Định lý bốn điểm đối với hàm phân hình và tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình nhiều biến.

1
Header Page 1 of 126.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Năm 1925, R. Nevanlinna công bố bài báo về sự phân bố giá trị của hàm
phân hình trên mặt phẳng phức. Sau đó, nó nhanh chóng được mở rộng sang
trường hợp hàm phân hình nhiều biến phức và ánh xạ chỉnh hình vào không
gian xạ ảnh phức, lập nên lý thuyết mà sau này mang tên Nevanlinna (hay còn
được gọi là Lý thuyết phân bố giá trị). Nhiều ứng dụng đẹp đẽ của lý thuyết
này đã được chỉ ra trong việc nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình, phân hình như:
Bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình, phân hình; Bài toán về tính
Hyperbolic của đa tạp đại số xạ ảnh; Bài toán họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh
hình, phân hình; Bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình.
Phát triển lý thuyết cũng như nghiên cứu ứng dụng của Lý thuyết Nevanlinna trong những lĩnh vực khác nhau đã liên tục thu hút được sự quan tâm
của nhiều nhà toán học trong suốt gần 100 năm qua. Trong bối cảnh đó, chúng
tôi chọn đề tài nghiên cứu: "Định lý bốn điểm đối với hàm phân hình
và tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình nhiều biến".
2. Mục đích nghiên cứu
1. Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh rằng với hai hàm phân hình
khác hằng f và g trên mặt phẳng phức, nếu chúng có cùng ảnh ngược không
kể bội của năm điểm phân biệt thì f = g (Định lý năm điểm) và g là một biểu
diễn phân tuyến tính của f nếu chúng có cùng số ảnh ngược (tính cả bội) của
bốn điểm phân biệt (Định lý bốn điểm). Số điểm cần thiết trong các kết quả
nói trên của R. Nevanlinna đã ở mức ít nhất có thể. Tuy vậy, từ hai kết quả
đó, ta sẽ xuất hiện câu hỏi tự nhiên là: Liệu Định lý bốn điểm có được mở
rộng đến trường hợp không tính bội hay bội được ngắt bởi một mức nào đó
hay không? Vấn đề này thu hút sự quan tâm của H. Cartan, G. Gundersen,
N. Steinmetz, H. Fujimoto, M. Shirosaki, Trần Văn Tấn và nhiều tác giả khác.
Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôi xem xét vấn đề sau: Mở rộng Định
lý bốn điểm nói trên tới trường hợp bội được ngắt với mức thấp và bốn điểm

được thay bởi bốn hàm phân hình nhỏ (so với các hàm f, g đang xét).
Footer Page 1 of 126.


2
Header Page 2 of 126.

2. Một trong những ứng dụng quan trọng của lý thuyết Nevanlinna là nó
cho ta các tiêu chuẩn về tính suy biến hay chặt hơn là tính hằng của các đường
cong (chỉnh hình, phân hình). Trong khi đó, theo nguyên lý Bloch, mỗi định
lý dạng Picard bé (về tiêu chuẩn đường cong hằng) đều tương ứng với một
tiêu chuẩn họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Đó chính là cầu nối giữa lý
thuyết Nevanlinna và lý thuyết về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Nhiều
tiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ các ánh xạ chỉnh hình, phân hình dưới điều kiện
về ảnh ngược của các siêu phẳng, siêu mặt đã được chỉ ra bởi L. Zalcman,
H. Fujimoto, W. Bergweiler, Z. Tu, Phạm Ngọc Mai - Đỗ Đức Thái - Phạm
Nguyễn Thu Trang, Sĩ Đức Quang - Trần Văn Tấn, Y. Zhang và nhiều tác giả
khác. Vấn đề nghiên cứu thứ hai của luận án là: Tính chuẩn tắc cho họ các
ánh xạ phân hình từ một miền trong không gian affine phức vào không gian
xạ ảnh phức dưới điều kiện có cùng ảnh ngược của các siêu phẳng hay siêu
mặt di động.
3. Định lý Picard lớn cổ điển chỉ ra rằng: Mỗi hàm chỉnh hình trên một đĩa
thủng nếu tránh 2 giá trị phân biệt thì có thể thác triển chỉnh hình qua điểm
thủng. Kết quả trên đã được mở rộng sang các trường hợp ánh xạ chỉnh hình
vào không gian xạ ảnh phức dưới điều kiện về ảnh ngược của các siêu phẳng
(cố định hay di động) và của các siêu mặt cố định bởi H. Fujimoto, Z. Tu, Z.
Tu - P. Li và nhiều tác giả khác. Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôi
xem xét vấn đề sau: Thiết lập Định lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vào
phần bù của 2n + 1 siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh phức n chiều.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là Lý thuyết Nevanlinna; Lý thuyết họ
chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, phân hình; Bài toán xác định duy nhất ánh
xạ phân hình; Bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết những vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các
phương pháp nghiên cứu của Lý thuyết phân bố giá trị, Giải tích phức, Hình
học phức; kế thừa và phát triển các kỹ thuật của các tác giả đi trước về các
chủ đề liên quan.
Footer Page 2 of 126.


3
Header Page 3 of 126.

5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài
Đề tài đã thu được các nhóm kết quả sau:
- Định lý về mối quan hệ giữa hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức có
cùng ảnh ngược (với bội được ngắt bởi 1 và bởi 2) của bốn hàm phân hình
nhỏ. Kết quả này tổng quát mạnh mẽ các Định lý bốn điểm của R. Nevanlinna
và của G. Gundersen.
- Tiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ các ánh xạ phân hình từ một miền trong
không gian affine vào không gian xạ ảnh với điều kiện là có cùng ảnh ngược
(không tính bội) của các siêu phẳng hay siêu mặt di động. Đây là kết quả đầu
tiên về tiêu chuẩn họ chuẩn tắc dưới điều kiện có cùng ảnh ngược (không tính
bội) của các siêu phẳng hay siêu mặt (thay vì điều kiện ánh xạ vào phần bù
của các siêu phẳng hay siêu mặt như các kết quả đã có).
- Định lý dạng Picard lớn cho trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào phần bù
của 2n + 1 siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh phức. Kết quả này mở
rộng các kết quả của các tác giả đi trước, từ siêu mặt cố định, siêu phẳng di
động sang siêu mặt di động.

6. Cấu trúc luận án
Nội dung chính của luận án gồm 3 chương:
- Chương 1 trình bày tổng quan về vấn đề nghiên cứu. Ở đó, chúng tôi đề
cập tới các kết quả liên quan, phân tích, so sánh chúng với vấn đề nghiên cứu
của luận án.
- Chương 2 dành cho việc nghiên cứu tính duy nhất của các hàm phân hình
trên mặt phẳng phức dưới điều kiện có cùng ảnh ngược của các hàm phân hình
nhỏ.
- Chương 3 dành cho việc nghiên cứu tiêu chuẩn họ chuẩn tắc các ánh xạ
phân hình từ một miền trong không gian affine phức vào không gian xạ ảnh
có cùng ảnh ngược của các siêu phẳng hay siêu mặt di động và thiết lập Định
lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vào phần bù của 2n + 1 siêu mặt di động
trong không gian xạ ảnh phức n chiều.

Footer Page 3 of 126.


Header Page 4 of 126.

Chương 1

Tổng quan
1.1

Về các hàm phân hình có cùng ảnh ngược của bốn
điểm

Năm 1926, R.Nevanlinna đã chứng minh rằng nếu hai hàm phân hình khác
hằng f và g trên mặt phẳng phức C có cùng ảnh ngược (không tính bội) của
5 điểm phân biệt thì f = g (Định lý năm điểm) và kết quả sau, được gọi là

Định lý bốn điểm:
Định lý 1.1.1. Cho f và g là hai hàm phân hình phân biệt trên mặt phẳng
phức C và bốn điểm phân biệt a1 , a2 , a3 , a4 ∈ C∪{∞}. Giả sử νf −aj = νg−aj (j =
1, 2, 3, 4), ở đây νϕ là divisor các không điểm của hàm phân hình ϕ.
Khi đó, g là một biểu diễn phân tuyến tính của f (bởi một công thức chỉ
phụ thuộc vào các điểm aj ), hai trong bốn điểm aj là giá trị Picard của f (giả
sử là a3 và a4 ), tỷ số kép (a1 , a2 , a3 , a4 ) bằng -1.
Các kết quả trên của R.Nevanlinna được mở rộng sang trường hợp ánh xạ
chỉnh hình vào không gian xạ ảnh bởi H.Fujimoto (năm 1975) và bởi L.Smiley
(năm 1983) theo những cách nhìn nhận khác nhau và sau này nó tiếp tục được
nghiên cứu bởi nhiều tác giả khác.
Đối với trường hợp hàm phân hình, một câu hỏi nảy sinh tự nhiên từ các
Định lý bốn điểm và năm điểm của Nevanlinna là: Liệu Định lý bốn điểm có
còn đúng khi thay điều kiện các divisor bằng nhau (tính cả bội) bởi điều kiện
các hàm phân hình f − aj , g − aj có cùng tập không điểm (không tính bội)
như trong Định lý năm điểm hay không?
Footer Page 4 of 126.

4


5
Header Page 5 of 126.

Năm 1983, G. Gundersen đã đưa ra các ví dụ để thấy rằng điều trên là
không được. Có lẽ ngay từ năm 1929, Cartan đã thấy được điều đó khi ông
nêu giả thuyết yếu hơn rằng: Có cùng lắm hai hàm phân hình khác hằng
có cùng ảnh ngược (không tính bội) của bốn điểm cho trước. Tuy vậy, năm
1988 H.Fujimoto đã chỉ ra ngay cả giả thuyết của Cartan cũng không đúng.
Nhưng H.Fujimoto cũng đã chứng minh rằng, giả thuyết của Cartan đúng

cho trường hợp bội của các không điểm được ngắt bởi 2, có nghĩa: Cho f là
hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức và bốn điểm a1 , a2 , a3 , a4 trên
C ∩ {∞}. Khi đó, có không quá hai hàm phân hình khác hằng g thỏa mãn:
min{νf −aj , 2} = min{νg−aj , 2}, với j = 1, 2, 3, 4 (chú ý rằng, ta có thể đồng
nhất mỗi divisor ν =

t λt at

trên C với hàm ν : C −→ Z cho bởi ν(at ) = λt ,

và ν(z) = 0 với những z nằm ngoài tập {at }).
Hàm đặc trưng Tf (r) của hàm phân hình f được cho bởi công thức:
2π

2π

1
log f (reiθ ) dθ −
2π

1
Tf (r) :=
2π
0

log f (eiθ ) dθ (r > 1),
0

trong đó f = (f0 : f1 ) là biểu diễn rút gọn của f và f = |f0 |2 + |f1 |2

1/2

.

Ta nói một hàm phân hình a là nhỏ đối với f nếu Ta (r) = o(Tf (r)) khi
r → ∞ (ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn).
Năm 2005, T.V. Tan - D.D. Thai đã mở rộng kết quả trên của H. Fujimoto
sang trường hợp mà ở đó {aj } là các hàm phân hình nhỏ.
Trở lại với kết quả của Nevanlinna, năm 1983 (đính chính và bổ sung năm
1987), G. Gundersen đã mở rộng kết quả của R.Nevanlinna tới trường hợp mà
ở đó bội của các không điểm được tính ứng với hai điểm và không tính tới ứng
với hai điểm còn lại:
Định lý 1.1.2. Cho hai hàm phân hình f và g trên C và bốn điểm phân biệt
a1 , a2 , a3 , a4 ∈ C ∪ {∞}. Nếu
min{νf −aj , 1} = min{νg−aj , 1} với j = 1, 2, và νf −aj = νg−aj với j = 3, 4.
Khi đó f, g thỏa mãn giả thiết của Định lý bốn điểm của Nevanlinna.
Footer Page 5 of 126.


6
Header Page 6 of 126.

Như vậy, câu hỏi tự nhiên nói trên được điều chỉnh thành: đâu là giá trị
bé nhất cho mức ngắt các bội không điểm?
Trước khi xem xét câu hỏi trên, chúng ta phát biểu kết quả sau của M.
Shirosaki, kết quả đầu tiên mở rộng Định lý bốn điểm sang trường hợp các
điểm được thay bằng các hàm phân hình nhỏ.
Định lý 1.1.3. Cho f và g là hai hàm phân hình phân biệt trên mặt phẳng
phức và a1 , a2 , a3 , a4 là bốn hàm phân hình nhỏ (so với f ). Giả sử νf −aj = νg−aj
với mọi j ∈ {1, 2, 3, 4}. Khi đó, tồn tại các hàm phân hình a, b, c, d nhỏ so với

af + b
và một thứ tự của các giá trị {a1 , a2 , a3 , a4 }
f , ad − bc = 0, sao cho g =
cf + d
sao cho tỷ số kép của chúng bằng −1.
Năm 2003, W.Yao mở rộng kết quả nêu trên của G.Gundersen tới trường
hợp các điểm được thay bằng các hàm phân hình nhỏ, hay nói cách khác mở
rộng kết quả của M. Shirosaki tới trường hợp không tính bội của không điểm
ứng với hai hàm và tính cả bội ứng với hai hàm còn lại.
Liên quan tới hướng nghiên cứu này, chương 2 của luận án tập trung vào
việc mở rộng các kết quả của các tác giả trên tới trường hợp mà ở đó bội của
các không điểm không tính tới ứng với hai hàm và bội được ngắt bởi 2 ứng với
hai hàm còn lại, có nghĩa là: min{νf −ai , 1} = min{νg−ai , 1} với mọi i = 1, 2 và
min{νf −aj , 2} = min{νg−aj , 2} với j = 3, 4. trong đó ak là các hàm phân hình
nhỏ so với f.
Từ những phân tích trên ta thấy, vấn đề còn lại là liệu có thể mở rộng Định
lý bốn điểm tới trường hợp: min{νf −ai , 1} = min{νg−ai , 1} với mọi i = 1, 2, 3
và min{νf −a4 , 2} = min{νg−a4 , 2}. Đây vẫn là câu hỏi mở đối với cả hai trường
hợp ak là các điểm hay các hàm.
Trước khi kết thúc vấn đề này, chúng tôi cũng muốn giới thiệu một cách
tiếp cận khác được một số tác giả như T. Czubiak-G. Gundersen, N.Steinmetz
quan tâm là hai hàm phân hình có cùng ảnh ngược không tính bội của bốn
cặp điểm, và tính bội đối với cặp điểm thứ năm.

Footer Page 6 of 126.


7
Header Page 7 of 126.

1.2

Tiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ các ánh xạ phân
hình

Một họ các ánh xạ chỉnh hình được gọi là chuẩn tắc nếu mỗi dãy của nó
đều chứa dãy con hội tụ đều trên các tập con compact tới một ánh xạ chỉnh
hình. Đây là một khái niệm cổ điển được đề cập lần đầu bởi Motel năm 1912
đối với hàm chỉnh hình. Tới nay, nó đã được phát triển thành lý thuyết họ
chuẩn tắc, một nhánh của Giải tích phức, Hình học phức. Theo nguyên lý
Bloch, mỗi tiêu chuẩn ánh xạ hằng (dạng Định lý Picard bé) đều tương ứng
với một tiêu chuẩn về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Như vậy, tiêu chuẩn
họ chuẩn tắc các ánh xạ có liên quan mật thiết với tiêu chuẩn ánh xạ hằng và
do đó có thể nghiên cứu nó từ công cụ của Lý thuyết Nevanlinna.
Cho f là một ánh xạ phân hình trên miền D trong không gian affine phức
Cm vào không gian xạ ảnh phức CP n . Khi đó, với a ∈ D, f có biểu diễn rút
gọn f = (f0 , · · · , fn ) trên lân cận U của a trong D nghĩa là với mỗi fi là một
hàm phân hình trên U và f (z) = (f0 (z) : · · · : fn (z)) ngoài một tập giải tích
I(f ) := {z : f0 (z) = · · · = fn (z) = 0} (tập không xác định của f ) có đối chiều
≥ 2.
Năm 1974, H.Fujimoto đã mở rộng khái niệm họ chuẩn tắc sang trường
hợp ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh:
m
- Một dãy {fk }∞
vào CP n
k=1 các ánh xạ phân hình từ miền D trong C

được gọi là hội tụ phân hình trên D đến một ánh xạ phân hình f từ D vào
CP n nếu với mỗi z ∈ D, và fk có biểu diễn rút gọn fk = (fk0 , · · · , fkn ) trên
lân cận U (chung cho tất cả các k) nào đó của z sao cho {fki }∞

k=1 hội tụ đều
trên các tập con compact của U đến hàm chỉnh hình fi (0 ≤ i ≤ n) trên U
thỏa mãn (f0 , · · · , fn ) là một biểu diễn của f trong U.
- Một họ F các ánh xạ phân hình từ miền D trong Cm vào CP n được gọi
là chuẩn tắc phân hình trên miền D nếu mọi dãy trong F đều trích ra được
dãy con hội tụ phân hình trên D.
Với khái niệm trên, H.Fujimoto đã đưa ra kết quả sau:
Định lý 1.2.1. Cho F là một họ các ánh xạ phân hình từ miền D ⊂ Cm vào
Footer Page 7 of 126.


8
Header Page 8 of 126.
(2n+1)

CP n và cho {Hj }j=1

là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong CP n (theo

nghĩa giao của mỗi (n + 1) siêu phẳng trong chúng đều bằng rỗng) sao cho với
mỗi f ∈ F, thì f (D) ⊂ Hj (j = 1, . . . , 2n + 1) và với mỗi tập con compact cố
định K trong D, độ đo Lebesgue 2(m − 1)-chiều của f −1 (Hj ) ∩ K (tính cả bội)
(j = 1, . . . , 2n + 1) là một giá trị bị chặn trên bởi một số không phụ thuộc f.
Khi đó, họ F là chuẩn tắc phân hình trên D.
Năm 2005, Z.Tu-P.Li đã mở rộng kết quả trên sang trường hợp siêu phẳng
di động (theo nghĩa hệ số xác định phương trình siêu phẳng là các hàm chỉnh
hình theo biến z thuộc miền D):
Định lý 1.2.2. Cho F là một họ các ánh xạ phân hình từ miền D ⊂ Cm vào
(2n+1)

CP n và cho {Hj (z)}j=1

là các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát tại từng

điểm trong CP n (theo nghĩa tại mỗi z ∈ D các siêu phẳng cố định {Hj (z)}
ở vị trí tổng quát trong CP n ) sao cho với mỗi tập con compact K của D, độ
đo Lebesgue 2(m − 1)-chiều của f −1 (Hj ) ∩ K (tính cả bội) (j = 1, . . . , 2n + 1)
là một giá trị bị chặn trên không phụ thuộc vào f. Khi đó, họ F là chuẩn tắc
phân hình trên D.
Năm 2005, P.N. Mai - D.D. Thai - P.N.T. Trang mở rộng kết quả của H.
Fujimoto sang trường hợp mà ở đó các siêu phẳng Hj được thay thế bằng các
siêu mặt cố định.
Năm 2008, S.D. Quang - T.V. Tan đã mở rộng các kết quả trên sang trường
hợp siêu mặt di động (các hệ số trong đa thức xác định các siêu mặt là các
hàm chỉnh hình trên miền D) và bội các giao điểm ứng với một số siêu mặt
được bỏ qua.
Định lý 1.2.3. Cho F là một họ các ánh xạ phân hình trên miền D ⊂ Cm
vào CP n và {Qj (z)}qj=1 là các siêu mặt di động ở vị trí tổng quát yếu trong
CP n (theo nghĩa, tồn tại một điểm z0 ∈ D để các siêu mặt cố định sinh bởi
{Qj (z0 )}qj=1 là ở vị trí tổng quát trong CP n ). Giả sử:
i) Với mỗi tập con compact cố định K của D, diện tích Lebesgue 2(m − 1)chiều của f −1 (Qj ) ∩ K (tính cả bội, j = 1, . . . , n + 1) bị chặn trên bởi một giá
trị không phục thuộc vào f ∈ F .
Footer Page 8 of 126.


9
Header Page 9 of 126.

ii) Tồn tại tập con giải tích mỏng S ∈ D sao cho với mỗi tập con compact K
của D, độ đo Lebesgue 2(m−1)-chiều của f −1 (Qj )∩(K−S), (không tính bội, j =

1, . . . , n + 1) bị chặn trên bởi một giá trị không phụ thuộc vào f ∈ F .
Khi đó, họ F là chuẩn tắc phân hình trên D.
Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng, trong các kết quả nói trên, bội giao luôn
được tính trong độ đo Lebesgue của các divisor trên mỗi tập compact (ngay
cả kết quả của S. D. Quang - T. V. Tan vẫn cần tính cả bội giao ứng n + 1
siêu mặt).
Lấy cảm hứng từ cách thiết lập các điều kiện cho bài toán xác định duy
nhất ánh xạ phân hình dưới điều kiện có cùng ảnh ngược của các siêu mặt hay
siêu phẳng, ở chương 3 chúng tôi thiết lập các tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các
ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược (không tính bội) của các siêu phẳng và
các siêu mặt di động ở vị trí dưới tổng quát.
Ở mục 3.2 của chương 3, chúng tôi đạt được hai kết quả chính sau:
Định lý 1.2.4. Cho X ⊂ CP n là một đa tạp xạ ảnh và Q1 , . . . , Q2t+1 là các
siêu mặt di động trong CP n ở vị trí t-dưới tổng quát trên X. Cho F là một họ
các ánh xạ phân hình f từ miền D ⊂ Cm vào X, sao cho Qj (f ) ≡ 0, với mọi
j ∈ {1, . . . , 2t + 1}. Giả sử:
a) f −1 (Qj ) = g −1 (Qj ) (có nghĩa {z : Qj (f (z)) = 0} = {z : Qj (g(z)) = 0})
với mọi f, g trong F và với mọi j ∈ {1, . . . , 2t + 1},
−1
b) dim(∩2t+1
j=1 f (Qi )) ≤ m − 2 với f ∈ F.

Khi đó, họ F là chuẩn tắc phân hình trên D.
Cho 2t + 1 (t ≥ n) siêu phẳng di động Hj ứng với các đa thức aj0 x0 + · · · +
ajn xn trong HD [x0 , . . . , xn ]. Kí hiệu
D(H1 , . . . , H2t+1 ) :=

(

det(aj i )0≤i, ≤n ).

L⊂{1,...,2t+1},#L=t+1 {j0 ,...,jn }⊂L

Rõ ràng, tại mỗi điểm z thì các siêu phẳng cố định tương ứng H1 (z), . . . , H2t+1 (z)
là ở vị trí t− dưới tổng quát khi và chỉ khi D(H1 , . . . , H2t+1 )(z) > 0.
Đối với mỗi siêu phẳng di động H = aj0 x0 + · · · + ajn xn , ta cho tương ứng
với ánh xạ chỉnh hình H ∗ từ D vào CP n có biểu diễn rút gọn (aj0 : · · · : ajn ).
Footer Page 9 of 126.


10
Header Page 10 of 126.

Định lý 1.2.5. Cho F là một họ các ánh xạ phân hình từ miền D ⊂ Cm vào
CP n . Với mỗi f trong F, giả sử có 2t + 1 siêu phẳng di động H1f , · · · , H(2t+1)f
∗
trong CP n sao cho {Hjf
: f ∈ F} (j = 1, . . . , 2t + 1) là họ chuẩn tắc và tồn

tại một số nguyên dương δ0 thỏa mãn:
D(H1f , . . . , H(2t+1)f )(z) > δ0 , với mọi z ∈ D, f ∈ F.
Cho m1 , . . . , m2t+1 là một số nguyên dương hoặc có thể bằng ∞ sao cho

2t+1 1
j=1 mj

1. Giả sử Hjf (f ) ≡ 0 với mọi j ∈ {1, . . . , 2t + 1}, f ∈ F và hai điều kiện sau
được thỏa mãn:
a) {z : 1 ≤ ν(f,Hjf ) (z) ≤ mj } = {z : 1 ≤ ν(g,Hjg ) (z) ≤ mj } với mọi f, g
trong F, và với mọi j ∈ {1, . . . , 2t + 1},

b) I(f ) ⊂ ∪2t+1
j=1 {z : 1 ≤ ν(f,Hjf ) (z) ≤ mj }, và Hjf (f ) ≡ 0, với mọi j ∈
{1, . . . , 2t + 1} và f ∈ F, trong đó I(f ) là tập tất cả các điểm không xác định
của f.
Khi đó, họ F là họ chuẩn tắc phân hình trên D.

1.3

Định lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vào
phần bù của hợp một số siêu mặt di động trong
không gian xạ ảnh

Định lý Picard lớn cổ điển về thác triển ánh xạ chỉnh hình được phát biểu
như sau:
Định lý 1.3.1 (Định lý Picard lớn). Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ đĩa
thủng

∗
R

⊂ C vào CP 1 . Nếu f tránh 3 giá trị phân biệt trong CP 1 , thì f có

thể thác triển thành một ánh xạ chỉnh hình từ

R

vào CP 1 .

Năm 1972, H. Fujimoto đã tổng quát kết quả trên cho trường hợp ánh xạ
chỉnh hình vào phần bù của 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong CP n .

Ông đã đạt được các kết quả sau:
Định lý 1.3.2. Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ Cm vào CP n . Nếu f tránh
2n + 1 siêu phẳng trong CP n ở vị trí tổng quát thì f là ánh xạ hằng.
Footer Page 10 of 126.

<


11
Header Page 11 of 126.

Định lý 1.3.3. Cho S là một tập con giải tích mỏng thuộc miền D trong Cm
và không có điểm kỳ dị. Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình f từ D \ S vào X là
phần bù của 2n + 1 siêu phẳng H1 , . . . , H2n+1 ở vị trí tổng quát trong CP n đều
có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f từ D vào CP n .
Ngoài ra, bằng công cụ của Lý thuyết Nevanlinna, năm 2006 Z.Tu đã tổng
quát các kết quả trên sang trường hợp mà ánh xạ chỉnh hình f có thể "chạm"
vào các siêu phẳng Hj với bội ít nhất mj (j ∈ {1, . . . , q}, q ≥ 2n + 1) trong đó
m1 , . . . , mq là các số nguyên dương và có thể bằng ∞, với

2n+1 1
j=1 mj

<

q−n−1
n .

Năm 1999, A. Eremeko đã chứng minh kết quả sau:
Định lý 1.3.4. Cho X là một tập con đóng trong CP n (với tôpô thông thường

của đa tạp thực 2n−chiều CP n ) và cho D1 , . . . , D2 +1 là các siêu mặt cố định
trong CP n ở vị trí −dưới tổng quát đối với X. Khi đó, mọi ánh xạ chỉnh hình
+1
f từ C vào X \ (∪2j=1
Dj ) đều là ánh xạ hằng.

Như vậy, kết quả của A. Eremenko thực chất là Định lý Picard bé cho
trường hợp đường cong vào phần bù của các siêu mặt trong không gian xạ
ảnh. Hay nói cách khác, mọi đường cong nguyên vào phần bù của 2n + 1 siêu
mặt cố định ở vị trí tổng quát trong không gian xạ ảnh CP n đều là hằng. Tuy
vậy, Định lý Picard bé không đúng cho trường hợp đường cong vào phần bù
của 2n + 1 siêu mặt di động ở vị trí tổng quát. Nhưng cũng lưu ý thêm rằng,
một kết quả của A. Eremenko - M. Sodin chỉ ra: Không tồn tại ánh xạ chỉnh
hình khác hằng từ C vào phần bù của 2n + 1 siêu mặt di động nhỏ so với f
trong CP n ở vị trí tổng quát.
Từ những phân tích trên chúng ta thấy rằng, vấn đề về Định lý Picard
bé đối trường hợp ánh xạ vào phần bù của các siêu mặt cố định hay di động
trong không gian xạ ảnh đã được giải quyết thỏa đáng. Ở mục 3.3 của chương
3, chúng tôi mở rộng các Định lý Picard lớn của Fujimoto (Định lý 1.3.2 và
Định lý 1.3.3) tới trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào phần bù của 2n + 1 siêu
mặt di động trong CP n .

Footer Page 11 of 126.


Header Page 12 of 126.

Chương 2

Về các hàm phân hình có cùng ảnh ngược của

bốn điểm
Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh Định lý bốn điểm (Định lý 1.1.1)
chỉ ra rằng g là một biểu diễn phân tuyến tính của f nếu chúng có cùng ảnh
ngược (tính cả bội) của bốn điểm phân biệt. Năm 1983 và 1987, G. Gundersen
đã mở rộng Định lý bốn điểm của Nevanlinna sang trường hợp mà ở đó có
ngắt bội ứng với hai giá trị như sau:
Định lý 2.0.5. Cho f và g là hai hàm phân hình phân biệt khác hằng và
a1 , a2 , a3 , a4 là bốn giá trị thuộc C ∪ {∞}. Giả sử min{νf −ai , 1} = min{νg−ai ,1 }
với i = 1, 2, và νf −aj = νg−aj (ngoài một tập rời rạc có hàm đếm không tính
bội bằng o(Tf (r))) với j = 3, 4. Khi đó νf −ai = νg−ai với mọi i ∈ {1, . . . , 4}.
Như đã trình bày trong chương Tổng quan, trong chương này, chúng tôi mở
rộng các kết quả trên tới trường hợp min{νf −ai , 1} = min{νg−ai , 1} với i = 1, 2,
min{νf −aj , 2} = min{νg−aj , 2} với j = 3, 4, và {aj } là các hàm phân hình nhỏ
(đối với f ). Kết quả của chúng tôi gần như là tốt nhất có thể bởi G. Gundersen
đã chỉ ra phản ví dụ rằng Định lý bốn điểm của Nevanlinna không còn đúng
trong trường hợp min{νf −ai , 1} = min{νg−ai , 1} với mọi i ∈ {1, . . . , 4}.
Chương 2 được viết dựa trên bài báo An improvement of the Nevanlinna Gundersen theorem được công bố năm 2011 trên Journal of Mathematical of
Analysis and Application.

Footer Page 12 of 126.

12


13
Header Page 13 of 126.

2.1

Các định lý cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna đối

với hàm phân hình

Trong mục này chúng tôi giới thiệu lại các kí hiệu, định nghĩa cơ bản của
lý thuyết Nevanlinna. Cụ thể là chúng tôi nhắc lại khái niệm các hàm đếm
của một divisor, hàm đặc trưng của một ánh xạ phân hình và hàm xấp xỉ của
một hàm phân hình. Từ đó trình bày lại hai định lý quan trọng của Lý thuyết
Nevanlinna là Định lý cơ bản thứ nhất, Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp
một chiều và trường hợp chiều cao.
Cho ν là một divisor trên C và k, m là một số nguyên không âm hoặc ∞.
Đặt
≥m [k]

ν (z) := 0 nếu ν(z) < m, ≥m ν [k] (z) := min{ν(z), k} nếu ν(z) ≥ m.


0
nếu ν(z) < m
≥m [k]
ν (z) :=

min{ν(z), k} nếu ν(z) ≥ m

Định nghĩa 2.1.1. Hàm đếm của ν được định nghĩa bởi:
r
≥m

≥m

[k]

N (r, ν) =

n(t)
dt (r > 1), trong đó
t

≥m

1

≥m [k]

ν (z).

n(t) =
|z|≤t

Cho một hàm phân hình khác không f trên C, ta định nghĩa hàm đếm các
không điểm của f như sau:
≥m

[k]

Nf (r) :=≥m N [k] (r, νf ).

Để thuận tiên, ta bỏ kí hiệu [k], (≥ m) trong hàm đếm và trong divisor nếu
k = ∞, (m = 0).
Định nghĩa 2.1.2. Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi:
2π

1
Tf (r) :=
2π

2π

1
log f (reiθ ) dθ −
2π
0

log f (eiθ ) dθ (r > 1),
0

trong đó f = (f0 : f1 ) là biểu diễn rút gọn của f và f = |f0 |2 + |f1 |2
Footer Page 13 of 126.

1/2

.


14
Header Page 14 of 126.

Ta nói một hàm phân hình a là nhỏ đối với f nếu Ta (r) = o(Tf (r)) khi
r → ∞ (ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn). Ký hiệu Rf là tập tất
cả các hàm phân hình nhỏ đối với f. Khi đó, Rf là một trường nếu f khác hằng.

Định nghĩa 2.1.3. Hàm xấp xỉ của f được định nghĩa bởi:

2π

1
m(r, f ) =
2π

log+ f (reiθ ) dθ,
0

trong đó log+ x = max{log x, 0}

với x ≥ 0.

Định lý 2.1.4. (ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ NHẤT.) Cho f và a là hai hàm
phân hình trên C sao cho (f, a) ≡ 0. Khi đó:
Tf (r) = N f1 (r) + m(r, f ) + O(1)
và
Nf −a (r) ≤ Tf (r) + Ta (r) + O(1).
Định lý 2.1.5. (ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI) (Đối với mục tiêu di động)
Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C. Cho a1 , . . . , aq là q hàm phân
biệt thuộc Rf . Khi đó, với mọi

> 0, ta có:
q
[1]

(q − 2 − )Tf (r) ≤

Nf −ai (r).
i=1

Đối với ánh xạ chỉnh hình f từ C vào CP n có biểu diễn rút gọn f = (f0 :
· · · : fn ), hàm đặc trưng của f được xác định bởi công thức:
2π

1
Tf (r) :=
2π

2π

1
log f (reiθ ) dθ −
2π
0

ở đó f = |f0 |2 + · · · + |fn |2

log f (eiθ ) dθ (r > 1),
0

1/2

.

Với mỗi siêu phẳng H : a0 x0 + · · · + an xn = 0, trong CP n , đặt (f, H) =
a0 f0 + · · · + an fn . Khi ảnh của f không nằm trong H, tức (f, H) ≡ 0, ta có
Footer Page 14 of 126.

15
Header Page 15 of 126.
[k]

thể nói tới hàm đếm N(f,H) (r) như đã định nghĩa ở trên, và được gọi là hàm
đếm các giao điểm của H và ảnh của f (với bội được ngắt bởi k).
Đối với trường hợp chiều cao, ta cũng có các định lý cơ bản thứ nhất và
thứ hai sau:
Định lý 2.1.6. (ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ NHẤT, trường hợp chiều cao) Nếu
(f, H) ≡ 0, ta có:
N(f,H) (r) ≤ Tf (r) + O(1).
Ta nói ánh xạ f là không suy biến tuyến tính, nếu ảnh của nó không nằm
trong bất kỳ siêu phẳng nào.
Định lý 2.1.7. (ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI, trường hợp chiều cao) Cho f
là một ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ C vào CP n và H1 , . . . , Hq
n + 1) là các siêu phẳng trong CP n ở vị trí tổng quát. Khi đó:

(q

q
[n]

(q − n − 1)Tf (r)

N(f,Hj ) (r) + o Tf (r) .
j=1

2.2

Định lý về hai hàm phân hình có cùng ảnh ngược

của bốn điểm

Định lý chính của chương này được phát biểu như sau:
Định lý 2.2.1. Cho f là hàm phân hình phân biệt khác hằng trên C có biểu
diễn rút gọn f = (f0 : f1 ), và a1 , a2 , a3 , a4 là bốn hàm phân hình phân biệt thuộc
Rf có biểu diễn rút gọn aj = (aj0 : aj1 ). Giả sử tồn tại hàm phân hình g khác
f thỏa mãn min{νf −aj , 1} = min{νg−aj , 1} với j = 1, 2, và min{νf −ai , 2} =
min{νg−ai , 2} với i = 3, 4. Khi đó các khẳng định sau là đúng:
i)

Với mọi

> 0,
N (r, D(f,g,aj ) ) ≤ (Tf (r) + Tg (r)), j ∈ {1, . . . , 4}

trong đó
D(f,g,aj ) =0 trên {z : νf −aj (z) = νg−aj (z)}
và
Footer Page 15 of 126.

D(f,g,aj ) =1 trên {z : νf −aj (z) = νg−aj (z)}.


16
Header Page 16 of 126.

ii)

Tập {a1 , a2 , a3 , a4 } ∩ Af chứa đúng 2 phần tử (giả sử là a3 , a4 ) và tỉ số

kép (a1 , a2 , a3 , a4 ) bằng −1.
iii) g ≡ S(f ), S(a1 ) ≡ a1 , S(a2 ) ≡ a2 , S(a3 ) ≡ a4 , và S(a4 ) ≡ a3 , trong đó
−1

S :=

−a11

a10

a21

−a20

◦

a11 −a10
a21 −a20

.

Để chứng minh định lý trên, chúng ta cần một số bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.2. Cho h1 , h2 là hai hàm phân hình khác hằng thỏa mãn các điều
kiện:
(i) Với mọi

> 0,
[1]

[1]

Nhi (r) + N 1 (r) ≤
hi

(ii) Tồn tại

1

Th1 (r) + Th2 (r) .

> 0 sao cho
[1]

N(h1 =1=h2 ) (r) ≥

1

Th1 (r) + Th2 (r) ,

[1]

trong đó N(h1 =1=h2 ) (r) kí hiệu là hàm đếm các 1-điểm chung không tính bội của
h1 , h2 .
Khi đó tồn tại các số nguyên p1 và p2 (|p1 | + |p2 | > 0), sao cho hp11 hp22 ≡ 0.
Bổ đề 2.2.3. Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C và a, b là hai
hàm phân hình phân biệt thuộc Rf \ {∞}. Đặt
f f

1

L(f, a, b) := a a 1 .
b b

1

Khi đó L(f, a, b) ≡ 0, và
L(f, a, b)f k
) = o(Tf (r)), với k = 0, 1.
m(r,
(f − a)(f − b)
Bổ đề 2.2.4. Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng và α1 , α2 , α3 là ba hàm
phân hình phân biệt trong Rf \ {∞}. Giả sử:
Footer Page 16 of 126.


17
Header Page 17 of 126.

min{µf , 1} = min{µg , 1} và min{νf −αj , 1} = min{νg−αj , 1}, j = 1, 2, 3. Đặt
Φ = Φ(α1 , α2 , α3 ) :=

L(f, α1 , α2 )(f − α3 ) L(g, α1 , α2 )(g − α3 )
−
.
(f − α1 )(f − α2 )
(g − α1 )(g − α2 )

Nếu Φ(α1 , α2 , α3 ) · Φ(α3 , α2 , α1 ) ≡ 0, thì các khẳng định sau là đúng:
(i) N Φ1 (r) ≤

i=1,2 N

[1]

(r, |νf −αi − νg−αi |) + N [1] (r, |µf − µg |) + o(Tf (r)),

trong đó |.| là giá trị tuyệt đối.
(ii) TΦ(α1 ,α2 ,α3 )·Φ(α3 ,α2 ,α1 ) (r) ≤ N [1] (r, |νf −α2 − νg−α2 |) + N [1] (r, |µf − µg |) +
o Tf (r)) .
(iii)

[1]

µg |) + o(Tf (r)).
(iv) N
o(Tf (r)).

3
[1]
i=1 N (r, |νf −αi

N Φ(α1 ,α2 ,α3 )(g−α1 ) (r) ≤ 2
f −α3

[1]
f −α3
Φ(α1 ,α2 ,α3 )(g−α1 )

(r) ≤ 2

− νg−αi |) + 2N [1] (r, |µf −

3
[1]
[1]
i=1 N (r, |νf −αi −νg−αi |)+2N (r, |µf −µg |)+

Cho G là một nhóm Abel tự do xoắn và A = (x1 , ..., xq ) là các q− bộ
các phần tử xi trong G. Cho 1 < s < r ≤ q. Ta nói rằng A có tính chất
Pr,s nếu mỗi bộ r phần tử xp1 , ..., xpr trong A thỏa mãn điều kiện với mỗi
tập con I ⊂ {p1 , ..., pr } với #I = s, thì tồn tại một tập con J ⊂ {p1 , ..., pr },
J = I, #J = s sao cho

xi =
i∈I

xj .
j∈J

Bổ đề 2.2.5. Nếu A có tính chất Pr,s , thì tồn tập con {i1 , ..., iq−r+2 } của
{1, ..., q} sao cho xi1 = · · · = xiq−r+2 .

Footer Page 17 of 126.


Header Page 18 of 126.

Chương 3

Tiêu chuẩn họ chuẩn tắc các ánh xạ phân

hình vào không gian xạ ảnh có cùng ảnh
ngược của các siêu mặt
Như chúng tôi đã trình bày trong chương tổng quan của luận án, nhiều
tiêu chuẩn họ chuẩn tắc của ánh xạ chỉnh hình, phân hình đã được thiết lập
cho trường hợp ánh xạ vào phần bù của các siêu phẳng, siêu mặt (cố định và
di động) trong không gian xạ ảnh (nói cách khác là trường hợp ánh xạ có ảnh
tránh các mục tiêu đó) và trường hợp ảnh của siêu mặt có thể chạm vào các
mục tiêu nhưng với một phần rất nhỏ, được thể hiện bởi độ đo (Lebesgue) của
ảnh ngược (tính cả bội) của các mục tiêu đó qua lớp ánh xạ đang xét có chặn
trên hữu hạn cho tất cả các ánh xạ.
Ở mục 3.2 của chương này, chúng tôi thiết lập các tiêu chuẩn cho họ chuẩn
tắc các ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược (không tính bội) của các siêu
mặt di động. Nội dung này được viết dựa trên bài báo Normal families of
meromorphic mappings sharing hypersurfaces đã được công bố năm 2015 trên
Complex Variables and Elliptic Equations.
Trong mục 3.3 của chương này, chúng tôi trình bày các dạng của Định lý
Picard lớn đối với ánh xạ phân hình vào phần bù của (2n + 1) siêu mặt di động
ở vị trí tổng quát trong không gian xạ ảnh CP n . Mục này được viết dựa trên
bài báo Big Picard theorems for holomorphic mappings into the complement
of (2n + 1) moving hypersurfaces in CP n được công bố năm 2010 trên Analele
Stiintifice ale Universitatti Ovidius Constanta, Seria Matematica.

Footer Page 18 of 126.

18


19
Header Page 19 of 126.

3.1

Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Cho f là một ánh xạ phân hình từ miền D trong Cm vào CP n . Khi đó, với
mỗi a ∈ D, f có biểu diễn rút gọn f = (f0 , · · · , fn ) trên lân cận U của a trong
D nghĩa là fi là hàm phân hình trên U và f (z) = (f0 (z) : · · · : fn (z)) ngoài
một tâp giải tích I(f ) := {z : f0 (z) = · · · = fn (z) = 0} có codimI ≥ 2.
Năm 1974, H.Fujimoto đưa ra khái niệm họ chuẩn tắc các ánh xạ phân
hình vào không gian xạ ảnh phức:
m
Định nghĩa 3.1.1. Họ các ánh xạ phân hình {fk }∞
k=1 trên miền D trong C

vào CP n được gọi là hội tụ phân hình trên D đến ánh xạ phân hình f từ D
vào CP n khi và chỉ khi với mỗi z ∈ D, với mỗi fk có biểu diễn rút gọn
fk = (fk0 , · · · , fkn )
trên một lân cận cố định U nào đó của z thì {fki }∞
k=1 hội tụ đều trên tập con
compact của U đến một hàm chỉnh hình fi (0 ≤ i ≤ n) trên U thỏa mãn
(f0 , · · · , fn ) là biểu diễn của f trên U.
Định nghĩa 3.1.2. Một họ F các ánh xạ phân hình trên miền D trong Cm
vào CP n được gọi là chuẩn tắc trên D nếu mỗi dãy trong F đều có một dãy
con hội tụ phân hình trên D.
Định nghĩa 3.1.3. Cho {νi }∞
i=1 là một dãy các divisor không âm trên miền D
trong Cm . Ta nói rằng {νi }∞
i=1 hội tụ đến một divisor không âm ν trên D nếu
với mỗi a ∈ D có lân cận U sao cho tồn tại các hàm chỉnh hình khác không h
và hi trên U với νi = νhi và ν = νh trên U sao cho {hi }∞

i=1 hội tụ đều đến h
trên một tập con compact của U .
Cho S là một tập giải tích trong D có đối chiều ≥ 2. Theo định lý ThullenRemmert-Stein’s, mỗi divisor không âm ν trên D \ S có thể thác triển duy
nhất thành một divisor ν trên D. Hơn nữa, ta có:
Bổ đề 3.1.4. Nếu một dãy {νk }∞
k=1 các divisor không âm trên D \ S hội tụ
đến ν trên D \ S, thì {νk } hội tụ đến ν trên D.
Footer Page 19 of 126.


20
Header Page 20 of 126.

Bổ đề 3.1.5. Cho {fi } là một họ các ánh xạ phân hình từ miền D trong Cm
vào CP n và cho E là một tập con giải tích mỏng của D. Giả sử rằng {fi } hội
tụ phân hình trên D \ E đến một ánh xạ phân hình f từ D \ E vào CP n . Nếu
tồn tại một siêu phẳng H trong CP n sao cho f (D \ E) ⊂ H và {ν(fi ,H) } là một
dãy các divisor hội tụ trên D. Khi đó {fi } là hội tụ phân hình trên D.
Hệ quả 3.1.6. Cho S là một tập giải tích có đối chiều ≥ 2 trong miền D ⊂ Cm .
n
Cho {fk }∞
k=1 là một họ các ánh xạ phân hình từ D vào CP . Giả sử {fk |D\S }

hội tụ chỉnh hình tới một ánh xạ chỉnh hình f trên D \ S, Khi đó {fk } là hội
tụ chỉnh hình trên D.
Bổ đề 3.1.7. Cho F là một ánh xạ chỉnh hình từ miền D trong Cm vào
CP n . Họ F không chuẩn tắc trên D khi và chỉ khi tồn tại dãy {pj } ⊂ D với
{pj } → p0 ∈ D, {fj } ⊂ F, {ρj } ⊂ R với ρj > 0 và {ρj } → 0, và các vectors
đơn vị Euclidean {uj } ⊂ Cm , sao cho gj (ξ) := fj (pj + ρj uj ξ), trong đó ξ ∈ C
thỏa mãn pj + ρj uj ξ ∈ D, hội tụ đều trên các tập con compact của C đến một

ánh xạ chỉnh hình khác hằng g từ C vào CP n .
Bổ đề 3.1.8. Cho X là một tập con đóng trong CP n (với tôpô thông thường
của đa tạp thực 2n−chiều C P n ) và cho D1 , . . . , D2 +1 là các siêu mặt (cố
định) trong CP n , ở vị trí −dưới tổng quát đối với X. Khi đó, với mọi ánh xạ
+1
chỉnh hình f từ C vào X \ (∪2j=1
Dj ) là hằng.

Cuối cùng, chúng ta đề cập tới Định lý cơ bản thứ hai của Nochka.
Định lý 3.1.9. Cho f là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính
từ C vào CP n và H1 , . . . , Hq là các siêu phẳng trong CP n ở vị trí N-dưới tổng
quát, trong đó N ≥ n và q ≥ 2N − n + 1. Khi đó, với mọi

> 0,

q
[n]

(q − 2N + n − 1 − )Tf (r) ≤

Nf (r, Hj ).
j=1

Footer Page 20 of 126.


21
Header Page 21 of 126.

3.2

Tiêu chuẩn họ chuẩn tắc các ánh xạ phân hình có
cùng ảnh ngược của các siêu mặt di động

Trước tiên, chúng tôi phát biểu hai kết quả chính của mục này: kết quả
thứ nhất đối với siêu mặt di động, kết quả thứ hai đối với siêu phẳng di động,
trong khi các siêu mặt di động là chung cho các ánh xạ, thì các siêu phẳng lại
có thể thay đổi theo các ánh xạ.
Định lý 3.2.1. Cho X ⊂ CP n là một đa tạp xạ ảnh và Q1 , . . . , Q2t+1 là các
siêu mặt di động trong CP n và ở vị trí t-dưới tổng quát đối với X. Cho F là
một họ các ánh xạ phân hình f từ miền D ⊂ Cm vào X, sao cho Qj (f ) ≡ 0,
với mọi j ∈ {1, . . . , 2t + 1}. Giả sử:
a) f −1 (Qj ) = g −1 (Qj ) (như các tập hợp) với mọi f, g trong F, với mọi
j ∈ {1, . . . , 2t + 1},
−1
b) dim(∩2t+1
j=1 f (Qi )) ≤ m − 2 với f ∈ F.

Khi đó, họ F là chuẩn tắc phân hình trên D.
Đối với mỗi siêu phẳng di động H = aj0 x0 + · · · + ajn xn (các hàm hệ số
chỉnh hình trên D và không có không điểm chung), ta cho tương ứng với ánh
xạ chỉnh hình H ∗ từ D vào CP n với biểu diễn rút gọn (aj0 : · · · : ajn ).
Cho 2t + 1(t ≥ n) siêu phẳng di động Hj := aj0 x0 + · · · + ajn xn ∈
HD [x0 , . . . , xn ] (j = 1, . . . , 2t + 1). Kí hiệu
D(H1 , . . . , H2t+1 ) :=

(

det(aj i )0≤i, ≤n ).

L⊂{1,...,2t+1},#L=t+1 {j0 ,...,jn }⊂L

Định lý 3.2.2. Cho F là một họ các ánh xạ phân hình từ miền D ⊂ Cm vào
CP n . Với mỗi f trong F, giả sử tồn tại 2t+1 siêu phẳng di động H1f , · · · , H(2t+1)f
∗
trong CP n sao cho {Hjf
: f ∈ F} (j = 1, . . . , 2t + 1) là họ chuẩn tắc và tồn

tại một số nguyên dương δ0 thỏa mãn:
D(H1f , . . . , H(2t+1)f )(z) > δ0 , với mọi z ∈ D, f ∈ F.
Cho m1 , . . . , m2t+1 là các số nguyên dương hoặc có thể bằng ∞ sao cho

2t+1 1
j=1 mj

1. Giả sử Hjf (f ) ≡ 0 với mọi j ∈ {1, . . . , 2t + 1}, f ∈ F, và hai điều kiện sau
được thỏa mãn:
Footer Page 21 of 126.

<


22
Header Page 22 of 126.

a) {z : 1 ≤ ν(f,Hjf ) (z) ≤ mj } = {z : 1 ≤ ν(g,Hjg ) (z) ≤ mj } với mọi f, g
trong F, và với mọi j ∈ {1, . . . , 2t + 1},
b) I(f ) ⊂ ∪2t+1
j=1 {z : 1 ≤ ν(f,Hjf ) (z) ≤ mj }, và Hjf (f ) ≡ 0, với mọi j ∈
{1, . . . , 2t + 1} và f ∈ F, trong đó I(f ) là tập tất cả các cực điểm của f.

Khi đó, họ F là chuẩn tắc phân hình trên D.

3.3

Định lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vào
phần bù của các siêu mặt trong không gian xạ
ảnh

Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ một con tập mở Ω ⊂ D vào CP n .
Ta nói rằng f tránh siêu phẳng di động Q nếu với mọi điểm z0 ∈ Ω và với
biểu diễn rút gọn f˜ = (f0 , · · · , fn ) của f trong lân cận U của z0 trong Ω thì
Q(f0 , · · · , fn ) không triệt tiêu trên U.
Hai kết quả chính của mục này được phát biểu như sau:
Định lý 3.3.1. Cho S là một tập con giải tích của miền D ⊂ Cm có đối chiều
1 và kì dị với giao chuẩn tắc. Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào
n
CP n . Cho các siêu mặt di động {Qj }2n+1
j=1 trong CP , ở vị trí tổng quát tại từng

điểm thuộc D. Giả sử rằng f tránh 2n + 1 siêu phẳng trên. Khi đó f thác triển
được thành ánh xạ chỉnh hình từ D vào CP n .
Định lý 3.3.2. Cho D là một miền trong Cm và S ⊂ D là một tập con đóng,
giải tích, có đối chiều ≥ 2 hoặc là một tập con đóng có độ đo Hausdorff (2m2)- chiều bằng 0. Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào CP n . Giả sử
n
f tránh 2n + 1 siêu mặt di động {Qj }2n+1
j=1 , ở vị trí tổng quát trong CP tại

từng điểm thuộc D. Khi đó f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình từ D
vào CP n .
Để chứng minh các định lý 3.3.1, 3.3.2 ta cần một số khái niệm bổ trợ và

bổ đề sau:
Định nghĩa 3.3.3. Giả sử D là một miền trong Cm và
C.
Footer Page 22 of 126.

là đĩa đơn vị trong


23
Header Page 23 of 126.

i) Một họ F các ánh xạ chỉnh hình từ D vào CP n được gọi là chuẩn tắc
nếu F là compact tương đối trong Hol(D, CP n ) theo tôpô compact mở.
ii) Ta gọi ánh xạ chỉnh hình f từ D ⊂ Cm vào CP n là chuẩn tắc nếu họ
{f ◦ ψ : ψ ∈ Hol( , D)} là họ chuẩn tắc.
Bổ đề 3.3.4. Cho S là một tập con giải tích của miền D trong Cm có đối
chiều 1 và các kì dị giao chuẩn tắc. Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ D \ S
vào CP n . Nếu f là chuẩn tắc thì có thể thác triển thành một ánh xạ chỉnh
hình từ D vào CP n .
Bổ đề 3.3.5. Cho F là một họ các ánh xạ chỉnh hình từ miền D ⊂ Cm vào
CP n . Khi đó F là chuẩn tắc khi và chỉ khi tồn tại dãy {fj } ⊂ F, {pj } ⊂ D với
pj → p0 ∈ D, {rj } ⊂ (0, +∞) với rj → 0 sao cho limj→∞ rj /d(pj , Cm \ D) = 0
(trong đó d là khoảng cách Euclidean) và dãy gj (ξ) := fj (pj + rj ξ) (ξ ∈ Cm với
pj + rj ξ ∈ D) hội tụ đều trên tập con compact của Cm đến một ánh xạ chỉnh
hình khác hằng g từ Cm vào CP n .
Bổ đề 3.3.6. Cho Ω là một miền hyperbolic trong Cm và M là đa tạp Hermitian đầy compact với hàm độ dài EM . Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ Ω vào
M. Khi đó f là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu tồn tại một hằng số dương c sao cho
với mọi z ∈ Ω và với mọi ξ ∈ Tz Ω,
|EM (f (z), df (z)(ξ)| ≤ cFKΩ (z, ξ),
trong đó df (z) là ánh xạ tiếp xúc từ Tz Ω to Tf (z) M cảm sinh bởi f và FKΩ là

metric vi phân Kobayashi trên Ω.

Footer Page 23 of 126.


24
Header Page 24 of 126.

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Kết luận
Các kết quả chính của luận án:
• Định lý xác định mối quan hệ giữa hai hàm phân hình trên mặt phẳng
phức có cùng ảnh ngược của bốn hàm phân hình nhỏ, với bội của các
không điểm được ngắt với mức thấp.
• Các tiêu chuẩn chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược
(không tính bội của các siêu phẳng, siêu mặt di động.
• Các dạng định lý Picard lớn đối với ánh xạ chỉnh hình vào phần bù của
(2n + 1) siêu phẳng trong CP n .

Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo
Liên quan tới các kết quả của luận án, có một số vấn đề mở sau, theo chúng
tôi là đáng quan tâm:
1. Trong định lý về vấn đề duy nhất của hàm phân hình, chúng tôi đã chứng
minh cho trường hợp mà ở đó bội không điểm không tính tới đối với hai hàm
và tính tới với mức ngắt là 2 đối với hai hàm còn lại. Câu hỏi tự nhiên là liệu
có thể mở rộng kết quả đó tới trường hợp tốt nhất có thể: min νf −aj , 1 =
min νg−aj , 1 , với j = 1, 2, 3, và min {νf −ai , 2} = min {νg−ai , 2} với i = 4, và
{aj } là các hàm phân hình nhỏ đối với f .
2. Chương 3 của luận án đã thiết lập thành công một số tiêu chuẩn chuẩn

tắc cho họ ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược (không tính bội) của một số
siêu mặt. Liệu định lý 3.1.7 của H.Fujimoto có thể được mở rộng sang trường
hợp không tính bội được hay không?

Footer Page 24 of 126.