Sáng kiến kinh nghiệm, bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều ôn thi THPT quốc gia

1

A. ĐẶT VẤN ĐỀ

I. Thực trạng của vấn đề
Trong hình thức thi Đại học-Cao đẳng như hiện nay,các bài toán về
dòng điện xoay chiều được nhận định là khó và chiếm nhiều điểm. Một phần
của những vấn đề khó đó chính là biến đổi các bài toán cực trị, vừa dài vừa có
công thức cồng kềnh,khó nhớ với nhiều hình thưc khác nhau.
Việc thay đổi hình thức thi môn vật lý của Bộ GD&ĐT từ tự luận sang
trắc nghiệm khách quan đã bộc lộ những ưu điểm mà tôi thấy rât thiết thực là:
Nội dung thi bao quát cả chương trình, tránh được tình trạng học tủ như trước
đây và từ đó có thể đánh giá trình độ học sinh một cách toàn diện. Ngoài ra
việc chấm bài thi trắc nghiệm được thực hiện nhanh chóng, khách quan nhờ sự
hỗ trợ của máy móc.
Tuy nhiên để làm tốt bài thi trắc nghiệm đòi hỏi người học phải ghi nhớ
đầy đủ kiến thức trọng tâm, biết cách vận dụng linh hoạt, sáng tạo và nhanh
nhạy trong phán đoán nhận dạng cũng như trong tính toán mới có thể đạt được
kết quả cao.
Với lí do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài : “BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TRONG ĐIỆN XOAY CHIỀU” nhằm trang bị cho các em học sinh những kiến

thức cơ bản, giúp các em có thể nhanh chóng định hình những kiến thức cần
áp dụng để giải các bài tập trắc nghiệm phần điện xoay chiều một cách nhanh
chóng và tránh được những nhầm lẫn.


2

II. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu
1.Nhiệm vụ

Đề tài nêu ra phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến cực trị trong
phần điện xoay chiều, từ đó giúp học sinh hình thành phương pháp luận căn
bản để giải quyết các vấn đề khi gặp phải, đồng thời từ đó cũng giúp cho các
em có thể phân biệt được, áp dụng được các điều kiện cụ thể trong từng bài
tập.
Bên cạnh đó, trên cơ sở những kết quả đã nghiên cứu, các kiến thức
được phân loại trong từng trường hợp vận dụng giúp học sinh ghi nhớ và áp
dụng một cách nhanh chóng.
2.Phương pháp
-Vận dụng những kiến thức toán học để tìm cực trị, như:
+Tính chất của phân thức đại số.
+Tính chất của các hàm số lượng giác.
+Bất đẳng thức Cô-si.
+Tính chất đạo hàm của hàm số.
-Khái quát hóa, phân loại các trường hợp để có thể giải quyết các bài tập
trong từng điều kiện cụ thể.
III. Phạm vi của đề tài
Đề tài nghiên cứu một vấn đề tương đối khó, đề cập đến các dạng bài tập nâng
cao thường gặp trong đề thi TSĐH, CĐ và chủ yếu dành cho học sinh khá
giỏi. Với phạm vi một sáng kiến, kinh nghiệm ở trường THPT chúng tôi chỉ đề
cập đến một số vấn đề nhỏ của môn vật lý lớp 12:
-Nghiên cứu về bài toán cực trị trong điện xoay chiều và một số trường
hợp vận dụng


3

B. NỘI DUNG
I.Những kiến thức toán học bổ trợ
1.Tính chất của phân thức đại số

Xét một phân số P =

A
, trong điều kiện A là hằng số dương, thì phân số
B

P đạt giá trị lớn nhất nếu mẫu số B nhỏ nhất.
2.Tính chất của các hàm số lượng giác
Đối với các hàm số lượng giác :
+ y = sinx thì y max = 1 khi x = π/2 + k π

(k∈Z)

+ y = cosx thì y max = 1 khi x = kπ

(k∈Z)

3. Bất đẳng thức Cô-si
Với hai số thực dương a,b thì ta luôn có : a + b ≥ 2 ab
Điều kiện để đẳng thức xảy ra là: a = b, và nếu ab không đổi thì khi đó
tổng (a + b) bé nhất
4. Tính chất đạo hàm của hàm số
Xét hàm số y = f(x); (x ∈ R) có đạo hàm tại x = xo và liên tục trong khoảng
chứa xo. Nếu hàm số đạt cực trị tại x = xo thì f’(xo) = 0
Và : + Nếu f’’(xo) > 0 thì xo là điểm cực tiểu.
+ Nếu f’’(xo) < 0 thì xo là điểm cực đại.

II.Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp:
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : u = U 0 cos(ωt + ϕu )
R là một biến trở, các giá trị R0 , L và C không đổi.

C
R
L,R0
Gọi Rtd = R + R0
A

B


4

-

1. Có hai giá trị R1 ≠ R2 cho cùng một giá trị công suất
U2
2
P
=
R
I
=
R
- Công suất tiêu thụ trên mạch là :
td
td
Rtd2 + ( Z L − Z C ) 2
- Vì P1 = P2 = P nên ta có thể xem như công suất trong phương trình trên là một số
không đổi ứng với hai giá trị R1 và R2 . Khai triển biểu thức trên ta có:
PRtd2 − RtdU 2 + P ( Z L − Z C ) 2 = 0
Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị công suất thì phương trình bậc 2

trên có hai nghiệm phân biệt R1 và R2. Theo định lý Viète (Vi-et):
R1td .R2td = ( Z L − Z C ) 2
( R1 + R0 )( R2 + R0 ) = ( Z L − Z C ) 2


⇔

U2
U2
R
+
R
=
R
+
R
+
2
R
=
 1td
 1
2 td
2
0

P

P

-

-

- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R1 và R2 khác nhau cho cùng giá trị công suất
2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại
a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại
U2
U2
2
P = Rtd I = Rtd 2
=
(Z − ZC )2
Rtd + ( Z L − Z C )2
Ta có:
Rtd + L
Rtd
Đặt A = Rtd +

( Z L − ZC )2
, áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A
Rtd

A = Rtd +
-

( Z L − ZC )2
( Z − ZC )2
≥ 2 Rtd L
= 2 Z L − Z C = const

Rtd
Rtd

Ta thấy rằng Pmax khi Amin => “ =” xảy ra. Vậy:
Khi đó giá trị cực đại của công suất là:
Pmax =

Rtd = Z L − Z C

U2
U2
U2
=
=
2 Z L − ZC
2 R1td .R2 td
2 ( R1 + R0 )( R2 + R0 )

Với R1td và R2td là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất.
Lưu ý: Khi Z L − Z C < R0 thì giá trị biến trở R < 0, khi đó giá trị biến trở làm
cho công suất toàn mạch cực đại là R = 0.
-

-

-

-

b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại

Công suất của biến trở R là
U2
U2
2
PR = R I = R
=
( R + R0 ) 2 + ( Z L − Z C )2 ( R + R0 ) 2 + ( Z L − Z C )2
R
Đặt mẩu thức của biểu thức trên là :
( R + R0 )2 + ( Z L − Z C ) 2
R 2 + ( Z L − ZC )2
A=
= R+ 0
+ 2 R0
R
R
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được:
R 2 + ( Z L − ZC )2
R 2 + ( Z L − ZC )2
A= R+ 0
+ 2 R0 ≥ 2 R 0
+ 2 R0 = 2 R02 + ( Z L − Z C ) 2 + 2 R0 = const
R
R
Ta thấy rằng PRmax khi Amin nghĩa là dấu “ =” phải xảy ra, khi đó:
R=

R02 +( Z L − Z C ) 2

5
PR max =

- Công suất cực đại của biến trở R là:

-

U2
2 R + ( Z L − Z C )2 + 2 R0
2
0

c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại, cường độ dòng điệncực
đại, hiệu điện thế cuộn dây cực đại, hiệu điện thế tụ điện cực đại.
Ta có :
Pdây = R0 I 2 ;U d = I Z L2 + R02 ;U c = IZ C
I=

-

U

( R + R0 ) 2 + ( Z L − Z C ) 2
- Vì R0; ZL; ZC và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ
cần cường độ dòng điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng
Imax khi giá trị của biến trở R = 0.
3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R
Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R
người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:
Ta có công suất toàn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:

U2
P = Rtd I 2 = Rtd 2
Rtd + ( Z L − Z C )2
Rtd = R + R0

-

'
2
Đạo hàm P theo biến số Rtd ta có: P ( R ) = U

( Z L − Z C ) 2 − Rtd2
( Rtd2 + ( Z L − Z C )2 ) 2

'
2
2
Khi P ( R ) = 0 ⇒ ( Z L − Z C ) − Rtd = 0 ⇒ Rtd = Z L − Z C ⇒ R = Z L − Z C − R0
Bảng biến thiên :

R

Z L − Z C − R0

0

P’(R)

+

0
Pmax =

P(R)
P = R0

U2
R02 + ( Z L − Z C ) 2

Đồ thị của P theo Rtd :

+∞
-

2

U
2 Z L − ZC
0


6
P

Pmax

Pmax

U2
=

2 Z L − ZC

2

U
P = R0 2
R0 + (Z L − ZC )2
O

R=ZL - ZC - R0

Nhận xét đồ thị :
• Từ đổ thị ta thấy rằng có hai giá trị R1 và R2 cho cùng một giá trị của
công suất.
• Công suất đạt giá trị cực đại khi R = Z L − Z C − R0 > 0
•
•

Trong trường hợp R = Z L − Z C − R0 < 0 thì đỉnh cực đại nằm ở phần
R< 0 do đó ta thấy rằng công suất của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0.
Nếu R0 = 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R
làm cho công suất của toàn mạch cực đại là R = Z L − Z C

Kết luận:
• Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1 và 2
sẽ không hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và
bất đẳng thức Cauchy.
• Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P
theo biến trở R nhằm định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay
giảm khi thay đổi điện trở.

III.Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : u = U 0 cos(ωt + ϕu )
L là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay đổi
C
R
L
R và C không đổi.

A

B
1. Có hai giá trị L1 ≠ L2 cho cùng giá trị công suất
-

Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên:
U2
U2
P1 = P2 ⇔ R 2
=
R
R + ( Z L1 − Z C )2
R 2 + ( Z L2 − Z C ) 2

R


7
-

Khai triển biểu thức trên ta thu được :
 Z L − Z C = Z L2 − Z C (loaïi)
( Z L1 − Z C ) 2 = ( Z L2 − Z C ) 2 ⇔  1
 Z L1 − Z C = −( Z L2 − Z C ) (nhaän)

-

Suy ra :

ZC =

Z L1 + Z L2
2

⇔ L1 + L2 =

2

ω2C

2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng ZL
-

-

U2
Ta có công suất toàn mạch là: P = R 2
, với R, C là các hằng số, nên
R + (Z L − ZC )2
công suất của mạch là một hàm số theo biến số ZL

Đạo hàm của P theo biến số ZL ta có:
Zc − Z L
P '( Z L ) = 2 RU 2 2
⇒ P '( Z L ) = 0 khi Z L = Z C
[ R + ( Z L − Z C ) 2 }]2
Bảng biến thiên
ZL

0

ZL = ZC
+

-

0

+∞P’(ZL)
-P(ZL)
0

Đồ thị của công suất theo ZL :
P

Pmax

Pmax

U2
=

R

2

U
P= R 2 2
R + ZC
O
-

ZL = ZC

ZL

Nhận xét đồ thị:
•

Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất


8
•

Z L1 + Z L2

, với Z L1 ; Z L2 là
2
hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất.
Công suất của mạch cực đại khi Z L = Z C =

Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên sự thay đổi công suất vào giá trị của ZL sẽ
cho phép định tính được sự tăng hay giảm của P theoZL. Từ đó ta có thể tiên đoán
được sự thay đổi của công suất theo giá trị của ZL trong một số bài toán.
3. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULmax
-

-

-

Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là :
U
U L = IZ L = Z L
, trong đó R; ZC và U là
2
R + ( Z L − Z C )2
các hằng số không đổi. Ta có thể dùng phương pháp khảo
sát hàm số này theo biến số là ZL. Tuy nhiên với cách
khảo sát hàm số sẽ rất phức tạp. Với phương pháp dùng
giản đồ Vecto bài toán này có thể giải dể hơn và rút ra
nhiều kết luận hơn.
Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam giác
UL
U
=
ta có :
sin(α + β ) sin γ
UR
R
= const , suy ra

Vì sin γ = cos β = U =
2
R + ZC2
RC

UL

U

O

α
β

UR
i

-

U
U
sin(α + β ) =
sin(α + β )
γ
sin γ
cos β
UC
Do cosβ và U là các giá trị không đổi nên hiệu điện thế
URC
π

ULmax khi sin(α + β ) = 1 ⇒ α + β =
2
2
2
2
Theo hệ thức của tam giác vuông ta có: U RC = U CU L , từ đó suy ra Z L Z C = R + Z C

-

Tóm lại:

UL =

-

•
•

R 2 + Z C2
R 2 + Z C2
thì U L max = U
ZC
R
Khi ULmax thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn
uRC một góc 900.
Khi Z L =

-

4. Có hai giá trị L1 ≠ L2 cho cùng giá trị UL , giá trị L để ULmax tính theo L1 và

L2.
Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:
Z L1
Z L2
U L1 = U L2 ⇔ Z L1 I1 = Z L2 I 2 ⇔
=
R 2 + ( Z L1 − Z C )2
R 2 + ( Z L2 − Z C ) 2

-

Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được:


9
Z L21
R 2 + Z C2 + Z L21 − 2Z L1 Z C
-

=

Z L22
R 2 + Z C2 + Z L22 − 2Z L2 Z C

Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại thì
Z L Z C = R 2 + Z C2 với giá trị ZL là giá trị làm cho ULmax . Thay vào biểu thức trên:
Z L21
Z L Z C + Z L21 − 2 Z L1 Z C

=

Z L22
Z L Z C + Z L22 − 2Z L2 Z C

-

Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được:
( Z L21 − Z L22 ) Z L = 2Z L1 Z L2 ( Z L1 − Z L2 )

-

Vì L1 ≠ L2 nên đơn giàn biểu thức trên ta thu được: Z L =

2 Z L1 Z L2
Z L1 + Z L2

⇔ L=

2 L1L2
L1 + L2

với giá L là giá trị là cho ULmax
5. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULRrmax
Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :

-

U LR = I R + Z =
2

2
L

U R 2 + Z L2
R + (Z L − ZC )
2

2

=

U
R + (Z L − ZC )2
R 2 + Z L2
2

R 2 + (Z L − ZC )2
Đặt MT =
, ta thực hiện việc khảo sát hàm số MT theo biến số ZL để
R 2 + Z L2
tìm giá trị của ZL sao cho MTmin khi đó giá trị của ULrmax . Đạo hàm của MT theo
biến số ZL ta thu được :
2( Z L − Z C )( R 2 + Z L2 ) − 2 Z L [ R 2 + ( Z L − Z C ) 2 ]
MT ' ( Z L ) =
( R 2 + Z L2 ) 2

-

2
2

2
Cho MT’(ZL) = 0 ta có : Z C Z L − Z C Z L − Z C R = 0 . Nghiệm của phương trình bậc hai

-


Z + 4 R 2 + Z C2
 Z L1 = C
>0
2

này là: 
. Lập bảng biến thiên ta có:
2
2
Z
−
4
R
+
Z
C
Z = C
<0
 L2
2
ZL

0

ZL =

Z C + 4 R 2 + Z C2
2

+∞
MT’(ZL)

-

MT (ZL)
[

-

0
 4R 2 + Z 2 − Z
C
C


2R


+
2


÷
÷



Từ bảng biến thiên ta thấy rằng MT đạt giá trị nhỏ nhất nên ULR đạt giá trị lớn nhất.
Ta thu được kết quả sau:


10
Khi Z L =

2UR
Z C + 4 R 2 + Z C2
thì U RLMax =
4 R 2 + Z C2 − Z C
2

IV. Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp
R

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu
ổn định : u = U 0 cos(ωt + ϕu )
R là điện trở L là một cuộn dây thuần cảm không
đổi

C

L

A

B

và C có giá trị thay đổi .
2
2
2
2
Nhận xét: Vì trong công thức tổng trở Z = R + ( Z L − Z C ) = R + ( Z C − Z L ) do đó ta thấy
rằng bài toán thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị L. Do đó khi thực
hiện việc khảo sát ta cũng thực hiện tương tự thu được các kết quả sau:
1. Có hai giá trị C1 ≠ C2 cho cùng giá trị công suất
Với hai giá trị C1 và C2 cho cùng giá trị công suất ta có
ZL =

Z C1 + Z C2
2

= Z C0

C1C2

C0 = 2 C + C
1
2
⇔
1
1
 2
 2ω L = C + C

1

2

Với giá trị C0 là giá trị làm cho công suất mạch cực đại
2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng
- Bảng biến thiên:
ZC
0
ZC = ZL
+∞
P’(ZC)
+
0
P(ZC)
U2

Pmax =

P=R
-

R

2

U
R + Z L2

0

2

Đồ thị của công suất theo giá trị ZC :
P

Pmax

Pmax

U2
=
R

U2
P= R 2 2
R + ZL
O
ZL = ZC
3. Giá trị ZC để hiệu điện thế UCmax

ZC


11
-

Khi Z C =

R 2 + Z L2
thì :
ZL

•
2
U CM
ax

U R 2 + Z L2
U CMax =
R
2
2
2
2
= U + U R + U L ; U CMax − U LU CMax − U 2 = 0

và

•
uRL vuông pha với hiệu điện thế hai đầu mạch
4. Có hai giá trị C1 ≠ C2 cho cùng giá trị UC ,giá trị ZC để UCmax theo C1 và C2
- Khi có hai giá trị C = C1 hoặc C = C2 cho cùng giá trị UC thì giá trị của C làm cho
1 1 1
1
C + C2
= (
+
)⇒C = 1
UCmax khi
Z C 2 ZC1 ZC2
2

5. Giá trị ZC để hiệu điện thế URCmax
2UR
Z L + 4 R 2 + Z L2
thì U RCMax =
( Với điện trở R và tụ
4 R 2 + Z L2 − Z L
2
điện mắc gần nhau)
- Khi Z C =

VI.Sự thay đổi ω trong mạch R-L-C mắc nối tiếp
-

1. Giá trị ω làm cho Pmax
U2
P = RI 2 = R
2
Ta có
1  , từ công thức này ta thấy rằng công suất của

2
R + ωL −
ωC ÷


1
mạch đạt giá trị cực đại khi: ωL − ω = 0 ⇒ω = ω0 =

1
LC

. Với

Pmax =

U2
R

-

Khi đó Zmin = R và hiệu điện thế giửa hai đầu mạch và cường độ dòng điện qua mạch
đồng pha nhau.
2. Có hai giá trị ω 1 ≠ ω 2 cho cùng công suất và giá trị ω làm cho Pmax tính theo
ω 1 và ω 2:

-

Nếu có hai giá trị tần số khác nhau cho một giá trị công suất thì:
U2
U2
P1 = P2 ⇔ R
=R
1 2
1 2
R 2 + (ω1 L −
)
R 2 + (ω2 L −
)
ω1C
ω2 C

-

-

1
1

ω1 L − ω C = ω2 L − ω C (1)

1
2
Biến đổi biểu thức trên ta thu được : 
ω L − 1 = −(ω L − 1 )(2)
2
 1
ω1C
ω2 C
Vì ω1 ≠ ω2 nên nghiệm (1) bị loại
1
Khai triển nghiệm (2) ta thu được : ω1ω2 =
LC
1
Theo kết quả ta có : ω02 = ω1ω2 = LC với ω0 là giá trị cộng hưởng điện.

3. Khảo sát sự biến thiên công suất theo ω.


12
-

-

Ta có

U2

P = RI 2 = R

2

1 

R2 +  ω L −
ωC ÷


Việc khảo sát hàm số P theo biến số ω bằng việc lấy đạo hàm và lập bảng biến thiên
rất khó khăn vì hàm số này tương đối phức tạp. Tuy nhiên, ta có thể thu được kết
quả đó từ những nhận xét sau:
1
→ ∞ làm cho P = 0
•
Khi ω = 0 thì Z C =
ωC
1
•
Khi ω = ω0 =
thì mạch cộng hưởng làm cho công suất
LC

trên mạch cực đại
•
Khi ω → ∞ thì Z L = ω L → ∞ làm cho P = 0
Từ những nhận xét đó ta dễ dàng thu được sự biến thiên và đồ thị :
ω

ω = ω0 =

0

1
LC

+∞

U2
R

P(ω)
0

0

P
Pmax

0
-

-

ω=

1
LC

ω

Nhận xét đồ thị:
•
Từ đồ thị ta thấy rằng sẽ có hai giá trị ω1 ≠ ω2 cho cùng một
giá trị công suất, điều này phù hợp với những biến đổi ở phần trên.
4. Giá trị ω làm cho hiệu điện thế ULmax
2
U
U
1 

2
U L = I .Z L = .Z L =
2
R + ωL −
Z , đặt
 Z 
Z
ωC ÷
Ta có :


A= ÷ =

2
ZL
(ω L)
 ZL 


13
2

R2 
1 
+ 1 − 2
2 2
ω L  ω LC ÷


-

Biến đổi biểu thức A ta thu được : A =

-

Ta tiếp tục đặt x =

-

Lấy đạo hàm của A theo biến số x ta thu được: A '( x ) =

-

Cho A’(x) = 0 ta thu được x =

-

Vì x > 0 ⇒

2

1
R2
x

>
0
khi
đó
A=
x + 1 − ÷
2
ω L
L
 C

R2 2 
x
− 1 − ÷
L C C

2 LC − R 2C 2
2L

2L
> R 2 khi đó ta thu bảng biến thiên:
C
x
2 LC − R 2C 2
0
2L
A’(x)
0

∞
+

A(x)
-

Amin
Thay giá trị x vào biểu thức đã đặt ta thu được hiệu điện thế cực đại của cuộn dây là:

ω=

Nhận xét : Khi x ≤ 0 ⇒

1
C

1
L R 2 và
−

C 2

U LMax =

2U .L
R 4 LC − R 2C 2

2L
≤ R 2 thì Amin khi x = 0 do A làm hàm số bậc 2 có hệ số
C

1
> 0 nên hàm số có cực tiểu ở phần âm, do đó x = 0 làm cho Amin trong miền
C2
xác định của x. Khi đó ω rất lớn làm cho ZL rất lớn làm cho I = 0. Do đó không thể
tìm giá trị ω làm cho ULmax
5. Giá trị ω làm cho hiệu điện thế Ucmax
Tương tự như cách làm trên ta cũng thu được kết quả tương tự khi thay đổi giá trị ω
làm cho UCmax là:
a=

-

-

Khi

ω=

1 L R2

−
L C 2

thì

U CMax =

2U .L

2L
> R2
C

với

R 4 LC − R 2C 2

C.BÀI TẬP VẬN DỤNG
II.1.Bài tập liên quan đến điều kiện cộng hưởng điện.
Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ:

A

L

R
V

M

C

B


14

Hiệu điện thế luôn duy trì hai đầu đoạn mạch là:
uAB = 200cos(100πt)(V). Cuộn dây thuần cảm, có L =

1
(H); điện trở thuần có
π

R = 100Ω; tụ điện có điện dung C thay đổi được.Vôn kế có điện trở rất lớn.
a.Điều chỉnh C để công suất tiêu thụ của mạch đạt cực đại. Tính công suất
cực đại đó.
b.Với giá trị nào của C thì số chỉ vôn kế V là lớn nhất, tìm số chỉ đó.
Bài giải
Ta có ZL = ωL = 100Ω; R = 100Ω; U = 200/ 2 = 100 2 V
a.Công suất của mạch tính theo công thức: P = I2R =

U2
R
Z2

Ta thấy rằng U và R có giá trị không thay đổi, vậy P lớn nhất ⇔ Z =
R + ( Z L − Z C ) nhỏ nhất ⇔ ZC = ZL = 100Ω
2

2

Z = R => Pmax =

1
10 −4
=> C = ωZ = π (F) và khi đó
C

U2
= 200W.
R

b.Số chỉ vôn kế là: Uv = UAM = I.ZAM =
Dễ thấy do U và

U
Z

R 2 + Z L2

R 2 + Z L2 = 100 2 Ω không đổi, nên UAM lớn nhất ⇔ Z nhỏ
1

10 −4

nhất ⇔ ZC = ZL = 100Ω => C = ωZ = π (F) và khi đó Z = R
C
=> Uvmax =

U
100 2
Z AM =
100 2 = 200V
R
100

*Nhận xét: Trong bài tập này ta đã áp dụng tính chất cực đại của phân thức
đại số khi mẫu số nhỏ nhất, đây cũng là điều kiện cộng hưởng điện mà ta
thường gặp.


15

II.2.Bài tập liên quan đến giá trị cực đại của điện áp trên L,C khi giá trị
L,C thay đổi.

A

L

R

M

C

B

V

Cho mạch điện như hình vẽ:
Hiệu điện thế luôn duy trì hai đầu đoạn mạch là uAB = 100 2 cos(100πt)(V).
Cuộn dây thuần cảm, có L =

1
(H); điện trở thuần có R = 50 3 Ω; tụ điện có
2π

điện dung C thay đổi được.Vôn kế có điện trở rất lớn.
a.Điều chỉnh C để số chỉ vôn kế cực đại. Tính số chỉ cực đại đó.
b.Tìm C để công suất P tiêu thụ trong mạch cực đại. Phác vẽ đồ thị P
theo ZC.
Bài giải
Ta có ZL = ωL = 50Ω; R = 50 3 Ω; U = 100V
a.Số chỉ vôn kế là UC = I.ZC =
=> U C2 =

U C2

U
ZC
Z

U2
U2
U2 2
2
Z
Z C2

Z
=
=
C
2
2
2
2
2
C
2
R + (Z L − Z C )
R + Z L − 2Z L Z C + Z C
Z

U2
= ( R 2 + Z 2 ) 1 − 2Z 1 + 1
L
L
ZC
Z C2
1

Đặt: x = Z ; a = R 2 + Z L2 ; b = -2 Z L ; y = ax2 + bx + 1
C
=> U C2 =

U2
(1)
y

Ta có: y’ = 2ax + b
y’ = 0 ⇔ x = xo = −

b
=> xo là điểm cực trị.
2a


16

Do

y’’ = 2a > 0 nên y đạt cực tiểu khi x = xo = −

b
(1)
2a

Ta thấy rằng U C lớn nhất khi y nhỏ nhất.
Từ điều kiện (1) ta có: R 2 + Z L2 = Z L Z C
R 2 + Z L2
10 −4
Z
=
(F )
=>ZC =
= 100Ω => C
ZL
π

U
1
1
1
2
2
Và U C max = y với y = ( R + Z L ) Z 2 − 2Z L Z + 1 =
2
min
C
C
UCmax = U 2 = 200V.

b. -Công suất tiêu thụ của mạch: P = I2R =
Dễ thấy Pmax

U2
U2
R
R
=
R 2 + (Z L − Z C ) 2
Z2

2.10 −4
 ZL = ZC = 50Ω => C =
(F)
π

5 3.10 6

- Ta có: P =
7500 + (50 − Z C ) 2

-Khi ZC = ZCo = 50Ω thì P = Pmax = 1155W
-Khi ZC = 0 thì P = Po = 866W
-Khi ZC → +∞ thì P→ 0

P(W)

Pmax
Po

Đồ thị:
O

50

ZC(Ω)

*Nhận xét:
1.Với bài tập này có thể giải câu a dựa vào điều kiện cực đại của hàm
số lượng giác như sau:
Hiệu điện thếhai đầu mạch được biểu diễn bằng
véc tơ quay U như hình vẽ.
 


U = UR +UL +UC

17



gọi φ, φ’là góc lệch pha giữa U RL và U so với I .

Theo định lí hàm số sin ta có:
Uc
=
sin(ϕ '−ϕ )

U
π
sin( − ϕ ' )
2

=> U C =

sin(ϕ '−ϕ )
.U
cos ϕ '

Do L và R không đổi nên ϕ’ = const => cosϕ’ = const, và U cũng không đổi,
nên khi C biến thiên thì chỉ φ thay đổi, UC cực đại khi sin(φ’- φ) = 1
=> φ’- φ = π/2
=> tanφ = - cotanφ’  tanφ.tanφ’ = -1


Z L Z L − ZC
= −1 => R 2 + Z L2 = Z L Z C

R
R

2.Trong trường hợp L thay đổi, tìm điều kiện để hiệu điện thế hai đầu
cuôn dây có giá trị cực đại.
Cách giải tương tự như bài này, ta dễ dàng tìm được điều kiện bài toán là:
R 2 + Z C2 = Z L Z C

II.3.Bài tập liên quan về giá trị công suất cực đại khi R thay đổi
Một mạch điện xoay chiều gồm:

A

L

R

M

C

B

2
2.10 −4
Cuộn cảm thuần có L = (H); tụ điện có C =
(F); R là một biến trở.
π
π

Giữa hai đầu AB được duy trì một hiệu điện thế u = 120 2 cos(100πt)(V).
Điều chỉnh R để công suất tiêu thụ của đoạn mạch cực đại. Tìm R và công suất
đó.
Bài giải
Ta có ZL = ωL = 200Ω; ZC =

1
= 50Ω; U = 200V
ωC

Công suất tiêu thụ của mạch: P = I2R =

U2
U2
R
R
=
R 2 + (Z L − Z C ) 2
Z2

U2
U2
(Z L − Z C ) 2
2
Có thể viết: P =
với y = R +
(Z − Z C ) =
y
R+ L
R

R


18

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a = R và b =
ta luôn có: y = R +

(Z L − Z C ) 2
R

(Z L − Z C ) 2
R

≥ 2 Z L − Z C = const

=> giá trị nhỏ nhất của y là: ymin = 2 Z L − Z C <=> R =

(Z L − Z C ) 2
R

=> R = Z L − Z C = 150Ω
Và Pmax

U2
U2
=
=
= 48W
y min 2 Z L − Z C

II.4.Bài toán cực trị liên quan đến tần số dòng điện biến thiên
Một đoạn mạch xoay chiều gồm điện trở thuần R, cuôn dây thuần cảm L và
một tụ điện C mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch một hiệu điện thế xoay
chiều: u = U 2 cos(ωt),có U = const nhưng tần số thay đổi. Xác định ω để:
a.hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu điện trở đạt cực đại.
b.hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt cực đại.
c.hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu tụ điện đạt cực đại.
Bài giải
a.Hiệu điện thê hiệu dụng hai đầu điện trở:UR = I.R =
không đổi nên URmax ⇔ Zmin ⇔ ZC = ZL => ω =
b.Điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện: UC = I.ZC =
=> U

2
C

U
R , dễ dễ thấy U, R
Z

1
LC

U
ZC
Z

U2
U2

U2 2
2
ZC = 2
Z C2
= 2 ZC = 2
2
2
2
R + (Z L − Z C )
R + Z L − 2Z L Z C + Z C
Z


19

U

2
C

U2

U2
L
1
= 2 2 2
= 2 2 4
ω C ( R + ω 2 L2 − 2 + 2 2 )
L C ω + ( R 2 C 2 − 2 LC )ω 2 + 1)
C ω C

Đặt: x = ω2 > 0; a = L2C2; b = R2C2 -2LC; y = ax2 + bx + 1
U2
=> U =
y
2
C

Ta có: y’ = 2ax + b
y’ = 0 ⇔ x = xo = −
Do

b
=> xo là điểm cực trị.
2a

y’’ = 2a > 0 nên y đạt cực tiểu khi x = xo = −

b
(2)
2a

Ta thấy rằng U C lớn nhất khi y nhỏ nhất.
Từ điều kiện (2) ta có: ω =

2L
1
R2
− 2 với R2 <
C

LC 2 L

c. Điện áp hiệu dụng hai đầu cuôn cảm: UL = I.ZL =

=> U

2
L

U
ZL
Z

U2
U2
U2 2
2
Z L2
ZL = 2
= 2 ZL = 2
2
2
2
R + Z L − 2Z L Z C + Z C
R + (Z L − Z C )
Z

U2
U L2 = 1
L

1
= 1 1
R2
2 1
2
2 2
(
R
+
ω
L
−
2
+
)
+( 2 −
)
+1
2 2
2 2
2 2
4
C ω C
ω L
LC ω 2
LC ω
L
U2

Đặt: x =

1
1
R2
2
−
>
0;
a
=
;
b
=
; y = ax2 + bx + 1
2
2 2
2
ω
LC
LC
L
U2
=> U =
y
2
L

Ta có: y’ = 2ax + b

20

y’ = 0 ⇔ x = xo = −
Do

b
=> xo là điểm cực trị.
2a

y’’ = 2a > 0 nên y đạt cực tiểu khi x = xo = −

b
(3)
2a

Ta thấy rằng U C lớn nhất khi y nhỏ nhất.
Từ điều kiện (3) ta có: ω =

2L
2
với R2 <
2 2
C
2 LC − R C

IV.Bài tập đề nghị
r, L

Bài tập 1.Cho đoạn mạch như hình vẽ:
r = 10Ω; L =

C

A

B

1
( H ) ; C biến thiên. Hiệu điện thế hai đầu mạch là:
10π

u = 100 2 cos100πt(V).
a. Tìm C để công suất tiêu thụ của đoạn mạch cực đại.
b.Định giá trị nhỏ nhất của công suất đoạn mạch trong điều kiện ứng với
một giá trị của công suất đoạn mạch có hai giá trị khác nhau của C.
Đáp số:

a.C = 10-3/π(F); b. P = 500W

Bài tập 2. Cho đoạn mạch xoay chiều như hình vẽ:
R = 80Ω; L =

0,6
( H ) ; C biến thiên.
π

A

L

R

C

V1

V2

V3

B

Hiệu điện thế hai đầu mạch là: u = 240 2 cos100πt(V). Khi C thay đổi, hãy
tính giá trị cực đại mỗi vôn kế và giá trị điện dung C ứng với các số chỉ cực
đại này.

Đáp số:

U1max = 240V; C = C1 =

53µF
U2max = 180V; C = C2 = 53µF
U3max = 300V; C = C3 ≈ 19µF
A

L

R

C

B


21

Bài tập 3. Cho đoạn mạch xoay chiều:
10 −4
Điện trở thuần R = 100Ω; C =
(F); cuộn dây thuần cảm, có L biến thiên.
π

Hiệu điện thế hai đầu mạch là: u = 200cos100πt(V).
a.Tính L để hệ số công suất của đoạn mạch cực đại. Tính công suất của
mạch khi đó.
b.Tính L để điện áp hiệu dụng trên L đạt cực đại.
Đáp số: a. L = 1/π (H); Pmax = 200W
b. L = 2/π(H)
Bài tập 4.

A

L

R

B

Một mạch điện xoay chiều AB
gồm biên trở R và cuộn cảm thuần có L =0,09/π (H) ghép nối tiếp như hình vẽ.

Hiệu điện thế hai đầu mạch AB là: u = 5 2 cos100πt(V).
Tính R để công suất của đoạn mạch cực đại. Tính công suất cực đại đó.
Đáp án: R = 9,0Ω; Pmax ≈ 1,4W
Bài tập 5.
Một mạch điện xoay chiều như hình vẽ:

A

r, L

C

B

Cuộn dây có độ tự cảm L = 0,5/π (H) và điện trở nội r = 10 3 Ω; Tụ điện có
C=

10 −4
(F). Điện áp hai đầu mạch: uAB = 100 2 cos100πt(V).
π

a.Tính công suất tiêu thụ của mạch.
b. Để điện áp hai đầu cuộn dây cực đại, phải mắc thêm một tụ Co vào
mạch, nêu cách ghép và giá trị Co.
c.Để công suất đoạn mạch cực đại, phải mắc vào đoạn mạch ban đầu
một điện trở R. Nêu cách mắc và tìm giá trị R.


22

Đáp số:

a.P = 62W
b.Co = C; ghép Co //C.
c.R = 10( 5 − 3 )Ω, ghép nối tiếp.

Bài tâp 6.Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ:
Biết uAB =120 2 cos100πt(V).
A

Điện trở thuần R = 100 3 Ω ;
tụ điện có C =

R

L

C

B

V

10 −3
( F ) ; Cuộn dây thuần cảm có L biến thiên.
15π

a.Tìm L để điện áp uL hai đầu cuộn dây lệch pha

π

so với điện áp uAB
2

hai đầu đoạn mạch.
b. Mắc song song điện trở R với điện trở R0 thay đổi L thấy số chỉ của
vôn kế thay đổi và có giá trị cực đại là 240(V). Tìm R0 , L khi đó.
Đáp số:

a. L = 1,5/π(H)
b.L = 2/π (H); Ro = 75 3 (Ω)

D. KẾT LUẬN
Chuyên mục này đã được áp dụng trên lớp nâng cao Ban KHTN 12A1 ,
thu được kết quả:
Thời Tổng số
điểm học sinh
Trước
43
khi học

Giỏi
3

7%

Khá
19 44.2%

Trung Bình
21

48.8%

Yếu
0

0


23

phương
pháp
Sau khi
học
phương
pháp

43

10

23.3%

23 53.4%

10

23.3%

0

0

Xuất phát từ kinh nghiệm của bản thân, từ thực tế nhiều năm giảng dạy, bản
thân tôi đúc rút thành kinh nghiệm mong đem lại cho các em học sinh một cái
nhìn tổng quát hơn về bài toán cực trị trong điện xoay chiều. Việc giải bài tập
loại này đòi hỏi học sinh không những có kiến thức vững vàng và nắm được
bản chất vật lý mà còn phải có kiến thức cơ bản về toán học tối thiểu như tôi
đã đề cập: Tính chất của phân thức đại số; Tính chất của các hàm số lượng
giác ; Bất đẳng thức Cô-si và đặc biệt là công cụ đạo hàm của hàm số…
Chúng tôi đã phân loại các trường hợp thường gặp và điều kiện vận
dụng để học sinh có thể tham khảo và qua đó có thể nhanh chóng kiểm tra, đối
chiếu khi làm các bài tập trắc nghiệm.
Do thời gian có hạn nên đề tài này chưa được áp dụng rộng rãi và chắc
chắn không tránh hết những thiếu sót. Vì vậy rất mong được sự góp ý của quý
thầy cô giáo và các bạn động nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn và được áp
dụng thực hiện trong những năm học tới.
Xin chân thành cảm ơn!

E.TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Bùi Quang Hân – Giải toán Vật lý 12 – NXB Giáo dục, 2004


24

2. Nguyễn Thế Khôi, Vũ Thanh Khiết – Sách giáo khoa Vật lý 12 – NXB Giáo
dục, 2008.
3. Vũ Thanh Khiết, Nguyễn Thế Khôi – Bài tập Vật lý 12 Nâng cao – NXB

Giáo dục, 2007
4. Mạng giáo dục

MỤC LỤC
STT
1
Nêu Vấn đề

NỘI DUNG

TRANG
Từ trang 1-trang 2


25

2
3

Phương pháp giải- công thức
Bài tập có lời giải

Từ trang 3-trang 13
Từ trang 14-trang 22

4
5
6

Kết luận

Tài liệu tham khảo
Mục lục

Trang 23
Trang 24
Trang 25

XÁC NHẬN TỔ CHUYÊN MÔN

Đỗ Văn Vững

NGƯỜI VIẾT

Nguyễn văn Hinh

NHẬN XÉT HỘI ĐỒNG NHÀTRƯỜNG