Quang học Giáo trình, bài giảng dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng

TR

NGăĐ IăH CăPH MăVĔNăĐ NG


QUANG HỌC

Biên soạn: ThS. Nguyễn Đình Đức

Tháng 5-2015
L UăHÀNHăN IăB


2

 QUANG HỌC

TR

NGăĐ IăH CăPH MăVĔNăĐ NG


QUANG HỌC
Dùngăchoăsinhăviênăs ăph m ngƠnhăV tălý

Tháng 5-2015


QUANG HỌC

3

M cl c
5

M Đ U
Ch

ng 1. THUY T ĐI N T

ỄNH SỄNG

1.1. S l c Thuy t Đi n t ánh sáng
1.2. Các đ i l ng tr c quang
Ch
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.

3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.

ng 4. S

ng 5. S

12
13
18
21
25
34
40
43
48

GIAO THOA ÁNH SÁNG
53
53
58
59
64
67

NHI U X ÁNH SÁNG

Nguyên lý Huygens-Fresnel
Ph ng pháp đới c u Fresnel
Nhi u x c a sóng c u qua các v t c n khác nhau
Nhi u x c a sóng phẳng
Cách tử nhi u x
Bài t p ch ng 4
Ch

5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.

ng 3. S

Nguyên lý chồng ch t
S giao thoa - Nguồn k t h p
Các ph ng pháp quan sát vân giao thoa
Giao thoa trên các b n m ng
ng d ng hi n t ng giao thoa
Bài t p ch ng 3
Ch

4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.

ng 2. QUANG HÌNH H C

Các khái ni m c b n
Các đ nh lu t và nguyên lý c b n
G ng phẳng, g ng c u
L ng ch t phẳng, b n mặt song song, lăng kính
Mặt c u khúc x , th u kính m ng

H đồng tr c
M t và các t t c a m t
Các quang c dùng cho m t
Bài t p ch ng 2
Ch

7
8

70
72
74
76
80
88

PHÂN C C ÁNH SÁNG

Ánh sáng t nhiên và ánh sáng phân c c
S phân c c ánh sáng do ph n x và khúc x - Đ nh lu t Brewster
S phân c c ánh sáng do l ng chi t
Ánh sáng phân c c elip, phân c c tròn
S quay mặt phẳng phân c c
Bài t p ch ng 5

90
91
92
95
98

101


4

 QUANG HỌC

Ch

ng 6. S

TÁN S C, S

H P TH VÀ S

TÁN X

ÁNH SÁNG
6.1.
6.2.
6.3
6.3.

S
V
S
S

tán s c ánh sáng
n t c pha, v n t c nhóm

h p th ánh sáng
tán x ánh sáng
Ch

102
104
107
109
ng 7. B C X NHI T

7.1. B c x nhi t
7.2. Các đ nh lu t b c x c a v t đen tuy t đ i
7.3. Thuy t l ng tử năng l ng c a Planck
7.4.
ng d ng các đ nh lu t b c x nhi t
Bài t p ch ng 7
Ch
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.

ng 8. LÝ THUY T H T V ÁNH SÁNG

Hi n t ng quang đi n
Thuy t l ng tử ánh sáng
Hi n t ng quang đi n trong
Hi u ng Compton

Áp su t ánh sáng
S phát quang
Bài t p ch ng 8
Ch

112
114
115
116
117

ng 9. S L

118
120
122
123
125
126
128

C V LASER VÀ QUANG H C PHI TUY N

9.1. S l c v laser
9.2. Một s hi n t ng v quang h c phi tuy n
TƠi li u tham kh o

130
133
135

QUANG HỌC

5

M ăĐ U
Quang h c lƠ ngƠnh khoa h c kh o sát vƠ gi i thích các hi n t ng liên quan đ n
ánh sáng (th y đ c vƠ không th y đ c). NgƠy nay, có s th ng nh t gi a b n ch t
ánh sáng vƠ các lo i sóng đi n t khác nên đ i t ng nghiên c u c a quang h c không
chỉ d ng l i ánh sáng th y đ c (có b ớc sóng kho ng t 0,4m đ n 0,8 m) mà
m rộng các lo i sóng đi n t có b ớc sóng t ng n đ n dƠi; ngoƠi ra có nh ng ngƠnh
nghiên c u s chuy n động c a các dòng h t có s t ng t nh chùm tia sáng g i lƠ
quang h c l ng tử, quang h c Newton....
NgƠnh quang h c phát tri n ít nh t hƠng trăm năm tr ớc công nguyên. Có th
chia lƠm 3 giai đo n:
Giaiăđo nă1:ă
T khi con ng i b t đ u tìm hi u v ánh sáng đ n khi có nh ng gi thuy t đ u
tiên ra đ i: Đư có nh ng nghiên c u thô s v ánh sáng vƠ chỉ có nh ng hi u bi t c
b n v quang hình h c. Kho ng 350 năm tr ớc công nguyên, Aristote đư nghiên c u
v hi n t ng khúc x ánh sáng nh ng mưi đ n năm 1630 Descarter mới thƠnh l p
đúng công th c c a đ nh lu t.
Giaiăđo nă2:ă
B t đ u t khi có nh ng gi thuy t đ u tiên v b n ch t ánh sáng (th kỷ 17) đ n
khi xác nh n đ c b n ch t đi n t c a ánh sáng (th kỷ 19). Có 2 gi thuy t tồn t i
đồng th i:
- Thuy t phát x ánh sáng (gi thuy t đ u tiên v b n ch t ánh sáng) c a Newton
(1642 - 1727): Theo Newton, ánh sáng lƠ nh ng dòng h t r t nh có tính ch t c h c,
truy n đi với v n t c r t lớn. Dùng gi thuy t nƠy, ông gi i thích các hi n t ng ph n
x , khúc x một cách c h c. Cũng theo thuy t nƠy, khi dòng h t ánh sáng đi vƠo môi

tr ng ắđặt” h n nh thuỷ tinh, n ớc thì nó b môi tr ng nƠy hút, lƠm tăng v n t c.
Gi thuy t nƠy b đánh đỗ khi Foucault (1850) đo đ c v n t c ánh sáng trong các
môi tr ng khác nhau.
- Thuy t sóng ánh sáng c a Huygens (1629-1695): Theo ông, ánh sáng gồm các
mặt sóng hình c u kh i đ u t nguồn vƠ lan truy n trong không gian, khi truy n tới
đơu thì sinh ra mặt sóng th c p tới đó, bao hình các mặt sóng th c p lƠ mặt sóng
mới. Thuy t nƠy gi i thích đ c hi n t ng ph n x , khúc x vƠ theo ông, khi mặt
sóng truy n trong môi tr ng "đặt" h n thì v n t c truy n s nh h n. Gi thuy t nƠy
đư không đ c chú ý, mưi đ n một th kỷ sau thì đ c cổ vũ nhi t li t vì nó gi i thích
đ c hi n t ng giao thoa, nhi u x v.v... Nh ng thuy t c a Huygens l i không gi i
thích đ c hi n t ng phơn c c ánh sáng, hi n t ng nƠy cho th y sóng ánh sáng là
sóng ngang. Đi u nƠy đ c Maxwell kh c ph c khi ông đ a ra thuy t đi n t ánh sáng
(1864). Thuy t đi n t ra đ i xác nh n tính ch t sóng c a ánh sáng nh ng ch a nói


6

 QUANG HỌC

đ n môi tr ng mang sóng y vƠ cũng không gi i thích đ c tính v t ch t c a ánh
sáng, nghĩa lƠ không gi i thích đ c các hi u ng do ánh sáng gơy nên.
Giaiăđo nă3:ă
Đi sơu tìm hi u b n ch t ánh sáng vƠ m rộng hi u bi t v th giới v t ch t.
S ra đ i c a Thuy t l ng tử năng l ng c a Planck (1900) m đ u cho v t lý
h c hi n đ i, khám phá nh ng qui lu t đặc thù c a th giới vi mô. Ti p theo Planck,
năm 1905, Einstein đ a ra thuy t l ng tử ánh sáng (thuy t photon) vƠ gi i thích đ c
các hi u ng do ánh sáng gơy nên, đó ng i ta th y rằng ánh sáng lƠ h t ch không
ph i sóng. Cũng t đó ngƠnh quang h c l ng tử ra đ i. Thuy t l ng tử ánh sáng
không h ph nh n thuy t đi n t ánh sáng. Đi u đó đư đ c xác nh n trong các công
trình nghiên c u v s thăng giáng l ng tử khi c ng độ chùm sáng y u.

NgƠy nay thuy t đi n t ánh sáng vƠ thuy t l
thuy t đúng đ n nh t v b n ch t ánh sáng.

ng tử ánh sáng đ

c coi lƠ hai

Giai đo n phát tri n mới nh t c a quang h c hi n đ i có th k t khi ch t o
đ c nguồn sáng có độ đ n s c cao vƠ công su t lớn đó lƠ laser. Một s tính ch t c a
môi tr ng nh chi t su t, h s h p thu v.v... không ph thuộc vƠo nguồn sáng thông
th ng nh ng với nguồn sáng m nh (c 108W/cm2 hoặc lớn h n) các tính ch t nói
trên c a môi tr ng ph thuộc ch y u vƠo c ng độ b c x đi qua. Ph n quang h c
nghiên c u các hi n t ng mƠ tính ch t c a môi tr ng ph thuộc ch y u vƠo c ng
độ b c x g i lƠ quang h c phi tuy n.
S phát tri n c a v t lý laser vƠ quang h c phi tuy n không nh ng đ a đ n
nhi u ng d ng mới trong kỹ thu t mƠ còn dẫn đ n nhi u phát minh mới lƠm sáng t
b n ch t ánh sáng.


QUANG HỌC

Ch

7

ngă1

THUY T ĐI N T

ÁNH SÁNG

Thuyết Điện từ ánh sáng của James Clerk Maxwell (1865) khẳng định b n chất
điện từ của ánh sáng trên cơ sở so sánh các tính chất giống nhau giữa sóng ánh sáng
và sóng điên từ. Nội dung chương này trình bày sơ lược về thuyết điện từ ánh sáng,
các đ i lượng và các đơn vị trắc quang.
1.1. THUY TăĐI NăT ăỄNHăSỄNG
1.1.1. S ăl

căv ăthuy tăđi năt ăánhăsáng

Sóng đi n t đ

c đặc tr ng b i véct c

ng độ đi n tr

ng E vƠ t tr

Các véct E và H luôn vuông góc nhau và cùng vuông góc với ph

ng H .

ng truy n sóng

(nghĩa lƠ vuông góc với véct v n t c v ). Ba véct E , H và v t o thƠnh một tam di n
thu n (hình 1-1).
Tính ch t c a sóng đi n t :
- Sóng ngang,

E

mỗi đi m trong không gian,

E và H bi n thiên tu n hoƠn theo th i gian.

- Ph n x , khúc x trên các môi tr
su t đ i với chúng.
- Gơy nên hi n t
phơn c c.
- T i theo năng l

ng trong

v

O

ng giao thoa, nhi u x ,
H

ng khi lan truy n.

Hình 1-1

Sóng ánh sáng lƠ một lo i sóng đi n t có b n ch t đi n t nh m i b c x đi n
t khác. Th c nghi m ch ng t rằng khi lan truy n, sóng ánh sáng đ u t i theo năng
l ng. Các hi n t ng giao thoa, nhi u x ch ng t ánh sáng có tính ch t sóng vƠ hi n
t ng phơn c c cho th y sóng ánh sáng lƠ sóng ngang. Trong chơn không, sóng ánh
sáng cũng truy n đi với v n t c bằng v n t c sóng đi n t (3.108m/s).
1.1.2. Thangăsóngăđi năt

N u s p x p sóng đi n t theo th t b ớc sóng gi m d n ta s đ c một thang
sóng đi n t có b ớc sóng liên t c t sóng vô tuy n đ n tia hồng ngo i, ánh sáng th y
đ c, tia tử ngo i, tia R nghen vƠ tia gamma (hình 1-2) .
- Sóng vô tuy n (sóng Hertz): Có b ớc sóng  lớn h n vƠi mm đ n km. Sóng vô tuy n
đ c t o ra bằng máy phát sóng vô tuy n.
- Tia hồng ngo i ( 0,76m    1000m): Do dao động phơn tử c a các v t b nung
nóng phát ra.
- Ánh sáng th y đ
nguyên tử phát ra.

c (0,40m    0,76m): Do các electron

lớp ngoƠi cùng c a

-Tia tử ngo i: Do các electron lớp sơu h n trong nguyên tử c a các v t b nung nóng
nhi t độ cao phát ra (trên 20000C)


8

 QUANG HỌC

-Tia R nghen (tia X; 0,01nm    100A0): Do các electron
nguyên tử phát ra.

lớp sơu nh t trong

-Tia gamma (  0,001nm) : Tia gamma phát ra trong quá trình bi n đổi bên trong h t
nhơn nguyên tử.
 (A0 )

1012
T o ra bằng PP vô tuy n

Sóng Hertz
10

10

108
106
104
102
1

Tia hồng ngo i

Do các electron vƠnh ngoƠi c a
nguyên tử phát ra
Do các electron nằm lớp sơu h n phát ra

Ễnh sáng th y đ
Tia tử ngo i
Tia R nghen

10-2
Tia 

Do các dao động
phơn tử phát ra

c

Do các electron nằm lớp sơu
nh t trong nguyên tử phát ra

Do các h t nhơn nguyên tử
phát ra khi phóng x

Hình 1-2

1.2. CỄCăĐ IăL

NGăTR CăQUANG

1.2.1. Dòngăquangănĕng
Dòng quang năng đi qua di n tích d b t kỳ lƠ l
di n tích đó trong một đ n v th i gian.

ng năng l

ng ánh sáng đi qua

Xem nguồn sáng S phát ra ánh sáng đ n s c có b ớc sóng . G i dQ lƠ l ng
năng l ng ánh sáng truy n qua di n tích d trong th i gian dt. Theo đ nh nghĩa, đ i
l ng
dP =

dQ 
dt

(1-1)

đ c g i lƠ dòng quang năng qua di n tích d. Trong h SI, đ n v đo dòng quang
năng lƠ Watt (vi t t t lƠ W)
N u nguồn S phát ra nhi u b c x đ n s c khác nhau thì


QUANG HỌC

dQ 
dt



dP =

9



1.2.2. Quang thông
Dòng quang năng không cho ta bi t một cách đ y đ c ng độ c a c m giác
sáng gơy nên trên m t. C ng độ c m giác sáng không nh ng ph thuộc vƠo độ lớn
c a dòng quang năng mƠ còn ph thuộc vƠo độ nh y c a m t đ i với ánh sáng có mƠu
s c khác nhau, chẳng h n dòng quang năng c a các tia hồng ngo i vƠ tử ngo i dù lớn
đ n đơu cũng không gơy đ c c m giác sáng m nh mẻ, ng c l i ánh sáng mƠu l c (
=0,555m) s gơy nên c m giác sáng khá m nh ngay c khi công su t c a nó không
lớn l m.
Đ đặc tr ng cho dòng ánh sáng v tác

d ng gơy nên c m giác sáng, ng i ta dùng
một đ i l ng lƠ quang thông. Quang thông
d bằng tích c a dòng quang năng dP với
h s V nƠo đó
d = V. dP

(1-2)

d g i lƠ quang thông c a chùm ánh sáng
đ n s c  đi qua di n tích d trong một đ n
v th i gian. V ph thuộc vƠo  g i lƠ hƠm
s th ki n (hình 1-3)
Quang thông toƠn ph n c a một nguồn sáng đ
 

V
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.70 0.76 m

Hình 1-3

c tính bằng công th c:

2

 V .dP





1

Trong đó 1 và 2 lƠ b ớc sóng giới h n c a mi n ánh sáng th y đ
quang thông nh h n nhi u so với dòng quang năng vì V  1

c. Giá tr c a

Tóm l i: Quang thông là dòng quang năng được đánh giá theo kh năng gây
c m giác sáng trên mắt.
Đ n v c a  lƠ lumen. Đ i với ánh sáng l c  = 0,555m m t nh y nh t nên
l y V = 1; với 0,40m >  > 0,76m thì V = 0
1.2.3. C

ngăđ ăsáng

a.ăGócăkh i
Góc kh i d nhìn th y di n tích d t một đi m S lƠ ph n không gian giới h n
b i hình nón có đỉnh t i S vƠ có các đ ng sinh t a trên chu vi c a d. Tr s c a góc
kh i đ c đo bằng ph n di n tích giới h n trong hình nón c a mặt c u tơm S, bán kính
đ nv.


10  QUANG HỌC
d

d

dn
i

S


n
x

1
r

Hình 1-4

Trong h SI, đ n v đo góc kh i lƠ stêradian (sr). Góc kh i ng với toƠn không gian lƠ
4 sr
G i r lƠ kho ng cách t S đ n d, i lƠ góc gi a pháp tuy n n c a d với Sx, hình
chi u c a d trên mặt phẳng vuông góc với Sx là dn (hình 1-4). Ta có:
d
d n

Vì dn =

d. cosi nên
d cos i
r2

d 

b. C

1
( )2
r



ngăđ ăsángăc aăngu năđi m

Gi sử nguồn đi m S phát ra quang thông d truy n trong góc kh i d. Theo
đ nh nghĩa, tỉ s
I
G i lƠ c

=

d
d

(1-3)

ng độ sáng c a nguồn đi m S.

V y: Cường độ sáng của nguồn điểm S theo phương nào đó là đ i lượng vật lý
có trị số bằng quang thông truyền đi trong 1 đơn vị góc khối nằm theo phương đó .
Đ n v đo c

ng độ sáng lƠ candela (cd).

C ng độ sáng c a cơy n n trung bình lƠ 1cd, bóng đèn dơy tóc 100W kho ng
128cd, mặt tr i kho ng 2,88.1027cd
1.2.4.ăĐ ăchói
Xem một di n tích nguyên t d c a nguồn sáng phát ra quang thông d theo
ph ng Ox, t o với pháp tuy n c a d một góc i (hình 1-5). Theo đ nh nghĩa, đ i
l ng:
Bi 

d
d . d cos i

(1-4)

g i lƠ độ chói c a nguồn theo ph ng Ox trong đó d.cosi = dn lƠ hình chi u c a d
lên mặt phẳng vuông góc với ph ng Ox.


QUANG HỌC  11

d

d

dn
i


n
x

O

Hình 1-5

Đ n v đo độ chói lƠ candela/m2 (cd/m2)
1.2.5.ăĐ ătr ng
Quang thông toàn phần bức x từ một đơn vị diện tích của mặt phát sáng gọi la
độ trưng R của nguồn.
R =

d
d

(1-5)

Đ n v đo độ tr ng lƠ lumen/m2 (lm/m2)
1.2.6.ăĐ ăr i
Độ rọi E đặc trưng cho chùm sáng t i nơi nhận ánh sáng. G i ds lƠ di n tích
đ c r i sáng, d lƠ quang thông toƠn ph n g i tới di n tích ds. Độ r i E trên ds đ c
đ nh nghĩa nh sau:
E =

d
ds

(1-6)

Đ n v đo độ r i lƠ lux.
Độ r i c a mặt tr i gi a tr a kho ng 105 lux, độ r i đ đ đ c sách kho ng 30
lux.


Cơuăh i:
1.1 Sóng đi n t lƠ gì ? Nêu các tính ch t c a sóng đi n t .
1.2. Hưy so sánh vƠ tìm s gi ng nhau, khác nhau gi a sóng ơm vƠ sóng đi n t .


12  QUANG HỌC

Chương 2
QUANG HÌNH HỌC

Quang hình học là phần lý thuyết sử dụng các phương pháp gần đúng kh o sát
về cấu t o hình nh của các vật qua các quang cụ dựa trên các định luật và nguyên lý
truyền thẳng ánh sáng. Nội dung chương 2, trình bày kỹ và nâng cao những kiến thức
về quang hình học mà sinh viên đã được học ở bậc phổ thông; các kết qu lý thuyết có
tính tổng quát và mở rộng ứng dụng trong thực tế.
2.1.ăCỄCăKHỄIăNI MăC ăB N
2.1.1.ăĐi măsáng
LƠ nguồn sáng không có kích th ớc. Trong th c t nguồn sáng nƠo cũng có kích
th ớc nh ng theo quan đi m v t lý, đi m sáng lƠ nguồn sáng có kích th ớc r t bé, có
th b qua so với kho ng cách t đó đ n n i quan sát.
2.1.2. Tia sáng, chùm tia sáng
-Đ

ng truy n c a ánh sáng g i lƠ tia sáng

- T p h p nhi u tia sáng t o thƠnh chùm tia sáng.
N u chùm tia sáng phát xu t t một đi m hay gặp nhau t i một đi m ta có chùm
đồng qui; chùm đồng qui có th lƠ phơn kỳ hay hội t (hình 2.1 a,b). Chùm song song
(hình 2.1c) lƠ tr ng h p đặc bi t, có th xem đó lƠ chùm tia sáng phát xu t t vô c c

(nó t ng ng với một sóng phẳng)

S'

a.Chùm đồng qui

S

b.Chùm phơn kỳ

c.Chùm song song

Hình 2-1

2.1.3.ăV tăth t,ăv tă o,ă nhăth t,ă nhă o
a.V tăth t,ăv tă o
Đi m sáng P g i lƠ v t th t đ i với một quang c n u chùm tia sáng phát xu t t
P là chùm phơn kỳ. N u chùm tia tới lƠ chùm hội t , có đ ng kéo dƠi c t nhau t i P
thì P lƠ v t o (giao c a các tia sáng tới một d ng c quang h c nƠo đó) (hình 2-2)

P (v t th t)
Hình 2-2

P (v t o)


QUANG HỌC  13

b.ă nhăth t,ă nhă o
N u các tia sáng phát xu t t một đi m P, sau khi qua quang c chúng đồng qui

t i một đi m P’ thì P’ lƠ nh c a P (giao c a các tia ph n x hay khúc x )
P’ lƠ nh th t n u các tia sáng qua quang c c t nhau t i P’ ; P’ lƠ nh o n u các
tia sáng đ n P’ lƠ đ ng kéo dƠi c a các tia qua quang c (hình 2-3)

P' ( nh th t)

P' ( nh o)
Hình 2-3

2.2.ăCỄCăĐ NHăLU TăVÀăNGUYểNăLụăC ăB N
2.2.1.ăĐ nhălu tătruy năth ngăánhăsáng
Trong một môi trường trong suốt, đồng tính ánh sáng truyền theo đường thẳng.
2.2.2.ăĐ nhălu tăv ătínhăđ căl păc aăcác chùm tia sáng
Tác dụng của các chùm tia sáng khác nhau là độc lập đối với nhau, nghĩa là tác
dụng của chùm tia sáng này không phụ thuộc vào chùm tia sáng khác.
Đ nh lu t nƠy chỉ đúng đ i với các tia sáng thông th
lớn) thì đ nh lu t nƠy không còn đúng n a.

ng; với tia laser (c

ng độ

2.2.3.ăNguyênălỦăv ătínhăthu năngh chăc aăchi uătruy nătiaăsáng
C
B

A

Hình 2-4
Tia sáng đi t A đ n B theo đ

đi theo đ ng BCA (hình 2-4)

ng ACB thì khi truy n t B v A tia sáng cũng

2.2.4.ăĐ nhălu tăph năx ăánhăsáng

S

Tia sáng truy n t môi tr ng trong su t nƠy
sang môi tr ng trong su t khác thì tia tới s b phơn
chia lƠm 2 tia: Tia ph n x IR vƠ tia khúc x IR'; tia
ph n x đi tr l i môi tr ng th nh t, tia khúc x đi
vào môi tr ng th hai (hình 2-5).

M

Đ nh lu t ph n x ánh sáng xác đ nh v trí tia
ph n x IR:

N

i

R

i'
I
r

N’

R’

Hình 2-5

- Tia ph n x nằm trong mặt phẳng tới và ở bên kia pháp tuyến của mặt phân
giới t i điểm tới.


14  QUANG HỌC

- Ảóc ph n x i’ bằng góc tới i:

i’ = i

Mặt phẳng tới lƠ mặt phẳng xác đ nh b i tia tới vƠ pháp tuy n c a mặt phơn chia
t i đi m tới. Hình 2-5 có (M) lƠ mặt phơn chia gi a 2 môi tr ng, I lƠ đi m tới, IN lƠ
pháp tuy n c a mặt phẳng tới.
Xét tia th hai IR' đi vƠo môi tr

ng th hai, ta có đ nh lu t khúc x ánh sáng.

2.2.5.ăĐ nhălu tăkhúcăx ăánh sáng
Đ nh lu t khúc x ánh sáng xác đ nh v trí c a tia khúc x .
- Tia khúc x nằm trong mặt phẳng tới và ở bên kia pháp tuyến t i điểm tới.
- Khi góc tới thay đổi thì góc khúc x cũng thay đổi nhưng tỉ số giữa sin góc tới
và sin góc khúc x luôn bằng hằng số.
G i r lƠ góc khúc x , ta có :

sini

sinr
Đ il



n 21

(2-1)

ng n21 g i lƠ chi t su t tỉ đ i c a môi tr

ng 2 đ i với môi tr

ng 1

Chi t su t c a một môi tr ng đ i với chơn không g i lƠ chi t su t tuy t đ i c a
môi tr ng đó (g i t t lƠ chi t su t). Môi tr ng có chi t su t lớn h n go lƠ môi
tr ng chi t quang h n.
tr

G i c lƠ v n t c ánh sáng trong chơn không, v lƠ v n t c ánh sáng trong môi
ng nƠo đó. Chi t su t c a môi tr ng đó lƠ :
n 

c
v

(2-2)

S liên h gi a chi t su t tỉ đ i c a hai môi tr

n2
chúng:
n 21 
n1

ng với chi t su t n 1, n2 c a
(2-3)

Dùng k t qu (2-3), ta vi t l i đ nh lu t khúc x nh sau :
n1sini = n2sinr

(2-4)

N u môi tr ng khúc x gồm nhi u môi tr ng có chi t su t n1, n2, ầ, nk khác
nhau đ c phơn cách bằng nh ng mặt phẳng song song (hình 2-6). Đ nh lu t khúc x
đ c suy rộng
n1sini1 = n2sini2 = . . . = nksinik

S

n1
n2

Hình 2-6

nk

i1
i2

ik


QUANG HỌC  15

2.2.6.ăS ăph năx ătoƠnăph n.ă ngăd ng
a.ăHi năt

ngăph năx ătoƠnăph n

Khi tia sáng đi t môi tr ng có chi t su t n1 sang môi tr
với n1 > n2 thì góc khúc x r luôn lớn h n góc tới i.
(môi tr

ng có chi t su t n1 chi t quang h n môi tr

Tăng d n i thì r cũng tăng, khi i đ t giá tr nƠo
đó thì r đ t tới tr s /2 (tia khúc xa nằm trên mặt
phơn giới). Giá tr c a i lúc nƠy g i lƠ igh, n u ti p t c
tăng i (i > igh) thì tia khúc x s không còn n a. ToƠn
bộ tia tới s b ph n x hoƠn toƠn. Đơy lƠ hiện tượng
ph n x toàn phần, góc igh g i lƠ góc tới giới h n.

ng có chi t su t n2

ng có chi t su t n2)

N
igh

i

I

n1
r

n2

Ễp d ng đ nh lu t khúc x , ta có :
sin igh

=

n2
n1

(2-5)

b.ă ngăd ngăvƠăgi iăthíchăcácăhi năt

Hình 2-7

ng

 o nh sa m c: Trên sa m c, lớp không khí sát b mặt có nhi t độ cao h n
lớp bên trên nên chi t su t không khí tăng theo độ cao. Do hi n t ng khúc x vƠ ph n
x toƠn ph n ta th y nh o c a v t r t xa nh ng nh th y v t g n (hình 2-8).

Hình 2-8

Lăng kính ph n x toàn phần: Chi t su t thuỷ tinh lƠm lăng kính (n = 1,5) lớn
h n chi t su t không khí. Góc tới giới h n igh gi a thuỷ tinh vƠ không khí lƠ 420 nên
khi góc tới i = 450 thì x y ra hi n t ng ph n x toƠn ph n. Lăng kính ph n x toƠn
ph n dùng đ thay đổi ph ng truy n c a tia sáng trong các quang c , ví d l t nh
trong ng nhòm (hình 2-9)

Hình 2-9

Sợi quang (hình 2-9):


16  QUANG HỌC

Lớp v b o v

Lõi hình tr chi t su t n1

Lớp v b c chi t su t n2 < n1
Hình 2-10

2.2.7. Nguyên lý Fermat
Đơy lƠ nguyên lý c b n nh t c a quang hình h c. D a vào nguyên lý này và
dùng các l p lu n hình h c ta có th gi i thích ph n lớn các hi n t ng quang h c
quan sát đ c.
a. Quang trình
Quang trình là đo n đường ánh sáng truyền được trong chân không với cùng
trong một kho ng thời gian dt mà ánh sáng truyền được trong môi trường kh o sát.
tr

N u ánh sáng truy n t A đ n B với v n t c v trong th i gian dt trong môi
ng nƠo đó thì quang trình (ký hi u (AB) ) s lƠ:
(AB) =
với dt =

AB
v

Đặt

=

n

c.dt

neân (AB) 

c
AB
v

c
v

(2-6)

Ta có :

(AB) =

n.AB

n g i lƠ chi t su t tuy t đ i (chi t su t) c a môi tr

(2-7a)
ng kh o sát.

Trong th c t dt không th ơm nên AB không ơm. Tuy nhiên có th suy rộng
đ nh nghĩa c a quang trình bằng cách đ nh h ớng lộ trình AB sau khi ch n một qui
ớc d u cho lộ trình đó vƠ vi t AB , lúc b y gi (AB) có th ơm hay d
(AB) =

n AB

ng.
(2-7b)

N u lộ trình (AB) gồm nhi u đo n AI1, I1I2, . . . InB ng với nhi u môi tr
chi t su t n1, n2, ầ nn khác nhau (hình 2-11) thì:
(AB) = n1 AI1  n 2 I1I 2  . . .  n n I n B
n1

n2

nk

I2

I1

In

A
Hình 2-11

B

ng có


QUANG HỌC  17

Tổngă quát: N u chi t su t c a môi tr ng bi n thiên liên t c, ta phơn lộ trình AB
thƠnh nhi u đo n nguyên t dl vƠ trong mỗi đo n đó xem chi t su t nh không đổi. Ta
có:
B

(AB)

=

 n.dl

(2-8)

A

b. Nguyên lý Fermat
Theo đ nh lu t truy n thẳng ánh sáng: Trong mội tr ng đồng tính v mặt quang

h c ánh sáng truy n theo đ ng thẳng, nghĩa lƠ truy n theo con đ ng ng n nh t. N u
môi tr ng không đồng tính, có chi t su t thay đổi liên t c t đi m nƠy đ n đi m khác
thì tia sáng s truy n theo đ ng cong. Dù v y đ ng truy n c a tia sáng vẫn đi theo
con đ ng mƠ th i gian truy n lƠ nh nh t. Đơy lƠ một trong nh ng nội dung c a
nguyên lý Fermat. Nguyên lý hoƠn chỉnh đ c phát bi u nh sau:
Ánh sáng truyền từ điểm này đến điểm khác theo con đường mà quang trình là
một cực trị.
(c c tr có th lƠ c c đ i hay c c ti u)
D ới d ng vi phơn, nguyên lý Fermat đ

c phát bi u nh sau:

Ánh sáng truyền từ điểm này đến điểm khác sẽ đi
theo con đường mà vi phân quang trình triệt tiêu
T nguyên lý Fermat, ta ki m ch ng l i đ nh lu t
ph n x , khúc x ánh sáng nh sau:
 Định luật ph n x ánh sáng:
- Tia ph n x nằm trong mặt phẳng tới:

A

B

J

P

I

Q

Xem tia sáng phát ra t A ph n x trên mặt phẳng
Hình 2-12
(P) t i đi m I vƠ truy n đ n B. (Q) lƠ mặt phẳng ch a A,
B vƠ vuông góc với (P) g i lƠ mặt phẳng tới (hình 2-12). Ta ch ng minh tia ph n x
IB nằm trong mặt phẳng (Q).
G i J lƠ đi m b t kỳ nằm ngoƠi (Q). Ta ch ng minh các quang trình (AJB)
không ph i lƠ nh nh t:
Kẻ IJ vuông góc với giao tuy n MN, ta có AJ > AI vƠ BJ > BI
Nên (AJB) > (AIB)
V y n u tìm đ c một quang trình (AIB) nƠo đó có tr s nh nh t thì đ ng đi
ng với quang trình đó ph i nằm trong (Q). Mặt phẳng (Q) lƠ mặt phẳng tới vì nó
ch a tia tới vƠ vuông góc với (P)
Tìm đ

ng đi c a tia AIB trong (Q).

Xét quang trình (AIB) vƠ (AI’B):
(AIB)

=

[AI + IB ].n

= [AI + IB’].n


18  QUANG HỌC

(AI’B) =

[AI’ + I’B].n

= [AI’ + I’B’].n

A

Nh ng vì AI’B = AI’ + I’B > AB’
nên (AIB) < (AI’B) vƠ I’ lƠ đi m b t kỳ trên
MN nên quang trình (AIB) lƠ c c ti u.
V y tia sáng đi theo đ
tia tới, IB lƠ tia ph n x .

B
N’
i i’

ng AIB với AI lƠ

I’

I

M

N

B’

- Góc ph n x i’ bằng góc tới i:

Hình 2-13

G i B’ lƠ đi m đ i x ng c a B qua MN (hình 2-13). Tam giác BIB’ cơn t i I, v y IN’
lƠ phơn giác c a góc AIB, nghĩa lƠ i’ = i
 Định luật khúc x ánh sáng:
Xem tia sáng đi t A đ n gặp mặt phơn chia gi a 2 môi tr ng, b khúc x rồi đi
đ n B. G i n1 lƠ chi t su t môi tr ng ch a tia tới, n2 lƠ chi t su t môi t ng ch a tia
khúc x .
-Tia khúc x nằm trong mặt phẳng tới (ch ng
minh t ng t nh trên)
-Ch ng minh tỉ s

A
h1

n
sin i
 2
sin r
n1

Gi sử tia sáng truy n theo đ
ta có : (AB) = n1AI + n2IB

i
I
N

M

ng AIB (hình 2-14),

r

x
y

G i M, N lƠ hình chi u c a A, B lên mặt phơn giới vƠ
đặt MI = x ; MN = y ; AM = h1 ; BN = h2 . Ta
có:

h2
B

Hình 2-14

(AB)  n1 h12  x 2  n 2 h 22  ( y  x)2

N u AIB lƠ đ
ki n:

ng truy n th c c a tia sáng thì theo nguyên lý Fermat ta ph i có đi u

(AB)
 0  n 1
x

với sini =
suy ra:

2.3.ăG

x
h12  x 2

x
h 12  x 2

 n2

vaø sinr 

( y  x)
h 22  ( y  x ) 2



y -x
h22  ( y  x ) 2

n1sini = n2sinr
NGăPH NG,ăG

2.3.1.ăS ăph năx ătrênăg

NGăC Uă
ngăph ng

a.ăTínhăch t
- nh vƠ v t đ i x ng nhau qua g

ng

- V t th t cho nh o, v t o cho nh th t (hình 2-15)

0


QUANG HỌC  19

S'

S'

S

(v t th t)

( nh o)

S

( nh th t)

(v t o)

Hình 2-15

- Th tr ng c a g ng phẳng lƠ kho ng không gian
mƠ m t đặt tr ớc g ng chỉ nhìn th y nh c a các

v t nằm trong kho ng không gian có giới h n
tr ớc g ng. Th tr ng g ng phẳng ph thuộc
vƠo v trí đặt m t quan sát (hình 2-16).

M t

S

Hình 2-16

b.ăĐ ăquayăc aă nh

Khi g ng quay quanh tr c O thì nh c a v t A c đ nh s quay trên một vòng
tròn tâm O bán kính OA.
N u g ng quay một góc  thì nh quay một góc 2 cùng chi u với chi u quay
c a g ng (hình 2-17a).
c.ăĐ ăquayăc aătiaăph năx
Khi g ng quay quanh tr c O một góc  (tia tới g
quay một góc 2 (hình 2-17b).

ng c đ nh) thì tia ph n x
A

A

O


2

B
M1

O

M1



M2

M2

A1

A2

a)

2.3.2.ăS ăph năx ătrênăg

B'

2

b)

Hình 2-17

ngăc u

a. Cácăđ nhănghĩa
 G ng c u lƠ một ph n mặt c u ph n x ánh sáng. N u mặt ph n x h ớng v
tâm ta có gương cầu lõm (hình 2-18a), mặt ph n x h ớng ra ngoƠi ta có gương cầu
lồi (hình 2-18b).
+

+


Tr c chính

C

O

O

a)

C

b)
Hình 2-18


20  QUANG HỌC

 O lƠ đỉnh, C lƠ tơm g

ng c u. Đ

ng thẳng qua O vƠ C lƠ tr c chính;  là góc

m .
b.ăCôngăth căg
Ch n chi u d
2-19).
Đặt

ngăc u
ng lƠ chi u truy n ánh sáng trên tr c chính, đỉnh O lƠ g c (hình

OP  s ; OP'  s' ; OC  R

A

Xét tam giác PAC vƠ PAP’ (hình 2-19) , ta có :
 =  + i và  =  + 2i



P

=>  =  + 2 - 2 = 2 - 
hay

 +  = 2

i

+





C

i’

P’

O

(2-9)

Xét nh ng tia g n tr c chính thì các góc ,
,  nh (đo bằng radian) vƠ một cách g n đúng,
ta có :
AO
AO

R
OC
AO
AB


s

OP
AO
AO
 

 s'
OP'

Hình 2-19



(2-10)

Thay các (2-10) vào (2-9) ta có :
AO
AO

s
s'



2AO
R

1
1
2



s
s'
R

Hay

(2-11) lƠ công th c c a g

(2-11)

ng c u (lồi vƠ lõm)

c.ăTiêuăđi m,ătiêuăc ,ătiêuădi n
Xét chùm tia sáng song song tr c chính đ n g ng (đi m sáng
chùm tia ph n x s hội t t i đi m F trên tr c chính, cách O một đo n
OF 

R
2



vô c c),

(2-12)

f

F g i lƠ tiêu đi m chính.

f = OF g i lƠ tiêu c c a g ng c u. Theo qui ớc d u nh trên, với g
c u lõm thì f < 0 , g ng c u lồi thì f > 0.

ng

Mặt phẳng đi qua F vƠ vuông góc với tr c chính g i lƠ tiêu di n c a g
c u. Tiêu di n ch a t t c các tiêu đi m ph c a g ng.

ng

d. nhăc aăv tăquaăg

ngăc u

Đ d ng nh c a đi m, ta dùng 2 trong 4 tia đặc bi t (hình 2-19 a,b,c,d):


QUANG HỌC  21

-Tia song song với tr c chính sau khi ph n x đi qua tiêu đi m F;
-Tia qua tiêu đi m F, sau khi ph n x song song với tr c chính;
-Tia qua tơm C sau khi ph n x s đi theo chi u ng

c l i;

-Tia tới đỉnh O, ph n x đ i x ng với tia tới qua tr c chính.

F

B

A

C

B

A’

O

B’
O

A

A’ F

C

B’

b)

a)

B

B
A’

C

A

F

A

O

B’

B’
A’

O

C

F

d)

c)

Hình 2-19

đ. Đ ăphóngăđ iă nh
Qui ớc y lƠ chi u cao v t AB, y’ chi u cao nh A’B’ lƠ d
lên vƠ ơm n u h ớng xu ng, ta có:

AB  y

A' B' 

,

ng n u chúng h ớng

y'

Theo đ nh nghĩa, tỉ s gi a chi u cao nh vƠ v t g i lƠ độ phóng đ i dƠi 

2.4.ăL
tr

y'
y

(2-13)

NGăCH TăPH NG,ăB NăM TăSONGăSONG,ăLĔNGăKệNH

Ễp d ng đ nh lu t khúc x ánh sáng đ kh o sát s truy n ánh sáng qua các môi
ng khác nhau.
ngăch tăph ng

2.4.1.ăL
đ

=

L ng ch t phẳng lƠ h gồm 2 môi tr ng trong su t có chi t su t khác nhau
c ti p xúc với nhau b i một mặt phẳng. Có hai tr ng h p:
ng h p n2 > n1 (hình 2-20.a,b)

Tr
n1

n1
H

H
S’ ( nh o)
S (v t th t)

n2

a)

S (v t o)
S’( nhth t)

n2

HS’ =

n1
HS
n2

b)

HS' 

n2
HS
n1


22  QUANG HỌC

ng h p n1 > n2 (hình 2-20 c, d)

Tr

n1

n1
H

H
S(v t th t)
S’ ( nh o)

n2

S’( nh th t)
S (v t o)

n2

n
HS'  1 HS
n2

HS' 

c)

n2
HS
n1

d)
Hình 2-20

Đặc bi t với l

ng ch t phẳng n ớc, th y tinh ậ không khí, độ d i nh SS’:

SS’ = HS.

n 1
n

(2 ậ 14)

Trong đó n lƠ chi t su t c a n ớc/th y tinh, xem chi t su t không khí lƠ 1
2.4.2.ăB năm tăsongăsong
a. Đ nhănghĩa

B n mặt song song lƠ môi tr ng trong su t đồng ch t chi t su t n, đ c giới h n
b i hai mặt phẳng song song, hai mặt bên c a b n ti p xúc với cùng một môi tr ng
khác có chi t su t n0 .
b. Đ ăd iăngangătiaăsáng

I
d

i

r

R

n0

n

n0

i

r

P

J
K

T hình v ta có :

H
S

Tia ló JR có ph ng song song với tia tới SI vƠ
b d ch đi kho ng IH = d, d g i lƠ độ d i ngang
c a tia sáng (hình 2-21).
d = IH = IJsin(i ậ r)

e

S’

với IJ 
Hình 2-21

=> d =

e

IK

cos r

e
cos r

(2-15)

sin (i  r )

sin r . cos i
hay d = e (sin i 
)
cos r
cos r

Theo đ nh lu t khúc x , ta có n0sin i = nsinr
=> d = e. sin i (1 

n 0 cos i
n  n 02 sin 2 i
2

)

(2 ậ 16)

(2-16) cho th y độ d i ngang c a tia sáng ph thuộc vƠo b dƠy e c a b n vƠ góc tới i.
N u nhìn vuông góc với mặt b n, góc tới r t nh (i < 100) thì sini  i , cosi  1 vƠ b
qua s h n sin2i, ta có :
d



e.i.(1 

n0
)
n

Chú ý : Có th ch ng minh (2-17) t (2-15) trong tr

(2 ậ 17)
ng h p góc i r t nh nh sau:


QUANG HỌC  23

Sin(i ậ r)  (i ậ r)

và cosr  1

Với công th c đ nh lu t khúc x n0i = nr => r =


d

e.i.(1 

n0
i . Thay vào ta có:
n

n0
)
n

c.ăĐ ăd iă nhăSSẲ
T hình v (2-21), ta có: SS’ = IP với IP = IK ậ PK = e e.tgr. Ta có SS’ =

e(1 

JK
vƠ với JK = IK.tgr =
tg i

tg r
)
tg i

Với n0sini = n.sinr ta tìm đ

n 0 cos i

c: SS’ = e( 1 

n  n 02 sin 2 i
2

)

N u nhìn vuông góc với mặt b n, ta có:
SS’ 

e( 1 

n0
)
n

(2 ậ 18)

Chú ý: Có th ch ng minh (2-18) bằng cách dùng ph
ti p qua l ng ch t phẳng.

ng pháp xác đ nh nh liên

2.4.3.ăLĕngăkính
a. Đ nhănghĩa
Lăng kính lƠ một kh i ch t trong su t lƠm bằng th y
tinh hay th ch anh có d ng lăng tr tam giác.
Các mặt ABCD, ABC’D’ lƠ các mặt bên. Đáy
CC’D’D có th bôi đen hoặc đ s n sùi. Các mặt phẳng
vuông góc với mặt bên (hay c nh) c a lăng kính g i lƠ
các mặt phẳng chính. A lƠ góc chi t quang (hình 2-22)

B

A

C’
D’

C

D

Hình 2-22

Xét s truy n ánh sáng qua lăng kính chi t su t n đặt trong không khí (n 0 =1).

Gi sử tia tới đ n s c nằm trong mặt phẳng chính, sau khi khúc x qua lăng kính, tia ló
cũng nằm trong mặt phẳng chính (hình 2-23).
Góc D h p b i ph

A

ng tia tới vƠ tia ló g i lƠ góc

l ch.
b. Côngăth călĕngăkính

r

D = (i1 ậ r1) + ( i2 ậ r2) = (i1 + i2) ậ (r1 + r2)
Tam giác I1HI2 có : Hˆ = r1 + r2 vì Hˆ = Â nên
A = r1 + r2

(2-19)

Do đó :
D

i1

B

I1

D
r1

H

n

Hình 2-23

=

i 1 + i2 - A

(2-20)

I2 i
2

C


24  QUANG HỌC

(2-19,20) lƠ các công th c quan tr ng đ kh o sát lăng kính
Góc lệch cực tiểu
Áp d ng đ nh lu t khúc x , ta có :
sin i1 = nsin r1 và nsin r2

= sin i2

(2-21)

H ph ng trình (2-19, 20, 21) cho ta tìm đ c góc l ch D khi bi t i1, n và A. Khi góc

tới i1 thay đổi thì góc l ch D cũng thay đổi. Ta kh o sát s thay đổi nƠy.
L y vi phơn h 4 ph

ng trình :

A = r1 + r2
D

=

i1 + i2 - A

sin i1 = nsin r1
nsin r2
ta có

= sin i2

dr1 + dr2 = 0

(a)

dD

(b)

=

di1 + di2

di1.cosi1 = n.dr1.cosr1

(c)

di2.cosi2 = n.dr2.cosr2

(d)

Đ tìm s bi n thiên c a D theo i1 ta tìm đ o hƠm toƠn ph n c a D theo i1. T (b), (c)
và (d) , ta có :
dD

di 1

1 

di 2
di 1

n.dr2 . cos r2 . cos i 1
n.dr1 . cos r1 . cos i 2

 1 

T (a) suy ra dr1 = - dr2 nên
cos i 2 cos r1  cos i 1 . cos r2
cos i 2 . cos r1

cos i 1 . cos r2
dD

 1 

di 1
cos i 2 . cos r1

D đ t c c tr khi

dD
di 1



0

=> cos i2.cos r1 - cos i1.cos r2

=

1  sin 2 i 2 . 1  sin 2 r1



<=> (1 ậ sin2 i2 )(1 ậ sin2 r1)

=

<=>

Vì

sin2i1 = n2sin2r1 và

1  sin 2 i1 . 1  sin 2 r2

(1 ậ sin2 i1) (1 ậ sin2 r2)

n2.sin2r2

nên (1 ậ sin2r1 )(1 ậ n2sin2r2)
=> sin2r1

0

(1 ậ sin2r2) (1 ậ n2sin2r1)

=

= sin2r2

Vì r1 , r2 < /2 nên :

r1 =

r2

L y đ o hƠm b c hai theo i1 :
đ t c c ti u

= sin2i2

d2D
d2D
vƠ
th
y
rằng
khi
r
=
r
thì
> 0 nên D
1
2
di 12
di 12


QUANG HỌC  25

Thay r1 = r2 vƠo ta có h công th c kh o sát lăng kính trong tr
c c ti u.
r1 =

r2

i1 =

i2

A
2

=

Dmin = 2i1 - A
sin i1 =
sin

n.sin

ng h p góc l ch

(2-22)

A
2

A  D min
A
 n. sin
2
2

Chiết suất lăng kính:
T (2-22) th y rằng :
+ Khi góc l ch c c ti u thì tia ló đ i x ng với tia tới qua mặt phơn giác c a góc chi t
quang (lúc này i1 = i2, r1 = r2)
+ Đo Dmin vƠ A ta tính đ
n 

c.

sin

c chi t su t ch t lƠm lăng kính:

A  D min
2
A
sin
2

(2-23)

ngăd ng

Trong kỹ thu t, ng i ta ng d ng các k t qu trên đ tính chi t su t n c a
lăng kinh. Vi c tính n ph i dùng ph ng pháp giác k : Ti n lăng kính có A = 600, n u
lƠ ch t l ng ph i ch a trong hình lăng tr tam giác, sau đó dùng giác k đo D min. Bi t
A tính đ c n theo công th c (2-23).
Lăng kính đ c sử d ng trong máy quang phổ đ phơn tích ánh sáng ph c t p
thƠnh ánh sáng đ n s c.
Trong các tr ng h p khác dùng đ đổi ph ng tia sáng, đ o hình (lăng kính
ph n x toƠn ph n ậxem s ph n x toƠn ph n) v.v...
2.5.ăM TăC UăKHỎCăX ,ăTH UăKệNHăM NG
2.5.1.ăM tăc uăkhúcăx
a. Đ nhănghĩa
Mặt c u khúc x lƠ t p h p hai môi
tr ng trong su t có chi t su t n, n’ đ c

phơn cách b i một mặt c u tơm C, đỉnh O,
bán kính R (hình 2-24).

n’

n
Tr c chính

R
O

Hình 2-24

C