vào 2 cận tích phân và biểu thức dưới dấu tích phân, nó không
phụ thuộc vào biến lấy tích phân, tức là:
b
a
b
b
a
a
f x dx f t dt f u du F b F a
3
1
1
3
1
1
1
Ví dụ 1: I 4 x
dx 2 x 2 ln 2 x 1 18 ln 5 2 ln1 16 ln 5 .
2x 1
2
2
2
2
1
1
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
-1-
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
3
Ví dụ 2: I
x 1
x
1
2
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
3
x2
3
1
x2 2x 1
dx
dx x 2 dx 2x ln x
x
x
2
1
1
1
3
9
1
6 ln 3 2 ln1 ln 3 .
2
2
y4
2
3
2
Ví dụ 3: I y 2 y dy y 2 2 ln y
y
1
4
1
2
1
27
4 4 2 ln 2 1 2 ln1
2 ln 2
4
4
cos 2t
1
1
Ví dụ 4: I 2 cos t sin 2t dt 2 sin t
2 2 0 1.
2
2
2
0
0
2
4
4
Ví dụ 5: I 4 cot 2 s ds 3 1 cot 2 s ds 3s cot s 4
2
2
2
3
3
3 4
.
1
0
4
4
2
2. TÍNH CHẤT
Với 2 hàm số f , g liên tục trên K và a, b, c là 3 số thực bất kỳ thuộc K , ta có:
a
f x dx 0
a
b
c
c
a
b
a
f x dx f x dx f x dx
b
b
a
a
b
a
a
b
f x dx f x dx
b
b
b
a
a
a
f x g x dx f x dx g x dx
k. f x dx k. f x dx, k .
Dùng định nghĩa tích phân, ta chứng minh được 2 tính chất sau:
Nếu f x 0 trên a; b thì
b
f x dx 0 .
a
Nếu f x g x trên a; b thì
b
b
a
a
f x dx g x dx .
II. PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH, ĐƢA VỀ TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN
- Phương pháp này tính được các tính phân hàm đa thức, hàm có chứa dấu trị tuyệt đối,
1 số hàm lượng giác đơn giản.
- Để tính tích phân theo phương pháp này, cần phải nắm định nghĩa tích phân, các tính
chất tích phân và thuộc bảng nguyên hàm để có thể biến đổi hàm dưới dấu tích phân về các
hàm thường gặp. Từ đó, học sinh có thể linh hoạt đưa bài toán mới về những bài toán cơ bản.
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
-2-
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
1
Ví dụ 1: Tính I
0
Gợi ý: Đặt
x
x 1
2
x
x 1
2
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
dx .
A x 1 B
A
B
x
, x 1
, x 1
2
2
2
x 1 x 1
x 1
x 1
A 1
A 1
x
1
1
. Do đó
.
x Ax A B, x 1
2
2
x
1
x
1
x
1
A B 0 B 1
1
1
1
1 1
1
Khi đó: I
d
x
ln
x
1
ln 2 .
2
x 1 x 1
x 1 0
2
0
Ta tìm ra A, B như trên bằng phương pháp đồng nhất hệ số. Ngoài ra ta có thể phân tích và biến đổi
x
trực tiếp như sau:
x 11
x 1 x 1
x x 1
Tính I
dx .
x 4
2
2
1
1
, cách này hiệu quả hơn.
x 1 x 12
1
Ví dụ 2:
2
0
x x 1 x2 x x 2 4 x 4
1 2x
4
.
Gợi ý: Với mọi x 0;1 , ta có: 2
2
1 . 2
2
2
2 x 4 x 4
x 4
x 4
x 4
1 2x
4
1
2x
4
Lúc đó: I 1 . 2
2
dx dx 2
dx 2
dx
2
2
x
4
x
4
x
4
x
4
0
0
0
0
1
1
1
1
2
1
1
x 2 x 2 dx
1 d x 4
dx 2
2 0 x 4
0
0 x 2 x 2
1
2
1
1
1 d x 4
1
1
dx 2
dx
2
x
2
x
2
x
4
0
0
0
1
1 1
1
x2 1
1 3
1
x ln x2 4 ln
1 ln ln .
0 2
0
x2 0
2 4
3
Ví dụ 3: Tính I
2
x
2
1 dx .
2
2
x 2 1, khi x 2 1 0
x 1, khi x , 1 1,
Gợi ý: Ta có: x 1
2
2
2
1
x
,
khi
x
1
0
1 x , khi x
1,1
2
Khi đó: I
1
2
1
2
1
1
1
2
x2 1 dx x 2 1 dx x 2 1 dx
1
2
x2 1 dx 1 x 2 dx x 2 1 dx
1
1
x3
1
2
x3 1 x3
x
x x 4 .
3 1 3
3
2
1
Ví dụ 4: Tính I cos 4 xdx .
0
Gợi ý: Dùng công thức lượng giác: cos x cos x
4
2
2
2
1 cos 2 x cos2 2 x 2 cos 2 x 1
2
4
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
-3-
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
1 cos 4 x
2 cos 2 x 1
cos 4 x 4 cos 2 x 3
2
4
8
1
1 sin 4 x
3
Khi đó : I cos 4 x 4 cos 2 x 3 dx
.
2 sin 2 x 3x
80
8 4
8
0
6
Ví dụ 5: Tính I sin x.cos 5x dx .
0
Gợi ý: Dùng công thức lượng giác: sin x.cos 5x
16
Ta có: I sin 6 x sin 4 x dx
20
1
sin 6x sin 4x
2
1 cos 6 x cos 4 x
1
6 .
2
6
4
48
0
Bài tập tƣơng tự:
2x 1
Bài tập 1. Tính I 2
dx .
1 x 4x 4
3x 2 1
Bài tập 2. Tính I 2
dx .
0 x 9
2
2
3
4
Bài tập 4. Tính I sin 2 x dx .
Bài tập 3. Tính I 1 x dx .
0
0
4
Bài tập 5. Tính I 4 cos 4 x 3 cos 2 x dx .
0
2. PHƢƠNG PHÁP DÙNG VI PHÂN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
- Một số bài toán đơn giản không cần phải đưa ra biến mới, tức là không cần đặt t t( x) ,
biến lấy tích phân vẫn là biến x , cận lấy tích phân không đổi. Nói cách khác, ta có thể trình bày
gọn bằng công thức vi phân
d t x t / x dx . Cách làm này ngắn gọn, hiệu quả trong rất
nhiều bài toán tích phân.
- Nếu F x là một nguyên hàm của f x và t t x là một hàm của biến x thì
b
b
f t x d t x F t x a
.
a
Chẳng hạn với t là hàm bậc nhất t t x x 0 thì
b
f x dx
a
b
b
f x d x .F x
a
1
1
.
a
4
Ví dụ 1: Tính I tan x dx
0
Gợi ý: I
4
0
4 d cos x
ln cos x ln 2 ln 2 .
sin x
tan xdx
dx
4
cos x
cos x
2
0
0
0
4
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
-4-
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
l
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
dx
e 1
Ví dụ 2: Tính I
x
0
l ex 1 ex
l
l
l
l d ex 1
dx
ex
Gợi ý: I x
dx dx x
dx dx x
ex 1
e 1
0 e 1
0
0
0 e 1
0
0
l
1
1
2e
x ln e x 1 1 ln( e 1) ln 2 ln
0
0
1 e
1 2sin 2 x
dx
1 sin 2 x
0
4
Ví dụ 3: Tính I
cos2 x
1 4 d 1 sin 2 x 1
1
Gợi ý: I
dx
ln 1 sin 2 x 4 ln 2 .
1 sin 2 x
2 0 1 sin 2 x
2
2
0
0
4
3
Ví dụ 4: Tính I 2 x 3 dx
1
3
3
3
1
1
1 2 x 3 2 3 2 x 3 2 3 27 5 5
Gợi ý: I 2 x 3 2 d 2 x 3 .
.
3
1
1
21
2
3
3
2
Ví dụ 5: Tính I
ln 3
1 e
x
0
Gợi ý: I
ln 3
0
e x dx
x
e dx
1 e
x
3
3
ln 3
3
x
2
1 e d 1 e
0
x
1 e
x
1
2
1
2
ln 3
0
2
ln 3
1 e 0
x
2 1.
Bài tập tƣơng tự:
4
Bài tập 1. Tính I cot x dx .
0
3
Bài tập 2. Tính I
0
2 tan 3 x
dx .
cos 2 x
2 cos 2 x 1
Bài tập 3. Tính I
dx .
3 sin 2 x
0
6
Bài tập 5. Tính I
ln 6
e
x
4x 3
dx .
2 2 x 3x 1
3
Bài tập 4. Tính I
2
e x 3 dx .
0
3. PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
- Cho các hàm số u x , v x có đạo hàm liên tục trên K và hai số thực a , b thuộc K , ta
b
b b
có: u( x)v / ( x)dx u( x)v( x) v( x)u/ ( x)dx . Viết gọn:
a a
a
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
b
b b
u
d
v
uv
a vdu .
a
a
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
-5-
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
- Nếu hàm số f x là tích của 2 trong 4 hàm: hàm lũy thừa y x , hàm số mũ
y ax , y e x , hàm lôgarit y log a x, y ln x , hàm lượng giác y sin x, y cos x thì ta sử dụng
phương pháp tích phân từng phần, tức là biến đổi f x dx về dạng u( x)v/ ( x)dx .
- Việc lựa chọn u và dv phải thỏa mãn các điều kiện sau: du đơn giản, v dễ tìm, tích
phân mới
b
b
a
a
vdu đơn giản hơn tích phân ban đầu udv . Chọn hàm để đặt bằng u theo thứ tự ưu
tiên giảm dần như sau: hàm lôgarit, hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm lƣợng giác.
1
Ví dụ 1: Tính I x.ln 1 x 2 dx .
0
Gợi ý: Đặt u ln 1 x2 , dv x dx , ta có: du
2x
x2
,
chọn
.
d
x
v
2
1 x2
1
1
x2
x3
ln 2
x
2 1
Khi đó: I ln 1 x
dx
x
dx
2
0 0 1 x
2
2
1 x2
0
1 ln 2 1 ln 2
ln 2 x2 1
1
ln(1 x2 )
ln 2
2 2 2
2 2
2
2
0
1
Ví dụ 2: Tính I x 2 .e x dx .
0
Gợi ý: Đặt u x2 , dv e x dx , ta có: du 2xdx , chọn v e x .
x
Khi đó: I e .x
2
1
1
1
1
2 x.e dx 2K , với K x.e x dx .
0 0
e
0
x
Tính K: Đặt u x, dv e x dx , ta có: du dx , chọn v e x .
Khi đó: K xe x
1
1
1
1 1
2
e x dx e x 1 1 .
0 0
0
e
e e
e
1
5
Vậy I 2 .
e
2
ln x
dx
3
1 x
Ví dụ 3: Tính I
dx
dx
1
, ta có du , chọn v 2 .
3
x
x
2x
2
ln x 2
dx
ln 2
1 2 3 2 ln 2
Khi đó: I 2 3
.
2
8
16
2x 1 1 2x
4x 1
Gợi ý: Đặt u ln x , dv
e2
1
1
Ví dụ 4: Tính I 2
dx
ln x
e ln x
e
x 1 ln x
1 ln x
Gợi ý: I
d
x
e x.ln 2 x dx
2
e ln x
e2
Đặt u x 1 ln x , dv
2
1
1
.
dx , ta có du ln x dx , chọn v
2
ln x
x.ln x
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
-6-
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
x ln x 1 e 2 e
e2
e2
Khi đó: I
dx e 2 e e .
ln x
2
2
e e
2
3 ln x
dx
2
1 ( x 1)
3
Ví dụ 5: Tính I
Gợi ý: Đặt u 3 ln x , dv
I
dx
x 1
2
, ta có du
dx
1
, chọn v
. Khi đó:
x
x1
3
3
3 ln x 3
dx
3 ln 3 3
1
1
3 ln 3
x 3 1
27
dx
ln
3 ln .
x 1 1 1 x x 1
4
2 1 x x 1
4
x1 1 4
16
Bài tập tƣơng tự:
2
1
Bài tập 1. Tính I x.ln x 1 dx .
Bài tập 2. Tính I x 2 x 1 e x dx .
1
0
2
2
Bài tập 3. Tính I x.sin x dx .
Bài tập 4. Tính I x.e x dx .
0
0
e
Bài tập 5. Tính I ln x dx .
1
4. PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1
- Đặt t t( x) , với x là biến ban đầu, t là biến mới. Khi đổi biến phải đổi cận.
- Cho hàm số t t x có đạo hàm liên tục trên K , hàm số y g t liên tục và hàm hợp
g t( x) xác định trên K , a và b là 2 số thuộc K , ta có
t( b)
b
a g t x .t x dx t(a) g t dt
/
.
b
- Các bước thực hiện phép đổi biến số dạng 1 để tính tích phân I f x dx :
a
+ Bước 1: Đặt t t x , suy ra dt t / x dx .
Đổi cận: x a t t a , x b t t b .
+ Bước 2: Biến đổi f x dx thành g t dt .
+ Bước 3: Khi đó
1
dx ln x x2 a C
x a
2
cho). Giả sử G t là một nguyên hàm của g t thì I G t
(đơn giản hơn tích phân đã
.
4
Ví dụ 1: Tính I
0
tan
dx
2
x 3 tan x 2 cos 2 x
Gợi ý: Đặt t tan x dt
.
1
dx . Đổi cận: x 0 t 0, x t 1 .
2
4
cos x
1
1
t 2 t 1 dt
1
1
dt
dt
Lúc đó: I 2
0 t 3t 2
0 t 1 t 2
0 t 1 t 2
1
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
-7-
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
1
1
t 1 1
4
dt ln
ln .
t 1 t 2
t2 0
3
0
1
2
x
Ví dụ 2: Tính I
x 1
1 1
dx
Gợi ý: Đặt t x 1 x t 2 1 dx 2tdt . Đổi cận: x 1 t 0, x 2 t 1 .
t2 1
t3 t
2
2tdt 2
dt 2 t 2 t 2
dt
1 t
1 t
1 t
0
0
0
1
1
Lúc đó: I
1
t3 t2
1 11
2 2t 2 ln 1 t 4 ln 2 .
3 2
0 3
2
Ví dụ 3: Tính I sin 5 x dx
0
2
2
0
0
2
Gợi ý: I sin 4 x.sin x dx 1 cos 2 x .sin xdx
Đặt t cos x dt sin xdx . Đổi cận: x 0 t 1, x
0
Khi đó: I 1 t
2
2
1
1
dt
0
2
t 0.
2t 3 t 5 1 8
1 2t t dt t
.
3
5 0 15
2
4
2
1
dx
4 sin x 3 cos x 5
Ví dụ 4: Tính I
0
Gợi ý: Đặt t tan
x
1
, ta có dt .
2
2
2dt
1
x
1
.
dx 1 tan 2 dx 1 t 2 dx dx
2
2
2
1 t2
2 x
cos
2
1
2t
1 t2
, cos x
Ta có: sin x
. Đổi cận: x 0 t 0, x t 1 .
2
2
2
1 t
1 t
1
1
2
1
1 1 1
dt
dt
.
Khi đó: I
2
2
2
t2 0 6
5 1 t
0 8t 3 1 t
0 t 2
Ví dụ 5: Tính I
8
x
3
Gợi ý: I
8
x
3
x dx
2
x 1
2
dx
x2 1
, đặt t x2 1 , ta có t 2 x2 1 2tdt 2xdx xdx tdt .
Đổi cận: x 3 t 2, x 8 t 3 .
3
Khi đó: I
2
3
dt
1 1
1
1 t 1 3 1 3
d
ln
t
ln .
2 t 1 2 2 2
t 2 1 t 2 t 1 t 1 2 2 t 1 t 1
t dt
3
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
-8-
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
Bài tập tƣơng tự:
1
2
Bài tập 1. Tính I 1 x dx .
Bài tập 2. Tính I
7
0
0
e x 1 x
2 xe x
dx .
1
2
Bài tập 3. Tính I x 2 x 1 dx .
Bài tập 4. Tính I sin 2 x.cos 2 x dx .
10
0
3
8
Bài tập 5. Tính I
0
x
1 x
dx .
5. PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2
- Đặt x x t , với x là biến ban đầu, t là biến mới. Khi đổi biến phải đổi cận.
- Cách này áp dụng cho 1 số bài toán đặc thù mà không thể hoặc gặp khó khăn khi áp
dụng phương pháp phân tích, phương pháp đổi biến dạng 1 hoặc tích phân từng phần. Sau đây
là một số gợi ý cho các trường hợp cụ thể:
1 x2 , đặt x sin t , t ; hoặc x cos t , t 0, .
2 2
Nếu f x chứa
a 0 , đặt
a2 x2
x a sin t
hoặc x a cos t .
a2 x ; a 0 , đặt x a sin t hoặc x a cos t .
2
Nếu f x chứa
x2 1 , đặt x
1
1
, t ; \0 hoặc x
, t 0; \
sin t
cos t
2 2
2
x2 a2 a 0 , đặt x
x
Nếu f x
2
a
sin t
a2 ; a 0 , đặt x
1
hoặc f x chứa
x 1
2
hoặc x
a
.
cos t
a
a
hoặc x
.
sin t
cos t
x2 1 , đặt x tan t , t , .
2 2
1
hoặc f x chứa x2 a2 a 0 , đặt x a tan t .
2
x a
2
1
x
a2 ; 0 , đặt x a tan t .
f x
f
x
hoặc
chứa
2
2
x a
f x
2
b
Các bước thực hiện phép đổi biến số dạng 2 để tính tích phân I f x dx :
a
+ Bước 1: Đặt x x t , suy ra dx x t dt .
/
Đổi cận: x a t , x b t .
+ Bước 2: Biến đổi f x dx thành g t dt .
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
-9-
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
+ Bước 3: Khi đó
1
x a
2
dx ln x x2 a C
cho). Giả sử G t là một nguyên hàm của g t thì I G t
Ví dụ 1: Tính I
2
2
0
x2
1 x2
(đơn giản hơn tích phân đã
.
dx
Gợi ý: Đặt x sin t , t ; , ta có: dx cos t dt , 1 x2 1 sin2 t cos2 t cos t .
2 2
Đổi cận: x 0 t 0, x
2
t .
2
4
sin 2 t.cos t dt 4
14
1 1
1
Khi đó: I
sin 2 t dt 1 cos 2t dt t sin 2t 4 .
cos t
20
2 2
0 8 4
0
0
4
2
Ví dụ 2: Tính I x 2 4 x 2 dx
1
Gợi ý: Đặt x 2 sin t , t ; , ta có dx 2 cos t dt . Đổi cận: x 1 t , x 2 t .
6
2
2 2
Ta có:
4 x2 4 4 sin 2 t 2 cos2 t 2 cos t 2 cos t. Khi đó:
3
sin 4t 2 2
I 4 sin 2 t.2 cos t.2 cos t dt 4 sin 2 2t dt 2 1 cos 4t dt 2 t
.
4
3
4
2
2
2
6
6
6
6
2
Ví dụ 3: Tính I
3
1
Gợi ý: Đặt x
dx
x2 1
1
cos t
2
, t ; dx
dt . Đổi cận: x 1 t , x
t .
2
sin t
2
3
sin t
3
2 2
cos t
dt 2
2
1
cos t
dt
. Khi đó: I sin t
. Ta có 2 cách sau:
x2 1
1
2
cos
t
sin t
sin
t
sin t
2
3
sin t
3
Ta có:
t
d tan
2
t
1
dt
1
dt
Cách 1: I
ln tan 2 ln 3 .
t
t 2
t
t
t
2
2
sin cos
tan cos 2
tan
3
3
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 10 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
t
1
t
1
2du
2u
Cách 2: Đặt u tan du 1 tan 2 dt 1 u2 dt dt
, sin t
. Khi đó:
2
2
2
2
2
1 u
1 u2
I
1
1
2du
2u
3
1
du
1 u ln u 1 ln 3 .
3
3
1
1
1
dx
2
0 1 x
Ví dụ 4: Tính I
1
Gợi ý: Đặt x tan t , t ; , ta có: dx
dt 1 tan 2 t dt .
2
2
2
cos
t
Đổi cận: x 0 t 0, x 1 t
Ví dụ 5: I
1
x
3
Gợi ý: I
1
2
4
4
. Khi đó: I
1 tan 2 t dt
1 tan t
2
0
4
dt
4
0
.
1
dx
6 x 13
dx . Đặt x 3 2 tan t , t , , ta có dx 2 1 tan 2 t dt .
2 2
3 x 3 4
1
2
Đổi cận: x 3 t 0, x 1 t
4
4
2 1 tan 2 t
0
4 tan t 4
. Khi đó: I
2
dt 1
4
dt .
2
8
0
Bài tập tƣơng tự:
1
3
Bài tập 2. Tính I x 4 9 x 2 dx .
Bài tập 1. Tính I 1 x 2 dx .
0
0
0
Bài tập 3. Tính I
1
2
Bài tập 5. Tính I
0
1
e
dx
1 x
2
Bài tập 4. Tính I
.
dx
3 x2 2x
1
dx
x 1 ln 2 x
.
.
6. MỘT SỐ LƢU Ý VỀ PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
- Các phép đổi biến sau đây có thể xem là đổi biến dạng 1, cũng có thể xem là đổi biến
dạng 2, cách đặt t t( x) hoặc x x(t ) rất đơn giản, chẳng hạn: t x , t
2
x , t x ,... Các
biến đổi thường gặp:
Đổi biến với I để có I .I I
1
Đổi biến với I , ta có 2 I I I K I
với , , 1 .
1
K , với K là tích phân đơn giản.
2
Biến đổi I thành tổng I I1 I 2 , thực hiện phép đổi biến đối với I 1 hay I 2 ta được
I1 I 2 hay I1 I 2 K , với K là tích phân đơn giản.
- Học sinh cần đặc biệt chú ý đến tính chẵn, lẻ của hàm f x . Ta xét 3 loại tích phân sau:
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 11 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
a
, với a 0 , f x là hàm lẻ trên đoạn
a; a , tức là
f x dx
I
* Loại 1: Tích phân
a
f x f x , x
a; a .
Cách giải:
Cách 1: (Phân tích thành 2 tích phân) I
0
a
f x dx f x dx I
a
1
I2 .
0
0
a
a
Với I 1 : đặt t x I1 f t dt f t dt f x dx I 2 I 0 .
a
0
0
a
Cách 2: (Tính trực tiếp) Đặt t x I f t dt
a
a
a
a
a
f t dt f t dt I
.
2I 0 I 0 .
1
Ví dụ: Tính I x10 sin xdx
1
Gợi ý:
0
1
0
1
1
0
1
0
Cách 1: I x10 sin xdx x10 sin xdx I1 I 2 , trong đó I1 x10 sin xdx , I 2 x10 sin xdx . Đối với
I 1 : đặt t x , ta có dt dx , sin x sin t , x10 t 10 .
Đổi cận: x 1 t 1, x 0 t 0 .
0
1
1
1
0
0
Khi đó: I1 t 10 .sin t dt t 10 .sin t dt x10 .sin x dx I 2 . Suy ra I 0 .
Cách 2: Đặt t x , ta có dt dx , sin x sin t , x10 t 10 .
Đổi cận: x 1 t 1, x 1 t 1 .
1
1
1
1
Khi đó: I t 10 .sin t dt t 10 .sin t dt I . Suy ra 2I 0 I 0 .
* Loại 2: Tích phân I
a
f x
k
a
x
1
dx , với a 0 , k , f x là hàm chẵn trên đoạn
a; a , tức là
f x f x , x
a; a .
Cách giải:
0
a
0
Với I 1 : đặt t x I1
a
a
I I1 I 2
0
kx . f x
1 kx
f t
k t 1
a
dx
0
f x
k
Cách 1: (tách thành 2 tích phân) I
x
1
a
f t
0
1
1
kt
dt
f x
kx 1
a
dx
0
f x
kx 1
a
dt
0
dx I1 I 2 .
kt . f t
1 kt
a
dt
0
kx. f x
1 kx
dx
a
dx f x dx .
0
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 12 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
f t
a
Cách 2: Đặt t x I
a
Khi đó: 2 I I I I
f x
a
k
a
Ví dụ: I
k t 1
x
1
dt
a
a
a
dx
a
f t
1
1
kt
kx . f x
1 kx
dt
a
a
dx
a
kt . f t
1 kt
a
dt
a
f x dx I
a
kx. f x
1 kx
dx
a
1
f x dx .
2 a
1
cos xdx
x
1 e 1
Gợi ý:
0
0
1
1
cos xdx
cos xdx
cos xdx
cos xdx
Cách 1: I x
, I2 x
x
I1 I 2 , trong đó I1 x
1 e 1
0 e 1
1 e 1
0 e 1
Đối với I 1 , đặt t x , ta có dt dx , cos x cos t . Đổi cận: x 1 t 1, x 0 t 0 .
0
cos t dt 1 cos t dt 1 e t .cos t dt 1 e x .cos x dx
.
t
t
x
1
e
1
1
e
1
e
1
0
0
1 0
et
Khi đó: I1
x
1
e x .cos x dx 1 cos x dx 1 e 1 cos x dx 1
Suy ra: I
x
cos x dx sin x sin1 .
x
x
0
1 e
e 1
0
0 e 1
0
0
1
Cách 2: Đặt t x , ta có dt dx , cos x cos t . Đổi cận: x 1 t 1, x 1 t 1 .
1
Khi đó: I
1
cos t dt 1 cos t dt 1 e t .cos t dt 1 e x .cos x dx
e t 1 1 1
1 et
1 ex
1
1
1
et
Suy ra: 2 I I I
1
1
cos x dx 1 e x .cos x dx 1
1 e x 1 1 1 e x 1 cos x dx sin x 1 2 sin1 I sin1 .
a
* Loại 3: Tích phân I f x dx , với a ,
0
2
,... và f x có chứa các hàm lượng giác
Cách giải: Ta thử đặt t a x , khi biến đổi hàm f x về hàm g t phải chú ý các cung có liên
quan đặc biệt (hai cung bù nhau, phụ nhau,…). Chú ý tính chất của tích phân:
b
a
b
f x dx f t dt .
a
cos 4 x
dx
4
4
cos
x
sin
x
0
2
Ví dụ: I
Đặt t
2
x , ta có dt dx , đổi cận: x 0 t
2
, x
2
t 0 . Khi đó:
cos 4 t
4
2
2
2
sin
t
sin 4 x
I
dt
d
t
0 sin 4 x cos4 x dx .
4
4
4
4
0 sin t cos t
cos t sin t
2
2
2
0
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 13 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
2
cos x
sin x
d
x
d
x
dx . Vậy I .
4
4
4
4
2
4
0 cos x sin x
0 cos x sin x
0
4
2
Suy ra: 2 I I I
2
4
cosn x
, với mọi số tự nhiên n 0 .
dx
n
n
4
0 cos x sin x
2
Kết quả: I
Bài tập tƣơng tự:
Bài tập 1. I
4
4
x7 x 5 x 3 x
dx
cos 4 x
Gợi ý: đặt t x
Đáp án: I 0
4
Bài tập 2. I ln 1 tan x dx
Gợi ý: đặt t
0
Bài tập 3. I
1
2
1 x
x .ln 1 x dx
2
4
x Đáp án: I
8
.ln 2
Gợi ý: đặt t x
Đáp án: I 0
Gợi ý: đặt t x
Đáp án: I
Gợi ý: đặt t x
Đáp án: I ln 2 2
1
2
Bài tập 4. I
1
e
1
Bài tập 5. I
1
dx
x
ln x 2 1
e 1
x
1
1 x 1
2
dx
4
2
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP
1. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
1
dx , với m 0; mx2 nx p vô nghiệm.
mx nx p
Bài toán 1: I
2
1
1
Ta biến đổi: I
dx , s 0 . Đặt x r s .tan t , t ; .
2
m x r s
2 2
Ta có: dx s .
2
dt
s . 1 tan 2 t dt và x r s s. 1 tan 2 t .
2
cos t
2
t
t
1 2 s . 1 tan t dt
1 2
1
Khi đó: I
dt
t2 t1 .
2
m t s. 1 tan t
m
s
m
s
t
1
1
1
1
Ví dụ: I 2
dx , đặt x 1 2 tan t , t ;
dx
2
2 2
1 x 1 4
1 x 2 x 5
1
1
dx 2 1 tan 2 t dt , x 1 t 0, x 1 t
4
4
2 1 tan 2 t dt
0
4 tan 2 t 4
; I
4
1
dt .
8
0 2
ax b
dx , với m 0; mx2 nx p vô nghiệm.
mx nx p
Bài toán 2: I
2
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 14 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
/
Ta chú ý mx2 nx p 2mx n và biến đổi:
a
an
a
2mx n
an
1
2
.ln
mx
nx
p
b
.K ,
I
d
x
b
d
x
2
2
2m
2m
2m mx nx p
2m mx nx p
với
1
dx (xem Bài toán 1).
mx nx p
K
2
Ví dụ: I
3
2x 2
1
3x 4
3( x 1) 1
1 x2 2x 5 dx 1 x2 2x 5 dx 2 1 x2 2x 5 dx 1 x2 2x 5 dx
1
1
1
1
1
1
3
1
ln x2 2 x 5
dx (xem thêm ví dụ của Bài toán 1)
2
1 1 x 2 x 5
2
Lưu ý: Trong Bài toán 1 và Bài toán 2, f x là phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn 2. Nếu tử là
đa thức P x có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta biến đổi P x Q x . px2 qx r R x (nói
đơn gián: chia tử cho mẫu để tìm thương
P x
Q x
px qx r
2
R x
Bài toán 3: I
mx
1
nx p
2
và phần dư
R x ), suy ra
, với R x có bậc nhỏ hơn 2.
px qx r
2
Q x
k
dx , với k nguyên, k 2 , mx2 nx p vô nghiệm.
dx , s 0 . Đặt x r s .tan t , t ; .
k
2
2 2
m . ( x r ) s
1
Ta biến đổi: I
k
dt
s
k k
m .s
k
k
2
Ta có: dx s . 1 tan 2 t dt và x r s sk . 1 tan 2 t .
1
Khi đó: I k
m
t s . 1 tan t
s . 1 tan 2 t dt
t2
k
2
k
1
s
k k
m .s
t2
t
1
1 tan t
2
k 1
t2
cos t
t
2 k 2
dt .
1
(xem thêm Bài toán 8 sau đây về phương pháp tính tích phân của hàm cosn t ).
1
Ví dụ: I
1
x
1
2
2x 5
2
dx
1
1
1
x 1 4
2
2
dx .
Đặt x 1 2 tan t , t ; dx 2 1 tan 2 t dt . Đổi cận: x 1 t 0, x 1 t ;
4
2 2
4
I
0
t 4
2 1 tan 2 t dt
4 tan
2
2
14
14
1 4
1 sin 2t
dt
2
t
t
cos
d
1 cos 2t dt t
4.
2
8 0 tan t 1 8 0
16 0
16
2
0
Bài toán 4: I
mx
ax b
2
nx p
k
dx , với k nguyên, k 2 , m 0; mx2 nx p vô nghiệm.
/
Ta chú ý mx2 nx p 2mx n và biến đổi như sau:
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 15 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
I
a
2mx n
2m mx2 nx p
- Với K
k
2mx n
mx
nx p
2
- Với L
an
1
dx b
2m mx 2 nx p
1
mx 2 nx p
dx
a
an
.K b
.L
2m
2m
k
dx , dùng vi phân hoặc đổi biến t mx2 nx p .
k
dx : xem Bài toán 3.
k
Lưu ý: Trường hợp tử là đa thức P x có bậc lớn hơn hoặc bằng 2, ta dùng phương pháp đồng
nhất thức (xem Bài toán 6) để đưa về dạng như Bài toán 3 và Bài toán 4.
Bài toán 5: I
P( x)
ax b . cx d
i
k
dx , với i , k là các số nguyên dương, bậc của đa thức P( x)
nhỏ hơn bậc của mẫu.
f ( x)
Đặt
Ai
Bk
A1
A2
B1
B2
...
...
,
2
2
k
i
ax b ax b
cx
d
cx
d
cx
d
ax b
với
mọi
b
d
x , x . Đồng nhất thức để tìm A1 , A2 ,..., Ai , B1 , B2 ,..., Bk . Ngoài ra có thể dùng phương
a
c
pháp hệ số bất định để tìm A1 , A2 ,..., Ai , B1 , B2 ,..., Bk .
Bài toán 6:
I
mx
P( x)
2
i
nx p . qx rx s
2
k
dx , với i , k là các số nguyên dương,
mx2 nx p và qx2 rx s vô nghiệm, bậc của đa thức P( x) nhỏ hơn bậc của mẫu. Đặt
f ( x)
A xB
C xD
A1 x B1
A xB
C x D1
C xD
2 2 2 ... i i i 21
2 2 2 ... k k k , x , f x
2
mx nx p
_
_ qx rx s _
_
là hàm dưới dấu tích phân. Đồng nhất thức hoặc dùng phương pháp hệ số bất định để tìm các
số Ai , Bi , Ci , Di ở tử các phân thức.
* Lưu ý:
- Ở đây ta không xét tích phân của hàm hữu tỉ f x
P( x)
với P( x) Q/ ( x) , vì nó đơn
Q( x)
giản, chỉ cần đặt t Q( x) dt P( x) dx hoặc dùng vi phân.
- Nếu phân thức hữu tỉ
chia P( x) cho Q( x) ta được
P( x )
có bậc P( x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q( x) thì thực hiện phép
Q( x)
P ( x)
P( x)
R( x) 1
, trong đó bậc P1 ( x) bé hơn bậc Q( x) .
Q( x)
Q( x)
- Đa thức Q x khác 0 với hệ số thực có duy nhất 1 cách phân tích thành tích các nhị
thức bậc nhất và tam thức bậc hai với biệt thức 0 . Bài toán 5 và Bài toán 6 đã xét
Q( x) ax b . cx d và Q( x) mx2 nx p . qx2 rx s . Cách làm tương tự đối với đa
i
k
i
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
k
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 16 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
thức Q( x) ax b . cx d . mx2 nx p . qx 2 rx s
i
dương,
tam
k
mx2 nx p
thức
h
qx2 rx s
và
trong đó i , j , k , h là các số nguyên
vô
nghiệm.
Cụ
thể,
ta
đặt
Bj
Ai
A1
A2
B1
B2
...
...
2
i
i
ax b ax b 2
ax b cx d cx d
cx d
f ( x)
hai
j
C1 x D1
mx nx p
2
C2 x D2
mx
2
nx p
2
Ck x Dk
...
mx
2
nx p
k
E1x F1
qx rx s
2
E2 x F2
qx
2
rx s
2
...
Eh x Fh
qx
2
rx s
h
b
d
với mọi x , x . Đồng nhất thức hoặc dùng phương pháp hệ số bất định để tìm các số ở
a
c
tử các phân thức.
3
Ví dụ: I
2
3x4 x2 x 2
dx
x5 x4 x3 x2 x 1
Ta có: x x4 x3 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1
5
3x 4 x 2 x 2
3
I
2
Đặt
x 1 x
x 1 x2 x 1
2
3x 4 x 2 x 2
x 1 x
2
x1 x x1
2
dx
A
Bx C
Dx E
, x 1
2
2
x 1 x x 1 x x 1
Quy đồng, rút gọn 2 mẫu, đồng nhất các hệ số ở 2 vế ta được hệ 5 phương trìn 5 ẩn, tính được
A 2 , B 1, C 1, D 0, E 1 .
1
1
2 x 1
2
x 1
1
2
1
2
Khi đó: I
2
2
dx
2 2
dx
2
x 1 x x 1 x x 1
x 1
x x1
x x 1
2
2
3
3
2
1
2x 1
1
dx
dx
dx 2
dx 2
2
2 2 x x1
2 2 x x1 2 x x1
x 1
2
3
3
3
3
3
3
1
3 1
dx
dx
2
2 ln x 1 ln x x 1
2
2
2
2 22
1 3
1 3
2
x 2 4
x 2 4
3
Với I1
2
3
Với I 2
2
dx
2
1 3
x 2 4
dx
2
1 3
x 2 4
, đặt x
1
3
tan t , t ; .
2
2
2 2
, đặt x
1
3
tan t , t ; .
2
2
2 2
Bài toán 7: (Một số kỹ thuật khác dùng trong tích phân hàm hữu tỉ)
* Thứ nhất, kỹ thuật giảm chênh lệch giữa bậc tử và bậc mẫu:
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 17 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
2
Ví dụ 1: I
1
I
2
1
2 1
x
2
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
dx
(Nhiều tài liệu gọi đây là kỹ thuật “Nhảy tầng lầu”)
x 1
4
1
1
2 1
2
x 1
1 x 1
1
x dx 1
x 2 dx
d
x
d
x
2 1 x4 1
2 1 x4 1
2 1 2 1
2 1 2 1
x 2
x 2
x
x
dx 1
1 x2 1
x4 1
2
2
2
2
2
1
1
1
3
5
dx
d x
2
2
2
x
x
1
1
1
dt
1
du
.
2
2
2
2
21
21
2 0 t 2 2 2 u 2
1
1
x x 2
x x 2
2
2
Ví dụ 2: I
1
dx
(Kỹ thuật “Nhảy tầng lầu” đơn giản chỉ là kỹ thuật phân tích – rút gọn)
x 1
6
4
2
2
2
2
2
2
x 1 x4 1
1
1 x x 1 x x 1 x 1
I 2
dx
dx
2 1 x 1 x4 x2 1
21
x2 1 x4 x2 1
4
1
2
2
2
2 x 2 1 dx
2 d x3
2 1 2 dx
2
1
dx
x dx
1
dx
1
x
2
2
6
4
2
2
1
2 1 x 1 1 x 1 1 x x 1 2 1 x 1 3 1 x3 1 1 2
x 1 2
x
1
2
2 d x3
2 dx
x
1
1 dx
1
, lần lượt đặt x tan t , x3 tan t , u x .
2
2
2
2 1 x 1 3 1 x3 1 1
x
1
x 3
x
* Thứ hai, kỹ thuật phân tích tử thức để rút gọn mẫu thức:
2
2 x4 4 x4
2
dx
1
dx
1
1 1
x3
Ví dụ 3: I 5
dx
dx .
5 1 x x4 4
20 1 x x 4 4
20 1 x x4 4
1 5 x 20 x
2
2
Ví dụ 4: I
1
dx
x x 1 x 7 x 8
2
2
1 x x 7 x 1 x 8
1
1
1
d
x
dx
8 1 x x 1 x 7 x 8
8 1 x 1 x 8 x x 7
* Thứ ba, làm xuất hiện đạo hàm ở tử thức rồi đặt ẩn phụ:
2
Ví dụ 5: I
1
x
2
dx
1 x2 2x 1
x 14 x 1
6
3
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 18 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
1
1
1
1
2
1 x 2 x x 2
x x 2 d x x
dx
.
Chia tử và mẫu cho x 3 ta được: I
3
3 1
1
1
1
1
x 3 x 14
x x 3 14
x
x
2
Đặt t x
3
2
3
2
1
t2
t2
, ta được: I 3
dt
dt .
2
x
0 t 3t 14
0 t 2 t 2t 7
x2 1
Ví dụ 6: I 4
dx
1 x 1
2
1
1
dx
2
2
x
dt
1
x 2 dx
Chia tử và mẫu cho x 2 ta được: I
(với t x )
2
2
1
x
1
1 x2
1
1 t 2
x
2
2
x
x
2
* Thứ tƣ, đặt ẩn phụ t
3x 5
I
x 2
10
2
Ví dụ 7:
Đặt t
10
3x 5
dx
dx
.
x 2 x 2 2
1
1
4
11
dx
dt
3x 5
1
dt
dx
. Khi đó I
t 10 dt .
2
2
11
x2
11
8
x 2
x 2
2
Ví dụ 8: I
1
1
3x 2 3x 4
7
2
1
Đặt t
ax b
ad bc
(còn gọi “chồng chất nhị thức”)
dt
cx d
(cx d)2
2
12
1
1
3
dx
1
7
10
3x 2
3x 4 . 3x 4
2
dx
1
1
3x 2
3x 4
7
.
1
.
dx
3x 4 3x 4
8
2
18
dx
dt
3x 2
dt
dx
.
2
2
3x 4
3x 4
3x 4 18
2
5
3x 2
6
1
1 t
1 1 t dt
Ta có: t
. Khi đó: I .
1
.
3x 4
3x 4
3x 4
6
18
68
1 t
8
7
2. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM LƢỢNG GIÁC
Bài toán 8: I cos 4 xdx (Ví dụ 4 phần II.1): dùng công thức, đưa về cos 2x, cos 4x .
0
2
I sin 5 x dx (Ví dụ 3 phần II.4): đổi biến dạng 1 với cách đặt t cos x .
0
Tương tự đối với các hàm: sin2 x, sin4 x, sin6 x,... , cos2 x, cos4 x, cos6 x,... (số mũ chẵn).
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 19 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
sin3 x, sin5 x, sin7 x,... , cos3 x, cos5 x, cos7 x,... (số mũ lẻ).
1
dx
d
sin
x
e
cos
x
f
Bài toán 9: I
1
x
1
2dt
x
2t
, ta có: dt 1 tan 2 dx 1 t 2 dx dx
. Ta có: sin x
,
2
2
2
2
2
1 t
1 t2
Đặt t tan
2t.d 1 t 2 .e 1 t 2 . f mt 2 nt p
1 t2
và d sin x e cos x f
.
cos x
1 t2
1 t2
1 t2
Đổi cận: x t tan
2
t1 , x t tan
2
t2 .
t2
2 dt
(xem Bài toán 1 nếu mẫu vô nghiệm hoặc Bài toán 5 nếu mẫu có
mt
nt
p
t1
Khi đó: I
2
nghiệm).
Bài toán 10:
Đặt
a sin x b cos x c
dx
d
sin
x
e
cos
x
f
I
a sin x b cos x c
d cos x e sin x
C
, x D (TXĐ)
A B.
d sin x e cos x f
d sin x e cos x f d sin x e cos x f
a sin x b cos x c A d sin x e cos x f B d cos x e sin x C , x D
Đồng nhất các hệ số của sin x, cos x và hệ số tự do để tìm A, B, C .
d cos x e sin x
Khi đó: I A B.
d sin x e cos x
C dx
dx
f
d sin x e cos x f
Ax B.ln d sin x e cos x f
C.K ,
dx
(xem Bài toán 9)
d sin x e cos x f
trong đó K
2
Ví dụ: I
0
sin x 7 cos x 6
dx
4 sin x 3 cos x 5
Đặt sin x 7 cos x 6 A 4 sin x 3cos x 5 B 4 cos x 3sin x C , x
sin x 7 cos x 6 4 A 3B sin x 3 A 4B cos x 5 A C , x
4 A 3B 1
3 A 4 B 7
5 A C 6
A 1
B 1 ,
C 1
2
4 cos x 3sin x
1
Khi đó: I 1
dx
4 sin x 3cos x 5 4 sin x 3cos x 5
0
2
1
x ln 4 sin x 3 cos x 5 2
dx
4 sin x 3 cos x 5
0
0
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 20 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
Đặt t tan
2
9
9
1
1
ln
dx ln K , với K
dx .
2
8 0 4 sin x 3 cos x 5
4 sin x 3 cos x 5
2
8
0
2
1
1
2dt
2t
1 t2
2 x
2
,
.
sin
x
,
cos
x
1
tan
dx
1
t
dx
dx
2
2
2
1 t2
1 t2
1 t2
x
dt
2
Đổi cận: x 0 t 0, x
1
K
0
2
8t 3 1 t 2 5 1 t 2
Vậy I
t 1 , do đó
1
2
dt
0
1
t 2
2
dt
1
.
6
9 1
ln .
2
8 6
Lưu ý: Nếu b c f 0 hoặc a c f 0 thì có thể phân tích tử số P x để tìm nhanh các số
A. d sin x e cos x B. d cos x e sin x
P( x)
, việc này khá đơn giản
d sin x e cos x
d sin x e cos x
(Kỹ thuật thêm bớt).
A, B thỏa mãn:
3. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
Bài toán 11:
I
1
dx
1 x
1
1 x2
Đặt t x 1 x2 t x 1 x2 t x 1 x2 x
2
t2 1
t2 1
dt .
dx
2t
2t 2
Đổi cận: x 1 t 2 1, x 1 t 2 1 .
1
Khi đó: I
2
2 1
2 1
t
2
1 dt
t 1 t
2
1
2
1 1
2
1 1
2 1
2 t t 1 dt 2 t ln t 2 ln t 1
t
2 1
2 1
2 1
1
2 1
2 2 1
2 ln
2 ln
2 2 ln
2
2 1
2 2
2 1 2 ln
1
2 1 .2 1
2
Chú ý: với cách đặt t mx mx2 nx p có thể giải được 1 số bài toán đặc thù.
2
I x 2 x 2 4 dx
Bài toán 12:
0
u x
Đặt
, ta có
2
dv x x 4 dx
1
Khi đó: I x x 2 4
3
du dx
1 2
v x 1
3
3
2
2 12 2
x 4 x 4
0 30
2
2
1 2
x 1
3
x 2 4 dx
x2 1
2
32 2 1 2 2
4
x x 4 dx x2 4 dx
3
30
30
2
32 2 1
4
.I x 2 4dx
3
3
30
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 21 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
x
2
Suy ra: I 8 2 x 2 4 dx 8 2 . x2 4 2.ln x x2 4
0
2
0
2
8 2 2 2 2 ln 1 2 6 2 2 ln 1 2 .
Tổng quát: I x 2 x 2 a dx , a 0
Cách giải: (phương pháp tích phân từng phần) Đặt u x , dv x x2 a dx .
1
I x 2 1 dx
Bài toán 13:
0
cos t dt 4 cos t dt
1
dt
Cách 1: Đặt x tan t , t , dx
,
d
t
I
0 cos3 t 0 cos4 t 0
cos2 t
2 2
1 sin 2 t
4
4
0
2
4
Đặt u sin t du cos t dt , I
du
u 1 u 1
2
2
1 4 1
1
1
1
du
4 0 u 1 u 12 u 1 u 12
1 u1
1
1
1
ln
4 2 ln 1 2
4 u1 u1 u1
2
0
Cách 2: Đặt t x x2 1 t x x2 1 x
2
dx
t2 1
dt và
2t 2
t2 1
,
2t
x2 1 t
t2 1 t2 1
.
2t
2t
Đổi cận: x 0 t 1 , x 1 t 1 2 .
Khi đó: I
1 2
1
1 2
t2 1 t2 1
. 2 dt
2t
2t
1
t 2 ln x
1
1 1 2
t 1
d
t
4 2t
8
2
4t 3
8t 2 1
1
2 ln 1 2
2
Cách 3: (Tích phân từng phần) Đặt u x2 1, dv dx , ta có du
1
x dx
x2 1
, v x.
1
x2
Khi đó: I x. x 1
dx 2 K , với K
dx .
0 0 x2 1
x2 1
0
2
1
Ta có: K
0
x2 1 1
x2 1
1
x2
1
1
1
dx x 1 dx
2
0
x2 1
0
I
dx
ln x x 2 1
10 I ln 1 2
1
Suy ra: I 2 I ln 1 2 I 2 ln 1 2 .
2
* Một số công thức nguyên hàm cần chú ý:
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 22 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
/
x 2
a
x
nên I
Vì x 2 a
x a ln x x2 a C , a 0 .
2
2
x2 a
(1)
Nếu không chứng minh công thức (1) bằng đạo hàm, có thể biến đổi như sau:
x
x a
2
dx
2x
2 x a
2
d x2 a
dx
2 x a
2
/
1
nên
Vì ln x x 2 a
x2 a
1
x a
2
x2 a C .
dx ln x x2 a C , a 0 . (2)
Nếu không chứng minh công thức (2) bằng đạo hàm, có thể biến đổi như sau:
x
1
d x x2 a
2
x
a
dx
dx
ln x x 2 a C .
2
2
2
x a
x x a
x x a
1
Mở rộng công thức (2), ta có:
1
x
2
a
dx
1
.ln x
x
2
a C .
/
x 2
a
Vì
x a ln x x 2 a x 2 a nên
2
2
x2 a dx
x 2
a
x a ln x x 2 a C , a 0 .
2
2
(3)
Nếu không chứng minh công thức (3) bằng đạo hàm, ta thực hiện như sau:
Đặt I x2 a dx và u x2 a , dv dx , ta được:
x2
I x x a
2
I
a
dx x x 2 a x 2 a dx
dx
x2 a
x 2 a Suy
a
x x2 a I
dx x x 2 a I a ln x x 2 a C
2
x a
dx x x a
2
x2 a
x2 a a
ra:
x 2
a
x a ln x x2 a C .
2
2
Bài toán 14:
I
1
mx nx p
2
dx
Đặt n2 4mp . (Ta không xét 0 , đơn giản)
– Nếu 0 và m 0 thì I
1
m.
x r
2
s
dx , s 0 . Đặt x r s tan t hoặc xem thêm công
thức (2) nói trên.
– Nếu 0 và m 0 thì I
Đặt x r
1
m.
x r
2
s
dx
1
m
1
x x x x
1
dx , s 0 .
2
s
hoặc đặt t x x1 x x2 hoặc xem thêm công thức (2) nói trên.
sin t
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 23 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
1
– Nếu 0 và m 0 thì I
m . s x r
dx , s 0 . Đặt x r s sin t .
2
Sau đây là 3 ví dụ ứng với 3 trường hợp trên.
2
1
Ví dụ 1: Tính I
x 2x 2
2
1
2
2
1
Ta có: I
x2 2x 2
1
dx
1
Cách 1: Đặt x 1 tan t ,
Ta có:
x 1
2
dx .
2
1
x 1
t
2
1
dx .
, ta có dx
dt
, x 1 t 0, x 2 t .
2
4
cos t
1
1
.
2
cos t cos t
1 tan 2 t 1
2
4
4
4
dt
cos t
cos t
Khi đó: I
d
t
dt .
2
2
cos
t
cos
t
1
sin
t
0
0
0
Đặt u sin t , ta được: I
2
2
0
x 1
Cách 2: I ln x 1
Ví dụ 2: Tính I
3
1
Cách 1: I
3
1
Đặt x 5
Ta có:
du
1
2
2
1u
2
2
1
dx
x 2 10 x 9
1
2
2
0
2
1
1
1 u1
u 1 u 1 du 2 ln u 1 2 ln 1 2 .
0
ln 1 2 .
.
dx
x 5
2
16
4
4 cos t
, t , , ta có dx
dt , x 1 t , x 3 t .
2
sin t
2
6
sin t
2 2
x 5 16
2
16
16 cos2 t 4 cos t
16
sin t
sin 2 t
sin 2 t
4 cos t
dt 2
2
2
2
sin t dt
sin t dt
dt
Khi đó: I sin t
2
2
4 cos t
sin t
1 cos t
cos t 1
2
6
6
6
sin t
6
0
1
1
1 u1
u 1 u 1 du 2 ln u 1
3
2
2
du
1
Đặt u cos t , ta được: I 2
u 1 2
3
Cách 2: I
3
1
0
0
3 ln 2 3
2
dx
x 1 x 9
1
1
x1 x9
Đặt t x 1 x 9 dt
dx
dx
2 x 1 x 9
2
2 x1 2 x9
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
t dx
x 1 x 9
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 24 -
Chuyên đề: TÍCH PHÂN
dx
Suy ra:
x 1 x 9
Khi đó: I
22 3
2 2
Cách 3: I
1
dx
x 5
1
Ví dụ 3: I
0
2dt
, x 1 t 2 2 , x 3 t 2 2 3 .
t
22 3
2dt
1 3
2 ln t
2 ln
ln 2 3 .
t
2
2 2
3
Luyện thi THPT Quốc gia 2017
2
16
1
dx
x 2x 3
2
Đặt x 1 2 sin t ,
2
t
x 5
ln x 5
4 x 1
0
2
16
3
1
ln
2
, ta có: dx 2 cos t dt . Đổi cận: x 0 t
0
4 x 1 4 4 sin 2 t 2 cos 2 t 2 cos t . Khi đó: I
2
Ta có:
Bài toán 15: I
ax b
mx 2 nx p
84 3
ln 2 3 .
4
dx
2
6
, x 1 t 0
2 cos t dt
2 cos t
6
0
dt 6 .
6
dx
/
Ta chú ý mx2 nx p 2mx n và biến đổi như sau (Kỹ thuật thêm bớt):
I
a
2mx n
an
dx
a
an
.
dx b
.
.K b
.L
2
2
2m mx nx p
2m mx nx p 2m
2m
-
Với K
dx
Với L
mx nx p
2
2
Ví dụ: I
1
dx : đặt t mx nx p , K
2
mx 2 nx p
-
t2
2mx n
t1
dt
t
2 t
t2
t1
.
: xem Bài toán 14 nói trên.
1
2
2
2x 2 2
x1
2x 2
dx
2
dx 2.
dx
dx
2
2
2
2
x 2x 2
x 2x 2
x 2x 2
1 2 x 2x 2
1
1
2
Bài toán 16: I
ax 2 bx c
mx 2 nx p
dx
A. mx 2 nx p B. 2mx n C
Ta biến đổi: I
mx2 nx p
A. mx nx p dx B.
2
dx
2mx n
mx2 nx p
dx C.
dx
mx2 nx p
- Với K mx 2 nx p dx : đổi biến dạng 2 hoặc dùng công thức (3) nói trên.
GV: PHẠM THANH PHƢƠNG - ĐÀ NẴNG - 0935.963.257
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 25 -
