skkn một vài HƯỚNG tạo RA bài TOÁN hệ PHƯƠNG TRÌNH mũ và LÔGARIT mới

MỘT VÀI HƯỚNG TẠO RA BÀI TOÁN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT MỚI
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hệ phương trình mũ và lôgarit là một nội dung được đưa vào giảng
dạy trong chương trình toán lớp 12 ở ban nâng cao. Và hệ phương trình mũ
và lôgarit lại thường có mặt trong các đề thi tuyển sinh đại học.
Trong quá trình giảng dạy phần hệ phương trình mũ và lôgarit, giáo
viên thường lấy bài toán có sẵn mà ít khi tự mình tạo ra các bài toán mới.
Do đó bài tập được đưa ra có thể không phong phú về thể loại. Đặc biệt
trong việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh nếu giáo viên chỉ dựa vào
các bài toán có sẵn thì việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh sẽ thiếu
tính khách quan và chính xác.
Ngoài ra tôi nhận thấy sách giáo khoa nói về vấn đề này còn ít, còn
nhiều hạn chế. Chưa thực sự giúp cho giáo viên và học sinh định hướng
được về vấn đề này trong quá trình dạy và học của mình.
Chính vì những lí do trên mà tôi viết đề tài này với mục đích giúp
học sinh lớp 12 nâng cao và học sinh luyện thi cao đẳng, đại học có nhiều
bài tập tham khảo về dạng toán này để ôn luyện tốt hơn. Qua đó học sinh
có định hướng tốt trong quá trình làm các bài toán về dạng này. Đồng thời
giúp giáo viên tự mình tạo được những đề toán phục vụ cho việc dạy học,
kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh của mình.
Đề tài này được tôi ấp ủ và hoàn thành trong hai năm. Tuy nhiên
trong quá trình viết đề tài có thể không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất
mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy, cô để đề tài này của tôi
được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

1


B. NỘI DUNG

I. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
I.1 Luỹ thừa
1. Định nghĩa
+ Luỹ thừa với số mũ nguyên dương :
*
1
a n = a14
.a2
.a...
43a (a ∈ ¡ , n ∈ ¥ , n > 1), a = a.
n

a gọi là cơ số, n là số mũ của lũy thừa a n .
+ Luỹ thừa với số mũ nguyên âm n và 0 : a 0 =1, ∀a ≠ 0 vµ a n =
+ Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ :

1
, ∀a ≠ 0 .
a−n

m
n

a = n a m ( a > 0, m ∈ ¢ , n ∈ ¥ * , n ≥ 2) .
aα > 0, ∀α .
+ 00 vµ 0n ( n nguyªn ©m) không có nghĩa.
2. Tính chất Cho hai số a, b khác 0; m, n ∈ ¡ .
+ Các tính chất biểu thị bằng đẳng thức
a0 = 1

a1 = a

( a m ) n = a m .n

am. an = am + n

(a .b) n = a n .b n

an
a
 ÷ = n
b
b

1
a n = −n (n < 0)
a
m
a
= a m−n
n
a

n

+ Các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức
-

-

a > 1
⇔ m > n.
 m
n
a > a
⇒ am = an ⇔ m = n
a > b > 0
⇔ m > 0.
 m
m
a > b

0 < a < 1
⇔ m < n.
 m
n
a > a
a > b > 0
⇔ m < 0.
 m
m
a < b

a m = bm
⇒
⇔a=b
*
m ∈ ¢
I.2 Căn bậc n
1. Định nghĩa b = n a (a ∈ ¡ , n ∈ ¥ , n ≥ 1) ⇔ b n = a.

+ Khi n lẻ, a ∈ ¡ : Tồn tại duy nhất một căn n a .
 a < 0 : Kh«ng tån t¹i c¨n n a

+ Khi n chẵn  a = 0 : Cã mét c¨n n 0 = 0

n
n
 a > 0 : Cã hai c¨n a vµ − a

2


2. Tính chất
a khi n lÎ
an = 
 a khi n ch½n

n

m n

a=

m.n

a2 = a

( a)
n

a

n
n

a. n b= n a.b

n

m

n

m

= a =a

m
n

a na
=
b
b

I.3 Lôgarit
1. Khái niệm lôgarít α = loga b ⇔ a α = b. (a,b > 0 ; a ≠ 1)
Lôgarit thập phân: log10 b = l o g b = lg b .
x

 1
Lôgarit tự nhiên: log e b= ln b(b > 0) với e = xlim
1 + ÷ ≈ 2, 7183 .
→+∞
 x

2. Các phép toán và tính chất lôgarit Cho a,b,b1,b 2 ,c > 0 ; a,c ≠ 1)
+ Các tính chất biểu thị bằng đẳng thức
loga1 = 0
a

log a b

logaa = 1

=b

a logb c =c logb a
1
log aα b = log a b(α ≠ 0)
α

logabα = α logab
log aα b β =

log a

log a (bc ) = log a b + log a c

b

= log a b − log a c
c

logb c =
loga b =

β
log a b
α

⇒ log a

1
= − log a b
b

loga c
⇒ loga b. logb c = loga c (b ≠ 1)
loga b

1
(b ≠ 1) ⇒ loga b. logb a = 1
logb a

+ Các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức
a > 1
⇔b>c

log a b > log a c
⇒ log a b = log a c ⇔ b = c

0 < a < 1
⇔b
log a b > log a c

⇒ Tổng quát: loga b > loga c ⇔ (a − 1)(b − c) > 0

I.4 Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
(a x ) / = a x ln a
(a u ) / = a u ln a.u /

⇒ (ex )/ = ex
⇒ (e u ) / = e u .u /

1
x ln a
u'
( log a u ) / =
u ln a

1
1
⇒ ( ln x ) / = ; ( ln x ) / = ( x ≠ 0)
x
x
/
u
u/
⇒ ( ln u ) / = ; ( ln u ) / = ( u ≠ 0)

u
u

( log a x ) / =

3


II. MỘT VÀI HƯỚNG TẠO RA BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LÔGARIT MỚI
II.1 Cách giải quyết vấn đề
1. Cách 1
- Bước 1: Thiết lập bài toán hệ phương trình đại số quen thuộc hoặc lấy
một bài hệ phương trình đại số có sẵn. Ở phạm vi đề tài này ta thường chỉ
xét hệ phương trình đại số chỉ có hai biến.
- Bước 2: Thay hai biến bằng các hàm số mũ, lôgarit thích hợp để có được
bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới.
2. Cách 2
- Bước 1: Thiết lập một bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit ở cách 1.
- Bước 2: Sau đó sử dụng các phép toán và tính chất của lũy thừa, căn thức
và lôgarit để biến đổi các phương trình của hệ phương trình mũ và lôgarit ở
bước 1. Để có được hệ phương trình mũ và lôgarit mới với mức độ khó hơn
hệ phương trình mũ và lôgarit ở bước 1.
3. Cách 3
- Bước 1: Dựa vào sự biến thiên của hàm số mũ, lôgarit ta thiết lập một
phương trình mũ, lôgarit. Sao cho từ phương trình đó ta được hai biến bằng
nhau :
- Bước 2: Thiết lập một phương trình mũ, lôgarit một biến thông thường
hoặc lấy một bài phương trình mũ, lôgarit một biến đã có sẵn. Rồi bằng
cách thay biến để đưa phương trình mũ, lôgarit một biến thành phương

trình mũ, lôgarit hai biến. Và cũng có thể lấy một bài phương trình đại số
hai biến. Kết hợp hai phương trình ở hai bước ta có hệ phương trình mũ và
lôgarit mới.

4


4. Cách 4
- Bước 1: Dựa vào sự biến thiên của hàm số ta thiết lập một phương trình
đại số. Sao cho từ phương trình đó ta được hai biến bằng nhau :
- Bước 2: Thiết lập một phương trình mũ, lôgarit một biến thông thường
hoặc lấy một bài phương trình mũ, lôgarit một biến đã có sẵn. Rồi bằng
cách thay biến để đưa phương trình mũ, lôgarit một biến thành phương
trình mũ, lôgarit hai biến. Và cũng có thể lấy một bài phương trình đại số
hai biến. Kết hợp hai phương trình ở hai bước ta có hệ phương trình mũ và
lôgarit mới.
Nhận xét: Bốn cách tạo ra bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới trên
được đưa ra với mức độ thực hiện từ dễ đến khó. Nên các bài toán tạo ra
cũng với mức độ từ dễ đến khó. Sau đây ta sẽ lần lượt tạo ra các bài toán hệ
phương trình mũ và lôgarit mới bằng bốn cách trên.
II.2 Các ví dụ
1. Cách 1
Ở bước 1 ta xét bài toán hệ phương trình đại số thường gặp như:
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ gồm một phương trình bậc nhất và một
phương trình bậc hai hai ẩn, hệ phương trình đối xứng hai ẩn, hệ phương
trình đẳng cấp hai ẩn, hệ phương trình hai ẩn giải bằng cách đặt ẩn phụ…
Từ đó ta có nhiều bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới. Sau đây là
một số bài toán như vậy.
*Ví dụ 1
 x − 2 y = −52

- Bước 1: Ta có bài hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau: 
.
3x + 3 y = 87
- Bước 2: Thay hai biến x, y bằng hai hàm số mũ 2 x ,3x + y để có được bài
toán hệ phương trình mũ mới sau:

5


2 x − 2.3x + y = −52
Bài toán 1: Giải hệ phương trình  x
.
x + y +1
= 87
32 + 3
Hướng giải
u − 2v = −52
Đặt ẩn phụ u = 2 x , v = 3x + y ta có hệ phương trình 
có nghiệm
3u + 3v = 87
u = 2
x = 1
⇒
.

v = 27  y = 2
*Ví dụ 2
u + v = 0
- Bước 1: Ta có bài hệ phương trình đối xứng sau:  2
.

2
u + v = 2
- Bước 2: Thay hai biến u, v bằng hai hàm số lôgarit lg x,lg y để có được
bài toán hệ phương trình lôgarit mới sau:
lg x + lg y = 0
Bài toán 2: Giải hệ phương trình  2
.
2
lg x + lg y = 2
Hướng giải
u + v = 0
Đặt ẩn phụ u = lg x, v = lg y ta có hệ phương trình  2
có nghiệm
2
u + v = 2
1  x = 10

 u = −1  u = 1
x =

∨
⇒
10 ∨ 
1 .

v = 1
v = −1  y = 10  y =


10

*Ví dụ 3
2u 2 − 3u = v 2 − 2
- Bước 1: Ta có bài hệ phương trình đối xứng sau:  2
.
2
2v − 3v = u − 2
x

- Bước 2: Thay hai biến u, v bằng hai hàm số 2 ,log 2 y để có được bài
toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới sau:

6


22 x +1 − 3.2 x = log 22 y − 2
Bài toán 3: Giải hệ phương trình 
.
2x
2
2 log 2 y − 3.log 2 y = 2 − 2
Hướng giải
2u 2 − 3u = v 2 − 2
Đặt ẩn phụ u = 2 , v = log 2 y ta có hệ phương trình  2
có
2
2v − 3v = u − 2
x

 u = 1  u = 2  x = 0  x = 1  x = −1
∨

⇒
∨
∨
nghiệm 
.
v
=
1
v
=
2
y
=
2
y
=
4




y = 4
2. Cách 2
*Ví dụ 4
2
2
u − 4uv + v = 1
- Bước 1: Ta có bài hệ phương trình đại số sau:  2
.
v − 3uv = 4

2

- Bước 2: Thay hai biến u, v bằng hai hàm số mũ 4 x −1 ,2 y +1 và biến đổi để
có được bài toán hệ phương trình mũ mới sau:
42 x −2 − 2 2 x + y +1 + 4 y +1 = 1
Bài toán 4: Giải hệ phương trình  2 y +3
.
2 x2 + y
− 3.2
=8
2
2

2

Hướng giải
Đặt ẩn phụ u = 4

x 2 −1

,v = 2

y +1

u 2 − 4uv + v 2 = 1
ta có hệ phương trình  2
có
v − 3uv = 4

 u = 1  x = 1  x = −1

⇒
∨
nghiệm 
.
v
=
4
y
=
1


y =1
*Ví dụ 5
 u − 2v = 0

- Bước 1: Ta có bài hệ phương trình đại số sau: 
u .
u − v = v

7


- Bước 2: Thay hai biến u, v bằng hai hàm số lôgarit log 2 x,log 2 y và biến
đổi để có được bài toán hệ phương trình lôgarit mới sau:
 x2 = y4

Bài toán 5: Giải hệ phương trình 
.
x

log 2 y = log y x

Hướng giải
 u − 2v = 0

Đặt ẩn phụ u = log 2 x, v = log 2 y ta có hệ phương trình 
u có
u
−
v
=

v
u = 4  x = 16
⇒
nghiệm 
.
v = 2  y = 4
*Ví dụ 6
 u
v
7
+
=
+1

u
u. v
- Bước 1: Ta có bài hệ phương trình đại số sau:  v
.

u uv + v uv = 78

- Bước 2: Thay hai biến u, v bằng hai hàm số mũ 5x ,5 y và biến đổi để có
được bài toán hệ phương trình mũ mới sau:
 5x
5y
7
+
=
+1
 y
x
x+ y
5
5
Bài toán 6: Giải hệ phương trình 
.
5
 x x+ y
y
x+ y
5 5 + 5 5 = 78
Hướng giải
 u
v
7
+
=
+1


u
u. v
Đặt ẩn phụ u = 5x , v = 5 y ta có hệ phương trình  v
có
u uv + v uv = 78

u = 4 u = 9  x = log5 4  x = log5 9
∨
⇒
∨
nghiệm 
.
v
=
9
v
=
4
y
=
log
9



5
 y = log5 4

8

3. Cách 3
*Ví dụ 7
- Bước 1: Ta có hàm số f (t ) = 2t + t đồng biến trên R. Do đó ta thiết lập
một phương trình mũ 2 x + x = 2 y + y ⇔ x = y .
- Bước 2: Thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách đưa
về phương trình cơ bản(chuyển về cùng cơ số) lg x + lg x 2 = lg 9 x . Rồi
bằng cách thay biến để đưa phương trình lôgarit một biến thành phương
trình lôgarit hai biến lg x + lg x 2 = lg 9 y , ta được bài toán sau:
2 x − 2 y = y − x
Bài toán 7: Giải hệ phương trình 
.
2
lg x + lg x = lg 9 y
Hướng giải
Ta có hàm số f (t ) = 2t + t đồng biến trên R.
Do đó phương trình 2 x − 2 y = y − x ⇔ 2 x + x = 2 y + y ⇔ x = y .
Thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình lôgarit một biến
lg x + lg x 2 = lg 9 x ⇔ ... ⇔ x=3.
Vậy x=y=3.
Nhận xét:
Qua lời giải bài toán trên ta thấy phương trình lg x + lg x 2 = lg 9 x dễ
với học sinh. Do đó bài toán dành cho học sinh trung bình khá.
Ở bước 1 ta có thể thay phương trình 2 x − 2 y = y − x bằng phương
trình khác tương tự chẳng hạn 3x − 3 y = 3 y − 3 x .
Ở bước 2 ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến lần lượt
theo các phương pháp giải phương trình lôgarit ta sẽ có nhiều bài tập

9

mới. Và cũng có thể thiết lập một phương trình mũ hay một phương trình
đại số. Sau đây là các bài tập như thế.
t

1
Ngoài ra ở bước 1 nếu ta xét hàm số f (t ) =  ÷ − t nghịch biến
2
trên

R.

Khi

x

đó

ta

thiết

lập

một

phương

trình

mũ

y

1
1
−
x
=
 ÷
 ÷ − y ⇔ x = y . Và như vậy cùng với bước 2 ta lại có một số
2
2
bài toán mới mà sẽ được đưa vào phần bài tập đề nghị.
Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách
đưa

về

phương

trình

cơ

bản(chuyển

về

cùng

cơ

số)

log 2 x + log 3 x + log 4 x + log 5 x = 0 . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương
trình

lôgarit

một

biến

thành

phương

trình

lôgarit

hai

biến

log 2 x + log 3 y + log 4 x + log 5 y = 0 , ta được bài toán khó hơn sau:
2 x − 2 y = 5 y − 5 x
Bài toán 8: Giải hệ phương trình 
.

log
x
+
log
y
+
log
x
+
log
y
=
0
 2
3
4
5
Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách
đưa về phương trình tích log5 x +log 7 x = 1 + log5 x .log7 x . Rồi bằng cách
thay biến để đưa phương trình lôgarit một biến thành phương trình lôgarit
hai biến log5 x +log7 y = 1 + log5 x .log7 y , ta được bài toán khó hơn sau:
 3x − 3 y = 3 y − 3 x
Bài toán 9: Giải hệ phương trình 
.
log
x
+
log
y
=

1
+
log
x
.
log
y
 5
7
5
7
Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách đặt ẩn
phụ log5 x

5
+ log52 x = 1 . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình
x
10


lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến log5 x

5
+ log52 y = 1 , ta
x

được bài toán khó hơn sau:
2 x − 2 y = 2 y − 2 x

Bài toán 10: Giải hệ phương trình 

.
5
2
log5 x x + log5 y = 1
Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách đặt
ẩn phụ log 2 3 x + 3 log 2 x =

4
. Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình
3

lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến log 2 3 x + 3 log 2 y =

4
,
3

ta được bài toán khó hơn sau:
2 x − 2 y = 3 y − 3x

Bài toán 11: Giải hệ phương trình 
4.
3
3
log 2 x + log 2 y = 3
Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách sử
dụng các phép toán lôgarit 5lgx + x lg 5 = 50 . Rồi bằng cách thay biến để đưa
phương trình lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến
5lgx + y lg 5 = 50 , ta được bài toán khó hơn sau:
5x − 5 y = y − x

Bài toán 12: Giải hệ phương trình  lgx lg 5
.
5 + y = 50
Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách sử
dụng hàm số lg( x 2 + x − 6) + x = lg( x + 2) + 4 . Rồi bằng cách thay biến để
đưa phương trình lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến
lg( x 2 + x − 6) + y = lg( x + 2) + 4 , ta được bài toán khó hơn sau:
11


5x − 5 y = 2 y − 2 x
Bài toán 13: Giải hệ phương trình 
.
2
lg( x + x − 6) + y = lg( x + 2) + 4
Nếu ta thiết lập một phương trình đại số hai biến x 2 + xy + y 2 = 12 ,
ta được bài toán sau:
2 x − 2 y = y − x
Bài toán 14: Giải hệ phương trình  2
.
2
 x + xy + y = 12
*Ví dụ 8
- Bước 1: Ta có hàm số f (t ) = ln t + t đồng biến trên ( 0; +∞ ) . Do đó ta
thiết lập một phương trình lôgarit ln x + x = ln y + y ⇔ x = y .
- Bước 2: Thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách đưa về
phương trình cơ bản(chuyển về cùng cơ số) 2 x +2 x +1 +2 x +2 =3x +3x −1 +3x −2 .
Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình mũ một biến thành phương
trình mũ hai biến 2 x +2 x +1 +2 x +2 =3 y +3 y −1 +3 y −2 , ta được bài toán sau:
ln x − ln y = y − x

Bài toán 15: Giải hệ phương trình  x x +1 x +2 y y −1 y −2 .
2 +2 +2 =3 +3 +3
Hướng giải
Ta có hàm số f (t ) = ln t + t đồng biến trên ( 0; +∞ ) .
Do đó phương trình ln x − ln y = y − x ⇔ ln x + x = ln y + y ⇔ x = y .
Thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình mũ một biến
2 x +2 x +1 +2 x +2 =3x +3x −1 +3x −2 ⇔ ... ⇔ x =log 2/3
Vậy x =y = log 2/3

13
.
63

13
.
63

Nhận xét:

12


Qua

lời

giải

bài

toán

trên

ta

thấy

phương

trình

2 x +2 x +1 +2 x +2 =3x +3x −1 +3x −2 dễ với học sinh. Do đó bài toán dành cho học
sinh trung bình khá.
Tương tự *Ví dụ 5 ở bước 1 ta có thể thay phương trình
ln x − ln y = y − x bằng phương trình khác tương tự chẳng hạn
log 2 x − log 2 y = 2 y − 2 x .
Ở bước 2 ta thiết lập một phương trình mũ một biến lần lượt theo
các phương pháp giải phương trình mũ ta sẽ có nhiều bài tập mới. Và
cũng có thể thiết lập một phương trình lôgarit hay một phương trình đại số.
Sau đây là các bài tập như thế.
Ngoài ra ở bước 1 nếu ta xét hàm số nghịch biến

f (t ) = log 1 t − t
2

nghịch biến trên ( 0; +∞ ) . Khi đó ta thiết lập một phương trình lôgarit
log 1 x − x = log 1 y − y ⇔ x = y
2

2

. Và như vậy cùng với bước 2 ta lại có một

số bài toán mới mà sẽ được đưa vào phần bài tập đề nghị.
Nếu ta thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách đưa về
phương trình tích 4.3x + 3.2 x = 12 + 6 x . Rồi bằng cách thay biến để đưa
phương trình mũ một biến thành phương trình mũ hai biến
4.3x + 3.2 x = 12 + 6 y , ta được bài toán sau:
ln x − ln y = ey − ex
Bài toán 16: Giải hệ phương trình  x
x
y .
4.3 + 3.2 = 12 + 6
Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách sử

(

dụng các phép toán mũ 7 + 3 5

)

x

(

+ 5. 7 − 3 5

)

x

= 14.2 x . Rồi bằng cách

13


thay biến để đưa phương trình mũ một biến thành phương trình mũ hai biến

(

7+3 5

)

x

(

+ 5. 7 − 3 5

)

x

= 14.2 y , ta được bài toán sau:

ln x − ln y = 2 y − 2 x
x
Bài toán 17: Giải hệ phương trình 

 7 + 3 5 + 5. 7 − 3 5

(

)

(

)

x

= 14.2 y

.

Nếu ta thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách đặt ẩn
phụ 22 x − 2 x + 6 = 6 . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình mũ
một biến thành phương trình mũ hai biến 22 x − 2 y + 6 = 6 , ta được bài
toán sau:
log 2 x − log 2 y = y − x
Bài toán 18: Giải hệ phương trình  2 x
.
y
2 − 2 + 6 = 6
Nếu ta thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách đặt ẩn
phụ 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0 . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình
mũ một biến thành phương trình mũ hai biến 6.9 x − 13.6 y + 6.4 x = 0 , ta
được bài toán sau:
log5 x − log5 y = 2 y − 2 x

Bài toán 19: Giải hệ phương trình  x
.
y
x
6.9 − 13.6 + 6.4 = 0
Nếu ta thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách sử
dụng hàm số 3x + 4 x = 5x . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình mũ
một biến thành phương trình mũ hai biến 3x + 4 x = 5 y , ta được bài toán sau:
log 2 x − log 2 y = 2 y − 2 x
Bài toán 20: Giải hệ phương trình  x
.
x
y
3 + 4 = 5

14


Nếu

ta

thiết

lập

một

phương

trình

đại

số

hai

biến

x 2 + y 2 − 6 x − 2 y − 6 = 0 , ta được bài toán sau:
log 3 x − log 3 y = 3 y − 3x
Bài toán 21: Giải hệ phương trình  2
.
2
 x + y − 6x − 2 y − 6 = 0

4. Cách 4
Qua các bước thiết lập hệ phương trình mũ và lôgarit mới ở cách 4 ta
thấy tương tự như cách 3. Chỉ khác phương trình tạo ra bước 1 là một
phương trình đại số. Do vậy tôi chỉ giới thiệu một vài bài, còn lại sẽ đưa
vào phần bài tập đề nghị.
*Ví dụ 9
- Bước 1: Ta có hàm số f (t ) = t −

một phương trình đại số x −

1
đồng biến trên R*. Do đó ta thiết lập
t

1
1
= y− ⇔ x= y.
x
y

- Bước 2: Thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách đưa
về phương trình cơ bản(chuyển về cùng cơ số) log x 2.log 2 ( x + 6) = 1 . Rồi
bằng cách thay biến để đưa phương trình lôgarit một biến thành phương
trình lôgarit hai biến log x 2.log 2 ( y + 6) = 1 , ta được bài toán sau:
1
1

x + y = y + x
Bài toán 22: Giải hệ phương trình 
.
log 2.log ( y + 6) = 1
 x
2
Hướng giải
Ta có hàm số f (t ) = t −

1
đồng biến trên R*.
t

15

Do đó phương trình x +

1
1
1
1
= y+ ⇔ x− = y− ⇔ x= y.
y
x
x
y

Thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình lôgarit một biến
log x 2.log 2 ( x + 6) = 1 ⇔ ... ⇔ x=3.
Vậy x=y=3.

Nhận xét:
Ở bước 1 ta có thể thay phương trình x +

trình khác tương tự chẳng hạn 2 x +

1
1
= y + bằng phương
y
x

3
3
= 2y + .

y
x

Ở bước 2 ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến lần lượt
theo các phương pháp giải phương trình lôgarit ta sẽ có nhiều bài tập
mới. Và cũng có thể thiết lập một phương trình mũ hay một phương trình
đại số. Sau đây là các bài tập như thế.
Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách đặt
ẩn phụ log x 2. log 2 x 2 = log16 x 2 . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương
trình lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến
log x 2. log 2 x 2 = log16 y 2 , ta được bài toán khó hơn sau:
3
3

2 x + y = 2 y + x
Bài toán 23: Giải hệ phương trình 
.
log x 2. log 2 x 2 = log16 y 2

*Ví dụ 10

16


- Bước 1: Ta có hàm số f (t ) = t + 1 − 3 − t đồng biến trên [ −1;3] . Do
đó ta thiết lập một phương trình đại số
x +1 − 3 − x =

y +1 − 3− y ⇔ x = y .

- Bước 2: Thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách đưa về
phương trình cơ bản(chuyển về cùng cơ số) 2x

2

−1

+ 2x

2

+2

2

2

=3x + 3x −1 . Rồi

bằng cách thay biến để đưa phương trình mũ một biến thành phương trình
mũ hai biến 2x

2

−1

+ 2x

2

+2

2

2

=3y + 3y −1 , ta được bài toán sau:

 x + 1 + 3 − y = y + 1 + 3 − x
Bài toán 24: Giải hệ phương trình  x 2 −1
.
x 2 +2
y2
y2 −1
2
+
2
=3
+
3

Hướng giải
Ta có hàm số f (t ) = t + 1 − 3 − t đồng biến trên [ −1;3] .
x +1 + 3− y =

Do đó phương trình

y +1 + 3− x

⇔ x +1 − 3− x =

y +1 − 3− y ⇔ x = y .

Thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình mũ một biến
2x

2

−1

+ 2x

2

+2

=3y + 3y −1 ⇔ ... ⇔ x = ± 3 (loại nghiệm x = − 3 ∉ [ −1;3] ).
2

2

Vậy x =y = 3 .
Nhận xét:
Tương tự *Ví dụ 9 ở bước 1 ta có thể thay phương trình
x +1 + 3− y =
chẳng

y + 1 + 3 − x bằng phương trình khác tương tự

hạn

x +1 + 1− y =

y +1 + 1− x

hoặc

x + 1− y = y + 1− x .
Ở bước 2 ta thiết lập một phương trình mũ một biến lần lượt theo
các phương pháp giải phương trình mũ ta sẽ có nhiều bài tập mới. Và
cũng có thể thiết lập một phương trình lôgarit hay một phương trình đại số.
Sau đây là các bài tập như thế.
17


Nếu ta thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách đặt ẩn
phụ 5x +51− x =6 . Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình mũ một biến
thành phương trình mũ hai biến 5x +51− y =6 , ta được bài toán sau:
 x + 1 + 1 − y =
Bài toán 25: Giải hệ phương trình  x 1− y
5 +5 =6

y +1 + 1− x

.

III. CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Cách 1 và cách 2
*Bài 1. CĐ Xây dựng II - 2006
2 x + log 2 y + 2 x log 2 y = 5

Giải hệ phương trình  x
.
2
4 + log 2 y = 5
*Bài 2. CĐ Sư phạm TPHCM khối A - 2006
log 2 x + 3 5 − log 3 y = 5
Giải hệ phương trình 
.
3
log
x
−
1
−
log
y
=
−
1

2
3
*Bài 3. ĐH Khối A - 2009
log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )
Giải hệ phương trình  2
2
3x − xy + y = 81
2. Cách 3 và cách 4
*Bài 4. ĐH Khối B - 2005


x −1 + 2 − y = 1
Giải hệ phương trình 
.
2
3
3log
9
x
−
log
y
=
3
) 3
9(

*Bài 5. CĐ Kỹ thuật - Y tế I - 2005
2 x − 3.2 y + 2 = 0
Giải hệ phương trình 
.
 y − 1 = x − y − 1
*Bài 6. ĐH Khối D Tham khảo - 2006
ln(1 + x ) − ln(1 + y ) = x − y
Giải hệ phương trình  2
.
2
 x − 12 xy + 20 y = 0.

( x, y ∈ R ) .

18


y
 1  x
1
 ÷ + y =  ÷ + x
*Bài 7. Giải hệ phương trình  2 
.
2
log 2 ( x +2) + log
y=2
x +2
 x

log 1 x + 2 y = log 1 y + 2 x

2
*Bài 8. Giải hệ phương trình  2
.
x
y
x
12 .3 + 3.15 − 5.5 = 20
 x + 2 − y = y + 2 − x
*Bài 9. Giải hệ phương trình 
.
x
y
(2

+
3)
+
(2
−
3)
=
1
4

e − x + ey = e − y + ex
*Bài 10. Giải hệ phương trình 
.
log 4 (log 2 x ) + log 2 (log 4 y ) = 2

C. KẾT LUẬN
Như vậy với cách giải quyết đã nêu trên, chúng ta đã tạo ra được
nhiều bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới. Bằng cách làm tương tự
giáo viên có thể tạo ra nhiều bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới để
cung cấp bài tập cho học sinh luyện tập. Đồng thời có thể dùng vào việc
kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh.
Trong quá trình dạy học, tôi đã đưa những bài tập đã tạo ra ở trên
vào dạy ở Chương II giải tích 12 nâng cao và định hướng cho các em làm
các bài tập này. Đồng thời khi kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh lớp 12
nâng cao về Chương II giải tích 12 nâng cao, tôi cũng dùng các bài tập tự
mình tạo ra ở trên. Tôi nhận thấy việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh
của mình khách quan và chính xác hơn. Còn với các em học sinh thì nắm
vững kiến thức hơn và biết cách vận dụng kiến thức đã học để giải các bài
tập dạng này. Qua đó các em cũng được ôn luyện một phần kiến thức cho
kì thi tốt nghiệp và cao đẳng, đại học.

Từ khi có ý tưởng tôi đã cố gắng tự mình làm và hoàn thiện với
mong muốn có được một đề tài đảm bảo về mặt khoa học, mang tính sáng
tạo và có ứng dụng trong thực tế dạy và học. Vì vậy tôi rất mong nhận

19


được những ý kiến đóng góp từ quý thầy, cô và bạn đọc để đề tài này được
hoàn thiện hơn nhằm mục đích phục vụ tốt hơn cho việc dạy và học. Mọi ý
kiến đóng góp của quý thầy, cô và bạn đọc xin gửi về địa chỉ

Tôi xin chân thành cảm ơn!
Chư Sê, ngày 20 tháng 02 năm 2015

Người viết: Võ Ngọc Minh.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1)

Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Trần
Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12
nâng cao, NXB Giáo dục, 2008.

2)

Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân
Liêm, Phạm Thị Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng, Bài tập
giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục, 2008

3)

ThS. Lê Hồng Đức (Chủ biên), NGƯT. Đào Thiện Khải, Lê Bích
Ngọc, Lê Hữu Trí, Phương pháp giải toán phương trình, Bất Phương
trình, hệ mũ – lôgarit, NXB Đại học sư phạm, 2006.

4)

Đề thi tuyển sinh Đại học từ năm 2002 đến năm 2014 của Bộ giáo dục
và đào tạo.

20


MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………………………………..1
B. NỘI DUNG...............................................................................................2
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ………………………………………………2
I.1 Lũy Thừa…………….. …..……………………………………...2
I.2 Căn bậc n………………………………………………………...2
I.3 Lôgarit…..…………………….…………………..……………..3
I.4 Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit …………………….3
II. MỘT VÀI HƯỚNG TẠO RA BÀI TOÁN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT MỚI …………..…………….4
II.1 Cách giải quyết vấn đề……………………………..………………......4
1. Cách 1……………………………..……………….......................4
2. Cách 2……………………………..……………….......................4
3. Cách 3……………………………..……………….......................4
4. Cách 4……………………………..……………….......................5
II.2 Các ví dụ…………………….……………………..………………......5
1. Cách 1……………………………..……………….......................5

2. Cách 2……………………………..……………….......................7
3. Cách 3……………………………..……………….......................9
4. Cách 4……………………………..……………….....................15

21


III. CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ…………………………………………18
C. KẾT LUẬN……………………………………………………………19
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………..20

22