Tài liệu Ứng dung BĐT cosi tìm cưc trị

Chuyên đề 1:
Vận dụng bất đẳng thức cosi để tìm cực trị.
Chúng ta đã biết với a

0; b

0 thì a + b

2
ab
(1)
(dấu = xảy ra

a = b).
Đó là bất đẳng thức Co-si đối với hai số không âm. Bất đẳng thức này còn đợc mở
rộng đối với n số không âm: với a
1
,a
2
,,a
n


0 thì
a
1
+ a
2
++ a
n

n
n
n
aaa ...
21
( dấu = xảy ra

a
1
= a
2
= =a
n
). Với hai số d-
ơng a, b từ bất đẳng thức (1) ta suy ra:
Nếu ab= k (không đổi) thì min(a+b) = 2
k
(khi và chỉ khi a = b).
Nếu a+b = k(không đổi) thì max(ab) =
4
2
k
(khi và chỉ khi a = b).
Kết quả trên đợc mở rộng đối với n số không âm:
Nếu a
1
a
2
a

n
= k (không đổi) thì
Min(a
1
+a
2
++a
n
) = n
n
k
(khi và chỉ khi a
1
=a
2
==a
n
).
Nếu a
1
+a
2
++a
n
= k (không đổi) thì
max(a
1
a
2
a

n
) =
n
n
k






(khi và chỉ khi a
1
=a
2
==a
n
).
Vận dụng bất đẳng thức Cosi ta có thể tìm đợc giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của một
số biểu thức. Ta hãy bắt đầu bằng một ví dụ đơn giản.
Thí dụ 1: Cho x>0,y>0 thoã mãn điều kiện
2
111
=+
yx
.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức A=
yx
+
.

Giải: Vì x>0, y>0 nên
0;0;0
1
;0
1
>>>>
yx
yx
.Vận dụng bất đẳng thức Co-si đối
với hai số dơng
x
1
và
y
1
ta đợc








+
yxyx
11
2
111
suy ra

.4
4
11

xy
xy
Vận dụng bất đẳng thức Co-si đối với hai số dơng
yx,
ta đợc:
A=
442.2
=+
yxyx
(dấu = xảy ra
).4
==
yx
Vậy min A =4 (khi và chỉ khi x=y= 4).
Nhận xét về phơng pháp giải:
Trong thí dụ trên ta đã vận dụng bất đẳng thức cosi theo hai chiều ngợc nhau. Lần
thứ nhất ta đã làm trội
yx
11
bằng cách vận dụng
2
ba
ab
+

để dùng điều kiện
tổng
2
111
=+
yx
, từ đó đợc
.4

xy
Lần thứ hai ta đã làm giảm ttổng (
)yx
+
bằng cách vận dụng bất đẳng thức
cosi theo chiều a+b

2
ab
để dùng kết quả
.4

xy
Không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp bất đẳng thức cosi đối với các số
trong đề bài.Dới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để
có thể vận dụng bất đẳng thức cosi rồi tìm cực trị của nó.
Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu
thức đó.
Thí dụ2: Tìm gia trị lớn nhất của biểu thức: A=
.3753 xx
+

Giải: ĐKXĐ :
3
7
3
5

x
.
A
2
= (3x-5) + (7-3x) + 2
)37)(53( xx

A
2

4)3753(2
==+
xx
(dấu = xảy ra

3x- 5 = 7- 3x

x = 2).
Vậy max A
2
= 4

maxA=2 (khi và chỉ khi x=2).
Nhận xét về cách giải:

Biểu thức A đợc cho dới dạng tổng của hai căn thức.Hai biểu thức lấy căn có tổng
không đổi(bằng2).Vì vậy,nếu ta bình phơng biểu thức A thì sẽ xuất hiện hạng tử
là hai lần của hai căn thức.Đến đây có thể vận dụng bất đẳng thức cosi:

baab
+
2
.
Biện pháp hai : Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác 0.
Thí dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
5
9
x
x
A

=
Giải: ĐKXĐ: x
9

.
30
1
5
3
99
5
3
3

9
2
1
5
3.
3
9
5
9
=
+
=






+



=

=
x
x
x
x
x

x
x
x
A
(dấu bằng xảy ra

183
3
9
==

x
x
).
Vậy maxA=
30
1
(khi và chỉ khi x= 18).
Nhận xét về cách giải :
Trong cách giải trên, x- 9 đợc biểu diễn thành
3.
3
9

x
và ta đã gặp may măn ở
chỗ khi vận dụng bất đẳng thức cosi, tích
3.
3
9

x
đợc làm trội thành nữa tổng
3
3
3
9 xx
=+

có dạng kx có thể rút gọn cho x ở dới mẫu,kết quả là một hằng số.
Con số 3 ở trên tìm đợc bằng cách lấy căn bậc hai của 9,số 9 này có trong đề
bài(bạn đọc tự phân tích).
Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích
của chúng là một hằng số.
1) Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau.
Thí dụ 4: Cho x
0

,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
.
163
3
4
x
x
+
Giải: A=
8
16
...4

1616
3
4
333
=+++=+
x
xxx
x
xxx
x
x
Dấu bằng xảy ra
3
16
x
x =

2= x
.
Vậy minA = 8(khi và chỉ khi x = 2).
Nhận xét :
Hai số dơng 3x và
3
16
x
có tích không phải là một hằng số.Muốn khử đợc x
3
thì ở
tử phải có x
3

= x.x.x do đó ta phải biểu diễn 3x= x+x+x rồi dùng bất đẳng thức
cosi với 4 số dơng.
2) Tách một hạng tử cha biết chứa biến thành tổng của một hằng số với một
hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của hạng tử khác có
trong biểu thức đã cho(có thể sai khác một hằng số).
Thí dụ 5:
Cho 0<x<2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=
.
2
2
9
xx
x
+

Giải: A=
.1
2
2
9
+

+

x
x
x
x
A
71921

2
2
9
2
=+=+



x
x
x
x
(dấu = xảy ra
2
12
2
9
=

=


x
x
x
x
x
).
Vậy minA = 7 (khi và chỉ khi x=
2

1
Nhận xét về phơng pháp giải:
Trong cách giải trên ta đã tách
x
2
thành tổng
1
2
+

x
x
.Hạng tử
x
x

2
nghịch đảo
với
x
x

2
nên khi vận dụng bất đẳng thức cosi ta đợc tích của chúng là một hằng
số.
Biện pháp 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho.
Thí dụ 6: Cho ba số dơng x,y,z thoã mãn điều kiện x+y+z = 2.Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
.
222

yx
z
xz
y
zy
x
P
+
+
+
+
+
=
Giải: áp dụng bất đẳng thức Cosi đối với hai số dơng
zy
x
+
2
và
4
zy
+
ta đợc:
.
2
2.2
4
22
x
x

a
zy
zy
xzy
zy
x
==
+
+

+
+
+
Tơng tự :
y
xz
xz
y

+
+
+
4
2

z
xy
xy
z

+
+
+
4
2
Vậy (
yx
z
xz
y
zy
x
+
+
+
+
+
222
) +
zyx
zyx
++
++
2
P
1
2
)(
=
++

++
zyx
zyx
(dấu = xảy ra

x=y=z=
3
2
).
Vậy minP = 1(khi và chỉ khi x=y=z=
3
2
).
Nhận xét vè phơng pháp giải:
Ta đã thêm
4
zy
+
vào hạng tử thứ nhất
zy
x
+
2
có trong đề bài,để khi vận dụng bất
đẳng thức cosi có thể khử đợc (y+z). Cũng nh vậy đối với hạng tử thứ hai và 3
Dấu đẳng thức xảy ra đồng thời trong (1),(2),(3) khi và chỉ khi x=y=z=
.
3
2
Nêu ta lần lợt thêm (y+z),(z+x),(x+y) vào

yx
z
xz
y
zy
x
+++
222
;;
thì ta cũng khử đợc
(y+z),(z+x),(x+y) nhng điều quan trọng là không tìm đợc giá trị của x,y,z để dấu
đẳng thức xảy ra đồng thời do đó không tìm đợc giá trị bé nhất của P.
Các bài tâp:
Bài 1 : Cho x>0,y>0 và x+y = 2a (a>0).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=
yx
11
+
.
HD:
2
2
axya
yx
xy
=
+


2

2
2
a
a
a
xy
yx
A
=
+
=
(dấu = xảy ra
)ayx
==
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức A=
xx
+
235
HD: ĐKXĐ:
235

x
. maxA
2
= 36

maxA = 6 (khi và chỉ khi x=14).
Bài 3: Cho x+y = 15,tìm GTLN,GTNN của biểu thức
B =
34

+
yx
.
HD:
).3;1211;4(8min8
.3;4
=====

yhoacxykhixBB
yx
MaxB
2
= 16
).7;8(4max
===
ykhixB
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức A =
x
xx
2
562
2
+
với x> 0.
HD: A
3103
2
5
23
2

5
=+=
x
x
x
x
(dấu = xảy ra
10
2
1
2
5
==
x
x
x
Bài 5:Cho a,b,x là những số dơng.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
x
bxax ))((
++
.
HD:
2
)()(.2)( baba
x
ab
xba
x
ab

xP
+=+++++=
(dấu = xảy ra
abx
=
)
Bài 6: Cho x
0

,tìm GTNN của biểu thức
)1(2
172
2
+
++
=
x
xx
Q
.
HD:
4
1
8
2
1
2
1
8
2

1
)1(2
16)1(
2
=
+
+

+
+
+
=
+
++
=
x
x
x
x
x
x
Q
(dấu = xảy ra

3
1
8
2
1
=

+
=
+
x
x
x
).
Bài 7: Tìm GTNN của M =
3
346
+
++
x
xx
HD: Tơng tự bài 6. Ta có kết quả: minM = 10 (khi và chỉ khi x= 4).
Bài 8: Cho x>0, tìm GTNN của biểu thức N =
x
x 2000
3
+
.
HD:
.300100.3
1000
.
1000
.3
100010002000
3
222

==++=+=
xx
x
xx
x
x
xN
(Dấu = xảy ra
10
1000
2
==
x
x
x
).
Bài 9: Cho x>0;y>0 và x+y
6

.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.
1612
35
yx
yxP
+++=
HD:
y
y

x
x
y
y
x
xyxP
16
2
12
3212)
16
()
12
3()(2
+++++++=

3281212
=++=
(dấu = xảy ra
x
x
12
3
=
và
4;2
16
===
yx
y

y
Bài 10:Cho x>y và xy=5,tìm GTNN của biểu thức
yx
yxyx
Q

++
=
22
2,1
HD:
8162
16
)(
2,3)(2,1
222
=

+=

+
=

++
=
yx
yx
yx
xyyx
yx

yxyx
Q
(dấu = xảy ra
4
16
=

=
yx
yx
yx
kết hợp với điều kiện xy=5 ta đợc
x=5;y=1 hoặc x=-1;y=-5.)
Bài 11:Cho x>1,tìm GTLN của biểu thức
1
25
4

+=
x
xA
.
HD:
24410.24
1
25
)1(424
1
25
)1(4

1
25
4
=+=+

+

+=

+=
x
x
x
x
x
xA
Dấu bằng xảy ra
2
7
1
25
)1(4
=

=
x
x
x
Bài 12: Cho 0<x<1, tìm GTNN của biểu thức
xx

x
B
4
1
3
+

=
HD:
2
)32(3477
)1(4
1
3
27
)1(4
1
3
+=+=+


+

+

=
x
x
x
x

x
x
x
x
B
Dấu = xảy ra
2
)13(
)1(4
1
3
=

=


x
x
x
x
x
Chú ý: Làm thế nào để có thể biểu diễn đợc

?7
)1(4
1
34
1
3
+

+

=+

x
x
x
x
xx
Ta đặt
c
x
xb
x
ax
xx
+

+

=+

)1(4
1
34
1
3
Sau đó dùng phơng pháp đồng nhất hệ số,tìm đợc a = b =1; c = 2.
Bài 13: Cho x,y,z

0

thoã mãn điều kiện x+y+z=a.
a) Tìm GTLN của biểu thức A= xy+yz+zx;
b) Tìm GTNN của biểu thức B= x
2
+ y
2
+ z
2
.
HD: a)
2
;
2
;
2
222222
xz
zx
zy
yz
yx
xy
+

+

+

( )
)(2
;
2
222
zxyzxyzyxzxyzxy
zyxzxyzxy
++++++
++++

3
;3
2
2
a
AaA

(dấu = xảy ra
3
a
zyx
===
)
c) B= x
2
+ y
2
+ z
2

= (x+y+z)
2
-2(xy+yz+zx)
B = a
2
-2(xy+yz+xz).
B min
)( xzyzxy
++
max
3
2
a
zxyzxy
=++
(theo câu a).
Lúc đó min B =
33
2
22
2
aa
a
=
(khi và chỉ khi x=y=z=
3
a
).
Bài 14: Cho x,y,z là các số dơng thoã mãn điều kiện x+y+z
.12