Luận văn một số kết quả về định lý paley wiener

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN

Đ NG VĂN TI N

M TS

K T QU

V

Đ NH LÝ PALEY - WIENER

Chuyên ngành : TOÁN GI I TÍCH
Mã s : 60 46 01 02

LU N VĂN TH C S TOÁN H C
Ngư i hư ng d n khoa h c : TS. VŨ NH T HUY

Hà N i - 2015


L i cám ơn
Trư c khi trình bày n i dung chính c a lu n văn, tôi xin bày t lòng bi t ơn
chân thành và sâu s c c a mình t i TS. Vũ Nh t Huy, ngư i đã t n tình giúp đ và
ch b o tôi trong su t quá trình hoàn thành lu n văn t t nghi p.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn s giúp đ c a các th y giáo, cô giáo trong
khoa Toán - Cơ - Tin h c, trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên - Đ i h c Qu c gia Hà
N i và Khoa sau đ i h c, đã nhi t tình truy n th ki n th c và t o đi u ki n giúp đ tôi
hoàn thành khóa Cao h c.
Tôi xin bày t lòng bi t ơn đ n gia đình, b n bè đã luôn đ ng viên và khuy n

khích tôi r t nhi u trong th i gian nghiên c u và h c t p.
Do m i làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c và còn h n ch v th i gian
th c hi n nên lu n văn không th tránh kh i nh ng thi u sót. Tôi kính mong nh n đư
c ý ki n đóng góp c a các th y cô và các b n đ lu n văn đư c hoàn thi n hơn.
Hà N i, 11/2015
Đ ng Văn Ti n

2


M cl c
M đu

5

1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ B N VÀ KHÔNG GIAN HÀM
SUY R NG

6

1.1

Không gian hàm cơ b n ∆(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2
1.3

Không gian các hàm suy r ng ∆ (Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . .

C p c a hàm suy r ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
8

1.4

Không gian các hàm gi m nhanh Σ (Rn) . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5

Không gian các hàm suy r ng tăng ch m Σ (Rn) . . . . . . . . . . 11
Giá c a hàm suy r ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6
1.7
1.8

Không gian hàm suy r ng v i giá compact Ε (Rn) . . . . . . . . . 14
Tích ch p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9

Phép bi n đ i Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9.1

Phép bi n đ i Fourier trong không gian các hàm gi m
nhanh Σ (Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9.2

Phép bi n đ i Fourier trong không gian Σ (Rn) và Ε (Rn) . 23

2 D NG PH C C A Đ NH LÝ PALEY- WIENER
2.1

D ng ph c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho hàm thu c ∆(Rn) . . . 25

2.2

D ng ph c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho hàm thu c Ε (Rn) . . . 28

3 D NG TH C C A Đ NH LÝ PALEY- WIENER
3.1

25

30

D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho hàm thu c ∆(Rn) . . . 30
3.1.1 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p compact
b t kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.2 D ng th
c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i dãy
s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3


3.1.3

D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i đa

th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.4
3.2

D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p l i . . . . . 42

D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho hàm thu c Ε (Rn) . . . 43
3.2.1 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p compact
b t kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2 D ng th
c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i dãy
s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.3

D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i đa
th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.4

D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p l i . . . . . 51

K t lu n

53

Tài li u tham kh o

53

4

M đu
Bi n đ i Fourier đư c đ t tên theo nhà toán h c ngư i Pháp Joseph Fourier,
là m t trong nh ng hư ng nghiên c u quan tr ng c a Toán h c nói chung và c a Gi
i tích nói riêng. Phép bi n đ i Fourier là m t trong l p nh ng phép bi n đ i tích
phân ph bi n nh t, có ng d ng r ng rãi nh t.
Lu n văn này đ c p t i nghiên c u m t s tính ch t c a hàm kh vi vô h n thông
qua giá c a bi n đ i Fourier. V n đ này có ý nghĩa r t l n đ i v i
ng d ng vào gi i quy t nh ng bài toán khó khác nhau trong Gi i tích hàm,
Phương trình vi phân đ o hàm riêng, Lý thuy t hàm suy r ng, Lý thuy t nhúng, Lý
thuy t x p x , Lý thuy t sóng nh .
Ngoài ph n m đ u, k t lu n và tài li u tham kh o, lu n văn đư c chia làm
ba chương:
Chương 1: Các không gian hàm cơ b n và không gian hàm suy r ng.
Chương này lu n văn trình bày nh ng ki n th c cơ b n v không gian các hàm cơ b
n, không gian các hàm suy r ng, tích ch p c a hàm suy r ng, phép bi n đ i
Fourier c a m t hàm cơ b n, c a hàm suy r ng, các đ nh lý và k t qu liên quan đ n
lu n văn làm cơ s đ xây d ng n i dung chương ti p theo.
Chương 2: M t s k t qu v d ng ph c c a Đ nh lý Paley- Wiener. Chương
này lu n văn đưa ra đi u ki n c n và đ đ m t hàm s là bi n đ i Fourier c a hàm s
có giá ch a trong m t hình c u tâm 0, bán kính R cho trư c
và bi n đư c xét

đây là bi n ph c.

Chương 3: M t s k t qu v d ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener. Chương này
lu n văn trình bày d ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p
compact b t kì, t p sinh b i dãy s , t p sinh b i đa th c và cho t p l i.

5


Chương 1
CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ B N
VÀ KHÔNG GIAN HÀM
SUY R NG
Trong chương này, lu n văn trình bày nh ng khái ni m và k t qu cơ b n v lý
thuy t hàm suy r ng và phép bi n đ i Fourier (xem [1], [2], [5]).

1.1

Không gian hàm cơ b n ∆(Rn)

Trư c khi nghiên c u v không gian các hàm cơ b n, lu n văn ch ra m t s ký
hi u đư c trình bày trong lu n văn.
Cho N = {1, 2, . . . } là t p các s t nhiên, Z + = {0, 1, 2, . . . } là t p các s

√

nguyên không âm, R là t p các s th c, C là t p các s ph c. Đơn v
o −1 = i.
n
V i m i s t nhiên n ∈ N t p
Zn = {α = (α1, ..., αn) | αj ∈ Z+, j = 1, 2, ..., n}, R
+

là không gian Euclid n chi u x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn.
V i chu n Euclid x = (

n

x2)1/2, tích vô hư ng x, ξ = j

j=1

n
j=1

V i m i k ∈ Z+ ký hi u các t p như sau
Ck(Rn) = {u : Rn → C|u kh vi liên t c đ n c p k},
Ck(Rn) = {u : Rn → C|u ∈ Ck(Rn), suppu là t p compact}, 0
C∞(Rn) = ∩∞ Ck(Rn), C∞(Rn) = ∩∞ Ck(Rn),
0

k=1

k=1 0

trong đó suppu = {x ∈ Rn| u(x) = 0}.
V i ε > 0 và K là t p compact trong Rn ta đ nh nghĩa:
Kε = {x ∈ Rn| ∃ξ ∈ K,
6

x − ξ < ε}

x j ξj.


K (ε) = { x ∈ C | ∃ ξ ∈ K ,

x − ξ < ε}

Ký hi u Φ là phép bi n đ i Fourier, f (hay Φf) là nh Fourier c a hàm f, suppf
là giá c a nh Fourier (g i là ph ) c a hàm f.
Các gi i h n mlim am, mlim am, lim am tương ng là gi i h n, gi i h n trên, gi i
→∞

→∞
m→∞
∞
{am} =1 . m

h n dư i c a dãy hàm
Bây gi là lúc ta có th phát bi u đ nh nghĩa, đ nh lý, đ ng th i đưa ra các ví
d minh h a đ làm rõ v không gian các hàm cơ b n.
Đ nh nghĩa 1.1. Không gian ∆(Rn) là không gian g m các hàm ϕ ∈ C∞(Rn) 0
v i khái ni m h i t sau: dãy {ϕj}∞ các hàm trong C∞(Rn) đư c g i là h i t
0

j=1

đ n hàm ϕ ∈ C∞(Rn) n u 0

(i) có m t t p compact K ⊂ Rn mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, ...,
(ii) jlim supn |Dαϕj(x) − Dαϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn . +
→∞ x∈R

Khi đó, ta vi t là ϕ = ∆− lim ϕj. →∞
j

Ví d 1.1. Ta đ nh nghĩa hàm m t bi n Ψ(x) như sau

ce
Ψ(x) =  1/(|x|−1)
0

n u |x| < 1,
n u |x| ≥ 1.

Khi đó Ψ ∈ ∆(R).
M nh đ 1.1. Không gian ∆(Rn) là đ

1.2

Không gian các hàm suy r ng ∆ (Rn)

Đ nh nghĩa 1.2. Ta nói r ng f là m t hàm suy r ng trong R n n u f là m t
phi m hàm tuy n tính liên t c trên ∆(Rn).
Hàm suy r ng f ∈ ∆ (Rn) tác đ ng lên m i ϕ ∈ ∆(Rn) đư c vi t là f, ϕ . Hai
hàm suy r ng f, g ∈ ∆ (Rn) đư c g i là b ng nhau n u
f, ϕ = g, ϕ , ∀ϕ ∈ ∆(Rn).

T p t t c các hàm suy r ng trong R n l p thành không gian ∆ (Rn).
Chú ý 1.1. Trên ∆ (Rn) có th xây d ng m t c u trúc không gian vectơ trên C,
nghĩa là ta có th đ nh nghĩa các phép toán tuy n tính như sau
7


(i) phép c ng: v i f, g ∈ ∆ (Rn) t ng f + g đư c xác đ nh như sau

f + g : ϕ → f + g, ϕ = f, ϕ + g, ϕ , ϕ ∈ ∆ (Rn) ,

khi đó, f + g ∈ ∆ (Rn), nghĩa là, f + g là phi m hàm tuy n tính liên t c trên
∆(Rn),

(ii) phép nhân v i s ph c: v i λ ∈ C, f ∈ ∆ (Rn) tích λf đư c xác đ nh như sau
λf : ϕ → λf, ϕ =λ f, ϕ , ϕ ∈ ∆ (Rn) ,

khi đó, λf ∈ ∆ (Rn), nghĩa là, λf là phi m hàm tuy n tính liên t c trên ∆(Rn).
Hơn th , ta còn có th đ nh nghĩa phép nhân v i m t hàm trong C∞(Rn).
V i φ ∈ C∞(Rn), f ∈ ∆ (Rn) tích φf ∈ ∆ (Rn) đư c xác đ nh như sau
φf : ϕ → φf, ϕ = f, φϕ , ϕ ∈ ∆ (Rn) ,

khi đó, φf ∈ ∆ (Rn).
Ví d 1.2. V i m i f ∈ L1(Rn) đư c coi là m t hàm suy r ng b ng cách sau
f : ϕ → f, ϕ =

Rn

f (x)ϕ(x)dx,

ϕ ∈ ∆(Rn).

Như v y, có th coi L1(Rn) là t p con c a ∆ (Rn). Hàm suy r ng f ∈ L1(Rn)
đư c g i là hàm suy r ng chính quy.
V i f, g ∈ L1(Rn), thì s b ng nhau theo nghĩa hàm suy r ng và theo nghĩa thông
thư ng là như nhau, nghĩa là
f, g ∈ L1(Rn),

Rn

f (x)ϕ(x)dx =

g(x)ϕ(x)dx,

∀ϕ ∈ ∆(Rn)

Rn

thì f = g, h.k.n trong Rn.

1.3

C p c a hàm suy r ng

Đ nh nghĩa 1.3. Cho K ⊂ Rn, f ∈ ∆ (Rn). Ta nói hàm suy r ng f có c p h u
h n trên K n u có m t s nguyên không âm k và m t s dương C sao cho
| f, ϕ | ≤ C

sup |Dαϕ(x)| , ∀ϕ ∈ C∞(Rn), suppϕ ⊂ K. 0
|α|≤k x∈K

8

(1.1)


S nguyên không âm k nh nh t trong các s nguyên không âm mà ta có b t
đ ng th c (1.1) đư c g i là c p c a hàm suy r ng f trên t p K. N u không có m t s
nguyên không âm k nào đ có (1.1) v i s dương C nào đó, thì ta nói r ng, hàm

suy r ng f có c p vô h n trên K. Đ đơn gi n, ta nói r ng, hàm suy
r ng f ∈ ∆ (Rn) có c p k n u nó có c p k trên Rn.
Ví d 1.3. M i hàm f ∈ L1(Rn) đ u có c p 0. Ta có:
| f, ϕ | =

f (x)ϕ(x)dx

Rn

≤ sup
n |ϕ (x)|
x
∈R

Rn

|f (x)| dx

= c supn |ϕ (x)| ,
x∈R

trong đó
|f (x)| dx < ∞

c=
R

n

n

Do đó f ∈ L1(R ) có c p 0.
Đ nh lý 1.1. M i phi m hàm tuy n tính f trên ∆(Rn) là m t hàm suy r ng khi
và ch khi, trên m i t p compact K ⊂ Rn, có m t s nguyên không âm k và m t
s dương C sao cho
| f, ϕ | ≤ C

supn |Dαϕ(x)| = C ϕ

Ck(Rn),

∀ϕ

∈ C∞(Rn), suppϕ ⊂ K 0

|α|≤k x∈R

Ch ng minh. Đ ch ng minh đi u ki n đ ta ch c n ch ng minh tính liên t c
c a f t i g c, nghĩa là n u có m t dãy {ϕj}∞ trong C∞(Rn) mà ∆− l
thì jl

→∞

0

j=1

f, ϕj = 0. im

j →∞

ϕj = 0

Đi u này d th y t gi thi t.
Đ ch ng minh đi u ki n c n ta dùng ph n ch ng, nghĩa là gi s có m t t p
compact K ⊂ Rn v i m i k ∈ Z+ ta đ u có
sup
ϕ∈C0 (Rn) ∞

| f, ϕ | = +∞
ϕ C k ( Rn )

suppϕ⊂K,ϕ=0

do đó, t n t i ϕk ∈ C∞(Rn), suppϕ ⊂ K, ϕk 0

C k (R n )

| f, ϕk | > k ϕk
9

C k (R n ) .

> 0 sao cho

im


Ch n
ψk(x) =

khi đó

1
k

1
2

ϕk

ϕk(x),
Ck

(R )
n

ψk ∈ C∞(Rn),

suppψk ⊂ K
và ∆− lim ψk =
0, | f, ψk | ≥ k 12 ,

0

n
ê
n
f
∈

∆
(

R
n

)

,
t
r
á
i
v
i
g
i
t
h
i
t
.

k
→
∞


/

u

N
h

p

ư

h

v

i

y

c

,

h

bt h
c4 α αơn
kỳ
.
á limĐhàm .
cK x →∞iucó d
h

ô
hn
àg

mg
i
ga
n

i

đ

n

i

g

Σ

m
(

u

m

R

s

nn
h)
al
nà
ht

s

Σp

i
g

n

i

h
.

a
i

1
.
4

y

t
a
c
ó
đ
i

(
Rp
n

h
a

h

K
h
ô
n
g
g
i
a
n

) Σx∈

nng
à

ynhư
sau
d
1/P

h

(x) ,

a

đx ∈

n

nRn.

h

n

hVì v
Σ
à
y,
m
chún (
ϕ

g ta g R

(
xi Σ
) (Rn)

l
àlà

hkhôn
à
mg
gian
g
ic
má
vc

R

0h

C

kà
hm
i

Đ
n
h

x

n
g
h
ĩ
a

∞

1
.

Ví d 1.4. Không gian C∞(Rn) là
không gian con c a không gian các
hàm gi m 0
n

g

→i

m
n
h
an
nh
h
a

hn

n

)

.

C
h
n
g
m
i
n
h
.
X
é
t
h
à
m


ϕ

n(
∀
sup R

n
(x α c

∈

)

xα ,

C

a.

<

∞

β

(

R
n

∈

)

ô

nn
Z gg

.
0

n

K
h
i

m
i
i
. n
a
h
n
g

đ
ó
,

+

Ta có
đi u

t
a

này d
nđn

đ

hàm
t

ϕ ∈Σ

suppϕ = K, K
là t p
compact
trong Rn.
V
D

kC
hh

∀
β
∈

(Rn), t

x

x

đ
cư
á
cc
hh
ào
mà
n
g

t
h
ra đư c
à
C∞(Rn) m
n
là
h
n
không 0 .
h
g
a
i
n1
a
h0
n

đây suy

i

Z
n

.

c
o

Σ


Ví d 1.5. Cho hàm s ϕ (x) = e−
gian các hàm gi m nhanh Σ (Rn).

x

2

, x ∈ Rn. Khi đó ϕ là hàm s thu c không

Ch ng minh. Theo
gi thi t, ta có x

2=

x2 +

x2
+ ... +
x2

nên
1

e−x

2

n

2

=
e−x1.e−x2...e−
xn,
2

M

2

x
∈

R
n

.

2
2
2

D βϕ
(x) =
Dβ1e−x
1

Dβ2e−x
2 ...
Dβne−x
n
2
2

=
e

−
x
1

.
e

−

x
2

.
.
.
e

−
x
n

Q
(

2


=x Q (x1,
x2, ...,
xn)

∀x
1
β,
x
∈
2
,

Z.
n

,

t→∞

T

β

n

,

∈
+
đ Z
â do đó d n đ n ϕ là hàm thu c vào không

.
.
,
x

xn)
∈2

n
y gian các hàm gi m nhanh Σ(R ).

, C
h

s

n
u g
y

R
n

,

m
r i
n
a
h

+

trong đó Q (x1, x2, ..., xn)
là hàm ch a các lũy th
a c a x1, x2, ..., xn.
D

đ
ư

o

V c

đ
ó
xαDβϕ (x) =

Ta th
yr
ng

α
sup
lim
x
v i, m i

x2

∀

xαQ(x1, x2, ...,

α

xn)e−

,

β
∈

h
o
à
n
t
h
à
n
h
.

Z
n

.

1.5 Không gian các hàm
suy r ng tăng ch m Σ (Rn)


Đ nh nghĩa 1.5. Ta nói r ng f là
hàm suy r ng tăng ch m n u f là m t
phi m
hàm
tuy n
tính
liên t

c trên
khôn
g
gian
Σ
(Rn).

Hàm suy r ng tăng ch m f tác đ ng
lên m i hàm ϕ ∈ Σ(Rn) đư c vi t là f, ϕ .
Không gian các hàm suy r ng tăng
ch m Σ (Rn) là t p h p t t c các hàm
suy
r
n
g
t
ă
n
g
c
h
m
.

1
1


Trên không gian các hàm suy r ng tăng ch m Σ (Rn) có th xây d ng m t
c u trúc không gian vectơ trên Rn, nghĩa là ta có th đ nh nghĩa các phép toán

tuy n tính như sau.

• Phép c ng : v i các hàm f1, f2 ∈ Σ (Rn) t ng các hàm f1 + f2 đư c xác
đ nh như sau
∀ϕ ∈ Σ (Rn) .

(f1 + f2) : ϕ → f1 + f2, ϕ = f1, ϕ + f2, ϕ

• Phép nhân v i s th c : v i hàm f ∈ Σ (Rn) , λ ∈ Rn tích λf đư c xác đ nh
như sau
∀ϕ ∈ Σ (Rn) .

λf : ϕ → λf, ϕ = λ f, ϕ

Hơn th , ta có th đ nh nghĩa phép nhân c a hàm suy r ng tăng ch m f v i
m t đa th c P (x) như sau
∀ϕ ∈ Σ (Rn) .

P (x)f : ϕ → f, P ϕ

Khi đó P (x)f ∈ Σ (Rn) .
Ví d 1.6. Hàm δa Dirac t i a là phi m hàm xác đ nh như sau
∀ϕ ∈ Σ (Rn) .

δ, ϕ = ϕ (−a)

Khi đó δa là hàm suy r ng tăng ch m.
Ch ng minh. Hi n nhiên ta th y hàm Dirac t i a là m t phi m hàm tuy n tính,
vì v i m i α, β ∈ R thì
δa, αϕ + βψ = (αϕ + βψ) (−a) = αϕ (−a) + βψ (−a)

= α δa , ϕ + β δa , ψ

∀ϕ, ψ ∈ Σ (Rn) .

Xét {ϕk}∞=1 là dãy hàm trong không gian các hàm gi m nhanh Σ(Rn) h i t k
đ n hàm ϕ ∈ Σ(Rn). Do đó
lim sup |ϕk (x) − ϕ (x)| = 0

k→∞ x∈R

n

∀ϕ ∈ Σ (Rn) .

Nên
lim |ϕk (−a) − ϕ (−a)| = 0

k→∞

∀ϕ ∈ Σ (Rn) .

Theo đ nh nghĩa hàm Dirac t i a, ta có
ϕ ∈ Σ (Rn) ,

δa, ϕ = ϕ (−a)
12


∀ϕ ∈ Σ (Rn) , k = 1, 2, ....

δa, ϕk = ϕk (−a)

Nên ta nh n đư c
∀ϕ ∈ Σ (Rn) .

lim δa, ϕk = δa, ϕ

k→∞

V y nên δa là hàm suy r ng tăng ch m. Ch ng
minh đư c hoàn thành.

1.6

Giá c a hàm suy r ng

Trư c h t, ta đ nh nghĩa th nào là hai hàm suy r ng tăng ch m b ng nhau t i
m t đi m trong Rn. Cùng v i đó ta s đ nh nghĩa giá c a hàm suy r ng trong
không gian các hàm tăng ch m Σ (Rn).
Đ nh nghĩa 1.6. Cho x ∈ Rn, các hàm suy r ng f, g ∈ Σ (Rn). Ta nói r ng
hàm suy r ng f = g t i x n u t n t i m t lân c n m ω ∈ Rn c a x đ
f , ϕ = g, ϕ

∀ϕ ∈ Σ (Rn) , suppϕ ⊂ ω.

T đ nh nghĩa trên, ta th y r ng hàm suy r ng f = g t i x ∈ Rn, n u v i m i
lân c n m ω ⊂ Rn c a đi m x đ u t n t i m t hàm ϕ ∈ C∞(Rn), suppϕ ⊂ ω 0
sao cho
f , ϕ = g, ϕ .

Đ nh nghĩa 1.7. (Giá c a hàm suy r ng)
Cho hàm suy r ng f ∈ Σ (Rn). Giá c a hàm suy r ng f đư c xác đ nh như sau
suppf = {x ∈ Rn : f = 0 t i x} .
Hàm suy r ng f đư c g i là có giá compact n u giá c a hàm suy r ng supp f
là t p compact.
Ví d 1.7. Hàm Dirac δ0 là phi m hàm xác đ nh như sau
δ0, ϕ = ϕ (0)

∀ϕ ∈ Σ (R) .

Khi đó, giá c a hàm suy r ng δ0 là suppδ0 = {0}.

13


Ch ng minh. Ta xét σ = 0. Khi đó, v i m i hàm ϕ ∈ Σ(R) th a mãn
suppϕ ∈ Β(σ, |σ|),
2

ta luôn có hàm ϕ(0) = 0. Do đó,
δ0, ϕ = ϕ(0) = 0

∀ϕ ∈ Σ (R) .

Đi u này d n đ n σ ∈ suppδ0. Ta th y 0 ∈ suppδ0. V y nên ta có
suppδ0 = {0}.
Ch ng minh đư c hoàn thành.

1.7

Không gian hàm suy r ng v i giá compact Ε (Rn)

Trong ph n này, ta s nghiên c u v đ c đi m c a hàm suy r ng v i giá compact
Ε (Rn). Trư c tiên, ta s đi vào khái ni m h i t trong không gian Ε (Rn).

Đ nh nghĩa 1.8. Không gian Ε (Rn) là không gian tôpô tuy n tính các hàm
ϕ ∈ C∞ (Rn) v i khái ni m h i t

như sau: dãy {ϕk}∞=1 các hàm trong không k

gian C∞ (Rn) đư c g i là h i t đ n hàm ϕ ∈ C∞ (Rn) n u
lim sup |Dαϕk (x) − Dαϕ (x)| = 0

k→∞ x∈K

∀α ∈ Zn , K ⊂⊂ Rn. +

Khi đó, ta vi t Ε_ klim ϕk = ϕ. →∞
V i dãy hàm {ϕk}∞=1 đư c g i là m t dãy Cauchy trong không gian hàm cơ k
b n Ε (Rn) n u
lim sup |Dαϕk (x) − Dαϕl (x)| = 0

k,l→∞ x∈K

∀α ∈ Zn , K ⊂⊂ Rn. +

Khi đó, không gian hàm cơ b n Ε (Rn) là không gian đ y đ và t p C∞ (Rn) là 0
t p trù m t trong không gian hàm cơ b n Ε (Rn).
Đ nh nghĩa 1.9. M t phi m hàm tuy n tính liên t c xác đ nh trong không gian
hàm cơ b n Ε (Rn) đư c g i là m t hàm suy r ng xác đ nh trên không gian hàm

cơ b n Ε (Rn). T p h p t t c các hàm suy r ng xác đ nh trong không gian hàm cơ b
n Ε (Rn), ký hi u là Ε (Rn) .
14


Đ nh lý 1.2. i) Gi s f là hàm suy r ng có giá compact. Khi đó, ta có th
thác tri n f lên thành phi m hàm tuy n tính liên t c trên không gian hàm cơ
b n Ε (Rn).
ii) Gi s f là phi m hàm tuy n tính liên t c trên không gian hàm cơ b n Ε (Rn). Khi
đó, ta có th thu h p hàm f trên không gian các hàm gi m nhanh Σ (Rn)
thành hàm suy r ng có giá compact.
M nh đ 1.2. i) Cho hàm suy r ng f ∈ Ε (Rn) , ϕ ∈ C∞ (Rn) và 0
suppf ∩ suppϕ = ∅
khi đó,
f, ϕ = 0.

ii) Cho hàm suy r ng f ∈ Ε (Rn) , ϕ ∈ C∞ (Rn) khi đó, supp (fϕ) ⊂ suppϕ∩suppf. 0
Hơn n a, các hàm suy r ng f, g ∈ Ε (Rn) khi đó, supp(f + g) ⊂ suppf ∪ suppg
và
Dαf ∈ Ε (Rn) ,

1.8

suppDαf ⊂ suppf.

Tích ch p

Dư i đây, ta đưa ra khái ni m tích ch p c a hai hàm kh tích trên R n, nh m xác đ
nh quy t c l y tích ch p gi a chúng.
Đ nh nghĩa 1.10. Cho f, g là các hàm kh tích đ a phương trên Rn. N u tích

phân
f (x − y) g (y)dy,
R

n

n

xác đ nh v i h u h t x ∈ R (nghĩa là t p các giá tr x ∈ Rn đ tích phân trên không t n t i là
t p có đ đo không) và hàm kh tích đ a phương trên Rn bi n x
thành Rn f (x − y) g (y)dy đư c g i là tích ch p c a hàm f và hàm g, ký hi u là
f ∗ g. Như v y
(f ∗ g) (x) =

Rn

f (x − y) g (y)dy =

f (y) g (x − y)dy.
Rn

Ta g i f ∗ g là tích ch p c a hàm f và hàm g. Rõ ràng trong trư ng h p này
tích ch p c a hàm f và hàm g, và tích ch p c a hàm g và hàm f là như nhau. Đi u
này có nghĩa là tích ch p có tính giao hoán f ∗ g = g ∗ f.
15


Đ nh nghĩa 1.11. (Tích ch p c a hàm suy r ng thu c ∆ (Rn) và ∆(Rn)) Cho
f ∈ ∆ (Rn) và ϕ ∈ ∆(Rn) ta xác đ nh tích ch p (f ∗ ϕ) (x) là m t hàm s trên Rn

theo công th c
(f ∗ ϕ) (x) = (f (y) , ϕ (x − y)) , ∀x ∈ Rn.

Đ nh lý 1.3. N u f ∈ ∆ (Rn) và ϕ ∈ ∆ (Rn) thì (f ∗ ϕ) (x) ∈ C∞ (Rn), hơn n a supp (f ∗ ϕ) ⊂
suppf + suppϕ.

1.9

Phép bi n đ i Fourier

Đ i tư ng chính c a lu n văn nghiên c u trong ph n này, s là phép bi n đ i
Fourier c a nh ng hàm thu c không gian các hàm gi m nhanh Σ (Rn), không
gian các hàm tăng ch m Σ (Rn), không gian hàm suy r ng v i giá compact Ε (Rn).

1.9.1

Phép bi n đ i Fourier trong không gian các hàm gi m
nhanh Σ (Rn)

Đ nh nghĩa 1.12. Cho hàm f ∈ Σ (Rn).
f (ξ) hay Φ (f ) (ξ), là hàm đư c xác đ nh b i

nh Fourier c a hàm f ký hi u là

Φ (f ) (ξ) = f (ξ) = (2π)−n/2

Rn

e−i x,ξ f (x) dx

trong đó x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn) ∈ Rn.
Đ nh nghĩa 1.13.
bi

nh Fourier ngư c c a hàm f ∈ Σ (Rn) là hàm đư c xác đ nh
∨

Φ−1 (f ) (x) = f (x) = (2π)−n/2

Rn

ei x,ξ f (ξ) dξ

trong đó x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn) ∈ Rn.
Bây gi ta xét các tính ch t nh Fourier, nh Fourier ngư c c a hàm thu c
không gian các hàm gi m nhanh Σ (Rn). B ng cách đi nghiên c u k hơn các
m nh đ sau đây, d a trên tài li u (xem [1], [2], [5]).
Đ nh lý 1.4. Cho hàm ϕ ∈ Σ (Rn). Khi đó Φϕ, Φ−1ϕ ∈ Σ (Rn) và

• DαΦϕ (ξ) = (−i)|α|Φ (xαϕ (x)) (ξ) ,

DαΦ−1ϕ (ξ) = i|α|Φ−1 (xαϕ (x)) (ξ) ,

• ξαΦϕ (ξ) = (−i)|α|Φ (Dαϕ (x)) (ξ) ,

ξαΦ−1ϕ (ξ) = i|α|Φ−1 (Dαϕ (x)) (ξ) .
16


Ch ng minh. Theo đ nh nghĩa phép bi n đ i Fourier c a hàm ϕ thu c không

gian các hàm gi m nhanh Σ (Rn), có
(Φϕ) (ξ) = (2π)−n/2

Rn

e−i x,ξ ϕ (x) dx.

(1.2)

Áp d ng đ nh lý v tính kh vi các tích phân ph thu c tham s , ta có đ o hàm
Dα (Φϕ) (ξ) v i m i α ∈ Zn và
ξ

+

Dα (Φϕ) (ξ) = Dα
ξ

ξ

(2π)−n/2

Rn e−i x,ξ

(−ix)αe−i x,ξ ϕ (x) dx

= (2π)−n/2

(1.3)

Rn

|

= (−i)|α (2π)−n/2
=

ϕ (x) dx

e−i x,ξ xαϕ (x)dx
Rn

(−i)|α|Φ (xαϕ (x)) (ξ)

∀ϕ ∈ Σ (Rn) ,

do tích phân
Rn

e−i x,ξ xαϕ (x) dx

∀ϕ ∈ Σ (Rn)

h i t tuy t đ i và đ u theo ξ trong Rn và m i α ∈ Zn . Vì +
e−i x,ξ xαϕ (x) ≤ |x|α |ϕ (x)|

∀ϕ ∈ Σ (Rn) .

Do hàm ϕ ∈ Σ (Rn), nên d n đ n
Rn

|x|α |ϕ (x)| dx

∀α ∈ Zn +

h i t tuy t đ i và đ u theo ξ trong Rn.
Do đó, t n t i đ o hàm Dα (Φϕ) (ξ), d n đ n Φϕ ∈ C∞ (Rn). ξ
Vì th m i ξ ∈ Rn, β, γ ∈ Zn , có +
lim ξβDγ e−i x,ξ ϕ (x) = 0 x

∀ϕ ∈ Σ (Rn) .

x →∞

S d ng phép tính tích phân t ng ph n |β| l n cho (1.3), ta đư c
Dα (Φϕ) (ξ) = ξ−β(2π)−n/2 ξ

Rn

e−i x,ξ (−iDx)β (−ix)αϕ (x) dx,

Như v y, v i m i α, β ∈ Zn , có +
ξβDα(Φϕ) (ξ) = (2π)−n/2 ξ

Rn

e−i x,ξ (−iDx)β (−ix)αϕ (x) dx,
17

(1.4)

nh n th y r ng
Rn

e−i x,ξ (−iDx)β (−ix)αϕ (x) dx
dx

(1 + x )n+1

≤ supn Dβ (−x)αϕ (x) x

Rn

x∈R

(1 + x )n+1

K t h p (1.4) và (1.5), ta nh n đư c
supn ξβDαΦϕ (ξ) ξ

ξ∈ R

(1 + x )n+1

≤ (2π)−n/2 supn Dβ (−x)αϕ (x) x
x∈R
2 n+1+|α|

≤ C supn 1 + x

γ≤ β

x∈R

|Dγϕ (x)|

dx
Rn

(1 + x )n+1

∀α, β ∈ Zn . +

D
2 n+1+|α|

|Dγϕ (x)| < ∞

∀α, β ∈ Zn . +

. (1.5)


γ ≤β

x∈R

Đi u này d n đ n Φϕ ∈ Σ (Rn).
T công th c (1.4), cho α = 0, β ∈ Zn ta nh n đư c +

ξβΦϕ (ξ) = (2π)−n/2
Rn

= (2π)−n/2

Rn

= (−i)|β|Φ

(−iDx)βe−i x,ξ ϕ (x) dx
e−i x,ξ (−iDx)βϕ (x) dx

Dβϕ (x)

(ξ )

∀ϕ ∈ Σ (Rn) .

V y phép bi n đ i Fourier là ánh x tuy n tính liên t c trên không gian các hàm
gi m nhanh Σ (Rn).
Đ i v i phép bi n đ i Fourier ngư c Φ−1 ta ch ng minh tương t .
Ch ng minh đư c hoàn thành.
M nh đ 1.3. Cho hàm ϕ ∈ Σ (Rn). Khi đó
Φ−1Φϕ = ΦΦ−1ϕ = ϕ.

Ch ng minh. V i các hàm ϕ, ψ ∈ Σ (Rn) theo đ nh nghĩa, ta có
Rn

ei x,ξ

(2π)−n/2

e−i y,ξ ϕ (y) dy Φψ (ξ) dξ
Rn

ei x,ξ Φϕ (ξ) Φψ (ξ) dξ

=
Rn

ei x,ξ Φϕ (ξ) (2π)−n/2

=
R

e−i y,ξ ψ (y) dy
R

n

18

n

dξ.


Nên theo đ nh lý Fubini, có

Rn

ϕ (y) (2π)−n/2

ei x−y,ξ Φψ (ξ) dξ dy
Rn

ψ (y) (2π)−n/2

=
R

ei x−y,ξ Φϕ (ξ) dξ dy,
R

n

n

t đây, suy ra
ϕ (y) Φ−1 (Φψ) (x − y) dy =

ψ (y) Φ−1 (Φϕ) (x − y) dy.

Rn

(1.6)

Rn
2

Ch n hàm ψ (x) = (2π)−n/2e−

x

ψε (x) = ε−nψ

/2,

x
ε

, ε > 0, có

Φψε (ξ) = Φ−1ψε (ξ) = ψε (ξ) .

(1.7)

K t h p (1.6) và (1.7), ta thu đư c

R

n

ϕ (y) ψε (x − y) dy =

R

ψε (y) Φ−1 (Φϕ) (x − y) dy.

n

(1.8)

Áp d ng m nh đ
∀ϕ ∈ Σ (Rn) . ε→ 0

Σ_ lim+ ϕ ∗ ψε = ϕ

Khi đó
ψ (x) dx =

ψε (x) dx = 1

Rn

Rn

và
lim

ε→0+

x ≥R ε √

ψε (x) dx

= lim+

x ≥R/ ε √

ε→0

ψ (x) dx

=0.

Do đó, cho ε → 0, thì (1.6) tr thành ϕ (x) = Φ−1 (Φϕ) (x).
Như v y,
∀ϕ ∈ Σ (Rn) .

Φ−1 (Φϕ) = ϕ

Do đó, Φ là đ ng c u tuy n tính trên không gian các hàm gi m nhanh Σ (Rn)
v i ánh x ngư c Φ−1.
Ch ng minh đư c hoàn thành.
M nh đ 1.4. Cho các hàm ϕ, ψ ∈ Σ (Rn). Khi đó,
ϕ (x) Φψ (x) dx =
Rn

ψ (ξ)Φϕ (ξ) dξ
Rn

và
Rn

|Φϕ (ξ)|2dξ.

|ϕ (x)|2dx =
Rn

19


Ch ng minh. S d ng đ nh nghĩa bi n đ i Fourier cho hàm ψ (x) trong không
gian các hàm gi m nhanh Σ (Rn), có
Φψ (x) = (2π)−n/2

e−i x,ξ ψ (ξ) dξ,

Rn

khi đó ϕ, ψ ∈ Σ (Rn), ta có
e−i x,ξ ψ (ξ) dξ dx =

ϕ (x) (2π)−n/2
Rn

Rn

ϕ (x) Φψ (x) dx.

(1.9)

Rn

Tương t , ta nh n đư c
Φϕ (ξ) = (2π)−n/2

Rn

e−i x,ξ ϕ (x) dx

∀ϕ ∈ Σ (Rn) ,

v i ϕ, ψ ∈ Σ (Rn), nên
Rn

e−i x,ξ ϕ (x) dx dξ =

ψ (ξ) (2π)−n/2
R

ψ (ξ) (Φϕ) (ξ) dξ.
R

n

(1.10)

n

M t khác, v i các hàm ϕ, ψ ∈ Σ (Rn) theo đ nh lý Fubini, có

Rn

e−i x,ξ ψ (ξ) dξ dx

ϕ (x) (2π)−n/2
Rn

e−i x,ξ ϕ (x) dx dξ. (1.11)

ψ (ξ) (2π)−n/2

=
Rn

Rn

K t h p (1.9), (1.10) và (1.11), ta đ t đư c

Rn

ϕ (x) Φψ (x) dx =

R

ψ (ξ) (Φϕ) (ξ) dξ

∀ϕ, ψ ∈ Σ (Rn) .

n

B ng cách cho hàm
ψ = Φ −1 ϕ

ta th y r ng
Φ−1ϕ = Φϕ,

ϕ = Φψ

và s d ng (1.12), ta nh n đư c
|Φϕ (ξ)|2dξ

|ϕ (x)|2dx =
Rn

Rn

M nh đ đư c ch ng minh.

20

∀ϕ ∈ Σ (Rn) .

(1.12)