20 bai toan lien quan den khao sat ham so

20 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Bài 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y =
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm M, biết khoảng cách từ điểm
M đến đường thẳng : y = 2x -1 bằng

√

.

Giải
( ) Khi đó ta có d(M, )

Gọi tiếp điểm M(x0;
|

|
√

|

=

|

√

|

[

√

|=3
|

|

(
(

)
)

0,5
[

[

+, Với
+, Với

ta có M(-1;0), suy ra tiếp tuyến y = y’(-1)(x+1) hay y =
, ta có M(

), suy ra tiếp tuyến y = y’( )(

)+ 3 hay y = 8x – 1

0,5
Bài 2 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – (m+1)x2 + 2m + 1 có đồ thị (Cm), với m là tham

số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1
b. Cho I (0; - ). Tìm m để (Cm) có điểm cực đại là A, hai điểm cực tiểu là B và C sao
cho tứ giác ABIC là hình thoi.
Giải
Ta có y’= x3 – 2(m + 1)x, với mọi x
(Cm) có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


2 (m + 1) > 0  m > -1 (1)
Khi đó 3 nghiệm phân biệt của y’ = 0 là x = 0;
x=-√ (

) và x =√ (

)

Điểm cực đại của (Cm) là A (0; 2m +1), hai điểm cực tiểu là
B(-√ (

) -m2) và C (√ (

) ; -m2)

0,5

Nhận thấy rằng AI vuông góc với BC tại H (0; -m2) và H là trung điểm của BC. Do đó tứ
giác ABIC là hình thoi khi và chỉ khi H là trung điểm của AI. Hay là
{

-2 m2 = 2m + 1 -

m = hoặc m = -

0,5

Đối chiếu với điều kiện (1) ta được giá trị của m là m =
Bài 3 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 3(m+2)x + 4m – 5 có đồ thị (Cm), với m là
tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m = 1
b. Tìm m để trên (Cm) tồn tại đúng 2 điểm có hoành độ lớn hơn 1 sao cho các tiếp
tuyến tại mỗi điểm đó của (Cm) vuông góc với đường thẳng d:
x + 2y + 3 = 0
Giải
Đường thẳng d có hệ số góc k = - . Do đó tiếp tuyến của (Cm) vuông góc với d có hệ số
góc k’ = 2
Ta có y’ = k’

3x2 – 12x + 3(m+2) = 2

3x2 – 12x + 4 = -3m (1) 0,5

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1
Xét hàm số f(x) = 3x2 – 12x + 4 trên (1; + )

Ta có bảng biến thiên:
x
f(x)

+

1

2

+
+

-5
-8

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình f(x) = - 3 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn
1 khi và chỉ khi – 8 < - 3m < -5


0,5

Vậy < m <
Bài 4 (2,0 điểm) Cho hàm số y =

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho
b. Tìm m để đường thẳng d: x + 3y + m = 0 cắt (H) tại hai điểm M, N sao cho tam
giác AMN vuông tại A (1;0)
Giải
Ta có d: y = - x - . Hoành độ giao điểm của d và (H) là nghiệm của phương trình:
=- x-

hay x2 + (m+5)x – m – 9 = 0, x

(1) 0,5

Ta có = (m+7)2 + 12 > 0, với mọi m. Suy ra phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Hơn nữa cả 2 nghiệm x1; x2 đều khác 1. Do đó d luôn cắt (H) tại 2 điểm phân biệt M(x1;
y1), N(x2; y2)
Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (x1 – 1; y1), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (x2 – 1; y2),
Tam giác AMN vuông tại A

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 Hay (x1 – 1) (x2 – 1) + y1y2 = 0

(x1 – 1) (x2 – 1) + (x1 +m) (x2 + m) = 0
10 x1x2 + (m – 9)(x1+x2) + m2 + 9 = 0 (2)
0,5
Áp dụng định lý Viet ta có x1+x2 = - m – 5; x1x2 = - m – 9. Thay vào (2) ta được
10 (-m-9) + (m-9)(-m-5) + m2 + 9 = 0
-6m – 36 = 0
m=-6
Vậy giá trị của m là m = -6
Bài 5 (2,0 điểm) Cho hàm số y =
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho.
b. Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận của (H). Viết phương trình tiếp tuyến d của

(H) tại điểm M thỏa mãn IM vuông góc với d.
Giải
Gọi M (x0;

) , x0

là tiếp điểm. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


D: y =

(

)

(x-x0) +

, hay d: x + (

⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗ = 0

Do đó IM vuông góc với d

- 2x0 + 2) = 0 0,5

) ; -1). Ta có I (2;1) nên⃗⃗⃗⃗⃗ = (x0 – 2;

Suy ra VTCP của d là ⃗⃗⃗⃗ = ((

(x0 – 2)4 = 1

) y–(

(

) -

)=0

=0

[

+ Với x0 = 3, phương trình tiếp tuyến là y = - (x – 3) + 2 hay y = -x + 5

0,5

+ Với x0 = 1, phương trình tiếp tuyến là y = - (x-1) hay y = - x +1
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là y = -x + 5 và y = - x +1
Bài 6 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + 2 (1) , với m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m =
b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có tâm
đường tròn ngoại tiếp trùng gốc tọa độ 0.
Giải
Ta có y’ = x3 – 4mx =

(x2 – 3m)

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị
phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
m>0
0,5
Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A (0;2), B(-√
; 2-3m2) và C(√
; 22
3m )
Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng gốc tọa độ 0 khi và chỉ khi OA
= OB = OC

2=√

(

m (m-1)(3m2 + 3m – 1) = 0

)
[

√

0,5

Kết hợp điều kiện m > 0 ta có giá trị của m là m = 1; m =

√

Bài 7 (2,0 điểm) Cho hàm số y =
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


b. Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết rằng tiếp điểm của tiếp tuyến đó với (H)
cách điểm A (0;1) một khoảng cách bằng 2.
Giải
Gọi M(x0;

là tiếp điểm. Theo bài ra ta có MA = 2

) , x0

Hay x02 + (

)2 = 4

)2 = 4

x0 2 + (

x0 (x0 – 2) (x02 + 4x0 + 6) = 0 (x0

)

0,5

[

+ Với x0 = 0, phương trình tiếp tuyến là y = y’(0)(x-0)+y(0) hay y = 3x -1
+ Với x0 = 2, phương trình tiếp tuyến là y =y’(2)(x-2)+y(2) hay y = x+

0,5

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là y = 3x -1 và y = x+
Bài 8 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 - (m-2)x2 – 3(m-1)x + 1 (1), m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -2
b. Tìm m > 0 để đồ thị hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu lần lượt là yCĐ;
yCT thỏa mãn 2 yCĐ + yCT = 4
Giải
Ta có y’ = 3x2 – 3(m-2)x – 3(m-1) ,
y’ = 0

x2 – (m-2)x – m + 1 = 0

[

0,5

Chú ý rằng với m >0 thì x1 ; yCT = y(m-1) = - (m+2)(m-1)2 +1

= m -1. Do đó: yCĐ = y(-1) =
Từ giả thiết ta có: 2.

- (m+2)(m-1)2 +1 = 4

(m-1)(m2 + m – 8) = 0

[

√

6m – 6 – (m+2)(m-1)2 = 0
0,5

Đối chiếu với yêu cầu m > 0 ta có giá trị của m là m = 1;

√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


Bài 9 (2,0 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y =
2. Tìm m để đường thẳng d: y = -x + m cắt (H) tại 2 điểm A, B thỏa mãn
AB = 2√
Giải
Hoành độ giao điểm của d và (H) là nghiệm của phương trình:
= -x + m

- 2x + 1 = (x+1)(-x+m), x

x2 – (m+1)x – m +1 = 0 (1)

0,5
(m+1)2 – 4(-m+1) >0

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
m2 + 6m – 3 >0

√
√

[

(2)

Khi đó A(x1 ; -x1 + m), B(x2 ; -x2 + m), với x1 + x2 = m + 1; x1x2 = -m +1
Từ giả thiết ta có AB2 = 8
(x2 – x1)2 = 4

(x1 + x2)2 - 4 x1x2 = 4

(m +1)2 – 4(-m +1) = 4
[

(x2 – x1)2 + (x2 – x1)2 = 8

m2 + 6m – 7 = 0

0,5

Đối chiếu với (2) ta có các giá trị cần tìm của m là m = 1, m = -7
Bài 10 (2,0 điểm)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y = x4 -3x2 – 2
2. Tìm số thực dương a để đường thẳng y = x cắt (C ) tại 2 điểm A, B sao cho tam
giác OAB vuông tại gốc tọa độ O.
Giải
Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = a với (C ) là nghiệm của phương trình
x4 - 3x2 – 2 – a = 0 hay x4 – 3x2 – 2 – a = 0 (1)
Rõ ràng với mọi a > 0 phương trình (1) có hai nghiệm thực trái dấu, nghĩa là đường thẳng
y = a cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A(xA; a) và B(xB; a), xA < xB
0,5
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


Ta có xA + xB = 0 (2) và ⃗⃗⃗⃗⃗ = (xA; a) , ⃗⃗⃗⃗⃗ = (xB; a)
Theo giả thiết tam giác OAB vuông tại O nên ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 hay xA. xB + a2 = 0
Kết hợp với (2) ta được xA = -a, xB = a. Do xA, xB là nghiệm của (1) nên
a4 - 3a2 – a – 2 = 0

(a-2)(a3 + 2a2 + a + 1) = 0

a= 2 (vì a > 0)

0,5

vậy kết quả của bài toán là a = 2
Bài 11 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + m + 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0
2. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị sao cho đường thẳng đi qua 2 điểm
cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1.

Giải
Ta có y’ = 3x2 – 6x + 3m
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi pt y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
’ = 9 – 9m > 0

(*)

Khi đó gọi 2 điểm cực trị là A(x1; y1) , B(x2; y2)
Ta có y = (
Do đó y1 = (

)

[2(m-1)x + 2m + 2]
) ( )

[2(m-1)x1 + 2m + 2] = 2(m-1)x1 + 2m + 2

y2 = 2(m-1)x2 + 2m + 2

0,5

Suy ra tọa độ của A, B thỏa mãn pt: y = 2(m – 1)x + 2m + 2, hay pt AB là
y = 2(m-1)x + 2m + 2
Ta có giao điểm của AB với Ox, Oy lần lượt là M (-

;0) , N(0; 2m +2)

Yêu cầu bài toán

|

(m +1)2 = |

SOMN = 1

|

[

. OM.ON = 1

(
(

)
)

(

)

|.|

|

0,5

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7


[

thỏa mãn (*)

Bài 12 (2,0 điểm) Cho hàm số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho.
2. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (H). Viết phương trình tiếp tuyến của (H) sao
cho khoảng cách từ I đến tiếp tuyến đó lớn nhất.
Giải
là hoành độ của tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Khi đó phương trình

Gọi x0

của tiếp tuyến là:
(

)

(

)

0,5

Hay : x + (2x0 – 3)2 y – 2x02 + 4x0 – 3 = 0
Suy ra khoảng cách từ I đến
d=

|

(

)
√

|
(

)

là :
=

|

|
(

√

|
)

|

√ |

|

=

√

0,5

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (2x0 – 3)2 = 1 hay xo = 1 hoặc x0 = 2
Từ đó ta có các tiếp tuyến cần tìm là y = -x + 1; y = -x +3
Bài 13 (2,0 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 -4
2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
(x + 2)2 = | |
Giải
Ta có (x + 2) = | |
2

Xét hàm số f(x) = |

|

|(x2 + 4x + 4) = m, x

|(x2 + 4x + 4) = {

0,5
(
)
Suy ra đồ thị hàm số y = f(x) gồm phần đồ thị (C ) với x > 1 và đối xứng phần đồ

thị (C ) với x <1 qua Ox
Dựa vào đồ thị ta suy ra: 0,5 đ (chưa vẽ được đồ thị)
+ m < 0, phương trình vô nghiệm
+ m = 0, phương trình có 1 nghiệm
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8


+ 0+ m = 4 phương trình có 3 nghiệm
+ m > 4 phương trình có 2 nghiệm
Bài 14 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – (3m +1)x2 + 2(m+1), m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m = 0
2. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có trọng
tâm là gốc tọa độ.
Giải
Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị tương đương với y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
x3 – 2(3m +1) x = 0 có 3 nghiệm phân biệt

m>-

(1)
9m2 – 4m +1) và

Khi đó có 3 điểm cực trị của đồ thị là A(0; 2m +2), B(-√
C(√

9m2 – 4m +1)

0,5

Rõ ràng tam giác ABC cân tại A và trung tuyến kẻ từ A thuộc Oy. Do đó O là trọng tâm
tam giác ABC
yA + 2yB = 0
Hay 2m + 2 + 2( 9m2 – 4m +1) = 0

9m2 + 3m – 2 = 0

[

0,5

Kết hợp với (1) suy ra giá trị của m là m =
Bài 15 (2,0 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) hàm số y =
2. Tìm trên (H) các điểm A, B sao cho độ dài AB = 4 và đường thẳng AB vuông góc
với đường thẳng y =x.
Giải
Vì đường thẳng AB vuông góc với y = x nên pt của AB là y = - x +m
Hoành độ của A, B là nghiệm của phươg trình
x2 – (m+3)x + 2m + 1 = 0, x

= - x+ m hay phương trình

(1)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9

Do đó pt (1) có = (m+3)2 – 4(2m +1) = m2 – 2m + 5 > 0,
biệt x1; x2 và cả hai nghiệm đều khác 2.

nên có 2 nghiệm phân

Theo định lý Viet ta có: x1 + x2 = m + 3; x1x2 = 2m +1
Theo giả thiết ta có AB2 = 16

(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 = 16

(x2 – x1)2 + (-x2 + m + x1 – m)2 = 16
(m+3)2 – 4(2m+1) = 8

(x2 – x1)2 = 8

m2 – 2m – 3 = 0

+ Với m = 3 pt (1) trở thành x2 – 6x + 7 = 0
√

là (

√ ), (

√ )

√

m = 3 và m = -1
x=

√ . Suy ra hai điểm A, B cần tìm

0,5
√ ), (1 √

+ Với m = -1 ta có hai điểm A, B cần tìm là (1 √
Vậy cặp điểm thỏa mãn là (

(x2 + x1)2 – 4x1x2 = 8

√ ), (

√

√

√ ) ; (1 √

√ )
√ ),

√ )

(1 √

Bài 16 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 – (2m +1)x2 + (m+2)x + có đồ thị (Cm), m là
tham số

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 2
2. Gọi A là giao điểm của (Cm) với trục tung. Tìm m sao cho tiếp tuyến của (Cm) tại
A tạo vơí hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
Giải
Ta có A(0; ) và y’ = 4x2 – 2 (2m +1) x + m + 2 .
Suy ra y’ (0) = m + 2
Tiếp tuyến của đồ thị tại A là d: y = (m+2)x +
Đường thẳng d cắt Ox tại B (

; 0)

0,5

Khi đó diện tích của tam giác tạo bởi d với hai trục tọa độ là
S= OA. OB = . . |
Theo giả thiết ta có

|

|=
|

=

|

0,5

|

|

|

m=-

hoặc m = -

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

10


Bài 17 (2,0 điểm) Cho hàm số y =
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết khoảng cách từ tâm đối xứng của (C )
đến tiếp tuyến bằng 2√
Giải
( ), y0 =

Giả sử M(x0 ; y0)
=

(

)

4x - (

(x-x0) +

|

Theo bài ra d(I; ) = 2√
(

. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là : y

,

) -8(

) y + (x02 – 6x0 – 3) = 0
(

)
√

(
(

|
)

0,5

= 2√

) + 16 = 0

[

0,5
1 ta có pt tiếp tuyến là y = x – 2

+ Với

ta có pt tiếp tuyến là y = x +6

+ Với

Bài 18 (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho
2. Tìm m để phương trình sau có đúng 8 nghiệm thực phân biệt
|

| = m2 – m +
Giải

Phương trình |

| = m2 – m + có 8 nghiệm phân biệt tương đương

đường thẳng y = m2 – m + cắt đồ thị hàm số y =|
Đồ thị y = |

| gồm phần (C ) ở phía trên trục Ox và đối xứng phần

(C) ở phía dưới trục Ox qua Ox

0,5

Từ đồ thị suy ra yêu cầu bài toán
m2 – m < 0

| tại 8 điểm phân biệt

0
0 < m2 – m + <

0,5

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

11


Bài 19 (2,0 điểm) Cho hàm số y = - x3 + (m -1)x2 + (3m -2)x - có đồ thị (Cm) , m là
tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 2
2. Tìm m để trên (Cm) có hai điểm phân biệt M1(x1; y1) , M2(x2; y2) thỏa mãn x1x2 > 0
và tiếp tuyến của (Cm) tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng d: x – 3y + 1 =
0
Giải
Ta có hệ số góc của d: x – 3y + 1 = 0 là kd = . Do đó x1; x2 là các nghiệm của phương
trình y’ = -3 hay -2x2 + 2(m-1)x + 3m -2 = -3
2x2 – 2(m -1) x – 3m -1 = 0 (1)
Yêu cầu bài toán
{

(

0,5

pt (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 . x2 > 0
)

(

)

Vậy kết quả của bài toán là

{

0,5

và

Bài 20 (2,0 điểm) Cho hàm số y =

có đồ thị là (Hm), với m là tham số thực

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1
2. Tìm m để đường thẳng d: 2x + 2y – 1 = 0 cắt (Hm) tại 2 điểm cùng với gốc tọa độ
tạo thành một tam giác có diện tích là S =
Giải
Hoành độ giao điểm A, B của d và (Hm) là các nghiệm của phương trình
=-x+

2x2 + x + 2(m -1) = 0 , x

Pt (1) có 2 nghiệm x1; x2 phân biệt khác -2
{
Ta có AB = √(

(1)
{

(

)

(

)

0,5
)

(

) = √ . √(

)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

12

= √ . √(

)

=

√

.√

Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là h =
Suy ra SOAB = . h. AB =

√

.√

0,5

√

=

m = thỏa mãn

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

13