XÂY DỰNG MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM LỒI

HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN

THÁNG 05/2015

XÂY DỰNG MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM LỒI
ThS. Võ Đức Thịnh
Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp
Email:
Vũ Nhân Khánh
ĐHSTOAN14B, Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp
Email:
Tóm tắt. Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng phương pháp hàm lồi để chứng
minh một số bài toán bất đẳng thức. Sau đó, bằng cách sử dụng các hàm lồi
f ( x)   ln x và f ( x )  x  để xây dựng một số bài toán bất đẳng thức.
1. Giới thiệu
Hằng năm bài toán về bất đẳng thức (BĐT) đều được đưa vào đề thi đại học và
được xem là một trong những câu hỏi khó nhất để phân loại thí sinh. Hiện nay,
nhiều phương pháp chứng minh BĐT đã được giới thiệu như phương pháp chuẩn
hoá, phương pháp dồn biến, phương pháp tiếp tuyến,... Trong bài này, chúng tôi
trình bày phương pháp sử dụng hàm lồi để giải các bài toán BĐT. Ngoài ra, chúng
tôi cũng xây dựng một số lớp bài toán về chứng minh bất đẳng thức trên cơ sở các
bất đẳng thức đã có và giải chúng bằng phương pháp hàm lồi.
2. Lí thuyết hàm lồi
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản về hàm lồi. Trước
tiên, chúng tôi giới thiệu khái niệm về hàm lồi.
Định nghĩa 2.1. Giả sử I là một khoảng trong . Hàm số f : I  được gọi là lồi
trên khoảng I nếu vôùi moïi x1; x2  I ,vôùi moïi   [0;1] ta có:
f (ax1  (1  a) x2 )  af ( x1 )  (1  a) f ( x2 ).
Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất của hàm lồi:
Định lí 2.2. Giả sử f có đạo hàm trên I. Khi đó f là hàm lồi trên I khi và chỉ khi

f ' tăng trên I.
Hệ quả 2.3. Giả sử f có đạo hàm đến cấp hai. Khi đó f là hàm lồi khi và chỉ khi
f ''  0 x  I .
Định lý 2.4. Giả sử f là một hàm liên tục trên khoảng I thoả mãn điều kiện
 x  y  f  x  f y
f
vôùi moïi x , y  I .

2
 2 
Khi đó, f lồi trên I.
Sau đây chúng tôi sẽ giới thiệu một số hàm lồi quen thuộc.
110


HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN

THÁNG 05/2015

1. y  x  x  0;  0 hoaëc  1 ;
2. y   ln x  x  0  ;





3. y  ln 1  e x ;
4. y  x ln x  x  0  .
Định lí 2.5. (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử x1 , x2 ,...., xn  I và

1 , 2 ,.... n  0;1 sao cho 1   2  ...   n  1. Khi đó nếu f(x) lồi trên I thì
f 1 x1  2 x2  ....   n xn   1 f  x1   2 f  x2   ...   n f  xn  .

Hệ quả 2.6. Giả sử x1 ,..., xn  I và m1 , m2 ,..., mn  0 . Đặt m  m1  m2  ...  mn và

m
m1
m
; 2  2 ;....; n  n . Khi đó ta có
m
m
m
 m x  ...  mn xn  m1 f  x1   ...  mn f  xn 
f 1 1
.

m

m

...

m
m

m

...

m

2
n 
1
2
n
 1
3. Áp dụng
Hiện nay, các bài toán bất đẳng thức trong một số đề thi đại học có thể giải bằng
phương pháp hàm lồi. Sau đây chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp hàm lồi để chứng
minh các bất đẳng thức trong các đề thi tuyển sinh đại học năm 2005, khối A,B. Sau
đó, trên cơ sở lời giải của các bài toán này, chúng tôi xây dựng một số lớp bài toán
bất đẳng thức có thể giải được bằng phương pháp hàm lồi.

1 

3.1. Xây dựng lớp bài toán bất đẳng thức thông qua hàm lồi f ( x)   ln( x) với
x0
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi x  , ta có
x

x

x

 12   15   20 
x
x
x
      3 4 5 .
 5  4  3 

(ĐH B-2005)
Chứng minh. Xét f ( x)   ln x . Khi đó f ( x ) là hàm lồi trên (0; ). Ta có:
a a 
1na  1na2
1n  1 2    1
 1n a1a2 .
(1)
2
2


x

x

 12 
 15 
Chọn a1    ; a2    . Khi đó, ta có
 5
 4
  12  x  15  x 
    
x
x
 12   15 
 5   4  
 ln 
   ln  5   4  .
2

   






111


HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TỐN-TIN
x

THÁNG 05/2015

x

 12   15 
x
x
x
x
 5   4 
 12   15 
 12   15 




Do đó

     . Suy ra       2.3x.
2
 5  4
 5  4
x

x

x

(2)

x

 12   20 
 15   20 
Tương tự, ta có       2.4 x ;       2.5x.
(3)
5
3
4
3
   
   
Từ (2) và (3), ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng
a1  a2  ...  an n
 a1.a2 ...an với mọi a1 , a2 ,., an  0.
n
Chứng minh.

• Nếu mina1 , a2 ,., an   0 thì a1.a2 ...an  0. Do đó bất đẳng thức trên là đúng.
• Xét trường hợp còn lại: mina1 , a2 ,., an   0. Đặt f ( x )   ln x với x  0. Khi đó
f ( x) là hàm lời với x  0 . Ta có

 a  a  ...an 
ln a3  ln a2  ...  ln an
 ln  1 2
  ln n a1a2 ...an .

n
n



Do đó

a1  a2  ...  an n
 a1a2 ...an a1a2 ...an  0.
n
a2 b2 c2
   a  b  c với mọi a, b, c  0.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng
b
c
a
a2
Chứng minh. Trong (1) , ta thay a1  ; a2  b  a, b  0  , ta được
b
 a2


 a2 
 b
b
 ln 
.b  .
   ln 
 b 
 2 







a2
a2
b2
.b  2a.
b
b
b2
c2
Tương tự ta có:
 c  2b  b, c  0  ;  a  2c  a, c  0  .
c
a
Do đó

Từ  4  và  5 ,suy ra

a2 b2 c2
   a  b  c a, b, c  0.
b
c
a

112

4
 5


HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TỐN-TIN

THÁNG 05/2015

a3 b3 c 3
 
 a  b  c,với mọi a, b, c  0.
bc ca ab
(Canada MO 2002)
Chứng minh: Xét f ( x)   ln x . Khi đó f ( x ) là hàm lời trên khoảng  0;  . Ta
Ví dụ 4: Chứng minh rằng

có:

a a a 
ln a1  ln a2  ln a3
 ln  1 2 3   

  ln 3 a1a2 a3 .
3
3


 a3

bc
3

a
a3
bc
3
Chọn a1  ; a2  b; a3  c. Ta có:  ln 
bc .
   ln
bc
3
bc






3
a
Suy ra:  b  c  3a.
bc

b3
c3
Tương tự ta có
 a  c  3b;  a  b  3c.
ac
ab

6

 7
8

a3 b3 c 3
 
 a  b  c.
`
bc ac ab
Bằng cách sử dụng tính chất của hàm lời f ( x)   ln( x) và chọn biến sớ thích
hợp, ta có thể chứng minh mợt sớ bất đẳng thức sau theo cách tương tự
a3 b3 c3
1. 2  2  2  a  b  c,với mọi a, b, c  0
b c
a
3
3
a b c3 a2 b2 c 2
2. 2  2  2    ,với mọi a, b, c  0
b
c a
b c

a
3
3
3
a b c
3.    ab  bc  ca,với mọi a, b, c  0
b c a
a5 b5 c5
4. 3  3  3  a2  b2  c 2 ,với mọi a, b, c  0
b c
a
Từ  7  và  8 ,suy ra

3.2. Xây dựng lớp bài toán bất đẳng thức thơng qua hàm lời
f ( x )  x   x  0;  0 hoặc  1 .

1 1 1
   4 . Chứng minh rằng
x y z
1
1
1


 1.
2 x  y  z x  2 y  z x  y  2z
(ĐH A-2005)
1
Chứng minh. Xét f  x   . Khi đó f  x  lời trên khoảng (0; ). Ta có:
x

Ví dụ 5: Cho x,y,z là các sớ dương thoả mãn

113


HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TỐN-TIN

THÁNG 05/2015

 2a  b  c  1
f  1 2 3   2 f  a1   f  a2   f  a3  .
4

 4
Thay a1; a2 ; a3 lần lượt bằng ba bộ số x; y; z ; y; x; z ; z; x; y , ta được ba BĐT

















1
1  2 1 1
1
1  1 2 1
    ;
    ;
2 x  y  z 16  x y z  x  2 y  z 16  x y z 

1
1 1 1 2
    
x  y  2z 16  x y z 
Cợng theo vế các bất đẳng thức trên, ta được
1
1
1
1 4 4 4


      1.
2 x  y  z x  2 y  z x  y  2z 16  x y z 
Ví dụ 6: Chứng minh rằng:
a b c
1
1

     với mọi a, b, c  0; x, y, z  0  .
ax  by  cz  a  b  c 2  x y z 

1
. Khi đó f  x  lời trên khoảng  0;  . Ta có:
x
 ax  by  cz 
1
f
af  x   bf  y   cf  z  .

 abc  abc

Chứng minh. Xét f  x  



Suy ra
Dó



a b c
1
abc
.
   
a  b  c  x y z  ax  by  cz

a b c
1
1


   .
ax  by  cz  a  b  c 2  x y z 

Nhận xét 7: Trong Ví dụ 6, cho a  b  c  1 .Ta được bất đẳng thức sau
1 1 1
9
  
 x , y, z  0  .
x y z xyz
Nhận xét 8: Ngoài ra, bất đẳng thức tởng quát hơn với n biến sớ dương a1; a2 ;....; an
cũng được chứng minh hoàn toàn tương tự
1 1
1
n2
  ...  
.
a1 a2
an a1  a2  ...  an
Ví dụ 9: Cho a,b,c>0 thoả mãn điều kiện a3c  b2a  c3b  abc . Chứng minh rằng
b
c
a
9
S 2
 2
 2
 .
a  ab b  bc c  ca 2
a2 b2 c2

Chứng minh. Từ giả thiết, ta có: 1     a  b  c; a, b, c  0.
b
c
a

114


HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN

THÁNG 05/2015

1 1 1
9
  
 x , y, z  0  .
x y z xyz
 a2

b2
c2
Sau đó, ta thay  x; y; z  lần lượt bằng các số   a;  b;  c  , ta được
c
a
 b

1
1
1
9

9
9
 2
 2
 2

 .
2
2
2
2
2
2
a b c 
a b c  2
a
b
c
a
b
 c      a  b  c 2   
b
c
a
c a
c a
 b
 b
Sử dụng nhận xét 7, ta có :

b
c
a
1
1
1





.
a2  ab b2  bc c2  ac a2
b2
c2
a
b
c
b
c
a
Do đó, bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 10: Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng
ab
bc
ca
abc




.
a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b
6
(Tạp chí THTT)
1 1 1
9
Chứng minh. Sử dụng Nhận xét 7, ta có :   
 x , y, z  0  .
x y z xyz
Thay  x; y; z  lần lượt bằng ba bộ số
Mặt khác S 

 a  c; b  c;2b;  a  b; a  c;2c ;  b  c; a  b;2a  , ta được:

1
1
1
9
1
1
1
9



;



;

a  c b  c 2b a  3b  2c a  b a  c 2c 2a  b  3c
1
1
1
9



.
b  c a  b 2a 3a  2b  c
Do đó, ta có:
ab  1
1
1 
ab
bc  1
1
1 
bc

 
;

 
;


9  a  c b  c 2b  a  3b  2c
9  a  b a  c 2c  2a  b  3c
ac  1

1
1 
ac

 
.

9  b  c a  b 2a  3a  2b  c
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên, ta được
ab
bc
ac
1  bc  ca ca  ab ab  bc a  b  c 


 




a  3b  2c 2a  b  3c 3a  2b  c 9  a  b
bc
ac
2


 abc
1 abc
 
 a  b  c 

.
9
2
6

Ví dụ 11: Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng:
ab
bc
ac
abc



.
a  b  2c b  c  2a a  c  2b
4
115


HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN

THÁNG 05/2015

Chứng minh. Áp dụng Nhận xét 8 với n=2, ta có:

1 1
4
 
 x, y  0  .
x y xy

Thay  x; y  lần lượt bằng ba bộ số  a  c; b  c  ;  a  b; a  c  ;  b  c; a  b  ; ta được:

 ab  1
1 
ab

 

 4  a  c b  c  2c  a  b
 bc  1
1 
bc

 

 4  a  b a  c  2a  b  c
 ac  1
1 
ac
 


 4  b  c a  b  2b  a  c
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên, ta được
ab
bc
ac
1  bc  ca ca  ab ab  bc  a  b  c



 


.

2c  a  b 2a  b  c 2b  a  c 4  a  b
bc
ac 
4
 1
1
4
 a  c  b  c  2c  a  b

1
4
 1


. Suy ra

 a  b a  c 2a  b  c
1
4
 1
 b  c  a  b  2b  a  c


4. Kết luận và kiến nghị

Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng hai hàm lồi f ( x)   ln x và f ( x )  x 
( x  0,   0 hoaëc   1) để xây dựng và chứng minh một số bài toán bất đẳng
thức. Bằng cách tương tự với các hàm lồi f ( x)  x ln x( x  0) và f ( x )  ln(1  e x ) ,
chúng ta có thể xây dựng một số bài toán bất đẳng thức khác. Đây là vấn đề chúng
tôi sẽ nghiên cứu trong tương lai.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. R. T. Rokafellar, Convex analysis, Princeton University Press, 1997.
2. T. Phương, Những viên kim cương trong bất đẳng thức, NXB Tri Thức, 2011.

116