Sức bền Vật liệu nâng cao Giáo trình, bài giảng dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng

TR
NG
I H C PH M V N
NG
KHOA K THU T - CÔNG NGH
*******
ThS. NGUY N QU C B O

BÀI GI NG

S C B N V T LI U 1
NÂNG CAO
(Dùng cho sinh viên cao đ ng)

Qu ng Ngãi, 5/2015


S c b n v t li u 1 nơng cao

2


S c b n v t li u 1 nơng cao

M CL C
M c l c …………………..……………………………….......……..…………. 3
L i nói đ u …………………..……………..…………….......……..…………. 4
Ch

ng 6.

CHUY N V C A D M CH U U N

6.1. Khái ni m chung …………….......................................................……. 5
6.2. Ph

ng trình vi phân g n đúng c a đ

ng đàn h i ………………..…. 6

6.3. Ph

ng pháp tích phân không đ nh h n ………………..………..……. 7

6.4. Ph

ng pháp đ toán (ph

ng pháp t i tr ng gi t o) …….…....…... 11

6.5. Bài toán siêu t nh c a thanh ch u u n …………………...……...…… 16
Câu h i ôn t p…………………………………………………………..……….. 18
Tr c nghi m ………...…………………………………………………..……….. 18
Ch

ng 7.

THANH CH U L C PH C T P

7.1. Khái ni m …………….………………………..……..……………… 20
7.2. Thanh ch u u n xiên ………….……………………..……......……… 20

7.3. Thanh ch u u n và kéo - nén ………....……………………....……… 35
7.4. Thanh ch u kéo - nén l ch tâm ….......…….……………..…..….…… 43
7.5. Thanh ch u u n và xo n ..………………...……..…….……….…….. 49
7.6. Thanh ch u l c t ng quát .......……………...……..……..….……….. 54
Câu h i ôn t p…………………………………………………………..……….. 55
Tr c nghi m ………...…………………………………………………..……….. 55
TƠi li u tham kh o ầầầầầầầầầầầầầầ..ầầầầầầầầ.. 58

3


S c b n v t li u 1 nơng cao

L I NịI

U

S c b n v t li u là m t môn khoa h c th c nghi m thu c kh i ki n
th c k thu t c s đ

c gi ng d y trong các ngành k thu t

các tr

ng

đ i h c, cao đ ng. M c đích c a môn h c là cung c p nh ng ki n th c c n
thi t v c h c v t r n bi n d ng nh m gi i quy t các v n đ liên quan t
thi t k đ n ch t o, và h tr cho vi c nghiên c u các môn h c chuyên
ngành khác trong l nh v c c khí và xây d ng.

Bài gi ng S c b n v t li u 1 nâng cao đ

c biên so n k ti p sau tài

li u Bài gi ng S c b n v t li u 1 dành cho sinh viên b c cao đ ng ngành
C khí đào t o theo h c ch tín ch c a Tr

ng

i h c Ph m V n

N i dung Bài gi ng S c b n v t li u 1 nâng cao g m 2 ch
Ch

ng 6. Chuy n v c a d m ch u u n.

Ch

ng 7. Thanh ch u l c ph c t p

Trong m i ch

ng.
ng.

ng đ u có ph n Câu h i ôn t p và Tr c nghi m giúp

cho h c viên c ng c các ki n th c đã h c.

i kứm v i Bài gi ng này,

chúng tôi có biên so n tài li u Bài t p S c b n v t li u 1 nâng cao.
Bài gi ng này đ

c biên so n nh m giúp sinh viên cao đ ng h c chí

tín ch có thêm tài li u tham kh o, ch c ch n không tránh kh i nh ng sai
sót, r t mong đ

c s đóng góp c a b n đ c đ tài li u ngày càng đ

c

hoàn thi n h n. Chúng tôi xin chân thành c m n.
Qu ng Ngãi, tháng 5/2015
Ng
Mobil:

i biên so n

090 531 1727

Email:

4


S c b n v t li u 1 nơng cao

Ch

ng 6.

CHUY N V C A D M CH U U N
A. M C TIểU

ph

- Thi t l p ph

ng trình vi phân g n đúng c a đ

ng đàn h i.

- Xác đ nh đ

c chuy n v (đ võng, góc xoay) c a d m ch u u n b ng các

ng pháp: tích phân không đ nh h n và đ toán (t i tr ng gi t o).

B. N I DUNG
6.1. KHÁI NI M
6.1.1.

ng đƠn h i, đ võng, góc xoay

Trong u n ph ng, d m ch u tác d ng c a ngo i l c trong m t ph ng quán
tính chính trung tâm và tr c c a d m b u n cong (H. 6.1).
d m sau khi b u n g i là đ
đ

ng cong c a tr c

ng đàn h i. Bán kính cong  c a d m t i 1 v trí

c xác đ nh:
1

=

Mx
EJ x

(6.1)





Z
y
h i

ng đàn

P

z
y



y  dy

dy

dz

dz
b)

a)
Hình 6.1

Chuy n v c a ti t di n đ

c đ c tr ng b i chuy n v th ng c a tr ng tâm

và chuy n v xoay c a m t ph ng ti t di n.
Chuy n v th ng có th phân làm 2 thành ph n: chuy n v ngang u và
chuy n v đ ng v. V i gi thi t bi n d ng bé, nên thành ph n chuy n v ngang u
là s vô cùng bé b c hai so v i chuy n v đ ng v nên có th b qua. Do đó
chuy n v th ng đ

c cho là chuy n v đ ng v và g i là đ võng c a d m:
y = y(z) = v(z).

Chuy n v xoay c a ti t di n m t góc so v i v trí ban đ u g i là góc xoay:

5

S c b n v t li u 1 nơng cao

tan  

dy
 y' z
dz

Vì chuy n v là bé (y << l) nên   tan  
V y:

o hàm c a đ

dy
 y' z .
dz

ng đàn h i là góc xoay c a m t c t khi d m b bi n

d ng.
6.1.2. Qui
d

c d u c a đ võng vƠ góc xoay

võng y > 0: n u h

ng theo chi u d

ng tr c y, t c là h

ng xu ng

i.
- Góc xoay  > 0: n u quay tr c z đ n ti p tuy n v i đ

ng đàn h i t i

đi m kh o sát theo chi u kim đ ng h , hay m t c t t i đi m kh o sát sau khi bi n
d ng quay theo chi u kim đ ng h .
6.1.3. i u ki n c ng c a d m ch u u n
Trong k thu t, ng

i ta kh ng ch đ võng l n nh t c a d m ym ax (đi u

ki n c ng) theo công th c:
1
1
 ymax 
 L   1000  100





 ymax   

1

1 

 .L
 1000 100 

(6.2)

V i L là chi u dài c a d m.
6.2. PH
6.2.1. Ph

NG TRỊNH VI PHỂN G N ỎNG C A

NG ÀN H I

ng trình vi phơn g n đúng

Theo hình h c vi phân, ta có đ cong c a hàm y(z) đ
1



So sánh (6.1) và (6.3) ta đ



y"
3
2 2

1 y ' 

(6.3)

c:
y"
3
2 2

=±

(1+ y ' )

Kh o sát d m b u n cong trong 2 tr
y” và M x luôn luôn ng

c xác đ nh:

c d u nên:

6

Mx
EJ x

ng h p nh hình v (H. 6.2) ta th y


S c b n v t li u 1 nơng cao

y"
3
2 2

=-

(1+ y ' )

Mx
EJ x

Vì d m có chuy n v bé nên: y' 2 << 1, ta có ph

ng trình vi phân g n đúng

c a đu ng đàn h i:
y' '  

Mx
EJ x

(6.4)

O

z

Mx

y

Mx

Mx  0
y'' < 0

Mx  0
y' '  0

Hình 6.2

6.2.2. Các ph
Có 3 ph

ng pháp xác đ nh đ võng vƠ góc xoay
ng pháp c b n đ xác đ nh đ võng và góc xoay:

1. Ph

ng pháp tích phân không đ nh h n

2. Ph

ng pháp đ toán (ph

3. Ph

ng pháp di n tích momen.

Ta s kh o sát 2 ph

6.3. PH

ng pháp t i tr ng gi t o)

ng pháp xác đ nh th

ng dùng.

NG PHÁP TệCH PHÂN KHÔNG

6.3.1. Ph

ng trình góc xoay vƠ ph

B ng ph
th c (6.4), ta đ

NH H N

ng trình đ

ng đƠn h i

ng pháp tích phân không xác đ nh, ta l y tích phân liên ti p bi u
c:
  y'  

y   


Mx

 EJ

.dz  C

(6.5)

x


.dz  dz  Cz  D
x


Mx

 EJ

Trong đó: C và D là các h ng s tích phân đ

c xác đ nh theo các đi u ki n

biên (đi u ki n v chuy n v và góc xoay t i các đ u d m).
6.3.2. i u ki n biên c a m t s d m đ n gi n
6.3.2.1.

u ngàm c a d m console (H. 6.3a)

7

(6.6)


S c b n v t li u 1 nơng cao

Chuy n v và góc xoay đ u b ng không.
yA   A  0

6.3.2.2. D m đ t trên 2 g i t a (H. 6.3b)
- T i các đ u kh p, g i đ c a d m đ n gi n chuy n v b ng không.
yA  yB  0 .

- T i n i ti p giáp gi a 2 đo n d m có ph

ng trình đàn h i khác nhau:

chuy n v và góc xoay c a bên trái và bên ph i b ng nhau.
yCtr  yCph

Ctr  Cph

A

C

A

yA   A  0

yA  0

a)

Hình 6.3

b)

B

yB  0

Ví d 6.1: Cho d m console nh hình v (H. 6.4). Bi t: P, l, EJ = const.
a) Vi t ph

ng trình đ võng và góc xoay c a d m.

b) Tính đ võng và góc xoay

đ u t do A c a d m.

Gi i:
a) Vi t ph

ng trình đ võng và góc xoay c a d m.

P
z
l

P
MX

l- z

Hình 6.4

Momen u n t i m t c t có hoành đ z là:
M x + P (l – z) = 0
Ph

ng trình vi phân c a đ



ng đàn h i:

8

M x = - P (l – z)


S c b n v t li u 1 nơng cao

Mx
P
( l - z)
=
EJ x EJ x

y"= -

Ph

ng trình góc xoay:
y'   z 

Ph

ng trình c a đ

P
Pl
.z 
.z 2  C
2 EJ x
EJ x

ng đàn h i:
y=

Pl 2
P 3
z z + Cx + D .
2 EJ x
6 EJ x

i u ki n biên: t i O (z = 0): y’ = y = 0  C = D = 0.
V y: y'   z 
Và: y 

P
Pl
.z 
.z 2
2 EJ x
EJ x

P
 z
.z 2  l   .
2 EJ x  3 

b) Tính đ võng và góc xoay

đ u t do A c a d m.

võng và góc xoay l n nh t t i z = l:
P l3
yA  ym ax 
3 EJ x
P l2
 A   m ax 
2 EJ x

A  0

ngh a là m t c t ngang sau khi bi n d ng xoay đi góc cùng chi u

kim đ ng h và yA  0 ngh a là chuy n v xu ng phía d

i theo chi u d

ng

c a tr c y.
Ví d 6.2: Cho d m đ t lên hai g i đ có chi u dài L ch u tác d ng c a t i
tr ng phân b đ u q nh hình v (H. 6.5). Bi t: EJ x = const.
a) Vi t ph

ng trình đ võng và góc xoay c a d m.

b) Tính giá tr đ võng và góc xoay l n nh t.
Gi i:
a) Vi t ph

ng trình đ võng và góc xoay c a d m.

Ph n l c t i 2 g i t a: VA  VB 

qL
2

Momen u n t i m t c t có hoành đ z là:

9


S c b n v t li u 1 nơng cao

M x - V A .z +

qz 2
=0
2



Mx 

qLz qz2

2
2

q

1

a)

B

A
1

VA

z

VB
L
Mx

b)



c)

y

d)

ymax
Hình 6.5

Ph

ng trình vi phân c a đ
y" = -

Ph

ng đàn h i:
Mx
q
( Lz- z2 )
=EJ x
2 EJ x

ng trình góc xoay:
q  Lz2 z3 
 C
  y'  
2 EJ x  2
3

Ph

(1)

ng trình đ võng:
q é Lz3
z4 ù
y= ê
ú+ Cz + D
2 EJ x ë 6
12 û

(2)

i u ki n biên: t i A (z = 0): y(0) = 0 ; t i B (z = L): y(L) = 0
Thay vào (1) và (2) ta đ
V y:   y '  

qL3
24 EJ x

c: C =

qL3
; D = 0.
24 EJ x


6 z2 4 z3 
1

 3 

L2
L 


10


S c b n v t li u 1 nơng cao

qL3 z
Và: y 
24 EJ x


2 z2 z3 
1  L2  L3  .



b) Tính giá tr đ võng và góc xoay l n nh t.
 L
 

võng l n nh t t i gi a nh p [vì y’   = 0]:
2

-

5qL4
 L
ymax  y   
 2  384 EJ x

- Góc xoay l n nh t t i các g i t a A (z = 0) và B (z = L) [vì t i đó có y” =
0]:
+ T i A (z = 0):  A  max 

qL3
24 EJ x

+ T i B (z = L): B  max  

qL3
24 EJ x

* Nh n xỨt: Khi tính toán ta c n c vào s đ d m và t i tr ng tác d ng mà
chia d m thành nhi u đo n sao cho trên m i đo n bi u th c c a momen u n n i
l c M x và đ c ng EJ x là các hàm liên t c. Ngh a là ta ph i l p ph
đ

ng đàn h i cho t ng đo n và

ng trình

m i đo n ta ph i xác đ nh 2 h ng s tích

phân.
V y n u d m chia ra làm n đo n, thì ta ph i l p n ph

ng trình đ

h i và xác đ nh 2n h ng s tích phân. Do v y bài toán áp d ng ph
có nh
ít đ

c đi m là có kh i l

ng đàn

ng pháp trên

ng tính toán nhi u vì ph i chia làm nhi u đo n nên

c áp d ng đ gi i.

6.4. PH

NG PHÁP

TOÁN (PH

NG PHÁP T I TR NG GI

T O)
6.4.1. Khái ni m
ch

ng 1, ta đã xác l p các liên h vi phân gi a n i l c và t i tr ng phân

b q(z) là:
d 2 M x dQy

 q( z)
dz2
dz

(3)

ng th i, ta c ng có liên h gi a n i l c và chuy n v nh sau:

11


S c b n v t li u 1 nơng cao

M
d2y
y  2  x
EJ x

dz
"

Nh ta đã bi t

Ch

(4)

ng 1, v bi u đ n i l c khi bi t q(z) ta có th suy ra

bi u đ Q y và M x mà không c n tích phân (3).
D a vào s t

ng t gi a 2 liên h vi phân (3) và (4), ta có th tìm đ

c

y(z) và y’(z) mà không c n tích phân (4).
Ta t

ng t

ng tác d ng lên m t d m nào đó (g i là d m gi t o) m t t i

tr ng phân b gi t o nào đó có c

ng đ là:

qgt  

Mx
EJ x

(6.7)

Ngh a là qui lu t phân b c a t i tr ng gi t o q gt gi ng nh qui lu t phân
b c a

Mx
.
EJ x

Do đó, g i momen u n trên d m gi t o là M gt , thì:
d 2 M gt
Mx
d2y



q

gt
dz2
dz2
EJ x
y" 

Hay:

2
d 2 y d M gt

 qgt
dz2
dz2

dy ' dQgt

dz
dz

Ho c:
6.4.2. Ch n d m gi t o

Ta ph i ch n d m gi t o và các đi u ki n liên k t sao cho có s t

ng ng

gi a đ võng y c a d m th c v i momen u n gi t o M gt c a d m gi t o c ng
nh s t

ng ng gi a góc xoay  c a d m th c v i l c c t gi t o Qgt c a d m

gi t o.
y (d m th c) = M gt (d m gi t o)
 (d m th c) = Qgt (d m gi t o)

Nh v y, thay vì tính tích phân ph

ng trình vi phân (6.4) ta ch c n tính

l c c t gi t o Qgt đ có góc xoay  và tính momen u n gi t o M gt đ có đ
võng y c a d m th c.

12


S c b n v t li u 1 nơng cao

Ta có th ch n các d m gi t o t

ng ng v i các d m th c theo b ng 6.1

B ng 6.1. D m gi t o t

ng ng v i d m th c

D m th c

D m gi t o

y = 0;

y = 0;

 0

 0

y = 0;

y  0;

 =0

 0

y  0;

y = 0;

y = 0;

 0

 0

 0

y  0;

 0

y = 0;

 0

y = 0;

y  0;

 0

 0

M gt = 0;

M gt = 0;

Q gt  0

Q gt  0

M gt = 0;

M gt  0;

Q gt = 0

Q gt  0

M gt  0;

M gt = 0;

M gt = 0;

Q gt  0

Q gt  0

Q gt  0

M gt  0;

M gt = 0;

M gt = 0;

M gt  0;

Q gt  0

Q gt  0

Q gt  0

Q gt  0

6.4.3. Xác đ nh t i tr ng gi t o q gt , l c c t gi t o Qgt vƠ momen gi t o
M gt

6.4.3.1. Xác đ nh t i tr ng gi t o q gt .
Ta có: qgt  

Mx
, ngh a là q gt và M x luôn luôn ng
EJ x

- N u M x > 0 thì q gt < 0: chi u q gt h

13

c d u nhau, do đó:

ng xu ng phía d

i.


S c b n v t li u 1 nơng cao

- N u M x < 0 thì q gt > 0: chi u q gt h

ng lên phía trên.

6.4.3.1. Xác đ nh l c c t gi t o Qgt và momen gi t o M gt
Ta có:

Qgt    qgt 

(6.8)

và

M gt   qgt  .xC .

(6.9)

Do đó ta c n xác đ nh di n tích  qgt  và hoàng đ tr ng tâm di n tích xC
c a hình gi i h n b i đ
th

ng cong. B ng 6.2 cho ta các s li u c a 1 s hình

ng g p.
B ng 6.2. Di n tích và v trí tr ng tâm c a m t s hình th
q gt

Di n tích

Hình

h

ng

C

b c nh t

ng g p

xC

V trí
tr ng tâm



xC

Lh
2

2L
3

Lh
3

3L
4

2Lh
3

5L
8

ng

h

L

C

b c hai

xC

lõm

ng

h

L

b c hai

C

l i

xC

ng
b cn

h

L

Lh
n +1

C

xC
L

14

 n +1 L
n+2


S c b n v t li u 1 nơng cao

h

ng

C

b c hai

2Lh
3

đ i x ng

L
2

xC
L

6.4.4. Trình t tìm góc xoay vƠ đ võng
1. V bi u đ M x : c n c vào s đ d m và t i tr ng tác d ng.
2. Ch n d m gi t o t
3.

ng ng: Theo b ng 6.1.

t t i tr ng gi t o q gt lên d m gi t o:
qgt  

Mx
EJ x

4. Tính  và y:
y = M gt =  qgt  .xC
 = Qgt   qgt 

Ví d 6.3: Cho 1 d m console ch u t i tr ng phân b đ u q nh hình v (H.
6.6).
Tính đ võng và góc xoay t i đ u t do c a d m. Bi t d m có đ c ng EJ x
là h ng s .
Gi i:
- V bi u đ momen u n (H. 6.6b): M x là đ

ng cong b c hai lõm ( M x < 0

vì làm c ng th trên).
- Ch n d m gi t o: nh hình 6.6c.
chi u h

t t i tr ng gi t o q gt lên d m gi t o: qgt  

Mx
> 0 (vì M x < 0) có
EJ x

ng lên trên (H. 6.6c).

- Tính góc xoay  và đ võng y:
Góc xoay  và đ võng y t i đ u t do c a d m c ng là l c c t gi t o Qgt
và momen u n gi t o M gt t i B c a d m gi t o.
Ta có:

15


S c b n v t li u 1 nơng cao

 B = QgtB   qgt  
AB

1 qL2
qL3
0
x
xL 
3 2EJ x
6EJ x
qL3

qL4

3

y = M gt =  qgt  AB .xC 
x L
0
6EJ x 4
8EJ x
M t c t sau bi n d ng chuy n v h

ng phía d

i và xoay theo chi u kim

đ ng h .

q

A

B

a)

Mx

b)

L

qL2
2

qL2
2EJx
c)
Hình 6.6

6.5. BÀI TOÁN SIÊU T NH C A THANH CH U U N
Bài toán siêu t nh là bài toán mà ta không th xác đ nh đ
n i l c b ng các ph
s ph

ng trình cân b ng t nh h c, vì s

ng trình cân b ng t nh h c thi t l p đ

c các ph n l c và

n s c n tìm luôn l n h n

c.

gi i bài toán siêu t nh, ta c n thi t l p thêm m t s ph

ng trình c n

thi t d a vào đi u ki n bi n d ng.
Ta có th dùng ph

ng pháp đ toán đ tính đ võng và góc xoay.

Ví d 6.4: V bi u đ n i l c c a d m siêu t nh ch u l c nh hình v
(H.6.7). Bi t d m có đ c ng EJ x là h ng s .
Gi i:

16


S c b n v t li u 1 nơng cao

q
A

B

a)

B
VB

b)

L
q
A
qL2
2EJx
c)
VB.L

E.Jx
5 qL
8

+
_

1 qL2
8

3
8

qL Qy
d)
Mx

9 qL2
128
Hình 6.7

- Xác đ nh các ph n l c

ngàm A và g i đ B

Ta có 4 n s (ph n l c liên k t) c n tìm nh ng ch có 3 ph

ng trình cân

b ng t nh h c.

Vì v y ta c n ph i thi t l p thêm 1 ph

ng trình theo đi u ki n bi n d ng.

Gi s b g i đ t i B và thay b ng m t ph n l c VB (H. 6.7b). Ta đ

c1

d m t nh đ nh ch u tác d ng b i l c phân b đ u q và l c t p trung VB (ch a
bi t). i u ki n bi n d ng là đ võng c a đ u t do B ph i b ng không: VB = 0.
Do đó:

17


S c b n v t li u 1 nơng cao

y B = M gtB =
hay: y B =

1 qL2
3
1 V .L
2


  qgt  AB .xC  3 x 2EJ xLx 4 L  2 x EJB xLx 3 L  0
x
x

V .L3
qL4
 B
 0
8EJ x 3EJ x
3
8

Suy ra: VB  qL
- V bi u đ n i l c Q y và M x
Tính đ

c VB ta d dàng v bi u đ n i c a d m t nh đ nh

hình 6.7b và

c ng là bi u đ n i l c c a d m siêu t nh đã cho (H. 6.7d).

C. CÂU H I ỌN T P
1. Th nào là đ

ng đàn h i, đ võng, góc xoay khi u n? Ph

g n đúng c a đ

ng trình vi phân

ng đàn h i?

2. Xác đ nh đ võng và góc xoay b ng ph

ng pháp tích phân không đ nh h n.

3. Th nào là d m gi t o, t i tr ng gi t o? Cách ch n d m gi t o và xác đ nh
t i tr ng gi t o?
4. Trình t xác đ nh đ võng và góc xoay b ng ph

ng pháp đ toán.

D. TR C NGHI M
1.

ng đàn h i là:
a) đ

ng cong c a tr c d m sau khi b u n.

b) đ

ng đ th bi u di n đ võng c a d m khi b u n.

c) đ

ng đ th bi u di n góc xoay c a d m khi b u n.

2. Góc xoay  là d

ng khi:

a) quay t tr c đ n ti p tuy n v i đ

ng đàn h i t i đi m kh o sát theo

chi u kim đ ng h .
b) m t c t sau khi bi n d ng quay theo chi u kim đ ng h .
c) c 2 câu đ u đúng.
3.

võng y là d

ng khi:

a) h

ng theo chi u âm c a tr c y (h

b) h

ng theo chi u d

ng lên trên).

ng c a tr c y (h

c) tùy ý ch n.

18

ng xu ng d

i).


S c b n v t li u 1 nơng cao

4. Khi tính chuy n v b ng ph

ng pháp tích phân không đ nh h n ta chia d m

thành nhi u đo n sao cho:
a) trên m i đo n có đ c ng EJ x là 1 hàm s liên t c.
b) trên m i đo n có bi u th c momen u n M x là 1 hàm s liên t c.
c) c 2 đi u ki n trên.
5. L c gi t o  qgt  :
a) d

ng (> 0) có chi u h

b) luôn ng

ng lên trên.

c chi u v i momen u n M x .

c) c 2 câu trên đ u đúng.

19


S c b n v t li u 1 nơng cao

Ch

ng 7.

THANH CH U L C PH C T P
A. M C TIểU
- N m v ng các ki n th c c b n khi kh o sát thanh ch u l c ph c t p: u n
xiên, u n và kỨo - nén, kéo - nỨn l ch tâm, kỨo và xo n và ch u l c t ng quát.
- Xác đ nh đ

c các n i l c, ng su t, đ

đi u ki n b n trong t ng tr

ng trung hòa, bi u đ

ng su t,

ng h p ch u l c.

B. N I DUNG
7.1. KHÁI NI M
Trong các tr

ng h p đã xét khi thanh ch u l c kéo - nén đúng tâm, ch u

xo n thu n tuý, ch u u n thu n tuý ph ng trên m t c t ngang ch có 1 thành ph n
n il cđ

c g i là thanh ch u l c đ n gi n.

Th c t là trên m t c t ngang c a thanh xu t hi n nhi u thành ph n n i l c
đ

c g i là thanh ch u l c ph c t p.
gi i bài toán này, ta áp d ng “nguyên lý c ng tác d ng” đ thi t l p

công th c v

ng su t và bi n d ng; ngh a là: ng su t và bi n d ng do nhi u y u

t tác đ ng đ ng th i gây ra trên m t thanh b ng t ng ng su t và bi n d ng do
t ng y u t m t gây ra trên thanh đó.
i u ki n đ s d ng nguyên lý này là d a trên các gi thi t v v t li u:
- V t li u làm vi c trong mi n đàn h i và tuân theo đ nh lu t Hooke.
- Chuy n v và bi n d ng là bé.
nh h

ng c a l c c t đ n đ b n trong bài toán ch u l c ph c t p là r t

nh nên có th b qua. N u c n tính đ n thì áp d ng theo “nguyên lý c ng tác
d ng”.
7.2. THANH CH U U N XIểN
7.2.1. Khái ni m
M t thanh g i là ch u u n xiên khi trên m i m t c t ngang có 2 thành ph n
n i l c là momen u n M x và M y n m trong các m t ph ng quán tính chính trung
tâm c a m t c t ngang (H. 7.1a).

20

S c b n v t li u 1 nơng cao

ng t i tr ng
Mx

My
z

O

Mu

V

z

O
Mx

My

Mu

x
x
a)

y

b)

y

Hình 7.1

Bi u di n các momen u n Mx , M y b ng các vect momen Mx , M y . G i
M u là vect t ng c a các vect Mx , M y . Ta có:
Mu  M x2  M y2

Momen u n M u n m trong m t ph ng (V), ch a tr c z nh ng không trùng
v i v i 1 m t ph ng quán tính chính trung tâm nào. M t ph ng (V) g i là m t
ph ng t i tr ng. Giao tuy n c a m t ph ng (V) v i m t c t ngang g i là đ

ng

t i tr ng.
Trong u n xiên đ

ng t i tr ng đi qua g c to đ và vuông góc v i ph

ng

c a vect t ng M u , nh ng không trùng v i 1 tr c quán tính chính trung tâm nào
(H. 7.1b).
* Nh n xỨt:

i v i thanh có m t c t tròn, m i đ

ng kính đ u là tr c đ i

x ng, nên b t k m t ph ng ch a tr c thanh nào c ng là m t ph ng đ i x ng và
đ u là tr c quán tính chính trung tâm, do đó thanh m t c t tròn ch có u n
ph ng.
7.2.2.

ng su t pháp trên m t c t ngang

G i  là góc c a đ

ng t i tr ng h p v i tr c x, ta có:
M x  Mu .sin  .
M y  Mu . cos

H s góc c a đ

ng t i tr ng:

21


S c b n v t li u 1 nơng cao

tan  

Mx
My

(7.1)

Theo nguyên lý c ng tác d ng, ng su t pháp t i 1 đi m b t k trên m t c t
ngang có to đ (x, y) s là t ng ng su t do t ng M x , M y gây ra, do đó:
z 

M
Mx
. y  y .x
Jx
Jy

(7.2)

* Chú ý:
1. Theo (7.1) ta có  > 0 khi quay t ph n d
tr ng ng

ng tr c x đ n đ

ng t i

c chi u kim đ ng h .

2. Trong bi u th c (7.2), các giá tr M x , M y , x và y là các s đ i s , đ

c

xác đ nh nh sau:
- M x >0 khi làm c ng (kỨo) ph n d
(kỨo) ph n d

ng c a tr c y và M y > 0 khi làm c ng

ng c a tr c x.

- (x, y) l y theo h tr c t a đ đã xác đ nh.
3. Trong th c hành, ng

i ta dùng công th c k thu t sau đ tính toán:
z  

My
Mx
.y 
.x
Jx
Jy

(7.3)

D u “+ / -“ tu theo momen u n M x và M y gây ra ng su t kỨo/nỨn
đi m đang xỨt.
Ví d 7.1: T i ti t di n hình ch nh t b x h ch u u n xiên nh hình v (H.
7.2) v i M x = 8 kNm, M y = 6 kNm, h = 2b.
Tính ng su t pháp t i các góc c a m t c t ngang.
Gi i:
* Cách 1: Tính theo công th c (7.2)
Ta có công th c tính ng su t t i 1 đi m:
z 

M
Mx
. y  y .x
Jx
Jy

V i: M x = 8 kNm = 800 kNcm, M y = - 6 kNm = - 600 kNcm.
Momen quán tính c a m t c t ngang đ i v i 2 tr c:

22


S c b n v t li u 1 nơng cao

bh3 20 x403 320.000


cm4
12
12
3

Jx 

hb3 40 x203 80.000
Jy 


cm4
12

12
3

B

B
Mx

A

x

A

_O

z
My

D

_

A

O

B

_

z
+

C

y

C

+

x

y

D

Mx

+
z

O

+

_

x

D

C

y
My

Hình 7.2

ng su t t i các góc c a m t c t ngang là:
- T i A ( xA  10 cm; yA   20 cm) :
A 

800
 600
.   20  
.10   0,15  0, 225  0, 075 kN / cm2
320000 / 3
80000 / 3

- T i B ( xB   10 cm; yB   20 cm) :
B 

800
 600
.   20  
.  10    0,15  0, 225   0,375 kN / cm2 .
320000 / 3
80000 / 3

- T i C ( xC   10 cm; yC  20 cm) :
C 

800
 600
.20 
.  10   0,15  0, 225   0, 075 kN / cm2 .
320000 / 3
80000 / 3

- T i D ( xA  10 cm; yA  20 cm) :
D 

800
 600
.20 
.10  0,15  0, 225  0,375 kN / cm2 .
320000 / 3
80000 / 3

V y:  A  0, 075 kN / cm2 ;  B   0,375 kN / cm2 ;  C   0, 075 kN / cm2 ;
 D  0,375 kN / cm2 .

* Cách 2: Tính theo công th c (7.3)
Áp d ng công th c k thu t:
z  

My
Mx
.y 

.x
Jx
Jy

23


S c b n v t li u 1 nơng cao

Ta xét d u c a ng su t do momen M x , M y gây ra nh hình 7.2.
Ta có: Mx  800 Ncm; M y  600 Ncm; x  10 cm; y  20 cm.
Do đó ng su t t i các đi m nh sau:
A  

800
600
.20 
.10  0, 075 kN / cm2
320.000 / 3
80.000 / 3

B  

800
600
.20 
.10   0,375 kN / cm2
320.000 / 3
80.000 / 3

800
600
.20 
.10   0, 075 kN / cm2
320.000 / 3
80.000 / 3

C 

800
600
.20 
.10  0,375 kN / cm2
320.000 / 3
80.000 / 3

D 

7.2.3.

ng trung hoƠ vƠ bi u đ

7.2.3.1.

ng su t pháp

ng trung hoà

Công th c ng su t

(7.2) là ph

ng trình c a m t ph ng trong h tr c

Oxyz. Nó bi u di n giá tr c a ng su t pháp trên m t c t ngang. M t ph ng này
g i là m t ng su t.

ng t i tr ng

x



O


ng trung
hòa

y
Hình 7.3

Giao tuy n c a m t ng su t v i m t c t ngang là t p h p nh ng đi m có
 z = 0.

ó là đ

Ph

ng trung hoà c a m t c t ngang trong u n xiên (H. 7.3).

ng trình đ

ng trung hoà là:
My
Mx
.y 
.x  0
Jx
Jy

Hay:

y 

My J x
. .x
Mx J y

24

(7.4)


S c b n v t li u 1 nơng cao

t:

tan   

Do đó:

My J x
.
Mx J y

(7.5)

y  tan  .x

ng trung hòa là đ

(7.6)

ng th ng qua g c t a đ O (0,0) v i tan  là h s

góc.
tan  . tan   

Ta có:

M y J x Mx
J
. .
 x
Mx J y My
Jy

(7.7)

* Nh n xỨt:
1. Ta nh n th y   0 khi đi t ph n d
ng

ng trung hoà

c chi u kim đ ng h .
2.

ng trung hoà là 1 đ

không vuông góc v i đ

ng th ng đi qua tr ng tâm m t c t ngang và

ng t i tr ng.

Vì theo bi u th c (7.6) đ
th

ng tr c x đ n đ

ng trung hòa có d ng y = ax và theo (7.7)

ng J x  J y  tan  . tan   1
3.

ng t i tr ng và đ

ng trung hoà không bao gi n m cùng trong 1

góc ph n t c a h tr c to đ (H. 7.3).
Vì t bi u th c (7.7) thì góc  và  luôn luôn trái d u nhau.
4.

i v i các m t c t ngang c a thanh là hình tròn ho c đa giác đ u thì

không x y ra hi n t

ng u n xiên.

Vì khi đó ta có đ
tâm, còn đ

ng t i tr ng s trùng v i 1 tr c quán tính chính trung

ng trung hoà s trùng v i v i tr c quán tính chính trung tâm th hai

vuông góc v i đ

ng t i tr ng. T bi u th c (7.7) đ i v i hình này Jx = Jy nên:

tan  . tan   1 , đó là bài toán u n ph ng.

7.2.3.2. Bi u đ

ng su t pháp trên m t c t ngang

Ta nh n th y:
- Các đi m n m trên các đ

tr s

ng song song v i đ

ng trung hoà thì có cùng

ng su t pháp.
- Các đi m càng xa tr c trung hoà thì có tr s
Ta có cách v bi u đ

ng su t nh sau:

25

ng su t càng l n.