Luận văn Nghiên cứu một số giao thức trong tính toán hình học đa bên an toàn

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷
◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ◆●❹❯

◆●❍■➊◆ ❈Ù❯ ▼❐❚ ❙➮ ●■❆❖ ❚❍Ù❈ ❚❘❖◆●
❚➑◆❍ ❚❖⑩◆ ❍➐◆❍ ❍➴❈ ✣❆ ❇➊◆ ❆◆ ❚❖⑨◆

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❍➔ ◆ë✐✱ ✷✵✶✼


❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷
◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ◆●❹❯
◆●❍■➊◆ ❈Ù❯ ▼❐❚ ❙➮ ●■❆❖ ❚❍Ù❈ ❚❘❖◆●
❚➑◆❍ ❚❖⑩◆ ❍➐◆❍ ❍➴❈ ✣❆ ❇➊◆ ❆◆ ❚❖⑨◆
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣
▼➣ sè✿ ✻✵ ✹✻ ✵✶ ✶✷

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿ ❚❙✳ ❚❘❺◆ ❱❿◆ ❉Ô◆●

❍⑨ ◆❐■✱ ✷✵✶✼




ữủ tỹ t rữớ ồ ữ ở
t ữủ tổ ữủ rt sỹ ở

ú ù ừ t t
rữợ t tổ tọ ỏ t ỡ s s t r
ụ trữớ ở t t ú ù
trỹ t ữợ tổ tr sốt q tr tỹ
ồ
ũ tọ ỏ t ỡ t tợ t ổ tr
trữớ ồ ữ ở ữớ tổ ỳ
tự ờ trủ ổ ũ õ tr ỳ ồ ứ q
ụ ỷ ớ ỡ t tợ Pỏ
t s ồ trữớ ồ ữ ở t
tổ tr q tr ồ t
ố ũ tổ ỷ ớ ỡ ỳ ữớ
ổ tổ ở tổ tr q tr tỹ
t ự ừ

ở t





▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆

❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥✿
◆❤ú♥❣ sè ❧✐➺✉ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔
❤♦➔♥ t♦➔♥ tr✉♥❣ t❤ü❝✱ ❝õ❛ tæ✐ ❦❤æ♥❣ ✈✐ ♣❤↕♠ ❜➜t ❝ù ✤✐➲✉ ❣➻ tr♦♥❣ ❧✉➟t
sð ❤ú✉ tr➼ t✉➺ ✈➔ ♣❤→♣ ❧✉➟t ❱✐➺t ◆❛♠✳ ▼å✐ sü ❣✐ó♣ ✤ï ❝❤♦ ✈✐➺❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥
❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝↔♠ ì♥ ✈➔ ❝→❝ t❤æ♥❣ t✐♥ tr➼❝❤ ❞➝♥ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥
✤➲✉ ✤÷ñ❝ ❣❤✐ rã ♥❣✉ç♥ ❣è❝✳ ◆❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥
✈➠♥ ♥➔② ❝❤÷❛ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ tr♦♥❣ ❜➜t ❝ù t➔✐ ❧✐➺✉ ♥➔♦✳

❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✻ ♥➠♠ ✷✵✶✼
❚→❝ ❣✐↔

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◆❣➙✉


▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ♠ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✶✳ ❙è ❤å❝ ▼♦❞✉❧♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✷✳ ❈❤ú ❦➼ ✤✐➺♥ tû ❉❙❆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✶✳✸✳ ▼➣ ❤â❛ ❊❧❣❛♠❛❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼ët sè ❣✐❛♦ t❤ù❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤❛ ❜➯♥ ❛♥
t♦➔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✷✳✶✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ♠æ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✷✳✷✳ ▼ët sè t❤✉➟t t♦→♥ ✈➔ ❣✐❛♦ t❤ù❝ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✷✳✷✳✶✳ ▼➣ P❛❧❧✐❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✷✳✷✳✷✳ ●✐❛♦ t❤ù❝ trë✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

✷✳✷✳✸✳ ●✐❛♦ t❤ù❝ ✈❡❝tì trë✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✾

✷✳✸✳ ●✐❛♦ t❤ù❝ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✷

✷✳✹✳ ●✐❛♦ t❤ù❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❤❛✐ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✾

✷✳✹✳✶✳ ●✐❛♦ t❤ù❝ ❝❤ù❛ ✤✐➸♠ ❤❛✐ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✾

✷✳✹✳✷✳ ●✐❛♦ t❤ù❝ ❣✐❛♦ ♥❤❛✉ ❤❛✐ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✶

❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ❣✐❛♦ t❤ù❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤❛ ❜➯♥
❛♥ t♦➔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✶✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠➣ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✺
✹✺

✸✳✶✳✶✳ ❱➼ ❞ö ♠➣ P❛❧❧✐❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✺

✸✳✶✳✷✳ ❱➼ ❞ö ❣✐❛♦ t❤ù❝ ❦✐➸♠ tr❛ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ r✐➯♥❣ t÷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✻

✸✳✶✳✸✳ ❱➼ ❞ö ❣✐❛♦ t❤ù❝ trë✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽
✸✳✶✳✹✳ ❱➼ ❞ö ❣✐❛♦ t❤ù❝ ✈❡❝tì trë✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✾

✸✳✶✳✺✳ ●✐❛♦ t❤ù❝ tr✉②➲♥ ❦❤æ♥❣ ❜✐➳t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✵

✶


✸✳✷✳ ❱➼ ❞ö ❣✐❛♦ t❤ù❝ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✹

✸✳✷✳✶✳ ❱➼ ❞ö ❣✐❛♦ t❤ù❝ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ❤❛✐ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✹

✸✳✷✳✷✳ ❱➼ ❞ö ❣✐❛♦ t❤ù❝ ❤♦→♥ ✈à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✺

✸✳✷✳✸✳ ❱➼ ❞ö ❣✐❛♦ t❤ù❝ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ❤❛✐ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✼

✸✳✸✳ ❱➼ ❞ö ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù❛ ✤✐➸♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✾

✸✳✹✳ ❱➼ ❞ö ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤❛ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✵

✸✳✺✳ ✣→♥❤ ❣✐→ t➼♥❤ ❛♥ t♦➔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✸

❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✺

❉❛♥❤ ♠ö❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✻

✷


▲❮■ ▼Ð ✣❺❯
✶✳ ▲➼ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐
❚r♦♥❣ ❝✉ë❝ sè♥❣ ♥❣➔② ♥❛②✱ ♥❤✉ ❝➛✉ tr❛♦ ✤ê✐ t❤æ♥❣ t✐♥✱ ❞ú ❧✐➺✉ ❣✐ú❛
❝→❝ ❝ì q✉❛♥✱ tê ❝❤ù❝✱ ❝æ♥❣ t②✱✳ ✳ ✳ ❧✉æ♥ ✤á✐ ❤ä✐ ♥❣➔② ❝➔♥❣ ❝❛♦✱ ❝❤➼♥❤ ✈➻ ✈➟②
✈✐➺❝ ❣✐ú ❜➼ ♠➟t ❝→❝ t❤æ♥❣ t✐♥ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ q✉❛♥ trå♥❣ ❤➔♥❣
✤➛✉✱ ❦❤✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❦➳t ♥è✐ ♠↕♥❣ ♥ë✐ ❜ë ❝õ❛ ❝→❝ ❝ì q✉❛♥✱ tê ❝❤ù❝✱ ❝æ♥❣ t②
✈î✐ ■♥t❡r♥❡t✱✳ ✳ ✳ ◆❣➔② ♥❛②✱ ❝→❝ ❜✐➺♥ ♣❤→♣ ❛♥ t♦➔♥ t❤æ♥❣ t✐♥ ❝❤♦ ♠→② t➼♥❤
❝→ ♥❤➙♥ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ♠↕♥❣ ♥ë✐ ❜ë ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ tr✐➸♥ ❦❤❛✐✳
❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ✈➝♥ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ ❝â ❝→❝ ♠↕♥❣ ❜à t➜♥ ❝æ♥❣✱ ❝â ❝→❝ tê ❝❤ù❝ ❜à
✤→♥❤ ❝➢♣ t❤æ♥❣ t✐♥✱ ❣➙② ♥➯♥ ♥❤ú♥❣ ❤➟✉ q✉↔ ✈æ ❝ò♥❣ ♥❣❤✐➯♠ trå♥❣✱ ❦❤✐
✤â ✤á✐ ❤ä✐ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐ú ❜➼ ♠➟t ♣❤↔✐ t❤➟t sü t✐♥ t÷ð♥❣ ✈➔♦
♥❤❛✉✱ ♠ët q✉②➳t ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣÷í✐ ♥➔② ❝ô♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ sü q✉②➳t ✤à♥❤ ❝õ❛ t➜t
❝↔ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ t❤❛♠ ❣✐❛✳ ❍✐➺♥ ♥❛② ✤➣ ❝â ♥❤✐➲✉ ❜✐➺♥ ♣❤→♣ ♥❤➡♠ ♥➙♥❣
❝❛♦ ❜↔♦ ♠➟t ✈➔ ❛♥ t♦➔♥ t❤æ♥❣ t✐♥ ♥❤➡♠ ♣❤ö❝ ✈ö ❝❤♦ ♥❤✉ ❝➛✉ ✈➔ ♠ö❝
✤➼❝❤ ❝õ❛ ❝♦♥ ♥❣÷í✐ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❣✐ú ❜➼ ♠➟t✱ ❣✐❛♦ t❤ù❝ ❝❤✐❛ s➫ ❜➼ ♠➟t ❧➔ ♠ët

tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❜✐➺♥ ♣❤→♣ ❣✐ú ❜➼ ♠➟t ✤÷ñ❝ ✤↔♠ ❜↔♦ ❛♥ t♦➔♥✳ ❇ð✐ tr♦♥❣ ❝❤✐❛
s➫ ❜➼ ♠➟t t❤➻ t❤æ♥❣ t✐♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♦ ❝❤♦ ♠ët ♥❣÷í✐ ♥➢♠ ❣✐ú✱
♠➔ t❤æ♥❣ t✐♥ ✤â ✤÷ñ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ♥❤✐➲✉ ♠↔♥❤✱ tr❛♦ ❝❤♦ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❣✐ú
♠ët ♠↔♥❤ ❤❛② ♠ët sè ♠↔♥❤✱ t❤æ♥❣ t✐♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❝❤➾ ✤÷ñ❝ ①❡♠ ❧↕✐✱ ❦❤✐
t➟♣ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ✤÷ñ❝ ❝❤➾ ✤à♥❤ tr÷î❝ ✤➲✉ ♥❤➜t tr➼✳ ❱➻ ✈➟② ♠➔ ♠ët ♥❣÷í✐
t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐ú ❜➼ ♠➟t ❝õ❛ r✐➯♥❣ ♠➻♥❤ ✈➔ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ❜✐➳t ✤÷ñ❝ ❜➼ ♠➟t ❝õ❛
♥❣÷í✐ ❦❤→❝✳ ❉♦ ✤â ♥â ✤↔♠ ❜↔♦ ✈✐➺❝ t➼♥❤ t♦→♥ ✤❛ ❜➯♥ ✤÷ñ❝ ❛♥ t♦➔♥✳
●✐❛♦ t❤ù❝ tr♦♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤❛ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥ ❧➔ ♠ët ❧➽♥❤ ✈ü❝
♠î✐ ♠➫ ❝õ❛ ❛♥ t♦➔♥ ❜↔♦ ♠➟t t❤æ♥❣ t✐♥✱ ♥❤÷♥❣ ❤ù❛ ❤➭♥ s➩ ♠❛♥❣ ✤➳♥


♥❤ú♥❣ ù♥❣ ❞ö♥❣ rë♥❣ ❦❤➢♣ ð t➜t ❝↔ ❝→❝ ❧➽♥❤ ✈ü❝✱ ❝→❝ ♥❣➔♥❤ ♥❣❤➲ ❝➛♥
✤↔♠ ❜↔♦ ❣✐ú ❜➼ ♠➟t✳
❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ♠ët ♥❣÷í✐ ❝â ♠ët ✤✐➸♠ ✈➔ ♥❣÷í✐ ❦✐❛ ❝â ♠ët ✤❛ ❣✐→❝ ❧ç✐✱
❤❛✐ ♥❣÷í✐ ❝➛♥ ①❡♠ ✤✐➸♠ ✤â ❝â ♥➡♠ tr♦♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ❧ç✐ ❦❤æ♥❣✱ ♠➔ ❦❤æ♥❣
❜➯♥ ♥➔♦ t✐➳t ❧ë t❤æ♥❣ t✐♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ❝❤♦ ❜➯♥ ❦✐❛✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤â t❤✉ë❝ ❧➽♥❤
✈ü❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤❛ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥✳
✣÷ñ❝ sü ❣ñ✐ þ ❝õ❛ ❚❙✳ ❚r➛♥ ❱➠♥ ❉ô♥❣ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ✈➔ ♥❤➟♥ t❤➜② t➼♥❤
t❤✐➳t t❤ü❝ ❝õ❛ ✈➜♥ ✤➲ ❡♠ ✤➣ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐

✏◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè ❣✐❛♦

t❤ù❝ tr♦♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤❛ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥✑ ✤➸ ❧➔♠ ♥ë✐ ❞✉♥❣
❝❤♦ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
▲➔♠ t❤➳ ♥➔♦ ✤➸ ❝❤✐❛ s➫ ✤÷ñ❝ t❤æ♥❣ t✐♥ ♠➟t ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ t❤✉➟t t♦→♥
✈➔ ❝→❝ ❣✐❛♦ t❤ù❝ t➼♥❤ t♦→♥ ✤❛ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ✈➔ tr♦♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝
❤➻♥❤ ❤å❝ ♥â✐ r✐➯♥❣✳

✸✳ ◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝ì sð ❧þ t❤✉②➳t ✈➔ ♠ët sè ❣✐❛♦ t❤ù❝ t➼♥❤ t♦→♥ tr♦♥❣ ❤➻♥❤
❤å❝ ✤❛ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥✱ ❝ö t❤➸ ✤÷❛ r❛ ❣✐↔✐ ♣❤→♣ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù❛ ✤✐➸♠✱
❣✐❛♦ ❤❛✐ ✤❛ ❣✐→❝ ❧ç✐✱ t➻♠ ❝➦♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ♥❤➜t ✭✈î✐ ♠é✐ t➟♣ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ ✈➲
♠ët ❜➯♥✮✱ t➻♠ ❜❛♦ ❧ç✐ ❝❤✉♥❣✳

✹✳ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✣è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❣✐❛♦ t❤ù❝ tr♦♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤❛ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥ ✈➔
ù♥❣ ❞ö♥❣

P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr➯♥ ❝ì sð t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ tr÷í♥❣ sè ♠♦❞✉❧♦✱ ❝→❝ ❣✐❛♦ t❤ù❝

✹


t➼♥❤ t♦→♥ ✤❛ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥ ✈➔ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤♦↕✳

✺✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧þ t❤✉②➳t✱ ❦➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ❝→❝ ❣✐↔✐ ♣❤→♣ t❤ü❝ t➳ ✈➔ →♣ ❞ö♥❣
✈➔♦ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝✉ë❝ sè♥❣✳

✻✳ ❉ü ❦✐➳♥ ✤â♥❣ ❣â♣ ♠î✐
❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❝ì sð ❧þ t❤✉②➳t ❚➼♥❤ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤❛ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥ ✈➔
tr➻♥❤ ❜➔② ❣✐↔✐ ♣❤→♣ t❤æ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❣✐❛♦ t❤ù❝ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❝ö t❤➸ ✈î✐
sè ❧✐➺✉ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳

✺

◆❐■ ❉❯◆●
◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝
❝❤✐❛ ❧➔♠ ✸ ❝❤÷ì♥❣✿
❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ▼ët sè ❣✐❛♦ t❤ù❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤❛ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥
❈❤÷ì♥❣ ✸✿ ▼ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤❛ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥

✻


ữỡ
tự ỡ s
ữỡ s tr tt ờ trủ ỹ
tự t t ồ t ữ t rt
rớ r r rt ỳ tỷ

ố ồ
số tố tố ũ

số ữỡ n số a, b ữủ ồ
ỗ ữ t ổ ú õ ũ số ữ n
tữỡ ữỡ ợ a b t n
a, b ỗ ữ t ổ a b(modn)
q tữỡ ữỡ
ử 21 9 4 số ữ 1


21 9(mod4).
tr õ

ữ ừ

a số ữỡ ọ ỡ n t a ữủ ồ

b n ổ a ữủ ồ t ữ ừ b t

n
ủ số tứ
t


n

0



n1

ữủ ồ t ủ t ữ

n õ ợ ộ số a, t ữ

ởt số ữ tr t ủ t ữ t

n



▼♦❞✉❧♦ sè ❤å❝ ❝ô♥❣ ♥❤÷ sè ❤å❝ ❜➻♥❤ t❤÷í♥❣✱ ❜❛♦ ❣ç♠

❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣✱ ♥❤➙♥ ❝â t➼♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✱ ❦➳t ❤ñ♣ ✈➔ ♣❤➙♥ ♣❤è✐✳ ▼➦t
❦❤→❝✱ ❣✐↔♠ ♠é✐ ❣✐→ trà tr✉♥❣ ❣✐❛♥ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ t➼♥❤ t♦→♥ ❜➡♥❣
❝→❝❤ t❤❛② ❝→❝ sè ❜➡♥❣ ❝→❝ sè t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ ❝❤ó♥❣ t❤❡♦ ♠♦❞✉❧♦✿
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✳✶✳

(a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n
(a − b) mod n = ((a mod n) − (b mod n)) mod n
(a.b) mod n = ((a mod n).(b mod n)) mod n
(a.(b + c)) mod n = ((a.b) mod n) + ((a.c) mod n) mod n

❙è ♥❣✉②➯♥ tè✳
❙è ♥❣✉②➯♥ tè ❧➔ sè tü ♥❤✐➯♥ ❧î♥ ❤ì♥ 1, ❝❤➾ ❝â ❤❛✐ ÷î❝ sè ❞÷ì♥❣ ♣❤➙♥ ❜✐➺t
❧➔ 1 ✈➔ ❝❤➼♥❤ ♥â✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳

2, 3, 5, 7, 11, 17, 43, 73, 524287, 2147483647, . . . ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥

tè✳ ❙è ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❧➔ ✈æ t➟♥✳
❍➺ ♠➟t ♠➣ t❤÷í♥❣ ❞ò♥❣ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❝ï 512 ❜✐ts ✈➔ t❤➟♠ ❝❤➼ ❧î♥ ❤ì♥
✈➟②✳

❙è ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉✳
❍❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❛✱ ❜ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉ ♥➳✉ ÷î❝
❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❜➡♥❣ 1.
❑➼ ❤✐➺✉✿ Gcd(a, b) = 1 ❤♦➦❝ ♥❣➢♥ ❣å♥ ❧➔ ✭❛✱ ❜✮❂✶✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳

21

✈➔ 25 ❧➔ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉ ✈➻ Gcd(21, 25) = 1.

❈→❝❤ ❞➵ ♥❤➜t ✤➸ t➼♥❤ t♦→♥ r❛ ÷î❝ sè ❝❤✉♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❤❛✐ sè ❧➔ ♥❤í
✈➔♦ t❤✉➟t t♦→♥ ❊✉❝❧✐❞✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳

❙è ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ♠♦❞✉❧♦✳
✽


số ữỡ n số a tố ũ t
tỗ t t ởt số x {0, 1, 2, ..., n 1} s a.x 1(modn).
ố x ữủ ồ ừ a t n ỵ x =
a1 (modn).

ừ 5 17 7 35 1(mod17).
51 7(mod17)

ử

t

ố õ t t s

a, b Zn P a b t n t ừ a b1

t n ữủ b õ t
n
a Zn a gcd(a, n) = 1.
sỷ d = Gcd(a, n) Pữỡ tr ỗ ữ ax = b mod n õ
x d t b tr trữớ ủ
tr 0 n 1 t ỗ ữ t
n

d
số a > 0 tố ũ ợ n t ổ
tỗ t tỷ ừ a t n
ự
t t ủ {1, 2, 3, ..., n 1} , tứ tỷ ừ t ủ ợ
a t n, ữủ t ủ (a mod n), (2a mod n), (3a mod
n), . . . ((n1)a mod n) s ỗ số 1, 2, 3, . . . , n1, õ
ố ợ ú ởt số tr i õ s tọ ia mod n = 1.
t t ữủ i tỷ ừ a i t
ỵ




ữ p số tố t t ý số a s 0 < a < p
ổ tỗ t tỷ t p
q

ử

5.2 1(mod9)

2 51 mod 9.

rt
p số tố a số tố ũ ợ p t

ỵ

ap1 1(modp).
ử

34 1 mod 5,

26 mod 7 = 1,
2100 mod 7 = 24 mod 7 = 2.

r
r t số ữỡ ỵ (n) ữủ t số
số tứ tố ũ ợ


ổ ởt số t t q trồ ừ r
t

(1) = 1.

t số tố t
t ữ

p

q

(p) = p 1.

số tố ũ t

(pq) = (p) . (q).
t

(ps ) = ps1 (p 1).

t ữ

n = pe11 pe22 ...pekk



p1 , p2 , ..., pk

tố t

(n) = n 1

1
p1

1

1
p2

... 1

1
pk

.

số


❇↔♥❣ ❞÷î✐ ✤➙② tr➻♥❤ ❜➔② ✸✵ ❣✐→ trà ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛
❦❤æ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤✱ ♥❤÷♥❣ ❝♦✐ r➡♥❣ ♥â ❜➡♥❣

●✐→ trà

ϕ(1)

❧➔

1✳

▼ët sè ❣✐→ trà ❝õ❛ ❤➔♠ ❊✉❧❡r

❱➼ ❞ö ✶✳✼✳

ϕ(n)✳

ϕ(n)

♥

ϕ(n)

♥

ϕ(n)

♥

ϕ(n)

✶

✶

✶✶

✶✵

✷✶

✶✷

✷

✶

✶✷

✹

✷✷

✶✵

✸

✷

✶✸

✶✷

✷✸

✷✷

✹

✷

✶✹

✻

✷✹

✽

✺

✹

✶✺

✽

✷✺

✷✵

✻

✷

✶✻

✽

✷✻

✶✷

✼

✻

✶✼

✶✻

✷✼

✶✽

✽

✹

✶✽

✻

✷✽

✶✷

✾

✻

✶✾

✶✽

✷✾

✷✽

✶✵

✹

✷✵

✽

✸✵

✽

❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t tr➯♥ t❛ ❝â

ϕ(7) = 6
ϕ(13) = 12
ϕ(p) = p − 1
ϕ(p.q) = ϕ(p).ϕ(q)

✈➻ (p, q) = 1

ϕ(pk ) = pk − pk−1
ϕ(8) = 23 − 22 = 4
ϕ(56) = ϕ(7).ϕ(8) = 6.(23 − 22 ) = 24
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳

✭✣à♥❤ ❧þ ❊✉❧❡r✮ ◆➳✉ n ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❜➜t ❦➻ ✈➔ a

❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉ ✈î✐ n t❤➻ aϕ(n) ≡ 1(modn).
✶✶


tờ qt õ ừ ỵ ọ rt n = p số
tố t (p) = p 1.
ự ồ a1, a2, ..., a(n) số ữỡ ọ ỡ n
tố ũ ợ n.
ợ ồ số t i, j {1, 2, ..., (n)} (ai, n) = (aj , n) = 1,
(aai , n) = (aaj , n) = 1; aai = aaj (modn).

aa1, aa2, ..., aa(n) ởt t ổ n ừ aa1, aa2, ...,
aa(n) .

r
a1 a2 ...a(n) (aa1 )(aa2 )...(aa(n) ) a(n) a1 a2 ...a(n) (modn).

ữợ ỗ ữ tự t õ a(n) 1(modn)
ỵ õ t ữủ sỷ ử ữợ ợ ổ

n

rt ợ ỵ r ụ ỵ ỡ ừ tố õ


ử

a = 3, n = 10, (10) = 4, 34 = 81 1(mod10),
a = 2, n = 11, (11) = 10, 210 = 1024 1(mod11).

ử

ỳ số t ũ ừ số 7222.

õ 7222 74.55+2 74 55.72 155.72 49 9(mod10).
7222 õ ỳ số t ũ 9
ờ

ờ t ữợ ợ t ừ số

t s tỗ t số s d = ax + by



ỵ ữ r
ỵ ữ tr t ữớ ữỡ t t
ỵ ữớ r ố ồ õ t ử
tr r q số ổ q
rỗ số ữ ứ õ ổ t ữủ q
số tứ ữớ
ỵ ữ r ữủ t ữ s

n 2, m1, m2, ..., mn ỳ số ữỡ
0 ổ ởt tố ũ a1 , a2 , ..., an số t ý
õ ữỡ tr ỗ ữ x ai(modmn) õ
t t ổ M = m1.m2....mn.
ỵ

ự
õ ự rữợ t sỹ tỗ t ừ

t s õ ự t t ừ
ớ ú t ự sỹ tỗ t t t

ỵ tt ỗ ữ tỗ t s

x = a1 + m1 u, x = a2 + m2 v.
t ồ

u, v

tọ

a1 a2 = m2 v m1 u,

t ờ rt tr ữ tỗ t

x



tọ

ữỡ tr ỗ ữ tr
ớ t s ự t t ừ t
sỷ

x, x

ừ ữỡ tr t õ

x x (modmi ), i = 1, ...n.



❉♦ ✤æ✐ ♠ët ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣ ♥❤❛✉ ♥➯♥ t❛ ♣❤↔✐ ❝â

x ≡ x (modm1 ...mn ).

❚❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤÷ñ❝ t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ t❤❡♦ ♠♦❞

❱➼ ❞ö ✶✳✶✵✳

m1 .m2 ...mn .

●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤ç♥❣ ❞÷✿



x ≡ 2(mod3)


x ≡ 3(mod5)



 x ≡ 5(mod7)

●✐↔✐✿ ❚❛ ❝â

▼ ❂ ✸✳✺✳✼ ❂ ✶✵✺

M1 = 5.7 = 35
M2 = 3.7 = 21
M3 = 3.5 = 15

❚ø ✤â✱
y1 = 35−1 (mod3) = 2−1 (mod3) = 2
y2 = 21−1 (mod5) = 1−1 (mod5) = 1
y3 = 15−1 (mod7) = 1−1 (mod7) = 1

❉➝♥ ✤➳♥
x ≡ 2.35.2 + 3.21.1 + 5.15.1(mod105)
x ≡ 140 + 63 + 75(mod105)
x ≡ 278(mod105)
x ≡ 68(mod105).

◆❤÷ ✈➟② ① ❝â ❞↕♥❣✿ x = 68 + 105k ✭k ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❜➜t ❦ý✮✳
❈➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤✉✛ ✈➔ ❧♦❣❛r✐t rí✐ r↕❝
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳

✭❈➜♣ ❝õ❛ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥✮
✶✹


❈❤♦ n > 1 ✈➔ a ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ (a, n) = 1. ❙è ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣
k ♥❤ä ♥❤➜t t❤ä❛ ♠➣♥ ak ≡ 1(modn) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝➜♣ ❝õ❛ a ♠♦❞✉❧♦ n.
❑➼ ❤✐➺✉ k = ordn(a).
❱➼ ❞ö ✶✳✶✶✳

✿ a = 3, n = 10 ❝â 34 ≡ 1(mod10). ❱➟② 4 = ord10(3).

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳

✭❈➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ②✮

❈❤♦ n > 1 ✈➔ a ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✿ (a, n) = 1. ◆➳✉ ϕ(n) = ordn(a)
t❤➻ a ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ② ♠♦❞✉❧♦ n✳
❱➼ ❞ö ✶✳✶✷✳

4 = ord10 (3)

3 ❧➔ ♠ët ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ② ♠♦❞✉❧♦ 10 ✈➻ (3, 10) = 1, ϕ(10) =

♥➯♥ 3 ❧➔ ♠ët ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ② ♠♦❞✉❧♦ 10.

❚❛ ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✿ ◆➳✉ a ❧➔ ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ② (modn) t❤➻ ♠å✐ sè ❝ò♥❣ ❧î♣ ✈î✐
a t❤❡♦ (modn) ✤➲✉ ❧➔ ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ② (modn).
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✷✿ ◆➳✉ a ❧➔ ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ② ( mod n) t❤➻ t➟♣ A = 1, a, a2, ..., ah−1
❧➔ ❤➺ t❤➦♥❣ ❞÷ t❤✉ ❣å♥ (modn) ✭❧ó❝ ♥➔② h = ϕ(n)✮✳
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✸✿ ◆➳✉ p ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè t❤➻ ❝â ✤ó♥❣ ϕ(p − 1) ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥
t❤õ② (modp).
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✹✿ ◆➳✉ p ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè ❧➫ ✈➔ a ❧➔ ♠ët ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ②
(modp2 ) t❤➻ a ❝ô♥❣ ❧➔ ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ② (modpn ) ✈î✐ n ≥ 3.
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✺✿ ❈❤♦ m ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥✱ m > 1 ❦❤✐ ✤â m ❝â ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥
t❤õ② ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ m ❝â ♠ët tr♦♥❣ ✹ ❞↕♥❣ s❛✉✿ 2, 4, pα, 2pα ✭tr♦♥❣ ✤â p
❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè ❧➫✮✳
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✳✸✳

▲♦❣❛r✐t rí✐ r↕❝
❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ r➡♥❣ ✈î✐ ❤❛✐ sè t❤ü❝

t❤➻

x

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧♦❣❛r✐t ❝ì sè

a

x, y

❝õ❛

y✱

✶✺

✈➔ ❝ì sè

a > 0, a = 1✱ ♥➳✉ ax = y

❦þ ❤✐➺✉

x = loga y ✳


rt rớ r õ ự ử tr t õ ổ t



p

ởt số tố t õ số

Zp = {1, 2, ..., p}

ợ

k

t t tứ


p

p

p

ừ ởt số tr õ rỗ rút ồ t

t t ữủ ởt số tr õ õ tr ữủ ồ

tứ rớ r
ợ

p

p = 17

a = 3, k = 4

t õ

34 = 81 13(mod17).

rt rớ r t ữủ
t

3k 13(mod17)

k.

t

ú t tổ q tỷ ữủt t ụ tứ rớ
r t
t ữủ

32 9(mod17), 33 10(mod17) 34 13(mod17)

k = 4.

ữ t rt rớ r t õ

ỳ tỷ
ỳ ỵ tỷ ữủ sỷ ử tr tỷ t t
tứ tỹ t ỳ ỵ tỷ ụ ự
ữủ ữớ ừ ừ ởt ỳ õ ỳ

õ õ t ờ ổ
ồ số tố

160

t

q

L

t

ồ ởt số tố
õ

512 L 1024 L



ồ số



ồ

x

h

ợ

p

s

t

0 < x < q


ợ số

64

1 < h < p 1,

t

p = qz + 1

t

g

s

g=h

p1

q

.

z


y = g x (modp)✳

•

❚➼♥❤ ❣✐→ trà

•

❑❤♦→ ❝æ♥❣ ❦❤❛✐ ❧➔

(p, q, g, y)✳

✣➸ ❦þ ♠ët t❤æ♥❣ ❜→♦

m

❑❤♦→ r✐➯♥❣ ❧➔

x.

♥❣÷í✐ sû ❞ö♥❣ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ ❜÷î❝ s❛✉✿

0

❞ò♥❣ ①♦♥❣ ①â❛ ♥❣❛② ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❞ò♥❣

r = (g k (modp))(modq).
(h + xr)
❚➼♥❤ s =
(modq).
k
❈❤ú ❦þ tr➯♥ m ❧➔ ❝➦♣ (r, s)✱ ❧÷✉

þ r➡♥❣ ❝❤ú ❦þ ♥➔② ❝â ✤ë ❞➔✐ ❦❤♦↔♥❣

✲ ❈❤å♥ ❦❤â❛ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
♥ú❛✳
✲ ❚➼♥❤✿
✲

320

❜✐t✳

✣➸ ①→❝ ♠✐♥❤ ❝❤ú ❦þ

(r, s)

tr➯♥ t✐♥ ♥❤➢♥

m

①→❝ ♠✐♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝

❜÷î❝ s❛✉✳
❚➼♥❤

h
(modq),
s
r
b = (modq),
s
a=

v = (g a y b (modp))(modq) ✭y

❧➔ ❦❤â❛ ❝æ♥❣ ❦❤❛✐ ❝õ❛ ♥❣÷í✐ ❣û✐✮✳

❈❤➜♣ ♥❤➟♥ ❝❤ú ❦þ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

❱➼ ❞ö ✶✳✶✸✳

v = r.

q = 13, p = 4q + 1 = 53, g = 16.

●✐↔ sû ❝➦♣ ❦❤â❛ ❝æ♥❣ ❦❤❛✐✴ ❦❤â❛ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♥❣÷í✐ ❞ò♥❣ ❝❤♦ ❜ð✐ x = 3 ✈➔
y = g 3 (modp) = 15.

❇➙② ❣✐í ✤➸ ❦➼ ♠ët t✐♥ ♥❤➢♥ ✈î✐ ❣✐→ trà ❜➠♠ h = 5✱ tr÷î❝ t✐➯♥ s✐♥❤ ❦❤â❛
❜➼ ♠➟t k = 2 ✈➔ t➼♥❤
r = (g k (modp))(modq) = (162 (mod53))(mod13) = 44 mod 13 = 5,

5 + 3.5
(h + xr)
s=
(modq) =
(mod13) = 10.
k
2

❈❤ú ❦➼ tr➯♥ m ❧➔ (5, 10). ✣➸ ①→❝ ♠✐♥❤ ❝❤ú ❦➼ tr➯♥ t❛ t➼♥❤✿
✶✼


h
5
(modq) = (mod13) = 21 (mod13) = 7,
s
10
5
r
b = (modq) = (mod13) = 21 (mod13) = 7,
s
10
a b
v = (g y (modp))(modq) = (167 27 (mod53))(mod13) = 5.

a=

v = r ỳ ỵ

õ

ỳ ỵ ữủ tt r t ử ỳ ỵ
tr ữủ ợ tữớ ữủ sỷ ử õ ổ
ỳ ỵ ỳ ỵ ổ õ rt
tr ỳ ỵ ũ ởt tổ trữợ t t
õ t ý tr ỳ ỵ ữ tỹ

B

s t t ỳ ỵ sỷ ử tr t

ừ õ số t

k

A

ởt

tr ỵ ự

õ t tỹ ữủ ợ tổ t ữủ ổ

õ
t ởt ổ t q ừ ởt õ
s

g

ồ ởt số

tt ở

y

ũ ợ ổ t

G q

x {1, ..., q 1}

(G, q, g, y)

ợ tỷ

rỗ t

y = gx.

õ ổ ỳ

x

õ r

õ
õ tổ
ồ ởt số

m

ũ õ ổ

r {1, ..., q 1}

t s t



c1 = g r .

s = yr .

ờ t tổ
t

rỗ t

(G, q, g, y),

m ừ t ởt tỷ m G,

c2 = m .s.



❇♦❜ ❣û✐ ❜↔♥ ♠➣

(c1 , c2 ) = (g r , m .y r )

❈❤ó þ r➡♥❣ ❝â t❤➸ ❞➵ ❞➔♥❣ t➼♥❤

✤÷ñ❝ s✐♥❤

r

yr

✤➳♥ ❆❧✐❝❡✳

m.

♥➳✉ ❜✐➳t

r

❉♦ ✤â✱ ♠ët sè

❝❤♦ ♠é✐ t❤æ♥❣ ✤✐➺♣ ✤➸ ❧➔♠ ❛♥ t♦➔♥ ❤ì♥✳ ✣â ❧➔ ❧➼ ❞♦

r

♠î✐

✤÷ñ❝

❣å✐ ❧➔ ❦❤â❛ ❦❤æ♥❣ ❜➲♥✳

●✐↔✐ ♠➣
✣➸ ❣✐↔✐ ♠➣ ❜↔♥ ♠➣

t = c1 x

m, t−1

✤✐➺♣
♥➳✉

✈➔ t➼♥❤✿

G

(c1 , c2 )

✈î✐ ❦❤â❛ r✐➯♥❣ ①✱ ❆❧✐❝❡ t➼♥❤ ✈➔ ❝❤✐❛ s➫ ❜➼ ♠➟t

m = c2 .t−1

❧➔ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦

t

♠➔ s❛✉ ✤â ❝❤✉②➸♥ trð ❧↕✐ ✈➔♦ ❜↔♥ rã t❤æ♥❣
tr♦♥❣ ♥❤â♠

G

✭♠æ ✤✉♥ ♥❤➙♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦✮

❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ ♥❤â♠ ♥❤➙♥ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ♠æ✲✤✉♥

n✳

❚❤✉➟t t♦→♥ ❣✐↔✐ ♠➣ t↕♦ r❛ t❤æ♥❣ ✤✐➺♣ ❞ü ✤à♥❤

c2 .t−1 = (m .s).c1 −x = m .y r .g −xr = m .g xr .g −xr = m .
✣➸ ❣✐↔✐ ♠➣ ♠ët ❜↔♥ ♠➣
t➼♥❤✿

t = c1 q−x = g (q−x)r .t

❧þ ▲❛❣r❛♥❣❡ ❜ð✐ ✈➻✿

✱ ✈î✐ ❦❤♦→ ❝→ ♥❤➙♥ ❝õ❛ ❆❧✐❝❡

❧➔ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛

t✳

x,

❆❧✐❝❡

✣➙② ❧➔ ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ✤à♥❤

t.t = g xr .g (q−x).r = (g q )r = 1r = 1,

♣❤➛♥ tû ✤ì♥ ✈à tr♦♥❣
❆❧✐❝❡ t➼♥❤

(c1 , c2 )

tr♦♥❣ ✤â

1

❧➔

G✳

m = c2 .t ,

❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤â ❝æ ➜② s➩ trð ❧↕✐ ❜↔♥ rã t❤æ♥❣ ✤✐➺♣

m✳
❚❤✉➟t t♦→♥ ❣✐↔✐ ♠➣ t↕♦ r❛ t❤æ♥❣ ✤✐➺♣ ❞ü ✤à♥❤✿

c2 .t = m .s.t = m .y r .t = m .g xr .t
= m .(g r )x .t = m .c1 x .t
= m .t.t = m
❱➼ ❞ö ✶✳✶✹✳

❆❧✐❝❡ s✐♥❤ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè ♠æ ✤✉♥ p ✈➔ ♠ët ♥❤â♠ G s✐♥❤

❜ð✐ g ∈ {1, ..., p − 1} , p = 2879, g = 2585.
❆❧✐❝❡ ❝❤å♥ ♠ët sè ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧➔♠ ❦❤â❛ r✐➯♥❣✿ x = 47. ❈æ ➜② t➼♥❤✿
y = g x = 258547 = 2826(mod2879).
✶✾


❑❤â❛ ❝æ♥❣ ❦❤❛✐ ❝õ❛ ❆❧✐❝❡ ❧➔✿ (p, g, y) ✈➔ ❣û✐ ✤➳♥ ❇♦❜✳ ❑❤â❛ r✐➯♥❣ x ð
✤➙② ❝❤➾ ❆❧✐❝❡ ❜✐➳t✳

❇♦❜ t↕♦ r❛ t❤æ♥❣ ✤✐➯♣✿ m = 77
❈❤å♥ ♠ët sè ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ r = 65 ✈➔ t➼♥❤ ❜↔♥ ♠➣
c1 = g r = 258565 = 319(mod2879),
c2 = m.y r = 77.282665 = 472(mod2879).
472
❆❧✐❝❡ ❝â t❤➸ ❣✐↔✐ ♠➣ ❜↔♥ ♠➣✿ cc2x = 319
47 = 77(mod2879).
1
❚â♠ t➢t ❝❤÷ì♥❣ ✶✿ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝
❝ì ❜↔♥ ♥❤÷✿ sè ❤å❝ ♠♦❞✉❧♦✱ sè ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ♠♦❞✉❧♦✱ ✤à♥❤ ❧➼ ♣❤➛♥ ❞÷ ❚r✉♥❣
❍♦❛✱ ✤à♥❤ ❧➼ ❋❡r♠❛t✱ ✳✳✳❀ ❝❤ú ❦➼ ✤✐➺♥ tû ❉❙❆✱ ▼➣ ❊❧❣❛♠❛❧ ❧➔♠ ♥➲♥ t↔♥❣
❝❤♦ ❝→❝ ❣✐❛♦ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳

✷✵


❈❤÷ì♥❣ ✷
▼ët sè ❣✐❛♦ t❤ù❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❤➻♥❤
❤å❝ ✤❛ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥
✷✳✶✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ♠æ ❤➻♥❤
●✐❛♦ t❤ù❝✿ ❚➟♣ ❤ñ♣ ♥❤ú♥❣ q✉② t➢❝✱ q✉② ÷î❝ tr✉②➲♥ t❤æ♥❣ ✤÷ñ❝ ❣å✐
❧➔ ❣✐❛♦ t❤ù❝ ❝õ❛ ♠↕♥❣ ✭♣r♦t♦❝♦❧✮✳ ▼ët t➟♣ ❤ñ♣ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ✤➸ tr❛♦ ✤ê✐
t❤æ♥❣ t✐♥ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ❤➺ t❤è♥❣ ♠→② t➼♥❤ ❤♦➦❝ ❤❛✐ t❤✐➳t ❜à ♠→② t➼♥❤ ✈î✐ ♥❤❛✉
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❣✐❛♦ t❤ù❝✳ ❈→❝ ❣✐❛♦ t❤ù❝ ❝á♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ♥❣❤✐ t❤ù❝ ❤♦➦❝
✤à♥❤ ÷î❝ ❝õ❛ ♠→② t➼♥❤✳
❙ü ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛ ■♥t❡r♥❡t ✤➣ ♠ð r❛ ♥❤ú♥❣ ❝ì ❤ë✐ ❤ñ♣ t→❝ t➼♥❤ t♦→♥
t♦ ❧î♥✱ ♥ì✐ ♠➔ ❝→❝ ❝➙✉ tr↔ ❧í✐ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❝→❝ ②➳✉ tè ✤➛✉ ✈➔♦ r✐➯♥❣
❝õ❛ ❝→❝ ❜➯♥ r✐➯♥❣ ❜✐➺t✳ ◆❤ú♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ t❤➟♠ ❝❤➼ ❝â t❤➸ ①↔② r❛ ❣✐ú❛ ❝→❝
❤❛✐ ❜➯♥ ❦❤æ♥❣ ❝❤➙♥ t❤➟t✳ ❱➜♥ ✤➲ ❧➔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥✱ ♥➳✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ ♣❤➨♣
t✐➳♥ ❤➔♥❤ ❝→❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❝õ❛ ♠ët ❜➯♥ t✐♥ t÷ð♥❣ r➡♥❣ s➩ ❜✐➳t ❝→❝ ✤➛✉ ✈➔♦

tø t➜t ❝↔ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ t❤❛♠ ❣✐❛❀ t✉② ♥❤✐➯♥ ♥➳✉ ❜è✐ ❝↔♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝❤♦ ♣❤➨♣
✤✐➲✉ ♥➔② t❤➻ ❝→❝ ❦ÿ t❤✉➟t t➼♥❤ t♦→♥ ✤❛ ❜➯♥ ❛♥ t♦➔♥ trð ♥➯♥ r➜t ♣❤ò ❤ñ♣
✈➔ ❝â t❤➸ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ❝→❝ ❣✐↔✐ ♣❤→♣ ❤ú✉ ➼❝❤✳
❚r♦♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ t♦→♥ ❤➻♥❤
❤å❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t tr♦♥❣ ♠ët ♠æ✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ t→❝✱
tr♦♥❣ ✤â ❤❛✐ ❜➯♥ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❞ü❛ tr➯♥ ❞ú
❧✐➺✉ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤å✱ ♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ♠✉è♥ t✐➳t ❧ë ♥❤ú♥❣ ❞ú ❧✐➺✉ ❝→ ♥❤➙♥ ❝❤♦

✷✶