Vận dụng kiến thức toán hình học sơ cấp để định hướng tìm lời giải bài toán cho học sinh giỏi toán THCS

KINH NGHIỆM DẠY HỌC
ĐỀ TÀI:
VẬN DỤNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC SƠ CẤP
ĐỂ ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI VÀ XÂY DỰNG ĐỀ BÀI TOÁN
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng
mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã
hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học giữ một
vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một môn học khó,
khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những
tri thức cho mình. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc
của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học, và
cơ sở tư duy để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền
thụ các kiến thức Toán học cho học sinh, phân tích, định hướng tìm lời giải là công
việc cần phải sáng tạo, nghiên cứu, làm thường xuyên và khoa học.
Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học
sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho
học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt
động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách. Giải
toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải
toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối
với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học
toán
Qua nhiều năm giảng dạy cho học sinh THCS, đặc biệt là cho học sinh các lớp
tạo nguồn, một đối tượng tiếp cận nhiều dạng bài tập khác nhau, mức độ tư duy cao….
trong những dạng bài tập ấy cần được phân tích và tìm lời giải phù hợp trên đối tượng
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 1

học sinh trung học cơ sở. Một trong những cơ sở giúp tìm lời giải trong một số dạng
toán phức tạp là sử dụng kiến thức toán học sơ cấp mà mỗi giáo viên đã được học tập
và rèn luyện tại trường sư phạm đề vận dụng tìm lời giải trong mỗi dạng toán và sáng
tạo thêm một số bài toán nhằm phát triển và rèn luyện kỹ năng tư duy và sáng tạo của
học sinh. Sau một quá trình thực hiện, tôi chọn đề tài “Vận dụng kiến thức hình học
sơ cấp để định hướng tìm lời giải và xây dựng đề toán bồi dưỡng cho học sinh
THCS” nhằm tích lũy như một kinh nghiệm dạy học môn toán, đặc biệt áp dụng cho
đối tượng học sinh giỏi
2. Mục đích của đề tài
Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tìm
ra những phương pháp giải bài toán hình học một cách hiệu quả nhất
Mục đích của đề tài này là trình bày các ứng dụng của kiến thức hình học sơ
cấp (đặc biệt là một số phép biến hình trong mặt phẳng) để định hướng tìm lời giải
bài toán cấp trung học cơ sở, cụ thể là các bài toán chứng minh, tìm điểm cố
định….(riêng phần quỹ tích, dựng hình không đề cập đền trong phạm vi đề tài này).
3. Phạm vi thể nghiệm
Đề tài được thể nghiệm tại đơn vị công tác là trường THCS Chu Văn An. Cụ
thể là những học sinh lớp tạo nguồn và những học sinh tham gia đội tuyển học sinh
giỏi Toán của trường.
4. Cơ sở thực hiện
Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở Trường sư
phạm, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên,
sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo… của bộ môn Toán bậc trung học cơ sở
5. Phương pháp nghiên cứu
Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:
– Phương pháp nghiên cứu lý luận
– Phương pháp khảo sát thực tiễn
– Phương pháp phân tích

Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 2


– Phương pháp tổng hợp
– Phương pháp khái quát hóa
– Phương pháp quan sát
– Phương pháp kiểm tra
– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
6. Thời gian thực hiện
Đề tài được thực hiện từ ngày 05/09/2013 đến ngày 30/1/2016
7. Giới hạn của đề tài
Đề tài thực hiện như những kinh nghiệm được sử dụng trong việc bồi dưỡng đội
tuyển học sinh giỏi các cấp, với đối tượng là những học sinh giỏi bộ môn Toán. Trên
cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, định hướng để
tìm ra những phương pháp giải bài toán hình học một cách hiệu quả nhất.
B. NỘI DUNG
ỨNG DỤNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC SƠ CẤP TRONG XÂY DỰNG ĐỀ
TOÁN VÀ DỰ ĐOÁN LỜI GIẢI
I. ỨNG DỤNG TRONG XÂY DỰNG ĐỀ TOÁN
Những kiến thức trong phần hình học sơ cấp là cơ sở và nền tảng cho việc hình
thành phần hình học phẳng trong chương trình toán THCS. Từ những kiến thức đã
tích lũy được trong quá trỉnh học tập từ trường sư phạm, người giáo viên có thể vận
dụng những kiến thức và kinh nghiệm giải toán này trong việc định hướng tìm lời giải,
xây dựng những đề toán mới, giúp học sinh thêm cách suy luận và phân tich tìm lời
giải cách hiệu quả, như các ví dụ minh họa sau:
1. Vận dụng kiến thức về phương tích
Phương tích là một trong những nội dung của môn hình học sơ cấp, nhưng lại
được sử dụng rất nhiều trong việc hình thành và là nội dung tiềm ẩn rải rác trong các

bài toán cấp THCS đặc biệt là hình học lớp 9. Những người thầy sử dụng kiến thức
này để có thể nhận ra, định hướng tìm lời giải hay đề ra một số bài toán thích hợp giúp
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 3


học sinh có cơ sở định hướng tìm lời giải, hay rèn luyện kỹ năng suy luận, có thể như
các ví dụ sau
Ví dụ 1: Từ kiến thức phương tích MA.MB = MO2−r2.
Ta xây dựng bài toán sau
Bài 1 Cho điểm M nằm ở phía bên ngoài của đường
tròn (O). Vẽ đường tiếp tuyến MT đến đường tròn. Và

A

M

B

cát tuyến MAB Chứng minh MA.MB=MT2=MO2−r2.

r O
T

HD: Học sinh dễ dàng : Sử dụng định lý Pi-ta-go để
chứng minh : MT2=MO2−r2 ( M nằm ngoài đường tròn)
Sử dụng tam giác đồng dạng MAT và MTB để chứng minh MA.MB=MT2

Ví dụ 2 Từ kiến thức phương tích MA.MB= r2−MO2. (M nằm trong đường tròn) Ta

xây dựng bài toán sau
Bài 2: Cho điểm M nằm ở phía bên trong của đường tròn (O). Vẽ đường
thẳng AB vuông góc với MO.
Chứng minh MA.MB=MA2= r2−MO2.
Sử dụng định lý Pitago

B

để chứng minh MA.MB=MA2= r2−MO2. (với MA = MB)

M
A

Ví dụ 3 Từ kiến thức về phương tích: mọi điểm P nằm trên

r

O

đường thẳng IJ Ta có phương tích đến hai đường
tròn (O1) và (O2) là bằng nhau.
Từ đó ta xây dựng bài toán sau

Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 4


Bài 3 Cho hai đường tròn (O1, r1) và (O2, r2) cắt nhau tại hai
M

điểm I và J. Chứng minh rằng mọi điểm M nằm trên đường
I

thẳng IJ ta luôn có MO12  r12  MO22  r22
HDẫn Học sinh vẽ MO1 và MO2 cắt mỗi đường tròn lần
O1

lượt tại E, F và G, H Và sử dụng các cặp tam giác đồng

O2

dạng MEI và MJF ; MIG và MHJ để

J

Chứng minh ME.MF=MI.MJ=MG.MH
M

Kết hợp

G

Chứng minh ME.MF = MO12  r12 và MG.MH = MO22  r22

E
I

Bài 4: Cho đường tròn(O; R) và (I; r) là các các đường
tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC.

O2

O1

Chứng minh OI2 = R2 -2Rr (Đẳng thức Euler)

J
F

HD

H

Gọi D là giao điểm của phân giác AI với (O)
Trong (O) chứng minh được
IA.ID = R2- OI2 hay OI2 = R2- IA.ID
(xem phần chứng minh phương tích của một điểm nằm trong đường tròn kết hợp vẽ
thêm một đường kính qua I ) (1)
Vẽ đường kính DE ( tạo ra tam giác vuông có cạnh là 2R)
E

A

Vẽ IH vuông góc với AB
Khi đó
chứng minh được tam giác BDI cân tại D suy ra DB = DI (2)
chứng minh được tam giác AIH và EDB đồng dạng
Suy ra IA.DB = ED.IH = 2R.r hay IA.ID = 2R.r (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra OI = R - 2Rr

2

H
I

O

B
C

2

D

(Tham khảo phần lý thuyết về phương tích trong phần phụ lục)

Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 5


2.Vận dụng kiến thức về phép tịnh tiến
Trong mặt phẳng cho vectơ
cho :

. phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao

được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ .

Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay

đổi thứ tự của ba điểm đó.
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường
tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó. (xem thêm phần phụ lục)
Từ tính chất của phép tịnh tiến, được vận dụng định hướng tìm lời giải như vài
ví dụ minh họa sau:
Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường
tròn đó .
Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định
Phân tích lời giải theo kiến thức phép tịnh tiến
- Kẻ đường kính BB’. Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì

A

AH=B’C. Do C, B’ cố định, cho nên B’C là một véc tơ cố định

B'

 AH  B ' C . Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến

H

thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên
đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo
v  B 'C

- Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song

O
C

B
O'

song với B’C . Sau đó dựng véc tơ : OO'  B ' C . Cuối cùng từ O’
quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm .
Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau:
- Vẽ đường kính BB’
- Dựng O’ sao cho CB’CO’ là hình bình hành
- Chứng minh AOO’H là hình bình hành
- Suy ra O’H=AO=R
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 6


- Mà B’C cố định suy ra O’ Cố định
- O’H = R nên H thuộc đường tròn (O’;R ) cố định
Ví dụ 2. Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là
hai đường thẳng song song ) . Người ta dự kién xây một cây cầu bắc qua sông (MN)
và làm
hai đoạn đường thẳng AM và BN .Tìm vị trí M,N sao cho AM+BN là ngắn nhất .
Giải
- Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho

A
M

nên MN  U .
- Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo U . Khi đó

h

A'

AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM .
- Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA+NB=A’N+NB

N

Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau:
B

- Từ A dựng AA’= h vuông góc với bờ sông về
phía B (h là khoảng hai bờ sông)
- A’B cắt bờ sông tại N (như hình vẽ)
- Dựng NM vuông góc với bờ sông
- Có AM+MN+NB= A’N+MN+NB=A’B+MN là ngắn nhất
(người đọc tự chứng minh)
Ví dụ 3. Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P, trên tia đối
của tia CD lấy điểm Q . Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho
MN//CD và PN+QM nhỏ nhất .
Giải

- Tương tự như bài toán trên, khoảng cách giữa hai cạnh của hình chữ nhật không đổi.
cho nên ta thực hiện theo cách của bài toán trên như sau :

Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 7

- Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo
CD  U  QQ ' .Khi đó MN=QQ’, suy ra

MQ=NQ’. Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn

P

A

B

nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng .
- Các bước thực hiện :
+/ Tìm Q’ sao cho : CD  U  QQ '

N

M
D

Q'

C

+/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N
+/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M . Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau:
- Trên tia CD Dựng Q’ sao cho QQ’ = AB

- Dựng PQ’ cắt AD tại M’
- Dựng M’N’//AB là đoạn thẳng phải dựng
(Người đọc tự chứng minh)

3. Phép quay
Vận dụng kiến thức về phép quay
Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác  không đổi . Phép
biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho
OM=OM’và góc (OM;OM’)=  . Được gọi là phép quay tâm O góc quay là  .
(xem thêm phần phụ lục)
Từ cơ sở tính chất về phép quay, trong một số dạng toán chứng minh hoặc định
hướng vẽ thêm đường phụ, phép quay là công cụ giúp cho người thầy nhìn trước kết
quả bài toán và từ đó chỉ ra cách vẽ đường phụ hoặc tìm cách chứng minh giải quyết
nhanh cho bài toán, như các ví dụ sau:

Ví dụ 1.
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 8

Q


Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ . Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng AA’ và BB’ . Chứng minh rằng tam giác OCD là tam giác đều ?
Giải
Xét phép quay tâm O với góc quay bằng góc lượng
B'

giác ( OA,OB)= 600 . Rõ ràng A biến thành B và A’

biến thành B’ , vì thế cho nên phép quay đã biến
đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB’ . Từ đó suy ra
phép quay đã biến C thành D , do đó OC=OD . Vì

A'

D

góc quay bằng 600 cho nên tam giác cân OCD là tam

O

giác đều .

C

Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau:
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau AOA’

A

B

và BOB’
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau B’OD và A’OC
- Chứng minh góc COD bằng 600
- Kết luận tam giác COD đều
Ví dụ 2

Cho hai hình vuô

ng ABCD vàBEFG
Gọi M,N lầ
n lượt làtrung điể
m củ
a AG vàCE .
Chứ
ng minh BMN vuô
ng câ
n.
Giả
i
BA  BC
BG  BE
Vì 
và
(BA; BC)  90
(BG; BE)  90
Q
: A I
 C,G I
E  Q
: ABG 
 CBE
(B;90 )
(B;90 )
Q
: AG 
 CE  Q
: M I
 N  BM  BN và(BM;BN) =  90

(B;90 )
(B;90 )
 BMN vuô
ng câ
n tại B .

Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 9


Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau:
Tương tự như ví dụ 1
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau AGB và CEB
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau AMB và CNB
- Chứng minh góc MBN bằng 900
- Kết luận tam giác MBN vng cân
Ví dụ 3

Cho ABC . Qua điể
mA
dựng hai tam giá
c vuô
ng câ
n ABE vàACF .
Gọi M làtrung điể
m củ
a BC
vàgiảsửAM  FE = H .
Chứ

ng minh : AH làđườ
ng cao củ
a AEF .

HD :
Xé
t phé
p quay Q
: Ké
o dà
i FA mộ
t đoạn AD = AF .
(A;90 )
Vì AF = AC  AC = AD nê
n suy ra : Q
biế
n B , C lầ
n lượt thà
nh E , D
(A;90 )
Đ/ nghóa
nê
n gọi trung điể
m K củ
a DE thì K= Q
(M) 
 MA  AK (1) .
(A;90 )
Trong DEF , vì AK làđườ
ng trung bình nê

n AK // FE (2)
Từ(1),(2) suy ra : AM  FE  AH làđườ
ng cao củ
a AEF .
Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau:
Kéo dài FA mợt đoạn AD = AF
- Gọi K là trung điểm DE
- Chứng minh được AK //FE
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 10


- Chứng minh tam giác ABC bằng tam giác AED suy ra góc ADE bằng góc
ACB
Và DK= MC (1/2DE=1/2BC)
- Chứng minh tam giác ADK bằng tam giác ACM (cgc)
-

Suy ra DAK bằng góc CAM, suy ra MAK bằng 900 hay AK vng góc với
AM suy ra AM vng góc với FE

4. Phép đối xứng
Vận dụng kiến thức về phép đối xứng
Phép đới xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’
đới xứng với M qua d
Phép đới xứng qua đường thẳng d được gọi là phép đới xứng trục. Ký hiệu Đd
+ Phép đới xứng trục d biến M thành M’,
ký hiệu: M’ = Đd(M)
+ Phép đới xứng trục là phép dời hình, nên có đầy đủ tính chất

của phép dời hình (Xem thêm phần phụ lục)
Trong mợt sớ bài toán, phép đới xứng giúp cho người thầy
phát hiện rất nhanh kết quả và cách chứng minh bài toán, từ
đó giúp cho người thầy nghiên cứu lời giải phù hợp học sinh
cấp THCS, như các ví dụ sau:
VD1:Gọi H làtrực tâ
m ABC .
CMR :
Bố
n tam giá
c ABC , HBC , HAC , HAB có
đườ
ng trò
n ngoại tiế
p bằ
ng nhau .

Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 11


HD :
Ta có: A1 = C2 (cù
ng chắ
n cung BK )
A1 = C1 (gó
c cócạnh tương ứ
ng  )  C1 = C2
 CHK câ

n  K đố
i xứ
ng vớ
i H qua BC .
Xé
t phé
p đố
i xứ
ng trục BC .
Đ

Đ

Đ

BC H ; B I
BC B ; C I
BC C
Ta có: K I
Đ

BC Đườ
Vậ
y : Đườ
ng trò
n ngoại tiế
p KBC I
ng trò
n ngoại tiế
p HBC

Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau:
- Gọi (ABC) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
- AH cắt (ABC) tại K, chứng minh tam giác CHK cân, BHK cân , suy ra tam
giác HBC bằng tam BKC suy ra (ABC) bằng (BHC)
- Chứng minh tương tự, suy ra bớn tam giác ABC, HBC, HAC, HAB có đường
tròn ngọai tiếp bằng nhau
5. Phép vị tự
Vận dụng kiến thức về phép Vị tự
Cho điểm O và sớ k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao


cho OM  k .OM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ sớ k.
Phép vị tâm O, tỉ sớ k thường được kí hiệu là V(O,k).
· Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ sớ k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M', N'




thì M N  k .MN và M'N' = |k|.MN
· Tính chất 2: Phép vị tự tỉ sớ k:
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa
các điểm;
b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia
thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;
c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng
nó;
d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|.R.
(Xem thêm phần phụ lục)
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 12


Từ các tính chất của phép vị tự, trong mợt sớ bài toán chứng minh các điểm
thẳng hàng, hay đồng quy…người thầy có thề phát hiện nhanh phương pháp chứng
minh qua phép vị tự, từ đó vận dụng kiến thức THCS như tam giác đồng dạng…để
định hướng học sinh trình bày lời giảỉ chứng minh cho phù hợp cấp học THCS
Ví dụ 1

Cho ABC . Gọi I , J . M
theo thứtựlàtrung điể
m củ
a AB, AC vàIJ .
Đườ
ng trò
n ngoại tiế
p tâ
mO
củ
a AIJ , cắ
t AO tại A  .
Gọi M  làchâ
n đườ
ng vuô
ng gó
c hạtừA  xuố
ng BC .
Chứ
ng minh rằ

ng :
A ,M , M  thẳ
ng hà
ng .
HD :
Gọi M1 làtrung điể
m BC .Ta có: AB  2AI vàAC  2AJ
V(A;2)
Từđó: AIJ  ABC . Khi đó:
V(A;2) : O I
 A ,M I
 M1  OM  IJ  A M1  BC .
Như thế: M1  M   A,M,M  thẳ
ng hà
ng ( vì A,M ,M1 thẳ
ng hà
ng )
Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau:
- Có I, J, M là trung điểm của AB, AC, IJ. (O) là đường tròn ngoại tiếp tam
giác AIJ nên IJ//BC
- AM cắt BC tại M1, nên

AI
AM
AO


 2 nên OM//A’A1
AB AM 1 AA '

- Mà OM  IJ, nên A’M1  BC, mà AM’  BC suy ra M1 trùng với M’
Hay A, M, M’ thẳng hàng

II.

ỨNG DỤNG TRONG DỰ ĐỐN LỜI GIẢI

1.Các bài tốn chứng minh đường thẳng cố định, điểm cố định

Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 13


Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định.

C

A

Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) tại M và N.

B

M
I

Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
N

BMN thuộc một đường thẳng cố định.

O

Hướng dẫn. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
MNB.
Gọi C là giao điểm của AB và (I). Khi đó ta có:
PA /  I   AC. AB  AM . AN  PA / O  (không đổi vì A, (O) cố định).

Suy ra AC 

PA /O 
AB

Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức trên ta có C cố định.
Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định.
Từ kiến thức về phương tích trong đường tròn người thầy
dự đoán được kết quả bài toán là : I thuộc đường trung trực
của BC cố định.
Từ dự đoán trên ta có thể định hướng cho học sinh theo

C

A

B

M
I

E

cách giải phù hợp cấp THCS
- Vẽ cát tuyến AEF đi qua O

N

O

- Sử dụng 2 tam giác đồng dạng AME, AFN (g, g)
để chứng minh

F

AM.AN = AE.AF ( với AE.AF không đổi) (1)
- Sử dụng 2 tam giác đồng dạng AMC, ABN (g, g) để chứng minh
AM.AN = AC.AB (2)
(1), (2) Suy ra AC.AB không đổi
Mà AB cố định nên điểm C cố định, và CD là dây cung của (I)
Vậy Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định.

Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 14


Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, và điểm H cố định thuộc AB. Từ
điểm K thay đổi trên tiếp tuyến tại B của O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và
D. Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn

Từ kiến thức về trụ đẳng phương người thầy dự kiến xác định dược điểm cố định là
M như sau
Gọi I là điểm đối xứng của H qua B, suy ra I cố định
và thuộc (K).
Gọi M là giao điểm của CD và AB.
Vì CD là trục đẳng phương của (O) và (K) nên ta
có:
MH .MI  MC.MD  MA.MB




 MB  BH  MB  BI   MB  MB  BA
 MB  BH  MB  BH   MB  MB.BA

C
K

2

2

2

2



MB  BH  MB  MB.BA



BM 

A

BH 2
BA

M

O

B

H

I

D

Vì A, B, H cố định suy ra M cố định.
Từ kết quả trên, người thầy định hướng lời tìm lời giải cho bài toán như sau theo
cách của học sinh THCS
- Gọi M là giao điểm của AB và CD, I là điểm đối xứng của H qua B
- Suy ra I cố định
- Sử dụng hai tam giác đồng dạng MCA và MDB (g, g) trong (O)
Suy ra MA.MB = MC.MD (1)
- Sử dụng hai tam giác đồng dạng MCH và MDI (g, g) trong (K)
Suy ra MH.MI = MC.MD (2)

Từ (1) và ( 2) suy ra MH.MI = MC.MD = MA.MB
Sau đó sử dụng cách tách MB tương tự như trên để
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 15


suy ra MB 

BH 2
mà A, B, H cố định nên BM không đổi, Vậy điểm M cố
BA

định
Ví dụ 3 Cho đường tròn (O,R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Gọi BC là đường
kính thay đổi của (O,R). Chứng minh rằng: Đường tròn (ABC) luôn đi qua một điểm
cố định khác A
Hướng dẫn
Sử dụng kiến thức phương tích với điểm O trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
ta dễ dàng nhận ra điểm cố định là A’ với A’ la giao điểm thứ 2 của AO với (ABC)
Gọi A’ là giao điểm thứ 2 của AO và đường tròn (ABC).

R2
. '  OB.OC  R  OA ' 
Ta có OAOA
. Vậy A’ nằm trên
OA
2

A

R2
đường thẳng OA cố định và OA ' 
không đổi nên A’ cố
OA
định.

B

O
C

Vậy mọi đường tròn (ABC) đều đi qua điểm A’ cố định
A'

Từ cách nhận ra A’ bằng kiến thức phương tích, giáo viên hướng dẫn học sinh THCS
vẽ A’ và sử dụng hai tam giác đồng dạng OAC và OBA’
. '  OB.OC  R 2 và suy ra OA’ cố định
để chứng minh OAOA

Ví dụ 4 Đối với học sinh THCS khi vận dụng kiến thức phương tích cần hướng dẫn
học sinh xây dựng bài toán phụ sau đây (như là một bổ đề) để sử dụng chứng minh
trong một số bài toán liên quan
Bài toán bổ đề: Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1; R1) và (O2; R2). Chứng minh
tập hợp các điểm M có MO12  R1  MO22  R2 là một đường thẳng, vuông góc với O1O2
tại H với IH 

R12  R22
(Với I là trung điểm của O1O2 và R1> R2)
O1O2

Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 16


Chứng minh:
Giả sử điểm M có MO12  R1  MO22  R2 ,
Gọi H là hình chiếu của M trên O1O2, I là trung điểm
của O1O2. Ta có:

M

MO12  R12  MO22  R22
 MO12  MO22  R12  R22

  MH 2  HO12    MH 2  HO2 2   R12  R22
 HO12  HO2 2  R12  R22



 HO1  HO2



B

A

r2

r1
O1



HO1  HO2  R12  R22

I
O2

H
O3

 O2O1.2 HI  R  R
2
1

 IH 

R12  R22
O1O2

2
2

1

Từ đây suy ra H cố định, suy ra M thuộc đường thẳng d qua H và vuông góc với
O1O2.

2. Bài toán chứng minh các thẳng đồng quy
Ví dụ 5. Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó). Đường tròn
đường kính AC và BD cắt nhau tại X, Y. Đường thẳng XY cắt BC tại Z. Lấy P là một
điểm trên XY khác Z. Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ 2
là M, và BP cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ 2 là N. Chứng minh rằng
AM, DN và XY đồng qui.
Hướng dẫn:

P

Gọi Q là giao điểm của DN và AM

M

Q Q'

Gọi O1;O2 là tâm của đường tròn đường kính
A

AC và BD

X

N

B O1Z

C O2

D

P thuộc XY là trục đẳng phương của hai
đường tròn.

Y

Nên PP /(O )  PP /(O )  PN .PB  PM .PC
1

2

Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 17


Suy ra tứ giác BNMC nội tiếp (định lý)
MNP  BCM (1)

Trong tam giác vuông ACM có
ACN  MAC  900 hay BCM  MAC  900 (2)

Mà MNP  MNQ  900 (3)
(1),(2),(3)  MNQ  MAC hay MND  MAD
Nên tứ giác ANMD nội tiếp
Suy ra QA.QM=QD.QN  PQ /(O )  PQ /(O )
1

2

Suy ra Q thuộc XY là trục đẳng phương của hai đường tròn.
Vậy các đường AM, DN và XY đồng qui.
Cách của học sinh THCS
Gọi Q, Q’ lần lượt là giao điểm của DN và AM với XY. Ta cần chứng minh Q  Q .
Chứng minh được tứ giác QMCZ nội tiếp, suy ra PM .PC  PQ.PZ
Chứng minh được tứ giác tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy ra PQ.PZ  PN .PB
Trong đường tròn đường kính BD ,
chứng minh được hai tam giác đồng dạng PNX và PYB (g;g)
Trong đường tròn đường kính AC ,
chứng minh được hai tam giác đồng dạng PMX và PYC (g;g)
PN .PB  PX .PY  PM .PC

Suy ra PQ.PZ  PQ.PZ  Q  Q
Vậy XY, AM và DN đồng quy
3. Bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Ví dụ 6. Gọi AH, BI, CK là ba đường cao của tam giác ABC, chứng minh rằng các
cặp đường thẳng BC và IK, CA và KH, AB và HI cắt nhau thì ba giao điểm đó thẳng
hàng.
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 18


HD:
Chứng minh được tứ giác AKHC nội tiếp
Suy ra EA.EC = EK.EH
Mà EAC là cát tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Mà EKH là cát tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác KHI
E

Suy ra E thuộc đường vuông góc với đường thẳng đi qua
hai tâm đường tròn (ABC) và (KHI)

A

Tương tự F, L cũng thuộc đường vuông góc với đường

I

thẳng đi qua hai tâm đường tròn (ABC) và (KHI)

K

Suy ra E,F,L thẳng hàng

J

F
B

4. Bài toán chứng minh vuông góc

C

H

Ví dụ 7
Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với
L

BC cắt AB, AC tại D và E. Gọi P là một điểm bên trong

tam giác ADE, F và G là giao của DE với BP và CP. Đường tròn tâm (O) ngoại
tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm
thứ hai là Q. Chứng minh rằng AQ  OI
Hướng dẫn.
Gọi M là giao điểm thứ hai của AB và

A

(PDG), N là giao thứ hai của AC và (PFG)
P N

Ta có AMP  PGD (DMPN nội tiếp) và
M

PGD  PCB (đồng vị), suy ra AMP  PCB , suy ra

I

D

BMPC nội tiếp.

F O

E
G

Chứng minh tương tự PNCB nội tiếp.

Q

Suy ra BMNC nội tiếp, suy ra AM .AB  AN.AC
B
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

C
Trang 19


Mà

AD AE

(Định lý Thalet)
AB AC

Suy ra AM .AD  AN.AE
Do đó A thuộc trục đẳng phương PQ của (PDG) và (PEF) suy ra AQ  OI .
5. Bài toán chứng minh tổng hợp
Ví dụ 8
Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Một điểm H thuộc đoạn AB. Đường thẳng
qua H cắt đường tròn tại C. Đường tròn đường kính CH cắt AC, BC và (O) lần lượt tại
D, E và F.
a) Chứng minh rằng AB, DE và CF đồng quy.
b) Đường tròn (C, CH) cắt (O) tại P và Q. Chứng minh rằng P, D, E, Q thẳng
hàng.
Hướng dẫn.
2

a) Ta có CA.CD  CH  CB.CE
C

(hệ thức cạnh và đường cao trong tam giác

P

D
I

vuông CAH và CBH)

F
E

suy ra ADEB nội tiếp.(Định lý 2)

A

O

H

Q
B

M

Xét các đường tròn (ADEB), (O) và đường
tròn đường kính CH, thì DE, AB và CF lần

lượt là các trục đẳng phương của các cặp
đường tròn trên nên chúng đồng quy.
b) Ta có PQ là trục đẳng phương của ( C) và (O) nên OC  PQ . và OD  DE .
Hơn nữa M chính là tâm đẳng phương của ba đường tròn (O), (C, CH) và đường tròn
đường kính CH. Suy ra PQ đi qua M.
Vậy DE, PQ cùng đi qua M và cùng vuông góc với OC nên trùng nhau. Hay D, E, P,
Q thẳng hàng.

Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 20


Cách của học sinh THCS
a) Tham khảo ví dụ 6
Gọi M, MQ’ lần lượt là giao điểm của AB và CF với DE.
Ta cần chứng minh M  M ' .
b) Tham khảo ví dụ 7
Kiến thức về phương tích và trục đẳng phương đơn giản và dễ hiểu, tuy nhiên nó có
ứng dụng nhiều và thường cho lời giải khá hay đối với các bài toán chứng minh điểm
cố định, thẳng hàng hay các bài toán về đồng quy, vuông góc…giáo viên THCS có thể
vận dụng để định hướng tìm lời giải cho các bài toán có yêu cầu nêu trên
III. BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ:
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm toán 9, đặc biệt là nhiều năm gần đây tôi phụ
trách giảng dạy các lớp 9 tạo nguồn, phụ trách công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, vừa
dạy vừa phải tìm tài liệu cho việc giảng dạy nên tôi có dịp nghiên cứu, tìm tòi và học
hỏi từ đồng nghiệp, bằng những hiệu quả mà tôi đã đạt được trong thời gian qua, hy
vọng đây có thể là những kinh nghiệm giúp vận dụng trong thực tế giảng dạy cho các
lớp tạo nguồn và hướng dẫn cho các học sinh trong đội học sinh giỏi của trường ngày
càng tốt hơn.

Một số kinh nghiệm như sau
Đối với giáo viên:
- Cần xác định đúng yêu cầu nhiệm vụ, trách nhiệm trong vấn đề nâng cao
chất lượng học sinh môn Toán, chất lượng đào tạo học sinh giỏi môn toán.
- Nhiệt tình, trách nhiệm cao chăm lo đến chất lượng học sinh đặc biệt là học sinh
giỏi.
- Nắm vững kiến thức Toán học, nội dung chương trình SGK, nắm vững
phương pháp giảng dạy môn Toán, phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi, kết
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 21


hợp với việc vận dụng các kiến thức toán học sơ cấp mà mỗi giáo viên được
trang bị từ khi được đào tạo tại trường sư phạm để làm cơ sở vững chắc cho
phương pháp dạy học
- Có tinh thần tìm tòi, tham khảo nghiên cứu thêm các tài liệu
- Biết kết hợp những kiến thức đã học tại các trường sư phạm để giúp định
hướng tìm lời giải một số bài toán phù hợp trình kiến thức học sinh THCS
- Đặc biệt quan tâm đến đối tượng học sinh giỏi để các em phát triển đồng bộ các
môn và tạo điều kiện cho các em phát triển môn Toán.
Đối với học sinh:
- Thực hiện phong trào thi đua học tập thường xuyên.
- Rèn luyện tinh thần tự học tập, tự tìm tòi lời giải và các cách giải nhằm khai
thác việc vận dụng tối các kiến thức đã học.
- Chủ động thực hiện việc học tập và phương pháp học tập trên lớp theo hướng dẫn
của giáo viên.
- Giúp học sinh tự kiểm tra việc học tập trên lớp, học tập ở nhà của học sinh
thông qua giờ dạy, vở ghi, vở bài tập và các công việc được giao...
- Liên hệ chặt chẽ với giáo viên bộ môn trong quá trình học tập, bồi dưỡng,

- Đối với cha mẹ học sinh giỏi: Động viên hướng dẫn quản lý kiểm tra học sinh
về vấn đề học tập ở nhà của học sinh. Cha mẹ phải thực sự nhiệt tình chăm lo đến con
cái.
Kết quả đạt được:
Trong thực tế giảng dạy việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn toán, với cách làm
trên đây đã mang lại hiệu quả cao trong việc rèn luyện năng lực sáng tạo toán cho học
sinh.
Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 22


Cụ thể 85% các em học sinh đã thực sự có hứng thú học toán bồi dưỡng cho học
sinh khá giỏi, đã tự độc lập tìm tòi ra nhiều cách giải khác nhau mà không cần sự gợi
ý của giáo viên. 15% các em còn cần gợi ý các trường hợp, song rất mong muốn được
tham dự lớp bồi dưỡng học sinh giỏi này.
Đặc biệt trong những năm được nhà trường phân công dạy bồi dưỡng lớp 9 học
sinh đã đạt được kết quả khả quan như sau
Năm học

TSHS

Hạng 1

Hạng 2

Hạng 3

KK

2013 - 2014

15

1

5

4

1

2014 - 2015

14

1

4

5

2

Việc ứng dụng kiến thức hình học sơ cấp (đặc biệt là phép biến hình) vào việc
giải toán ở trường phổ thông cơ sở có một ý nghĩa quan trọng: Nó giúp học sinh rèn
luyện kĩ năng, thao tác tư duy, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo, từ đó liên
hệ các phép biến hình trong giải toán hình học với các phương pháp sử dụng ở cấp
trung học cơ sở; việc lựa chọn các công cụ thích hợp cho mỗi loại bài toán là một việc
làm cần thiết, giúp tiết kiệm thời gian và công sức để giải toán một cách tối ưu nhất.

Đồng thời, nó cũng giúp cho các giáo viên tự nâng cao trình độ chuyên môn của mình.
TP.TDM, ngày 16 tháng 2 năm 2016

ĐẶNG MINH KHÂM

Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 23


IV.TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đào Tam (2005), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ
thông, NXB Đại học Sư phạm
2. Hoàng Chúng (1995), Phương pháp dạy học Toán học ở trường Phổ thông
trung học cơ sở, NXB Giáo dục.
3. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn toán, NXB Đại học Sư
phạm Hà Nội
4. Nguyễn Vũ Thanh (2008), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS
Hình học, NXB Giáo dục.
5. Phép biến hình, Tài liệu trên internet

Thực hiện: Đặng Minh Khâm – THCS Chu Văn An

Trang 24