chuyên đề đại số lớp 9

Chuyên đề đại số lớp 9
định lý vi et và một số ứng dụng
Ngời viết : Tạ Phạm Hải
Giáo viên THCS Thị trấn Hng hà , Thái bình
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Nhắc lại một số kiến thức có liên quan

một số hằng đẳng thức đáng nhớ:
1) (a + b)
2
= a
2
+ b
2
+ 2ab a
2
+ b
2
= (a + b)
2
2ab
2) (a - b)
2
= a
2
+ b
2
- 2ab = (a + b)
2
4ab a
2

+ b
2
= (a + b)
2
2ab
3) (a + b)
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b) a
3
+ b
3
= (a + b)
3
3ab(a + b)

Nhắc lại một số kiến thức có liên quan:
Cho 2 số A và B, khi xét dấu của 2 số này ta có các trờng hợp sau đây:
1) A và B trái dấu AB < 0
2) A và B cùng dấu AB > 0
3) A và B cùng dơng AB > 0
A + B > 0
4) A và B cùng âm AB > 0
A + B < 0
* Nếu A + B > 0 thì ít nhất một trong 2 số phải dơng.
* Nếu A + B < 0 thì ít nhất một trong 2 số phải âm.
II. Định lý Vi et :

Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) thì:
S = x
1
+ x
2
=
P = x
1
.x
2
=
III. Một số ứng dụng của định lý Vi et:
1) Tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai( có 2 trờng hợp thờng sử dụng)
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) (1)
a) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm là: x
1
= 1 và x
2
=
b) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm là: x
1
=- 1 và x

2
=-
2) Tính giá trị một số biểu thức liên quan đến các nghiệm của phơng trình bậc hai
mà không cần tìm nghiệm. Ví dụ:
x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
(x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2

)
2
4x
1
x
2
1
b
a

c
a
c
a
c
a
(x
1
x
2
)
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1

x
2
(x
1
+ x
2
)
.v.v.
3) Tìm hai số khi biết trớc tổng và tích:
Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là nghiệm của ph-
ơng trình x
2
Sx + P = 0
( ĐK để có hai số u và v là: S
2
4P 0)
4) Xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai:
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) (1)
a) Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu ac < 0
b) Phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
c) Phơng trình có 2 nghiệm cùng dơng 0 và P > 0 và S > 0
d) Phơng trình có 2 nghiệm cùng âm 0 và P > 0 và S < 0
e) Phơng trình có ít nhất 1 nghiệm dơng 0 và S > 0
f) Phơng trình có ít nhất một nghiệm âm 0 và S < 0
B. Một số bài toán điển hình:
Bài toán 1 : Chứng tỏ rằng nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) (1)

Có nghiệm x
1
; x
2
thì tam thức f(x) = ax
2
+ bx + c phân tích đợc nh sau:
f(x) = ax
2
+ bx + c = a(x x
1
)(x x
2
)
Bài giải
Ta có f(x) = ax
2
+ bx + c = a[ x
2
(- )
2
+ ] = a(x x
1
)(x x
2
)
*ứng dụng của bài toán trên:
Phân tích đa thức ax
2
+ bx + c thành nhân tử:

VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2x
2
5x + 3
b) 3x
2
+ 8x + 2
Bài giải
a) Trớc hết ta giải phơng trình: 2x
2
5x + 3 = 0
Có a + b + c = 0
x
1
= 1 ; x
2
= 3/ 2
* áp dụng kết quả bài toán trên ta đợc:
2x
2
5x + 3 = 2(x 1)(x 3/ 2)
2
b
a
c
a
b) Trớc hết ta giải phơng trình: 3x
2
+ 8x + 2 = 0
= 4

2
3 . 2 = 10 > 0. Phơng trình có 2 nghiệm
x
1
= ; x
2
=
Vậy 3x
2
+ 8x + 2 = 3( x + )(x + )
* Nhận xét: Với bài toán này ở lớp 8 ta đã biết cách giải đó là: phân tích đa thức
thành nhân tử bằng phơng pháp tách, tuy nhiên với phơng pháp này đôi khi thực
hiện sẽ gặp khó khăn (ví dụ nh câu b). Song trong trờng hợp tam thức bậc hai có
nghiệm, nếu sử dụng kết quả bài toán trên thì bất kỳ tam thức bậc hai nào cũng
phân tích đợc thành nhân tử một cách thuận lợi.
Bài toán 2 : Tính nhẩm nghiệm của các phơng trình sau:
a) 2007x
2
2008x + 1 = 0
b) x
2
(
2 3+
)x +
6
= 0
Bài giải
a) Ta có a + b + c = 2007 2008 + 1 = 0
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x
1

= 1 ; x
2
= 1 / 2007
* Nhận xét: Với bài toán này, nếu dùng cách giải bằng công thức nghiệm thì việc
tính toán sẽ cồng kềnh, đôi khi dẫn đến kết quả sai. Song nhờ ứng dụng của định
lý Vi et nên việc giải phơng trình trên trở nên nhanh gọn, dễ dàng hơn.
Bài toán 3 :
Cho phơng trình : x
2
- x 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phơng trình có 2 nghiệm x
1
; x
2
( giả sử x
2
< 0)
b) Không giải hãy tính giá trị các biểu thức sau:
1) x
1
+ x
2
; x
1
.x
2
5) x
1
3
x

2
3
2) 6) x
1
(1 x
2
) + x
2
( 1 x
1
)
3) x
1
2
+ x
2
2
7)* A = x
1
4
+ 2x
2
3
+ 3x
1
2
+ 8x
2
-8
4) x

1
2
- x
2
2
8)* B =
8
1 1
10 13x x+ +
+ x
1
Bài giải
7) x
1
là nghiệm của phơng trình (1) nên ta có:
x
1
2
x
1
1 = 0 x
1
2
= x
1
+ 1
x
1
4
= (x

1
+ 1)
2
= x
1
+ 2x
1
+ 2 = 3x
1
+2
2x
2
3
= 2x
2
2
+ 2x
2
= 4x
2
+2
3
1 2
1 1
x x
+
4 10
3
+
4 10

3

4 10
3

4 10
3
+
Vậy A = 3x
1
+ 2 + 4x
2
+ 2 + 3x
1
+ 3 + 8x
2
8
= 6x
1
+ 12x
2
1
= 6( x
1
+ x
2
) + 6x
2
1
= 6. 1 + 6 x

2
1 = 5 + 6( ) =
8) x
1
8
= (x
1
4
)
2
= 9x
1
2
+ 12x
1
+ 4 = 21x
1
+ 13

= 21( ) + 13 =
* Chú ý: Trớc khi thực hiện các yêu cầu của bài toán phải kiểm tra xem phơng
trình có nghiệm hay không. VD: phơng trình x
2
2x + 2 = 0 vô nghiệm song
vẫn tồn tại biểu thức và biểu thức .
* Nhận xét: Với bài toán này nếu dùng cách giải thông thờng: tính cụ thể nghiệm
rồi thay vào biểu thức cần tìm thì việc tính toán rất cồng kềnh, dài dòng, phức tạp,
song nhờ định lý Vi et, ta biểu diễn các biểu thức này thông qua tổng và tích
các nghiệm, sau đó mới thực hành tính toán trên các con số, vì vậy việc tính toán
sẽ ngắn gọn, chính xác hơn nhiều.

Bài toán 4: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là:
a)
2 1+
và
2 1
b) 2 và 3
2 1+
và
2 1
c) 0.5 và 2
Bài giải
a) Ta có S =
2 1+
+
2 1
= 2
2
P = (
2 1+
)(
2 1
) = 1
Vậy
2 1+
và
2 1
là 2 nghiệm của phơng trình x
2
- 2
2

x + 1 = 0
Bài toán 5 : Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) (1).
Giả sử phơng trình có 2 nghiệm là x
1
và x
2
. Đặt S
n
= x
1
n
+ x
2
n
(n N)
a) Chứng minh rằng: a S
n+2
+ bS
n+1
+ cS
n
= 0
b) áp dụng: Không khai triển, hãy tính: A =
B =
Bài giải
a) Vì x
1
và x

2
là 2 nghiệm của phơng trình (1) nên ta có:
ax
2
1
+ bx
1
+ c = 0 và ax
2
2
+ bx
2
+ c = 0
Ta có: a S
n+2
+ bS
n+1
+ cS
n
= a(x
1
n+2
+ x
2
n+2
) + b(x
1
n+1
+ x
2

n+1
) + c(x
1
n
+ x
2
n
) =
= (ax
1
n+2
+ bx
1
n+1
+ cx
1
n
) + (ax
2
n+2
+ bx
2
n+1
+ cx
2
n
) =
= x
1
n

(ax
2
1
+ bx
1
+ c) + x
2
n
(ax
2
2
+ bx
2
+ c) = 0 (đpcm)
c) Đặt x
1
= 1-
3
và x
2
= 1 +
3
. Ta có x
1
+ x
2
= 2; x
1
.x
2

= - 2
4
c
a
1 5
2

16 6 5
2

1 5
2

47 21 5
2

4 4
1 1
(2 2) (2 2)
+
+
b
a

( ) ( )
7 7
1 3 1 3 + +
x
1
và x

2
là 2 nghiệm của phơng trình: x
2
2x 2 = 0.
áp dụng kết quả bài toán trên ta có: S
n+2
2 S
n+1
2S
n
= 0
S
n+2
= 2S
n+1
+ 2S
n
Ta có S
0
= x
1
0
+ x
2
0
= 2
S
1
= x
1

+ x
2
= 2
S
2
= 2S
1
+ 2S
0
= 4 + 4 = 8
S
3
= 2S
2
+ 2S
1
= 16 + 4 = 20
S
4
= 2S
3
+ 2S
2
= 40 + 16 = 56
S
5
= 2S
4
+ 2S
3

= 112 + 40 = 152
S
6
= 2S
5
+ 2S
4
= 304 + 112 = 416
A = S
7
= 2S
6
+ 2S
5
= 832 + 304 = 1136.
Tơng tự ta cũng tính đợc giá trị của biểu thức B
* Nhận xét: Với cách làm trên(ứng dụng của định lý Vi et ), ta đã tính đợc giá
trị của biểu thức A không mấy khó khăn. Nhng nếu tính trực tiếp bằng cách giải
phơng trình bậc hai để tìm nghiệm, rồi khai triển luỹ thừa bậc 7 của nhị thức bậc
nhất thì việc tính toán rất phức tạp, mất nhiều thời gian, dễ sai sót.








Bài toán 6 :
Chứng minh điều kiện cần và đủ để phơng trình ax

2
+ bx + c = 0(1) ( a 0)
có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là (k + 1)
2
ac = kb
2
Bài giải
* Điều kiện cần: Giả sử phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x
1
, x
2
thoả mãn:
x
1
= kx
2
hoặc x
2
= k x
1
Ta có: (k + 1)
2
ac = kb
2
(k + 1) = k
(k + 1)
2
kx
2
2

= k(kx
2
+ x
2
)
2
(k + 1)
2
kx
2
2
= k(k + 1) x
2
2
(hiển nhiên đúng)
Vậy (k + 1)
2
ac = kb
2
* Điều kiện đủ: Giả sử có (k + 1)
2
ac = kb
2
(k + 1)
2
ac - kb
2
= 0
Ta có = b
2

4ac = b
2
b
2
= b
2
0
Do đó phơng trình luôn có nghiệm. Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phơng trình(1).
Ta có: (x
2
k x
1
)(x
1
k x
2
) = x
1
x
2
kx
2
2
- k
2
x

1
2
+ k
2
x
1
x
2
= x
1
x
2
k[(x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
] + k
2
x
1
x
2
= + k
2

= (ac kb
2
+ 2kac + k
2
ac ): a
2
5
c
a
2
4
( 1)
k
k
+
2
1
1
k
k


ữ
+

2
2
2
c b c

k
a a a


ữ

c
a
2
b
a


ữ