bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán thpt chuyên đề bài TOÁN CON bướm và một số ỨNG DỤNG

BÀI TOÁN CON BƯỚM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Bài toán con bướm là một định lý hay và có nhiều ứng dụng trong toán học.
Bài viết dưới đây nhằm mục đích giới thiệu nội dung, các cách chứng minh và một
vài ứng dụng .
I. NỘI DUNG BÀI TOÁN:
Cho đường tròn (O) với dây cung AB. I là trung điểm của AB. Qua I dựng hai
dây cung MN, PQ khác AB sao cho MP và NQ cắt AB lần lượt tại E và F. Chứng
minh I là trung điểm của EF.
N

M

P

A

P
I

B

I

E

F

B

A

Q
O
O

Q

M

N

Bài toán trên có nhiều cách chứng minh, mỗi cách đều có cái hay và thú vị
riêng. Sau đây ta cùng điểm qua một số cách chứng minh sơ cấp.
Cách 1
N
P
E

A

F

I

B
D

C

O

Q

M

1

1


Gọi C, D lần lượt là trung điểm của MP, NQ, ta có: OC ⊥ MP, OD ⊥ NQ, OI ⊥ AB
nên tứ giác IOCE và IODF là các tứ giác nội tiếp. Do vậy: g.IOE = g. ICE, gIOF =
g.IDF (g: góc) (1).
Dễ thấy hai tam giác IMP và IQN đồng dạng và IC, ID là hai trung tuyến tương
IC IP PM CP
=
=
=
nên ∆ICP : ∆IDN ⇒ g .ICE = g .IDF
ứng nên: ID IN NQ DN
(2).

Từ (1) và (2) ta được g.IOE = g.IOF nên tam giác OEF cân tại O. Vì vậy I là
trung điểm của AB (đpcm).
Cách 2(của Coxeter và Greitzer)
N

P

K

B

C
I
A

F

E
H
D
O

M
Q

Gọi C, D thứ tự là hình chiếu vuông góc của E trên IP, IM. Gọi K, H thứ tự
là hình chiếu vuông góc của F trên IM, IQ.
IE ED
IE
=
(1); ∆IEC : ∆IFH ⇒
=
IF FK
IF
PE EC
∆PEC : ∆NFK ⇒
=
(3); ∆MED : ∆QFH ⇒
NF FK

∆IED : ∆IFK ⇒

Ta có:

2

2

EC
(2)
FH
ME ED
=
(4)
QF FH


(

IE 2 ED EC ME PE AE BE
) =
.
=
.
=
.
IF
FK FH NF QF AF BF

AE BE ( AI − EI )( BI + IE ) AI 2 − EI 2

mà
.
=
=
AF BF ( AI + IF)( IB − IF)
AI 2 − IF2
IE 2 AI 2 − EI 2 AI 2
Vây ( ) =
=
= 1 ⇒ IE = IF
IF
AI 2 − IF2 AI 2
Từ (1), (2), (3), (4) ta có:

Ta được đpcm.
Cách 3
D

N
P
I
A

B
F

E

O

Q

M

Trường hợp MP và NQ song song là trường hợp đơn giản. Do vậy ta chỉ cần xét
MP và NQ giao nhau. Ta gọi D là giao của chúng.
Xét tam giác EFD. Theo định lý Menenauyt ta có:
IF ME ND
IF PE QD
IF ME ND PE QD
.
.
= 1;
.
.
= 1 ⇒ ( )2 .
.
.
.
=1
IE MD NF
IE PD QF
IE MD NF PD QF

Vì DN.DQ = DP.DM nên ta có:
IF2 ME PE
IF2 NF QF
.
.
=

1;
⇒
=
.
IE 2 NF QF
IE 2 ME PE
3

3


Mặt khác : NF.QF = AF.BF và ME.PE = EA.EB nên ta có:
IF2 AF BF ( AI + IF) ( AI − IF) AI 2 − IF 2
=
.
=
=
=1
IE 2 EA EB ( AI − IE) ( AI + IE) AI 2 − IE 2

(đpcm).
Cách 4:
L

N
P
I

A

B
F

E
K
O

Q

M

Từ F kẻ đường thẳng d song song với MP, cắt MN ở L và cắt PQ ở K. Ta có:
g.FLN = g.IME = g.FQK
mà LNF và QKF là hai tam giác đồng dạng nên ta có:
LF FQ
=
. Vì vây :LF .FK = FN .FQ = ( AI + IF)( BI − IF) = AI 2 − IF2
FN FK

Tương tự : EP.EM = AI2 – IE2

4

4


Mặt khác:
FK EP
=
.

FI
EI
FL EM
FK .FL EP.EM
∆IFN : ∆IEM ⇒
=
⇒
=
FI
EI
FI 2
EI 2
mà LF.FK = AI2 − IF2 , EP.EM = AI 2 − IE 2
∆IEP : ∆IFK ⇒

nên

FK .FL EP.EM
AI2 − IF2 AI2 − IE 2
AI2 AI2
=
⇔
=
⇔
=
⇔ IE = IF
FI 2
EI 2
IF2
IE 2

IF2 IE 2

II. MỘT VÀI BIẾN TẤU CỦA BÀI TOÁN CON BƯỚM
Trước tiên ta thay đổi cách phát biểu của bài toán con bướm như sau:
Bài toán 1: Cho tứ giác ADBC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là giao hai đường
chéo AB và CD. Một đường thẳng d vuông góc với OI cắt AD, BC theo thứ tự tại
M và N. Chứng minh I là trung điểm của MN.
N/x: Nếu ta đổi vai trò của hai đường chéo và hai cạnh đối diện cho nhau ta
thu được bài toán sau.
Bài toán 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là giao hai đường
chứa hai cạnh bên AD và BC. Một đường thẳng d vuông góc với OI cắt AC, BD
theo thứ tự tại M và N. Chứng minh I là trung điểm của MN.
I

N

d

D

C

B
O

A

5

5

N/x: Ở bài toán trên nếu ta thay hai đường chéo bằng hai cạnh đối diện còn
lại thì ta có bài toán 3.
Bài toán 3 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là giao hai đường
AD và BC. Một đường thẳng d vuông góc với OI cắt AB,C D theo thứ tự tại M và
N. Chứng minh I là trung điểm của MN.
I

M

N

D
C
B

O

A

Ở bài toán 2 và 3 phép chứng minh được lặp lại tương tự cách 1 đã trình bày bên
trên.
N/x: Từ ba bài toán trên ta có thể tổng quát thành bài toán sau:
Bài toán 4 : Cho tròn (O), d là một đường thẳng tùy ý không tiếp xúc với (O). Gọi
I là hình chiếu vuông góc của O trên d. Qua I kẻ hai cát tuyến IAD và IBC bất kỳ
tới (O). Gọi M, N thứ tự là giao của d với AB và CD. Gọi E,F thứ tự là giao của d
với AC và BD. Gọi P, Q là giao của d với đường tròn (O) (nếu có). Chứng minh
ba đoạn MN, EF, PQ có cùng trung điểm.
Rõ ràng nếu d cắt (O) ta được bài toán 1, còn d nằm ngoài (O) ta được bài

toán 2 và 3.
Đặc biệt nếu ta cho cát tuyến TAD suy biến thành tiếp tuyến tại A khi đó A
trùng D, thì ta được bài toán sau:

6

6


Bài toán 5 : Cho tròn (O) và d là một đường thẳng nằm ngoài (O). Gọi I là hình
chiếu vuông góc của O trên d. Qua I kẻ tiếp tuyến IA và cát tuyến IBC tới (O).
Gọi M, N thứ tự là giao của d với AB và AC. Chứng minh IM = IN.
III. ÁP DỤNG BÀI TOÁN CON BƯỚM VÀO GIẢI TOÁN.
Khi áp dụng vào bài tập điều quan trọng là ta phải phát hiện và xây dựng
được mô hình của định lý con bướm.
VD1: (Mongolian TST 2008)
Cho tam giác nhon ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi CD là đường cao, H là
trực tâm của tam giác ABC. Một đường thẳng đi qua d vuông góc với OD cắt BC
tại E. CHứng minh g. DHE = g. ABC.
Nhận xét: Coi đường thẳng d là đường thẳng DE thì ta thấy mô hình con bướm
xuất hiện , như vậy một cách tự nhiên ta nghĩ đến việc đủ tứ giác nội tiếp ACBF
lấy giao của d với AF .
Lời giải
Gọi F là giao khác C của CD với (O). K là giao của d với AF.
Theo một tính chất quen thuộc về trực tâm thi ta có D là trung điểm của FH.
Áp dụng bài toán con bướm số 1 ta được D là trung điểm của EK.
Suy ra FKHE là hình bình hành hay ta có AF và EH song song.
Vậy ta được đpcm vì hai góc đó cùng bằng góc AFD.
VD2 : (MOP 1998)
Cho hai đường tròn (C) và (C’ ) có cùng bán kính và cắt nhau tại hai điểm A, B.

Gọi O là trung điểm của AB. CD là một dây cung của (C) đi qua O. Gọi P là một
giao điểm của đoạn thẳng CD với (C’). EF là một dây cung của (C’) qua O và Q là
một giao điểm đoạn EF với (C) . Chứng minh AB, CQ, EP đồng quy.
Nhận xét: với giả thiết O là trung điểm của AB ta không khó để dựng hình
phụ để xuất hiện bài toán con bướm.
7

7


Lời giải
K

H

A

M

D

F
I

J

O
Q
P

B

E

C

Gọi H, K lần lượt là giao điểm thứ hai của CD và (C’), của EF và (C). Gọi S, S’
lần lượt là giao của CQ, EP với AB. M là giao của KD và AB.
Áp dụng định lý con bướm ta có O là trung điểm của MS.
Mặt khác do hai đường tròn (C ) và (C’) cung bán kính nên O là trung điểm của
AB thì O cũng là trung điểm của PD, EK. Do đó tứ giác PDEK là hình bình hành.
Suy ra :

∆KOM = ∆EOS'( g.c.g ) ⇒ OM = OS'

hay O là trung điểm của MS’. Vậy S, S’ trùng nhau. Ta được đpcm.
VD3 : (Singapore 2011)
Cho tam giác ABC nhọn, không cân với AB > AC. O, H lần lượt là tâm đường
tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC. Gọi D là chân đường cao hạ từ A
của tam giác ABC. Lấy Q thuộc cạnh AC, kéo dài HQ cắt BC tại P sao cho D là
trung điểm của PB. Chứng minh ODQ là một góc vuông.
Nhận xét: Để chứng minh QR và OD vuông góc ta nghĩ đến việc kéo dài QD để
dựng hoàn chỉnh dây cung EF. Khi đó ta cần chứng minh O là trung điểm của EF.
Lời giải

8

8

A

E
P

Q

O
H

C
D
R
G

B
F

Gọi G là giao của AD với (O), ta có D là trung điểm của GH. Gọi R là giao
của QD và BG.
Theo gt suy ra D đồng thời là trung điểm của BP và HG nên BGPH là hình bình
hành. Do vậy D là trung điểm của QR.
Theo định lý con bướm áp dụng với tứ giác nội tiếp ACGB ta được D cũng là
trung điểm của EF. Vậy OD và EF vuông góc hay ta được đpcm.
VD4 : (Moldova TST 2010)
Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm và M là trung điểm của BC. Kẻ đường
thẳng qua H vuông góc với HM cắt AB, AC lần lượt tại P và Q.
Chứng minh MP = MQ.
Lời giải

9

9


A

D
K

F
Q

H
E

B

P

M

C

Coi d là đường thẳng PQ . Vì d vuông góc với HM nên ta nghĩ đến việc dựng một
đường tròn tâm M.
Gọi D,K lần lượt là chân đường cao ứng với hai đỉnh B, C ta có DKHC là một tứ
giác nội tiếp. Dung định lý con bướm ta có ngay H là trung điểm của PQ ta đó ta
suy ra đpcm.
VD5 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I là tâm đường tròn nội tiếp.

Đường thẳng BI, CI cắt đường tròn tại E và F. Gọi K, D lần lượt là giao điểm của
AI với EF và BC. Biết AB + AC = 2BC. Chứng minh I là trung điểm của KD.
Lời giải

10

10


A

F

K

E

I

B
D
C
M

Gọi M là giao khác A của AI và (O). Ở đây xuất hiện bài toán con bướm với tứ
giác nội tiếp là BCEF. Do đó ta cần chứng minh I là trung điểm của AM.
Thật vậy:
∆MAC : ∆BAD( g .g ) ⇒

Dễ thấy

MC BD ID CD BD + CD BC 1
=
=
=
=
=
=
MA BA IA CA BA + CA 2 BC 2

.

Cũng dễ dàng chứng minh tam giác MIC cân tại M nên MC = MI. Do đó IM = IA
suy ra đpcm.
VD6 : Cho hai tam giác nhọn A1BC và A2 BC cùng nội tiếp đường tròn (O) và trực
tâm lần lượt là H1, H2. Gọi M, N thứ tự là giao của H1H2 với A2B và A2C. Biết góc
A1H2H1 = 900. Chứng minh A1M = A1N.
Lời giải

11

11


A2
A1

B'
C'

N
O

M

B

H1

H2

I

C

Gọi I là trung điểm BC. Dựng các đường cao BB’ và CC’ của tam giác A2 BC.
0
Trước tiên từ gt góc A1H2H1 = 90 chứng minh A1, H2, I thẳng hàng.

Sau đó áp dụng định lý con bướm đối với đường tròn đường kính BC ta được H2M
= H2N nên suy ra đpcm.

IV. MỞ RỘNG BÀI TOÁN CON BƯỚM
Dạng mở rộng: Cho đường tròn (O) với dây cung AB. I là trung điểm của AB.
MN và PQ là hai dây cung của (O) cắt AB thứ tự tại P và S . Khi đó PS và EF có
cùng trung điểm là I.
Bài toán trên còn được gọi là bài toán con bướm kép.
Nhưng ta còn thấy rằng định lý con bướm trên phát biểu không chỉ đúng cho
đường tròn mà còn đúng với elip, parabol và hypabol nữa gọi chung là ba đường
conic.

12

12


Định lý 1: Cho 1 đường conic (C) với AB là một dây cung. Gọi PQ, MN là hai
dây cung khác của (C) cùng đi qua trung điểm I của AB. Giả sử MP, NQ thứ tự cắt
AB tại E và F. Khi đó I cũng là trung điểm của EF.
Nếu thay các đường conic bằng các cặp đường thẳng ta cũng được bài toán
tương tự , cụ thể
Định lý 2: Cho B, C là hai điểm tùy ý thứ tự thuộc hai đường thẳng d1, d2
phân biệt. Gọi I là trung điểm của BC. Gọi MN, PQ là hai đoạn thẳng cùng đi qua I
khác BC, trong đó M, Q thuộc d1; N, P thuộc d2. Giả sử E,F thứ tự là giao của
PM ,QN với đường thẳng BC. Khi đó I là trung điểm của EF.
Chứng minh:
TH1: d1, d2 song song thì đây là trường hợp tầm thường.
TH2: d1, d2 cắt nhau tại A.
A

P
M
E
B

I
C
F

N

Q

Không mất tính tổng quát ta xét hình vẽ bên.
Áp dụng định lý Menenauyt cho tam giác ABC với các cát tuyến EMP và FNQ ta
EB PC MA
.
.
= 1 nên
EC PA MB
FC QB NA
.
.
= 1 nên
FB
QA
NC
có:
13

EB PA MB
=
.
(1)
EC PC MA
FC QA NC
=
.
(2)
FB QB NA

13


Áp dụng định lý Menenauyt cho tam giác ABC với các cát tuyến MIN và QIP ta
MB NA IC
MB NC
.
.
= 1 vì IB = IC nên
=
(3)
MA NC IB
MA NA
PA IC QB
PA QA
. .
= 1 nên
=
(4)
PC IB QA
PC QB

có:
EB FC
=
EC FB

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra

nên BE = CF hay I là trung điểm của EF.

V. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho đường tròn (O) với dây cung PQ và M là trung điểm của PQ.Gọi AB,
CD là hai dây cung của (O) cùng đi qua M. Gọi H,K lần lượt là giao điểm của PQ
HA.HC KB.KD
=
2
KM 2
với AC và BD. Chứng minh: HM

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC với AD là đường cao, O, H lần lượt là tâm đường
tròn ngoại tiếp và trực tâm tam giác ABC. Kẻ đường thẳng qua D và vuông góc với
OD cắt AB ở K. Chứng minh g.DHK + g.AHK = 1800.
Bài 3: Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp (I) và đường tròn ngoại tiếp (O).
Đường tròn (I) tiếp xúc với BC tại D. Hai điểm M, S lần lượt là giao điểm của (O)
với AI và AO. Trên đt DM ta lấy điểm X, trên đt AO lấy điểm Y sao cho I, X, Y
thẳng hàng. Chứng minh:

IX = IY ⇔ OI ⊥ XY

Bài 4: Cho tam giác ABC với M là trung điểm của BC. Giả sử AM cắt đường tròn
nội tiếp(I) tam giác ABC tại K, L. Các đường thẳng song song với BC qua K, L cắt
đường tròn (I) tại X, Y. Giả sử AX cắt BC tại P, AY cắt (ABC) tại D, DM cắt
(ABC) tại E, AM cắt (ABC) tại F. Chứng minh E,P, F thẳng hàng.
14

14


Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Các đường chéo AC, BD cắt

nhau tại I khác O. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với OI cắt AB, CD lần lượt tại
M, N. Chứng minh AB = CD khi và chỉ khi BM = CN.
Bài 6: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng d qua O
cắt các đường tròn ngoại tiếp các tam giác OAB, ABC, OCD, ODA lần lượt tại M,
N, P, Q khác O. Chứng minh O là trung điểm của đoạn MP khi và chỉ khi nó là
trung điểm của đoạn NQ.
Bài 7: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I và một đường thẳng d
cắt AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q. . Chứng minh I là trung điểm của
đoạn MP khi và chỉ khi nó là trung điểm của đoạn NQ.
Bài 8: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Biết tồn tại bốn điểm
A’, B’, C’, D’ lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho A’B’C’ D’ là hình
bình hành tâm O. Chứng minh ABCD cũng là hình bình hành.
Bài 9: Cho tứ giác ABCD có góc BAD = góc BCD = 900. Gọi E là giao của hai
đường chéo AC và BD. Chứng minh trung điểm nối tâm các đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABE và CDE thuộc đường thẳng BD.
Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). d là đường thẳng tùy ý không
đi qua O và P là hình chiếu của O trên d. Đường thẳng d cắt cácđương thẳng chứa
các cạnh BC, CA, AB tại X, Y, Z. Gọi X’, Y’, Z’ lần lượt là các điểm đối xứng
của X, Y, Z qua P. Chứng minh AX’, BY’, CZ’ đồng quy tại một điểm trên đường
tròn (O).
VI. LỜI KẾT.
15

15


Qua việc giới thiệu nội dung và các biến tấu phong phú của mô hình bài toán
con bướm, ta thấy đây là một vấn đề hay có nhiều ứng rộng đặc sắc và các hướng
phát triển sâu hơn. Tuy nhiên do trình độ còn hạn chế nên bài viết trên chỉ nhằm
mục đích tổng hợp và phân tích được một số vấn đề. Rất mong nhận được nhiều ý

kiến đóng góp quý giá của đồng nghiệp về các hướng mở rộng và phát triển sâu
hơn ứng dụng của nó. Xin chân thành cảm ơn.
VII. TƯ LIỆU THAM KHẢO
1. Tài liệu chuyên toán hình học 10.
2. Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ.
3. Tài liệu của Hoàng Minh Quân (mạng Mathscope.com).
4.Các chuyên đề hình học bồi dưỡng HSG trung học cơ sở (Trần Văn Tấn)

16

16