skkn một số dạng toán cơ bản về xác suất của biến cố ” ở đại số giải tích 11

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình Toán THPT các bài toán có liên quan đến xác suất
là một phần quan trọng của Đại số - giải tích 11, học sinh thường gặp nhiều
khó khăn khi giải các bài toán liên quan.
Chính vì vậy trong giảng dạy ngoài việc giúp cho học sinh nắm được
kiến thức cơ bản thì việc phát huy tính tích cực, tự lập của học sinh và biết
áp dụng các kiến thức đã học vào giải các bài toán và ứng dụng toán học
vào trong thực tế là rất cần thiết. Xác suất của biến cố là một trong những
nội dung quan trọng của chương trình Toán phổ thông. Sau khi học sinh đã
học xong “xác suất của biến cố ” bản thân tôi muốn học sinh tìm xác suất
của một bài toán, của một ứng dụng trong thực tế một cách đơn giản, nên
trong bài viết này “ Một số dạng toán cơ bản về xác suất của biến cố ” ở
đại số - giải tích 11 sẽ giúp cho học sinh làm bài tập một cách nhanh chóng
và chính xác.
2. Mục đích nghiên cứu:
Nhằm hệ thống lại những kiến thức về xác suất của biến cố để học sinh
hiểu và vận dụng tốt hơn trong các bài toán liên quan.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Một số kiến thức liên quan đến xác suất của biến cố trong chương trình
Đại số - giải tích 11 và học sinh lớp 11 của trường THPT Phạm Văn Đồng.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp suy luận, tổng hợp: Được đúc rút qua thời gian giảng
dạy, hệ thống lại kiến thức, mở ra các hướng đi mới.

Trang 1


Phương pháp trò chuyện: Trao đổi với nhiều học sinh để nắm tình hình
sử dụng kiến thức vào giải toán .
Phương pháp phân tích lý luận: Phân tích giúp học sinh nắm rõ bản

chất của vấn đề.

Trang 2


PHẦN II: PHẦN NỘI DUNG.

THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Khái niệm xác suất của biến cố là một khái niệm mới đối với học sinh.
Xác suất của một biến là một số được đưa ra để đánh giá khả năng xảy ra
của biến cố đó. Do đó, xác suất có biến cố gần 1 hay xảy ra hơn còn biến
cố có xác suất gần 0 thường hiếm xảy ra. Khi nói đến việc tìm một số yếu
tố liên quan đến xác suất của biến cố thì đại đa số học sinh đều làm được
nhưng khi bài toán yêu tìm xác suất của biến cố thì học sinh còn rất nhiều
lúng túng vì không biết phải áp dụng quy tắc cộng xác suất hay quy tắc
nhân xác suất hay dạng toán tổng hợp giữa quy tắc công và quy tắc nhân.
Vì vậy tôi đã chọn đề tài này để nghiên cứu.
Nội dung của đề tài chia thành các mục:
Chương I.

Một số kiến thức liên quan đến xác suất của biến cố.

Chương II. Một số bài toán liên quan đến xác suất của biến cố.

Trang 3


CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ
XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ.

1. Phép thử, không gian mẫu.
- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết
quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử
đó.
- Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là
không gian mẫu.
2. Biến cố.
Biến cố là một tập con của không gian mẫu.
3. Định nghĩa cổ điển của xác suất.
- Giả sử A là một biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu
hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số

n( A)
là xác suất của
n (Ω )

biến cố A, kí hiệu là P(A).
ta có P ( A) =

n( A)
.
n (Ω)

4. Tính chất của xác suất.
-

P( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1.

-

0 ≤ P ( A) ≤ 1 , với mọi biến cố A.

-

Nếu A và B xung khắc, thì P ( A  B ) = P ( A) + P ( B)

-

Với mọi biến cố A, ta có P ( A) = 1 − P ( A) .

5. Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất.
Trang 4


Nếu sự xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của
một biến cố khác thì ta nói hai biến cố đó độc lập. Tổng quát, đối với
hai biến cố bất kì ta có mối quan hệ sau:
A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P ( A.B) = P ( A).P ( B).

Trang 5


CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC
SUẤT CỦA BIẾN CỐ.
Dạng toán 1: Bài tập về xác suất dựa vào các liệt kê các phần tử, dựa
vào quy tắc cộng, quy tắc nhân và dựa vào công thức tính các hoán vị,
chỉnh hợp, tổ hợp .
Ví dụ 1: Gieo ba đồng tiền cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các
biến cố sau:

a. Mặt sấp xuất hiện đúng 1 lần.
b. Mặt sấp xuất hiện 2 lần.
Phân tích: Ta quy ước mặt có ghi chữ số là mặt ngửa – kí hiệu N, mặt còn
lại là mặt sấp – kí hiệu S.
Bài giải:
Gieo một lần ba đồng tiền cân đối và đồng chất. Không gian mẫu của phép
thử ở đây là:
Ω = { NNN, SNN, NSN, NNS, SSN, SNS, NSS, SSS} ⇒ n(Ω) = 8

a. Gọi A là biến cố “ mặt sấp xảy ra đúng một lần”
A = { SNN, NSN, NNS} ⇒ n( A) = 3
3
Nên P ( A) = .
8
b. Gọi B là biến cố “ mặt sấp xuất hiện 2 lần”
B = { SSN, NSS, SNS} ⇒ n(B ) = 3
3
Nên P ( B ) = .
8
Ví dụ 2: Một tổ học sinh có 12 người trong đó có 7 nam và 5 nữ. Chọn
ngẫu nhiên hai người trong tổ. Tìm xác suất để :
Trang 6


a. Hai người được chọn đều là nữ.
b. Hai nguời được chọn đều là nam.
c. Hai người được chọn có 1 nam và 1 nữ.
Bài giải:
Tổng số học sinh trong tổ là 12 người. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Vậy
2

không gian mẫu có C12 = 66 phần tử.

a. Gọi A là biến cố “ hai người được chọn là nữ”
2
Có C5 = 10 cách chọn 2 nữ trong 5 nữ.

Vậy P ( A) =

10 5
= .
66 33

b. Gọi B là biến cố “ hai nam trong 7 nam.
Vậy P ( B ) =

21 7
= .
66 22

c. Gọi C là biến cố “ hai người được chọn có 1 nam và 1 nữ”
1
Có C5 = 5 cách chọn 1 nữ trong 5 nữ.
1
Và có C7 = 7 cách chọn 1 nam trong 7 nam.

Vậy P (C ) =

5.7 35
= .
66 66

Ví dụ 3: Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các
biến cố sau :
A: “ Xuất hiện mặt chẵn”.
B : “ Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3”.
C: “ Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3”.

Trang 7


Bài giải
Không gian mẫu: Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(Ω) = 6
Ta có: * A = { 2, 4, 6} nên n( A) = 3.
Vậy P ( A) =

3 1
= .
6 2

* B = { 3, 6} nên n( B) = 2.
Vậy P ( B ) =

2 1
= .
6 3

* C = { 3, 4, 5, 6} nên n( C) = 4.
Vậy P (C ) =

4 2

= .
6 3

Ví dụ 4: Có chín miếng bìa như nhau được ghi từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên
hai miếng bìa và xếp theo thứ tự từ trái sang phải. Tính xác suất của các
biến cố sau :
a. A: “ Số tao thành là số chẵn”.
b. B : “ Số tạo thành là số chia hết cho 5”.
c. C: “ Số tạo thành có chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị”.
Phân tích: Với đề ra như trên học sinh đọc đề không kỹ sẽ dẫn đến tìm sai
số phần tử của không gian mẫu đó chính là học sinh không nhận ra được có
sự sắp xếp thứ tự. Đối với câu c học sinh có thể tính số phần tử theo hai
cách: đó là theo tổ hợp hoặc theo quy tắc đếm.
Bài giải
Mối kết quả của phép thử là một chỉnh hợp chập 2 của 9 phần tử. Vậy,
không gian mẫu gồm:
2
Ω = A9 = 72 ⇒ n(Ω) = 72 ( kết quả đồng khả năng)

Trang 8


a. Kí hiệu số tạo thành là: n = ab

Vì n ∈ A : nên b ∈ { 2, 4, 6, 8}
Vậy có : 4 cách chọn b và có 8 cách chọn a ( do a ≠ b)
Theo quy tắc nhân, ta có: n( A) = 4.8 = 32.
Vậy P ( A) =

32 4

= .
72 9

b. Vì n ∈ B : nên b = 5
Vậy có : 1 cách chọn b và có 8 cách chọn a
Theo quy tắc nhân, ta có: n( B) = 1.8 = 8.
Vậy P ( B ) =

8 1
= .
72 9

c. Cách 1:
Vì n ∈ C ⇔ a < b
Rõ ràng mỗi số ab như vậy là một tổ hợp chập 2 của 9 phần tử và ngược
2
lại. Do đó, ta có: n( C) = C9 = 36.

Vậy P (C ) =

36 1
= .
72 2

Cách 2:
Vì n ∈ C ⇔ a < b
Với a = 1, ta có 1 cách chọn a, 8 cách chọn b
Với a = 2, ta có 1 cách chọn a, 7 cách chọn b
Với a = 3, ta có 1 cách chọn a, 6 cách chọn b
Với a = 4, ta có 1 cách chọn a, 5 cách chọn b

Với a = 5, ta có 1 cách chọn a, 3 cách chọn b
Trang 9


Với a = 6, ta có 1 cách chọn a, 3 cách chọn b
Với a = 7, ta có 1 cách chọn a, 2 cách chọn b
Với a = 8, ta có 1 cách chọn a, 1 cách chọn b
Theo quy tắc cộng ta có:
n( C) = 1.8 + 1.7 + 1.6 +1.5 + 1.4 + 1.3 +1.2 + 1.1 = 36
Vậy P (C ) =

36 1
= .
72 2

Ví dụ 5: Một tổ có 9 học sinh, trong đó có 5 nam và 4 nữ được xếp thành
một hàng dọc. Tính xác suất sao cho không có hai bạn nam nào đứng kề
nhau.
Bài giải
Có 9 học sinh xếp thành một hàng dọc thf số cách xếp bằng số hoán vị của
9 phần tử, do đó không gian mẫu có 9! phần tử.
Tổ có 9 học sinh, trong đó 5 nam và 4 nữ, muốn xếp thành một hàng dọc
sao cho không có hai bạn nam nào đứng kề nhau thì phải xếp một học sinh
nam đứng trước, rồi đến một học sinh nũ, tiếp tục cứ xếp xen kẽ nhau, học
sinh xếp cuối cùng là nam.
Số khả năng xảy ra bằng số hoán vị của 5 học sinh nam nhân với số hoán vị
của 4 học sinh nữ, do đó có 5!.4!.
Vậy P ( A) =

5!.4! 1

=
.
9! 126

Trang 10


Bài tập áp dụng:

.

1. Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến
20. Tìm xác suất để thẻ được lấy ghi số.
a. Chắn.
b. Chia hết cho 3.
c. Lẻ và chia hết cho 3.
( Sách bài tập đại số - giải tích 11 – trang 70)
Đáp số:
Ta có Ω = { 1, 2, 3, ...., 20} ⇒ n(Ω) = 20
P ( A) =

1
;
2

P( B) =

3
;
10

P (C ) =

3
20

2. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất của
các biến cố:
a. A : “ Số chấm ở hai mặt bằng nhau”
b. B: “ Tổng số chấm không nhỏ hơn 10”
c. C: “ Mặt 5 chấm xuất hiện trong lần gieo đầu”
d. D: “ Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”
( Sách tuyển chọn 400 bài tập đại số - giải tích 11 – trang 85 )
Đáp số:
Ta có Ω = { ( a, b) / 1 ≤ a, b ≤ 6} ⇒ n(Ω) = 36
P ( A) =

1
;
6

P( B) =

1
;
6

1
P (C ) = ;
6

P( D) =

11
.
36

3. Một bộ sách có 4 tập mà nhìn bề ngoài giống hệt nhau. lấy ngẫu nhiên
các tập sách xếp trên giá sách. Tính xác suất để các tập sách được xếp trên

Trang 11


giá theo đúng thứ tự từ tập một đến tập bốn (kể từ trái qua phải hoặc từ
phải qua trái)
( Sách toán cơ bản – nâng cao đại số - giải tích 11 – trang 64)
Đáp số: P ( A) =

1
.
12

4. Một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và 2
viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để:
a. Cả hai bi lấy ra đều là bi đỏ.
b. Trong hai bi lấy ra có 1 bi xanh và 1 bi vàng.
( Sách rèn luyện giải toán đại số - giải tích 11 – trang 74)
Đáp số: a. P ( A) =
b. P ( B ) =

2
.
9
2
.
15

Trang 12


Dạng toán 2: Bài tập về xác suất của biến cố hợp - quy tắc cộng xác
suất.
Ví dụ 1: Một hộp đựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ có kích thước và
trọng lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên ra 5 viên bi. Tìm xác suất để lấy
được ít nhất ba viên bi màu đỏ.
Phân tích: Yêu cầu của bài toán là lấy được ít nhất ba viên bi màu đỏ, do đó
để tìm được xác suất của bài toán ta phải đưa về theo quy tắc hợp của hai
biến cố.
Bài giải:
Tổng số bi trong hộp là 10 viên, lấy ngẫu nhiên 5 viên bi nên không gian
5
mẫu là C10 = 252 phần tử.

Gọi A là biến cố lấy được ít nhất ba viên bi màu đỏ. A là hợp của hai biến
cố:
•

A 1 là biến cố “ 3 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh”.
3
Có C 4 = 4 cách lấy 3 viên bi đỏ.

2
và có C6 = 15 cách lấy hai viên bi xanh.

Nên P ( A1 ) =
•

4.15 60
=
.
252 252

A 2 là biến cố “ 4 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh”.
4
Có C 4 = 1 cách lấy 4 viên bi đỏ.
1
và có C6 = 6 cách lấy 1 viên bi xanh.

Nên P ( A2 ) =

1.6
6
=
.
252 252

Vì A = A 1  A 2 và A 1 , A 2 là hai biến cố xung khắc

Trang 13

Vậy P ( A) = P ( A1  A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 )
=

60
6
66 11
+
=
= .
252 252 252 42

Ví dụ 2: Một chiếc hộp kín đựng 12quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ có kích
thước và trọng lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên ra 6 quả. Tìm xác suất để
trong 6 quả lấy ra có ít nhất 5 quả cầu đỏ.
Bài giải:
Tổng số quả cầu trong hộp là 20 quả. Lấy ngẫu nhiên 6 quả. Vậy không
6
gian mẫu có C 20 = 38760 phần tử.

Gọi A là biến cố “ lấy được ít nhất 5 quả cầu màu đỏ trong 6 quả cầu đã
lấy” là biến cố hợp của hai biến cố:
•

A 1 là biến cố “ 5 quả cầu đỏ và 1 quả cầu trắng”

5
Có C8 = 56 cách lấy 5 quả cầu đỏ trong 8 quả cầu đỏ có trong hộp.
1
Và C12 = 12 cách lấy 1 quả cầu trắng trong 12 quả cầu trắng có trong hộp.

Vậy P ( A1 ) =
•

56.12
672
=
38760 38760

A 2 là biến cố “ 6 quả cầu cùng màu đỏ ”

6
Có C8 = 28 cách lấy 6 quả cầu đỏ trong 8 quả cầu đỏ có trong hộp.

Nên P ( A2 ) =

28
.
38760

Vì A = A 1  A 2 và A 1 , A 2 là hai biến cố xung khắc
Vậy P ( A) = P ( A1  A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 )
=

672
28
700
35
+
=
=

.
38760 38760 38760 1938

Trang 14


Ví dụ 3: Một bình đựng 5 viên bi xanh, 3 viên bi vàng và 4 viên bi trắng.
Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất sao cho:
a. Lấy được 3 viên bi màu xanh.
b. Lấy được ít nhất 1 bi vàng.
c. Lấy được 3 viên bi cùng màu.
Phân tích: Bài toán yêu cầu tìm xác suất của các biến cố, đối với yêu cầu
thứ nhất thì đơn không kỹ thì sẽ không đưa ra hết được các trường hợp
theo yêu cầu của bài toán.
Bài giải
Trong bình có tất cả 12 viên bi. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Vậy không gian
3
mẫu có C12 = 220 phần tử.

a. Gọi A là biến cố “ lấy được 3 viên bi xanh”
3
Ta có C5 = 10 cách chọn 3 viên bi xanh. Vậy P ( A) =

10
1
=
.
220 22

b. Cách 1:

Gọi B là biến cố “ lấy được ít nhất một viên bi vàng” nên B sẽ là hợp
của các biến cố sau:
C33
1
=
B 1 là biến cố “lấy được 3 viên bi vàng” ⇒ P( B1 ) =
.
220 220
B 2 là biến cố “lấy được 2 viên bi vàng, 1 viên bi xanh”
C32 .C51 15
⇒ P( B2 ) =
=
.
220
220
B 3 là biến cố “lấy được 2 viên bi vàng, 1 viên bi trắng”
⇒ P( B3 ) =

C32 .C 41 12
=
.
220
220
Trang 15


B 4 là biến cố “lấy được 1 viên bi vàng, 2 viên bi xanh”
⇒ P( B4 ) =

C31 .C52 30

=
.
220
220

B 5 là biến cố “lấy được 1 viên bi vàng, 2 viên bi trắng”
C31 .C 42 18
⇒ P( B5 ) =
=
.
220
220
B 6 là biến cố “lấy được 1 viên bi vàng, 1viên bi xanh và 1 viên bi trắng”
C31 .C 41 .C51 60
⇒ P( B6 ) =
=
.
220
220
Hiển nhiên B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , B 5 , B 6 là các biến cố xung khắc.
Vậy P ( B) = P ( B1  B2  B3  B4  B5  B6 )
= P( B1 ) + P ( B2 ) + P ( B3 ) + P ( B4 ) + P ( B5 ) + P ( B6 )
=

1 + 15 + 12 + 30 + 18 + 60 136 34
=
= .
220
220 55

Cách 2:
Gọi B là biến cố “ trong 3 viên bi lấy được không có viên bi vàng nào”
Vậy B là hợp của các biến cố sau:
A là biến cố “ lấy được 3 viên bi xanh” ⇒ P ( A) =

10
1
=
.
220 22

C 43
4
=
B’ 1 là biến cố “ lấy được 3 viên bi trắng” ⇒ P( B '1 ) =
.
220 220
B’ 2 là biến cố “ lấy được 2 viên bi xanh và 1 viên bi trắng”
⇒ P( B'2 ) =

C52 C 41 40
=
.
220 220
Trang 16


B’ 3 là biến cố “ lấy được 2 viên bi trắng và 1 viên bi xanh”
⇒ P ( B '3 ) =

C 42 .C51 30
=
.
220
220

Hiển nhiên A, B’ 1 , B’ 2 , B’ 3 là các biến cố xung khắc.
Vậy P ( B) = P ( A  B '1  B' 2  B '3 )
= P( A) + P( B '1 ) + P( B '2 ) + P( B '3 )
=

10 + 4 + 40 + 30 84
=
.
220
220

Do đó P ( B) = 1 − P ( B ) = 1 −

84 136 34
=
= .
220 220 55

c. Gọi C là biến cố “ lấy được 3 viên bi cùng màu” là hợp của các biến cố:
A là biến cố “ lấy được 3 viên bi xanh” ⇒ P ( A) =

10
1
=

.
220 22

B 1 là biến cố “lấy được 3 viên bi vàng” ⇒ P( B1 ) =

C33
1
=
.
220 220

C 43
4
=
B’ 1 là biến cố “ lấy được 3 viên bi trắng” ⇒ P( B '1 ) =
.
220 220
Hiển nhiên A, B 1 , B’ 1 là các biến cố xung khắc.
Vậy P (C ) = P ( A  B1  B '1 )
= P( A) + P ( B1 ) + P( B'1 )
=

10 + 4 + 1 15
3
=
= .
220
220 44

Ví dụ 4: Một chiếc hộp kín đựng 12 quả bóng bàn trong đó có 3 quả màu

vàng và 9 quả màu trắng có kích thước và trọng lượng như nhau. Lấy ngẫu
nhiên ra 3 quả. Tìm xác suất để :
Trang 17


a. Ba quả bóng lấy ra đều màu trắng.
b. Ba quả bóng lấy ra có không quả một quả màu vàng.
Bài giải:
Tổng số quả cầu trong hộp là 12 quả. Lấy ngẫu nhiên 3 quả. Vậy không
3
gian mẫu có C12 = 220 phần tử.

a. Gọi A là biến cố “ ba quả bóng lấy ra đều màu trắng”
3
Có C9 = 84 cách lấy .

Vậy P ( A) =

84 21
= .
220 55

b.Gọi B là biến cố: “ ba quả bóng lấy ra có đung 1 quả màu vàng” và C là
biến cố ba quả bóng lấy ra có không quá một quả màu vàng. Rõ ràng C xảy
ra khi ba quả bóng lấy ra không có quả màu vàng hoặc có đúng một quả
màu vàng, nghĩa là C = A  B . Dễ thấy A và B xung khắc, do đó:
Vậy P (C ) = P ( A  B ) = P( A) + P ( B)
=

C93 C31 .C92 192 48

+
=
=
.
C123
C123
220 55

Ví dụ 5: Một tổ công nhân có 7 nữ và 5 nam. Chọn ngẫu nhiên ra 3 người
để thực hiện một công việc. Tìm xác suất để ba người được chọn có ít nhất
một nam công nhân.
Bài giải:
Tổng số công nhân trong tổ là 12 người. Chọn ngẫu nhiên 3 người. Vậy
3
không gian mẫu có C12 = 220 phần tử.

Cách 1:

Trang 18


Gọi A 1 , A 2 , A 3 lần lượt là các biến cố trong ba người được chọn có đúng
một người là nam, có đúng hai người là nam và cả ba người đều là nam, A
là biến cố ba người được chọn có ít nhất một người nam thì:
A = A1  A2  A3
Rõ ràng A 1 , A 2 , A 3 là các biến cố từng đôi một xung khắc
Nên P ( A) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + P( A3 )
C51 .C72 C52 .C71 C53 185 37
=
+

+ 3 =
=
.
C123
C123
C12 220 44
Cách 2:
Gọi B là biến cố ba người được chọn đều là nữ thì B là biến cố đối của biến
cố A, do đó:
C73
35 37
P ( A) = 1 − P ( B ) = 1 − 3 = 1 −
=
.
C12
220 44

Trang 19


Bài tập áp dụng:

.

1. Một hộp chứa 12 viên bi, trong đó có 5 viên bi đỏ, 4 viên bi trắng và 3
viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tính xác suất để 3 viên bi lấy ra
cùng màu.
( Sách rèn luyện giải toán đại số - giải tích 11 – trang 79)
Đáp số:
C53 C 43 C33

3
P ( X ) = P ( Đ) + P(T ) + P (V ) = 3 + 3 + 3 = .
C12 C12 C12 44
2. Trong một hộp có 14 tấm thẻ, trong đó 5 thẻ ghi số 1, 4 thẻ ghi số 2, 3
thẻ ghi số 3 và 2 thẻ ghi số 4. Chọn ngẫu nhiên hai tấm thẻ từ 14 tấm thẻ
trong hộp. Tính xác suất để chọn được hai tấm thẻ có tổng các số ghi trên
hai tấm thẻ đó bằng 5.
( Sách rèn luyện giải toán đại số - giải tích 11 – trang 79)
Đáp số:
Gọi A là biến cố “ chọn được thẻ số 1 và số 4”, B là biến cố “ chọn được
thẻ số 2 và số 3”. Gọi X là biến cố “ chọn được hai tấm thẻ có tổng các số
ghi trên hai tấm thẻ đó bằng 5”.
X = A  B , A và B là các biến cố xung khắc nên ta có
C 41 .C31 C51 .C 21 22
P ( X ) + P ( A) + P ( B ) =
+
= .
C142
C142
91
3. Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3
bóng. Tính xác suất để lấy được:
a. Ba bóng tốt.
b. Ít nhất hai bóng tốt.
c. Ít nhất một bóng tốt.

Trang 20


( Sách 500 bài tập cơ bản – nâng cao đại số - giải tích 11 – trang 80)

Đáp số: a. P ( A) =

7
.
44

b. P ( B ) =

7
.
11

c. P (C ) =

21
.
22

Trang 21


Dạng toán 3: Bài tập về xác suất của biến cố đối.
Ví dụ 1: Một hộp đựng 20 viên bi trong đó có 12 viên bi đỏ và 8 viên bi
xanh có kích thước và trọng lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi.
Tìm xác suất để:
a. Cả 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ.
b. Cả 3 viên bi đều màu xanh.
c. Có ít nhất một viên bi đỏ.
Bài giải:
Tổng số bi trong hộp là 20 viên, lấy ngẫu nhiên 3 viên bi nên không gian

3
mẫu là C 20 = 1140 phần tử.

a. Gọi A là biến cố “ cả 3 viên bi lấy được đều màu đỏ”.
3
Có C12 = 220 cách lấy 3 viên bi đều màu đỏ.

Nên P ( A) =

220 11
=
.
1140 57

b. Gọi B là biến cố “ cả 3 viên bi lấy được đều màu xanh”.
3
Có C8 = 56 cách lấy 3 viên bi đều màu xanh.

Nên P ( B ) =

56
14
=
.
1140 285

c. Gọi C là biến cố “ có ít nhất 1 viên bi đỏ” thì C = B

Vậy P (C ) = 1 − P( B ) = 1 −

14 271
=
.
285 285

Ví dụ 2: Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lý và 2 quyển
sách Hóa . Lấy ngẫu nhiên ra 3 quyển sách. Tìm xác suất để 3 quyển sách
lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán.

Trang 22


Bài giải:
Không gian mẫu là số cách lấy ra 3 quyển sách từ bộ 9 quyển sách nên có
C93 cách.
Gọi A là biến cố “ trong 3 quyển sách lấy ra không có quyển sách Toán”.
Tức là trong ba quyển lấy ra được từ bộ 5 quyển ( 3 quyển sách Lý và 2
3
quyển sách Hóa) nên số phần tử của biến cố là C5 phần tử.

Vậy xác suất để 3 quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán là:
C53
10 37
P ( A) = 1 − P ( A) = 1 − 3 = 1 −
= .
C9
84 42
Ví dụ 3: Gieo đồng thời hai con súc sắc n lần liên tiếp. Tìm xác suất xuất
hiện ít nhất 1 lần 2 mặt 6 chấm.
Bài giải:

Gọi A là biến cố “ xuất hiện ít nhất một lần hai mặt 6”, vậy A là biến cố “
không xuất hiện hai mặt 6”. Khi đó P ( A) = 1 − P ( A) .
Số khả năng có thể xảy ra khi gieo hai con súc sắc là 6 2 = 36.
Số khả năng để không xuất hiện hai mặt 6 là 35.
Vậy xác suất để một lần gieo không xuất hiện mặt 6 là

35
.
36
n

 35 
Vậy xác suất để n lần gieo không xuất hiện mặt 6 là   .
 36 
n

 35 
Do đó: P ( A) = 1 − P( A) = 1 −   .
 36 

Trang 23


Bài tập áp dụng:

.

1. Có 7 người nam và 3 người nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tìm xác suất
sao cho:
a. Cả hai đều là nữ.

b. Ít nhất một nữ.
( Sách 500 bài tập cơ bản và nâng cao toán 11 – trang 69)
Đáp số:
C32 1
a. P ( A) = 2 = .
C10 15
b. P ( B) = 1 − P ( B ) = 1 −

C72 8
= .
C102 15

2. Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng, hai quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng
thời hai quả. Tính xác suất sao cho:
a. Hai quả lấy ra khác màu.
b. Hai quả lấy ra cùng màu.
( Sách đại số - giải tích 11 – trang 69)
Đáp số:
C31 .C 21 3
= .
a. P ( A) =
C52
5
2
b. P ( B ) = P ( A) = 1 − P( A) = .
5

Trang 24

Dạng toán 4: Bài tập về xác suất của biến cố giao - quy tắc nhân xác
suất.
Ví dụ 1: Gieo hai con súc sắc. Tìm xác suất để:
a. Cả hai con súc sắc đều xuất hiện mặt 6 chấm.
b. Có đúng một trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.
Bài giải:
a. Gọi hai con suác sắc là M và N, A là biến cố “ Súc sắc M xuất hiện mặt 6
chấm”, B là biến cố “ súc sắc N xuất hiện mặt 6 chấm”. Ta nói A và B là
các biến cố độc lập.
Nên P ( A) =

1
1
và P ( B) = .
6
6

Biến cố “ Cả hai con súc sắc đều xuất hiện mặt 6 chấm” là AB và cả hai
biến cố A và B đồng thời xảy ra. Vậy xác suất để hai con súc sắc đều xuất
hiện mặt 6 chấm là:
P(AB) = P(A).P(B) =

1
.
36

b.Gọi X là biến cố “ có đúng mmột trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 6
chấm”, ta có X là hợp của hai biến cố xung khắc AB và AB , tức là
X = AB  AB . Do đó P ( X ) = P ( A B ) + P( AB ) .
Vì P ( A) = 1 − P ( A) = 1 −

1 5
5
= và P ( B ) = 1 − P ( B) = nên
6 6
6

P ( X ) = P ( A B ) + P ( AB) =

1 5 5 1 5
. + . = .
6 6 6 6 18

Trang 25