Luận văn bất phương trình diophante tuyến tính

_„I HÅC QUÈC GIAH€ NËI
TR×ÍNG _„IHÅC KHOAHÅCTÜ NHI–
N

TR†N TR×ÍNG SINH

B‡T PH×ÌNG TRœNH
DIOPHANTE TUY˜N
TNH
Chuy¶n ng nh:

PH×ÌNG PHP TON SÌ

C‡P
M¢ sè: 60.46.01.13

LUŠN V‹N TH„C Sß KHOA HÅC

NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOAHÅC
GS.TSKHNGUY™NV‹N
MŠU


H€ NËI - 2015


Mửc lửc
M _Ưu
2
1 Mởt số kián thực chuân b
4

1.1

ìợc số chung lợn nhĐt. Thuêt toĂn Euclid . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Liản phƠn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

61.3

1.4

Phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.1

Tẳm nghiằm riảng dỹa v o giÊn phƠn . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.2

Tẳm nghiằm riảng dỹa v o thuêt toĂn Euclid . . . . . . . . . . .

19

Nghiằm nguyản dữỡng cừa phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh . . . . .

24

2 BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh
26
2.1

BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2

BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh "b chn" . . . . . . . . . . . .

30

2.3

Nghiằm nguyản dữỡng cừa bĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh . . .

34

2.3.1

Mởt số vẵ dử liản quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3.2

BĐt phữỡng trẳnh Diophante dÔng liản phƠn số . . . . . . . . . .

41

3 Mởt số b i toĂn liản quan


43
3.1

Nghiằm nguyản cừa phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh,
hằ bĐt phữỡng trẳnh lữủng giĂc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phữỡng trẳnh,

3.2

hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, hằ bĐt phữỡng trẳnh lữủng giĂc cõ _iãu
kiằn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XĂc _nh phƠn thực chẵnh quy

3.3

thọa mÂn _iãu kiằn cho trữợc . . . . . .

Kát luên
64
T i liằu tham khÊo
65

1

43
47
56


M _Ưu
Phữỡng trẳnh nghiằm nguyản hay cỏn gồi l phữỡng trẳnh Diophante l
mởt trong nhỳng dÔng toĂn lƠu _ới nhĐt cừa ToĂn hồc. Thổng qua viằc giÊi phữỡng
trẳnh Diophante, cĂc nh toĂn hồc _Â tẳm ra _ữủc nhỳng tẵnh chĐt sƠu sc cừa số
nguyản, số hỳu t, số _Ôi số. GiÊi phữỡng trẳnh Diophante _Â _ữa _án sỹ ra _ới
cừa liản phƠn số, lỵ thuyát _ữớng cong elliptic, lỵ thuyát xĐp x Diophant, thng
dữ bẳnh phữỡng, số hồc modular,. . .
BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh thỹc chĐt l phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh cõ chựa tham số. Cõ th nõi _Ơy l mởt dÔng toĂn khĂ mợi m
v chữa phờ bián trong cĂc ký thi hồc sinh giọi bêc phờ thổng.
Trong luên vôn n y, tĂc giÊ khổng cõ tham vồng bao quĂt hát cĂc vĐn _ã vã bĐt
phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh m chừ yáu _i sƠu nghiản cựu bĐt phữỡng
trẳnh dÔng n y vợi hai bián, ba bián hoc bốn bián. Hi vồng _Ơy s l mởt t i liằu
bờ ẵch cho cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc em hồc sinh trong quĂ trẳnh ổn luyằn thi hồc
sinh giọi.
Luên vôn _ữủc chia l m 3 chữỡng:
Chữỡng 1. Mởt số kián thực chuân b
Chữỡng 2. BĐt phữỡng trẳnh Diophante tuyán tẵnh
Chữỡng 3. Mởt số b i toĂn liản quan.
NhƠn _Ơy, tĂc giÊ xin b y tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sc tợi
GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu. ThƯy _Â d nh nhiãu thới gian hữợng dăn cụng nhữ
giÊi _Ăp cĂc thc mc cừa hồc trỏ trong suốt quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v giúp
_ù tĂc giÊ ho n th nh luên vôn n y.
TĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn th nh nhĐt tợi Ban giĂm hiằu, Phỏng _ o
tÔo Sau _Ôi hồc, Khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, cĂc thƯy cổ giĂo _Â tÔo _iãu kiằn

thuên lủi _ tĂc giÊ cõ th ho n th nh nhiằm vử cừa mẳnh.
2


TĂc giÊ xin cÊm ỡn gia _ẳnh, bÔn b _Â luổn quan tƠm, _ởng viản, cờ
vụ v tÔo _iãu kiằn tốt nhĐt cho tĂc giÊ trong suốt thới gian m tĂc giÊ hồc têp tÔi
trữớng _Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - _Ôi hồc Quốc gia H Nởi.
Mc dũ _Â cõ nhiãu cố gng những do thới gian v trẳnh _ở cỏn nhiãu hÔn chá
nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt. Vẳ vêy tĂc giÊ rĐt mong nhên _ữủc
sỹ gõp ỵ cừa cĂc thƯy giĂo, cổ giĂo cụng nhữ cĂc bÔn _ỗng nghiằp _ bÊn luên vôn
_ữủc ho n thiằn hỡn.
TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn!
H Nởi, thĂng 09 nôm 2015
Hồc viản thỹc hiằn

TrƯn Trữớng Sinh

3


Chữỡng 1
Mởt số kián thực chuân b
1.1 ìợc số chung lợn nhĐt. Thuêt toĂn Euclid
_nh nghắa 1.1 (xem [1]). Số nguyản c _ữủc gồi l

mởt ữợc số chung cừa hai số

nguyản a v b (khổng _ỗng thới bơng khổng) náu c chia hát a v c chia hát b.

_nh nghắa 1.2 (xem [1]). Mởt ữợc số chung d cừa hai số nguyản a v b (khổng _ỗng

thới bơng khổng) _ữủc gồi l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b náu mồi ữợc số chung
c cừa a v b _ãu l ữợc cừa d.

Chú ỵ 1.1. Náu d l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b thẳ d cụng l ữợc số chung lợn
nhĐt cừa a v b. Vêy ta quy ữợc rơng ữợc số chung lợn nhĐt cừa a v b l số nguyản
dữỡng.
ìợc số chung lợn nhĐt cừa hai số a v b _ữủc kỵ hiằu l (a,b) hay gcd(a,b) (greatest common
divisor). Nhữ vêy d = (a,b) hay d = gcd(a,b).

Vẵ dử 1.1. (25,30) = 5, (25,-72) = 1.
_nh nghắa 1.3 (xem [1]). Mởt số nguyản c _ữủc gồi l mởt ữợc số chung cừa n số
nguyản a1, a2, a3, . . . , an (khổng _ỗng thới bơng khổng) náu c l ữợc cừa mội số _õ.

_nh nghắa 1.4 (xem [1]). Mởt ữợc số chung d cừa n số nguyản a1,a2,a3,...,an
(khổng _ỗng thới bơng khổng) _ữủc gồi l ữợc số chung lợn nhĐt cừa a1, a2, a3, . . . , an
náu mồi ữợc số chung c cừa a1, a2, a3, . . . , an _ãu l ữợc cừa d.
Tữỡng tỹ, ta cụng quy ữợc rơng ữợc số chung lợn nhĐt cừa n số nguyản a1, a2, a3, . . . , an
l số nguyản dữỡng. ìợc số chung lợn nhĐt cừa a1, a2, a3, . . . , an kỵ hiằu l (a1, a2, a3, . . . , an)
hay gcd(a1, a2, a3, . . . , an). Nhữ vêy d = (a1, a2, a3, . . . , an) hay d = gcd(a1, a2, a3, . . . , an).
4


_nh lẵ 1.1. (vã sỹ tỗn tÔi ữợc số chung lợn nhĐt cừa nhiãu số, xem [1])ChocĂcsố
nguyản a1, a2, a3, . . . , an khổng _ỗng thới bơng khổng. Khi _õ tỗn tÔi ữợc số chung lợn
nhĐt cừa a1, a2, a3, . . . , an.

Tẵnh chĐt 1.1 (xem [1]). Cho a, b, q, r l cĂc số nguyản (a2 +b2 = 0). Náu a = bq +r
v 0 r < |b| thẳ (a,b) = (b,r).

Thuêt toĂn Euclid (thuêt toĂn tẳm ữợc số chung lợn nhĐt cừa hai số nguyản

dữỡng).
GiÊ sỷ r0 = a, r1 = b l cĂc số nguyản dữỡng. Ta Ăp dửng liản tiáp thuêt toĂn chia
ri = ri+1qi+1 + ri+2,
trong _õ 0 ri+2 < ri+1, i = 0, 1, 2, . . . v nhên _ữủc cĂc phƯn dữ r1, r2, . . . vợi
r1 > r 2 > . . . _án khi lƯn _Ưu tiản nhên _ữủc phƯn dữ rn = 0 (n 2, 0 < ri+2 <
ri+1, i = 0, 1, . . . , n 3). Khi _õ
(a, b) = (r0, r1) = (r1, r2) = . . . = (rn2, rn1) = (rn1.qn1, rn1) = rn1.
Vêy
(a, b) = rn1.

Vẵ dử 1.2. Dũng thuêt toĂn Euclid tẳm ữợc số chung lợn nhĐt cừa 3484 v 3276.
Lới giÊi.

Ta cõ
3484 = 3276.1 + 208
3276 = 208.15 + 156
208 = 156.1 + 52
156 = 52.3 + 0.

Vêy

gcd(3484, 3276) = 52.

Vẵ dử 1.3. Tẳm mởt cp số nguyản x, y _
3484x + 3276y = 52.
Lới giÊi.

Theo vẵ vử trản ta cõ

5

52 = 208 156.1
156 = 3276 208.15 52 = 208 (3276 208.15) .1 = 16.208 3276
52 = 3276 + 16.208 52 = 3276 + 16. (3484 3276.1) = 16.3484 17.3276
208 = 3484 3276.1
Do _õ
3484.16 + 3276.(17) = 52.
Vêy
(x; y) = (16; 17).

1.2 Liản phƠn số
_nh nghắa 1.5. (Liản phƠn số hỳu hÔn, xem [3]) Liản phƠn số hỳu hÔn cõ _ở d i
n
(n N) l biu thực cõ dÔng
1
a0 + a1 +

1
a2 + . . . +

1

an1 + a1 n

trong _õ a0 l số nguyản, ai l cĂc số nguyản dữỡng (i = 1, 2, . . . , n), an > 1 vợi
n > 0. Liản phƠn số trản _ữủc kỵ hiằu l [a0; a1, a2, . . . , an].

_nh nghắa 1.6. (Liản phƠn số vổ hÔn, xem [3]) Cho a0,a1,a2,... l dÂy vổ hÔn
cĂc

số nguyản, ai > 0 vợi i 1. Vợi mội k, _t Ck = [a0; a1, a2, . . . , ak]. Khi _õ tỗn tÔi
giợi hÔn
lim Ck = .

k+

(Sỹ tỗn tÔi n y s _ữủc nõi ró trong tẵnh chĐt (

1.9) dữợi _Ơy).

Lúc n y ta gồi l giĂ tr cừa liản phƠn số vổ hÔn [a0; a1, a2, . . .] v kỵ hiằu l

= [a0; a1, a2, . . .] .

Tẵnh chĐt 1.2 (xem [3]). Mội số hỳu t l mởt liản phƠn số hỳu hÔn.
Chựng minh.

a

GiÊ sỷ x =

b , b > 0, a, b Z. _t r0 = a, r1 = b ta cõ


r0 = r1q 1 + r2
r1 = r2q2 + r3 ...


r =r q +r
n2 n1n1 n

(0 < r2 < r1)
(0 < r3 < r2)
(0 < rn < rn1)


rn−1 = rnqn

+0
6


Suy ra
1
x = a = r0 = q1 + r2 = q1 + r11 = q1 +
b
r
r
r
1

1

1
1

q2 + . . . +

q

2

qn1 + q1 n
x = [q1; q2, . . . , qn] .

Vẵ dử 1.4. HÂy biu diạn cĂc số hỳu t8 32, 243, 243, 62 th nh liản phƠn số.
Lới giÊi.

7 37

Ta cõ

37 23

32 = 4.7 + 4
7 = 1.4 + 3
4 = 1 .3 + 1
3 = 3 .1

1
32 = [4; 1, 1, 3] = 4 +
7

1+

1

l

liản phƠn số cõ _ở d i 3. Tữỡng tỹ ta cụng cõ

1+ 1

3
243 = [6; 1, 1, 3, 5], 243 = [7; 2, 3, 5] 62 = [2; 1, 2, 3, 2].
,
37
37
23

Tẵnh chĐt 1.3. (Vã tẵnh duy nhĐt cừa liản phƠn số hỳu hÔn,xem[3])Sỹbiudiạn
mởt số hỳu t q dữợi dÔng liản phƠn số [a0; a1, a2, . . . , an] l duy nhĐt.

Tẵnh chĐt 1.4. (Cổng thực tẵnh giÊn phƠn, xem [3]) Cho liản phƠn số hỳu hÔn
[a0; a1, a2, . . . , an]. Xt hai dÂy (pk)n=0 v (qk)n=0 _ữủc xĂc _nh nhữ sau
k

p 0 = a0
p 1 = a1 a0 + 1
pk = akpk1 + pk2

,

k

, k = 2, 3, . . .

q0 = 1
q 1 = a1
qk = akqk1 + qk2

Khi _õ giÊn phƠn thự k cừa liản phƠn số [a0; a1, a2, . . . , an] l Ck = [a0; a1, . . . , ak] = pk .
Chựng minh.

Ta s chựng minh Ck = [a0; a1, . . . , ak] =

q

pk bơng quy nÔp theo kk,
qk
vợi lữu ỵ l Ck (k > 0) _ữủc suy ra tứ Ck1 bơng cĂch thay ak1 bi ak1 + 1
.
ak
Thêt vêy
C0 = [a0] = a0 = a10 = p0 , q0
C1 = [a0; a1] = a0 + a1 = a1aa + 1 = p1 , 0
7

1

1


q1


a1 + a1

a0 + 1

C2 = [
a 2] = a

2
1

+

a
1

2

=

a
2

(
a
1

a
a
0

a
+
+

1
+

a


= a 2p 1

0

k

+ p0 =
p2 . 1)

−

2

1

2

a2 q 1 + q 0
q2

k

G

+

i
1

£

C

s

k
+
1

û

=
Ck = [a0; a1, . . . , ak]
= akpk−1 + pk

2
− =p

k ≥ 2.

a

q − + q −2
k

qk k 1 k

k

,

ak

q
k
−
1

K
+

h
i

q

_

k

â
−
2

a

k

+

=

a1
a
pk −
+
1

k
+

p
1


((akpk−1 + pk−2) +
pk−1 = ak+1pk + pk−1 .
ak+1 akqk−1 +
qk−2) + qk−1

_
÷
ñ
c

ak+1qk + qk−1

D

C

o
k

[a0;

_

a1 , .

â

..,
C

k+1
k

+1

V
ª
y

t
a

=

= pk

+1

.

q

ak ]
= pk
.

q

k

V½
dö
1.5.
T¼m c¡c
gi£n

_

ph¥n cõa

¢

li¶n ph¥n
sè

c
h

[6;1,1,3,

ù

5].

n

L

g

í
i

m

g

i

i

n

£

h

i
.


T

6

a
7
c

1
3

â
b

4
6

£
n
g

2
4
3

s
a

q

u

k

1

k

1
0

2
7

1
3
7
2

3

4
a

V
ª
y
C
0

k

6

=

1

6

1

,

3
5
p
k

C
1

= 7, C2 = 13, C3 =
46, C4 = 243 .

T½nhch§t1.5

2
7
3
7

(xem [3]) Cho Ck l gi£n ph¥n

thù k cõa [a0; a1, a2, . . . , an], vîi

.

1 ≤ k ≤ n v pk, qk _÷ñc x¡c _ành nh÷ trong
t½nh ch§t (

1.4). Khi _â

q − − pk−1qk
k k 1

= (−1)k−1.

p

T½nh ch§t 1.6 (xem [3]). Gi£ sû {Ck} l d¢y
gi£n ph¥n cõa li¶n ph¥n sè húu h¤n
[a0; a1, a2, . . . , an]. Khi
_â ta câ c¡c mèi li¶n
h» sau
8


i) Ck Ck1

(1)k1 , vợi 1 k n.
=
q
q
k

k

1

k

ii) Ck Ck2 = ak(1) vợi 2
,
k n.
q
q 2
k k

Tẵnh chĐt 1.7 (xem [3]). Vợi cĂc giÊn phƠn Ck cừa liản phƠn số hỳu

hÔn [a0;a1,a2,...,an]
ta cõ cĂc dÂy bĐt
_ng thực sau
i) C1 > C3
> C5 > . . .
ii) C0 < C2
< C4 < . . .
iii) mội giÊn phƠn l C2j1 _ãu lợn hỡn mội giÊn phƠn chđn
C2i.

Tẵnh chĐt 1.8 (xem [3]). Vợi mồi k = 0, 1,..., n thẳ (pk, qk) = 1
(tực l pk, qk
nguyản tố
cũng nhau).

Tẵnh chĐt 1.9 (xem [3]). Cho a0,a1,a2,... l dÂy vổ hÔn cĂc số
nguyản, ai > 0 vợi
i 1. Vợi mội k, _t Ck = [a0; a1, a2, . . . , ak]. Khi _õ tỗn tÔi giợi hÔn
l
i


k

+


C

mC

t(

1.7) ta cõ

C2n+1 > . . .

h
ự
n
g

< C2n < . . .

2

j

C1 > C3 > C5 > . . . > C2n1 >
C0 < C2 < C4 < . . . < C2n2
C

> C2i ,
1

vợi mồi i, j. Tứ _õ suy ra dÂy {C2k+1}, k = 0, 1, . . . l dÂy giÊm v b chn
dữợi bi
C0, cỏn dÂy {C2k}, k = 0, 1, . . . l dÂy tông v b chn trản bi C1. Theo lỵ

m

thuyát vã

i

giợi hÔn cừa dÂy số thẳ tỗn tÔi

n

cĂc giợi hÔn
lim C2k+1 = ,

h

lim C2k = .

.

k+
k+

Theo tẵnh chĐt
T

(

1.6) ta cõ

h
(

e



o

1
)
2

t

k

ẵ
n

=

h

1

c
h
Đ

C2k+ =q 2k+1
q 2k

1
C2k
9

q2k+1q2k
> 0.

(
a
)



Mt khĂc ta lÔi cõ
qk k .

(b)

Ta s chựng minh (b) bơng quy nÔp nhữ sau
- vợi k = 0 thẳ q0 = 1 nản q0 > 0.
- vợi k = 1 thẳ q1 = a1 nản q1 1 (do a1 nguyản dữỡng). - giÊ sỷ (b) _
 _úng _án k, tực l qk k.
- vợi k + 1 ta cõ
qk+1 = ak+1qk + qk1.
Theo giÊ thiát quy nÔp thẳ qk k, qk1 k 1 cỏn ak 1 nản ta cõ
qk+1 k + k 1 k + 1 (hin nhiản, vợi k 2).
Vêy (b) _úng vợi k + 1 nản vợi mồi k = 0, 1, . . . thẳ qk k.
Nhữ vêy ta suy ra
0 < q 1 q 2k (21 + 1) , k 1. k2k+1 2k
Cho k + ta thu _ữủc

lim q 1 q = 0.
k+12k
2

Vêy

Tứ _õ ta cõ

k+

lim (C2k+1 C2k) = 0.

k+

(c)

= .
Hằ thực (c) chựng tọ tỗn tÔi giợi hÔn
lim Ck = .

k+

_õ l _iãu phÊi chựng minh.

Nhên xt 1.1. Tứ tẵnh chĐt (1.9) suy ra rơng ựng vợi dÂy a0,a1,a2,... thẳ tỗn tÔi
lim [a0; a1, a2, . . . , ak] = lim Ck = . _õ chẵnh l lỵ do vẳ sao ta lÔi chồn l m

k+

k+

_nh nghắa cho liản phƠn số vổ hÔn [a0; a1, a2, . . . , ak, . . .].

10


Tẵnh chĐt 1.10 (xem [3]). Cho a0,a1,a2,... l dÂy vổ hÔn cĂc số nguyản, ai > 0 vợi
i 1. Xt liản phƠn số vổ hÔn = [a0; a1, a2, . . .]. Khi _õ l số vổ t.
GiÊ sỷ l số hỳu t, tực l

Chựng minh.

= a, a, b Z, b > 0, (a, b) = 1.
b
Theo phƯn chựng minh tẵnh chĐt (

1.9) ta cõ
lim C2k =

k+

m dÂy {C2k}, k = 0, 1, . . . l dÂy tông nản C2k , vợi mồi k = 0, 1, . . .
lim C2k+1 =

k+

m dÂy {C2k+1}, k = 0, 1, . . . l dÂy giÊm nản C2k+1, vợi mồi k = 0, 1, . . .
Vêy ta cõ
C2n C2n+1, n = 0, 1, . . .
Do = [a0; a1, a2, . . .] nản = Ck, vợi mồi k = 0, 1, . . .

Tứ _õ ta cõ
C2n < < C2n+1, n = 0, 1, . . .
0 < C2n < C2n+1 C2n = q 1 q , n = 0, 1, . . . 2n+1 2n
Mt khĂc do C2n =

p2n nản theo trản ta suy ra
q 2n
0 < q2n p2n < q 1 , n = 0, 1, . . . 2n+1

Thay = a

tab

_i _án

0 < aq2n bp2n < q b 2n b+ 1 , n = 0, 1, . . . 2n+1
Do aq2n bp2n l số nguyản nản theo trản ta suy ra
1 2n b+ 1 , n = 0, 1, . . .
Cho n + ta thu _ữủc
10
_iãu n y l vổ lỵ. Vêy l số vổ t.
11


Tẵnh chĐt 1.11 (xem [3]). Mồi số vổ t _ãu biu diạn _ữủc mởt cĂch duy nhĐt dữợi
dÔng mởt liản phƠn số vổ hÔn.
Chựng minh.

i) GiÊ sỷ = 0 l số vổ t. Ta xƠy dỹng dÂy a0,a1,a2,... mởt cĂch truy hỗi nhữ sau
a0 = [0] ,

a1 = [1] ,
a2 = [2] ,
...
ak = [k] ,

1 = 1 a , 0 0
2 = 1 a , 1 1
3 = 1 a , 2 2
...
k+1 = 1 a . k k

Do 0 l số vổ t nản 0 < 0 a0 < 1, do _õ 1 tỗn tÔi. Ta s chựng minh k l số vổ
t, vợi mồi k = 0, 1, . . . bơng quy nÔp nhữ sau - vợi k =
0 thẳ ró r ng 0 l số vổ t.
- giÊ sỷ k l số vổ t (k 0 ), khi _õ 0 < k ak < 1 v ak l số nguyản nản k ak
1
l số vổ t, do _õ k+1 =
k ak tỗn tÔi v l số vổ t, _ỗng thới k+1 > 1. Khi _õ
ak+1 = [k+1] 1.
Tõm lÔi ta cõ a0, a1, a2, . . . l cĂc số nguyản, ai > 0 vợi i 1.

ii) Ta s chựng minh bơng quy nÔp

= [a0; a1, a2, . . . , ak, k+1] , k = 0, 1, . . .
Thêt vêy
- vợi k = 0 thẳ [a0; 1] = a0 + 1 = a0 + (0 a0) = 0 = .
1
1
1
1 = a + a + ( a )= a + = .

- vợi k = 1 thẳ [a0; a1, 2] = a0 +
0
0
1

a1 + 2
- giÊ sỷ cõ [a0; a1, a2, . . . , ak, k+1] = . Khi _õ

1

1

1

1

[a0; a1, a2, . . . , ak+1, k+2]
1
= a 0 + a1 +

1
1

a2 + . . . +

= a 0 + a1 +

1

1

a2 + . . . +

ak+1 + 1
k+2

ak + 1
k+1

12

1

,


do ak+1 +
Do _â

1

αk+2 = ak+1 + (αk+1 − ak+1) = αk+1.
[a0; a1, a2, . . . , ak+1, αk+2] = [a0; a1, a2, . . . , ak, αk+1] = α.
Vªy ta _¢ chùng minh
_֖c

α = [a0; a1, a2, . . . , ak, αk+1] , k = 0, 1, .
..

iii) Ti¸p theo ta s³ chùng
minh

α=

lim Ck ,

k

→+∞

vîi Ck = [a0; a1, a2, . . . ,
ak].
Thªt vªy, theo t½nh ch§t cõa gi£n ph¥n
ta câ

α − Ck =

pk+1 − pk ,
trong
_â
Vªy suy
ra

pk+1 = αk+1pk + pk−1
qk+1 = αk+1qk +
qk−1.

qk+
1

q

k


+ qk−1 > ak+1qk + qk−1 = qk+1 n¶n

α − Ck
=

Cho k → +∞ ta thu _÷ñc

|α − Ck| < q q1

≤ k (k1+

k k+1

1) .

αk+1pk

α=

+

lim Ck.

1

→+∞

pk− −

k

Nh

pk = −

÷

(pkqk−1 vªy

α = [a0; a1,

q−+
kq−

a2, . . .] .

q)
1 k

iv) B¥y gií ta chùng minh biºu di¹n _â l

)= q

duy

nh§t.

(α

Gi£ sû α câ hai biºu

(−1)+

di¹n

q ). p

α. . .] .

α = [a0; a1, a2, . . .] = [b0; b1, b2,

q
qTa bi¸t
r¬ng
q
q
(

1, . . .

1
k
k
k
k
k

V
¼

α
k
+
1

q
k

C2n < α < C2n+1 , ∀n = 0,

1
3