Một số kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS hoằng anh

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY DẠNG TOÁN
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ở TRƯỜNG THCS HOẰNG ANH
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Qua thực tế cơng tác quản lí và dạy học nhiều năm tơi thấy rằng chương
trình cải cách giáo dục với nội dung và kiến thức ngày càng cao. Việc đòi hỏi
học sinh phải nắm được kiến thức cơ bản theo yêu cầu mới, học sinh phải biết
vận dụng lí thuyết vào giải quyết các bài tập thực tế. Trong chương trình mơn
tốn THCS ở mỗi phân mơn như: số học, đại số, hình học… đều có những dạng
tốn riêng. Mỗi dạng tốn địi hỏi phải có những phương pháp riêng, phải nghiên
cứu nó một cách hợp lí thì mới có thể học và đào sâu được kiến thức cũng như
việc hình thành kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh. Khi giải quyết các bài tập tốn học
khơng những địi hỏi học sinh phải linh hoạt trong việc áp dụng các cơng thức
mà cịn phải biết đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hoá, khái
quát hoá kiến thức…
Năm học 2016-2017 trường THCS Hoằng Anh tiếp tục nâng cao chất
lượng dạy học, mỗi giáo viên thực hiện đổi mới trong phương pháp dạy học theo
hướng tích cực hóa trong học tập của học sinh, coi trọng thực hành, rèn luyện
năng lực tự học của học sinh. Bằng những kinh nghiệm quản lí chỉ đạo chun
mơn và trực tiếp giảng dạy mơn tốn, tơi mạnh dạn đưa ra sáng kiến: “Một số
kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử ở trường
THCS Hoằng Anh” với hy vọng sẽ giúp người dạy và người học tháo gỡ được
một số những tồn tại và vướng mắc trong quá trình thực hiện.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Tơi nêu ra kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử,
qua đó phát huy trí lực, năng lực tư duy, sáng tạo của học sinh khi làm bài.
Giáo dục học sinh phát triển một cách tồn diện phù hợp với thời đại cơng
nghiệp hóa hiện đại hóa hiện nay.
Nâng cao chất lượng dạy học, tạo hứng thú cho học sinh khi học bài phân

tích đa thức thành nhân tử.
Nâng cao được tính chủ động và sáng tạo của học sinh trong học toán.
Khi tính tốn các phép tính đối với đa thức, nhiều khi cần thiết phải biến
đa thức đó trở thành một tích.
Việc phân tích đa thức thành nhân tử được áp dụng vào: Rút gọn biểu
thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất
biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất.
1


Để phân tích đa thức thành nhân tử thì có nhiều phương pháp, ngoài ba
phương pháp cơ bản như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các
hạng tử ta cịn có các phương pháp khác như tách một hạng tử thành hai hay
nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, đặt ẩn phụ (đổi biến), hệ số nhất
định, xét giá trị riêng… do đó khi giảng dạy người giáo viên giúp học sinh lựa
chọn phương pháp phù hợp để phát huy được trí lực của học sinh, phát triển
được tư duy toán học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
+ Thời gian thực hiện: Năm học 2016- 2017
+ Địa điểm: Trường THCS Hoằng Anh - Thành Phố Thanh Hóa
+ Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8 - trường THCS Hoằng Anh
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, sách hướng dẫn giảng dạy, sách bài soạn, sách giáo
khoa, hướng dẫn và phát triển đại số.
Điều tra thực nghiệm khảo sát kết quả học tập của học sinh
Phát hiện và giải quyết vấn đề, vấn đáp, luyện tập, hoạt động hợp tác
nhóm.
Tiến hành thực nghiệm ngay trong các tiết học, rút kinh nghiệm giờ dạy
của chính bản thân.

Điều tra đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng
dạy.
Trao đổi ý kiến, thảo luận với đồng nghiệp, tổ chuyên môn về những băn
khoăn vướng mắc hay vấn đề phức tạp khi dạy bài phân tích đa thức thành nhân
tử mà bản thân chưa giải quyết được để tìm ra những điểm cần khắc phục.
Tổng kết kinh nghiệm: Sau khi tìm được những ưu điểm, nhược điểm của
giờ dạy qua thể hiện một giờ, đặt ra hệ thống câu hỏi để học sinh suy luận, phát
hiện rồi từ đó nhận xét đánh giá việc hiểu bài và vận dụng của học sinh để đưa
ra việc điều chỉnh cách dạy, học của giáo viên và học sinh.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ cở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại;
phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của
người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập
trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự
cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ
yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội,
ngoại khóa, nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và
truyền thông trong dạy và học.
[1]

2


Một trong những thành tố cơ bản và trọng yếu của đổi mới giáo dục là
công tác đổi mới phương pháp dạy- học. Chỉ có đổi mới phương pháp dạy- học
chúng ta mới có thể tạo được sự đổi mới thực sự trong giáo dục. Cốt lõi của đổi
mới phương pháp dạy- học là hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống
lại thói quen học tập thụ động, được tổ chức thơng qua phương pháp dạyhọc tích cực.
Phương pháp dạy và học mới không chỉ làm cho người học phát triển tư

duy độc lập, sáng tạo mà còn giúp người thầy thêm tiến bộ, trưởng thành. Cùng
với đó, cần đổi mới căn bản hình thức và phương pháp thi, kiểm tra, đánh giá kết
quả giáo dục, đào tạo, bảo đảm trung thực, khách quan, công bằng. Cần gắn chặt
giáo dục và đào tạo với nhu cầu phát triển kinh tế-xã hội, với sản xuất, kinh
doanh; gắn nhà trường, viện nghiên cứu với các cơ sở sản xuất, nhà máy, xí
nghiệp; gắn lý luận với thực tiễn cơng cuộc đổi mới, xây dựng và bảo vệ Tổ
quốc. Đó là những phương cách tốt nhất, hiệu quả nhất để đổi mới căn bản, toàn
diện giáo dục, đào tạo và phát triển nguồn nhân lực nước nhà, như văn kiện trình
Đại hội XII của Đảng đã đề ra.
[2]
Để đạt được hiệu quả cao trong dạy học sinh phân tích đa thức thành nhân
tử thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền đạt, kết hợp tốt phương
pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy học sinh làm trung tâm của quá
trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính tích cực, sáng tạo và tự giác học
tập và ứng dụng vào thực tiễn.
Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh
chóng thì trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa
thức đã cho thành tích của những đa thức, sau đó nắm chắc những phương pháp
cơ bản và các phương pháp nâng cao để phân tích.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua khảo sát chất lượng đầu năm mơn tốn tôi thu được kết quả sau:
Thống kê điểm
Điểm 8 ;9 ;10 Điểm 5 ;6 ;7
Điểm 3 ;4
Điểm 1 ;2
Mơn
Lớp 8
Tốn
SL
%

SL
%
SL
%
SL
%
11
27.5% 21 52.5%
8
20.0%
0
0%
Tìm hiểu ngun nhân tơi thấy :
* Về học sinh: Có nhiều học sinh nắm được kiến thức cơ bản nhưng chưa
có tư duy logic trong việc vận dụng, đồng thời cịn khơng ít học sinh chưa nắm
được kiến thức cơ bản, chưa nắm vững được phương pháp để giải một bài
tốn… Chính vì vậy mà kết quả cịn nhiều hạn chế. Như vậy rõ ràng học sinh
học yếu toán là do phương pháp học tập thụ động, mơ hồ. Khơng ít học sinh
thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực
chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao. Nhiều học sinh
hài lòng với lời giải của mình, mà khơng tìm lời giải khác, khơng mở rộng khai

3


thác phát triển, sáng tạo bài tốn nên khơng phát huy được hết tính tích cực, độc
lập, sáng tạo của bản thân.
* Về giáo viên:
Ln có xu hướng ơm đồn kiến thức vì cịn chạy theo đủ nội dung trong
SGK học sinh khơng hiểu nên bài dạy cịn dài dịng, chưa làm nổi bật trọng tâm

bài học;
Về phương pháp còn gặp nhiều lúng túng trong việc vận dụng các phương
pháp đặc trưng bộ mơn nói riêng và phương pháp dạy học nói chung, việc ứng
dụng cơng nghệ thơng tin để đổi mới phương pháp còn nhiều lúng túng, việc dạy
học tích hợp, kiến thức liên mơn cịn chưa thực sự sâu sắc;
Về kiểm tra đánh giá việc ra đề đôi khi cịn mang tính chủ quan chưa thực
sự phù hợp với đối tượng học sinh đặc biệt là học sinh yếu kém;
Cơng tác soạn giảng mặc dù có nhiều cố gắng nhưng thật sự chưa có sự
đột phá cả về nội dung và phương pháp.
Vấn đề đặt ra là: Làm thế nào để thu hút, huy động được toàn bộ các đối tượng
học sinh trong lớp có hứng thú say mê và nắm vững phương pháp khi học và
giải bài tập tốn ?
Trước thực trạng trên địi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy
và học sao cho phù hợp. Xuất phát từ tình hình thực tế điều tra và giảng dạy trực
tiếp tôi đưa ra một số kinh nghiệm dạy phân tích đa thức thành nhân tử như sau :
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Biện pháp thứ nhất: Dạy giải tốn phân tích đa thức thành
nhân tử bằng các phương pháp cơ bản và một vài phương pháp khác
* Các phương pháp cơ bản:
- Phương pháp đặt nhân tử chung: A.B + A.C = A (B + C).
+ Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử
xuất hiện trong đề bài.
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác
+ Viết nhân tử chung ra ngồi dấu ngoặc, viết các nhân tử cịn lại của mỗi hạng
tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).
Ví dụ:
5a2b2 - 10a3b + 20a2b = 5a2b (b - 2a - 4b2)
2x (y - z ) + 5y (z - y) = 2x(y - z) - 5y(y - z) = (y - z)(2x - 5y)
xm + 3 + xm( x3 + 1) = xm(x + 1) (x2 - x + 1)
- Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Việc trước tiên học sinh học thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
1. ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2

4


2.
3.
4.
5.
6.
7.

( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)
A3 + B3 = ( A + B )(

A2

-

AB

+

B2)

[3]
+ Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ:
9x2 - 4 = (3x)2 - 22 = (3x - 2)(3x + 2)
8 -27a3b6 = 23- (3ab2)3 = (2 - 3ab2)(4 + 6ab2 + 9a2b4)
25x4 -10x2y+y2 = (5x2 - y)2
- Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
[3]
Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử
chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức nhằm mục đích:
+ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng
thức.
+ Đặt nhân tử chung cho tồn đa thức.
Ví dụ:
2x3 - 3x2 + 2x - 3 = (2x3 + 2x ) - (3x2 + 3)
= 2x(x2 +1) - 3(x2 +1)
= (x2 +1) (2x - 3)
x2 - 2xy + y2 - 16 = (x - y )2 - 42
= (x - y - 4) (x - y + 4)
- Phối hợp nhiều phương pháp
[3]
Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên sau :
+ Phương pháp đặt nhân tử chung.
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
Ví dụ:
1) 3xy2 - 12xy + 12x = 3x( y2 - 4y + 4) = 3x (y -2 )2
2) 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy
= 3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1)

2
2
2
= 3xy (x − 2x + 1) − (y + 2ay + a )

5


2
2
= 3xy ( x − 1) − ( y + a) 

= 3xy ( x − 1) − ( y + a)  ( x − 1) + ( y + a) 
= 3xy (x - 1 - y - a)(x - 1 + y +a )
Củng cố các phương pháp cơ bản
Để học sinh nắm vững các phương pháp phân tích một cách tổng quát giáo
viên yêu cầu học sinh làm việc theo nhóm (4 học sinh) tóm tắt lại các phương
pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử dưới dạng sơ đồ tư duy và cho
học sinh trình bày lại

* Một số phương pháp khác
- Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.
Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi
dùng Phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
Ví dụ: Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử .
Cách 1: x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8
= x (x - 2) - 4(x - 2)
= (x - 2) (x - 4)
Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1
= ( x - 3)2 - 1

=( x - 3 - 1)( x - 3 + 1)
= (x - 4)(x -2)
6


Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12
=(x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 4)(x - 2)
2
Cách 4: x - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + 4 ) - 6(x - 4)
=(x - 4)(x + 4 - 6) = (x - 4)(x - 2)
2
Cách 5: x - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4 = (x - 2)2 - (x - 2)
=( x - 2)(x - 2 - 2) = (x - 4)(x -2)
Tuy rằng có nhiều cách tách nhưng thơng dụng nhất là hai cách sau:
Cách 1: Tách hạng bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các
hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
Áp dụng: trong khi phân tích tam thức bậc hai ax 2 + bx + c thành nhân tử ta làm
như sau: (Tách hạng tử bậc nhất bx)
Bước 1: Tìm tích ac, rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi
cách.
a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …
Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci
với b = ai + ci
Bước 3: Tách bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích
tiếp.
Ví dụ: Phân tích đa thức 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử.
Tích ac là 4.(3) = 12
Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–
12)
Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).

Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)
Chọn 2 thừa số có tổng là : 8 đó là 2 và (6)
3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)
= x(3x + 2) + 2(3x + 2)
= (x + 2)(3x +2)
Cách 2: Làm xuất hiện hiệu hai bình phương (Tách hạng tử bậc hai ax2)
4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2
= (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)
= (x + 2)(3x + 2)
Cách 3: Tách thành 4 số hạng rồi nhóm thành hai nhóm (tách hạng tử tự do c)
3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2)
Cách 4: (tách 2 số hạng, 3 số hạng)
(3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
7


(x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2)
Cách 5 (nhẩm nghiệm)
Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c thì ta tách như sau :
f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
Làm xuất hiện hiệu hai bình phương
[3]
Bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a, x 2 − 5 x + 6

d, x 2 −13 x + 36

b, 3x 2 − 8 x + 4

e, x 2 + 3 x −18

c, x 2 + 8 x + 7

g, x 2 − 5 x − 24
[4]

- Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức
hoặc nhóm nhiều hạng tử. Thơng thường hay đưa về dạng:
A2 – B2 = (A – B)(A + B ) sau khi thêm bớt
Ví dụ:
4x2 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2
=( 2x2 + 9)2 - (6x)2
= (2x2 + 9 - 6x)(2x2 + 9 + 6x)
Từ bài tốn đơn giản ta có thể phát triển thêm cho đối tượng học sinh khá
Dạng 2 :Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương
Ví dụ Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử
[5]
Cách 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2
= (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cách 2 : x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1)
= x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cách 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1)
= x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Ví dụ Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử
Cách 1:
x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)

Cách 2: x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)
= (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
8


Bài tập tương tự:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1, (1 + x 2 )2 − 4 x(1 − x 2 ) 2, ( x 2 − 8 ) + 36
2

3, x 4 + 4

4, x 4 + 64

5, 64x 4 + 1

6, 81x 4 + 4

7, 4x 4 + 81

8, 64x 4 + y 4

9, x 4 + 4 y 4

10, x 4 + x 2 + 1

Dạng 3: Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ Phân tích đa thức x5 + x −1 thành nhân tử

[5]

[6]

Cách 1. x5 + x −1 = x5 −x4 + x3 + x4 −x3 + x2 − x2 + x − 1
= x3(x2 − x + 1) − x2(x2 −x + 1) −(x2 −x + 1)
= (x2 −x + 1)(x3 − x2 − 1).
Cách 2. Thêm và bớt x2
x5 + x − 1 = x5 + x2 −x2 + x −1 = x2(x3 + 1) −(x2 −x + 1)
= (x2 −x + 1)[x2(x + 1) −1] = (x2 − x + 1)(x3 −x2 −1).
Ví dụ Phân tích đa thức x7 + x + 1 thành nhân tử
x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1)
= x(x3 + 1)(x − 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x5 − x4 – x2 − x + 1)
Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đều
chứa nhân tử là x2 + x + 1.
Bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1, x 7 + x 2 + 1

2, x 7 + x5 + 1

3, x5 + x 4 + 1

4, x5 + x + 1

5, x8 + x 7 + 1

6, x5 − x 4 − 1

7, x5 + x − 1

8, x10 + x5 + 1

- Phương pháp đổi biến số (Đặt ẩn phụ )
Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp
cơ bản đã học ở trên.
Ví dụ: Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + 3thành nhân tử .

9


Đặt x2 = y ta được 6y2 - 11y + 3 = ( 3y + 1)(2y + 3)
Vậy: 6x4 - 11x2 + 3 = ( 3x2 - 1 )(2x2 - 3)
Ví dụ: Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử.
Đặt x2 + x = i ta được y2 + 4y + 2 = (y +1)(y + 2)
Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa
thức bậc 2 đối với y.
(x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x + 2)
Ví dụ: Phân tích đa thức sau x4 + 6x3 + 7x2 − 6x + 1. thành nhân tử :
Cách 1. Giả sử x ≠ 0. Ta viết đa thức dưới dạng :
é 2 1 ử ổ 1ử ự
ổ2
6
1ử
2 ổ
ữ
ờỗ
A = x2 ỗ
x
+

6x
+
7
+
=
x
x + 2ữ
+ 6ỗ
x- ữ
.
ữ
ữ
ữ+ 7 ỳ
ỗ
ỗ
ỗ
2
2ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ờ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ ỳ
x

x
x
xữ
ở
ỷ
1
1
t x - = y thỡ x 2 + 2 = y 2 + 2 . Do đó :
x
x
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2
2

é æ 1ử
ự
ỳ = (x2 + 3x 1)2.
x- ữ
+
3x
= ờx ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ờ
ỳ
ở ố xø
û
Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0.
Cách 2. A = x4 + 6x3 −2x2 + 9x2 − 6x + 1

= x4 + (6x3 −2x2) + (9x2 −6x + 1
= x4 + 2x2(3x −1) + (3x −1)2 = (x2 + 3x −1)2.
Bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1, x( x + 4)( x + 6)( x + 10) + 128

2, (x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24

3, ( x 2 + 4 x + 8) 2 + 3x( x 2 + 4 x + 8) + 2 x 2

4, ( x 2 + x) 2 + 4 x 2 + 4 x − 12

5, x 2 + 2 xy + y 2 + 2 x + 2 y − 15

6, (x + a)( x + 2a)( x + 3a)( x + 4a) + a 4

7, 6 x 4 − 11x 2 + 3

8, ( x 2 + x) 2 + 3( x 2 + x) + 2

9, x 2 − 2 xy + y 2 + 3x − 3 y − 10

10, ( x 2 + 2 x) 2 + 9 x 2 + 18 x + 20

11, x 2 − 4 xy + 4 y 2 − 2 x + 4 y − 35

12, (x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 16

[7]
- Phương pháp hệ số bất định
Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa

thức bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng (a + b)( cx 2 + dx + m) rồi biến đổi cho
đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia.
Ví dụ: Phân tích đa thức x3 - 19x - 30 thành nhân tử.

10


Nếu đa thức này phân tích được thành nhân tử thì tích đó phải có dạng
(x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x +ac
Vì 2 đa thức này đồng nhất nên:
a+b =0
ab + c = -19
ac
= -30
Chọn a = 2, c = -15
Khi đó b = -2 thoả mãn 3 điều kiện trên
Vậy: x3 - 19x - 30 =(x + 2)(x2- 2x - 15)
- Phương pháp xét giá trị riêng
Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến giá
trị cụ thể xác định thừa số cịn lại.
Ví dụ
P = x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) thay x bởi y thì thấy
P = y2 ( y - z) + y2 (z - y) = 0 như vậy P chứa thừa số (x - y)
Vậy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P khơng đổi ( đa thức P
có thể hốn vị vịng quanh). Do đó nếu P đã chứa thừa số (x - y) thì cũng chứa
thừa số (y - z), (z - x ). Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x).
Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z.
cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y,z
Vì đẳng thức x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x).
đúng với mọi x, y, z. Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng chẳng hạn:

x = 2, y = 1, z = 0
Ta được: 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) ⇒ k =-1
Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)
Ngồi ra ta cịn có nhận xét: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a,b,c) thành
nhân tử,trong đó a,b,c có vai trị như nhau trong biểu thức đó.Nếu F(a,b,c) = 0
khi a=b thì F(a,b,c) sẽ chứa nhân tử a-b,b-c,c-a .Nếu F(a,b,c) là biểu thức đối
xứng của a,b,c nhưng F(a,b,c) ≠ 0 khi a = b thì ta thử xem khi a= -b, F(a,b,c) có
triệt tiêu khơng,nếu thoả mãn thì F(a,b,c) chứa nhân tử a+b và từ đó chứa các
nhân tử b+c, c+a.
[8]
Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử
F(a,b,c) = a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b)
Khi a = b ta có F(a,b,c) = a2(a - c) + a2(c - a) = 0, do đó F(a,b,c) có chứa
nhân tử (a - b).
Tương tự F(a,b,c) chứa các nhân tử (b - c) và (c - a). Vì F(a,b,c) là biểu
thức bậc ba do đó F(a,b,c) = k(a - b)(b - c)(c - a).
11


Cho a = 1,b = 0,c = -1 ta có 1 + 1 = k.1.1.(-2) ⇒ k = -1
Vậy F(a,b,c) = -(a - b)(b - c)(c - a)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
F(x,y,z) = (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz .
Khi x = -y thì F(x,y,z) = -y2z + y2z = 0 nên F(x,y,z) chứa nhân tử x + y
Lập luận tương tự ví dụ 1, ta có : F(x,y,z) = (x + y)(y + z)(z + x).
- Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0. Như vậy nếu
đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng
nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3 + 3x - 4

Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) thì nhân
tử cịn lại có dạng (x2 + bx + c)
⇒ -ac = - 4 ⇒ a là ước của - 4
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên nếu có phải là ước
của hạng tử không đổi.
Ước của (- 4) là (-1), 1, (-2), 2, (-4), 4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là
nghiệm của đa thức ⇒ đa thức chứa nhân tử (x - 1). Do vậy ta tách các hạng tử
của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x - 1).
- Cách 1: x3 + 3x - 4 = x3 - x2 + 4x2 - 4 = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1)
= (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2
- Cách 2: x3 + 3x - 4 =x3 - 1 + 3x2 - 3 = (x3- 1) + 3(x2 - 1)
= ( x - 1)(x2 + x +1 +3(x2+ - 1)
= ( x - 1)(x + 2)2
Chú ý
- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng khơng thì đa thức chứa nhân tử (x-1)
- Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc
lẻ thì đa thức có chứa nhân tử ( x + 1).
Ví dụ:
- Đa thức: x2 - 5x + 8x - 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0
⇒ Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x - 1)
- Đa thức: 5x3 - 5x2 + 3x + 9 có -5 + 9 =1 + 3
⇒ Đa thức có nghiệm là (-1) hay là đa thức chứa thừa số ( x + 1).

12


Nếu đa thức khơng có nghiệm ngun nhưng đa thức có thể có nghiệm
p

hữu tỷ. Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng q

trong đó p là ước của hạng tử khơng đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x3 - 5x2 + 8x - 3
Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức trên là: (-1), 1, (

−1 1 −3
3
), , ( ),( ) ,(- 3),...
2
2
2
2

Sau khi kiểm tra ta thấy x = a là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - a) hay
(2x - 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử
chung (2x - 1)
2x3 - 5x2 + 8x - 3 = 2x3 - x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3
= x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1)
= (2x - 1)(x2 - 2x + 3)
- Phương pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai ax2 + bx + c:
Nếu b2 - 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam
thức thành thừa số bằng một trong các phương pháp đã biết.
Nếu b2 - 4ac khơng là bình phương của số hữu tỷ nào thì khơng thể phân
tích tiếp được nữa.
Ví dụ: 2x2 - 7x + 3
a =2, b = -7, c = 3.
xét b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 = 25 = 52
⇒ phân tích được thành nhân tử : 2x2 - 7x + 3 = (x - 3)(2x -1)
hoặc có thể phân tích bằng cách để ra bình phương đủ
7

3
x+ )
2
2
7
49 25
− )
= 2 (x2 - 2. x +
4
16 16

2x2 - 7x + 3 = 2(x2-


2
2
= 2 (x − ) − ( )  = 2
4
4 

7

5

7 5
7 5
1

(x - 4 - 4 )(x - 4 + 4) = 2(x-3)(x- 2 )




Chú ý: P(x) = x2 + bx = c có hai nghiệm x1, x2 thì:
P(x) = a(x - x1)(x - x2)
- Phương pháp dùng máy tính và sơ đồ Hoor ner
Giả sử chia đa thức P(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + ................ + a1 x + a0 cho nhị thức
x – m ta được đa thức Qn-1(x) = bn−1 x n−1 + bn− 2 x n− 2 + ...... + b1 x + b0 thì giữa các hệ số
an ; an-1; an-2 ; …;a1 ; a0 và các hệ số bn-1; bn-2 ; …;b1 ; b0 có mối liên hệ sau:
…
an
an-1
an-2
a1
a0
13


m

bn-1 = an

bn-2=an-1+mbn-1 bn-3 = an-2+ mbn-2

...

b0 =a1 + mb1 r=a0 + mb0

Trong đó r là số dư trong phép chia P(x) cho (x – m).
P(x)= (x- m)Q(x) + r
R là hằng số vì bậc của r phải nhỏ hơn bậc 1 của (x – m).

Nếu r = 0 thì x = m là nghiệm của f(x).
Ví dụ: C = x4 + 2x3 - 4x2 - 5x – 6
Ư(- 6) = {- 6; -3 ; -2; -1 ; 1 ; 2; 3 ; 6}
Ta thấy hai trường hợp đặc biệt không xảy ra nên ta thử x = 2 ta làm như
sau: ( nên dùng máy tính cho nhanh)
x=2

a4=1

a3=2

b3 = 1

b2=2.1+2=4
3

a2=- 4

a1= -5

a0= -6

b1 = 2.4+(-4) =4

b0 =2.4 + (- 5) = 3

r = 2.3 + (- 6) = 0

2

Vậy C = (x - 2)( x + 4x + 4x + 3)
Tiếp tục sử dụng thuật toán Hor ner ta có
x= - 3

b3 = 1

b2= 4

b1 = 4

b0 =3

b2 = 1

b1= (-3).1+4=1

b0 = (-3).1+ 4 =1

r =(-3).1 + 3 = 0

Ta có C = (x - 2)( x +3)(x2 + x + 1)

[9]

2.3.2. Biện pháp thứ hai: Dạy giải các bài tốn có vận dụng phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử
* Bài toán rút gọn biểu thức.
 2 − x 3− x

2− x



−
+ 2
Ví dụ 1: Cho A = 
÷
 x + 3 x + 2 x + 5x + 6x 

a). Rút gọn A
b). Tính giá trị của A với x = 998
c). Tìm giá trị của x để A > 1
Hướng dẫn: Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số, phân tích tử
thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung rồi rút gọn, đồng
thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân tử nằm dưới mẫu.
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

x 4 + x3 + x + 1
A= 4 3
x − x + 2 x2 − x + 1
a 2 ( b − c ) + b 2 (c − a ) + c 2 ( a − b )
B=
ab 2 − ac 2 − b3 + bc 2
x3 + y 3 + z 3 − 3xyz
C=
( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x) 2

14

Hướng dẫn: Để rút gọn các phân thức trên:
- Bước 1: ta phải phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử
- Bước 2: chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung
* Bài toán giải phương trình: Với các phương trình bậc hai trở lên việc
áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử rất quan trọng, vì sau
khi phân tích vế chứa ẩn thì được dạng phương trình tích:A.B = 0 khi và chỉ khi
A = 0 hoặc B = 0
Ví dụ: Giải phương trình (4x + 3)2 - 25 = 0
Áp dụng phương pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưa phương
trình về dạng: 8(2x - 1)(x + 2) = 0 ⇒ x =

1
hoặc x = -2
2

* Bài tốn giải bất phương trình: Với các bất phương trình bậc cao hoặc
các bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu thì việc rút gọn biểu thức và phương
trình thành đa thức, tử và mẫu thành nhân tử đóng vai trị rất quan trọng khi đưa
bất phương trình về dạng bất phương trình tích (A.B < 0 hoặc A.B > 0 ) hay bất
phương trình thường.
Ví dụ: Giải các bất phương trình
x
2
−
>1
x − 2 x −3

a)
⇔

−2
>0
( x − 2)( x − 3)

Nhận xét: vì (- 2) < 0 ⇒ (x - 2)(x - 3) < 0 ⇒ 2 < x< 3
b)
3x2 - 10x - 8 > 0
⇒(3x + 2)( x - 4) > 0
Ta lập bảng xét dấu tích .Kết quả x <

−2
hoặc x > 4 .
3

[10]

* Bài toán chứng minh về chia hết: Biến đổi đa thức đã cho thành một
tích trong đó xuất hiện thừa số có dạng chia hết
[10]
Ví dụ:
1) Chứng minh ∀ x∈Ζ ta có biểu thức P = (4x + 3)2- 25 chia hết cho 8.
Phân tích: P = 8(2x - 1)(x + 1) chia hết cho 8
2) Chứng minh rằng biểu thức :

n n 2 n3
+ +
là số nguyên ∀ n ∈Ζ
3 2
6

2n + 3n 2 + n3
Biến đổi biểu thức về dạng
và chứng minh (2n + 3n2 + n3)
6
chia hết cho 6.

15


Ta có 2n+3n2+n3 = n(n+1)(n+2) là tích của ba số ngun liên tiếp,vì vậy
có ít nhất một thừa số chia hết cho 2,một thừa số chia hết cho 3 mà (2;3) = 1 nên
n n 2 n3
tích này chia hết cho 6.Vậy ∀ n ∈Ζ thì + + là số ngun.
3 2 6

* Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: Ta tìm cách phân tích đa thức
về dạng hằng đẳng thức A2 + m, A2 - m, A2+B2 ... (m là hằng số) rồi nhận xét để
đi đến kết quả cuối cùng.
[11]
Ví dụ 1: Chứng tỏ x2 + x + 1 > 0 ∀ x
1
2

Ta viết : x2 + x + 1 = x2 + 2. x +

1 3
1
3
3
+ = (x + )2 +

≥ >0 ∀ x.
4 4
2
4
4

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của đa thức
A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y
(Tương tự: B = x2 + y2 + xy - x - y )
Ta có : A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y
1 2
59
y + 16 + xy + 8x + 4y) + ( y2 - 3y) + 2005 - 16
4
4
1
59
6
36
9
= (x + y + 4)2 + ( y2 - 2. y +
) +1989 2
4
59
3481
59
1
6
117342 117342
59

= (x + y + 4)2 + (y - )2+
≥
4
2
59
59
59
1
6
59
Vì (x + y + 4)2≥ 0 , (y - )2 ≥ 0.Dấu " =" xảy ra
4
2
59

= (x2 +

239

 1
 x = − 59
 x + 2 y + 4 = 0
117342
⇔
⇔ 
. Vậy A(x,y) đạt GTNN là
59
y − 6 = 0
y = 6
59

59



Phần B cũng ta cũng làm bằng cách tách tương tự.
Trên đây là một số loại bài toán áp dụng kỹ năng phân tích đa thức thành
nhân tử. Tất nhiên khơng chỉ có các dạng này mà cịn có một số bài tập khác
cũng vận dụng phân tích thành nhân tử để giải quyết. Với những bài tập vận
dụng này đã giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo tìm tới phương pháp
giải bài tốn nhanh hơn,thơng minh hơn.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục
với bản thân đồng nghiệp và nhà trường.
Qua công tác chỉ đạo chuyên môn và trực tiếp giảng dạy bộ mơn tốn 8 và
một số kinh nghiệm dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8, tôi
nhận thấy nội dung này rất thiết thực và có lợi thế trong việc đổi mới phương
pháp dạy học mơn tốn, các em tích cực học tập và hứng thú hơn khi giải các bài
tốn phân tích đa thức thành nhân tử. Đặc biệt là vận dụng các phương pháp
16


phân tích đa thức thành nhân tử vào các dạng tốn sau này một cách có hiệu quả.
Với việc các em nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và
kết hợp với việc đổi mới phương pháp giảng dạy bộ mơn tốn ở khối 8, tơi thấy
chất lượng mơn tốn ngày càng tiến bộ rõ rệt. Cụ thể là:
Thống kê điểm
Điểm 8,9,10
Điểm 5,6,7
Điểm 3,4
Điểm 1,2
Mơn

Tốn 8
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
13
32,5%
23
57,5%
4
10.0%
0
0%
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận: Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng lớn trải
suốt chương trình học của học sinh, nó liên quan kết hợp tới rất nhiều dạng tốn,
tạo lên sự lơgíc chặt chẽ của tốn học. Các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử được nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu
hơn và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích.
Trong năm học qua tơi đã vận dụng phương pháp dạy phân tích đa thức
thành nhân tử cho học sinh và thấy rằng các em có hứng thú học tốn, rất hào
hứng trong q trình tìm tịi lời giải hay và hợp lý nhất, kể cả các bài tập vận
dụng rút gọn biểu thức thì ý nghĩa của việc phân tích đa thức tử và mẫu của các
phân thức rất quan trọng, nó khơng những giúp việc rút gọn từ phân thức (nếu
có thể) mà cịn giúp việc tìm tập xác định mà cịn tìm mẫu thức chung của biểu
thức. Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng

lực nhận xét, phân tích phán đốn, tổng hợp kiến thức.
3.2. Kiến nghị: Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi về các phương
pháp dạy giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử nhằm phát triển trí lực, tư
duy sáng tạo của học sinh. Tơi rất mong được sự góp ý của đồng nghiệp. Với nội
dung sáng kiến này tôi mong được sự quan tâm của ngành GD&ĐT Thành phố
cho phép được triển khai vận dụng mà trước mắt là đối với các trường THCS
ngoại thành.
Xin chân thành cảm ơn!
TP.Thanh Hóa, ngày 14 tháng 4 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, khơng sao chép nội
XÁC NHẬN
dung của người khác.
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
NGƯỜI VIẾT

Vũ Tiến Dũng

17


18