Xây dựng mối quan hệ giữa các bài toán tổ hợp và xác suất

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

-----------------------

DƯƠNG NG C ÁNH

XÂY D NG M I QUAN H
GI A CÁC BÀI TOÁN T H P VÀ XÁC SU T

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P
Mã s :
60 46 01 13

LU N VĂN TH C S

KHOA H C

NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C
PGS.TS. NGUY N MINH TU N

HÀ N I - NĂM 2015


M cl c
M đu

2

1 T h p và Xác su t
1.1 T hp...........................

5
5

1.2

1.1.1

Phép đ m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Hoán v

8

1.1.3

Ch nh h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.4

T hp.......................

13

1.1.5

Công th c tính s ph n t c a h p hai ho c ba

......................

t ph p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2.1

Bi n c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2.2

Các quy t c tính xác su t . . . . . . . . . . . . .

21

2 Các bài toán T h p
2.1 Các d ng bài toán t h p . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Bài t p v n d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Các bài toán Xác su t
3.1 M t s d ng bài toán làm rõ m i quan h gi a các bài

30
30
48
53

toán t h p và xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.2

Các d ng bài toán xác su t . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.3

Bài t p v n d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

K t lu n

85

Tài li u tham kh o

86
1


M đu
Trong nh ng năm g n đây, nhu c u ph i tìm các ng d ng c a Toán
h c trong cu c s ng ngày càng tr nên quan tr ng và c p thi t. M t
cách t nhiên trong lĩnh v c, mà

đó Toán h c d tìm th y các ng

d ng và các d ng toán th c t đưa đ n s h p d n và lý thú cho ngư i h c
Toán.
Toán T h p và Xác su t là ngành Toán h c có nhi u ng d ng r ng rãi
trong nhi u lĩnh v c khoa h c, công ngh , kinh t ,.... Đ c bi t, nó có nhi u n
i dung khá đa d ng, phong phú đư c ng d ng r ng rãi trong th c t đ i s
ng. Trong toán sơ c p, lý thuy t T h p và Xác su t đã đư c đưa vào gi ng
d y trong chương trình Toán trung h c ph thông nh m cung c p cho h c
sinh nh ng ki n th c cơ b n c a ngành Toán h c quan tr ng này.
T h p và Xác su t cũng xu t hi n trong nhi u bài toán lý thú v i đ khó
khá cao, khi gi i các bài toán T h p và Xác su t ngư i quan tâm s c m th
y r t h p d n, b ích và đòi h i ph i có tư duy, suy lu n đ c đáo và chính
xác. Đ c bi t, nó còn chi m v trí quan tr ng trong các kỳ thi t t nghi p,
cao đ ng, đ i h c và thi h c sinh gi i.
V i b n thân là m t giáo viên d y môn Toán trung h c ph thông đã nhi
u năm. Khi gi ng d y đ n chuyên đ này, tôi đã mong mu n ngư i th y đóng

vai trò đi u khi n và h c sinh ch đ ng chi m lĩnh ki n th c, v n d ng sáng t
o ki n th c đ đưa ra l i gi i hay cho m t bài toán T h p và Xác su t. T đó
th y r ng gi a chúng có m i quan h m t thi t
v i nhau. Chính vì th tôi đã nghiên c u và đưa ra cu n lu n văn "Xây
d ng m i quan h gi a các bài toán T h p và Xác su t".
Lu n văn nh m b t đ u tìm hi u v các đ nh nghĩa, tính ch t c a lý thuy t
T h p và Xác su t. T nh ng ki n th c cơ b n đư c v n d ng
2


vào gi i các d ng bài t p ng v i t ng đơn v ki n th c đã đư c gi i
thi u. Lu n văn đư c chia làm ba chương v i n i dung:
Chương 1. T h p và Xác su t.
Chương này trình bày các ki n th c cơ b n c a lý thuy t T h p và Xác
su t: phép đ m, hoán v , ch nh h p, t h p, tính ch t c a t h p, bi n c , các
quy t c tính xác su t. Bên c nh đó, còn có ví d minh h a cho t ng đơn v ki
n th c.
Chương 2. Các d ng bài toán T h p.
Chương này trình bày ti p t c 20 bài toán th c t v i l i gi i chi ti t, minh
h a cho t ng đơn v ki n th c v T h p đã đưa ra trong chương m t và 30
bài toán v n d ng.
Chương 3. Các d ng bài toán Xác su t.
Chương này trình bày 20 bài toán th c t v i l i gi i chi ti t, minh h a
cho t ng đơn v ki n th c v Xác su t đã đưa ra trong chương m t, trong đó
có 10 bài toán đ u tiên đưa ra m i quan h gi a bài toán T h p và Xác su t.
Đó cũng chính là 10 bài toán đ u tiên c a ph n bài t p
v n d ng

chương m t v i s v n d ng linh ho t sáng t o đã chuy n

thành 10 bài toán v xác su t v i s kh năng thu n l i c a bi n c là k t qu c
a bài toán t h p. Trong đó còn xin gi i thi u các bài toán tính ph n trăm
cũng chính là bài toán xác su t cùng v i 30 bài toán v n d ng.
Lu n văn này đư c hoàn thành v i s hư ng d n t n tình c a PGS. TS.
Nguy n Minh Tu n - Trư ng Đ i h c Giáo D c - ĐHQG Hà N i cùng v i s
n l c c a b n thân và s giúp đ đ ng viên c a th y cô, đ ng nghi p và b n
bè.
Qua đây, tác gi xin g i l i c m ơn chân thành sâu s c t i Th y hư ng d
n đã ch b o trong su t th i gian qua. Đ ng th i tác gi cũng xin c m ơn đ n
Ban giám hi u, các th y cô trư ng THPT Yên Viên đã t o đi u ki n cho tác
gi hoàn thành cu n lu n văn này. Xin c m ơn gia đình, ngư i thân, b n bè
đã đ ng viên giúp đ tôi trong su t quá trình làm lu n văn.

3


Cu i cùng, m c dù đã r t c g ng nhưng do th i gian và ki n th c
lý lu n còn h n ch nên lu n văn không tránh kh i nh ng sai sót. Tác gi r t
mong nh n s đóng góp t th y cô, b n bè, đ ng nghi p đ hoàn thi n hơn.
Hà N i, ngày 10 tháng 10 năm 2015
Tác gi
Dương Ng c Ánh

4


Chương 1
T h p và Xác su t
Trong chương này đưa ra các ki n th c cơ b n v lý thuy t T h p
và Xác su t: phép đ m, hoán v , t h p, tính ch t c a t h p, bi n c , xác su

t c a bi n c , các quy t c tính xác su t. Bên c nh nh ng ki n
th c đó là nh ng ví d v nh ng bài toán th c t

ng v i t ng đơn v

ki n th c. N i dung c a chương ch y u đư c hình thành t các tài li u [1],

[3], [5], [7] và [8].

1.1
1.1.1

T hp
Phép đ m

a. Quy t c c ng
N u có m1 cách ch n đ i tư ng a1, m2 cách ch n đ i tư ng a2, . . . , mn

cách ch n đ i tư ng an, trong đó cách ch n đ i tư ng ai (1 ≤ i ≤ n)
không ph thu c vào b t kì cách ch n đ i tư ng aj nào (1 ≤ j ≤ n,
n

i = j), thì s có
k=1

mk cách ch n đ i tư ng a1, ho c a2, . . . , ho c an.

Đ v n d ng có hi u qu , ta chuy n th quy t c này sang ngôn ng
t p h p như sau:
Cho n t p h p Ak(1 ≤ k ≤ n) v i |Ak| = mk và ∀i, j (1 ≤ i, j ≤ n)

Ai ∩ Aj = ∅, khi i = j. Khi đó s cách ch n a1, ho c a2, . . . , ho c an s
n

b ng s cách ch n ph n t a thu c
k=1

Ví d

n

Ak và b ng |

k=1

Ak| =

n
k=1

1.1.1. ([3]) Cho t p A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} có th l p đư c bao
5

|Ak|.


nhiêu s có b n ch s khác nhau t t p A và trong m i s nh t thi t
ph i có ch s 1?
L i gi i. G i s ph i tìm là abcd (a, b, c, d ∈ A; a = 0). Vì trong s abcd
nh t thi t ph i có ch s 1, nên ta xét các t p A1, A2, A3, A4 là t p

các s d ng 1bcd, a1cd, ab1d, abc1 tương ng.
1. Xét A1 khi l p s 1bcd có:

b ∈ A ∴ {1} có 5 cách ch n.
c ∈ A ∴ {1, b} có 4 cách ch n.
d ∈ A ∴ {1, b, c} có 3 cách ch n.
B i v y, s kh năng l p các s 1bcd là 5.4.3 = 60 hay |A1| = 60.
2. Xét A2, A3, A4.
i) Xét A2 khi l p s a1cd có:
a ∈ A ∴ {0, 1} có 4 cách ch n.

c ∈ A ∴ {1, a} có 4 cách ch n.
d ∈ A ∴ {1, a, c} có 3 cách ch n.
B i v y, s kh năng l p các s 1bcd là 4.4.3 = 48 hay |A2| = 48.

Tương t , ta có |A3| = |A4| = 48.
ii) Vì các s thu c các d ng khác nhau đ u khác nhau, nên ∀i, j

(1 ≤ i, j ≤ 4; i = j) đ u có A1 ∩ Aj = ∅. B i v y, s các s c n tìm
đư c tính b ng quy t c c ng, nghĩa là b ng
|A1| + |A2| + |A3| + |A4| = 60 + 48 + 48 + 48 = 204.
b. Quy t c nhân
Cho n đ i tư ng a1, a2, . . . , an. N u có m1 cách ch n đ i tư ng a1
và v i m i cách ch n a1 có m2 cách ch n đ i tư ng a2, sau đó v i m i cách
ch n a1, a2 có m3 cách ch n a3, . . . Cu i cùng v i m i cách ch n a1, a2, . . . ,

an−1 có mn cách ch n đ i tư ng an. Như v y s có m1.m2 . . . mn−1.mn cách ch n các đ
i tư ng a1, r i a2, r i a3, . . . , r i an.
Tương t đ i v i quy t c c ng, ta cũng chuy n quy t c nhân sang
d ng ngôn ng t p h p như sau:

Gi s có n t p h p Ak(1 ≤ k ≤ n) v i |Ak| = mk. Khi đó, s cách
6


ch n (S) b g m n ph n t (a1, a2, . . . , an) v i ai ∈ Ai(1 ≤ i ≤ n) s là
n

S = |A1 ⋅ A2 ⋅ • • • ⋅ An| = m1 ⋅ m2 ⋅ • • • ⋅ mn =

k=1

mk .

Ví d 1.1.2. ([8]) (Đ thi Đ i h c QGTP H Chí Minh 1999).
M t bàn dài có hai dãy gh đ i di n nhau, m i dãy có 6 ch ng i. Ngư i
ta x p ch ng i cho 6 h c sinh trư ng A và 6 h c sinh trư ng B vào bàn
trên. H i có bao nhiêu cách x p ch ng i trong m i trư ng h p
sau:
i) B t kì 2 h c sinh ng i c nh nhau ho c đ i di n nhau thì khác trư ng.
ii) B t kì 2 h c sinh ng i đ i di n nhau thì khác trư ng.
L i gi i. Đánh s các gh theo hình v sau
i) Hai h c sinh ng i c nh nhau ho c đ i di n nhau thì khác trư ng.

V y s cách x p 2 h c sinh ng i c nh ho c đ i di n ph i khác trư ng
là

12.6.52.42.32.22.12 = 1036800.
ii) Hai h c sinh ng i đ i di n thì ph i khác trư ng.

7

V y s cách x p hai h c sinh ng i đ i di n ph i khác là

12.6.10.5.8.4.6.3.4.2.2 = 33177600.
c. Quy t c tr
Cho A là m t t p h u h n và B là t p con c a A, B là ph n bù c a

B trong A thì ta có
|B| = |A − B| = |A| − |B|.
Ch ng minh. Th t v y, A = B ∪ B và B ∩ B = ∅ nên theo quy t c c ng
ta có |A| = |B| + |B|.
T đó suy ra |B| = |A| − |B|.

1.1.2

Hoán v

a. Hoán v không l p
Đ nh nghĩa 1.1.1. Cho m t t p h p g m n (n ≥ 1) ph n t . M i cách
s p x p n ph n t này theo m t th t nào đó (m i ph n t có m t đúng m t l
n) đư c g i là m t hoán v c a n ph n t đã cho. Kí hi u
s hoán v c a n ph n t b ng Pn.
Ta có công th c

Pn = n! = n(n − 1) . . . (n − k) . . . 3.2.1.
Ví d 1.1.3. V i năm ch s 1, 2, 3, 4, 5 có th l p đư c bao nhiêu s
g m năm ch s khác nhau?
L i gi i. Vì s c n l p có năm ch s khác nhau, m i ch s xu t hi n
trong t ng s c n l p đúng m t l n, nên m i s c n l p là m t hoán v

8


c a năm s đã cho. B i v y, s các s có th l p b ng s hoán v c a
năm ph n t , t c là P5 = 5! = 120.
b. Hoán v có l p

Đ nh nghĩa 1.1.2. Hoán v trong đó m i ph n t xu t hi n ít nh t
m t l n đư c g i là hoán v l p.
S hoán v l p c a n ph n t thu c k lo i, mà các ph n t lo i i

(1 ≤ i ≤ k) xu t hi n ni l n đư c kí hi u là P (n1, n2, ..., nk) và đư c
tính b ng công th c
P (n1, n2, . . . , nk) = n !n n.!. . n !•
1 !
2

k

Th y v y, xét m t hoán v có l p c a n ph n t thu c lo i k, mà
các ph n t lo i i (1 ≤ i ≤ k) xu t hi n ni l n. N u ta thay th t t c

các ph n t gi ng nhau b ng nh ng ph n t khác nhau, thì s hoán v
khác nhau c a n ph n t gi ng nhau mà ta có th l p đư c t hoán v
có l p đang xét theo quy t c nhân b ng n1!n2! . . . nk!. Làm như v y cho
m i hoán v có l p c a n ph n t thu c lo i k, mà các ph n t lo i i

(1 ≤ i ≤ k) xu t hi n ni, ta s tìm đư c t t c n! hoán v c a n ph n
t khác nhau. Do đó ta có đ ng th c
P (n1, n2, . . . , nk)n1!n2! . . . nk! = n!.

T đó suy ra

P (n1, n2, . . . , nk) = n !n n.!. . n !•
1 !
2
Ví d

k

1.1.4. ([3]) V i các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5 có th l p đư c bao

nhiêu s g m chín ch s , trong đó m i ch s 0, 1, 2, 3 xu t hi n đúng m t l
n, ch s 4 xu t hi n đúng hai l n và ch s 5 xu t hi n đúng ba
l n?
L i gi i. Xét m t s x tùy ý, x = 140525345 và kí hi u v trí các ch
s c a x m t cách hình th c, ta có: x = a1a2a3a4a5a6a7a8a9 (trong đó

a1 = 0 và các v trí còn l i th a mãn yêu c u bài toán). Khi đó, m i s x
tương ng v i m t hoán v c a chín ph n t a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9.
9


S các hoán v khác c a chín ph n t ai (1 ≤ i ≤ 9) là 9! do a2 = a8 =

4, nên khi đ i ch a2 và a8 cho nhau, thì hoán v a1a2a3a4a5a6a7a8a9 v n ch
cho s x. Tương t , đ i ch hai trong ba ph n t a4, a6, a9 cho
nhau v n ch cho ta s x.
Như v y, khi ta th c hi n 2! hoán v a2, a8 và 3! hoán v a4, a6, a9, ta

ch đư c m t s c n tìm x.

V y s các s có th l p đư c là

9!
S = 2!3! = 30240.
Nh n xét 1.1.1. M t khác, theo công th c trên, s hoán v có l p c a
n!
hai ph n t c a n ph n t là (k, n − k) b ng
k!(n − k)!•
k
S này chính là C (t h p ch p k c a n ph n t đã cho). V y s n
hoán v có l p c a hai ph n t c a n ph n t là k, (n − k) b ng t h p
ch p k c a n ph n t .

Pn(k, n − k) = Ck. n
Th t v y, ch ng minh đ ng th c này không d a vào công th c hoán
v có l p c a n ph n t
thu c k lo i, mà các ph n t
thu c lo i k

(0 ≤ k ≤ n) xu t hi n nk l n. M t hoán v có l p c a hai ph n t c a
n ph n t là (k, n − k) đư c t o thành b i k ph n t và n − k ph n t .
Nó hoàn toàn xác đ nh b i cách ch n v trí c a ph n t th nh t. Vì t ng s v
trí b ng k + n − k = n, và ph n t th nh t chi m k v trí,
nên có th ch n các v trí theo Ck cách. n
Ví d 1.1.5. ([8]) Có bao nhiêu cách đ t 2 đèn xanh và 4 đèn đ thành
m t hàng?
L i gi i. M i cách đ t 2 đèn xanh và 4 đèn đ thành m t hàng là m t
hoán v có l p c a hai ph n t c a 6 ph n t là (2, 4). V y s cách đ t 2 đèn
và 4 đèn thành m t hàng b ng s hoán v l p hai ph n t c a 6

ph n t là (2, 4) và b ng

(2, 4) = C2 = 6..5 = 15.
6 10 12


V y có 15 cách đ t hai đèn xanh và b n đèn đ thành m t hàng.
c. Hoán v vòng quanh
Đ nh nghĩa 1.1.3. Cho n ph n t , s hoán v vòng quanh c a n ph n
t khác nhau (Qn) đư c tính b ng công th c

Qn = (n − 1)!.
Ví d
1.1.6. ([8]) M t h i ngh bàn tròn có năm nư c tham gia: Anh
có 3 đ i bi u, Pháp có 5 đ i bi u, Đ c có 2 đ i bi u, Nh t có 3 đ i bi u và M
có 4 đ i bi u. H i có bao nhiêu cách s p x p ch ng i cho các đ i
bi u sao cho 2 ngư i cùng qu c t ch ng i cùng nhau?
L i gi i. Đ u tiên ta s p x p khu v c cho đ i bi u t ng nư c. Ta m i
m t phái đoàn nào đó ng i vào ch trư c. Khi đó, b n phái đoàn còn
l i có 4! cách s p x p. Đ i v i m i cách s p x p các phái đoàn l i có:

3! cách s p x p các đ i bi u trong n i b phái đoàn Anh; 5!
cách s p x p các đ i bi u trong n i b phái đoàn Pháp;

2! cách s p x p các đ i bi u trong n i b phái đoàn Đ c; 3!
cách s p x p các đ i bi u trong n i b phái đoàn Nh t; 4! cách
s p x p các đ i bi u trong n i b phái đoàn M .
B i v y, s cách s p x p ch ng i cho t t c các đ i bi u đ nh ng ngư i
cùng qu c t ch ng i c nh nhau s b ng

4!3!5!2!3!4! = 4976640.
1.1.3

Ch nh h p

a. Ch nh h p không l p
Đ nh nghĩa 1.1.4. Cho t p h p A g m n ph n t . M i b k (0 ≤ k ≤

n) ph n t đư c s p th t c a t p h p A đư c g i là m t ch nh h p ch p k c a
n ph n t thu c A.
Kí hi u s ch nh h p ch p k c a n ph n t b ng Ak. n
S ch nh h p ch p k c a n ph n t đư c tính b ng công th c

Ak = n(n − 1) . . . (n − k + 1) = (n n!k)!•
n

11

−


Ví d 1.1.7. ([3]) M t cu c khiêu vũ có 10 nam và 6 n tham gia. Đ o
di n ch n có th t 4 nam và 4 n đ ghép thành 4 c p. H i có bao
nhiêu cách ch n?
L i gi i. Ch n có th t 4 nam trong 10 nam là ch nh h p ch p 4 c a
10. S ch nh h p này là

A4 = (1010!4)! = 5040.
10
−

V y có 5040 cách ch n b n nam.
Ch n có th t 4 n trong 6 n là ch nh h p ch p 4 c a 6. S ch nh
h p này là

6!
A4 = (6 − 4)! = 360. 6

V y có 360 cách ch n b n n .
M i cách ch n nam l i tương ng v i t t c các cách ch n n , nên
ta có s cách ch n có th t 4 nam, 4 n trong s nam n tham gia h i di n s
là 5040.360 = 1814400 cách ch n.
b. Ch nh h p có l p
Đ nh nghĩa 1.1.5. Cho t p h u h n A g m n ph n t . M i dãy có đ
dài k các ph n t c a t p A, mà m i ph n t có th l p l i nhi u l n và đư c s
p x p theo m t th t nh t đ nh đư c g i là m t ch nh h p l p ch p k c a n ph
n t thu c t p A.
S ch nh h p l p ch p k c a n ph n t , kí hi u là Ak, b ng s ánh
x t t p k ph n t đ n t p n ph n t và đư c tính b ng công th c

n

Ak = n k. n
Ví d

1.1.8. ([3]) Có th l p đư c bao nhiêu bi n s xe v i hai ch

s đ u thu c t p A, B, C, D, E, ti p theo là m t s nguyên dương g m
năm ch s chia h t cho 5?
L i gi i. Gi s m t bi n s xe nào đó có d ng XY abcdf . Vì X,Y có th
trùng nhau nên XY là ch nh h p l p ch p 2 c a 5 ph n t A, B, C, D, E,

nên s cách ch n XY b ng A2 = 52 = 25. 5
12


Do a = 0, nên có 9 cách ch n a là các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Vì abcdf chia h t cho 5 nên f = 0 ho c f = 5, do đó có 2 cách ch n f .
Do b, c, d có th trùng nhau, nên m i s bcd là m t ch nh h p ch p
3 c a 10 ch

s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. B i v y, s cách ch n bcd là

A3 = 103 = 1000. 10
V y s bi n s xe có th l p theo yêu c u là 25.2.9.1000 = 450000.
1.1.4

T hp

a. T h p không l p
Đ nh nghĩa 1.1.6. Cho t p A g m n ph n t . M i t p con g m k
(0 ≤ k ≤ n) ph n t thu c A đư c g i là m t t h p ch p k c a n ph n t đã cho.
S t ch p k (0 ≤ k ≤ n) c a n ph n t , đư c kí hi u là Ck và đư c n
tính b ng công th c

Ck = k!(nn− k)!• !
n

Ví d

1.1.9. ([5]) M t l p có 40 h c sinh g m 25 nam và 15 n . Giáo

viên ch nhi m đ nh ch n m t ban cán s l p g m 4 h c sinh. H i có
bao nhiêu cách ch n n u:
(i) S nam ho c n trong ban cán s là tùy ý?
(ii) Ban cán s có 1 nam và 3 n ?
L i gi i. (i) N u s nam (n ) là tùy ý, thì s cách ch n là t h p ch p
4 c a 40 ph n t , t c b ng

40!
C4 = 4!36! = 91390. 40
V y có 92390 cách ch n ban cán s v i s nam ho c n tùy ý.
(ii) N u trong ban cán s có 1 nam, 3 n , thì s cách ch n 1 nam trong
s 25 nam là C1 , còn s cách ch n 3 n trong s 15 n là C3 . Theo
25

quy t c nhân, ta có

25!

15!

C1 .C3 = 1!24! • 3!12! = 11375. 25 15
13

15


V y có 11375 cách ch n ban cán s có m t nam và ba n .
b. T h p có l p
Đ nh nghĩa 1.1.7. Cho t p h p A = {a1, a2, . . . , an}. M t t h p l p ch p m
(m không nh t thi t ph i nh hơn n) c a n ph n t thu c A là

m t b g m m ph n t , mà m i ph n t này là m t trong nh ng ph n t c a A.
Kí hi u s t h p l p ch p m c a n ph n t Cm và đư c tính b ng
công th c

n

Cm = Cm+m−1.
n

n

Ví d 1.1.10. ([8]) T các ch s 1, 2, 3, 4, 5 có th l p đư c bao nhiêu
s , sao cho trong m i s đó s ch s nh hơn ho c b ng 5 và các ch
s đư c s p x p theo m t th t không gi m?
L i gi i. Bài toán chung quy là tìm t ng s các t h p có l p ch p 1,
ch p 2, ch p 3, ch p 4, ch p 5 c a 5 ch s đã cho. Ta có:

C1 = C1 −1 = C1 = 5,
5

2

C =C
5

5+1

2

−

1

= C = 15,
5+2

6

C3 = C3 −1 = C3 = 35,
5

5+3

C4 = C4 −1 = C4 = 70,
5

5

2

5+4

7

8

C5 = C5 −1 = C5 = 126.
5

5+5

9

V y có t t c 5 + 15 + 35 + 70 + 126 = 251 s th a mãn đi u ki n
bài toán.
c. Tính ch t c a t h p
Tính ch t 1.1.1. Cho s nguyên dương n và s nguyên k v i 0 ≤ k ≤ n.
Khi đó

C k = C n −k .
n

n

Ch ng minh. Ta có

Ck = k!(nn− k)!; Cn−k = (n − k)!(n!− n − k)! = (n −n! )!k!•
n
n
!
n
Do đó Ck = Cn−k.

k


n

n

14

Tính ch t 1.1.2. Cho các s nguyên n và k v i 1 ≤ k ≤ n. Khi đó

Ck+1 = Ck + Ck−1.
n

Ch ng minh. Ta có

n

n

Ck = n(n − 1) . .k(n − k + 1); Ck−1 = n(n − 1)(k.−(n − k + 2).
n
n
.!
.. 1)!
Vy

Ck + Ck−1 = n(n − 1) . . . (n − k + 2) +!kn(n − 1) . . . (n − k + 2)
n
n
k
= n(n − 1) . . . (n − kk− 2)(n − k + 1 + k) !
= (n + 1)n . .k(n − k + 2) = Ck+1. .
n

!
Tính ch t 1.1.3. Nh th c Niutơn là công th c khai tri n bi u th c

(a + b)n v i n nguyên dương dư i d ng đa th c
n
n

(a + b) =

C k an − k b k . n

k=0

Ngoài ra, ngư i ta cũng ch ng minh đư c công th c t ng quát c a
khai tri n trên

n!

n

(a1 + a2 + • • • + am) =
n1+n2+•••+nm=

n

n1!n2! . . . nm!

a n1 a n2 . . . a nm .
12

Chú ý 1.1.1. 1)Cho a = b = 1 ta có đ ng th c

C0 + C1 + • • • + Cn = 2n.

n

n

n

2)Cho a = 1, b = −1ta có đ ng th c

C0 − C1 + C2 + • • • + (−1)nCn = 0.
n

n

n

n

Đ c bi t, khi n ch n, ta thay n b i 2n, ta có

C0n + C2n + • • • + C2n = C1n + C3n + • • • + C2n−1.
2

2

Khi n l , thay n b i 2n + 1, ta có

2n

2

2

2n

m


C0n+1 + C2n+1 + • • • + C2n+1 = C1n+1 + C3n+1 + • • • + C2n+1.
2

2

2n

2

15

2

2n+1


Ví d

1.1.11. ([2]) (Đ thi đ i h c kh i A, 2006 ). Tìm h s c a s

h ng ch a x 26 trong khai tri n nh th c Niutơn c a

14 + x7 n, bi t

x

r ng

C1n+1 + C2n+1 + • • • + Cnn+1 = 220 − 1.
2

2

2

L i gi i. Theo tính ch t 1, ta có

Ckn+1 = C2n+1−k, ∀k = 1, 2, . . . , n.
2

Suy ra

2n+1

C1n+1+C2n+1+• • •+Cnn+1 = 1(C0n+1+C1n+1+• • •+C2n+1)−1 = 22n−1.
2
2
2
2
2n+1
22
T gi thi t ta suy ra 22n − 1 = 220 − 1 hay n = 10.
Theo công th c khai tri n c a nh th c Niutơn ta có
10

1
(x4 + x7)10 =

−
Ck (x 4)10−k(x7)k 10 =

k=0

10

Ck x11k−40. 10

k=0

Ta ph i tìm h s c a s h ng ch a x26 trong khai tri n, ta có

11k − 40 = 26 ⇔ k = 6.
V y h s c a s h ng ch a x26 là C6 = 210.

1.1.5

Công th c tính s
hp

ph n t

10

c a h p hai ho c ba t p

Trư ng h p hai t p h p. Cho hai t p h p A và B. Ta tính s ph n
t c a A ∪ B trong các trư ng h p:
*) N u A và B là hai t p h p r i nhau thì

|A ∪ B| = |A| + |B|.
*) N u A và B giao nhau khác r ng thì

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Trư ng h p ba t p h p. Cho ba t p h p A, B và C. Ta tính s ph n
t c a A ∪ B ∪ C b ng công th c

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C|.
16


Trư ng hơp t ng quát. Cho các tâp h p A1, A2, . . . , An. Khi đó, ta
có

|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An| =

n
i=1

|Ai| −

1 i
|Ai ∩ Aj| + • • • − • • • + (−1)n−1|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An|.

Ch ng minh. Ch ng minh b ng phương pháp quy n p theo n.
V i n = 1 hi n nhiên ta đư c đ ng th c đúng.
V i n = 2, ta cũng ki m tra th y đ ng th c trên cũng đúng.
Ta gi s đ ng th c cũng đúng v i n

2, ta đư c t p h p tùy ý

|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An| =
n
i=1

|Ai| −

1 i
|Ai ∩ Aj| + • • • − • • • + (−1)n−1|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An|.

Bây gi , xét n + 1 t p h p tùy ý A1, A2, . . . , An, An+1. Lưu ý r ng
n

(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) ∩ An+1 =

i=1

(Ai ∩ An+1).

Cho nên ta có
n

|(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) ∩ An+1| = |

i=1

(Ai ∩ An+1)|.

S d ng đ ng th c tính s ph n t c a n t p h p ta thu đư c
n

|(A1 ∪A2 ∪. . .∪An)∩An+1| =

1≤i
i=1

|Ai ∩An+1|−

1 i
|Ai ∩Aj ∩An+1|+

|Ai ∩Aj ∩Ak ∩An+1|−• • •+(−1)n−1|A1 ∩A2 ∩. . .∩An ∩An+1|.

Đ t A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An, B = An+1 và áp d ng đ ng th c

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|,
ta đư c đi u c n ph i ch ng minh

17

n

|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ∪ An+1| =

i=1

|Ai| −

1 i
|Ai ∩ Aj|+

• • • − • • • + (−1)n−1|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ∩ An+1|.
V y đ ng th c luôn đúng v i trư ng h p n + 1. Suy ra đi u ph i ch ng
minh.
Ví d
1.1.12. ([4]) Trong m t đ thi có ba câu: m t câu v S h c,
m t câu v Gi i tích và m t câu v Hình h c. Trong 60 thí sinh d thi, có 48
thí sinh gi i đư c câu S h c, 40 thí sinh gi i đư c câu Gi i tích, 32 thí sinh
gi i đư c câu Hình h c. Có 57 thí sinh gi i đư c câu S h c ho c Gi i tích,
50 thí sinh gi i đư c câu Gi i tích và câu Hình h c, 25 thí sinh gi i đư c c
hai câu S h c và câu Hình h c, 15 thí sinh gi i
đư c c ba câu. H i có bao nhiêu thí sinh không gi i đư c câu nào?
L i gi i. G i T là t p h p t t c các thí sinh; A, B, C l n lư t là t p
h p các thí sinh gi i đư c câu S h c, Gi i tích, Hình h c.
Theo tính ch t trên ta có:

|A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∪ B| = 48 + 40 − 57 = 31,
|B ∩ C| = |B| + |C| − |B ∪ C| = 40 + 32 − 50 = 22,
ta suy ra

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |C ∩ A|
+|A ∩ B ∩ C|
= 48 + 40 + 32 − 31 − 22 − 25 + 15 = 57.

Vì (A ∪ B ∪ C) ⊂ T nên theo tính ch t trên ta có:

|T ∴ (A ∪ B ∪ C)| = |T | − |A ∪ B ∪ C| = 60 − 57 = 3.
V y có ba thí sinh không gi i đư c câu nào.

18


1.2
1.2.1

Xác su t
Bi n c

I) Phép th ng u nhiên và không gian m u
Đ nh nghĩa 1.2.1. Phép th ng u nhiên (g i t t là phép th ) là m t
thí nghi m hay hành đ ng mà k t qu c a nó không đoán trư c đư c nhưng
có th xác đ nh đư c t p h p t t c các k t qu có th x y ra c a phép th đó.
Phép th thư ng đư c kí hi u b i ch T .
Đ nh nghĩa 1.2.2. Không gian m u c a phép th là t p h p t t c các
k t qu có th x y ra c a phép th và đư c kí hi u Ω.
S ph n t c a không gian m u kí hi u n(Ω).
Ví d
1.2.1. Cho phép th T là gieo ng u nhiên ba đ ng xu cân đ i
đ ng ch t phân bi t.

N u kí hi u S đ ch đ ng xu xu t hi n m t s p và N đ ch đ ng
xu xu t hi n m t ng a thì không gian m u c a phép th đó là

Ω = {SSN, SN S, N SS, N N S, N SN, SN N, SSS, N N N }.
II) Bi n c
Đ nh nghĩa 1.2.3. Bi n c A liên quan đ n phép th T là bi n c mà
vi c x y ra hay không x y ra c a A tùy thu c vào k t qu c a T .
M i k t qu c a phép th T làm cho A x y ra, đư c g i là m t k t qu thu n
l i cho A.
T p h p các k t qu thu n l i cho A đư c kí hi u là ΩA. S k t qu
thu n l i cho bi n c A kí hi u là n(ΩA).
Đ nh nghĩa 1.2.4. Bi n c ch c ch n là bi n cô luôn x y ra khi th c
hi n phép th T .
Bi n c ch c ch n đư c mô t b i t p Ω.
19


Đ nh nghĩa 1.2.5. Bi n c không th là bi n c không bao gi x y ra
khi phép th T đư c th c hi n và không có m t k t qu thu n l i nào cho bi n
c không th . Bi n c không th đư c mô t b i t p ∅.
Ví d
ch t".

1.2.2. Xét phép th T là "Gieo m t con xúc s c cân đ i đ ng

Ta đư c không gian m u là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
+ Xét bi n c A "S ch m trên m t xu t hi n là t 1 đ n 6". Bi n c A x y ra
khi và ch khi k t qu c a phép th T là 1, ho c 2, ho c 3, ho c 4, ho c 5, ho
c 6. Các k t qu này là các k t qu thu n l i cho A. Do
đó bi n c A đư c mô t b i ΩA = Ω. Ta nói bi n c A là bi n c ch c

ch n.

+ Xét bi n c B "S ch m trên m t xu t hi n là 7 ch m". Bi n c B không th
x y ra vì con súc s c ch có th xu t hi n t m t 1 ch m đ n m t 6 ch m. Do
đó không có m t k t qu thu n l i nào cho bi n c B
nên ΩB = ∅. Ta nói bi n c B là bi n c không th .
III) Xác su t c a bi n c

Đ nh nghĩa 1.2.6. Gi s phép th T có không gian m u Ω là m t t p
h u h n và các k t qu c a T là đ ng kh năng. N u A là m t bi n c
liên quan v i phép th T và ΩA là t p h p các k t qu thu n l i cho A

thì xác su t c a A là m t s , kí hi u là P (A), đư c xác đ nh b i công
th c

P (A) = nn(ΩA). (Ω)
Chú ý 1.2.1. T đ nh nghĩa (1.2.6) ta suy ra
+ 0 ≤ P (A) ≤ 1;
+ P (Ω) = 1, P (∅) = 0.
Đ nh nghĩa 1.2.7. Xét phép th T và bi n c A liên quan đ n phép
th đó. Ta ti n hành l p đi l p l i N l n phép th T và th ng kê xem bi n c A
xu t hi n bao nhiêu l n.
S l n xu t hi n bi n c A đư c g i là t n s c a A trong N l n th c hi n
phép th T .
20


T s gi a t n s c a A v i s N đư c g i là t n su t c a A trong N
l n th c hi n phép th T .
Ngư i ta ch ng minh đư c r ng khi s l n th N càng l n thì t n

su t c a A càng g n v i m t s xác đ nh, s đó g i là xác su t c a A theo
nghĩa th ng kê và s này cũng chính là P (A) trong đ nh nghĩa c đi n c a
xác su t.
Ví d
1.2.3. ([5]) M t c bài tú lơ khơ g m 52 quân bài chia thành
b n ch t: rô, cơ (màu đ ), bích và nhép (màu đen). M i ch t có 13 quân bài
là: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A (đ c là át). B n quân 2 (g m 2 rô, 2
cơ, 2 bích và 2 nhép) làm thành m t b 2; b n quân 3 (g m 3 rô, 3 cơ, 3
bích và 3 nhép) làm thành m t b 3; . . . ; b n quân át (g m át rô, át cơ, át
bích và át nhép) làm thành m t b át. Ch n ng u nhiên 5 quân bài. Tính
xác su t đ trong 5 quân bài đó ta có m t b .
L i gi i. Ta có s cách có th là n(Ω) = C5 . 52
G i bi n c A là "Ch n đư c 5 quân bài trong đó có m t b ". S k t
qu trong đó có m t b 2 b ng s cách ch n m t quân bài trong s 52 − 4 =

48 quân bài còn l i (không ph i là quân 2). V y có 48 k t qu trong đó có m t b
2. Tương t có 48 k t qu trong đó có m t b 3; . . . ; có 48 k t qu trong đó
có m t b át. Vì có t t c 13 b , nên s k t qu trong đó có xu t hi n m t b là

n(A) = 13.48 = 624.
Do đó, ta có xác su t c n tìm c a bi n c A là

P (A) = n(A) = 624 ≈ 0, 00024.
n(Ω)
C5
52

1.2.2

Các quy t c tính xác su t

a.Quy t c c ng xác su t
Đ nh nghĩa 1.2.8. Cho hai bi n c A và B. Bi n c "A ho c B x y
ra", kí hi u là A ∪ B, đư c g i là h p c a hai bi n c A và B.
N u ΩA và ΩB l n lư t là t p h p các k t qu thu n l i cho A và B
thì t p h p các k t qu thu n l i cho A ∪ B là ΩA ∪ ΩB.
21


Đ nh nghĩa 1.2.9. Cho k bi n c A1, A2, . . . , Ak. Bi n c "Có ít nh t

m t trong các bi n c A1, A2, . . . , Ak x y ra", kí hi u là A1∪A2∪. . .∪Ak,
đư c g i là h p c a k bi n c đó.
Đ nh nghĩa 1.2.10. Cho hai bi n c A và B. Hai bi n c A và B đư c
g i là xung kh c n u bi n c này x y ra thì bi n c kia không x y ra.
Quy t c c ng xác su t. Cho k bi n c A1, A2, . . . , Ak đôi m t xung
kh c. Khi đó

P (A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak) = P (A1) + P (A2) + • • • + P (Ak).
Đ nh nghĩa 1.2.11. Cho A là bi n c . Khi đó bi n c "Không x y ra
A", kí hi u là A, đư c g i là bi n c đ i c a A.
Chú ý 1.2.2. Hai bi n c đ i nhau là hai bi n c xung kh c. Tuy nhiên
hai bi n c xung kh c chưa ch c là hai bi n c đ i nhau.
Đ nh lý 1.2.1. Cho bi n c A. Xác su t c a bi n c đ i A là

P (A) = 1 − P (A).
Ví d 1.2.4. ([6]) M t h p đ ng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đ và 2 viên
bi vàng. Ch n ng u nhiên 2 viên bi.
(i) Tính xác su t đ ch n đư c 2 viên bi cùng màu. (ii)
Tính xác su t đ ch n đư c 2 viên bi khác màu.

L i gi i.(i) G i A là bi n c "Ch n đư c hai viên bi xanh",
G i B là bi n c "Ch n đư c hai viên bi đ ",
G i C là bi n c "Ch n đư c hai viên bi vàng"
và H là bi n c "Ch n đư c hai viên bi cùng màu". Ta có H = A∪B ∪C và
các bi n c A, B, C đôi m t xung kh c. Theo quy t c c ng xác su t,
có

P (H) = P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C).
Ta có

C2 = 6 , P (B) = C2 = 3 , P (C) = C2 = 1 •
P (A) = C42
9

36

3

2

C9

36

2

2
2

C2 9