Nghiên cứu về elipelipxoit

Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN........................................................................................................4
MỞ ĐẦU................................................................................................................5
1.Lý do chọn đề tài...............................................................................................5
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu.......................................................................5
a. Mục đích nghiên cứu......................................................................................5
b. Nhiệm vụ nghiên cứu.....................................................................................5
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu........................................................................6
a. Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................6
b. Phạm vi nghiên cứu........................................................................................6
4. Phương pháp nghiên cứu..................................................................................6
5. Cấu trúc của bài nghiên cứu.............................................................................6
Chương 1: ELIP TRONG MẶT PHẲNG...........................................................8
1.1 Định nghĩa elip trong mặt phẳng....................................................................8
1.2 Phương trình chính tắc của elip......................................................................9
1.3 Hình dạng, tính chất của elip........................................................................10
1.4 Liên hệ giữa đường tròn và đường elip........................................................11
1.5 Định nghĩa hình học khác.............................................................................12
1.6 Phương trình dạng đại số-cách nhận dạng elip trong các đường bậc 2........13
1.7 Elip tổng quát...............................................................................................22

SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 1


Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản

Chương 2 : ELIP TRONG KHÔNG GIAN......................................................23
MẶT TRỤ ELIPTIC. MẶT ELIPXOIT...............................................................
2.1 Định nghĩa mặt bậc hai.................................................................................23
2.2 Elip trong không gian...................................................................................23
2.3 Mặt trụ eliptic...............................................................................................24
2.3.1 Tổng quát về mặt trụ trong không gian...................................................24
2.3.2 Mặt trụ eliptic..........................................................................................25
2.4 Elipxoit.........................................................................................................26
2.4.1 Elipxoit tròn xoay...................................................................................26
2.4.1.1 Mặt tròn xoay....................................................................................26
2.4.1.2 Elipxoit tròn xoay.............................................................................28
2.4.2 Mặt Elipxoit............................................................................................28
Chương 3 : NHẬN DẠNG MẶT TRỤ ELIPTIC. MẶT ELIPXOIT TRONG
CÁC MẶT BẬC HAI..........................................................................................31
3.1 Phương pháp dùng phép biến đổi trực giao..................................................31
3.1.1 Phép biến đổi trực giao...........................................................................31
3.1.2 Nhận dạng mặt Elipxoit, mặt trụ eliptic..................................................33
3.2 Phương pháp phân tích thành bình phương đúng.........................................42
3.2.1 Trường hợp phương trình bậc hai có một số hạng vuông.......................42
3.2.2 Trường hợp phương trình bậc hai không có số hạng vuông...................44
3.2.3 Kết luận chung........................................................................................45
SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 2


Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản

3.2.4 Nhận dạng mặt trụ eliptic, mặt elipxoit..................................................45
Chương 4 : ỨNG DỤNG CỦA ELIP TRONG THỰC TIỄN..........................48
4.1 Elip trong các công trình kiến trúc...............................................................48
4.1.1 Elip và xây dựng sân vận động...............................................................48
4.1.2 Tại sao trần nhà hát lại có hình elip?......................................................49
4.1.3 Kiến trúc xanh – ngôi nhà trong suốt hình elip cực lạ............................51
4.1.4 Thư viện hình elip tuyệt đẹp của Thụy Sỹ..............................................51
4.2 Elip trong các ngành khoa học kỹ thuật.......................................................52
4.3 Elip trong cuộc sống thường ngày................................................................54
KÉT LUẬN..........................................................................................................56
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................57

SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 3


Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Phan Thị Quản, cô đã hướng
dân tận tình để em có thể hoàn thành tốt khóa luận này.

Em xin gửi lời cảm ơn đến ban Giám hiệu nhà trường Đại học Sư phạm Đà
Nẵng, ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành

khóa luận đúng kế hoạch quy định.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong khoa Toán đã truyền đạt,
chỉ dạy cho em những kiến thức bổ ích và quý báu trong suốt 4 năm học vừa qua.

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè - những người đã
luôn cổ vũ động viên, tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận này.

SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 4


Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:
Trong Toán học hay Vật lý, cũng như nhiều lĩnh vực khác của đời sống, ta có thể
dễ dàng bắt gặp hình ảnh của elip hay elipxoit. Đối với hình học phẳng, elip cùng
với parabol và hyperbol là bộ 3 đường Conic. Đây là một nền tảng quan trọng của
Toán học nói riêng và khoa học tự nhiên nói chung. Trong không gian, elipxoit
cũng là một phần quan trọng trong các mặt bậc hai. Elip và elipxoit có khá nhiều
ứng dụng trong thực tế như trong các công trình kiến trúc độc đáo, trong khoa học
kỹ thuật,…Các kiến thức về đường elip trong mặt phẳng khá phổ biến và được đưa
vào chương trình dạy học bắt đầu từ năm lớp 9. Tuy nhiên hiện nay chưa có nhiều
giáo trình nghiên cứu sâu, cụ thể về elip và các mặt elipxoit trong không gian.
Nhận thấy elip và elipxoit là một mảng khá quan trọng, thú vị và nhiều ứng dụng
của Toán học, tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài “Nghiên cứu về ElipElipxoit”.

2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu:
a, Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cứu sâu, cụ thể về đặc điểm, tính chất của đường elip, của elip trong
không gian, mặt trụ eliptic, mặt elipxoit và cách nhận dạng chúng trong các đường,
mặt bậc hai.
b, Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Định nghĩa, phương trình, các tính chất của elip trong mặt phẳng, trong không
gian và cách nhận dạng elip trong các đường bậc hai.
- Định nghĩa, cách xây dựng, phương trình, các tính chất của mặt trụ eliptic, mặt
elipxoit và cách nhận dạng chúng trong các mặt bậc hai.
SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 5


Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản

3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
a, Đối tượng nghiên cứu:
-Đường elip trong mặt phẳng, trong không gian.
-Mặt trụ eliptic.
-Elipxoit tròn xoay, elipxoit.
b, Phạm vi nghiên cứu:
Cách xây dựng các đối tượng nghiên cứu trong hệ trục tọa độ Descartes vuông
góc, phương trình chính tắc, các đặc điểm tính chất và cách nhận dạng chúng trong
các đường, mặt bậc hai với nền tảng kiến thức của hình học Euclid.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình nghiên cứu đề tài và

thực hiện theo quy trình như sau:
(1) Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa kiến thức.
(2) Thu thập các tài liệu có liên quan đến elip, elipxoit.
(3) Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.
(4) Trao đổi và thảo luận với giảng viên hướng dẫn.
5. Cấu trúc của bài nghiên cứu:
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của bài khóa luận
này gồm 4 chương:
Chương 1: ELIP TRONG MẶT PHẲNG.
Trong chương này, tôi giới thiệu định nghĩa elip trong mặt phẳng, cách vẽ elip,
phương trình dạng chính tắc, dạng đại số, nghiên cứu các tính chất của elip trong
SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 6


Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản

mặt phẳng; cách nhận dạng đường elip trong các đường bậc 2 bằng 2 phương pháp:
phương pháp biến đổi trực giao và phương pháp sơ cấp thông qua phép quay và
phép tịnh tiến.
Chương 2: ELIP TRONG KHÔNG GIAN. MẶT TRỤ ELIPTIC. ELIPXOIT.
Chương này gồm 4 nội dung chính:
-Phần 1 nhắc lại định nghĩa mặt bậc 2 và các định nghĩa liên quan.
-Phần 2 nghiên cứu về Elip trong không gian.
-Phần 3 nghiên cứu về mặt trụ eliptic.
-Phần 4 nghiên cứu về mặt Elipxoit.
Các phần nghiên cứu bao gồm các nội dung: định nghĩa, cách xây dựng, phương

trình, các tính chất của các mặt.
Chương 3: NHẬN DẠNG MẶT TRỤ ELIPTIC,MẶT ELIPXOIT TRONG
CÁC MẶT BẬC 2.
Nội dung của chương này là giới thiệu cách nhận dạng mặt trụ eliptic, mặt
elipxoit trong các mặt bậc hai bằng 2 phương pháp: phương pháp biến đổi trực giao
và phương pháp Lagrange (phân tích thành bình phương đúng).
Chương 4: ỨNG DỤNG CỦA ELIP TRONG THỰC TIỄN.
Chương này nghiên cứu các ứng dụng của elip vào thực tiễn: trong các công trình
kiến trúc, các ngành khoa học kỹ thuật cũng như các ngành nghiên cứu khác.
Đà Nẵng, tháng 4 năm 2017
Sinh viên
Trần Chính Ngọc

SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 7


Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản

Chương 1:ELIP TRONG MẶT PHẲNG
1.1 Định nghĩa elip trong mặt phẳng:
Trong mặt phẳng cho 2 điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn
F1F2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M + F2M= 2a.
Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của
elip.

Hình 1

Cách vẽ: Vẽ bằng dây.
-Đóng đinh lên mặt phẳng tại 2 điểm F1F2.
-Lấy một vòng dây kín không đàn hồi, có độ dài lớn hơn hai lần khoảng cách F1F2.
Quàng sợi dây vào 2 chiếc đinh, đặt đầu bút chì vào trong vòng dây rồi căng ra để
vòng dây trở thành hình tam giác. Di chuyển đầu bút chì sao cho dây luôn căng và
áp sát mặt gỗ. Khi đó đầu bút chì sẽ vạch ra một đường mà ta gọi là đường elip.

SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 8


Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản
Hình 2

1.2 Phương trình chính tắc của elip:

Hình 3
Cho elip (E) có các tiêu điểm

F1M + F2 M = 2a

F1

và

F2

.Điểm M(x;y) thuộc elip khi và chỉ khi

.Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1 = (-c;0) và F2 = (c;0).Với

∈

mỗi điểm M(x;y) (E) ta có:

MF12 = ( x + c) 2 + y 2
MF2 2 = ( x − c)2 + y 2
⇒ MF12 − MF2 2 = 4cx; MF12 + MF22 = 2( x 2 + y 2 + c 2 )

Ta có:

MF1 − MF2 ≤ F1F2 = 2c < 2a

⇒ ( MF1 − MF2 )2 − 4a 2 < 0

SVTH: Trần Chính Ngọc

.

Trang 9

.


Nghiên cứu về elip-elipxoit

∈

Mà M

Vậy

(E) nên MF1 + MF2 = 2a

GVHD: Phan Thị Quản
⇒ ( MF1 + MF2 )2 − 4a 2 = 0

[( MF1 + MF2 ) − 4a 2 ][( MF1 − MF2 ) 2 − 4a 2 ] = 0

⇔ ( MF12 − MF2 2 ) 2 − 8a 2 (MF12 + MF2 2 ) + 16a 4 = 0
⇔ 16c 2 x 2 − 16a 2 ( x 2 + y 2 + c 2 ) + 16a 4 = 0
⇔ ( c 2 − a 2 ) x 2 − a 2 y 2 = a 2 (c 2 − a 2 )
x2
y2
⇔ 2 + 2 2 =1
a
a −c

Đặt

b2 = a2 − c2

x2 y 2
+
=1
a 2 b2

(chia cả 2 vế cho

a 2 (c 2 − a 2 )

) (*)

thì (*) trở thành :

(1.1)

Phương trình (1.1) gọi là phương trình chính tắc của Elip.
1.3 Hình dạng, tính chất của Elip:

SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 10


Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản

Hình 4
Xét elip (E) có phương trình (1.1):
a) Nếu điểm M(x;y) thuộc (E) thì các điểm M1(-x;y), M2(x;-y) và M3(-x;-y) cũng
thuộc (E).
Vậy các (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O.
b) Thay y = 0 vào (1) ta có x =

±

a, suy ra (E) cắt Ox tại hai điểm A1 (-a;0) và

A2(a;0).
Tương tự thay x = 0 vào (1.1) ta được y =

±

b, vậy (E) cắt Oy tại hai điểm B1(0;-b)

và B2 (0;b).
-Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elip.
-Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ của elip.
-Độ dẹt của elip (hay còn gọi là tâm sai hay độ lệch tâm) là tỉ số giữa tiêu cự và độ

dài trục lớn:

c
e = (0 ≤ e < 1).
a

e = 0 khi hai tiêu điểm trùng nhau và hình elip lúc

bấy giờ là hình tròn.
SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 11


Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản

-Hình chữ nhật PQRS (hình vẽ) là hình chữ nhật cơ sở của elip.
-Đường chuẩn của Elip:

∆1 : x +
Đường thẳng

∆2 : x −
Đường thẳng

Tính chất :

a
=0
e
a
=0
e

được gọi là đường chuẩn của elip,ứng với

được gọi là đường chuẩn của elip,ứng với

F1 (−c;0)

F2 (c;0)

MF1

MF2
=
= e, ∀M ∈ ( E )
d ( M ; ∆1 ) d ( M ; ∆ 2 )

-Diện tích hình elip: S = πab (a, b lần lượt là độ dài bán trục lớn, bán trục nhỏ của
elip).
1.4 Liên hệ giữa đường tròn và đường elip:
a) Từ hệ thức
bằng

a

b2 = a2 − c2

ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì

b

càng gần

, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần

như đường tròn.

SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 12

Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản
Hình 5

b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:
(C) : x2 + y2 = a2.
Với mỗi điểm M(x;y) thuộc đường tròn ta xét điểm M’(x’;y’) sao cho

x ' = x


b
y
'
=
y

a

( với 0
thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình

x '2 y ' 2
+
=1
a 2 b2

là một elip

(E).
Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).
1.5 Định nghĩa hình học khác:
Định nghĩa đường Conic : Cho điểm F cố định,đường thẳng

hợp các điểm M sao cho tỉ số

MF
d ( M ; ∆)

∆

không đi qua F, tập

bằng một số dương e cho trước được gọi là

đường Conic.
Điểm F gọi là tiêu điểm,

∆

được gọi là đường chuẩn và e gọi là tâm sai của đường

conic.
Như vậy elip là một đường Conic với tâm sai e < 1.
1.6 Phương trình dạng đại số-cách nhận dạng đường elip trong mặt phẳng:
SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 13

Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản

Trong đại số, hình elip được định nghĩa bởi phương trình đường bậc 2:
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f =0 (1.2)
với a, b, c là các số thực và 4ac > b2.

Chứng minh:
Bộ phận toàn phương trong (1.2) là:

α

(x,y) = ax2 +bxy + cy2

có ma trận đối với hệ cơ sở chuẩn tắc e ={e1;e2} là

A=

b

a

2


b


c
 2


Phương trình đặc trưng:

A − λI = 0
với

⇔

a−λ
b
2

b
2

1 0 
I =

0 1

=0

c−λ

b2
⇔ (a − λ )(c − λ ) − = 0
4

b2
⇔ ac − (a + c)λ + λ − = 0
4
2

SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 14


Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản

⇔ 4λ 2 − 4( a + c)λ + 4ac − b 2 = 0

có

(**)

∆ ' = 4(a + c) 2 − 4(4ac − b 2 )

= 4a 2 + 8ac + 4c 2 − 16ac + 4b 2
= 4(a − c) 2 + 4b 2 ≥ 0

Gọi 2 nghiệm của phương trình (**) là
Gọi

u1 ( x, y ) ≠ 0

λ1

và

λ2

.

là vectơ riêng ứng với trị riêng

λ1

b 

a
−
λ
1

2   x  0 
⇔
  =  
b
y
0

c − λ1     
( A − λ1I )u1 = 0
 2


b

(
a
−
λ
)
x
+
y=0
1

2
⇔
 b x + (c − λ ) y = 0
1
 2

⇒ ( a − λ1 ) x +

Chọn x = -b/2

⇒ y = a − λ1 ,

SVTH: Trần Chính Ngọc

b
y =0
2

u1 (
ta được

−b
; a − λ1 ).
2

Trang 15


Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản

Chuẩn hóa ta được:

1

v1 =

+Nếu

b2
+ (a − λ1 ) 2
4

λ1 ≠ λ2

(

−b
; a − λ1 )
2

,thực hiện tương tự ta có vectơ riêng chuẩn hóa ứng với trị riêng

1

v2 =

−b 2
+ ( a − λ2 ) 2
4

là

(

λ2

−b
; a − λ2 )
2

Trong trường hợp này v1 trực giao với v2.
+Nếu

λ1 , λ2

λ1 = λ2

, ta tìm được 2 vectơ riêng không trực giao u1, u2 ứng với 2 trị riêng

.Trong trường hợp này ta sẽ tìm 2 vectơ riêng trực chuẩn v1, v2 bằng biện

pháp trực chuẩn hóa Gram -Smith chẳng hạn.
Lấy V = {v1,v2} làm cơ sở mới và kí hiệu tọa độ trong hệ cơ sở mới là (x’,y’) thì
ma trận chuyển cơ sở sang cơ sở mới là P = ( [v1] [v2] )
(2) trở thành:

λ1 0   x ' 
  y ' + [ d
0
λ


2

[ x ' y '] 

SVTH: Trần Chính Ngọc

 x '
e] P   = − f
 y '

Trang 16

Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản





1
− db
1
− db
2
2

⇔ λ1 x ' + λ2 y ' +
(
+ e(a − λ1 )) x '+
(
+ e(a − λ2 )) y '
2
2
2
2
 b

b
+ (a − λ1 ) 2
+ (a − λ 2 )2



4
 4


=−f
Đặt

d'=

e' =

1
b2
+ ( a − λ1 ) 2
4
1
b2
+ (a − λ2 ) 2
4

(

− db
+ e(a − λ1 ))
2

(

− db

+ e(a − λ2 ))
2

Phương trình trở thành:

⇔ λ1 ( x '+

λ1 x '2 + λ2 y '2 + d ' x '+ e ' y ' = − f

d' 2
e'
) + λ2 ( y '+ )2 = f '
λ1
λ2

(1.3)

Để (1.3) là phương trình của một elip thì

phương trình:

λ1λ2 > 0

4λ 2 − 4( a + c)λ + 4ac − b 2 = 0

⇒ 4ac − b 2 > 0 ⇒ 4ac > b 2
SVTH: Trần Chính Ngọc

(đpcm).
Trang 17

với

λ1 , λ2

là 2 nghiệm của


Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản

Ta cũng có thể nhận dạng đường elip bằng cách dùng phép tịnh tiến và phép
quay.
Cách thực hiện:
Cho đường bậc 2 có phương trình dạng (1.2). Ta chuyển đổi hệ trục tọa độ bằng
phép quay quanh gốc O để đưa phương trình (1.2) về dạng không chứa số hạng xy.
Gọi

α

là góc quay.

QOα : Oxy → OXY
Công thức đổi tọa độ sang hệ trục OXY là:

 x = X cos α − Y sin α

 y = X sin α + Y cos α
Phương trình (1.2) trở thành

a(X cos
cos

α

α

-Y sin

α

2

) + d(X cos

)2 + 2b(X cos

α

-Y sin

α

α

-Y sin

) + e(X sin

α

α

)(X sin
+Y cos

α

α

+Y cos

) + f =0.

Sau khi khai triển ta được hệ số của XY là:
-2a sin

α

cos

α

+ b( cos2

α

-sin2

α

) + 2c( sin

α

cos

Để phương trình sau khi quay không chứa XY thì:
(2c -2a) sin

⇔

b.sin2

α

α

cos

α

2

+ b( cos

+ 2(a – c).sin

SVTH: Trần Chính Ngọc

α

α

-sin

cos

α

2

α

) =0

- b.cos2

α

=0

Trang 18

α

α

)

) + c(X sin

α

+Y


Nghiên cứu về elip-elipxoit
Ta kiểm tra xem cos

α

Trong trường hợp cos
b.tg2

α

+2(a - c).tg

α

GVHD: Phan Thị Quản

có phải là nghiệm của phương trình hay không.

α

≠0, chia cả 2 vế cho cos2

-b=0, từ đó suy ra tg

α

α

ta được:

.


c − a − (a − c)2 + b
tgα =
b


c − a + (a − c) 2 + b 2
tgα =
b

Chọn góc quay

α

sao cho tg

Ta thực hiện phép quay
OXY có dạng:

QOα

α

=k (k dương)

,phương trình của đường bậc 2 đã cho trong hệ trục

AX2 +BY2 +CX +DY +E =0

Đây là phương trình của elip khi AB >0.
Tiếp theo ta có thể thực hiện phép tịnh tiến để đưa phương trình trên về dạng
chính tắc.
Để hiểu rõ hơn, ta xét ví dụ sau đây.
Ví dụ 1.1 Cho phương trình đường bậc 2:

5 x 2 + 4 xy + 8 y 2 − 32 x − 56 y + 80 = 0

(1.4)

Sử dụng phép biến đổi trực giao:
(1.4) có dạng của (1.2) với a =5, b =4, c = 8 thỏa mãn điều kiện 4ac >b2.
Đây là phương trình của một elip.
SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 19


Nghiên cứu về elip-elipxoit
Bộ phận toàn phương trong (1.4) là:

GVHD: Phan Thị Quản

α

(x,y) = 5x2 +4xy + 8y2

có ma trận đối với hệ cơ sở chuẩn tắc E ={e1;e2} là:

5 2 
A=

 2 8
Phương trình đặc trưng:

5−λ

2

2 8−λ

=0

⇔ (5 − λ )(8 − λ ) − 4 = 0
⇔ λ 2 − 13λ + 36 = 0
λ = 9
⇔ 1
λ2 = 4
A có 2 trị riêng λ1 =9 và λ2 =4.
Gọi u1(x,y) ≠ 0 là vectơ riêng ứng với trị riêng λ1 =9.
(A- λ1I) u1 =0.

 −4 2   x  0 
⇔
  y  = 0 
2
−
1

   

SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 20


Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản

⇔ 2x − y = 0
⇔ y = 2x

Suy ra vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ1 =9 là u1(
Chọn

α =1

α α α ∈ R ,α ≠ 0
;2

),

ta được u1 (1;2)

Thực hiện tương tự:
Gọi u2(x,y) ≠ 0 là vectơ riêng ứng với trị riêng λ2 =4.
(A- λ2I) u2 =0.

 1 2   x  0 
⇔
  y  = 0 
2
4

   
⇔ x + 2y = 0
⇔ x = −2 y

Suy ra vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ2 =4 là u2(2
Chọn

β =1

β β β ∈ R, β ≠ 0
;-

),

ta được u2 (2;-1).

Trực chuẩn hóa ta được 2 vectơ:

 1 2 
 2 −1 
v1 = 
;
,
v
=
;
÷ 2 
÷
5
5
5
5



Lấy V={v1;v2} làm cơ sở mới. Ma trận chuyển cơ sở từ hệ E→V là:

SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 21

.


Nghiên cứu về elip-elipxoit



P=



GVHD: Phan Thị Quản

2 
5

−1 
5 

1
5
2
5

Phương trình đã cho trở thành:



2
2
λ1 x ' + λ2 y ' + [ − 32 − 56] 



⇔ 9 x '2 + 4 y ' 2 −

2 

5  x '

= −80
−1   y '
5 

1
5
2
5

144
8
x '−
y ' = −80
5
5

⇔ 9( x '2 −

16
2
x ') + 4( y '2 −
y ') = −80
5
5

⇔ 9( x '−

8 2

1 2
) + 4( y '−
) = 36
5
5

X = x '−
Đặt

X2 Y2
9 X + 4Y = 36 ⇔
+
= 1.
4
9
2

Ta có:

8
1
;Y = y '−
5
5
2

SVTH: Trần Chính Ngọc

Đây là phương trình của một elip.

Trang 22


Nghiên cứu về elip-elipxoit

GVHD: Phan Thị Quản

Hoặc ta có thể thực hiện bằng phương pháp sơ cấp (dùng phép quay và phép tịnh
tiến như đã trình bày ở trên):
Gọi

α

là góc sao cho:

c − a + (a − c ) 2 + b 2
tgα =
=2
b
⇒ sin α = ±

sin α =
Chọn

2
1
,cos α = ±
5
5
2

1
,cos α =
5
5

Thực hiện phép quay tâm O góc quay

α

, công thức đổi tọa độ là:

X 2Y

x
=
−

5
5

y = 2X + Y

5
5
Phương trình đường đã cho trong hệ trục OXY là :
2

2

 X 2Y 

 X 2Y  2 X Y   2 X Y 
5
−
+
4
−
+
+
÷

÷
÷+ 8 
÷
5
5
5
5
5
5
5
5




 
 X 2Y 
 2X Y 
−32 
−

+
÷− 56 
÷ = −80
5
5
 5
 5
SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 23


Nghiên cứu về elip-elipxoit

⇔ 9 X 2 + 4Y 2 −

16 X

⇔ 9 X 2 −
5


GVHD: Phan Thị Quản

144 X 8Y
+
= −80
5
5

  2 2Y 
÷+ 4  Y +
÷ = −80
5
 

2

2

8 
1 


⇔ 9 X −
+
4
Y
+
÷

÷ = 36
5
5





X'= X −

Đặt

8
1
;Y ' = Y +
5
5

⇒ 9 X '2 + 4Y '2 = 36
X '2 Y '2
⇒
+
= 1.
4
9
Đây là phương trình của một elip có tâm là gốc tọa độ O, 2 tiêu điểm nằm trên trục
OY’, độ dài bán trục lớn là 3,bán trục nhỏ là 2 ( trong hệ trục OX’Y’).
Kết luận: Chúng ta có thể nhận dạng đường elip trong các đường bậc 2 bằng 2
phương pháp: phương pháp biến đổi trực giao và phương pháp sơ cấp thông qua
phép quay và phép tịnh tiến.
1.7 Elip tổng quát :
Sự mở rộng khái niệm đường elip lên các bậc cao n khác (ngoài n=2),hình thành
đường siêu elip :

SVTH: Trần Chính Ngọc

Trang 24


Nghiên cứu về elip-elipxoit

n

GVHD: Phan Thị Quản

n

x
y
+
=1
a
b
-Squircle: Siêu elip với n = 4, a = b = 1, tương tự như hình vuông được kéo các góc
vào.
-n = 3/2, a = b = 1 tạo ra một hình tròn hơn giống như đỉnh của hình vuông bị vát
tròn.
-n = 1/2, a = b = 1 có hình sao 4 cạnh dạng parabol.

Hình 6a

SVTH: Trần Chính Ngọc

Hình 6b

Trang 25

Hình 6c