Luận văn phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

ĐÀO NGUY N VÂN ANH

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN V I TOÁN T
KH
NGH CH PH I VÀ ÁP D NG

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

HÀ N I - NĂM 2015

NHIÊN


Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

ĐÀO NGUY N VÂN ANH

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN V I TOÁN T
KH
NGH CH PH I VÀ ÁP D NG

Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH
Mã s : 60.46.01.02

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

Ngư i hư ng d n khoa h c

GS. TSKH. NGUY N VĂN M U

HÀ N I - NĂM 2015

NHIÊN


M cl c
M đu

2

1 Tính ch t c a toán t kh ngh ch ph i
1.1 M t s l p toán t tuy n tính . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Toán t tuy n tính . . . . . . . . . . . . . .

3
3

tđis.................
t Volterra . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Toán t kh ngh ch ph i . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Toán t kh ngh ch ph i . . . . . . . . . . .
t ban đ u . . . . . . . . . . . . . . . .
th c Taylor . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Các phép toán c a toán t ngh ch đ o ph i Volterra
1.4 Đ c trưng c a đa th c c a toán t kh ngh ch ph i .
2 Phương trình v i toán t
2.1 Phương trình v i toán
2.2 Bài toán Cauchy . . .

2.3 Ví d áp d ng . . . .

kh ngh ch ph i và
t kh ngh ch ph i . .
............. .............

áp
..
..
..

. . . . .
. . . . .
31.1.2 Toán
. . . . .
71.1.3 Toán
. . . . .
8
. . . . .
8
. . . . .
81.2.2 Toán
. . . . .
91.2.3 Công
. . . . . 17
. . . . . 21
. . . . . 25
d ng
30
. . . . . . . 30 . . .

. . . . 37 . . . . . .
. 50

K t lu n

56

Tài li u tham kh o

57


i


M đu
Phương trình vi phân đóng m t vai trò quan tr ng trong kĩ thu t, v t lý,
kinh t và m t s ngành khác. Có nhi u phương pháp đ gi i m t phương trình vi
phân v i các đi u ki n ban đ u và m t trong s các phương pháp đó là s d ng lý
thuy t toán t kh ngh ch ph i.
M c tiêu c a Lu n văn là trình bày lý thuy t và cách gi i bài toán giá tr
ban đ u c a lý thuy t toán t kh ngh ch ph i áp d ng công th c TaylorGontcharov và trư ng h p riêng c a nó là công th c Taylor. Dư i s hư ng d n c
a GS. TSKH. Nguy n Văn M u, tác gi đã hoàn thành lu n văn v i
đ tài
"Phương trình vi phân v i toán t kh ngh ch ph i và áp d ng".
Lu n văn đư c chia làm hai chương:

• Chương 1: Tính ch t c a toán t kh ngh ch ph i.
• Chương 2: Phương trình v i toán t kh ngh ch ph i và áp d ng.
Chương 1 trình bày m t s ki n th c cơ b n v các l p toán t tuy n tính và tính

ch t c a toán t kh ngh ch ph i, công th c Taylor. Chương 2 n i dung chính c a
Lu n văn, trình bày v phương trình v i toán t kh ngh ch ph i và áp d ng công
th c Taylor vào vi c gi i các bài toán c th .
M c dù có nhi u c g ng, song do th i gian và trình đ còn h n ch nên lu n
văn khó tránh kh i nh ng thi u sót. Vì v y tác gi r t mong nh n đư c s góp ý c a
các th y cô và các b n đ Lu n văn đư c hoàn thi n hơn.
Qua lu n văn này, tác gi xin bày t lòng bi t ơn sâu s c đ n GS. TSKH
Nguy n Văn M u, ngư i Th y đã truy n cho tác gi có ni m say mê nghiên c u
toán h c. Th y đã t n tình hư ng d n, giúp đ tác gi trong su t quá trình h c t p
và hoàn thi n lu n văn này.
Tác gi xin chân thành c m ơn Ban Giám hi u, Phòng Đào t o Sau
1


đ i h c, Khoa Toán-Cơ-Tin, các th y cô đã t o đi u ki n thu n l i đ hoàn
thành b n lu n văn này.
Sau cùng tác gi xin g i l i bi t ơn sâu s c đ n gia đình đã luôn t o đi u ki n
t t nh t trong su t quá trình h c cũng như th c hi n lu n văn này.
Xin chân thành c m ơn!
Hà N i, ngày tháng năm 2015
Tác gi

Đào Nguy n Vân Anh

2


Chương 1
Tính ch t c a toán t kh ngh ch
ph i

1.1
1.1.1

M t s l p toán t tuy n tính
Toán t tuy n tính

Đ nh nghĩa 1.1 ([1]-[2]). Gi s X và Y là hai không gian tuy n tính trên cùng
m t trư ng vô hư ng Φ . M t ánh x A t t p tuy n tính dom A c a
X vào Y đư c g i là toán t tuy n tính n u

A(x + y) = Ax + Ay v i m i x, y ∈ dom A,
A(tx) = tAx v i m i x ∈ dom A, t ∈ Φ.
T p dom A đư c g i là mi n xác đ nh c a toán t A.
Gi s G ∈ dom A. Đ t AG = {Ax : x ∈ G}. Theo đ nh nghĩa, AG ⊂ Y . T p
AG đư c g i là nh c a t p G. T p Adom A đư c g i là mi n giá tr c a toán t A (t p giá
tr c a A) và là không gian con c a Y .
T p t t c các toán t tuy n tính v i mi n xác đ nh ch a trong không
gian X và mi n giá tr ch a trong không gian Y ký hi u b i L(X → Y ).
Đ nh nghĩa 1.2 ([1]-[2]). Toán t đ ng nh t trong không gian X là toán t
IX xác đ nh b i IXx = x v i m i x ∈ X.
Sau này n u không gây nh m l n, ta s ký hi u I thay cho IX.
Đ nh nghĩa 1.3 ([1]-[2]). N u toán t A ∈ L(X → Y ) là tương ng 1-1 thì
3


toán t ngh ch đ o A

−1

đư c đ nh nghĩa theo cách: V i m i y ∈ Adom A

−

A 1y = x, trong đó x ∈ dom A và y = Ax.
−

Đ ý r ng, theo gi thi t, m i y ng v i m t x ∈ dom A duy nh t và dom A 1 =
−
−
A dom A ⊂ Y, A 1dom A 1 = dom A ⊂ X. V i m i x ∈ dom A, n u y = Ax thì
−
−
−
−
(A 1A)x = A 1(Ax) = A 1y = x, và (AA 1)y =
−

−

−

A(A 1y) = Ax = y. Do đó A 1A = I
, AA 1 = IAdom A. Cho nên
A
dom
−
−
A 1 xác đ nh duy nh t ngh ch đ o c a A. D dàng ki m tra r ng A 1 cũng
là m t toán t tuy n tính.
N u toán t A ∈ L(X → Y ) có toán t ngh ch đ o thì ta nói A kh ngh ch.

Đ nh nghĩa 1.4 ([1]-[2]). Toán t A ∈ L(X → Y ) đư c g i là đ ng c u n u dom A =
X, A dom A = Y và n u A là tương ng 1-1.
Theo đ nh nghĩa, n u A đ ng c u thì nó kh ngh ch, toán t ngh ch đ o
−
−
−
−
A−1 cũng là tương ng 1-1 và dom A 1 = Y, A 1dom A 1 = X . Do đó A 1 cũng là đ
ng c u.
Đ nh nghĩa 1.5 ([1]-[2]). Hai không gian X và Y đư c g i là đ ng c u n u t n t i
m t đ ng c u A ánh x X lên Y .
Đ nh nghĩa 1.6 ([1]-[2]). T ng c a hai toán t A, B ∈ L(X → Y ) và tích c a toán
t v i vô hư ng đư c xác đ nh như sau dom (A + B) = dom A ∩
dom B và

(A + B)x = Ax + Bx v ix ∈ dom A ∩ dom B,
(tA)x = t(Ax) v i x ∈ dom A, t ∈ Φ.

(1.1)

N u dom A = dom B = dom C thì (A + B) + C = A + (B + C) và

A + B = B + A.
Đ ý r ng toán t C mà A + C = B v i A, B ∈ L(X → Y ) không nh t thi t ph i t
n t i. Đi u này suy ra t vi c mi n xác đ nh c a A và B có th khác nhau.
N u toán t C t n t i thì C = B − A và C đư c g i là hi u c a các toán t B và A;
phép toán "-" đư c g i là phép tr . Theo đ nh nghĩa, n u B − A xác đ nh t t thì
B − A = B + (−A) trên dom A ∩ dom B.
Đ t L0(X → Y ) = {A ∈ L(X → Y ) : dom A = X}. Do t ng c a hai
toán t tùy ý thu c L0(X → Y ) xác đ nh t t, th a mãn tính k t h p và giao

4


hoán, ng v i m i c p toán t A, B ∈ L0(A → B) t n t i toán t C = B −A
nên L0(X → Y ) là m t nhóm Abel. Ph n t trung hòa c a nhóm này là
toán t Θ sao cho Θx = 0 v i m i x ∈ X. Sau này ta ký hi u toán t không
này b i 0. T công th c (1.1) ta suy ra nhóm Abel L0(X → Y ) là không
gian tuy n tính trên trư ng Φ .
Đ nh nghĩa 1.7 ([1]-[2]). Gi s X, Y, Z là các không gian tuy n tính trên trư ng
vô hư ng, A ∈ L(X → Y ), B ∈ L(Y → Z) và Bdom B ⊂ dom A ⊂
Y . Tích c a AB c a các toán t A và B xác đ nh b i

(AB)x = A(Bx) v i m i x ∈ dom B.

(1.2)

Theo đ nh nghĩa, AB ∈ L(X → Z), dom AB = dom B, ABdom AB = AB.
Tích (n u nó xác đ nh t t) có tính phân ph i đ i v i phép c ng các toán t và
tính k t h p.
Đ nh nghĩa 1.8 ([1]-[2]). Hai toán t A và B đư c g i là giao hoán n u c hai
tích AB, BA đ u t n t i và AB = BA trên dom A = dom B.
Đ t L(X) = L(X → X) và L0(X) = L0(X → X) = {A ∈ L(X) :
dom A = X}. Công th c (1.2) ch ra r ng L0(X) không nh ng là không
gian tuy n tính mà còn là vành tuy n tính theo phép nhân các toán t

A, B ∈ L0(X) xác đ nh b i tích AB c a chúng. Th t vây, n u A, B ∈ L0(X)
thì dom B ⊂ dom A = X. Do đó, AB xác đ nh t t v i m i A, B ∈ L0(X). Vành tuy n
tính L0(X) có đơn v là toán t đ ng nh t IX = I. Tuy nhiên, L0(X) là vành không
giao hoán và không có ư c c a 0.
Đ nh nghĩa 1.9 ([1]-[2]). Toán t P ∈ L0(X) đư c g i là toán t chi u n u P 2 = P ,

trong đó P 2 = P.P .
N u P ∈ L0(X) là toán t chi u thì I − P cũng là toán t chi u. M i
toán t chi u xác đ nh s phân chia không gian X thành t ng tr c ti p
X = Y ⊕ Z, trong đó Y = {x ∈ X : P x = x}, Z = {x ∈ X : P x = 0}. Th t v y, n u
x ∈ Y ∩ Z thì x = 0 vì x = P x = 0. N u x ∈ X thì z = x − P x ∈ Z b i vì P (x − P x) = P
x − P 2x = P x − P x = 0 và x = y + z trong đó y = P x ∈ Y, z = x − P x = (I − P )x ∈ Z.
Đ nh nghĩa 1.10 ([1]-[2]). Gi s A ∈ L(X → Y ). T p h p
Ker A = {x ∈ dom A : Ax = 0}
5


đư c g i là nhân c a toán t A.
T p h p Ker A là không gian con tuy n tính c a A. S chi u c a nhân c a
toán t A ∈ L(X → Y ) đư c g i là s khuy t (nullity) c a A và ký hi u
b i αA, t c là αA = dim Ker A.
Đ nh nghĩa 1.11 ([1]-[2]). Không gian khuy t c a toán t A ∈ L(X → Y )
là không gian thương Y /Adom A. S khuy t (deficiency) βA c a toán t
A ∈ L(X → Y ) xác đ nh b i công th c

βA = dim Y /Adom A.
Theo đ nh nghĩa s khuy t βA chính là đ i chi u c a mi n giá tr c a A.
Đ nh nghĩa 1.12 ([1]-[2]). M t toán t tuy n tính A mà mi n xác đ nh c a
nó dom A = X và l y giá tr trên trư ng vô hư ng Φ (trư ng các s th c R
hay các trư ng s ph c C) đư c g i là phi m hàm tuy n tính xác đ nh trong
không gian X. Ta ký hi u X là t p t t c các phi m hàm tuy n tính xác
đ nh trong không gian X.
N u X là không gian n chi u sinh b i các ph n t (x1, . . . , xn) thì m i
n

phi m hàm tuy n tính f có d ng f (x) =

tjaj trong đó x =

j=1

n

j=1

tjxj ∈

X, t1, . . . , tn ∈ Φ và aj = f (xj) (j = 1, . . . , n), t c là f xác đ nh m t cách
duy nh t b i các giá tr c a nó trên các ph n t c a cơ s c a X.
Gi s X là không gian tuy n tính n chi u v i cơ s {x1, . . . , xn} và
Y là không gian tuy n tính m chi u v i cơ s {y1, . . . , ym} trên cùng m t
n

trư ng vô hư ng Φ . Cho A ∈ L0(X → Y ) và x =
n

t1, . . . , tn ∈ Φ tùy ý. Khi đó Ax = A

j=1

tj x j =

j=1
n

tjxj ∈ X, trong đó

tjAxj. M t khác, do

j=1

m

Ax ∈ Y nên ta có th tìm đư c c1, . . . , cm ∈ Φ sao cho Ax =
m

Th t v y, do Axj ∈ Y nên ta có Axj =

k=1

1, 2, . . . , n; k = 1, 2, . . . , m). Vì th ,
n

Ax =
j=1

n

tjAxj =

j=1

ajkyk, trong đó ajk ∈ Φ (j =

m

tj

m

k=1

k=1

aj k y k =

k=1

n

j=1

tjajk yk.

n

V y ta có ck =

j=1

tjajk (k = 1, 2, . . . , m). Các h s ajk xác đ nh phép

bi n đ i cơ s {x1, . . . , xn} thành cơ s {y1, . . . , ym} b i toán t A. Do đó,
6

c k yk .

1-1 gi a các toán t A ∈ L0(X → Y ) và các ma tr n

t n t i s tương ng




 11

a21 . . . a n1

a



a12

a22 . . . a n2

...

... ... ... 

a1m a2m . . . anm



= (a ) 




jk j=1,...,n;k=1

,...,m

.

Ta s ký hi u toán t A và ma tr n c a nó cùng m t ký t A.
Đ nh nghĩa 1.13 ([1]-[2]). Toán t A ∈ L0(X → Y ) đư c g i là h u h n chi u n u mi
n giá tr c a nó h u h n chi u. N u dim Adom A = n thì ta
nói A là toán t n chi u.
Đ nh nghĩa 1.14 ([1]-[2]). Toán t A ∈ L0(X → Y ) đư c g i là kh ngh ch ph i (trái)
n u t n t i toán t B ∈ L0(Y → X) sao cho AB = IY (tương
ng BA = IX).
Ta cũng ch ng minh đư c r ng
(i) A kh ngh ch ph i khi và ch khi nó là toàn ánh, t c là βA = 0,
(ii) A kh ngh ch trái n u Ker A = {0}, t c là βA = 0,
(iii) N u A v a kh ngh ch trái v a kh ngh ch ph i thì A kh ngh ch.

1.1.2

Toán t đ i s

Gi s X là không gian tuy n tính trên trư ng đóng đ i s Φ và A ∈
L0(X). Vô hư ng λ ∈ Φ đư c g i là giá tr chính quy c a A n u toán t
A − λI kh ngh ch.
Đ nh nghĩa 1.15 ([1]-[2]). Gi s Φ = C. Ta nói toán t A ∈ L0(X) là toán t đ i s
n u t n t i đa th c P (t) = p0 + p1t + • • • + pN tN ∈ C sao cho

P (A) = 0 trên X.
Không m t tính t ng quát ta có th gi s P (t) đ nh chu n t c là

pN = 1. Toán t đ i s A ∈ L0(X) là toán t b c N n u không t n t i đa
th c đ nh chu n Q(t) b c m < N sao cho Q(A) = 0 trên X. Đa th c P (t)
như th đư c g i là đa th c đ c trưng c a A và nghi m c a nó đư c g i là nghi m
đ c trưng c a A.


7


1.1.3

Toán t Volterra

Đ nh nghĩa 1.16 ([1]-[2]). Toán t A ∈ L0(X) đư c g i là toán t Volterra
n u toán t I − λA kh ngh ch v i m i vô hư ng λ. T p h p các toán t
Volterra thu c L0(X) ký hi u là V (X).
N u A ∈ V (X) thì phương trình thu n nh t (I − λA)x = 0 ch có
nghi m không v i m i vô hư ng λ.

1.2

Toán t kh ngh ch ph i

1.2.1

Toán t kh ngh ch ph i

Cho X là m t không gian tuy n tính trên trư ng vô hư ng Φ .
Đ nh nghĩa 1.17 ([1]-[2]). Toán t D ∈ L(X) đư c g i là kh ngh ch ph i
n u t n t i m t toán t R ∈ L0(X) sao cho RX ⊂ dom D và DR = I. Toán
t R đư c g i là ngh ch đ o ph i c a D.
T p h p t t c các toán t kh ngh ch ph i đư c kí hi u là R(X), còn
t p h p t t c các ngh ch đ o ph i c a toán t D ∈ R(X) là ΡD. Ta cũng
vi t ΡD = {R } ∈Γ
γ γ

Đ nh nghĩa 1.18 ([1]-[2]). Gi s x là m t ph n t tùy ý cho trư c c a
không gian X. Cho D ∈ R(X), t p h p RDx = R x ∈ Γ đư c g i là tích
γ γ
phân b t đ nh c a x. M i ph n t R v i γ ∈ Γ đư c g i là m t nguyên hàm
γ
c a x.
Theo đ nh nghĩa, n u y là m t nguyên hàm c a x thì Dy = x. Th t v y, n u
y là m t nguyên hàm c a x thì t n t i m t ch s γ ∈ Γ sao cho

y = R x. T đó suy ra Dy = DR x = x do DR = I.
γ

γ

γ

Đ nh nghĩa 1.19 ([1]-[2]). Gi s D ∈ R(X). Khi đó, nhân c a toán t D đư c g i là
không gian các h ng s trên D và đư c kí hi u là Ker D. M i ph n t z ∈ Ker D
đư c g i là m t h ng s .
Đ ý r ng, theo đ nh nghĩa, m t ph n t z ∈ X là m t h ng s c a D n u và ch n u Dz
= 0.

Các tính ch t c a toán t kh ngh ch ph i
1. N u D ∈ R(X), R ∈ ΡD thì DkRk = I v i k = 1, 2, . . . .

8


2. Gi s r ng D ∈ R(X), R1, R2 ∈ ΡD và y1 = R1x, y2 = R2x trong đó
x ∈ X là ph n t tùy ý. Khi đó y1 − y2 ∈ Ker D.
B ng l i: Hi u c a hai nguyên hàm c a m t ph n t x ∈ X cho trư c là m t
h ng. t đó suy ra m t tích phân b t đ nh đư c xác đ nh t t n u ta bi t ít nh t m t
ngh ch đ o ph i.
3. N u D ∈ R(X), R ∈ ΡD thì tích phân b t đ nh c a m t ph n t x ∈ X

có d ng: ΡDx = {Rx + z : z ∈ Ker D} = Rx + Ker D.
B ng l i: Tích phân b t đ nh c a m t ph n t x ∈ X là t ng c a m t nguyên
hàm và m t h ng s tùy ý.

4. N u D ∈ R(X) thì v i m i R ∈ ΡD ta có:
dom D = RX ⊕ Ker D.

(1.3)

5. Gi s D ∈ R(X) và R1 ∈ ΡD. Khi đó m i ngh ch đ o ph i c a D có d ng:

R = A + R1(I − DA) = R1 + (I − R1D)A,

(1.4)

trong đó A ∈ L0(X), AX ⊂ dom D, t c là R ∈ ΡD = R1 + (I − R1D)A : A ∈ L0(X),
AX ⊂ dom D.

Nh n th y r ng n u D ∈ R(X) và R ∈ ΡD x ∈ X thì t Rx = 0 suy
ra x = 0. Th t v y, x = DRx = 0.
B đ 1.1. Cho t0 ∈ [a, b] và m t s th c tùy ý c. N u hàm s x(t) xác đ nh trên kho ng
[a,b] có nguyên hàm ξ(t) thì t n t i m t nguyên hàm η(t) c a
x(t) sao cho η(t0) = c.
B đ 1.2. N u dãy {xn} ⊂ Χ[a, b] h i t đ u đ n hàm s x và m i hàm s xn(t) có
nguyên hàm là ξn(t) thì hàm s x có nguyên hàm.
B đ 1.3. M i hàm s liên t c trên kho ng đóng có m t nguyên hàm trong
kho ng này.

1.2.2

Toán t ban đ u

Đ nh nghĩa 1.20 ([1]-[2]). Toán t F ∈ L(X) đư c g i là toán t ban đ u
c a toán t D ∈ R(X) ng v i ngh ch đ o ph i R c a D n u
(i.) F là m t phép chi u lên không gian các h ng s , nghĩa là

F 2 = F, F X = Ker D
9


(ii.) F R = 0.
T đ nh nghĩa ta suy r ng

F z = z, v i m i z ∈ Ker D.

(1.5)

Hơn n a, ta có DF = 0 trên X, Ker F = RX và Ker D ∩ Ker F = {0}. Th t v

y, theo đ nh nghĩa F x ∈ Ker D v i m i x ∈ X, do đó DF x = 0. Do x tùy ý nên DF
= 0. T tính ch t F R = 0 suy ra r ng Ker F = RX. Gi s bây gi z ∈ Ker D và F Z
= 0. Khi đó, theo (1.5), ta có z = F z = 0. Đi u này ch ng t Ker D ∩ Ker F = {0}.
Đ nh lý 1.1. Cho D ∈ R(X). Đi u ki n c n và đ đ toán t F ∈ L(X) là
toán t ban đ u c a D ng v i R ∈ ΡD là

Ví d

F = I − RD trên dom D.
1.1. Gi s X = Χ[a, b], D = d
(Rx)(t) =
và dt

(1.6)

t

x(s)ds, trong đó
t0

a ≤ t0 ≤ b c đ nh tùy ý. N u x ∈ dom D = C1[a, b] thì
(F x)(t) = (I − RD)x(t)
= x(t) − (RDx)(t)
t

= x(t) −

x (s)ds
t0

= x(t) − x(t) + x(t0) = x(t0).
M nh đ 1.1. N u toán t A ∈ L(X) kh ngh ch thì toán t ban đ u khác 0 c a A
không t n t i.
Ch ng minh. Th t v y, cho B ∈ L(X) là m t ngh ch đ o c a A, t c là BA = I, AB =
I. N u ta đ t F = I −BA thì ta có F = I −BA = I −I = 0.
T m nh đ này suy ra các toán t ban đ u không t m thư ng ch t n t i v i
toán t kh ngh ch ph i mà không kh ngh ch. T đó, ta có đ nh lý
sau
Đ nh lý 1.2. H ΡD = {R } ∈ t t c các ngh ch đ o ph i c a toán t
γ γ Γ
D ∈ R(X) c m sinh duy nh t h ΦD = {F } ∈ các toán t ban đ u c a D
γ γ Γ
đư c xác đ nh b i đ ng th c

F = I − R D trên dom D v i m i γ ∈ Γ.
γ

γ

10


Các tính ch t c a toán t ban đ u.
1. V i m i α, β ∈ Γ, ta có

F F =F ,
α

β

(1.7)

β

F R =R −R .
β α

α

(1.8)

β

2. V i α, β, γ ∈ Γ toán t F R − F R không ph thu c vào cách ch n toán
β γ

α γ

t R ∈ ΡD.
γ
Tính ch t này ch ra r ng toán t F R − F R ch ph thu c vào các ch
β γ
α γ
s α, β. Đi u này cho phép ta đ t
(1.9)

I = F R − F R , ∀ α, β, γ ∈ Γ. β
α

β γ

α γ

Ta nói I là toán t tích phân xác đ nh. V i m i x ∈ X ph n t I x
α

α

β

đư c g i là tích phân xác đ nh c a x. Các ch s α và β đư c g i là c n dư i
và c n trên c a tích phân.

β

Do F R − F R = R − R − (R − R ) = R − R = F R nên
β γ

α γ

γ

β

γ

α

α

β

β α

I = F R , v i α, β ∈ Γ. β
α

(1.10)

β α

3. V i b t kỳ x ∈ X, α, β ∈ Γ ta có I x = z ∈ Ker D. β
α

B ng l i: Tích phân xác đ nh c a m t ph n t tùy ý là m t h ng.
4. V i b t kỳ α, β ∈ Γ ta có
α
β

I = −I . β
α

(1.11)

B ng l i: S thay đ i v trí c n trên và c n dư i c a tích phân s làm thay
đ i d u c a toán t tích phân xác đ nh và d n đ n s thay đ i d u c a tích phân
xác đ nh c a m t ph n t tùy ý.
5. V i b t kỳ α, β, δ ∈ Γ ta có
β

I +I =I .
αδ

δ

α β

6. V i b t kỳ α, β ∈ Γ ta có

I D=F −F ,β
α

β

(1.12)
(1.13)

α

(1.14)
t c là, I Dx = F x − F x v i x ∈ dom D. β
α

β

α

Ph n t F x b t kỳ, trong đó x ∈ X và F là m t toán t ban đ u, đư c
g i là giá tr ban đ u c a ph n t x. Vì x ∈ dom D là m t nguyên hàm c a

11


y = Dx nên ta có th phát bi u l i tính ch t 6 như sau: N u x ∈ X, α, β ∈ Γ
tùy ý và y ∈ X là m t nguyên hàm b t kỳ c a x thì
(1.15)

I x = F y − F y. β
α

β

α

B ng l i: Tích phân xác đ nh b ng hi u các giá tr ban đ u c a m t nguyên
hàm tùy ý ng v i c n trên và c n dư i c a tích phân.
7. Gi s D ∈ R(X), dim Ker D = 0, F và F1 = F là các toán t ban đ u
c a D, và F tương ng v i ngh ch đ o ph i R ∈ ΡD. Khi đó v i m i z ∈ Ker D t n t i
m t x ∈ X sao cho F1x = z.
B ng l i: V i m i h ng s t n t i m t ph n t sao cho tích phân xác đ nh
c a ph n t này b ng h ng s đã cho.
Các Đ nh lý 1.1 và 1.2 đ c trưng các toán t ban đ u b i các ngh ch đ o
ph i. Đ nh lý sau ch ra r ng các ngh ch đ o ph i cũng có th đ c trưng b i các
toán t ban đ u.
Đ nh lý 1.3. Gi s D ∈ R(X), F ∈ L0(X) là phép chi u lên không gian các h ng s .
Khi đó F là toán t ban đ u c a D ng v i ngh ch đ o ph i

R = R1 − F R1 v i m i R1 ∈ ΡD và R đư c xác đ nh m t cách duy nh t,
không ph thu c vào vi c ch n R1 ∈ ΡD.

8. N u D ∈ R(X) và R, R1 ∈ ΡD giao hoán thì R1 = R.
9. N u D ∈ R(X) và F, F1 là các toán t ban đ u c a D giao hoán thì F1 = F .
10. Gi s D ∈ R(X) và F1, F2 là các toán t ban đ u c a D l n lư t tương
ng v i ngh ch đ o ph i R1, R2. N u R1 = R2 thì F1 = F2. Đ o l i, n u F1 = F2 thì
R 1 = R 2.
Đ nh lý 1.4. N u D ∈ R(X) và F là toán t ban đ u c a D ng v i ngh ch
đ o ph i R c a D thì t p h p ΡD t t c các ngh ch đ o ph i c a D có d ng

ΡD = {R + F A : A ∈ L0(X)}.

(1.16)

và t p h p ΦD t t c các toán t ban đ u c a D có d ng

ΦD = {F (I − AD) : A ∈ L0(X)}.
Đ nh lý 1.5. Gi s F0, F1, . . . , Fm là các toán t ban đ u c a D ∈ R(X)
ng v i các ngh ch đ o ph i R0, R1, . . . , Rm tương ng. Đ t F =

(1.17)
M
k=0

trong đó a0, a1, . . . , am là các vô hư ng không đ ng th i b ng 0. Khi đó F là
12

ak F k


m

toán t ban đ u c a D n u và ch n u

k=0

ak = 1.

N u đi u ki n này đư c th a mãn thì toán t ban đ u F ng v i ngh ch
đ o ph i R =

akRk.

k=0

d

1.2. Gi s X = Χ[a, b], D =

Ví d

a

m

t0

và

(Rx)(t) = t x(s)ds, trong đó

dt

t0
b c đ nh tùy ý. Theo Đ nh lý 1.1, n u x ∈ dom D = C1[a, b] thì
t

(F x)(t) = (I − RD)x(t) = x(t) − (RDx)(t) = x(t) −

x (s)ds

t0

= x(t) − x(t) + x(t0) = x(t0).

t

Xét t p h p {Rc}c∈[a,b] trong đó (Rcx)t =

c

x(s)ds v i x ∈ Χ[a, b]. Theo

đ nh lý 1.2 h c m sinh c a các toán t ban đ u có d ng {Fc}c∈[a,b], trong
đó (Fcx)t = x(c).
N u y là nguyên hàm tùy ý c a x ∈ Χ[a, b] và c1, c2 c đ nh tùy ý trong
[a, b] thì theo (1.13) ta tìm đư c
c2

x(s)ds = y(c2) − y(c1), trong đó y = x.

(1.18)

c1

Do v y, công th c tính tích phân t ng ph n có d ng
c2

x(s)y (s)ds = x(s)y(s)

c2
c1

c2

−

c1

x (s)y(s)ds,

(1.19)

c1

trong đó x, y ∈ Χ[a, b] và ta đ t [u(s)]cc21 = u(c2) − u(c1), v i u ∈ Χ[a, b], a
c1, c2 b.
Ví d 1.3. Gi s X = Χ[a, b], D = d

(Rx)(t) = (s)ds. Ta ch ng t
a
dt
minh đư c r ng R là toán t Volterra, t c là toán t I − λR kh ngh ch v i

m i vô hư ng và
và

t
−1

[(I − λR) x](t) = x(t) + λ

e

λ )
(t−s x(s)ds

v i x ∈ Χ[a, b].

(1.20)

t0

Th t v y, gi s B là m t toán t đư c đ nh nghĩa b ng hàm mũ
t

(Bx)(t) =

e

λ )
(t−s x(s)ds

t0

13

v i x ∈ Χ[a, b]

(1.21)


trong đó t0 ∈ [a, b] c đ nh tùy ý. Ta c n ch ng minh

(I + λB)(I − λR) = (I − λR)(I − λD) = I v i m i λ ∈ R.

(1.22)

Không m t t ng quát ta gi s λ = 0. Do đó, s d ng tích phân t ng
ph n v i x ∈ Χ[a, b]

[(I + λB)(I − λR)x](t) = [(I + λB − λR − λ2BR)x](t)
= [x + λ(B − R)x − λ2BRx](t)
t

= x(t) + λ

e

λ )
(t−s x(s)ds −

t0

t

− λ2

t

e

t0

s

λ
(t−s)

t0

x(u)du ds
t0

t

= x(t) + λ

e
t

2 λt

λ )

(t−s − 1 x(s)ds

t0

s

−
e λs

−λ e

t0

x(u)du ds
t0

t

= x(t) + λ

[e

λ )
(t−s − 1]x(s)ds

t0

− λ2 e

λt

x(s)ds

t

−1e
λ

−
λs

x(u)du

t0

t
t0

t

−

t0

−λ

− 1 e sx(s)ds
λ

t

= x(t) + λ

λ )
(t−s − 1]x(s)ds

t0

t

+λ

[e

t

x(u)du − λ
t0

λ )
(t−s x(s)ds

t0

t

= x(t) + λ

e

[e

λ )
λ )
(t−s − 1 + 1 − e (t−s ]x(s)ds = x(t).

t0

Do đó, (I + λB)(I − λR) = I. Ch ng minh tương t ta đư c, (I −

λR)(I + λB) = I. Vì v y, t (1.22) suy ra toán t R kh ngh ch v i m i vô
14


−

hư ng λ và (I − λR) 1 = I + λB, hay
t
−1

[(I − λR) x](t) = x(t) + λ

e

λ )
(t−s x(s)ds

v i x ∈ Χ[a, b].

t0

Ví d

b

1.4. Gi s X = Χ[a, b] và q ∈ Χ[a, b]. Đ t q0 =

a

đ nh nghĩa toán t F như sau

q(s)ds = 0. Ta

b

q(s)x(s)ds v i x ∈ Χ[a, b].

(F x)(t) = q1

(1.23)

a

0

Ta s ch ng minh r ng F là toán t ban đ u c a D = d/dt ng v i
ngh ch đ o ph i xác đ nh b i
t

s

a

x(u)du ds v i x ∈ Χ[a, b].

b q(s)

x(s)ds − q1 0

(Rx)(t) =

a

(1.24)

a

Th t v y, vì các giá tr c a F x là các h ng s nên F X ⊂ Ker D. Gi
s c ∈ R. Khi đó hàm s z(t) ≡ c là hàm h ng, do đó z ∈ Ker D và
b

(F z)(t) = q1

b

q(s)z(s)ds = q1 0
a

b

cq(s)ds = qc 0
a

q(s)ds = qc q0 = z(t). 0
a

0

Vì th , F z = z v i z ∈ Ker D, t c là F là toàn ánh lên Ker D. Cho

x ∈ X c đ nh tùy ý. Đ t z = F x. Khi đó z ∈ Ker D và F 2x = F (F x) = F z = z = F X.
Do x ∈ X tùy ý nên ta suy ra F là phép chi u lên không gian các h ng s Ker D. T t
c các gi thi t c a Đ nh lý 1.3 đ u đư c th a
mãn. V y F là toán t ban đ u ng v i ngh ch đ o ph i R = R0 − F R0 v i
(R0x)(t) =

t

a

x(s)ds. T đó, R có d ng (1.24).
1 b x(s)ds và

Khi q(t) ≡ 1 thì v i x ∈ X,

(F x)(t) = b − a
t
b

x(s)ds −

(Rx)(t) =
a

a

15

a


b − s x(s)ds v

i

x ∈ X.
b−a


Th t v y, theo công th c tích phân t ng ph n ta tìm đư c
t

(Rx)(t) = [(R0 − F R0)x](t) =
t

=

t

a

x(u)du

a
b

−

a

s

a

x(u)du ds

sx(s)ds

a
b

1

t

x(s)ds −

a

a

sx(s)ds

b

x(s)ds −

=

b

a
b

x(s)ds − b − a b

=

s

s

x(s)ds − b − a

a

x(s)ds − b − a

a

1

b

1

a

a

b − s x(s)ds.
b−a

Ví d 1.5. Cho X = Χ[a, b] và d ∈ R c đ nh tùy ý. Toán t F đư c đ nh nghĩa như
sau: (F x)(t) = dx(a) + (1 − d)x(b), v i x ∈ X. Trong ví d 1.2
ta đã ch ra r ng các toán t (Fax)(t) = x(a) và (Fbx)(t) = x(b) là các toán
t ban đ u c a toán t D = d/dt. Do v y, theo Đ nh lý 1.5, ta suy ra F là
m t toán t ban đ u c a D = d/dt vì F = dFa + (1 − d)Fb và t ng các h
s d, 1 - d b ng 1. Các toán t ban đ u Fa và Fb tương ng v i các ngh ch
đ o ph i Ra và Rb đư c xác đ nh theo th t như sau
t

(Rax)(t) =

t

x(s)ds, v i x ∈ X.

x(s)ds, (Rbx)(t) =
a

b

ng v i ngh ch đ o ph i c a R =

Vì th , theo Đ nh lý 1.5 toán t F
t

t

a

b

dRa + (1 − d)Rb, t c là (Rx)(t) = d x(s)ds + (1 − d) x(s)ds, v i x ∈ X.
Ví d

1.6. Cho X = C[0, 1] và d ∈ R c đ nh tùy ý. Toán t F đư c đ nh
1

nghĩa như sau: (F x)(t) = dx(0) + (1 − d)

x(s)ds. Theo Đ nh lý 1.5 và ví

0

d 1.4 (v i a = 0, b = 1) ta có F là toán t ban đ u c a toán t D = d/dt
ng v i ngh ch đ o ph i R xác đ nh b i
t

x(s)ds − (1 − d)

(Rx)(t) = d

1

t

x(s)ds −

0

0

16

(1 − s)x(s)ds
0


1

t

x(s)ds + (d − 1)

=

(1 − s)x(s)ds.

0

1.2.3

0

Công th c Taylor

Đ nh lý 1.6 (Công th c Taylor-Gontcharov). Gi s r ng D ∈ R(X) và
ΦD = {F } ∈ là h các toán t ban đ u c m sinh b i ΡD = {R } ∈ . Cho
γ γ Γ
γ γ Γ
{γn} ⊂ Γ là dãy tùy ý các ch s . Khi đó, v i m i s nguyên dương N ta có
đ ng th c sau
N −1

R 0 . . . R k−1F kDk + R 0 . . . R N−1DN trên dom DN . (1.25)

I = F 0+
γ

γ

k=1

γ

γ

γ

γ

Ch ng minh. (B ng phương pháp quy n p). V i N = 1 thì công th c
(1.25) ta có I = F 0 + R 0D trên mi n xác đ nh c a D.
γ
γ
Gi s đ ng th c (1.25) đúng v i m i N 1 c đ nh. Khi đó theo gi thi t
quy n p ta có

R 0 . . . R N DN+1 = R 0 . . . R N−1(R N D)DN = R 0 . . . R N−1(I − F N )DN
γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

N

γ

N

= R 0 . . . R N−1D − R 0 . . . R N−1F N D = • • • =
γ

γ

N −1
k=1
N

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

R 0 . . . R k−1F kDk

=I−F 0−
γ

γ

R 0 . . . R k−1F kDk − R 0 . . . R N−1F nDN

=I−F 0−
γ

γ

k=1

γ

γ

γ

trên mi n xác đ nh c a DN+1.
N u cho R N = R và F N = F v i n = 0, 1, 2 . . . ta có ngay h qu sau
γ

γ

H qu 1.1. (Công th c Taylor). N u D ∈ R(X) và F là m t toán t ban
đ u c a D ng v i ngh ch đ o ph i R ∈ ΡD thì
N −1

I=

RkF Dk + RN DN trên dom DN (N = 1, 2, . . . ).

k=0

17

(1.26)


H qu 1.2. Gi s t t c các gi thi t c a Đ nh lý 1.6 đư c th a mãn. Khi
đó, v i m i s nguyên dương N ta có
N −1
N

Ker D

= {z = z0 +

k=1

R 0 . . . R k−1zk : z0, . . . , zN−1 ∈ Ker D}.
γ

N −1

Ch ng minh. Gi s r ng z = z0+
N

γ

k=1
N −1

N

Ker D. T đó do D z = D z0 +

k=1

N

R 0 . . . R k−1zk, trong đó z0, . . . , zN−1 ∈
γ

γ

N −1

N

D R 0 . . . R k−1zk =
γ

γ

k=1

DN−kzk = 0,

nên z ∈ Ker D .
Đ o l i, gi s r ng z ∈ Ker DN . Vì DN z = 0 nên theo công th c
N −1

Taylor-Gontcharov thì z = F 0 +
γ

R 0 . . . R k−1F kDkz. Đ t zk = F kDkz
γ

k=1

γ

γ

γ

v i k = 0, 1, 2, . . . , N − 1. V i cách đ t như th thì z0, . . . , zN−1 ∈ Ker D.
V y z có d ng c n tìm.
Ví d 1.7. Trong ví d 1.2 ta đã bi t trong không gian C[a, b], D = d/dt là
t

toán t kh ngh ch ph i có ngh ch đ o ph i là (Rx)(t) =

x(s)ds, trong đó

t0

a t0 b c đ nh tùy ý. Áp d ng công th c Taylor cho toán t D = d/dt,
b ng phương pháp quy n p ta s ch ng minh r ng
t

(Rkx)(t) =
t0

(t − s)k−1 x(s)ds, v i x ∈ Χ[a, b],
(k − 1)!

(k = 1, 2, 3, . . . ). (1.27)

V i k = 1 công th c này suy ra t đ nh nghĩa toán t R.
Gi s công th c này đúng v i k 1 c đ nh tùy ý. Theo gi thi t quy
n p và công th c tính tích phân t ng ph n, ta có
t

t

(t − s)k x(s)ds =
k!

(t − s)k d(
k!

t0

t0

s

s
k

= (t −!s) k

x(u)du).
t0

t

x(u)du

t0

t0

t0

k−1

+
t0

t0

x(u)du k (t −ks!)

s

t

=

t

s

(t − s)k−1 (
(k − 1)!

x(u)du)ds = [Rk(Rx)](t) = (Rk+1x)(t).
t0

18

ds