Hệ thống lại một số kết quả đã biết về Metric Kobayashi, tính hyperbolic của đa phức, một số chú ý về Metric Kobayashi

Header Page 1 of 149.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ HOÀN

MỘT SỐ CHÚ Ý
VỀ METRIC KOBAYASHI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
TS. Lê Tài Thu

HÀ NỘI, 2016
Footer Page 1 of 149.


Header Page 2 of 149.

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS Lê Tài Thu,
người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có
thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Hà Nội, tháng 12 năm 2016

Tác giả

Trần Thị Hoàn

Footer Page 2 of 149.


Header Page 3 of 149.

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Lê Tài Thu, luận
văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:“Một số chú ý về metric
Kobayashi ” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân
tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2016
Tác giả

Trần Thị Hoàn

Footer Page 3 of 149.


Header Page 4 of 149.

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1. Hàm chỉnh hình một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Hàm chỉnh hình nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3. Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4. Định lý Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.5. Đa tạp phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Chương 2. Một số chú ý về metric Kobayashi . . . . . . . . . . . .

29

2.1. Metric vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2. Đa tạp Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3. Tính taut và tính đầy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Footer Page 4 of 149.


Header Page 5 of 149.

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Shoshichi Kobayashi (1932 - 2012) là nhà toán học người Nhật Bản, ông
là một trong những nhà toán học có những đóng góp quan trọng nhất đối
với lĩnh vực hình học vi phân trong nửa cuối thế kỉ XX. Ông đã để lại một
di sản toán học vô cùng lớn trong lĩnh vực hình học vi phân. Một số cuốn

sách của Kobayashi là tài liệu tham khảo rất có giá trị trong hình học vi
phân và hình học phức, mà một trong số đó là hai tập sách “Foundations
of Differential Geometry”(1963 – 1969) do ông và Katsumi Nomizu đồng
tác giả.
Lý thuyết về các không gian phức Hyperbolic được Kobayashi xây dựng
lần đầu tiên vào những năm 70 của thế kỉ XX, là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Trong những năm gần đây, lý
thuyết này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế
giới. Bằng nhiều cách tiếp cận khác nhau, các nhà toán toán học đã mở
rộng các vấn đề có liên quan và giải quyết được nhiều bài toán được đặt
ra trong lĩnh vực đó. Những công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng
nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ.
Metric Kobayashi Pseudometric (hay giả khoảng cách Kobayashi) trên đa
tạp phức, được Kobayashi giới thiệu năm 1967, từ đó hình thành một
5

Footer Page 5 of 149.


Header Page 6 of 149.

hướng nghiên cứu mới của giải tích phức và được gọi là giải tích phức
Hyperbolic.
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về metric Kobayashi, dưới sự định
hướng của người hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài: “Một số chú ý về metric
Kobayashi” để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc
sĩ chuyên ngành toán giải tích.

2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống lại một số kết quả đã biết về metric Kobayashi và trình bày

một số chú ý về metric Kobayashi.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về metric Kobayashi, một số chú ý về metric Kobayashi.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu metric Kobayashi và một số chú
ý về metric Kobayashi.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu metric Kobayashi trên đa tạp phức.

5. Phương pháp nghiên cứu
Áp dụng một số phương pháp của Giải tích phức, vận dụng các kết quả
của hình học giải tích phức, giải tích phức nhiều biến.
Sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có. Từ đó hệ thống
lại các vấn đề liên quan đến luận văn.
6

Footer Page 6 of 149.


Header Page 7 of 149.

6. Những đóng góp của đề tài
Hệ thống lại một số kết quả đã biết về metric Kobayashi, tính hyperbolic
của đa tạp phức.
Trình bày một số chú ý về metric Kobayashi.

7

Footer Page 7 of 149.

Header Page 8 of 149.

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Hàm chỉnh hình một biến
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử Ω ⊂ C là một tập tùy ý cho trước. Một hàm
biến phức trên Ω với giá trị phức là một ánh xạ

f : Ω → C.
Hàm như vậy được ký hiệu là

ω = f (z), z ∈ Ω.
Định nghĩa 1.1.2. Cho hàm f xác định trên tập tùy ý Ω ⊂ C với giá trị
trong C và z0 là điểm tụ của Ω hữu hạn hay là điểm xa vô tận.
Số phức a ∈ C gọi là giới hạn của hàm f (z) khi z dần đến z0 và viết

lim f (z) = a

z→z0

nếu với mọi lân cận V của a tồn tại lân cận U của z0 sao cho f (z) ∈ V
với mọi z ∈ U ∩ Ω, z = z0 .
Hàm f được gọi là liên tục tại z0 nếu một trong hai điều kiện sau được
thỏa mãn
8

Footer Page 8 of 149.

Header Page 9 of 149.

(i) z0 là điểm cô lập của Ω. Nói cách khác tồn tại lân cận U của z0 (trong

Ω) sao cho
U ∩ Ω = {z0 }
(ii) Nếu z0 không là điểm cô lập của Ω thì

lim f (z) = f (z0 ).

z→z0

Hàm f được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi z ∈ Ω.
Hàm f được gọi là liên tục đều trên Ω nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀z1 , z2 =

∞, z1 , z2 ∈ Ω, |z1 − z2 | < δ
|f (z2 ) − f (z1 )| < ε.
Rõ ràng nếu f liên tục đều trên Ω thì nó là hàm liên tục trên Ω.
Định lý 1.1.1. Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C thì f liên tục đều
trên K .
Định lý 1.1.2. Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C thì hàm z → |f (z)|
đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trên K , tức là tồn tại a, b ∈ K để

|f (a)| = sup |f (z)| và |f (b)| = inf |f (z)|.
z∈K

Định lý 1.1.3. Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C, thì f (K) ⊂ C là
compact.
Định nghĩa 1.1.3. Cho hàm số f xác định trên miền Ω ⊂ C. Xét giới hạn

f (z + ∆z) − f (z)
, z, z + ∆z ∈ Ω.
∆z→0
∆z
Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của
lim

f tại z , ký hiệu là f (z) hay

df
dz (z).

Như vậy

f (z + ∆z) − f (z)
∆z→0
∆z

f (z) = lim

9

Footer Page 9 of 149.


Header Page 10 of 149.

Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C - khả
vi tại z .

Sau đây là điều kiện Cauchy - Riemann.
Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định trong miền Ω ⊂ C.
Hàm f được gọi là R2 - khả vi tại z = x + iy nếu các hàm u(x, y) và

v(x, y) khả vi tại (x, y).
Định lý 1.1.4. Hàm f là C - khả vi tại z = x + iy ∈ Ω điều kiện cần và
đủ là hàm f phải là R2 - khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Riemann sau
được thỏa mãn tại z .
∂u
∂x
∂u
∂y

(x, y) =

∂v
∂y

(x, y) ,

∂v
(x, y) = − ∂x
(x, y).

(1.1)

Nhận xét 1.1.1.
i) Nói cách khác hàm R2 - khả vi tại z là C - khả vi tại đó nếu và chỉ
nếu

∂f
(z) = 0.
∂z
ii) Từ (1.1) và nhận xét trên, nếu f là C - khả vi tại z thì ta có
∂f
1 ∂u
∂v
∂u
∂v
(z) =
(z) + i (z) − i (z) + (z)
∂z
2 ∂x
∂x
∂y
∂y
=

1 ∂u
∂v
∂u
∂v
2 (z) + 2i (z) =
(z) + i (z) = f (z).
2 ∂x
∂x
∂y
∂y

Định nghĩa 1.1.4. Hàm f xác định trong miền Ω ⊂ C với giá trị trong

C gọi là hàm chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu tồn tại r > 0 để f là C - khả vi
tại mọi z ∈ D(z0 , r) ⊂ D.
Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈ Ω ta nói f chỉnh hình trên Ω.
Nhận xét 1.1.2. Ta có thể mở rộng định nghĩa nêu trên tới trường hợp

Ω là miền tùy ý trong C, còn f là ánh xạ từ Ω vào C bởi phép đảo nghịch.
10

Footer Page 10 of 149.


Header Page 11 of 149.

Như vậy, khi z0 hữu hạn còn f (z0 ) = ∞ ta nói f chỉnh hình tại z0 nếu
1
f (z)

chỉnh hình tại z0 , còn khi z0 = ∞ ta nói f chỉnh hình tại z0 nếu f

1
z

chỉnh hình tại 0.
Nếu không có gì đặc biệt ta luôn coi Ω ⊂ C và f là hữu hạn.
Dưới đây là một số tính chất của hàm chỉnh hình.
Định lý 1.1.5. Giả sử Ω ⊂ C là một miền và H(Ω) là tập các hàm chỉnh
hình trên Ω. Khi đó
(i) H(Ω) là một không gian vectơ trên C;
(ii) H(Ω) là một vành;
(iii) Nếu f ∈ H(Ω) và f (z) = 0, ∀z ∈ Ω thì 1/f ∈ H(Ω);

(iv) Nếu f ∈ H(Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi.
Định nghĩa 1.1.5 (Về hàm hợp). Nếu f : Ω → Ω∗ và g : Ω∗ → C là các
hàm chỉnh hình, ở đây Ω và Ω∗ là các miền trong mặt phẳng (z) và (w),
thì hàm g ◦ f : Ω → C chỉnh hình.
∞

Định lý 1.1.6. Giả sử chuỗi lũy thừa

Cn z n có bán kính hội tụ R > 0.

n=0

Khi đó tổng f (z) của nó chỉnh hình tại mọi z với |z| < R và đạo hàm
∞

phức của nó là

nCn z n−1 .

n=1

1.2. Hàm chỉnh hình nhiều biến
Không gian phức Cn là tích Descartes của n không gian vec tơ C.
Vậy Cn là một không gian vec tơ trên trường C.
Trên Cn , với mọi z = (z1 , z2 , ..., zn ) ∈ Cn , ta thường sử dụng hai chuẩn
sau:

11

Footer Page 11 of 149.

Header Page 12 of 149.

Chuẩn Euclide:
1
2

n
1
2

||z|| = (z1 .z 1 + z2 .z 2 + ... + zn .z n ) =

zi .z i

.

i=1

Chuẩn max:

|z| = max {|z1 |, |z2 |, ..., |zn |} ,
Hai chuẩn này là tương đương vì thỏa mãn bất đẳng thức

|z| ≤ ||z|| ≤

√

n.|z|, ∀z ∈ Cn .

Cho a ∈ Cn , r > 0. Ta kí hiệu

P (a, r) = {z ∈ Cn : |z − a| < r} là đa đĩa mở tâm a bán kính r.
P (a, r) = {z ∈ Cn : |z − a| ≤ r} là đa đĩa đóng tâm a, bán kính r.
Ta nhắc lại định nghĩa hàm R2n - khả vi.
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử Ω là tập mở trong Cn và điểm a ∈ Ω. Hàm

f : Ω → C gọi là R2n - khả vi( hay khả vi) tại điểm a ∈ Ω nếu tồn tại vi
phân

∂f
∂f
dx1 + ... +
dx2n =
df =
∂x1
∂x2n

n

j=1

∂f
∂f
dxj +
dxn+j .
∂xj
∂xn+j

(1.2)

Nếu hàm f là R2n - khả vi tại mọi điểm a ∈ Ω thì hàm f được gọi là
R2n - khả vi trong Ω.
Với các số phức zj và z j , đặt:

1
(zj + z j ) ;
2

xj =
xn+j =

1
(zj − z j ) .
2i

Ta có:

dxj =

1
(dzj + dz j ) ;
2
12

Footer Page 12 of 149.


Header Page 13 of 149.

dxn+j =

1
(dzj − dz j ) .
2i

Theo đạo hàm hàm hợp

∂f ∂zj
∂f ∂z j
∂f
∂f
∂f
=
.
+
.
=
+
∂xj
∂zj ∂xj ∂z j ∂xj
∂zj ∂z j
∂f
∂f ∂zj
∂f ∂z j
∂f
∂f
=
.

+
.
=i
−i
∂xn+j
∂zj ∂xn+j ∂z j ∂xn+j
∂zj
∂z j

(1.3)
(1.4)

Thế (1.3),(1.4) vào (1.2) ta được
n

df =
j=1

∂f
∂f
+
∂zj ∂z j

∂f
∂f
1
(dzj + dz j ) + i
−i
2
∂zj

∂z j

1
(dzj − dz j )
2i

Khai triển và rút gọn ta được
n

df =
j=1

∂f
dzj +
∂zj

n

j=1

∂f
dz j .
∂z j

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử Ω là tập mở trong Cn và điểm a ∈ Ω. Hàm

f : Ω → C được gọi là Cn - khả vi tại điểm a nếu nó là hàm R2n - khả vi
tại a, và tại điểm a ta có

∂f

= 0, ∀j = 1, 2, ..., n.
∂z j
Khi đó

n

df =
j=1

∂f
dzj .
∂zj

Nếu hàm f khả vi tại mọi điểm a ∈ Ω thì hàm f được gọi là Cn - khả vi
trong Ω.
Sau đây là khái niệm hàm chỉnh hình.
Định nghĩa 1.2.3. Cho z0 ∈ Ω, với Ω là tập mở trong Cn . Hàm f : Ω → C
được gọi là chỉnh hình tại z0 , nếu f là hàm Cn - khả vi tại mọi điểm trong
một lân cận nào đó của z0 .
13

Footer Page 13 of 149.

.


Header Page 14 of 149.

Hàm f : Ω → C được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu f chỉnh hình tại
mọi z ∈ Ω.

Tiếp theo là một số tính chất của hàm chỉnh hình nhiều biến.
Cho Ω ⊂ Cn và f : Ω → C.
Kí hiệu: Hàm f liên tục trong miền Ω ⊂ Cn theo tập hợp các biến và tại
mỗi điểm z0 ∈ Ω hàm f chỉnh hình theo từng tọa độ. (∗)
Định lý 1.2.1. Nếu f thỏa mãn (*) trong một đa đĩa P (a, r) thì tại mỗi

z ∈ P (a, r), hàm f được biểu diễn dưới dạng tích phân bội Cauchy như
sau

f (z) =

1
(2πi)n

f (ξ)dξ1 ...dξn
(ξ1 − z1 )...(ξn − zn )

...
Γ

(1.5)

Γ

với Γ = z ∈ Cn : |zj − aj | = rj , ∀j = 1, n ,(r ∈ Cn ) là khung của đa đĩa,
tức là tích của n vòng tròn biên γj = {|ξj − aj | = rj }.
Chứng minh. Với mọi z ∈ P , gọi z và P tương ứng là hình chiếu trong
không gian Cn−1 của z và P , ta có z ∈ P .
Hàm f (z) = f (z , zn ) chỉnh hình theo biến zn trong hình tròn {|zj − aj | ≤

r}. Do đó, áp dụng công thức tích phân đối với hàm một biến, ta thu được
f (z) =

1
2πi
γn

f (z , ξn )
dξn .
(ξn − zn )

Với ξn ∈ γn và z ∈ P tùy ý, hàm dưới dấu tích phân có thể biểu diễn bởi
tích phân Cauchy theo biến zn−1 . Hơn nữa, do f liên tục theo tập hợp biến,
nên tích phân lặp có thể biểu diễn như tích phân bội theo tích γn−1 × γn .
Tiếp tục lặp lại lý luận như trên cho tới biến z1 ta được công thức (1.5).
Định lý 1.2.2. Nếu f thỏa mãn (*) trong đa đĩa đóng P (a, r) thì với mọi

z ∈ P (a, r), ta có hàm f được biểu diễn bởi chuỗi lũy thừa
∞

Ck (z − a)k .

f (z) =
|k|=0

14

Footer Page 14 of 149.

(1.6)

Header Page 15 of 149.

Trong đó,

Ck =

1
(2πi)n

f (ξ)dξ
Γ

(ξ − a)k+1

,

với Γ là khung của đa đĩa, k = (k1 , ..., kn ) ∈ Nn ,

k + 1 = (k1 + 1, ..., kn + 1) ∈ Nn ,
và (z − a)k = (z1 − a1 )k1 ...(zn − an )kn .
Chứng minh. Ta có thể viết tích phân Cauchy (1.5) dưới dạng đơn giản
như sau

f (z) =

f (ξ)
dξ.
ξ−z

1
(2πi)n

(1.7)

Γ

Trong đó

dξ = dξ1 ...dξn ,

1
1
=
.
ξ−z
(ξ1 − z1 )...(ξn − zn )

Ta khai triển nhân trong tích phân (1.6) thành tích cấp số nhân bội

1
1
=
.
ξ−z
ξ−a 1−

1
z1 −a1

ξ1 −a1

... 1 −

zn −an
ξn −an

1
=
.
ξ−a

∞

|k|=0

z−a
ξ−a

k

.

Trong đó, k ∈ Nn và |k| = k1 + ... + kn và

z−a
ξ−a

k

=

z1 − a1
ξ1 − a1

Hay

1
=
ξ−z

∞

k1

zn − an
...
ξn − an

(z − a)k

(ξ − a)k+1
|k|=0

kn

(1.8)

,

trong đó: k + 1 = (k1 + 1, ..., kn + 1)
Mặt khác, với bất kì z ∈ P (a, r) chuỗi (1.8) hội tụ tuyệt đối và đều trên

Γ theo ξ . Nhân chuỗi (1.7) với hàm

f (ξ)
n,
(2πi)

hàm này liên tục trên Γ nên bị

chặn trên Γ. Sau đó, lấy tích phân từng phần ta thu được biểu diễn (1.6).

15

Footer Page 15 of 149.


Header Page 16 of 149.

Định lý 1.2.3. (Định lý Abel) Nếu chuỗi (1.6) hội tụ tại điểm ξ ∈ Cn
nào đó trên một tập K bất kì, với K com pact và

K = {z : ||zj − aj || < ||ξj − aj ||} ,
chuỗi này hội tụ tuyệt đối và đều.
Định lý 1.2.4. Nếu hàm f thỏa mãn (*) trong đa đĩa đóng P (a, r) thì tại
mọi z ∈ P (a, r), hàm f có các đạo hàm riêng mọi cấp liên tục.
Định lý 1.2.5. Nếu hàm f chỉnh hình tại điểm a và f khai triển được ở
dạng chuỗi (1.6) thì các hệ số của chuỗi này được xác định theo công thức
Taylor

∂ k1 +...+kn f
1
.
Ck =
k1 !...kn ! ∂z1 k1 ...∂zn kn

z=a

1 ∂ |k| f
= . k
k! ∂z

z=a

trong đó, k! = k1 !...kn !
Định lý 1.2.6. (Bất đẳng thức Cauchy) Nếu hàm f chỉnh hình trên đa
đĩa đóng P (a, r) và |f | ≤ M trên khung Γ của đa đĩa này thì các hệ số
khai triển của chuỗi (1.5) thỏa mãn

Ck ≤

M
,
rk

trong đó: rk = r1 k1 ...rn kn .
Định lý 1.2.7. (Tính duy nhất) Nếu f là hàm chỉnh hình trên miền

Ω ⊂ Cn sao cho mọi đạo hàm riêng của f bằng 0 và tại điểm a ∈ Ω thì

f (z) = 0, ∀z ∈ Ω.
Chứng minh. Giả sử a ∈ Ω là điểm tùy ý.
Khi đó mọi hệ số khai triển Taylor của f tại a bằng 0. Do đó, f ≡ 0 trong
lân cận nào đó của điểm a.
0

0

Đặt: E = {z ∈ Ω : f (z) = 0} và E là phần trong của E . Tập E là tập mở
16

Footer Page 16 of 149.


Header Page 17 of 149.

và khác rỗng vì nó chứa a.
0

Ta cũng thấy rằng, E là tập đóng trong Ω.
0

Do đó, E ≡ 0.
Định lý 1.2.8. (Nguyên lý mô đun cực đại) Nếu f chỉnh hình trên miền

Ω ⊂ Cn sao cho |f | đạt cực đại tại a ∈ Ω thì f là hàm hằng trên Ω.
Chứng minh. Chọn p > 0 đủ bé để B(a, p) ⊂ Ω.
Khi đó, như hàm một biến ξ ∈ C : |ξ| < p, f = const trên

{a + ωξ : |ξ| < p} ,

với mọi ω ∈ Cn : ||ω|| = 1.
Vậy f = const trên B(a, p).
Theo định lý tính duy nhất suy ra f = const trên Ω.
Định lý 1.2.9. (Liouville) Nếu f chỉnh hình trên Cn và bị chặn thì f là
hàm hằng trên Cn .
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Với n = 1, xét f như hàm một biến ξ ∈ Cn thì f = const trên {ωξ : ξ ∈ C},
với mọi ω ∈ Cn , ||ω|| = 1. Ta có điều phải chứng minh.
Giả sử định lý đúng với hàm (n − 1) biến. Ta chọn các điểm tùy ý

a, b ∈ Cn , do theo giả thiết quy nạp nên hàm f (z , an ) là hàm hằng.
Do đó, f (a) = f (b , an ). Mặt khác, hàm f (b , an ) cũng là hằng số, vậy

f (b , an ) = f (b).
Do đó, f (a) = f (b).
Vậy định lý đúng cho hàm n biến.

17

Footer Page 17 of 149.


Header Page 18 of 149.

Nhận xét 1.2.1.
i) Từ Định lý 1.2.2 và Định lý 1.2.3 suy ra nếu hàm f thỏa mãn (*) trên

Ω, thì f chỉnh hình trên Ω;
ii) Theo Định lý 1.2.4, đạo hàm riêng mọi cấp của một hàm chỉnh hình
cũng là một hàm chỉnh hình.

1.3. Hàm điều hòa dưới
Định nghĩa 1.3.1. Cho X là một không gian metric. Một hàm u →

[−∞; +∞) trên X được gọi là nửa liên tục trên nếu với mọi c ∈ R, tập
{x ∈ X : u(x) < c} là một tập mở.
Ta cũng có thể định nghĩa một cách tương đương: Hàm u được gọi là
nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu tại mỗi điểm a ∈ X , ta có

lim sup u(x) = u(a),

x→a

với lim sup u(x) = inf (sup{u(y) : y ∈ B(a, ε)}).
x→a

ε>0

Định lý 1.3.1. Nếu K là không gian metric compact và u là hàm nửa liên
tục trên trong K thì u đạt cực đại tại một điểm trong K .
∞

Uj , với Uj = {x ∈ K : u(x) < j} và K -

Chứng minh. Vì K =
j=1

compact. Vì {Uj } là dãy tăng nên ∃j0 ∈ N : K = Uj0 ⇒ ∃j0 ∈ N : u < j0
trên K .
Đặt s = sup{u(x) : x ∈ K}, ta có s < +∞.

Xét {xj }j≥1 là một dãy trong K sao cho u(xj ) hội tụ đến s khi j → ∞. Vì

K - compact nên có dãy con hội tụ {xjk }k≥1 hội tụ đến một điểm x0 ∈ K .
Do đó s = lim u(xjk ) ≤ u(x0 ) ≤ s.
k→∞

Vì vậy u(x0 ) = s.
18

Footer Page 18 of 149.


Header Page 19 of 149.

Định lý 1.3.2. Cho u là hàm nửa liên tục trên trong không gian metric

(X, d), giả sử u bị chặn trên trên X . Khi đó tồn tại dãy hàm liên tục
ϕn : X → R sao cho ϕ1 ≥ ϕ2 ≥ ... ≥ u và lim ϕn = u.
n→∞

Chứng minh. Ta có thể giả sử u = −∞.
Với mỗi n ≥ 1, xác định ϕn : X → R cho bởi

ϕn (x) = sup(u(y) − nd(x, y)), x ∈ X.
x∈X

Với mỗi n ta có |ϕn (x) − ϕn (x )| ≤ nd(x, x ), x, x ∈ X .
Do đó, ϕn liên tục trên X . Hơn nữa, ϕ1 ≥ ϕ2 ≥ ... ≥ u nên lim ϕn ≥ u.
n→∞

Mặt khác, kí hiệu B(x, ρ) = {y ∈ X : d(x, y) < ρ}. Ta có

ϕn (x) ≤ max( sup u, sup u − nρ), x ∈ X, ρ > 0.
B(x,ρ)

X

Suy ra lim ϕn (x) ≤ sup u, x ∈ X, ρ > 0.
n→∞

B(x,ρ)

Vì u là hàm nửa liên tục trên, cho ρ → 0 ta được lim ϕn ≤ u.
n→∞

Vậy lim ϕn = u.
n→∞

Định nghĩa 1.3.2. (Hàm điều hòa dưới) Giả sử Ω là tập mở trong C.
Hàm u : Ω → [−∞; +∞) được gọi là hàm điều hòa dưới trên Ω nếu nó là
nửa liên tục trên trên Ω, u = −∞ trên bất kì một thành phần liên thông
của Ω và thỏa mãn bất đẳng thức trung bình địa phương trên Ω, nghĩa là
với mọi ω ∈ Ω tồn tại ρ > 0 sao cho
2π

1
u(ω) ≤
2π

u(ω + r.eit )dt, (0 ≤ r < ρ).

0

Ta kí hiệu tập tất cả các hàm điều hòa dưới trên Ω là SH(Ω).
Mệnh đề 1.3.1. Giả sử u, v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω
trong C. Khi đó
19

Footer Page 19 of 149.


Header Page 20 of 149.

i) max(u, v) là hàm điều hòa dưới trên Ω;
ii) Tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là một nón, tức là nếu u, v ∈

SH(Ω) và λ, µ > 0 thì (λu + µv) ∈ SH(Ω).
Ta trình bày nguyên lý cực đại của các hàm điều hòa dưới.
Định lý 1.3.3. (Nguyên lý cực đại) Cho u là hàm điều hòa dưới trên miền
bị chặn Ω trong C. Khi đó
i) Nếu u đạt cực đại trên Ω thì u là hằng số trên Ω;
ii) Nếu lim sup u(z) ≤ 0 với mọi ξ ∈ ∂Ω thì u ≤ 0 trên Ω.
z→ξ

Chứng minh.
i) Giả sử u đạt cực đại bằng M trên Ω.
Đặt A = {z ∈ Ω : u(z) < M } và B = {z ∈ Ω : u(z) = M }. Khi đó A là
tập mở vì u là hàm nửa liên tục trên.
Ta chứng minh B cũng là tập mở. Thật vậy, lấy ω ∈ B ta có u(ω) = M .
Do u là hàm điều hòa dưới nên tồn tại ρ > 0 sao cho
2π

1
u(ω) ≤
2π

u(ω + r.eit )dt, (0 ≤ r < ρ).
0

Suy ra
2π

1
M≤
2π

2π

1
u(ω + r.eit )dt ≤
2π
0

M dt = M .
0

Vậy u(ω + r.eit ) = M, (0 ≤ r < ρ). Hay ta có đĩa D(ω, r) ⊂ B , tức B là
tập mở.
Vậy A và B là hai tập mở rời nhau trong miền Ω liên thông, nên A = Ω
hoặc B = Ω.
Do B = ∅ nên B = Ω. Vậy u = M trên Ω.

ii) Ta mở rộng u lên ∂Ω bằng cách xác định

u(ξ) = lim sup u(z), ξ ∈ ∂Ω.
z→ξ

20

Footer Page 20 of 149.


Header Page 21 of 149.

Khi đó u là hàm nửa liên tục trên xác định trên Ω. Do Ω là tập compact
nên u đạt cực đại tại điểm ω ∈ Ω.
Nếu ω ∈ ∂Ω thì theo giả thiết u(ω) ≤ 0 trên Ω nên u ≤ 0 trên Ω.
Nếu ω ∈ Ω thì theo phần (i) ta có u = M là hằng số trên Ω.
Do lim sup u(z) ≤ 0 nên u ≤ 0 trên Ω.
z→ξ

Định lý 1.3.4. Cho Ω là miền trong C và u : Ω → [−∞; +∞) là một
hàm nửa liên tục trên. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
i) Hàm u là điều hòa dưới trên Ω;
ii) Mọi K là miền con compact tương đối của Ω và h là hàm điều hòa
trên K thỏa mãn lim sup(u(z) − h(z)) ≤ 0, ξ ∈ ∂K , thì u ≤ h trên K .
z→ξ

Chứng minh.

(i) ⇒ (ii). Giả sử h và K được cho thỏa mãn các điều kiện của (ii), khi
đó u − h là hàm điều hòa dưới trên K thỏa mãn lim sup u(z) ≤ 0. Theo

z→ξ

nguyên lý cực đại (Định lý 1.3.3) ta có u ≤ h trên K .

(ii) ⇒ (i). Để chứng minh u là hàm điều hòa dưới trên Ω, ta chỉ cần chứng
minh u thỏa mãn bất đẳng thức trung bình địa phương trên Ω, tức là với
mọi ω ∈ Ω, tồn tại ρ > 0 sao cho
2π

1
u(ω) ≤
2π

u(ω + r.eit )dt, (0 ≤ r < ρ).
0

Lấy ω ∈ Ω, do Ω là tập mở nên ∃ρ > 0 sao cho B(ω, ρ) ⊂ Ω .
Xét 0 ≤ r < ρ và B(ω, r) ⊂ B(ω, ρ) ⊂ Ω, theo Định lý 1.3.2 tồn tại dãy
hàm liên tục ϕn : ∂B(ω, r) → R sao cho ϕn giảm dần đến u trên ∂B(ω, r).
Theo mệnh đề nhân Poisson, ta có ρϕn là hàm điều hòa trên B(ω, r) và

lim ρϕn (z) = ϕn (ξ) với mọi ξ ∈ ∂B(ω, r). Do đó

z→ξ

lim sup(u − ρϕn )(z) ≤ u(ξ) − ϕn (ξ) ≤ 0, ξ ∈ B(ω, r).

z→ξ

21

Footer Page 21 of 149.


Header Page 22 of 149.

Theo giả thiết ở (ii) ta có u ≤ ρϕn trên B(ω, r). Vậy
2π

1
u(ω) ≤
2π

u(ω + r.eit )dt, 0 ≤ r < ρ.
0

Do đó, u là hàm điều hòa dưới trên Ω.

Định nghĩa 1.3.3. (Hàm đa điều hòa dưới) Hàm u được gọi là một hàm
đa điều hòa dưới nếu với mỗi a ∈ Ω và b ∈ Cn , ánh xạ λ → u(a + λb) là
hàm điều hòa dưới hoặc u đồng nhất bằng −∞ trên mỗi thành phần của
tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}.
Kí hiệu tập tất cả các hàm đa điều hòa dưới là P SH(Ω).

1.4. Định lý Hartogs
Định lý 1.4.1. (Hartogs) Giả sử f : Ω → C, với Ω mở trong Cn chỉnh
hình theo từng biến phân biệt trên Ω. Khi đó f chỉnh hình trên Ω.
Sự chứng minh định lý dựa trên một số bổ đề sau.
Bổ đề 1.4.1. (Bổ đề Schwarz suy rộng) Giả sử ϕ chỉnh hình trên đĩa

Dr = {z ∈ C : |z| < r} với ϕ(z0 ) = 0 và |ϕ| ≤ M khắp nơi trên Dr . Khi
đó

|ϕ(z)| ≤ M r

|z − z0 |
, ∀z ∈ Dr .
|r2 − z 0 r|

(1.9)

Chứng minh. Để đưa về bổ đề Schwarz khi z0 = 0 ta xét ánh xạ phân
tuyến tính λ : Dr → D1 = D cho bởi

λ(z) = r

z − z0
.
r2 − z 0z

22

Footer Page 22 of 149.


Header Page 23 of 149.

Đặt

ψ=

1
ϕ0 λ−1 .
M

Khi đó ψ : D → D và ψ(0) = 0. Áp dụng bổ đề Schwarz đã biết ta nhận
được

|ψ(z)| ≤ |z|, ∀z ∈ D.
Thay vào bất đẳng thức trên z bởi λ(z), z ∈ Dr ta có

1
|ϕ(z)| ≤ |λ(z)|, ∀z ∈ Dr .
M
Vậy

|ϕ(z)| ≤ M

|z − z0 |
, ∀z ∈ Dr .
|r2 − z 0 r|

Bổ đề 1.4.2. Nếu f chỉnh hình theo từng biến phân biệt trong đa đĩa

P (a, r) và bị chặn, thì nó chỉnh hình trên P (a, r).
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh f liên tục tại mọi z 0 ∈ P (a, r).
Viết
n
0

0
f (z10 , ..., zj−1
, zj , ..., zn ) − f (z10 , ..., zj0 , zj+1 , ..., zn ) ,

f (z) − f (z ) =
j−1

và áp dụng (1.9) tới mỗi hàm
0
ϕj (zj ) = f (z10 , ..., zj−1
, zj , ..., zn ) − f (z10 , ..., zj0 , zj+1 , ..., zn ),

ta nhận được
n

|zj − zj0 |
→ 0,
|f (z) − f (z0 )| ≤ M
rj 2
0
|r
−
z
z
|
j
j
j
j=1
khi z → z 0 .

Vậy để định lý được chứng minh ta chỉ cần chỉ ra mọi hàm chỉnh hình
phân biệt f là bị chặn địa phương. Đầu tiên từ tính liên tục phân biệt, ta
chỉ ra sự tồn tại tập mở khác rỗng trên đó f bị chặn. Đó là bổ đề sau:
23

Footer Page 23 of 149.


Header Page 24 of 149.

Bổ đề 1.4.3. Giả sử D = D × Dn ( ở đây D và Dn là các tập mở bị
chặn trong Cn−1 và C). Nếu hàm f (z , zn ) liên tục theo z ∈ D với mọi

zn ∈ Dn cố định và liên tục theo zn ∈ Dn với z ∈ D cố định thì tồn tại
tập mở W = W × Dn = ∅ trên đó f bị chặn.
Với mỗi z ∈ W đặt

M (z ) = sup |f (z , zn )| : zn ∈ Dn < +∞.
Xét các tập

Am = {z ∈ D : M (z ) ≤ m} .
Dễ dàng kiểm tra lại do tính liên tục của f theo z các tập Am là đóng
trong D . Ngoài ra, do tính liên tục của f theo zn và tính compact của Dn
suy ra
∞

D = ∪ Am .
µ=1

Bởi định lý Baire tồn tại m0 ≥ 1 sao cho W = IntAm0 = ∅. Khi đó f bị

chặn trên W × Dn bởi m0 .
Để chứng minh tính bị chặn địa phương của f tại mọi điểm thuộc Ω ta
áp dụng tính chỉnh hình phân biệt và bổ đề Hartogs về dãy hàm điều hòa
dưới. Để phát biểu bổ đề cơ bản sau ta đưa ra một số kí hiệu

V = P (a , R), W = P(a , r), (0 < r < R);
Dn = {|zn | < R} , V = V × Dn , W = W × Dn .
Bổ đề 1.4.4. Nếu hàm f (z , zn ) chỉnh hình theo z trong V với zn ∈ Dn
cố định và chỉnh hình theo z ∈ W thì f chỉnh hình trên V .
Chứng minh. Có thể coi a = 0. Với mỗi zn ∈ Dn cố định, do f (z , zn )
chỉnh hình trên đa đĩa V có thể khai triển nó thành chuỗi lũy thừa của z

24

Footer Page 24 of 149.


Header Page 25 of 149.

( hệ số phụ thuộc vào zn ).
∞

cα (zn ) z α

f (z) =

(1.10)

|α|=0

ở đây α = (α1 , ..., αn−1 ).

1 ∂α
cα (zn ) =
f (0 , zn ).
α! ∂ z α
Vì f chỉnh hình trên Ω, cα (zn ) chỉnh hình theo zn ∈ Dn . Và do đó hàm
1
|α|

log |cα (zn )| là điều hòa dưới trên Dn .

Cố định 0 < ρ < R tùy ý. Bởi vì |cα (zn )|ρ|α| → 0 khi |α| → +∞, nên với
mọi zn ∈ Dn với |α| đủ lớn ta có

1
log |cα (zn )| + log ρ ≤ 0.
|α|
Vậy

lim sup

|α|→∞

1
1
log |cα (zn )| ≤ log .
|α|
ρ

(1.11)

Do f chỉnh hình trên W và bị chặn trên đó bởi M , từ bất đẳng thức
Cauchy suy ra

|cα (zn )|r|α| ≤ M, ∀zn ∈ Dn .
Vì vậy

1
M /α
1
log |cα (zn )| ≤ log
, ∀zn ∈ Dn .
|α|
r
Như vậy dãy hàm điều hòa dưới

1
|α|

(1.12)

log |cα (zn )| thỏa mãn điều kiện của

bổ đề Hartogs về dãy các hàm điều hòa dưới. Theo bổ đề này

∀0 < δ < ρ, ∃k0 , ∀|α| > k0 , ∀|zn | ≤ δ :

1
1

log |cα (zn )| ≤ log .
|α|
δ

Hay

|cα (zn )|δ |α| ≤ 1.
25

Footer Page 25 of 149.

(1.13)