Luận văn infimum của phổ của toán tử laplace beltrami trên miền giả lồi bị chặn với metric bergman

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

- - - - - - - - o0o - - - - - - - -

TR N TH MAI

INFIMUM C A PH

C A TOÁN T

LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MI N GI
V I METRIC BERGMAN

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

HÀ N I - 2015

L I B CH N


Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

- - - - - - - - o0o - - - - - - - -

TR N TH MAI

INFIMUM C A PH

C A TOÁN T

LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MI N GI

L I B CH N

V I METRIC BERGMAN
Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH
Mã s :

60460102

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C:
TS. NGUY N TH C DŨNG

HÀ N I - 2015


L I C M ƠN

Tôi xin bày t lòng bi t ơn chân thành và sâu s c nh t t i TS. Nguy n
Th c Dũng - Ngư i th y đã luôn bên tôi đ ng viên, ch d y và giúp đ
t n tình đ tôi có th hoàn thành t t lu n văn này. Th t khó có th nói
h t s quan tâm l n lao mà th y đã dành cho tôi trong su t th i gian qua.
Th y không qu n ng i không gian, th i gian cũng như v t ch t, dành h t

tâm huy t cho công vi c, không ng ng mong m i h c trò c a mình lĩnh
h i đư c nhi u ki n th c. Th y qu là m t ngư i th y m u m c, là t m
gương sáng đ l p l p th h h c trò chúng tôi noi theo.
Qua đây, tôi cũng xin phép đư c g i l i c m ơn t i t p th các th y cô
Khoa Toán- Cơ- Tin h c, Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c
Qu c gia Hà N i đã tr c ti p gi ng d y và t o đi u ki n thu n l i cho tôi
trong su t quá trình h c t p.
Tôi c m ơn gia đình, c m ơn b n bè, c m ơn t t c m i ngư i đã luôn
quan tâm, góp ý, giúp đ cho tôi.
Trong quá trình làm lu n văn, m c dù đã h t s c c g ng nhưng do th c
t s c kh e không đư c t t, ki n th c còn h n ch l i thêm hoàn c nh khá
đ c bi t nên lu n văn khó tránh kh i có thi u sót. Tôi kính mong quý th y
cô cùng các b n b sung, góp ý nh ng ý ki n quý báu đ lu n văn đư c
hoàn ch nh hơn.
Cu i cùng, tôi xin kính chúc quý th y cô cùng các b n s c kh e, h nh
phúc và thành đ t! Chúc m t năm m i an khang, th nh vư ng!
Hà N i, tháng 12 năm 2015.

i


M cl c

Ph n m đ u

1

1 M t s ki n th c v gi i tích ph c nhi u bi n

4

1.1

1.2

Hàm đa đi u hòa dư i và mi n gi l i . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Hàm đa đi u hòa dư i . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Mi n gi l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Toán t Laplace-Beltrami trên đa t p K¨ ahler . . . . . . . .

7

2 C n dư i nh nh t c a ph c a toán t

Laplace-Beltrami

trên mi n gi l i b ch n

11

2.1

Ư c lư ng c n dư i c a λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2

Ư c lư ng c n trên c a λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3

Giá tr c c đ i c a λ1 trên m t vài mi n đ c bi t . . . . . . 30

K t lu n

35

Tài li u tham kh o

36

ii


Ph n m đ u
Cho (M n, g) là m t đa t p K¨ ahler n chi u v i metric K¨ ahler
n

g=
i,j=1

gijdzi ⊗ dzj.

Gi s
n

g ij

∆g = −4
i,j=1

∂2
∂ zi ∂ z j

là toán t Laplace-Beltrami tương ng v i metric g.
hi u g ij

t

đây ta dùng ký

−1

. Khi đó, c n dư i nh nh t c a ph c a toán t
= gij
Laplace-Beltrami đư c xác đ nh b i



n


L2
∞
ij
g ∂f ∂zf dVg : f ∈ C (M ), f ∂
λ1(∆g, M ) = inf 4
M i,j=1

= 1
0
∂ zi j
trong đó dVg là d ng th tích trên M tương ng v i metric K¨ ahler g.
Bài toán đ t ra là tính giá tr λ1 ho c cho m t đánh giá v λ1. T t nhiên
vi c đánh giá này là ph thu c vào đa t p M và metric K¨ ahler g.
Ngư i ta đã ch ng minh đư c r ng khi M là đa t p compact và ∆g
là toán t elliptic đ u thì λ1(∆g) là giá tr riêng dương đ u tiên c a ∆g
v i đi u ki n biên Dirichlet. Vi c nghiên c u λ1 có nhi u ng d ng trong
các bài toán hình h c và v t lý. Ch ng h n, v i các gi thi t v đ cong
1


phù h p và gi thi t v λ1 có c n dư i phù h p, Li-Wang-Munteanu-KongZhou đã ch ra r ng khi đó đa t p ph i có d ng hình h c đ c bi t (xem
[6, 10, 11, 12, 17]).
Trư c h t ta chú ý r ng λ1(∆g) có th không ph i là giá tr riêng c a

∆g. Ví d , n u M là m t không gian hyperbolic ph c thì λ1(∆g) không
ph i là giá tr riêng c a ∆g. Tuy nhiên, nó là c n dư i c a ph dương c a

∆g. T ng quát hơn khi M là đa t p K¨ ahler không compact thì λ1(∆g)
không còn ch c là giá tr riêng c a ∆g dù đa t p đó có th là đa t p đ y.
Khi M là m t đa t p đ y không compact, đã có nhi u ngư i nghiên c u
bài toán đánh giá cho λ1(∆g) mà đi n hình là các công trình c a Li và
Wang ([10]). V i gi thi t đ cong song nhát c t ch nh hình c a M b ch n
dư i b i −1, h đã ch ng minh r ng λ1(∆g) ≤ n2. Đánh giá c a h là
ch t và đ ng th c đ t đư c khi M là không gian hyperbolic ph c. Sau đó
Munteanu ([17]) đã ch ng minh đư c m t cách t t hơn r ng λ1(∆g) ≤ n2
ch v i gi thi t đ cong Ricci c a M b ch n dư i b i −2(n + 1). Ư c
lư ng c a Munteanu là ch t và d u đ ng th c đ t đư c đ i v i không gian
hyperbolic ph c.
Lu n văn này trình bày m t cách chi ti t các k t qu chính trong bài
báo c a Song-Ying Li và My-An Tran ([16]). N i dung chính c a lu n văn
là đưa ra các ví d v đa t p K¨ ahler đ y đ mà đ i v i chúng giá tr chính
xác c a λ1 có th tính toán đư c. Nói m t cách c th , ta s ư c lư ng
chính xác λ1(∆u) trên các mi n D là mi n gi l i b ch n trong Cn v i

∂2u v i u là hàm đa đi u
∂ zi ∂ z j
hòa dư i ch t, vét c n mi n D. Trong trư ng h p t ng quát, khi D là mi n
metric K¨ ahler uijdzi ⊗ dzj, trong đó uij =

2


gi l i b ch n thì vi c tính đư c chính xác giá tr c a λ1(∆u) là r t ph c
t p. Vì th , chúng ta c n ph i đưa vào nh ng đi u ki n ph khác nhau
đ i v i hàm u vét c n trên D. Nh các đi u ki n đó, chúng ta s x p x
c n trên và c n dư i c a λ1 b ng cách xây d ng các hàm đ c bi t và ti n
hành phân tích trên mi n con c a D.

Lu n văn bao g m hai chương. Trong chương m đ u, tôi nh c l i m t
vài ki n th c cơ b n v hàm đa đi u hòa dư i, mi n gi l i và toán t
Laplace-Beltrami trên đa t p K¨ ahler. Trong chương hai, tôi xét ư c lư ng
c n dư i và c n trên c a c n dư i nh nh t c a ph c a toán t LaplaceBeltrami. Ư c lư ng c n dư i đư c xét trong m c 2.1, ư c lư ng c n trên
đư c trình bày trong m c 2.2. Đ c bi t, trong m c 2.2 tôi đưa ra m t cách
ch ng minh khác cho Đ nh lý 2.2. Ch ng minh này là m i và đơn gi n hơn
so v i ch ng minh trong bài báo g c. Trong m c 2.3, tôi đưa ra các ư c
lư ng c a c n dư i nh nh t c a ph trên các mi n gi l i đ c bi t v i
metric K¨ ahler-Einstein và metric Bergman.

3


Chương 1

M t s ki n th c v gi i tích ph c
nhi u bi n

1.1

1.1.1

Hàm đa đi u hòa dư i và mi n gi l i

Hàm đa đi u hòa dư i

Đ nh nghĩa 1.1. Gi s Ω là m t mi n trong Cn, u : Ω → R là m t hàm
thu c l p C2. Khi đó u đư c g i là hàm đa đi u hòa dư i n u và ch n u
n

i,j=1

∂2u (z)ξ ξ ≥ 0 ∀z ∈ Cn, ξ = (ξ , ..., ξ ) ∈ Cn.
1
ij
∂ zi ∂ z

n

j

Do u ij = ∂ u = 2

uij + i uij, đ t ξj = xj + iyj, ∀j = 1, n, ta có

dzidzj
uijξiξj = ( uij +

√
√

= ( u ij +

−1 uij)(xi +

√

−1yi)(xj −
√

−1 uij)(xixj + yiyj +
4

√

−1yj)

−1(yixj − xiyj))


√

= uij (xi xj + yi yj) + uij (yixj − xiyj +

−1( uij(yixj − xiyj)
+ uij(xixj + yiyj)).

Vì v y, n u u là hàm đa đi u hòa dư i thu c l p C2 thì
n
i,j=1

uij(xixj + yiyj) + uij(yixj − xiyj) ≥ 0

và
n
i,j=1

uij(yixj − xiyj) + uij(xixj + yiyj) = 0

∀ xi, yi ∈ R.

Đ nh nghĩa 1.2. M t hàm u thu c l p C2 đư c g i là hàm đa đi u hòa
dư i ch t khi và ch khi t n t i m t h ng s

> 0 sao cho u − |z|2 là m t

hàm đa đi u hòa dư i.
Vì v y, n u u là m t hàm đa đi u hòa dư i (ch t) thì ma tr n Hessian
ph c (uij)c a nó là m t ma tr n Hermit và xác đ nh dương (ch t). Chú
ý r ng n u u là m t hàm đa đi u hòa dư i ch t thì (uij) kh ngh ch và

u−1 = (uij)t cũng là m t ma tr n Hermit và xác đ nh dương ch t.
Ví d . Xét không gian ph c C 2, cho u(z, w) = |z|2 + |w|2 và v(z, w) =

|z|2 + |w|2 v i (z, w) ∈ C2. Khi đó, u là hàm đa đi u hòa dư i ch t còn v
là hàm đa đi u hòa dư i.
Th t v y, d th y u, v là các hàm trơn, hơn n a, ma tr n Hessian ph c
c a u và v l n lư t là





1 0
Hu(z, w) = 
=I ,


 01 





1
2

và Hv(z, w) = 

5




0
.

0 |w|2 


C hai ma tr n trên đ u là Hermite. Ma tr n Hu là xác đ nh dương ch t
và Hv là xác đ nh dương.

1.1.2

Mi n gi l i

Cho Ω ⊂ Rn là m t t p con m . Ta nói r ng Ω có biên l p Ck, k ≥ 2
n u t n t i m t lân c n U c a ∂Ω và m t hàm r l p Ck xác đ nh trên U
sao cho

1. Ω ∩ U = {z ∈ U : r(z) < 0}.
2. dr = 0 trên ∂Ω trong đó v i m i z ∈ ∂Ω
n

dr(z) =
j=1

∂r (z)dx . j
∂ xj

Đ nh nghĩa 1.3. Gi s Ω là m t mi n b ch n trong Cn, n ≥ 2 và r là
m t hàm xác đ nh trên D. D đư c g i là mi n gi l i hay mi n gi l i Levi
t i p ∈ ∂Ω n u d ng Levi
n

Lp(r, ξ) =

∀ξ ∈ Tp(1,0)(∂Ω).
∂2r (p)ξ ξ ≥ 0 ij
i,j=1 ∂ zi ∂ z j
Ω đư c g i là mi n gi l i ch t t i p n u d ng Levi xác đ nh dương ch t
∀ξ = 0. Ω là mi n gi l i ch t n u Ω là mi n gi l i ch t t i m i đi m c a
nó.
Ví d . Xét không gian ph c C 2 và hình c u đơn v B2 = {(z, w) ∈ C2 :

|z|2 + |w|2 < 1}. Khi đó B2 là mi n gi l i ch t.
Th t v y, ta có th ch n hàm xác đ nh c a ∂B2 là hàm r(z, w) =

|z|2 + |w|2 − 1. Hàm này là hàm đa đi u hòa dư i ch t t i m i đi m
(z, w) ∈ ∂B2.

6


1.2

Toán t Laplace-Beltrami trên đa t p K¨ ahler

Gi s M là m t đa t p Riemann đ nh hư ng, n chi u và Ωp(M ) là
m t không gian p-d ng trên M , đ t d : Ωp(M ) ⇒ Ωp+1(M ) là toán t vi
phân thông thư ng, p ≥ 0. Gi đ nh r ng ds2 =

i,j

gijdxi ⊗ dxj là m t

metric Riemann trên T ∗M ⊗ T ∗(M ), (gij) là ma tr n th c c p n và xác
đ nh dương ch t. Khi đó ds2 ch a m t metric Riemann trên T (M )⊗T (M )
xác đ nh b i

dS2 =
i,j

gij ∂∂ ⊗ ∂∂
xi
xj

trong đó (gij) là ma tr n ngh ch đ o c a (gij).
Gi s d∗ là toán t liên h p c a d trên

n

Ωp(M )

tương ng v i

p=0

metric Riemann

i,j

gijdxi ⊗ dxj nghĩa là
d∗ : Ωp(M ) → Ωp−1(M )

và

(dα, β) = (α, d∗β) =

M

< dα, β >ds2∗

∀α ∈ Ωp−1(M ), β ∈ Ωp(M )

trong đó * là toán t Hogde.
Đ nh nghĩa 1.4. Toán t Hogde-Laplace trên Ωp(M ) là

∆H = −(dd∗ + d∗d) : Ωp(M ) → Ωp(M ).
Toán t Hogde-Laplace đư c liên h v i toán t Laplace-Beltrami như
sau.

7


V i m i hàm trơn f , ta có th đ nh nghĩa gradient c a nó là

f := gradf := gij ∂xi ∂∂ j ∂f
x
trong đó g = det(gij).
Khi đó v i m i trư ng véc tơ X ta có

< gradf, X >= X(f ) = df (X).
M t khác, toán t div tác đ ng lên m t trư ng véc tơ Z = Zi ∂ đư c
đ nh nghĩa là

∂ xi

divZ := 1 ∂ (√gZj).
j
g ∂x
Đ nh nghĩa 1.5. Toán t Laplace-Beltrami trên Ωp(M ) là

∆f = −div(gradf ).
Khi đó, chúng ta bi t r ng trên không gian các hàm kh vi trên M , ta
có

∆ = −∆H.
D dàng nh n th y r ng

√ggij ∂f

∆f = −√g ∂∂ j 1
x

xi

∂

= −gij

∂2 f + ...
∂ xi ∂ xj

Vì (gij) là xác đ nh dương ch t, −∆f là m t toán t elliptic.
Đ nh nghĩa 1.6. Gi s M là m t đa t p ph c v i t a đ đ a phương

z = (z1, ..., zn). M t metric Hermit trên M đư c xác đ nh b i
hik(z)dzj ⊗ dzkzk


8


trong đó hjk(z) là ma tr n Hermit, xác đ nh dương và ph thu c vào z.
Ngoài ra, các hàm thành ph n hjk(z) là các hàm trơn.
D ng vi phân song b c (1, 1) xác đ nh b i

i h (z)dz ∧ dz
j
2 jk

k

đư c g i là d ng K¨ ahler c a metric Hermit.
Đ nh nghĩa 1.7. M t metric Hermit hjkdzj ⊗ dzk đư c g i là m t metric
K¨ ahler n u v i m i z t n t i m t lân c n U c a z và m t hàm F : U → R
v i i hjkdzj ∧ dzk = ∂∂F , ∂∂F đư c g i là d ng K¨ ahler, F đư c g i là th
2
v K¨ ahler.
Gi s hjkdzj ⊗ dzk là m t metric K ¨ ahler trên m t đa t p ph c M .
Do m i metric Hermit đ u c m sinh ra m t metric Riemann nên ta có
th đ nh nghĩa toán t Laplace-Beltrami tương ng v i metric Riemann

< v, w >R,h . Trong metric này, toán t Laplace-Beltrami có d ng
∆ = −4 1 ∂∂z

hhij

n

∂
∂zj

= −4

hij
i,j=1

∂2 ,
∂ zi∂ zj

hi
trong đó h = det(hjk). Công th c trên có th suy ra tr c ti p nh s d ng
k t qu sau ([16])
n
i=1

∂ (hhij) =

∂ zi

n
j=1

∂ (hhij) = 0.
∂zj

Lưu ý r ng, chúng ta s dùng công th c này đ ch ng minh m t công th c
tích phân cho toán t Laplace-Beltrami trong chương sau.
Đ nh nghĩa 1.8. Cho Ω ⊂ M là m t t p con m . M t s th c dương λ
đư c g i là m t giá tr riêng c a toán t ∆ đ i v i bài toán Dirichlet trên


9


Ω n u t n t i m t hàm trơn v ∈ C∞(Ω) sao cho
∆v = λv.
Hàm v khi đó đư c g i là m t hàm riêng c a ∆ ng v i giá tr riêng λ.
Do ∆ là toán t elliptic t liên h p, nh lý thuy t phương trình đ o

hàm riêng chúng ta bi t r ng t p h p các giá tr riêng {λk}∞=1 l p thành k
m t dãy tăng

0 < λ1 < λ2 ≤ . . . λk ≤ . . .
và klim λk = ∞. →∞

Trong gi i tích ph c nhi u bi n, chúng ta bi t r ng n u D là hình c u

đơn v Bn trong Cn và u(z) = − log(1 − |z|2) thì
n

uijdzi ∧ dzj

ds2 =
i,j=1

v a là metric Bergman đ ng th i cũng là metric K¨ ahler-Einstein trên Bn.
Chúng ta s ch ra r ng λ1(Bn) = n2.
Đ tính giá tr chính xác c a λ1(∆u) trên Bn, chúng ta s đ ng th i
đánh giá c n trên và c n dư i c a nó. Trư c h t, chúng ta gi thi t f (z) =

(1 − |z|2)n2 . Khi đó, áp d ng nguyên lý Rayleigh ta có

λ1 ≤

Bn

|
Bn

f |2
|f |2

= n 2.

Đ ng th i áp d ng M nh đ 9.2 trong [8] ta l i có λ1 ≥ µ > 0 n u t n t i
m t hàm dương h sao cho ∆uh ≥ µh. Th c t , hàm f đ nh nghĩa
luôn th a mãn đi u ki n ∆uf ≥ n2f . Do v y λ1(∆u) = n2 trên Bn (xem
[16]).

10

trên


Chương 2

C n dư i nh nh t c a ph c a
toán t Laplace-Beltrami trên mi n
gi l i b ch n

2.1

Ư c lư ng c n dư i c a λ1

Nh c l i, gi s D là m t mi n gi l i b ch n trong C n v i hàm xác
đ nh r(z) ∈ C2(Cn) và u(z) = − log(−r(z)) là hàm đa đi u hòa dư i
ch t trong D. Khi đó, toán t Laplace-Beltrami ∆u tương ng v i metric
K¨ ahler uijdzi ⊗ dzjtrên D xác đ nh b i
n

∆u = −4

uij
i,j=1

trong đó [uij]t = H(u)−1 = [uij]−1.
11

∂2
∂ zi ∂ z j

(2.1)


Trư c h t, đ ư c lư ng c n dư i c a ph λ1, ta có b đ tính toán quan
tr ng sau.
B đ 2.1. Gi s Ω ⊂ Cn và uijdzi ⊗ dzj là metric K¨ ahler b t kỳ trên

Ω, trong đó uij = ∂iju và u ∈ C2(Ω) là hàm đa đi u hòa dư i ch t. Đ t
f (z) = e−αu(z) v i α > 0. Khi đó
(i)

∆uf (z) = 4αf (z) n − α|∂u|2 , u

(2.2)

trong đó
n

|∂u|2

=

u

i,j=1

n

uij∂iu∂ju.

=

ij
u u iu j

(2.3)

i,j=1

(ii) N u r(z) = −e−u(z) là hàm đa đi u hòa dư i ch t thì |∂u|2 < 1 trong u

Ω.
(iii) Gi thi t r ng Ω b ch n v i ∂Ω ∈ C1. Khi đó v i h1, h2 ∈ C2(Ω) ∩

C1(Ω) thì

Ω

(h2∆uh1 − h1∆uh2) dVu

n

=4
∂Ω

h2 −
i,j=1





uijνi ∂h1  − h1 −
∂zj



n
i,j=1

uijνj ∂h2  g(z)dσ(z).
∂ zi
(2.4)

Trong đó

g(z) = detH(u),

dVu(z) = g(z)dv(z),

và ν(z) = (ν1(z), ..., νn(z)) là véc tơ pháp tuy n ph c hư ng ngoài ∂Ω sao
cho |ν(z)|2 = 4.
12


Đ c bi t, n u







∆
h
(z)
≥
0
tro
ng
Ω


u
1








=
h1

0
z)
tr
ê

n

∂
Ω







h

(
z
)



2


t

≥
0
t
r
ê
n


∂

−αu(z)

= −αuie−αu(z),

∂

∂2f

(h2∆
− h1∆u
dVu ≥ 0
(2.5)

=

f

(z) =

−
α
u

∂

Ω

Ch ng minh.

i

T gi thi t f (z)

e

−

= e−αu(z) v i α

α

> 0, b ng tính

u
(

toán tr c

z

t
i

)

∂ zi ∂ zj
zi

p
,

∂ zj

∂

zj

= −αuije−αu
)
(z +
α2uiuje−αu(z

t
a

)

c
ó

= −α u i
jf (z) +
α2uiujf
(z).

∂=
=
e− [
−
α
u
(
z
)
]
z

i

e

T hai bi u th c trên và đ nh nghĩa c
a ∆u, ta nh n đư c
n

∆uf (z) = −4
uij[−αuijf (z) + α2uiujf (z)]
i
,
j
=
1
n

= 4
i,j=1


u
i

ji

u

j

−j

u

α
u

i

n

n

=u4 u
i ij
,
ju
=
1 ij

ii
,
jj
=
1u

− i
α u
j



13






n

= 4αf (z) 

uijuij − α|∂u|2 . u
i,j=1

Ti p theo
ta s ch ra r
ng

n
i,j

u =1
uij
ij

=
n
.

Th t v y, do (uij)t = (uij)−1 nên (uij)
(uij)t = I. Đi u này tương đương
v
i











u11 u12

. . . u1n u11

u21

. . . u n  1

1

0 . . . 0
















u





2



a

u0
u
c

1

0

u

h

2

.

2



1
.
.
 0 .
0
n2 


...
u2n
u
u





...u









..
.

...

..

...

..



..

.



..





...






.


.
.
.
.
.
.
.
.
.




ó








.

p
. h
. ư
ơ
n
1g

t

Đc r

bi t ì
th c

hi n
n h
ph
ép
nh 
ân
trê
n
đư
ng
ché
o
chí
nh
ca

tích
ma
tr n
t
r
ê
n
,
t








u
u
11

+
u
u

12

+
.
.

.
+
u
u
1
n

=
1



n

+
=1



1
1




1
2

1
n








.
.
.









14

ui 1


u i1 +

u i2u i2
+...
+

uinuin
=1







.
.
.












u

.


C ng t t c n phương trình trong h trên v v i v , ta nh n đư c

 n

n
n
i,j=1

=

ij
u uij


i=1

uijuij
j=1

n

ui1ui1 + ui2ui2 + . . . + uinuin = n.

=
i=1

Do đó, ∆uf (z) = 4αf (z)[n − α|∂u|2]. u
V y (i) đư c ch ng minh.
Ti p theo, ta ch ng minh (ii).
Trư c tiên, ta tính uij.
Do r(z) = −e−u(z) nên u(z) = − ln(−r(z)). Vì v y, ta có

u i = ∂z = r(z) zi = −rri ,
∂u
(−r(z))
i

u j = ∂zu = r(z) zj = − rj .
∂ j
(−r(z))

T đó, ta tính đư c

r

∂r 


∂ 2u = ∂
uij = ∂z ∂z i

j

∂u
∂
zi

∂zj

∂  − ∂ zi 
= ∂z  r 
j



∂ 2r r + ∂ r ∂ r
∂ z j ∂ zi
= − ∂z ∂z i j
r2
=

−rijr + rirj
r2

= −1 rij − ir j . rr
r

S d ng các ký hi u
n

|∂r|2 r

n
n

=

rijuiuj,
i,j=1

ri

=

rijr
j=1

j

và

rj =

rijri,
i=1