Phương pháp hệ số phản xạ, khúc xạ cải tiến cho môi trường phân lớp trực hướng

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

—————————

Trương Th Thùy Dung

PHƯƠNG PHÁP H

S

PH N X , KHÚC X

CHO MÔI TRƯ NG PHÂN L P TR C HƯ NG

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

Hà N i - 2015

C I TI N



Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

————————-

Trương Th Thùy Dung

PHƯƠNG PHÁP H

S

PH N X , KHÚC X

CHO MÔI TRƯ NG PHÂN L P TR C HƯ NG

Chuyên ngành: Cơ h c v t r n
Mã s : 60440107

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C:
TS. TR N THANH TU N

Hà N i - 2015

C I TI N


L I C M ƠN
L i đ u tiên em mu n g i l i c m ơn chân thành t i th y hư ng d n Tr n
Thanh Tu n - ngư i đã truy n cho em ni m đam mê khoa h c và đã hư ng d n
em t m , t n tình trong su t quá trình làm lu n văn.
Em cũng xin bày t lòng bi t ơn t i nhóm Seminar t i b môn Cơ h c
do GS. TS Ph m Chí Vĩnh ch trì, th y và các anh ch đã trang b cho em ki n

th c n n t ng và là ngu n đ ng l c đ chúng em theo đu i nghiên c u khoa h c.
Đ c bi t, các công th c trong m c 2.1 h c viên thu nh n đư c t bài gi ng c a
nhóm seminar th y Ph m Chí Vĩnh trình bày. Em xin c m ơn toàn th các th y
cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin h c, Đ i h c Khoa H c T Nhiên - Đ i H c
Qu c Gia Hà N i đã truy n đ t ki n th c giúp em hoàn thành lu n văn.
Bên c nh đó, em c m ơn gia đình đã luôn đ ng viên, t o đi u ki n t t
nh t cho em trong su t quá trình h c t p và th c hi n lu n văn.
Hà N i, tháng 12 năm 2015

Trương Th Thùy Dung


M cl c

L im đ u

4

1 Phương pháp ma tr n h s

ph n x , khúc x

t ng quát hóa

R/T

6

1.1

D ng ma tr n c a các phương trình cơ b n . . . . . . . . . . . . .

1.2

Ma tr n h s ph n x , khúc x t ng quát hóa . . . . . . . . . . . 15

1.3

1.2.1

Sóng qSH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2

Sóng qP-SV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7

Phương trình tán s c c a sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Phương pháp h s R/T trong bài toán tìm band-gaps c a sóng
mt

26

2.1

Công th c tính v n t c sóng trong môi trư ng tr c hư ng . . . . 27

2.2

Bài toán ph band-gaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3

Band-gaps c a sóng qSH và sóng qP-SV . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4

Tính toán s ph band-gaps c a sóng qP . . . . . . . . . . . . . . 34

K t lu n

37

Danh m c các bài báo khoa h c

38

2


M CL C

Tài li u tham kh o

38

3

L im đ u
Trong l p bài toán ph n x và khúc x c a sóng m t truy n qua môi
trư ng phân l p, các h s ph n x và khúc x c n tìm s đư c tìm thông qua các h s
ph n x và khúc x c a sóng t i đi qua t ng m t phân cách gi a các l p b ng cách s
d ng các đi u ki n biên liên t c c a chuy n d ch và ng su t. Cách làm này tương t
như phương pháp ma tr n chuy n và đư c gi i thi u trong m t s sách chuyên kh o
v sóng như là c a Achenbach (1975) [11], Brekhovskikh (1973) [2]. Cách làm
này khá thu n ti n trong l p trình tính toán s đ i v i môi trư ng đ ng hư ng và cũng
đư c g i là phương pháp ma tr n chuy n hay "T-matrix" và đư c s d ng trong các
nghiên c u v h s ph n x và khúc x như là trong Golub và các c ng s (2012) [7, 8]
khi đi kh o sát ph band-gaps c a các sóng m t thành ph n SH, và sóng hai thành
ph n P − SV . Tuy nhiên, phương pháp này có m t như c đi m c h u c a phương
pháp ma tr n chuy n đó là k t qu tính toán s có th không n đ nh đ i v i sóng t i
có t n s cao như đã đư c phân tích k trong bài báo c a Chen (1993) [21], và
phương pháp này không ph n ánh đư c rõ ràng các tính ch t v t lý c a bài toán
ph n x khúc x khi các đ c trưng c a sóng t i, sóng ph n x , khúc x (ví d như biên
đ , góc t i, góc ph n x , khúc x ) đư c chuy n qua các đ i lư ng chuy n d ch và ng
su t t i các b m t đ áp d ng đi u ki n biên liên t c. Đi u này làm cho các hình nh v
t lý v tính ph n x và khúc x c a sóng trong các l p không còn đư c tư ng minh.
Trong bài báo c a Chen (1993) [21] v phương pháp ph n x và khúc x
t ng quát hóa, hai như c đi m đ c p

trên đã đư c kh c ph c. Phương pháp

c a Chen đã s d ng tr c ti p các h s ph n x và khúc x t ng quát hóa (là các h s
ph n x , khúc x t i m t m t phân cách gi a hai bán không gian nhưng ch thông
qua m t sóng t i) b ng cách s d ng tr c ti p các tham s biên

M CL C

đ c a các sóng trong t ng l p, tương t như trong Kennett (1983) [12] nhưng
s d ng công th c c a Luco và Apsel (1983) [14] đ lo i tr các h s tăng theo hàm
mũ, là các h s gây m t n đ nh tính toán s đ i v i t n s cao. Do đó, phương pháp
này không nh ng đã kh c ph c đư c như c đi m m t n đ nh s đ i v i mi n t n s cao
mà còn cung c p m t hình nh rõ ràng v s ph n x và khúc x trong t ng l p. V i nh
ng ưu đi m này, phương pháp c a Chen đã đư c vi t thành m t ph n m m tính
toán v sóng và đư c s d ng m t cách r ng rãi.
Trong lu n văn này, phương pháp c a Chen đư c nghiên c u phát tri n cho l
p v t li u b t đ ng hư ng, c th là v t li u tr c hư ng. Các phương trình c a Chen, ví
d như các công th c c a các h s ph n x , khúc x t ng quát hóa, các công th c
truy h i đ tính toán chúng, đư c vi t l i phù h p đ i v i môi trư ng v t li u tr c hư ng.
Các phương trình này s đư c s d ng đ thi t l p phương trình tán s c c a sóng m t
Rayleigh truy n trong môi trư ng phân l p, và đư c s d ng đ nghiên c u bài toán
ph n x , khúc x c a sóng truy n trong môi trư ng này. Lu n văn s t p trung đi vào
tính toán s ph band-gaps c a sóng qSH (kí hi u q là quasi) và sóng qP − SV , (hay
còn g i là sóng t a SH và sóng t a P − SV ), là các sóng tương t như sóng SH và P − SV
trong môi trư ng đ ng hư ng, khi truy n qua môi trư ng phân l p tr c hư ng.
N i dung c a lu n văn ngoài ph n m đ u và k t lu n g m hai chương.
Chương 1 s đi thi t l p các phương trình cơ b n c a phương pháp ma tr n h s ph
n x , khúc x t ng quát hóa R/T và s đi thi t l p phương trình tán s c c a sóng m t
Rayleigh truy n trong môi trư ng phân l p tr c hư ng. Chương 2 s đi s d ng các k t
qu c a Chương 1 đ kh o sát bài toán tìm ph band-gaps c a sóng m t qSH và qP −
SV truy n qua môi trư ng phân l p tr c hư ng.

5


Chương 1

Phương pháp ma tr n h s ph n
x , khúc x t ng quát hóa R/T
Mô hình t ng quát c a môi trư ng phân l p đư c nghiên c u trong lu n
văn bao g m N l p song song đ ng nh t, tr c hư ng đ t gi a hai bán không gian
(Hình v 1). Các tr c chính c a bán không gian và các l p đư c gi thi t là cùng
phương. Sóng ph ng truy n trong mô hình có t n s góc ω và có s sóng theo
phương ngang k. Ch n h tr c t a đ sao cho tr c Ox song song v i các l p và có chi
u hư ng theo phương truy n sóng cũng là phương c a m t hư ng chính c a v t li u.
Tr c Oz có chi u dương hư ng xu ng dư i và có g c t a đ n m t i m t biên c a l p
trên cùng. Trong m t s trư ng h p, đ cho công th c
đơn gi n h t a đ (x, y, z) có th đư c thay b ng (x1, x2, x3). Các l p có tham
s v t li u là c(11), c(13), c(33), c(55), c(44), c(66) và ρ(j), trong đó j = 1, . . . , N là s th t
j

j

j

j

j

j

c a l p. Bán không gian bên trên đư c coi là l p th (0) và bán không gian bên
dư i đư c coi là l p th (N + 1). Chương này s trình bày các h th c cơ b n c a
phương pháp h s ph n x , khúc x t ng quát hóa trong mô hình phân l p đang xét
này. C th là các h s ph n x và khúc x t ng quát hóa s đư c nh n t i m t phân
cách gi a hai l p th (j) và th (j + 1). Các công th c h s này s đư c s d ng đ kh o
sát bài toán truy n sóng m t Rayleigh và bài toán ph n x , khúc x đư c trình bày

trong các chương còn l i. Các n i dung c a chương này đư c th c hi n tương t như
trong bài báo c a Chen (1993) [21] nhưng phát tri n cho v t li u tr c hư ng, thay
vì v t li u là đ ng hư ng, v i các bi n đ i chi ti t.
6


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TR N H S
QUÁT HÓA R/T

1.1

PH N X , KHÚC X

T NG

D ng ma tr n c a các phương trình cơ b n
Xét m t môi trư ng đàn h i tr c hư ng đ c trưng b i các h ng s v t

li u c11, c13, c33, c55, c44, c66 và m t đ kh i c a môi trư ng là ρ. Gi thi t các
sóng ph ng truy n trong môi trư ng n m trong m t ph ng (0, x1, x3). Do đó các

Hình 1.1: Mô hình và h t a đ c a môi trư ng tr c hư ng phân l p. Các l p và bán
không gian có các hư ng chính c a v t li u trùng nhau

thành ph n chuy n d ch c a sóng ph ng trong môi trư ng đang xét là các hàm
ph thu c vào (x, z, t) hay (x1, x3, t) và có d ng
ui = ui(x1, x3, t)

(1.1)

trong đó, i = 1, 2, 3, ui là các thành ph n c a vector chuy n d ch.
Đ i v i sóng ph ng qP − SV ta có
uj = uj(x1, x3, t)

và u2(x1, x3, t) = 0

trong đó, j = 1, 3.
Phương trình tr ng thái bi u di n m i liên h gi a các thành ph n c a
ng su t và các thành ph n c a gradient chuy n d ch (ui,j = ∂ui ) trong môi
∂ xj

7

(1.2)


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TR N H S
QUÁT HÓA R/T

PH N X , KHÚC X

T NG

trư ng v t li u tr c hư ng (xem Ting, 1996 [17]) có d ng
σ11 = c11u1,1 + c13u3,3,
σ33 = c13u1,1 + c33u3,3,

(1.3)

σ13 = c55(u1,3 + u3,1).

B qua l c kh i, các phương trình chuy n đ ng cơ b n c a sóng ph ng qP − SV
trong môi trư ng có d ng
σ11,1 + σ13,3 = ρ¨1, u

(1.4)

σ13,1 + σ33,3 = ρ¨3, u

trong đó, d u "." bi u th đ o hàm theo bi n th i gian t.
T phương trình (1.3)3 ta có
u1,3 = c1 σ13 − u3,1. 55

(1.5)

Rút u3,3 t phương trình (1.3)2 ta nh n đư c
u3,3 = c1 σ33 − c13 u1,1.
33
c33

(1.6)

Đ o hàm phương trình (1.6) theo x1 ta có
u3,31 = c1 σ33,1 − c13 u1,11.
c33
33

(1.7)

L y đ o hàm phương trình (1.3)1 theo x1 ta có

σ11,1 = c11u1,11 + c13u3,31.

(1.8)

Thay u3,31 vào phương trình (1.8) ta có
σ11,1 =

T phương trình (1.4)2 rút ra

u1,11 + c13 σ33,1.
c33

c11 − c13 2

(1.9)

c33

σ33,3 = ρ¨3 − σ13,1. u
8

(1.10)


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TR N H S
QUÁT HÓA R/T

PH N X , KHÚC X

T NG

T phương trình (1.4)1 ta có
(1.11)

σ13,3 = ρ¨1 − σ11,1. u

Thay σ11,1 vào phương trình (1.11) ta thu đư c
σ13,3 = ρ¨1 − u

c11 − c13 2

u1,11 − c13 σ33,1.
c33

(1.12)

c33

Gi s h th ng sóng qP − SV lan truy n d c theo phương x v i v n t c sóng
c và s sóng k theo phương ngang. S sóng k này có th đư c tính b i góc t i và t n
s sóng c a tia t i. Gi s các thành ph n chuy n v c a sóng qP − SV
đư c bi u di n dư i d ng hàm mũ (Xem Achenbach, 1975 [11])
u1 = U (z)ei(ωt−kx),

(1.13)

u2 = 0,
u3 = −iV (z)ei(ωt−kx).

và đ i v i các thành ph n ng su t

σ13 = P (z)ei(ωt−kx),

(1.14)

σ23 = 0,
σ33 = −iS(z)ei(ωt−kx).

Ta bi u di n đư c u1,3, u3,3, σ13,3, σ33,3 theo b n đ i lư ng U(z), V (z), P (z), S(z) và
các tham s v t li u c11, c13, c33, c55, ρ như sau
u1,3 = c1 P (z) + kV (z), 55

(1.15)

u3,3 = −k c13 U (z) + c1 S(z),
33
c33
kc13 S(z) + k2 c − c2 13

σ13,3 = c

11

33

σ33,3 = −kP (z) − ρω2V (z),

9

c33

− ρω2 U (z),


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TR N H S
QUÁT HÓA R/T

PH N X , KHÚC X

T NG

Phương trình (1.15) là các phương trình chuy n đ ng c a sóng qP − SV
và đư c bi u di n dư i d ng ma tr n có d ng

U
0


k

c55

  V   −k
c13

0

   2 33
 =

0

 V 

c33  

dz  P   k c − c2
11

13

0

− ρω2



S

0  U 

1 

c









d



1

0

c33
0

−ρω2 −k



 


(1.16)

k c13   P 
c33    
0 
S 

Xét sóng qSH , nó có thành ph n chuy n d ch theo phương x2 khác không,
thành ph n chuy n d ch theo phương x1, x3 b ng 0 nên ta có
σ23 = c44u2,3,

(1.17)

σ21 = c66u2,1.

(1.18)

Phương trình chuy n đ ng (b qua l c kh i) c a sóng ph ng qSH có d ng
c66u2,11 + c44u2,33 = ρ¨2 u

(1.19)

Thành ph n chuy n d ch và ng su t c a sóng ph ng qSH đư c gi thi t có
d ng (Xem Achenbach, 1975 [11])
u = (0, u2, 0) = (0, W (z)ei(ωt−kx), 0),

(1.20)

σ23 = T (z)ei(ωt−kx).

(1.21)

và

T phương trình (1.17)1 và (1.21) ta có
u2,3 = c1 T (z). 44

T phương trình (1.17)1 và (1.19) ta có

(1.22)

σ23,3 = c44u2,3
c66u2,11 u


= (k2c66 − ω2ρ)W (z).

(1.23)
10


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TR N H S
QUÁT HÓA R/T

PH N X , KHÚC X

T NG

T (1.22) và (1.23) ta bi u di n đư c u2,3, σ23,3 theo hai đ i lư ng W (z), T (z) và
các tham s v t li u c44, c66, ρ. Khi đó hai phương trình này đư c vi t l i dư i
d ng ma tr n như sau






1

d  W  = 0


dz 
T

k 2c66 − ω2ρ



c44  
0 


W

,
T 

(1.24)

Hai phương trình (1.16) và (1.24) là d ng ma tr n c a h phương trình
chuy n đ ng c a sóng qP −SV và qSH và chúng có th đư c bi u di n dư i d ng
ma tr n t ng quát là
(1.25)

d f (z) = Af (z),
dz

trong đó, f(z) vector chuy n d ch - ng su t, và nó có kích c 4 ⋅ 1 cho sóng
qP − SV , kích c 2 ⋅ 1 cho sóng qSH . Do đó, ma tr n h s A có kích c 4 ⋅ 4 và 2 ⋅ 2 cho sóng
qP − SV và sóng qSH m t cách tương ng.

Đ gi i các phương trình (1.16), (1.24) ho c dư i d ng t ng quát (1.25) ta ph
i bi t các đi u ki n biên. Ví d đ i v i bài toán truy n sóng m t Rayleigh, đi u ki n
biên là ng su t b ng không t i l p trên cùng (t c là, t i z = 0), đi u ki n liên t c c a
sóng t i m i m t phân cách, và đi u ki n t t d n trong bán không gian dư i cùng.
Đ i v i bài toán ph n x , khúc x , đi u ki n biên ch có đi u ki n liên t c t i các m t
phân cách.
Nghi m gi i tích c a h các phương trình vi phân tuy n tính (1.25) đư c
bi u di n dư i d ng như sau (xem Aki và Richards, 1980 [1]),
f (z) = EΛ(z)C,

(1.26)

trong đó E, Λ là các ma tr n đã bi t s đư c trình bày bên dư i, nhưng C là các
vector h s c n đư c xác đ nh tùy theo bài toán. Trong (1.26), f là t h p tuy n tính c
a các nghi m cơ b n c a phương trình (1.25), v i vector C là vector các h s bi u th
biên đ c a các nghi m cơ b n. Các nghi m cơ b n đư c tìm dư i d ng hàm mũ c a
các giá tr riêng c a ma tr n h s A trong (1.25) và ma tr n Λ là ma tr n đư ng chéo th
hi n các nghi m hàm mũ này. Ma tr n E là ma
tr n có các c t là là các vector riêng tương ng v i các giá tr riêng

trên.

Đ tìm ma tr n Λ và E đ i v i sóng qP − SV ta đi tìm b n giá tr riêng c a ma tr n A
trong phương trình (1.25) và b n vector riêng tương ng. Các
11


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TR N H S
QUÁT HÓA R/T

PH N X , KHÚC X

T NG

giá tr riêng c a ma tr n A là nghi m c a phương trình det(A − λI) = 0, v i λ
kí hi u là giá tr riêng c a ma tr n A. Ta có
−λ

−λ k c

−ρω2

0

−λ

1

0

0

c11 − c13 − ρω2 33

0

c55

−λ

−k c13
c33
c2
k2

1

k

1
c33

−λ

c33 = (−1)1+1(−λ) 0
c13
33

0

−ρω2 −k

c13
c33
−λ

−k −λ

(1.27)

−k c13
c 33
+ (−1)1+2k

k2

c11 − c13 2

− ρω2

c33

c33

−λ k c13

1

−λ

−k c13
c 33
c11 − c13 2

c33

−λ

−k

0

+ (−1)1+3 c1 k2 55

1

0

−

ρω2

c33
k c13 + (−1)1+40 = 0.
c33

0

c33

−ρω2

−λ

0

Khai tri n các đ nh th c ta thu đư c
λ4 + λ2

1 ρω2 + 2k2 c13 − 1 k2 c − c2 13 11

c33
c33 c55

c33

− ρω2

1 c − c2
+ k4 c
33

11

c33 − k c33
13

c2 − 1 k2 1 ρω2 c − c2
+ k4 13 c
c2

55

c33

2

(1.28)

1 ω2ρ
2

11

13

c33

33

+ c 1c ρ2ω4 − c1 k2 c13 ρω2 = 0,
55 33
55
c2 33

Thay λ = bk, vào phương trình trên ta đư c
c33c55b4 + (c13 + c55)2 + c33(X − c11) + c55(X − c55) b2 + (c11 − X)(c55 − X) = 0

(1.29)


trong đó X = ρc2. Đây là phương trình trùng phương đ i v i b có nghi m
b2

√
=S+2P,1

b2

12

√

= S − 2 P, 3

(1.30)


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TR N H S
QUÁT HÓA R/T

trong đó,

PH N X , KHÚC X

T NG

2

S = −(c13 + c55) + c33(X − c11) + c55(X − c55),
c33c55
P= (c11 − X)(c55 − X).
c33c55

(1.31)

Chú ý r ng phương trình đ c trưng (1.29) c a h phương trình vi phân chuy n
đ ng c a sóng qP − SV cũng đã nh n đư c trong bài báo c a Vĩnh và Ogden (2004).
Như v y ma tr n h s A trong (1.16) có 4 giá tr riêng, đó là b1, b2 =
−b1, b3, b4 = −b3. Các vector tương ng v i 4 giá tr riêng này có d ng




b2c33
i






− c55 +

ρc2





,





−bi (c13 + c55)

yi = 


 kc55bi b2c33 + c13 + ρc2 i



k c13ρc2 − (b2c33 + c13)c55 i

(1.32)

v i (i = 1, 4). B n vector này chính là b n c t c a ma tr n E, và do đó ta có
d ng c a ma tr n E là

b2c33 − c55 + ρc2 1
b2c33 − c55 + ρc2... 3



b1(c13 + c55)
b3(c13 + c55)...

E =
−
 kc55b1(b2c33 + c13 + ρc2) −kc55b3(b2c33 + c13 + ρc2)...
1
3


k[c13ρc2 − (b2c33 + c13)c55] k[c13ρc2 − (b2c33 + c13)c55]...
1

− c55 +

(b2c33
1

ρc2)

3

−b1(c13 + c55)
kc55b1(b2c33 + c13 + ρc2)
1

− c55 +

(b2c33
3

ρc2)

−b3(c13 + c55)
kc55b3(b2c33 + c13 + ρc2)  
3

k[c13ρc2 − (b2c33 + c13)c55] k[c13ρc2 − (b2c33 + c13)c55]
1






.




3

Ma tr n Λ là ma tr n đư ng chéo các hàm mũ tương ng v i b n giá tr riêng

13

(1.33)


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TR N H S
QUÁT HÓA R/T

PH N X , KHÚC X

c a ma tr n A đã tìm đư c trên, và nó có d ng
e−b1z



Λ (j)(z) = 





0



0

0

0

e−b3z

0

0




.







T NG

0

0

eb1z

0

0

0

0
e b3 z

(1.34)




Ý nghĩa v t lý c a 4 giá tr riêng và 4 vector riêng tương ng là chúng bi u th
cho 4 sóng cơ b n truy n trong môi trư ng bao g m 2 sóng qP và qSV đi lên và 2
sóng đi xu ng. Các giá tr riêng là các s sóng c a 4 sóng này theo phương 0z và
các vector riêng bi u th cho t s biên đ c a các thành ph n c a vector f.
Tương t , đ i v i sóng qSH các giá tr riêng c a ma tr n h s đư c tìm t det(A −
aI) = 0. V i A là ma tr n h s đư c cho trong phương trình (1.24).

Ta có
1

−a

c44 = a2 − 1 (k2c66 − ω2ρ) = 0
c44

k2c66 − ω2ρ −a

T đó suy ra
k2 c66 − ω ρ = 2

a1 , 2 =

c44

c44

ν
.

(1.35)

Như v y h th ng sóng qSH có hai giá tr riêng đư c kí hi u là ν và −ν. Hai giá
tr riêng này bi u th cho m t sóng đi lên và m t sóng đi xu ng. Các ma tr n E
và Λ đ i v i sóng qSH cũng đưc tìm tương t như trên và có d ng
E=

v
à

1

,

−






(

1.36)

Λ(z) = 

e

−νz

0
eν z

0

.

(1.37)

Các h s C chưa bi t trong bi u di n nghi m (1.26) có th đư c xác đ nh b ng
s d ng các đi u ki n biên đ i v i m i bài toán. Công th c bi u di n nghi m này s đư c
dùng đ kh o sát bài toán h s ph n x , khúc x và bài toán truy n
sóng đư c trình bày

ph n sau.

14


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TR N H S
QUÁT HÓA R/T

1.2

PH N X , KHÚC X

T NG

Ma tr n h s ph n x , khúc x t ng quát hóa

M c đích c a m c này là đi tìm các h s ph n x , khúc x t ng quát
hóa t i m t m t biên phân chia gi a hai môi trư ng có tính ch t khác nhau. Hai
môi trư ng gi s đư c kí hi u b i (j) và (j + 1), trong đó m t biên phân cách gi thi t là
có phương trình z = z(j) (xem Hình v 1.2). M c này s trình bày cách nh n đư c
ma tr n h s ph n x , khúc x t ng quát hóa c a sóng qSH và qP − SV trong môi trư ng
phân l p tr c hư ng.

1.2.1

Sóng qSH

Đ i v i môi trư ng (j) phương trình (1.26) có nghi m đư c bi u di n dư i
d ng như sau




W (j)(z)


 T (j)(z)

=





E (j )

E (j )

11

12

E (j )

E (j )

21

22

trong đó,
f (j) = W (j)(z), T (j)(z)


Λ(dj)(z)

0 


 0

T


C (j ) d

Λ(uj)(z)   (j )  , 
Cu

, C(j) = C(j)(z), C(j)(z)
d

(1.38)

T
u

,

(1.39)

và
E(j) = 1,

11

E(j) = 1,

E(j) = −c(44)ν(j), j
21

12

(1.40)

22

Λ(dj)(z) = e−ν
Λ(uj)(z) = eν

E(j) = c(44)ν(j), j

(j

(j

)

z

)

z

,

(1.41)

.

Các s h ng Λ(dj)(z) và Λ(uj)(z) bi u di n các sóng đi xu ng và sóng đi lên
trong môi trư ng (j), và C(j)(z) và C(j)(z) là các h s bi u di n biên đ tương
d

u

ng c a các sóng đi xu ng và sóng đi lên này.
Đ gi i thi u khái ni m h s ph n x , khúc x t ng quát hóa, trư c h t ta đi đ nh
nghĩa h s ph n x và khúc x theo nghĩa thông thư ng (đư c vi t
t t là h s R/T ) mà nó mô t

nh hư ng c a s ph n x và khúc x trên m t

m t phân cách gi a hai môi trư ng mà không quan tâm đ n nh hư ng c a s
ph n x và khúc x do các m t phân cách khác gây ra (Luco và Apesel, 1983


15


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TR N H S
QUÁT HÓA R/T

PH N X , KHÚC X

T NG

[14]). Trong trư ng h p t ng quát, t i m t phân cách gi a bán không gian trên
(j) và bán không gian dư i (j + 1) có hai sóng qSH đi đ n, đó là sóng trong bán
không gian th (j) đi xu ng và sóng trong bán không gian th (j + 1) đi lên. M i sóng
trong hai sóng này s b tách thành hai thành ph n, đó là sóng ph n x và sóng
khúc x đi vào trong hai bán không gian. B n sóng ph n x và khúc x này s đư c g
p vào thành hai sóng và chúng s đư c bi u di n thông qua
hai sóng t i

trên thông qua các h s ph n x và khúc x R(du), R(ud), Tu(j) và
j

)

Td(j theo công th c sau (Luco và Apsel, 1983 [14])

j

Hình 1.2: S ph n x và khúc x c a hai sóng t i qSH t i m t phân cách c a hai bán
không gian

C(j+1) = Td(j)C(j) + RjudC(j+1),
d

d

(1.42)

u

C(j) = R(du)C(j) + TujC(j+1), j
u

d

u

v i C(j), C(j+1) là h s biên đ c a hai sóng t i, và C(j), C(j+1) là h s biên
d

u

đ c a hai sóng ph n x và khúc x ,

u
)
R(du ,

)
R(ud ,
j

)

d

)

Tu(j , Td(j là các h s ph n x
j

và khúc x t i m t phân cách. Trong công th c (1.42), các ch s dư i "d" có
nghĩa là sóng đi xu ng (down), "u" có nghĩa là sóng đi lên (up). Phương trình th
nh t c a (1.42) có nghĩa là sóng đi xu ng bán không gian (j + 1) là t h p c a sóng
khúc x c a sóng đi xu ng t bán không gian (j) v i sóng ph n x c a
16


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TR N H S
QUÁT HÓA R/T

PH N X , KHÚC X

T NG

sóng đi lên t bán không gian (j + 1), v i các h s t h p tương ng là Td(j) và
)

R(ud . Phương trình th hai c a (1.42) đ i v i sóng đi lên vào bán không gian (j) j

cũng có nghĩa tương t .
Đ đi tìm bi u th c tư ng minh c a các h s R(ud), R(du), Tu(j), Td(j) trong
j

j

phương trình (1.42), ta thay phương trình (1.38) vào đi u ki n liên t c f(j)(z(j)) =
f (j+1)(z(j)) t i m t phân cách và thu đư c




E(j)




=

E (j )

11

12

E( j )

E(j)

21

E(j+1)

22



( )

 Λ dj (zj)




0 

0

  (j )  
Cu

Λ(uj)(zj)

12

 E(j+1)




E(j+1)

21

0 

Λ(dj+1)(zj)
(j+1) j

Λu

0

22





E(j+1)

11


C (j ) d

C(j+1) d

(1.43)

  (j+1)  . 

(z )

Cu

Thay các phương trình (1.42) vào h phương trình (1.43) ta thu đư c
E(j)Λ(dj)(z(j))C(j) + E(j)Λ(uj)(z(j))(R(du)C(j) + Tu(j)C(j+1)) j
11

12

d

d

E(j+1)Λ(dj+1)(z(j))(Td(j)C(j)

=

11

(1.44)

u

+ R(ud)C(j+1)) + E(j+1)Λ(uj+1)(z(j))C(j+1), j

d

12

u

u

và
E(j)Λ(dj)(z(j))C(j) + E(j)Λ(uj)(z(j))(R(du)C(j) + Tu(j)C(j+1)) j
21

=

22

d

E(j+1)Λ(dj+1)(z(j))(Td(j)C(j)
21

R(ud)C(j+1))

d

+
d

u

+

(1.45)

u

E(j+1)Λ(uj+1)(z(j))C(j+1). j
22

u

Sau khi chuy n v m t s s h ng ta đư c
E(j+1)Λ(dj+1)(z(j))Td(j)C(j) − E(j)Λ(uj)(z(j))Tu(j)C(j+1) + E(j+1)Λ(uj)(z(j))Λ(dj+1)(z(j))R(ud)C(j+1) j
11

12

d

11

u

u

−E(j)Λ(uj)(z(j))R(du)C(j) = E(j)Λ(dj)(z(j))C(j) − E(j+1)Λ(uj+1)(z(j))C(j+1) j
12

d

11

d

12

u

(1.46)
và
E(j+1)Λ(dj+1)(z(j))Td(j)C(j) + E(j+1)Λ(dj+1)(z(j))R(ud)C(j+1) − E(j)Λ(uj)(z(j))R(du)C(j)

j

j


21

d

21

u

−E(j)Λ(uj)(z(j))Tu(j)C(j+1) = E(j)Λ(dj)(z(j))C(j) − E(j+1)Λ(uj+1)(z(j))C(j+1).
22

d

21

d

22

22

u

u

(1.47)
17