TÓM TẮT LÝ THUYẾT, CÔNG THỨC LÝ 12 ÔN THI TỐT NGHIỆP THAM KHẢO



Isaac Newton
(1642 – 1727)

André-Marie
Ampère
(1775 – 1836)

James Clerk
Maxwell
(1831 – 1879)

Heinrich Rudolf
Hertz
(1857 – 1894)

GV: Bùi Như Lạc

Thomas Young
(1773 – 1829)

Marie Skłodowska-Curie
(1867 – 1934)

Albert Einstein
(1879 – 1955)

Max Karl Ernst
Ludwig Planck
(1858 – 1974)

Trang1


CHƯƠNG I
BÀI 1: DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA
A/ PHƯƠNG TRÌNH LI ĐỘ, VẬN TỐC, GIA TỐC
I/ Định nghĩa
1/ Dao động: Là những chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng. (vị trí cân bằng là vị trí tự
nhiên của vật khi chưa dao động, ở đó hợp các lực tác dụng lên vật bằng 0)
vd: đưa võng, chơi xích đu, chiếc lá lắc lư khi có gió thổi qua...
2/ Dao động tuần hoàn: Là dao động mà trạng thái dao động của vật lặp lại như cũ sau những
khoảng thời gian bằng nhau. Khoảng thời gian này được gọi là chu kỳ.
(trạng thái chuyển động bao gồm li độ x, vận tốc v, gia tốc a… cả về hướng và độ lớn).

Dao động của con lắc đồng hồ là dao động tuần hồn
3/ Dao động điều hịa: là dao động được mô tả theo định luật dạng sin (hoặc cos) theo thời gian

Hàm sin, cos là hàm điều hòa với chu kỳ 2
II/ Chu kì, tần số dao động:
- Chu kì T là khoảng thời gian ngắn nhất sau đó trạng thái dao động lập lại như cũ hoặc là thời gian
để vật thực hiện một dao động. T 

2



(s) với  là tần số góc (rad/s)

- Tần số f là số chu kì (hay số dao động) vật thực hiện trong một đơn vị thời gian

f 

1 

(1Hz = 1 dao động/giây)
T 2

III/ Phương trình li độ, vận tốc, gia tốc
1/ Phương trình li độ
GV: Bùi Như Lạc

Trang2


Con lắc lị xo
- Phương trình dao động điều hịa có dạng: x = Acos(t + ) hoặc x = Asin(t + )
- Trong đó:
 x: li độ của vật (độ lệch của vật so với vị trí cân bằng) (cm; m)
 Vật qua VTCB thì x = 0, vật ở biên dương thì x = A, biên âm thì x = –A
 A: biên độ dao động, là li độ cực đại, luôn là hằng số dương, phụ thuộc vào cách kích thích dao
động
 : tần số góc (rad/s), luôn là hằng số dương, phụ thuộc cấu tạo của hệ dao động
 (t + ): pha dao động (rad), dùng để xác định trạng thái dao động ở thời điểm t (trạng thái dao
động gồm nhiều yếu tố như li độ, vận tốc, gia tốc)
 : pha ban đầu, phụ thuộc vào hệ qui chiếu (cách chọn gốc thời gian, hệ trục tọa độ)
- Đồ thị của dao động điều hịa theo thời gian là một đường sin (hình vẽ)

x
A

t
-A
Đồ thị li độ theo thời gian
đồ thị x - t
- Quỹ đạo chuyển động là đoạn thẳng và chiều dài quỹ đạo bằng 2A

A

VTCB
x<0

A
x>0

 Lưu ý: Cách tìm pha ban đầu 
x

cos   0

 x  A cos   x0

A 

 Gốc thời gian lúc t = 0 ta có hệ sau: 
 v   A sin 
sin    v

A
 Nếu v > 0 thì  < 0 (đúng khi –    )

 Nếu v < 0 thì  > 0 (đúng khi –    )
2/ Phương trình vận tốc

v = x’ = – Asin(t + ) = Acos(t +  + ) (cm/s; m/s)
2

GV: Bùi Như Lạc

Trang3


v
Aω
t
-Aω
Đồ thị vận tốc theo thời gian
đồ thị v - t

 Nhận xét:

2
 Khi nói đến tốc độ có nghĩa là nói đến độ lớn vận tốc nên ln có giá trị khơng âm (lấy trị tuyệt
đối); cịn vận tốc thì có thể dương, âm hoặc bằng 0
 vận tốc có giá trị cực đại (hay tốc độ cực đại) bằng A khi qua VTCB theo chiều dương
 vận tốc có giá trị cực tiểu bằng –A khi qua VTCB theo chiều âm
 vận tốc có độ lớn cực tiểu (hay tốc độ cực tiểu) bằng 0 ở vị trí biên
 vận tốc có độ lớn cực đại (hay tốc độ cực đại) bằng A ở VTCB (không phân biệt đi theo
chiều dương hay chiều âm)

 Véctơ vận tốc v luôn cùng chiều với chiều chuyển động (Nếu vật chuyển động theo chiều

dương thì v > 0, theo chiều âm thì v < 0)
 Trong dao động điều hịa vận tốc sớm pha hơn li độ góc

v0
A

VTCB

A

v0
3/ Phương trình gia tốc
a = v’ = x’’ = – 2 Acos(t + ) = – 2 x = 2Acos(t +  + ) (cm/s2 ; m/s2)
a
ω2 A

t
-ω2A
Đồ thị gia tốc theo thời gian
Đồ thị a - t
Đồ thị gia tốc theo thời gian

Ba đồ thị x(t), v(t) và a(t) trên cùng hệ trục, v sớm pha hơn x /2, a sớm pha hơn v /2
GV: Bùi Như Lạc

Trang4


 Nhận xét:
 Trong dao động điều hòa gia tốc sớm pha hơn vận tốc góc

π
và ngược pha với li độ
2

Phân biệt giữa độ lớn và giá trị
gia tốc có giá trị cực đại bằng 2A ở biên âm
 gia tốc có giá trị cực tiểu bằng –2 A ở biên dương
 gia tốc có độ lớn cực tiểu bằng 0 ở VTCB
 gia tốc có độ lớn cực đại bằng 2A ở VT biên

 vectơ gia tốc a có chiều luôn hướng về VTCB


 nếu vật chuyển động nhanh dần đều (từ biên về VTCB) thì a và v cùng chiều hay v.a > 0


 nếu vật chuyển động chậm dần đều (từ VTCB ra biên) thì a và v ngược chiều hay v.a < 0
IV/ Các phương trình dao động có dạng đặc biệt
1/ Dao động có phương trình x = x0 + Acos(ωt + φ) với x0 = hằng số
x  x0 = Acos(t + )  X = Acos(t + )
Ta có x = x0 + Acos(ωt + φ)  
X

 Đặc điểm:
 Vị trí cân bằng: X = 0 hay x = x0
 Các vị trí biên là X =  A  x = x0  A.
 Biên độ dao động: A
 Là dao động tuần hồn với tần số góc là ω.
2/ Dao động có phương trình x =Acos2(ωt + φ) hay x = Asin2(ωt + φ)

- Sử dụng công thức hạ bậc ta có
1  cos(2t  2)
A A
x =Acos2(ωt + φ) = A
=  cos(2t  2)
2
2 2
1

cos(
2

t

2

)
A
A
x = Acos2(t+) = A
= – cos(2t + 2)
2 2
2
 Đặc điểm:
 Vị trí cân bằng: x = A/2
 Biên độ dao động: A/2.
 Là dao động tuần hồn với tần số góc là 2ω.

B/ CÔNG THỨC ĐỘC LẬP THEO THỜI GIAN
1/ Mối liện hệ giữa x và v (công thức độc lập vuông pha)

- Do x và v vuông pha với nhau nên từ công thức lượng giác sin 2   cos2   1 ta có
x
+ x = Acos(t + )  cos(t + ) =
(1)
A
v
+ v = –Asin (t + )  sin(t + ) = –
(2)
A
2

2

2

2

 x   v 
x  v 
Từ (1) và (2)  
 1
 
  1 hay    
 A   ωA 
 xmax   vmax 
 Nhận xét:
 Từ biểu thức trên, suy ra các công thức thường dùng là A2 = x2 +

v2

2

 Đồ thị của x, v là đường elip (vì mối liên hệ giữa x và v có dạng
GV: Bùi Như Lạc

; v   A2  x 2

x 2 y2

1)
a2 b 2
Trang5


v(m / s)
A

A

A

O

x ( m)

A
Đồ thị x theo v
2/ Mối liện hệ giữa a và v (công thức độc lập vuông pha)

 v

- Do a và v vuông pha với nhau nên ta có 
 vmax
a 2 v2
 A2 = 4  2
 ω
 Nhận xét:
 Đồ thị của a, v là đường elip

2

  a
  
  a max

2

2

2


v   a 
  1 hay 
  2  1
A


  A


a(m 2 / s)
 A
v(m / s)
A

A

O

 A
Đồ thị a theo v
3/ Mối liện hệ giữa a và x (cơng thức độc lập ngược pha)
a
x
- Vì gia tốc và li độ ngược pha nên ta có
hay a  ω 2 x

amax
xmax
 Nhận xét:
 Đồ thị của a, x là đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ (đoạn thẳng xuống dốc, nghịch biến)

a(m / s 2 )
 A

A

O

A

x ( m)

 A
Đồ thị a theo x

GV: Bùi Như Lạc

Trang6


C/ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG
ĐIỀU HỊA
(ỨNG DỤNG ĐỂ TÌM THỜI GIAN, QNG ĐƯỜNG, SỐ LẦN QUA VỊ
TRÍ NÀO ĐĨ…)
1/ Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa



M



ωt
O







 M0

x

H

- Xét chất điểm M chuyển động tròn đều trên đường trịn tâm O bán kính R =A với vận tốc góc 
 Thời điểm ban đầu (t =0) chất điểm ở vị trí M0 tạo với phương ngang 1 góc .
 Sau thời gian t chất điểm quét được góc  = t, do đó tạo với phương ngang một góc (t +)
- Hình chiếu của M trên trục Ox là H, tọa độ của H được xác định bởi công thức: x =Acos(t + ) là
một dao động điều hịa.
- Vậy dao động điều hịa là hình chiếu của chuyển động tròn đều lên một trục nằm trong mặt
phẳng quỹ đạo
 Chú ý: tất cả các điểm trên vòng tròn đều phải đi ngược chiều kim đồng hồ (đây là chiều
dương lượng giác), do đó khi chất điểm ở nửa trên vòng tròn sẽ tiến về biên âm nên hình chiếu
lên Ox sẽ có v < 0, nửa dưới vịng trịn sẽ có v >0
 Bảng tương quan giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều:
Chuyển động tròn đều (tâm O, R = A)
Dao động điều hòa x = Acos(t+)
A là biên độ
R = A là bán kính
 là tần số góc
 là tốc độ góc
(t + ) là pha dao động
(t + ) là tọa độ góc
vmax = A là tốc độ cực đại
v = R = A là tốc độ dài
2

amax =  A là gia tốc cực đại
aht = 2A = 2R là gia tốc hướng tâm
Fphmax = m.amax=m2 A là hợp lực cực đại tác Fht = m.aht= m2 A là lực hướng tâm tác dụng lên
dụng lên vật
vật
2/ Ứng dụng 1: tìm thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí M đến N
a/ Những khoảng thời gian đặc biệt
- Sau 1T thì vật đi được 1 vịng và trở lại vị trí cũ theo hướng cũ; sau

T
thì vật đi được ½ vịng và
2

qua vị trí đối xứng phía bên kia của đường tròn.

VTCB

A

A  A






T /4

GV: Bùi Như Lạc



T /4

A
2

A
2

VTCB

A










T /6

T /12

T /12

T /6

Trang7


A 

A 3
2

A 3
2

VTCB



  
  



T /12

T /6

T /6



A A

A 2
2

A 2
2

VTCB

A











T /12

T /8

T /8

T /8

T /8

 Lưu ý: là ngồi vịng trịn theo x chúng ta có thể vẽ vòng tròn theo v hoặc theo a và các khoảng
thời gian đặc biệt cũng tương tự. (vẽ riêng các vịng trịn, khơng ghép hai vịng trịn chung 1 hình)

A

O

GV: Bùi Như Lạc



A

v



 A

O



 A

a

Trang8

Chuyển động theo chiều âm v<0

π
2π
3π
5π

4

3

2

π

x=0
v min =-Aω
a=0

3
π

π

6
 xmin = -A
 amax = Aω2
 v=0

6

 xmax = A
 amin = -Aω2
 v=0

π

-A

4

0

VTCB
-A 3
2

 5π

-A
2

-A
2

A
2

A

2

O

π

6
 3π

x=0
v max =Aω
a=0

4
 2π

3

π

π
π

4

3

2

Chuyển động theo chiều dương v>0

Vòng tròn lượng giác trong dao động điều hòa

GV: Bùi Như Lạc

A

A 3
2

Trang9

6


b/ Khoảng thời gian khơng đặc biệt (tính góc qt)

M






O

 M0

x



Bước 1: xác định góc qt 
Bước 2: tìm thời gian bằng công thức t 

 0 .  0 .T
 ( rad )
t


hoặc nếu tính theo độ thì

180. 360

3/ Ứng dụng 2: xác định vị trí của vật sau thời gian t
- Bước 1: tìm vị trí xuất phát của vật trên vòng tròn
- Bước 2:
- Nếu khoảng thời gian đề yêu cầu lớn hơn T, ta tách như sau
 Phân tích t=nT + tlẻ ((với n là số nguyên và phần thời gian tlẻ phải nhỏ hơn T). Vì sau 1 T
vật đi được 1 vịng và trở lại vị trí cũ theo hướng cũ, nên ta chỉ tìm vị trí của vật sau thời gian tlẻ
 Nếu tlẻ rơi vào các trường hợp đặc biệt thì ta làm rất nhanh (đa số các bài đều cho thời gian đặc
biệt), nếu thời gian tlẻ không rơi vào trường hợp đặc biệt thì ta dùng góc qt.
4/ Ứng dụng 3: xác định thời gian vật qua vị trí xM nào đó lần thứ n
- Bước 1: xác định vị trí xuất phát; xác định điểm đề yêu cầu trên đường trịn
- Bước 2: tùy bài tốn, có bài trên vịng trịn chỉ có 1 điểm đề u cầu (ví dụ qua VTCB theo chiều
dương), có bài có 2 điểm (ví dụ qua VTCB mà khơng u cầu chiều), có bài 4 điểm (ví dụ qua vị trí
động năng bằng thế năng). Dựa vào đó ta tách n (lần) thành phần nguyên của 1, 2 hoặc 4 và phần
lẻ
- Bước 3: tìm thời gian, nhớ thời gian quay 1 vịng là T; nửa vịng là T/2; phần lẻ thì dùng góc qt
= .t

5/ Ứng dụng 4: tìm qng đường đi được sau khoảng thời gian t



M






s

 M0

x

Quãng đường đi là độ dài hình chiếu lên trục Ox và ln > 0
- Quãng đường đi được sau thời gian T luôn bằng 4A, sau thời gian T/2 luôn bằng 2A
- Nếu khoảng thời gian đề yêu cầu lớn hơn T, ta tách như sau
 Phân tích t=nT + tlẻ (với n là số nguyên và phần thời gian tlẻ phải nhỏ hơn T)
 Quãng đường đi được sau thời gian nT là n.4A
 Cần tìm quãng đường đi trong thời gian tlẻ bằng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao
GV: Bùi Như Lạc
Trang10


động điều hòa (nhớ là quãng đường là độ dài hình chiếu và ln > 0)
6/ Ứng dụng 5: tính tốc độ trung bình và vận tốc trung bình
S

a/ Tốc độ trung bình vtb  ln > 0
t
Trong đó:
 S: tổng quãng đường đi được trong khoảng thời gian t ln > 0, do đó tốc độ trung bình ln >0
 t: là thời gian
4A
- Sau thời gian nhiều chu kỳ, 1 chu kỳ, 1/2 chu kỳ tốc độ trung bình ln bằng
T
x
b/ Vận tốc trung bình v 
t
Trong đó:
 x = xsau – xđầu: là độ biến thiên tọa độ (hay độ dời) (có thể > 0, <0, =0), do đó vận tốc trung
bình có thể > 0, <0, =0
 t: thời gian
7/ Ứng dụng 6: xác định số lần vật qua vị trí xM nào đó trong khoảng thời gian t
8/ Ứng dụng 7: Quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất sau thời gian t (max sin, min cos)
- Có hai trường hợp, khi thời gian nhỏ hơn T/2 và lớn hơn T/2
TH1: khi thời gian t < T/2
- Vật có vận tốc lớn khi tiến về VTCB, nhỏ khi tiến về vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời
gian quãng đường đi được lớn nhất khi vật đi đối xứng quanh VTCB và nhỏ nhất khi vật đi đối
xứng quanh vị trí biên
M2
M1
M1

2

A

-A
x2

O

x1

-A

x

O



A
x

2

M2
Quãng đường max



S
t
)  tốc độ trung bình vtbM ax  M ax
2
T

t
S

.t 

 2 A(1  cos )  2 A 1  cos( )   vtbMin  Min
2
T 
t


- Quãng đường lớn nhất S M ax  2A sin
- Quãng đường nhỏ nhất S Min

Quãng đường min

 2 A sin(

TH2: khi thời gian t > T/2
T
- Tách t  n  t ' (tách sao cho thời gian t’ phải < T/2)
2
T
- Trong thời gian n quãng đường đi được luôn là n.2A
2
- Trong thời gian t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như TH1
8/ Ứng dụng 7: Thời gian dài nhất và ngắn nhất để đi được quãng đường S
- Đây là bài toán ngược với mục Ứng dụng 7 ở trên
- Cũng tương tự, cùng quãng đường S thì thời gian ngắn nhất khi vật chuyển động đối xứng quanh
VTCB và thời gian dài nhất khi vật chuyển động đối xứng quanh biên

- Nếu quãng đường S > 2A thì tách

GV: Bùi Như Lạc

Trang11


BÀI 2 : CON LẮC LÒ XO
A/ DẠNG CƠ BẢN
I/ Cấu tạo con lắc lò xo
- Nằm ngang:

- Thẳng đứng:

- Trên mặt phẳng nghiêng:

- Điều kiện dao động điều hòa: Bỏ qua ma sát, lực cản, bỏ qua khối lượng của lò xo, xét trong giới
hạn đàn hồi của lò xo.
- Khi con lắc lò xo dao động điều hòa thì ta có thể vận dụng tất cả cơng thức của bài dao động
điều hịa như phương trình li độ, vận tốc, gia tốc, công thức độc lập…
II/ Chu kỳ - Tần số
a/ Tần số góc  (rad/s)  

k
m

Trong đó:
 k: độ cứng của lị xo (N/m)
 m: khối lượng của vật (kg)
b/ Chu kỳ T (s):

- Chu kỳ là thời gian để con lắc thực hiện một dao động: T 


m
 2
(s)

k

 Chu kỳ dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = m1 + m2  T =
 Chu kỳ dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = |m1 – m2|: T =

T12  T22
T12  T22

 Chu kỳ dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = a. m1 + b.m2: T 2  aT12  bT22
c/ Tần số f(Hz):

1 k

- Tần số là số dao động con lắc thực hiện được trong 1s: f 
(Hz)
2 2 m
d/ Đối với con lắc lò xo đứng, ta cịn có cơng thức sau để tính chu kỳ

GV: Bùi Như Lạc

Trang12

l
VTCB
mg
g
 2
- Tại VTCB lò xo biến dạng một đoạn  
k


 

g

; T  2π

g

 Con lắc lò xo treo ở mặt phẳng nghiêng:  

mg sin  g sin 

; 
k
2

g sin 
l

III/ Chiều dài con lắc lò xo thẳng đứng:
Biên trên

Vị trí lị xo khơng biến dạng


VTCB

Biên dưới
- Con lắc lị xo khi khơng biến dạng (nén hoặc dãn) có chiều dài tự nhiên  o, khi treo vật m thì con
lắc dãn đoạn Δ  :  

mg
g
 2
k


- Chiều dài lò xo tại VTCB:  CB = 0   (  0 là chiều dài tự nhiên)
- Chiều dài cực tiểu (khi vật ở vị trí cao nhất):  min = 0    A
- Chiều dài cực đại (khi vật ở vị trí thấp nhất):  max = 0    A
   min
   min
  CB = max
; A  max
2
2
 Chú ý: nếu con lắc lò xo nằm ngang thì ở VTCB lị xo khơng biến dạng, các công thức trên áp
dụng được với  =0
IV/ Cắt, ghép lò xo
1 1 1
1
1

1
- Ghép lò xo nối tiếp  
 cùng treo một vật thì: T 2  T12  T22 ; 2  2  2
f
f1
f2
k k1 k2
- Ghép lò xo song song: k = k1 + k2  cùng treo một vật thì:

1
1
1
 2  2 ; f 2  f12  f 22
2
T
T1 T2

- Một lị xo có độ cứng k, chiều dài  được cắt thành các lị xo có chiều dài là 1 ,  2 , … thì độ cứng
k1, k2, … được xác định bằng công thức k = k11 = k 2 2 = ...(độ cứng tỉ lệ nghịch với chiều dài)

B/ CƠ NĂNG CON LẮC LÒ XO
1/ Động năng
- Động năng: Wñ 

1 2 1
1
mv  m 2 A2 sin 2 (t   )  kA2 sin 2 (t   ) (J)
2
2
2

2/ Thế năng
GV: Bùi Như Lạc

Trang13


- Thế năng: Wt 

1 2 1 2
kx  kA cos 2 (t   ) (J)
2
2

3/ Cơ năng
- Cơ năng: W  Wđ  Wt hay W  Wđ max 

1
1
m 2 A2 hay W  Wt max  kA2
2
2

- Định luật bảo toàn cơ năng Wđầu = Wsau
 Chú ý:
 Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn với chu kỳ T/2; tần số 2f; tần số góc 2 (với
T, f là chu kỳ và tần số dao động của con lắc lò xo) còn cơ năng khơng đổi (khơng có chu kỳ)
 Động năng và thế năng ngược pha nhau
 Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng là T/4
 Cơ năng của con lắc lò xo chỉ phụ thuộc k và A (không phụ thuộc khối lượng m)

2
Wđ  A 
 Tỉ số giữa động năng và thế năng:
   1
Wt  x 
 Khi Wđ = nWt thì: x  

A
; v   A
n 1

n
 A

 n  1
1
1
n

C/ LỰC ĐÀN HỒI – LỰC PHỤC HỒI
1/ Lực phục hồi (hợp lực tác dụng vào vật, lực kéo về, lực gây ra dao động cho vật)
- Công thức: Fph = ma = – kx (áp dụng cho mọi con lắc lò xo)
- Độ lớn: Fph = m|a| = k|x|
 Ở vị trí biên lực phục hồi có độ lớn cực đại = kA
 Ở VTCB lực phục hồi có độ lớn cực tiểu =0
- Đặc điểm:
 Là lực gây dao động cho vật.
 Luôn hướng về VTCB
 Biến thiên điều hòa cùng tần số, cùng pha với a, ngược pha với x
 Đồ thị F, x có dạng đoạn thẳng qua gốc tọa độ (giống đồ thị giữa a và x)

2/ Lực đàn hồi (là lực đưa vật về vị trí lị xo khơng biến dạng, lực mà lò xo tác dụng lên điểm
treo, lực lò xo tác dụng lên vật)
- Lực đàn hồi có độ lớn Fđh=k.(độ biến dạng)
- Với con lắc lị xo nằm ngang thì lực phục hồi và lực đàn hồi là một (vì tại VTCB lị xo khơng biến
dạng)
- Với con lắc lị xo treo thẳng đứng lực đàn hồi và lực phục hồi khác nhau.
 Nếu chọn chiều dương hướng xuống Fđh = k (   x )
 Nếu chọn chiều dương hướng lên Fđh = k (   x )
 Lực đàn hồi cực đại: Fđh max = k(  + A) (lúc lò xo biến dạng nhiều nhất)
 Lực đàn hồi cực tiểu:
 Nếu A <   F đh min = k(  – A) (lúc lò xo biến dạng ít nhất)
 Nếu A ≥   F đh min = 0 (lúc vật đi qua vị trí lị xo khơng biến dạng)

GV: Bùi Như Lạc

Trang14


-A
nén
-A

l

l

O

giãn

O

giãn

A
A

x

x
Hình 2 (A >   )

Hình 1 (A <   )

D/ THỜI GIAN LÒ XO NÉN – DÃN
1/ Đối với con lắc lò xo nằm ngang
- Trong 1 chu kỳ, thời gian lò xo nén bằng thời gian lò xo dãn và bằng T/2.
2/ Đối với con lắc lò xo thẳng đứng
- Thời gian lò xo nén t1 là thời gian để vật đi từ vị trí lị xo khơng biến dạng đến vị trí cao nhất và
trở về vị trí cũ.
- Thời gian lị xo dãn t2 là thời gian để vật đi từ vị trí lị xo khơng biến dạng đến vị trí thấp nhất và
trở về vị trí cũ.
 Lưu ý:
 Lị xo chỉ bị nén khi A > 
 Tổng thời gian nén và dãn trong 1 chu kỳ đúng bằng T
x
A
nén


l
O

(A > l)

O

dãn

-A

BÀI 3: CON LẮC ĐƠN
A/ DẠNG CƠ BẢN
1/ Cấu tạo
- Gồm sợi dây nhẹ không dãn, đầu trên được treo cố định đầu dưới được gắn với vật nặng có khối
lượng m

- Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc 0 rồi bng tay khơng vận tốc đầu trong môi trường
GV: Bùi Như Lạc

Trang15


khơng có lực cản thì con lắc đơn chỉ dao động điều hịa khi biên độ góc 0 ≤ 100
- Khi góc lệch  0 lớn thì dao động khơng phải là dao động điều hòa mà chỉ là dao động tuần hồn.
2/ Chu kỳ, tần số
- Tần số góc:  

g
(rad/s)



Với
 g là gia tốc trọng trường (m/s2)
  l là chiều dài con lắc (m)

- Chu kỳ: T = 2
(s)
g
- Tần số: f =

1 1
=
T 2

g
(Hz)


 Lưu ý
 Con lắc có chiều dài l = l1 + l2 thì chu kì dao động: T 2 T 21T22
 Con lắc có chiều dài l = l1 – l2 thì chu kì dao động: T 2 T 21T22
 Chu kỳ con lắc đơn phụ thuộc nhiệt độ và độ cao vì khi nhiệt độ thay đổi thì chiều dài con lắc
đơn thay đổi (nóng nở ra, lạnh co lại), càng lên cao thì g càng giảm
3/ Phương trình dao động điều hịa 0 < 10o:

0


s

S0

- Phương trình theo li độ góc α = α0cos(t + )
- Phương trình theo li độ dài s = S0cos(t + )
 s: độ dài cung tròn (m) với s = .  (s tương tự như x trong con lắc lị xo vì cùng đơn vị dài)
 S0: biên độ dài (m) với S0 = 0.  (S0 tương tự như A trong con lắc lị xo vì cùng đơn vị dài)
 : li độ góc (rad)
 0: biên độ góc (rad)
4/ Phương trình vận tốc - gia tốc với 0 < 10o (khi dao động điều hịa)
a/ Phương trình vận tốc v = s’ = –S0sin(t + ) (m/s)
 Nhận xét
 vận tốc có giá trị cực đại vmax = S0 khi qua VTCB theo chiều dương, có giá trị cực tiểu – S0
khi qua VTCB theo chiều âm
 vận tốc có độ lớn cực đại (hay tốc độ cực đại) bằng S0 khi vật qua VTCB
 vận tốc có độ lớn cực tiểu (hay tốc độ cực tiểu) bằng 0 ở biên
 Lưu ý: Ngồi ra, vận tốc cịn được tính theo công thức tổng quát sau (áp dụng cho mọi trường hợp
góc 0) v  2g(cos   cos 0 )
 Ở VTCB thì li độ  = 0  v max  2g(1  cos 0 )
 Ở biên thì li độ  = 0  v = 0

GV: Bùi Như Lạc

Trang16


b/ Phương trình gia tốc
- Gia tốc tiếp tuyến att = a = v’ = x” = – 2.S0cos(t + ) (cm/s) = – 2.s (m/s2)
v2
 2g(cos   cos 0 )

- Gia tốc hướng tâm a ht 

 gia tốc toàn phần của con lắc đơn a  a 2tt  a 2ht (m/s2)
 Lưu ý:
 Trong quá trình dao động của con lắc đơn khơng có vị trí gia tốc bằng 0
 Ở VTCB att= 0  gia tốc CLĐ chỉ còn aht
 Ở VTB aht= 0  gia tốc CLĐ chỉ cịn att
c/ Cơng thức độc lập với thời gian
- Chú ý là A tương tự với S0 và x tương tự với s
v2
v
S02  s2  ( )2 ; 02   2 
gl


 Lưu ý: Ngồi ra, trong trường hợp tổng qt thì từ biểu thức vận tốc ta có cos 0  cos  

v2
2 gl

5/ Các loại lực trong con lắc đơn
a/ Lực căng dây: T = mg(3cosα – 2cosα0) (áp dụng cho mọi trường hợp góc)
 Nhận xét:
 Ở VTCB thì li độ  = 0  Tmax = mg(3 – 2cosα0)
 Ở biên thì li độ  = 0  Tmin = mg.cosα0
b/ Lực kéo về hay lực phục hồi:
- Lực kéo về trong con lắc đơn chính là thành phần trọng lực có phương tiếp tuyến với quỹ đạo
chuyển động, kéo vật nặng về VTCB, Fkv  Pt = ma t = mg sin 
6/ Động năng – Thế năng – Cơ năng:
1

- Động năng tại vị trí góc  Wñ  mv 2  mg(cos   cos 0 ) (J)
2
- Thế năng tại vị trí góc  Wt  mgh  mg(1  cos ) (J)
- Cơ năng: W  Wñ  Wt  mg(1  cos 0 )
Với
 m: khối lượng (kg)
  : chiều dài con lắc đơn (m)
 g: gia tốc trọng trường (m/s2)
 v: vận tốc (m/s)
 Lưu ý: khi 0  10o hay con lắc đơn dao động điều hịa, có thể áp dụng công thức gần đúng sau:
2
sin    cos   1 
, thế vào các cơng thức có chứa sin và cos ta được
2
1
1 mg 2
Wt  mg2 
s
2
2 
1
1 mg 2 2
Wñ  mg(20   2 ) 
(S0  s )
2
2 
1
1 mg 2
W  mg20 
S0

2
2 
S0
0
- Khi Wđ = nWt thì s 
; 
n 1
n 1
 Lưu ý:
GV: Bùi Như Lạc

Trang17


 Động năng thế năng có chu kỳ T/2; tần số 2f; tần số góc 2; cơ năng khơng dao động (không
đổi theo thời gian)

 Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng là T/4
7/ Tóm tắt
- Con lắc đơn ta có cơng thức đúng với mọi góc 0 và cơng thức gần đúng khi 0  10º như
sau
Công thức tổng quát

2gcos   cos  0 

v=

2g1  cos  0 

vmax =

Wt = mgh = mg  (1 - cos)
Wđ =

1 2
mv  mg(cos   cos   )
2

W = mg  (1 - cos0)

Cơng thức gần đúng khi góc có giá trị
nhỏ (α0 ≤100)→ đổi về rad
v = s’
1
1 mg 2
mg  2 
s
2
2 
1
Wđ = mg( 20   02 )
2
1
1 mg 2
S0
W = mg  02 
2
2 

Wt =

T = mg(3cos - 2cos0)
Tmax = mg(3- 2cos0)
Tmin = mgcos0

B/ CON LẮC ĐƠN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA NGOẠI LỰC
1/ Trọng lực hiệu dụng. Gia tốc hiệu dụng

- Khi
con
lắc
đơn
chịu
thêm
tác
dụng
của
ngoại
lực
F , thì lúc đó con lắc đơn có trọng lực hiệu dụng


 
là P ' , với P '  P  F



    
F 
- Lúc này, gia tốc mà con lắc đơn phải chịu khơng cịn là g mà là g ' ; g ' = g + a = g +

; g ' gọi
m
là gia tốc hiệu dụng

 chu kỳ mới là T=2
g'
- Ngoài ra, tất cả các cơng thức có g đều thay bằng g’ như

 v

2g ' (cos   cos 0 )

 T=mg’(3cosα – 2cosα0)
…

2/ Các trường hợp đặc biệt của chiều gia tốc a :

 F


- Theo định luật II Newton ta có gia tốc a  , nên vectơ a luôn cùng chiều với vectơ F
m




 TH1: F có phương thẳng đứng hướng xuống, nên a cũng hướng xuống  a cùng chiều với g
F
 độ lớn g’ = g + a = g +
(tổng hai vectơ cùng phương cùng chiều)

m

GV: Bùi Như Lạc

Trang18






 TH2: F có phương thẳng đứng hướng lên, nên a cũng hướng lên  a ngược chiều với g  độ
F
lớn g’ = g – a = g –
m



F
 TH3: F có phương ngang thì a vng góc với g  g '  g 2  a 2  g 2  ( )2 . Khi đó vị trí
m
F a
g
cân bằng mới lệch với phương thằng đứng góc  có: tan=   g ' 
 T '  T . cos 
P g
cos

VTCB mới




F


P


3/ Các trường hợp của ngoại lực F
a/ Ngoại lực là lực điện
trường


- Lực điện trường: F  q. E , về độ lớn: F = |q|E

 E : vectơ cường độ điện trường (V/m)
 q: điện tích của
 con lắc đơn (C) 
 Nếu q > 0: F cùng hướng với E 
 Nếu q < 0: F ngược hướng với E


P'

- Công thức tính độ lớn điện trường đều giữa hai bản tụ: E =

U
d

 U là hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện (V)
 d là khoảng cách giữa hai bản (m)
b/ Ngoại lực là lực quán tính
- Lực quán tính xuất hiện khi con lắc treo trong thang máy, trong toa xe chuyển động nhanh dần hoặc
chậm dần




- Lực quán tính: Fqt  ma , độ lớn Fqt = m.|a| ( Fqt  a )
- Để xác định chiều gia tốc quán tính, ta nhớ hai ví dụ sau

 
 Chuyển động nhanh dần đều aqt  v ( v là chiều chuyển động)
vd: xe đang đứng yên thì tăng tốc, người trên xe ngã về phía sau


 Chuyển động chậm dần đều aqt  v
vd: xe đang chạy thì thắng lại, người trên xe ngã về phía trước

GV: Bùi Như Lạc

Trang19



Fqt


Fqt

Xe tăng tốc

Xe thắng lại

 Lưu ý:
- Treo một con lắc đơn trong một toa xe chuyển động xuống dốc nghiêng góc  so với phương
ngang, hệ số ma sát giữa bánh xe và mặt đường là . Khi đó chu kì dao động nhỏ của con lắc là:

T = 2
g.cos  1   2
c/ Con lắc đơn dao động trong lưu chất

- Khi con lắc đơn trong chất lưu thì nó chịu tác dụng của lực đẩy Ácsimét: F = Dchất lưu.gV ( F luôn
thẳng đứng hướng lên  g’ = g – a)
 Dchất lưu là khối lượng riêng của chất lỏng hay chất khí.
 g là gia tốc trọng trường
 V là thể tích của vật chìm trong chất lỏng hay chất khí đó.
 Lưu ý:
- Gọi DCL là khối lượng riêng của lưu chất (chất lỏng hay chất khí), DV là khối lượng riêng của vật

thì chu kì dao động của vật trong lưu chất là T = 2

D 
g  1  CL 
DV 

 VẬY, để làm tốt các bài con lắc đơn chịu tác dụng của ngoại lực ta cần thực hiện các bước
sau
 Bước 1: xác định ngoại lực là lực gì (lực điện trường hay lực qn tính)


 Bước 2: xác định chiều và độ lớn ngoại lực  chiều và độ lớn gia tốc a

 Bước 3: dựa vào 3 trường hợp về chiều của a , tìm g’

BÀI 4: TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG
PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ
I/ Độ lệch pha 
- Cho hai dao động điều hịa cùng tần số có phương trình lần lượt là x1=A1cos(t + 1) và
x2=A2cos(t + 2), độ lệch pha  = 2 – 1
 Nhận xét
  < 0  x2 trễ pha hơn x1 hay x1 sớm pha hơn x2
  > 0  x2 sớm pha hơn x1 hay x1 trễ pha hơn x2
  = k2  hai dao động cùng pha
  = (2k + 1)  hai dao động ngược pha
GV: Bùi Như Lạc

Trang20



 k   hai dao động vuông pha
2
II/ Vectơ quay
- Mỗi dao động
 điều hịa có dạng đại số x = A cos(t + ) được biểu diễn dưới dạng hình học là một
vectơ quay A có
 Bán kính bằng A

 Ban đầu vectơ A hợp với phương ngang góc 

 Vectơ quay đều với tốc độ góc 

  =


A


A2
 



A1

O

P2 P1

P

x

III/ Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
- Điều kiện để tổng hợp được hai dao động là hai dao động phải cùng tần số và độ lệch pha không
đổi theo thời gian
 Bài toán: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
x1=A1cos(t + 1) và x2=A2cos(t + 2) tìm phương trình dao động tổng hợp x = x1 + x2 hay
  
A = A1 + A 2

a/ Cơng thức tính biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp

A2  A12  A22  2 A1 A2 cos( 2  1 )

tan  

A1 sin 1  A2 sin  2
A1cos1  A2 cos 2

 Lưu ý:
 Biên độ dao động tổng hợp A1  A 2  A  A1  A 2

1   2

  2
 Khi A1 = A2 = a  
 A  2a cos  1   2 

 2 
b/ Ảnh hưởng của độ lệch pha 
 Amax  A1  A2
  = k2  hai dao động cùng pha  
  1  2


A1

A2

 

A2 A

A1

 Amin  A1  A2


A
  = (2k + 1)  hai dao động ngược pha    1 khi A1  A2
   khi A  A
2
2
1

c/ Tìm điều kiện để A1max hoặc A2max

- Khi hai dao động thành phần lệch pha nhau góc φ > thì ta có bài tốn tìm A1 để A2 max hoặc
2
ngược lại, ta nên vẽ giản đồ vectơ sau đó dùng định lý hàm số sin để giải

GV: Bùi Như Lạc

Trang21




 Khi A1 thay đổi để A2 max thì A1  A hay tam giác vuông với A2 là cạnh huyền:
A
A 2 max 

sin( 2  1 )


A1

2

1


A


A 2Max



Giản đồ vectơ với A2 là cạnh huyền (tổng vectơ theo quy tắc đa giác)


 Khi A2 thay đổi để A1 max thì A2  A hay tam giác vng với A1 là cạnh huyền:
A
A1max 
sin( 2  1 )
IV/ Tìm phương trình dao động x2 khi biết phương trình x và x1
A22  A2  A12  2 AA1 cos(  1 )
A sin   A1 sin 1
tan2 =
với 1    2 (nếu 1  2)
A cos   A1 cos 1

V/ Tìm khoảng cách 2 vật dao động điều hòa cùng tần số cùng trên trục Ox
- Khoảng cách 2 vật là x  x1  x2 =Ahiệu cos(t   )

 Nhận xét
 tương tự ta cũng có cơng thức tính biên độ như sau Ahiệu2 = A12  A22  2 A1 A2 cos( 2  1 )
 khoảng cách lớn nhất của 2 vật là Ahiệu (Ahiệu chính là biên độ)
Biểu diễn trên giản đồ thì khoảng cách lớn nhất khi vectơ A hiệu nằm song song với Ox


A hieäu

A1


A2
O
 hai vật gặp nhau khi x  0

VI/ Cách bấm máy tính
- Chuyển sang đơn vị Rad bấm SHIFT MODE 4
- Chuyển sang chức năng số phức (Complex) bấm MODE 2

- Nhập A11 + A22, dấu  bấm SHIFT (-)

GV: Bùi Như Lạc

Trang22


- Ra kết quả bấm =

- Chuyển sang dạng A bấm SHIFT 2,3

BÀI 5: CÁC LOẠI DAO ĐỘNG KHÁC
(TẮT DẦN, DUY TRÌ, CƯỠNG BỨC)
I/ Dao động tự do:
- Là dao động có tần số (hay chu kì) chỉ phụ vào các đặc tính cấu tạo của hệ mà khơng phụ thuộc vào
các yếu tố ngồi (ví dụ con lắc lị xo có chu kỳ T  k, m).
- Dao động tự do sẽ tắt dần do ma sát.
II/ Dao động tắt dần:
- Là dao động có biên độ giảm dần (hay cơ năng giảm dần) theo thời gian (nguyên nhân do tác
dụng cản, của lực ma sát).
 Lực ma sát lớn quá trình tắt dần càng nhanh.
 Lực ma sát luôn luôn hướng ngược chiều chuyển động nên sinh công âm làm cho cơ năng con
lắc giảm dần, chuyển hoá thành nhiệt năng.
- Ứng dụng trong các hệ thống giảm xóc của ơtơ, xe máy…

x

t

O

T

T

Đồ thị biên độ giảm dần theo thời gian
III/ Dao động duy trì:
- Là dao động tự do mà người ta đã bổ sung năng lượng cho vật sau mỗi chu kì dao động, năng lượng
bổ sung đúng bằng năng lượng mất đi.

- Quá trình bổ sung năng lượng là để duy trì dao động chứ khơng làm thay đổi đặc tính cấu tạo,
khơng làm thay đổi biên độ và tần số dao động riêng của hệ
Ví dụ con lắc đồng hồ là dao động duy trì
IV/ Dao động cưỡng bức:
- Là dao động chịu tác dụng của ngoại lực biến thiên điều hòa theo thời gian F = F0cos(t + ) với F0
là biên độ của ngoại lực.
- Ban đầu dao động của hệ là một dao động phức tạp do sự tổng hợp của dao động riêng và dao động
cưỡng bức sau đó dao động riêng tắt dần vật sẽ dao động ổn định với tần số của ngoại lực, dao
động cưỡng bức là dao động điều hòa.
- Biên độ dao động cưỡng bức phụ thuộc: biên độ ngoại lực, lực cản môi trường và độ chênh lệch
tần số ngoại lực và tần số riêng
 Biên độ của dao động cưỡng bức tăng nếu biên độ ngoại lực (cường độ lực) tăng và ngược lại.
 Biên độ của dao động cưỡng bức tăng nếu lực cản môi trường giảm và ngược lại.
 Biên độ của dao động cưỡng bức tăng nếu độ chênh lệch giữa tần số của ngoại lực và tần số dao
động riêng nhỏ.
GV: Bùi Như Lạc

Trang23


vd: - Gọi 0 là tần số dao động riêng,  là tần số ngoại lực cưỡng bức, biên độ dao động cưỡng bức
sẽ tăng dần khi  càng gần với 0. Với cùng cường độ ngoại lực nếu 2 > 1 > 0 thì A2 < A1 vì 1 gần
0 hơn.
V/ Hiện tượng cộng hưởng:
- Là hiện tượng biên độ dao động cưỡng bức tăng một cách đột ngột khi tần số dao động cưỡng bức
bằng tần số dao động riêng của hệ.

Khi con lắc X dao động thì con lắc C sẽ có biên độ lớn nhất do TX  TC
- Biên độ của cộng hưởng phụ thuộc vào lực ma sát, biên độ của cộng hưởng lớn khi lực ma sát nhỏ
và ngược lại.

Biên độ
Cộng hưởng

Amax
A1

O

f1

friêng

fngoại lực

- Nhìn vào đồ thị ta thấy, biên độ càng lớn nếu fngoại lực càng gần tần số riêng

GV: Bùi Như Lạc

Trang24


CHƯƠNG II
BÀI 6: SÓNG CƠ VÀ SỰ TRUYỀN SÓNG CƠ
A/ ĐẠI CƯƠNG VỀ SĨNG CƠ
I/ Định nghĩa:

- Sóng cơ học là sự lan truyền dao động cơ học trong môi trường vật chất đàn hồi theo thời gian.
- Từ định nghĩa trên ta có thể rút ra một số nhận xét sau:
 Sóng cơ học là sự lan truyền dao động, lan truyền năng lượng, lan truyền pha dao động (trạng
thái dao động) chứ khơng phải q trình lan truyền vật chất (phần tử vật chất chỉ dao động tại chỗ

quanh vị trí cân bằng)
 Sóng cơ chỉ lan truyền được trong môi trường vật chất đàn hồi, không lan truyền được trong
chân khơng.
II/ Phân loại sóng:
- Dựa vào phương dao động của các phần tử và phương lan truyền của sóng người ta phân sóng
thành hai loại là sóng dọc và sóng ngang.
a/ Sóng dọc: Là sóng có phương dao động của các phần tử trùng với phương truyền sóng.
- Sóng dọc có khả năng lan truyền trong rắn, lỏng, khí.
vd: sóng âm khi truyền trong khơng khí hay trong chất lỏng là sóng dọc.
b/ Sóng ngang: Là sóng có phương dao động của các phần tử vng góc với phương truyền sóng.
- Sóng ngang chỉ có thể lan truyền trong chất rắn và bề mặt chất lỏng
vd: sóng truyền trên mặt nước là sóng ngang

III/ Các đại lượng đặc trưng của sóng:
a/ Vận tốc truyền sóng
GV: Bùi Như Lạc

Trang25