PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ NHẤT (Recovered)

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ NHẤT
MƠN THI: TỐN LỚP 8
NĂM HỌC: 2016 – 2017
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian ra đề)

Câu 1: ( 2 , 0 điểm )
Cho biểu thức: A =:
a) Rút gọn biểu thức A?
b) Chứng minh rằng: | P | = P với mọi x -1 ?
Câu 2: ( 2 , 0 điểm )
Cho N = 1.3.5….2001. Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp 2N – 1, 2N, 2N + 1 khơng
có số nào là số chình phương.
Câu 3: ( 2 , 0 điểm )
a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình sau: + = ( p là số nguyên tố ).
b) Giải và biện luận phương trình sau: + + + = 1.
Câu 4: ( 2 , 5 điểm )
Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh
AB, lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho = 90 ( I và M khơng trùng các đỉnh hình vuông ).
a) Chứng minh tam giác BIO bằng tam giác CMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.
b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của tia BN và tia OM. Chứng minh
tứ giác IMNB là hình thang và ?
Câu 5: ( 1 , 0 điểm )
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: + + =
Chứng minh rằng: ?
Câu 6: ( 0 , 5 điểm )
Cho A và B là hai tập hợp. Ta gọi tập tích của A và B là A x B = {(a, b): a A, b B}, trong
(a, b) là cặp hai phần tử có thứ tự. Kí hiệu A2 = A x A. Nếu C = {0; 1} và D = {1; 0}. Tìm :
a) C x D ;

b) D x C ;
c) C 2.

đó

-----------------------------HẾT------------------------------( Thí sinh khơng được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm. )
Họ và tên thí sinh: ……………………………... Số báo danh:……………………………………
Chữ ký của giám thị 1: ……………………….
Chữ ký của giám thị 2: …………………………

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
I) Hướng dẫn chung:
1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài khơng
theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang
điểm quy định.


2) Trong bài làm nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó
khơng được điểm
3) Đối với bài hình học, nếu học sinh khơng vẽ hoặc vẽ sai hình thì khơng tính điểm.
4) Điểm tồn bài tính đến 0,25 điểm và khơng làm trịn.
II) Đáp án và thang điểm:
Câu 1:
a) Rút gọn đúng: A = ( ĐKXĐ: x -1 , x 0, x 1 ) (1 điểm)
b) Với x -1 thì x + 1 > 0 ( khơng xảy ra dấu “ = ” vì x + 1 0 ), mà x 2 + 1 > 0 nên A > 0. Suy
ra | A | = A. ( 1 điểm )
Câu 2:
2N là một số chẵn nhưng không chia hết cho 4 nên khơng là số chính phương. (0,5
điểm)
•

Một số chính phương khơng chia hết cho 3 thì chia 3 dư 1 . Mà 2N – 1 chia 3 dư 2 nên
khơng là số chính phương. (0,5 điểm)
•
Giả sử 2N + 1 = K2 ( K là số lẻ )
2N = ( K – 1 )( K + 1 ) chia hết cho 4, suy ra N là số chẵn, vô lý ( 1 điểm)
Vậy trong 3 số 2N – 1, 2N, 2N + 1 khơng có số nào là số chính phương.
Câu 3:
a) Do x, y là 2 số tự nhiên nên đẳng thức đã cho tương đương với (x - p)(y - p) = p 2. (0,25 điểm)
Vì p nguyên tố và x, y > p nên xảy ra các trường hợp:
+) x – p = 1; y – p = p2 suy ra x = p + 1 và y = p2 + p. (0,25 điểm)
+ ) x – p = p2; y – p = 1 suy ra x = p2 + p và y = p + 1. (0,25 điểm)
+) x – p = p; y – p = p suy ra x = y = 2p. (0,25 điểm)
•

b) + + + = 1 ( ĐKXĐ: a 0)
+ + =4–
(a + b + c – x ) = 0 (0,5 điểm)
•
Nếu thì phương trình đã cho có tập nghiệm S = { a + b + c }.(0,25 đ)
•
Nếu thì phương trình nghiệm đúng với mọi x R. (0,25 điểm)
Câu 4:
a) BIO = CMO ( g.c.g ) (0,5 điểm ) SBIO = SCMO, mà SBMOI = SBOI + SBMO nên SBMOI = SCMO + SBMO
SBOC = SABCD = a2. (0,5 điểm)
b) BI = CM (BIO = CMO) BM = AI. (0,25 điểm )
Vì CN // AB nên = = IM // BN IMNB là hình thang.(0,5 điểm)
Vì OI = OM (BIO = CMO ) IOM cân tại O = 45. (0,25 điểm)
Vì IM // BN IM // BK ( so le trong ), suy ra : (0,5đ )
Câu 5:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho cặp số dương (a;1;3) và (1;a;3) ta có:

(1) (0,15 điểm)
Ta có: > = 4a2 +4a +1 > 2a2 + 3a +1 = (a + 1)(2a + 1) = [(. (0,15 điểm )
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho cặp số dương () và (;1) ta có:
[( hay (a + 1)(2a + 1) (0,15 đ)


Do đó: (2)
Từ (1) và (2) ta có: .
Lại có: 2a suy ra: (0,15 điểm)
Chứng minh tương tự, ta có: ; ..(0,2 điểm)
Do đó: = = . (0,2 điểm)
Câu 6:
a) Ta có: C x D = {(0;1); (0;0); (1;1); (1;0)}.(0,2 điểm)
b) Ta có: D x C = {(1;0); (1;1); (0;0); (0;1)}.(0,2 điểm)
c) Ta có: C2 = {(0;0); (0;1); (1;0); (1;1)}. (0,1 điểm)