Bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu đơn điệu và không đơn điệu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
___________________


Nguyễn Tuấn Anh


BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU
VÀ KHÔNG ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY




THÁI NGUYÊN – 2011



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X X
∗
X . A : X → X
∗
K X
f ∈ X
∗
x

0
∈ K
Ax
0
− f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ K,
x
∗
, x x
∗
∈ X
∗
x ∈ X K ≡ X
A(x) = f.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A
x
h,δ
α
∈ K
A
h
(x
h,δ
α
) + αU
s
(x
h,δ

α
− x
∗
) − f
δ
, x − x
h,δ
α
 ≥ 0, ∀x ∈ K,
A
h
: X → X
∗
A f
δ
f U
s
X α > 0
h δ x
∗
A
h
A
h
x
τ
α
+ αU
s
(x

τ
α
− x
∗
) − f
δ
, x − x
τ
α
 ≥ −νg(x
τ
α
)x − x
τ
α
,
∀x ∈ K, x
τ
α
∈ K,
ν ≥ h τ = (h, δ)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
H
X
X
∗
X
R
n

n
∅
x := y x y
∀x x
∃x x
inf
x∈X
F (x) {F (x) : x ∈ X}
I
A
T
A
a ∼ b a b
A
∗
A
D(A) A
R(A) A
x
k
→ x {x
k
} x
x
k
 x {x
k
} x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X X

∗
X A : X → X
∗
D(A) ⊆ X
D(A) ≡ X
R(A) X
∗
A
A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A).
x = y
δ(t)
t ≥ 0 δ(0) = 0
A(x) − A(y), x − y ≥ δ(x − y), ∀x, y ∈ D(A).
δ(t) = c
A
t
2
c
A
A
A hemi X A(x +
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ty)  Ax t → 0
+
x, y ∈ X, A demi
X x
n
→ x Ax
n
 Ax n → ∞

hemi X demi
A : X → X
∗
K
X
f ∈ X
∗
x
0
∈ K
Ax
0
− f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ K.
X f ∈ X
∗
A : X → X
∗
hemi (1.1)
Ax − f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ K.
A
Ax − Ax
0
, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X, x
0

∈ X.
0 ≤ Ax − Ax
0
, x − x
0
 = (Ax − f) − (Ax
0
− f), x −x
0

Ax − f, x − x
0
 ≥ Ax
0
− f, x − x
0
.
Ax −f, x −x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ K, t ∈ (0, 1)
A[(1 − t)x
0
+ tx] − f, (1 − t)x
0
+ tx − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ K,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
tA[(1 − t)x
0

+ tx] − f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ K.
t t → 0
hemi A
✷
f(x) J = [a, b] x
0
∈ J
f(x
0
) = min
x∈J
f(x).
a < x
0
< b f

(x
0
) = 0
x
0
= a f

(x
0
) ≥ 0
x
0

= b f

(x
0
) ≤ 0
f

(x
0
)(x − x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ J,
F : X → R ∪{+∞}
X x, y ∈ X
F (tx + (1 − t)y) ≤ tF (x) + (1 − t)F (y), ∀t ∈ [0, 1].
X
lim inf
y→x
F (y) ≥ F (x), ∀x ∈ X.
F X
x ∈ X ∂F
∂F (x) = {x
∗
∈ X
∗
: F (x) ≤ F (y) + x − y, x
∗
, y ∈ X}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x

∗
∈ X
∗
F x ∂F (x)
F x
F : X → R ∪ {+∞}
x ∈ X x
∗
∈ X
∗
lim
λ→+0
F (x + λy) − F (x)
λ
= x
∗
, y, ∀y ∈ X,
x
∗
F x F

(x)
F x ∈ X
F x ∂F (x) = {F

(x)}
A : X → Y X
Y A
x ∈ X T ∈ L(X, Y )
A(x + h) = A(x) + T h + o(h),

h θ T
A x A

(x) = T
F : X → R ∪ {+∞}
F
F

X → X
∗
.
F F

(x) F

(y)
F x y
F

(x), y −x+ F(x) ≤ F (y),
F

(y), x − y + F (y) ≤ F (x).
F

(x) − F

(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
F


X X
∗
.
F F

X X
∗
φ : [0, 1] → R
φ(λ) = F (x + λ(y −x)).
x + λ(y −x) = x
λ
φ

(λ) = F

(x + λ(y −x), y −x.
0 ≤ λ

< λ ≤ 1
φ

(λ) − φ

(λ

) = F

(x
λ

) − F

(x
λ

), y −x
=
1
λ − λ

F

(x
λ
) − F

(x
λ

), x
λ
− x
λ

.
F

φ

(λ) − φ


(λ

) ≥ 0 φ

φ
φ(λ) ≤ (1 − λ)φ(0) + λφ(1), ∀λ ∈ [0, 1].
F ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)F (x) + λF (y), ∀λ ∈ [0, 1].
F
✷
A F : X → R ∪ {+∞}
f ≡ 0 ∈ X
∗
min
x∈K
F (x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
F : X → R ∪ {+∞}
X
F

x
0
(1.3)
F

(x
0
), x − x
0

 ≥ 0, ∀x ∈ K
F

(x), x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ K
x
0
∀x ∈ K, λ ∈ (0, 1)
F (x
0
) ≤ F ((1 −λ)x
0
+ λx).
1
λ

F (x
0
+ λ(x − x
0
)) − F (x
0
)

≥ 0.
λ → 0
lim
λ→0
F (x

0
+ λ(x − x
0
)) − F (x
0
)
λ
= F

(x
0
), x − x
0
 ≥ 0.
∀x ∈ K, λ ∈ (0, 1) F
F (x) − F (x
0
) ≥
1
λ

F ((1 − λ)x
0
+ λx) − F (x
0
)

.
λ → 0
F

F (x) − F (x
0
) ≥ F

(x
0
), x − x
0
, ∀x ∈ K.
x
0
x
0
(1.3).
ii) iii)
F

: X → X
∗
F

(x) − F

(x
0
), x − x
0
) ≥ 0, ∀x, x
0
∈ X.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii) iii)
x
0
iii) x = (1−λ)x
0
+λy, y ∈ K, λ ∈ [0, 1]
F


(1 − λ)x
0
+ λy

, (1 − λ)x
0
+ λy −x
0
 ≥ 0, ∀y ∈ K, x
0
∈ K.
⇔ F

(λ(y −x
0
) + x
0
), λ(y −x
0
) ≥ 0, ∀y ∈ K, x

0
∈ K.
⇔ λF


x
0
+ λ(y −x
0
)

, y −x
0
 ≥ 0, ∀y ∈ K, x
0
∈ K.
⇒ F

(x
0
+ λ(y −x
0
)), y −x
0
 ≥ 0, ∀y ∈ K, x
0
∈ K.
λ → 0
F


(x
0
), y −x
0
 ≥ 0, ∀y ∈ K. ✷
A : X → X
∗
lim
x→+∞
Ax, x
x
= ∞, ∀x ∈ X.
A : X → X
∗
hemi
K X intK = ∅
(1.1) f ∈ X
∗
A x
0
x
1
Ax
0
− f, x
1
− x
0
 ≥ 0,
Ax

1
− f, x
0
− x
1
 ≥ 0.
Ax
0
− Ax
1
, x
1
− x
0
 ≥ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A
Ax
0
− Ax
1
, x
0
− x
1
 = 0.
x
1
= x
0

A
S
0
x
0
∈ S
0
S
0
S
∗
(1.1)
S
0
(1.1)
S
0
= ∅ S
∗
A hemi S
0
S
∗
U
s
: X → X
∗
U
s
(x) = {x

∗
∈ X
∗
: x
∗
, x = x
∗
.x; x
∗
 = x
s−1
}, s ≥ 2
X s = 2 U
s
U X
X
U(x) U(λx) = λU(x) λ ∈ R
U X
∗
H
I H
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X = L
p
(Ω) 1 < p < ∞ Ω
R
n
U
(Ux)(t) = x
2−p

|x(t)|
p−2
x(t), t ∈ Ω.
L
p
(Ω) U
s
U
s
(x) − U
s
(y), x − y ≥ m
U
x − y
s
, m
U
> 0,
U
s
(x) − U
s
(y) ≤ C(R)x − y
κ
, 0 < κ ≤ 1,
C(R) R = max{x, y}
X
∗
U : X → X
∗

demi
X U
X
S = {x ∈ X : x = 1} X x, y ∈ S
x + y < 2 S
L
p
[a, b], 1 < p < ∞
X
∀ε > 0, ∃δ > 0 ∀x, y ∈ X x ≤ 1, y ≤ 1, x −y = ε
x + y ≤ 2(1 −δ)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X X
X

x
n
 x


x
n
 → x
 
x
n
− x → 0

x
f x = R(f)

X Y
ρ
X
(x
1
, x
2
) ρ
Y
(f
1
, f
2
), x
1
, x
2
∈ X, f
1
, f
2
∈ Y
x = R(f)
(X, Y ) ε > 0 δ(ε) > 0
ρ
Y
(f
1
, f
2

) ≤ δ(ε) ρ
X
(x
1
, x
2
) ≤ ε
x
1
= R(f
1
), x
2
= R(f
2
), x
1
, x
2
∈ X, f
1
, f
2
∈ Y.
x ∈ X f ∈ Y
(X, Y )
f ∈ Y x ∈ X
x
(X, Y ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

x ∈ X f ∈ Y
2x
1
+ x
2
= 2
2x
1
+ 1, 01x
2
= 2, 01
x
1
=
1
2
x
2
= 1
2x
1
+ x
2
= 2
2.01x
1
+ 1, 01x
2
= 2, 05
x

1
= 5 x
2
= −8
x
0
x
∗
A(x
0
) = f,
x
0
− x
∗
 = min{x − x
∗
 : A(x) = f}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
∗
Ax = f.
A x
0
Ax
0
= f
f
δ
f

δ
− f ≤ δ,
A
−1
x
δ
:= A
−1
f
δ
•
X Y
x
δ
α
F
δ
α
(x) = A(x) − f
δ

2
+ αx − x
∗

2
.
A α x
δ
α

x
0
A α > 0
{x
k
} (1.12) f
δ
f
k
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f
k
→ f
δ
x
k
(1.12)
A f
δ
∈ Y
(1.11) α(δ) α(δ) → 0 δ
2
/α → 0
δ → 0 {x
δ
k
α
k
} δ
k

→ 0 α
k
= α(δ
k
) x
δ
k
α
k
(1.12)
x
∗
(1.10)
x
0
x
∗
lim
δ→0
x
δ
α(δ)
= x
0
.
a b c p > q > 0
a
p
≤ ba
q

+ c a
p
= O

b
p/(p−q)
+ c

ρ(h)
h → 0 α > 0 M > 0
|ρ(h)| ≤ Mh
α
ρ(h) = O(h
α
).
h ρ(h)
h → 0 ρ(h) 0 Mh
α
A
D(A) f
δ
∈ Y (1.11)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
0
x
∗
A(x) = f
A
L ≥ 0 A


(x
0
) − A

(x) ≤ Lx
0
− x
x ∈ D(A)
z ∈ X x
0
− x
∗
= A

(x
0
)
∗
z
Lz < 1
α = cδ c > 0
x
δ
α
− x
0
 ≤
1 + cz
√

c

(1 − Lz)
δ
1/2
.
α
δ ≤ A(x
δ
α
) − f
δ
 ≤ c
1
δ, c
1
≥ 1,
x
δ
α
− x
0
 ≤

2(1 + c
1
)z
1 − Lz

1/2

δ
1/2
.
α
A(x
δ
α
) − f
δ
 = cδ, c ≥ 1.
•
H
A(x) + α(x − x
∗
) = f
δ
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
0
∈ D(A) (1.10)
A : H → H
B
r
(x
0
) ⊂ D(A) r = x
0
− x
∗

 + δ/α
(1.14) x
δ
α
∈ B
r
(x
0
)
x
0
∈ D(A)
A(x) = f x
δ
α
(1.14)
A
z ∈ H x
0
− x
∗
= A

(x
0
)
∗
z
L ≥ 0 A


(x
0
) −A

(x) ≤ Lx
0
−x
x
0
, x ∈ B
r
(x
0
) B
r
(x
0
) ⊂ D(A) x
0
r = αz
α > 0
x
δ
α
− x
0
 ≤
δ
α
+


z+
L
2
z
2

α.
α α ∼
√
δ x
δ
α
−x
0
 = O(
√
δ)
•
A(x) + αU
s
(x − x
∗
) = f
δ
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X
A : X → X
∗

hemi
α > 0 f
δ
∈ X
∗
(1.16)
x
δ
α
α, δ/α → 0 {x
δ
α
}
x
∗
(1.10)
S
A x
0
∈ S
A(x) − A(x
0
) − A

(x
0
)(x − x
0
) ≤ ˜τx −x
0

A

(x
0
)(x − x
0
),
x x
0
˜τ > 0
z ∈ X A

(x
0
)
∗
z = U
s
(x
0
− x
∗
)
α α ∼ δ
p
0 < p < 1
x
δ
α
− x

0
 = O(δ
υ
), υ = min

1 − p
s − 1
,
p
s

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X X
∗
X X X
∗
K
X
x
0
∈ K
Ax
0
− f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ K,
A : D(A) ≡ X → X
∗
hemi

f X
∗
A
(2.1)
(A, f)
S
0
= ∅ S
0
⊂ K S
0
K
(A, f) (A
h
, f
δ
)
τ = (h, δ)
(A
h
, f
δ
)
f
δ
∈ X
∗
: f
δ
− f ≤ δ, δ → 0,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A
h
: D(A
h
) ≡ X → X
∗
hemi
A
h
(x) − A(x) ≤ hg(x), ∀x ∈ X, h → 0,
g(t)
M : X → X
∗
hemi
M
U
s
X
x
τ
α
∈ K
A
h
x
τ
α
+ αU
s

(x
τ
α
− x
∗
) − f
δ
, x − x
τ
α
 ≥ 0, ∀x ∈ K.
α > 0, h > 0 f
δ
∈ X
∗
(2.4) x
τ
α
h + δ
α
, α → 0
{x
τ
α
} x
0
∈ S
0
x
∗

X
∗
U
s
hemi
A
h
+ αU
s
hemi
X X
∗
U
s
α > 0
A
h
+ αU
s
(A
h
+ αU
s
)(x), x = A
h
(x) + αU
s
(x), x − θ
= A
h

(x) − A
h
(θ), x − θ + A
h
(θ), x − θ
+ αU
s
(x), x.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên