Đề cương ôn tập hình học 7 HK2 có đáp án chi tiết,các dạng toán hình học

Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!

Tuyển tập 15 bài tập hình học lớp 7 học kỳ 2.
Dành cho các bạn học sinh ơn thi, có lời giải chi tiết.
Bài 1: Cho tam giác ABC vng tại A, có góc = 60. Tia phân giác góc B cắt
AC ở E. Kẻ CF vng góc với tia BE ở F.
a/ Tính . Chứng minh tam giác BCE cân
b/ Chứng minh: AB = CF
c/ Chứng minh:
d/ Chứng minh: BC = 2AB
Hướng dẫn

B

a/ Tính
Vì BE là tia phân giác góc B nên:
= = = 30

G

Xét tam giác ABC ta có:


= 30

A

Chứng minh tam giác BCE cân

E

C

Xét ta có:

F

 Tam giác BEC cân tại E.
b/ Chứng minh: AB = CF
Xét 2 tam giác vng
Ta có:

1


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!

BE = CE (tam giác BEC cân tại E)

 (cạnh huyền, góc nhọn)

c/ Chứng minh:
Xét ta có:
AB = FC (chứng minh trên)

AC = BF (vì BE = EC, AE = EF mà AC = AE + EC và BF = BE + EF)


(c.g.c)

d/ Chứng minh: BC = 2AB

Kẻ EG vng góc với BC tại G
Xét hai tam giác vng ta có:
BE cạnh chung

 (cạnh huyền, góc nhọn)
 (1)
Xét hai tam giác vng ta có:
EC = BE ( vì )

 (cạnh huyền, góc nhọn)
 (2)
2


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
Từ (1)và (2) ta có : AB = BG = GC
Mà BC = BG + GC = AB + AB = 2AB.
Bài 2: Cho tam giác ABC vng tại A, có AB = 5cm, BC = 13cm.
a/ Tính độ dài AC? So sánh các góc của tam giác ABC
b/ Trên tia đối AB lấy điểm E sao cho AB = AE. Chứng minh . Chứng minh
tam giác BCE cân.
c/ Gọi F là trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng EF cắt AC tại M. Tính
MC?
d/Đường trung trực của AC cắt EC tại Q. Chứng minh B, M, Q thẳng hàng.
Hướng dẫn:
a/ Tính độ dài AC? So sánh các góc
của tam giác ABC

B

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác
vng ABC ta có:

F




 Ac =
 AC = 12cm

1

A
N
M

Xét ta có:

Q

BC > AC > AB
 (Quan hệ giữa góc và cạnh đối
diện trong tam giác)

E

3

2

C


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
b/ Trên tia đối AB lấy điểm E sao cho AB = AE. Chứng minh . Chứng minh
tam giác BCE cân.
Xét hai tam giác vng ta có:
AB = AE (giả thiết)
AC cạnh chung

 (2 cạnh tương ứng)

c/ Gọi F là trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng EF cắt AC tại M. Tính
MC?
Xet ta có:



EF là đường trung tuyến (FB = FC)
CA là đường trung tuyến (AB =AE)
M là trọng tâm của tam giác
CM = AC = .12 = 8cm (tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác)

d/Đường trung trực của AC cắt EC tại Q. Chứng minh B, M, Q thẳng hàng.
Gọi N là giao điểm của FQ và AC, xét hai tam giác vng
- NC cạnh chung
 (cạnh góc vng, góc nhọn)

Mà FC = BC (F trung điểm BC)

BC = CE ()
 QC = EC hay Q là trung điểm EC
 BQ là đường trung tuyến của
 B, M, Q thẳng hàng.

4


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH là đường cao (H thuộc BC).
a/ Chứng minh
b/ Gọi M là trung điểm của AH. Tên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MB
= MD. Chứng minh MB =MC
c/ Chứng minh AH + BD > AB + AC
d/ Trên CM lấy điểm E sao cho CE = 2/3 CM. Chứng minh D, E, H thẳng
hàng.
A
Hướng dẫn:
D
a/ Chứng minh
Xét 2 tam giác vng , ta có:

1

- AB = AC ()
- ()
 (cạnh huyền, góc nhọn)

2

M

b/ Gọi M là trung điểm của AH. Tên
tia đối của tia MB lấy điểm D sao
cho MB = MD. Chứng minh MB =MC

E

B

Xét ta có:
- AB = AC ()
- (vì )
 (c.g.c)
 MB = MC (cạnh tương ứng).
c/ Chứng minh AH + BD > AB + AC
- Xét ta có:
AM + MB > AB (bất đẳng thức tam giác) (1)
- Xét ta có:
5

H

C


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
AM + MC > AC (bất đẳng thức tam giác) (2)
Cộng hai vế (1) và (2)
AM + MB > AB

+
AM + MC > AC
2AM + MB + MC > AB + AC
AH + BD > AB + AC (vì 2AM = AH, MB = MC nên MB + MC = 2 MB =BD)
d/ Trên CM lấy điểm E sao cho CE = 2/3 CM. Chứng minh D, E, H thẳng
hàng
Xét ta có:
- M là trung điểm BD => CM là đường trung tuyến
- H là trung điểm BC => DH là đường trung tuyến
 E là trọng tâm
 D, E, H thẳng hàng
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 5cm, BC = 13 cm.
a/ Chứng minh
b/ Trên AB lấy điểm M sao cho AM = 5cm. Chứng minh
c/ Tia phân giác góc . So sánh NC với MN.
d/ Biết AN cắt CM tại K . Chứng minh AK <
Hướng dẫn:
a/ Chứng minh
Xét , ta có:
C

K

1

cm
Vậy =
 Xét

N

2

6

A

M

B


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!

b/ Trên AB lấy điểm M sao cho AM = 5cm. Chứng minh
Xét ta có:
AC = AM = 5cm
 cân tại A

c/ Tia phân giác góc . So sánh NC với MN.
Xét ta có:
- AC = AM (gt)
- (gt)
 (c.g.c)

d/ Biết AN cắt CM tại K . Chứng minh AK <
Vì vng cân tại A nên AK vừa là tia phân giác vừa là đường cao của tam giác .
= = 50
 CM = = 7,08 cm.
 = MK = 3,45cm.

Xét :
=


 AK = 3,7 cm
Mà = 7,5cm
Vậy AK <
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác AD (D thuộc BC)
7


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
a/ Chứng minh
b/ Kẻ đường trung tuyến BM của tam giác ABC (M thuộc AC). BM cắt AD
tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
c/ Qua D vẽ đường thẳng song song với AC và cắt AB tại N.
Chứng minh C,N,G thẳng hàng.
A

Hướng dẫn:
a/ Chứng minh
Xét ta có:
N

- AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
- (AD phân giác)
 (c.g.c)
b/ Chứng minh G là trọng tâm của
tam giác ABC.

1

2

M

G
B

D

C

Vì tam giác ABC cân tại A nên AD vừa là
đường cao, vừa là tia phân giác vừa là
đườngt rung tuyến.
BM là đường trung tuyến (gt)
AD cắt BM tại G
 G là trọng tâm của
C/ Chứng minh C,N,G thẳng hàng.
Xét ta có:
- BD = DC (vì tam giác ABC cân tại A có AD vừa là đường cao vừa là đường
trung tuyến)
- DG cạnh chung
 (2 cạnh góc vng)
 (2 góc tương ứng)
8


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!

Mà : = (đối đỉnh)
(đối đỉnh)
 .
Xét ta có:
(chứng minh trên)
- AG cạnh chung
- =
 (g.c.g)

Mà AM = ½ AC và AC = AB
 AN = ½ AB
 CN là đường trung tuyến của tam giác ABC
 C,G,N thẳng hàng.
Bài 6: Cho tam giác ABC vng tại A có AB = 6 cm, AC = 8cm. Vẽ trung
tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA.
a) Chứng minh: △ AMB = △ EMC.
b) Tính BC.
c) Chứng minh △ ABC = △ CEA suy ra AM = BC.
d) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính AG.

M

a) Chứng minh: △ AMB = △ EMC.
9


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
Xét △ AMB và △ EMC, ta có:
- BM = MC (gt)
- (đối đỉnh)

- (gt)
 △ AMB = △ EMC. (c.g.c)
b) Tính BC.
Xét tam giác vng ABC ta có:

=

 BC=
 BC= 10cm
c) Chứng minh △ ABC = △ CEA suy ra AM = BC.
Vì △ AMB và △ EMC

 AB // EC
Mà AB
AC
 EC
AC
Xét △ ABC và △ CEA ta có:
- AB = EC (vì △ AMB = △ EMC)
- =
 △ ABC = △ CEA (c.g.c)
 AE = BC
Mà AM = ½ AE (gt)
 AM = ½ BC
d) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính AG.
Ta có:
10


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!

AM = ½ BC = ½ . 10 = 5cm
G là trọng tâm
 AG = 2/3 AM = 2/3 .5 = 10/3cm.
Bài 7: Cho ABC vngtại A có AM làtrungtuyến,trên tia đối của tia MA
lấy điểm D sao cho AM=MD
a) Chứng minh :
ABM= DMC
b) Chứng minh:
AB //CD
c) Cho AB=6cm ; AC=8cm .Tínhđộdài BC
d) Vẽ AH BC .Chứng minh HB< HC

D

B
H

M
2

1

A
a/ Chứng minh :

ABM= DMC

Tương tự bài 6
b/ Chứng minh:

AB //CD

Tương tự bài 6
c/ Cho AB=6cm ; AC=8cm .Tínhđộdài BC
Tương tự bài 6
11

C


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
d/ Vẽ AH BC .Chứng minh HB< HC
Ta có : AB là đường xiên có hình chiếu là HB
AC là đường xiên có hình chiếu là HC
Mà :ABNên: HBBài 8: Cho

vng tại A, có AB=6cm, BC=10cm.

a.

Tính độ dài cạnh AB và so sánh các góc của

b.

Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB=AD. Vẽ

c.

Chứng minh rằng :
và AE là tia phân giác
AE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: FC-FBĐường thẳng vng góc BC tại F cắt CA tại I. Chứng minh: FB=FI

d.

.

B

1

F
E
1

A

a.
-

I

1

1

D

Tính độ dài cạnh AB và so sánh các góc của
.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác ABC vng tại A ta có
12

C


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
AB2+ AC2 = BC2
62+ AB= 102.
AC = 8(cm)
Xét ta có:



-

BC>AC>AB (10>8>6)
 (áp dụng t/c góc và cạnh đối diện trong tam giác)
b.

Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB=AD. Vẽ
Chứng minh rằng :

-

và AE là tia phân giác

Xét hai tam giác vng

AE cạnh chung.
AB=AD(gt)

ta có:

Suy ra:
(cạnh huyền- cạnh góc vng)
 = (2 góc tương ứng)

c.

AE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: FC-FBTa có AC – AB = (AD + DC) – AB
= AD + DC – AB
= DC (AD = AB) (1)
Xét ta có:
- AB = AD (gt)
- = (cmt)
- AF cạnh chung.
 (c.g.c)
 (2 cạnh tương ứng)

Xét ta có:
13


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
FC – FD < DC (bất đẳng thức tam giác)
 FC – FB < DC (2)
Từ 1 và 2 => FC – FB < AC – AB

d. Đường thẳng vng góc BC tại F cắt CA tại I. Chứng minh: FB=FI
Ta có:
= (cùng phụ với góc A)
(cùng phụ với góc H)

Mà (vì )



Mà FD = FB(vì )
 FI = FB.
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung tuyến BD và CE cắt nhau
tại G (D thuộc AC , E thuộc AB)
a/ Chứng minh BE = DC và =
b/ Chứng minh
A

c/ Chứng minh BC < 4GD

E

B

14

D

1

G

1

C


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!

a/ Chứng minh BE = DC và =
Ta có :
- BE = ½ AB (gt)
- DC = ½ AC (gt)
Mà AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
 BE = DC
Xét và , ta có:
- BE = DC (cmt)
- (tam giác ABC cân tại A)
 và (c.g.c)
b/ Chứng minh
Ta có:
và

(cmt)
 (2 góc tương ứng)


c/ Chứng minh BC < 4GD
Ta có:
- BG = 2GD (G là trọng tâm của tam giác ABC
- CG = 2GD (vì BG = CG, tam giác CGB cân tại G cmt)

 BG + CG = 4GD
Xét tam giác BGC ta có:
BG + CG > BC (bất đẳng thức tam giác)
Mà BG + CG = 4GD (cmt)
15


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
 4GD > BC
Hay BC < 4GD
Bài 10: Cho tam giác ABC vng tại A với AB = 6cm, BC = 10cm.
a/ Tính AC?
b/ Trên tia đối của tia AB, lấy điểm D sao cho AB = AD. Chứng minh Từ đó
suy ra
c/ Trên AC lấy E sao cho AE =1/3 AC. Chứng minh DE đi qua trung điểm I
của BC.
d/ DI + 3/2DC > DB.
B

I

E

A

C

D
a/ Tính AC?
16

Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác ABC vng tại A ta có
2
2
2
 AB + AC = BC
2
2
 6 + AB= 10 .
 AC = 8(cm)
b/ Trên tia đối của tia AB, lấy điểm D sao cho AB = AD. Chứng minh Từ đó
suy ra
-

Xét hai tam giác vng ta có:
- AB = AD (gt)
- AC cạnh chung
 (2 cạnh góc vng).

 cân tại C
c/ Trên AC lấy E sao cho AE =1/3 AC. Chứng minh DE đi qua trung điểm I
của BC.
Ta có: DA = AB (gt)
 AC là đường trung tuyến của tam giác DBC
Mặt khác: AE =1/3 AC (gt)
 E là trọng tâm của tam giác DBC
 E đi qua trung điểm I của BC.
d/ DI + 3/2DC > DB.

Ta có:
DI + 3/2 DC = DI + 3/2BC (vì DC = BC)
= DI + . 2BI
= DI + 3BI
= DI + DI + 2DI
Xét tam giác BID ta có:
BI + ID > BD (bất đẳng thức tam giác)
 DI + DI + 2DI >BD
 DI + 3/2 DC> BD.
17


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
Bài 11: Cho tam giác ABC vng tại A có = , vẽ đường cao AH. Trên tia đối
của tia HA lấy điểm M sao cho HM = HA.
a/ Chứng minh: ∆ACH = ∆MCH. Tính

?

b/ Trên HC lấy điểm N sao cho HN = HB. Chứng minh: ∆HNM = ∆HBA.
c/ Chứng minh: MN ⊥ AC.
d/ Chứng minh: AN + CM > BC.

M
B

H
N

C

A
a/ Chứng minh: ∆ACH = ∆MCH. Tính

?

Xét hai tam giác vng ∆ACH Và ∆MCH ta có:
- MH = HA (gt)
- HC cạnh chung
 ∆ACH = ∆MCH (2 cạnh góc vng)
Xét tam giác ABC ta có:
+ + =
= (+ )
18


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
=
b/ Trên HC lấy điểm N sao cho HN = HB. Chứng minh: ∆HNM = ∆HBA.
Xét hai tam giác vng ∆HNM và ∆HBA ta có:
- MH = HA (gt)
- Hn = BH (gt)
 ∆HNM = ∆HBA (hai cạnh góc vng)
c/ Chứng minh: MN ⊥ AC.
Ta có: ∆HNM = ∆HBA
 = (2 góc tương ứng)
Mà : và ở vị trí so le trong
 MN //AB
Mặt khác: AB vng góc với AC
 MN vng góc với AC.

d/ Chứng minh: AN + CM > BC.
Xét hai tam giác vng : ta có:
- HA = HM (gt)
- HN cạnh chung
: (hai cạnh góc vng)
AN = MN (2 cạnh tương ứng)
Mà MN = AB (vì ∆HNM và ∆HBA )
AN = AB
Xét tam giác ABC ta có:
AB + AC > BC (bất đẳng thức tam giác)
AN + MC > BC (đfcm).

19


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
Bài 12 Cho
E. Vẽ EF

ABC vng tại A ( AB < AC), tia phân giác của

cắt AC tại

BC

a) Chứng minh : ABE = EBF
b) Cho AB = 3cm, AC = 4cm .Tính FC
c) So sánh AE và EC
d) Gọi I là giao điểm của tia ED và tia BA. Chứng minh

BIC cân

B
F

A

a) Chứng minh :

ABE =

Xét hai tam giác vng

EBF

ABE và

EBF

I

- BD: cạnh chung
( BD là tia phân giác)

=>

ABD =

EBD ( cạnh huyền góc nhọn)

b) Tính FC
VÌ tam giác ABC vng tại A
BC 2 = AB2 + AC 2 ( Định lí pitago)
BC2 = 32 + 42 = 25
BC = = 5cm
Tính FC
20

E

C


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
Ta có: BA = BF = 4 cm ( ABE =

EBF)

FC = BC – BF = 5- 4= 1cm
c/ So sánh AE và EC
Xét

EFC vng tại F

EC > EF ( cạnh huyền lớn nhất )
EC > AE ( AE =EF)
d) Chứng minh

BIC cân

Xét hai tam giác vng

AIE và

FEC ta có:

- AE = EF (cmt)
- = (đối đỉnh)


AIE =

FEC (hai cạnh góc vng)

AI = FC (cạnh tương ứng)
Ta có: BI = BA + AI
BC = BF + FC
Mà BA = BF , AI = FC
BI = BC
Vậy

BIC cân tại B .

Bài 13 Cho ABC cân tại A , gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và
AC. Hai đoạn thẳng BF và CE cắt nhau tại G.
a) Chứng minh AE= AF
b) Trên tia đối của tia FB, lấy điểm K sao cho FK = FG. Chứng minh = .
Từ đó suy ra AG//CK
21

Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
c) Chứng minh BG = GK.
d) Chứng minh BC + AG > 2EF.
A

E

B

G

H

F

K

C

a) Chứng minh AE= AF
Vì tam giác ABC cân tại A nên AB =AC
Mà E là trung điểm AB => AE =1/2 AB
F là trung điểm AC => AF = ½ AC
 AE = AF.
b/ Trên tia đối của tia FB, lấy điểm K sao cho FK = FG. Chứng minh = . Từ
đó suy ra AG//CK
Xét hai tam giác và ta có:
- AF = FC (gt)
- (đối đỉnh)

 = (c.g.c)
 (2 góc tương ứng)
ở vị trí so le trong.
 AG//CK
c/ Chứng minh BG = GK.
E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC
 G là trọng tâm của tam giác ABC
22


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
 BG = 2GF
 Mà GF = FK nên 2GF = GK
Vậy BG = GK
d/ Chứng minh BC + AG > 2EF.
Xét tam giác EGF ta có:
EG + FG > EF (bất đẳng thức tam giác)
+ > EF
BG + CG > 2EF (1)
Xét tam giác BGH và tam giác CHG ta có:
- BH + HG > GB (bdt tam giác)
- CH + HG > GC(bdt tam giác)
(BH + CH )+ 2HG > GB + GC
BC + AG > GB+ GC (2)
Từ 1 và 2 => BC + AG > 2EF.
Bài 14 Cho

ABC cân tại A , H là trung điểm của BC.

a) Chứng minh

b) Từ H kẻ HM vng góc với AB tại M và HN vng với AC tại N. Chứng
minh HM = HN
c) Cho AB = 6cm, BC = 10cm. Chứng minh AH vng góc với BC. Tính
AH?
d) Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF = BA, trên tia BC lấy
điểm E sao cho C là trung điểm của EH và AH cắt EF tại I. G là trọng
tâm của tam giác ABC. So sánh GA với GI.
A

M

G

N

23
F

B

E
H I

C


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!

a/ Chứng minh
Xét hai tam giác ta có:

- AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
- AH cạnh chung
- BH =HC (gt)
(c.c.c)
b/ Từ H kẻ HM vng góc với AB tại M và HN vng với AC tại N. Chứng
minh HM = HN
Xét hai tam giác vng và ta có:
- AH cạnh chung
- (vì )
 = (cạnh huyền – góc nhọn)
c/ Cho AB = 6cm, BC = 10cm. Chứng minh AH vng góc với BC. Tính AH?
Ta có:

 mà =
 =
 AH vng góc với BC
Xét tam giác vng . Ta có:
AB 2 = AH2 + BH 2 ( Định lí pitago)
24


Mọith thứ đều có một giá trò của riêng nó – Dù nhỏ bé hay to lớn!
AH2 = 62 - 52 = 9
BC = = 3cm
d/ Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF = BA, trên tia BC lấy điểm
E sao cho C là trung điểm của EH và AH cắt EF tại I. G là trọng tâm của tam
giác ABC. So sánh GA với GI.
B là trung điểm AF (gt)
BH = HC = CE
 H là trọng tâm tam giác AFE

 HI = ½ AH.
G là trọng tâm của tam giác ABC
 HG = ½ AH
Ta có:
GA = 2/3 AH (G là trọng tâm)
GI = GH + HI = ½ AH + 1/2AH = AH
 GI > AH
Bài 15: Cho ∆ABC vng tại A có AB < AC.
a/ Cho AB = 6cm, BC = 10cm. Tính độ dài cạnh AC và so sánh các góc
trong ∆ABC.
b/ Gọi D là trung điểm AC. Từ điểm D vẽ đường thẳng vng góc với
ACtại D, đường thẳng này cắt BC tại điểm E. Chứng minh ∆ADE = ∆DEC.
c/ Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho AE =EF; DF cắt CE tại I
Chứng minh: BC= 3CI.
F
B

1
25

E