phương trình và trình bày điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của phương trình qua các hàm Lyapunov

Header Page 1 of 126.

Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQGHN dưới sự
hướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo, GS.TS Nguyễn Hữu Dư. Tôi xin được bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm
trong học tập, nghiên cứu khoa học và các bài học trong cuộc sống.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin, Phòng sau
đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội. Tôi cũng xin gửi
lời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo trong Bộ môn Lý thuyết xác suất và thống
kê toán, khoa Toán - Cơ - Tin đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập tại
Khoa.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn
góp ý, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2015
Học viên

Footer Page 1 of 126.

1


Header Page 2 of 126.

Mục lục
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 2. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . .

5

5
15
20

2.1. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2. Công thức Itô và ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3. Phát biểu bài toán martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Chương 3. Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang
thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.1. Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.2. Ước lượng moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.3. Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian . .

60

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Footer Page 2 of 126.

2

71


Header Page 3 of 126.

Lời mở đầu
Giải tích ngẫu nhiên là một lĩnh vực toán học nghiên cứu các phép tính giải tích (tích
phân, đạo hàm, tính liên tục, khả vi, ...) đối với quá trình ngẫu nhiên, nhằm mục đích
xây dựng các mô hình toán học cho các hệ động lực có sự tác động của các yếu tố ngẫu
nhiên. Do đó, giải tích ngẫu nhiên là ngành khoa học có nhiều ứng dụng trong sinh học,
y học, vật lý học, kinh tế học, khoa học xã hội, . . . và được nhiều nhà toán học quan
tâm nghiên cứu. Cho đến nay giải tích ngẫu nhiên với thời gian rời rạc và thời gian liên
tục đã được nghiên cứu khá đầy đủ.
Khi xây dựng mô hình toán học cho các hệ thống tiến triển theo thời gian, người ta
thường giả thiết hệ thống hoạt động liên tục hoặc rời rạc đều, tức là các thời điểm quan
sát cách nhau một khoảng cố định. Từ đó, các phép giải tích liên tục (phép tính vi phân)
và rời rạc (phép tính sai phân) được nghiên cứu để mô tả hệ thống tương ứng với các giả
thiết lý tưởng được đặt ra. Tuy nhiên, trên thực tế, hầu hết các hệ thống hoạt động không
hoàn toàn liên tục và cũng không hoàn toàn cách đều nhau. Đôi khi các quan sát còn xen
lẫn các khoảng thời gian liên tục với các thời điểm rời rạc. Chẳng hạn một loài sâu nào
đó chỉ phát triển trong mùa hè nhưng đến mùa đông thì sự phát triển của chúng bị gián

đoạn. Vì vậy, trong nhiều trường hợp, phương trình vi phân hoặc sai phân không đủ để
mô tả các thông tin cần thiết của mô hình. Lý thuyết thang thời gian ra đời nhằm khắc
phục nhược điểm này. Lý thuyết được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1988 bởi S. Hilger,
một nhà Toán học người Đức. Các kết quả nghiên cứu về giải tích trên thang thời gian
cho phép chúng ta xây dựng được mô hình toán học của các hệ thống tiến triển không
đều theo thời gian, phản ánh đúng mô hình thực tế. Do đó, chủ đề thang thời gian thu
hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới và đã có nhiều
công trình được công bố trên các tạp chí toán học có uy tín.
Cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về thang thời gian chủ yếu ở giải tích tất định.
Vì thế các kết quả này chỉ mô tả được các mô hình phát triển trong các điều kiện môi

Footer Page 3 of 126.

3


Header Page 4 of 126.
trường không có nhiễu biến đổi. Tuy nhiên, các mô hình thực tế phải tính đến các yếu
tố ngẫu nhiên tác động vào. Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả về giải tích
trên thang thời gian của các mô hình ngẫu nhiên.
Bố cục của luận văn bao gồm ba chương:
• Chương 1 trình bày những vấn đề cơ bản về giải tích tất định và quá trình ngẫu
nhiên trên thang thời gian.
• Chương 2 trình bày tích phân ngẫu nhiên theo martingale bình phương khả tích;
công thức Itô đối với bộ d−semimartingale trên thang thời gian và phát biểu bài
toán martingale.
• Chương 3 trình bày phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian với nhiễu
là martingale bình phương khả tích; công thức ước lượng moment đối với nghiệm
của phương trình và trình bày điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của phương
trình qua các hàm Lyapunov.

Do kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai
sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn
đọc. Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2015
Học viên

Footer Page 4 of 126.

4


Header Page 5 of 126.

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tôi trình bày một số kết quả cơ bản của giải tích tất định và quá
trình ngẫu nhiên trên thang thời gian để làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của
luận văn ở các chương sau.

1.1. Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian
Các kết quả trình bày trong mục này được tham khảo từ các tài liệu [1] và [2].
Định nghĩa 1.1.1. Một tập con đóng, khác rỗng của tập số thực R được gọi là thang
thời gian (time scales). Ký hiệu thang thời gian là T.
Dễ thấy rằng các tập hợp: R, Z, N, N0 , [0, 1] ∪ [2, 3], [0, 1] ∪ N và tập Cantor là các
thang thời gian.
Trong khi đó, các tập hợp: Q, R Q, (0, 1) không phải là các thang thời gian vì chúng
không phải là các tập đóng.
Trong luận văn, tôi luôn giả thiết rằng trên thang thời gian có một tôpô, chính là tôpô
cảm sinh của tôpô thông thường trên tập hợp các số thực.

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử T là một thang thời gian. Ánh xạ σ : T → T xác định bởi
σ(t) = inf{s ∈ T : s > t},
được gọi là toán tử bước nhảy tiến (forward jump operator) trên thang thời gian T. Ánh
xạ ρ : T → T xác định bởi
ρ(t) = inf{s ∈ T : s > t},
được gọi là toán tử bước nhảy lùi (backward jump operator) trên thang thời gian T.

Footer Page 5 of 126.

5


Header Page 6 of 126.
Quy ước inf ∅ = sup T (nghĩa là σ(M ) = M nếu thang thời gian T có phần tử lớn nhất
là M ) và sup ∅ = inf T (nghĩa là ρ(m) = m nếu thang thời gian T có phần tử nhỏ nhất
là m).
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử T là một thang thời gian. Một điểm t ∈ T được gọi là trù
mật phải (right-dense) nếu σ(t) = t, cô lập phải (right-scattered) nếu σ(t) > t, trù mật
trái (left-dense) nếu ρ(t) = t, cô lập trái (left-scattered) nếu ρ(t) < t và là điểm cô lập
(isolated) nếu t vừa cô lập trái vừa cô lập phải.
Với mỗi a, b ∈ T, kí hiệu [a, b] là tập hợp {t ∈ T : a ≤ t ≤ b}, tương tự, kí hiệu các tập
hợp (a, b] ; (a, b) ; [a, b) tương ứng là các tập hợp {t ∈ T : a < t ≤ b}; {t ∈ T : a < t < b};
{t ∈ T : a ≤ t < b}. Kí hiệu Ta = {t ∈ T : t ≥ a} và

{
T
kT =
T\ [m, σ (m))
{
T =

k

T
T\ (ρ(M ), M ]

nếu min T = −∞
nếu min T = m
nếu max T = +∞
nếu max T = M

Kí hiệu:

{
}
{
}
I1 = t : t cô lập trái , I2 = t : t cô lập phải , I = I1 ∪ I2 .

(1.1.1)

Mệnh đề 1.1.1. Tập hợp I gồm tất cả các điểm cô lập trái hoặc cô lập phải của thang
thời gian T là tập không quá đếm được.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử T là thang thời gian. Ánh xạ µ : Tk → R+ xác định bởi
µ(t) = σ(t) − t,
được gọi là hàm hạt tiến (forward graininess function) trên thang thời gian T. Ánh xạ
ν :k T → R+ xác định bởi
ν(t) = t − ρ(t),
được gọi là hàm hạt lùi (backward graininess function) trên thang thời gian T.
Ví dụ 1.1.1.

• Nếu T = R thì ρ(t) = t = σ(t), µ(t) = ν(t) = 0.

• Nếu T = Z thì ρ(t) = t − 1, σ(t) = t + 1, µ(t) = ν(t) = 1.

Footer Page 6 of 126.

6


Header Page 7 of 126.
• Với h là số thực dương, chúng ta định nghĩa thang thời gian T = hZ như sau:
hZ = {kh : k ∈ Z} = {... − 3h, −2h, 0, h, 2h, 3h, ...} ,
khi đó ρ(t) = t − h, σ(t) = t + h, µ(t) = ν(t) = h.
• Với a, b là các số thực dương, ta xét thang thời gian T = Pa,b như sau
∞
∪

Pa,b =

[k(a + b), k(a + b) + b].

k=1




t

Khi đó
σ(t) =

∞
∪

nếu t ∈



t + a



t

nếu t ∈
nếu t ∈

k=1
∞
∪
k=1
∞
∪

[k(a + b), k(a + b) + b)
{k(a + b) + b}
[k(a + b), k(a + b) + b)

k=1
∞

∪

ρ(t) =



{k(a + b)}
t − a nếu t ∈
k=1

∞
∪


[k(a + b), k(a + b) + b)
0 nếu t ∈
k=1
µ(t) =
∞
∪


{k(a + b) + b}
a nếu t ∈
k=1

và
ν(t) =





0

nếu t ∈



a

nếu t ∈

∞
∪

[k(a + b), k(a + b) + b)

k=1
∞
∪

{k(a + b)}

k=1

• Với n ∈ N0 , xét dãy số điều hòa
H0 = 0, Hn =

n
∑

1
k=1

k

, n ≥ 1.

Xác định thang thời gian như sau

H = {Hn : n ∈ N.}
 n−1

∑ 1

Khi đó,
σ(Hn ) =

n+1
∑
k=1

1
, ρ(Hn ) =
k
k

 k=1
0

{

và
1
, ν(Hn ) =
µ(Hn ) =
n+1

Footer Page 7 of 126.

7

1
n
0

nếu n ≥ 2
nếu n = 0, 1
nếu n ≥ 1
nếu n = 0.


Header Page 8 of 126.
Định nghĩa 1.1.5. Cho hàm số f : T → R. Hàm số f được gọi là
i) chính quy (regulated) nếu f có giới hạn trái tại các điểm trù mật trái và có giới hạn
phải tại các điểm trù mật phải.
ii) rd-liên tục (rd-continuous) nếu f liên tục tại các điểm trù mật phải và có giới hạn
trái tại các điểm trù mật trái. Tập các hàm rd-liên tục kí hiệu là Crd hoặc Crd (T, R).
iii) ld-liên tục (ld-continuous) nếu f liên tục tại các điểm trù mật trái và có giới hạn phải
tại các điểm trù mật phải. Tập các hàm ld-liên tục kí hiệu là Cld hoặc Cld (T, R).
Giả sử f : T → R là một hàm số xác định trên T. Khi đó, chúng ta viết f ρ : T → R là

hàm số xác định bởi f ρ = f ◦ ρ, nghĩa là f ρ (t) = f (ρ(t)) với mọi t ∈ k T. Kí hiệu lim f (s)
σ(s)↑t

bởi f (t− ) hoặc ft− nếu tồn tại giới hạn trái. Ta thấy rằng nếu t là điểm cô lập trái thì
ft− = f ρ (t).
Định lý 1.1.1. Giả sử f : T → R là một hàm xác định trên T. Khi đó,
i) Nếu f là hàm số liên tục thì f là hàm số rd-liên tục và ld-liên tục.
ii) Nếu f là hàm số rd-liên tục thì f là hàm số chính quy.
iii) Toán tử bước nhảy tiến σ là hàm số rd-liên tục.
iv) Toán tử bước nhảy lùi là hàm số ld-liên tục.
v) Nếu f là hàm số ld-liên tục thì f ρ cũng là hàm số ld-liên tục.
Định nghĩa 1.1.6. Giả sử f là một hàm số xác định trên T, nhận giá trị trên R. Hàm
số f được gọi là có ∇-đạo hàm (có đạo hàm Hilger hoặc đơn giản có đạo hàm) tại t ∈ k T
nếu tồn tại f ∇ (t) ∈ R sao cho với mọi ε > 0 tồn tại một lân cận U của t để
f (ρ(t)) − f (s) − f ∇ (t)(ρ(t) − s) ≤ ε |ρ(t) − s| với mọi s ∈ U.
f ∇ (t) ∈ R được gọi là ∇-đạo hàm của hàm số f tại t.
Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại mọi điểm t ∈ k T thì f được gọi là có ∇-đạo hàm trên

T.
Ví dụ 1.1.2.

• Nếu T = R thì f ∇ (t) ≡ f ′ (t) chính là đạo hàm thông thường.

• Nếu T = Z thì f ∇ (t) = f (t) − f (t − 1) chính là sai phân lùi cấp một.

Footer Page 8 of 126.

8

Header Page 9 of 126.
Định lý 1.1.2. Giả sử f : T → R là một hàm số xác định trên T và t ∈ k T. Khi đó,
i) Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại t thì f là hàm số liên tục tại t.
ii) Nếu hàm số f liên tục tại điểm cô lập trái t thì f có ∇-đạo hàm tại t và
f ∇ (t) =

f (t) − f (ρ(t))
.
ν(t)

iii) Nếu t là điểm trù mật trái thì f là hàm số có ∇-đạo hàm tại t nếu và chỉ nếu giới hạn
f (t) − f (s)
,
s→t
t−s
lim

tồn tại và hữu hạn. Trong trường hợp đó,
f (t) − f (s)
.
s→t
t−s

f ∇ (t) = lim
iv) Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại t thì

f ρ (t) = f (t) − ν(t).f ∇ (t).
Định lý 1.1.3. Giả sử f, g : T → R là một hàm số xác định trên T và có ∇-đạo hàm tại
t ∈ k T. Khi đó,
i) Hàm tổng f + g : T → R có ∇-đạo hàm tại t và

(f + g)∇ (t) = f ∇ (t) + g ∇ (t).
ii) Hàm tích f g : T → R ∇-đạo hàm tại t và ta có quy tắc đạo hàm của tích
(f g)∇ (t) = f ∇ (t)g(t) + f ρ (t)g ∇ (t) = f (t)g ∇ (t) + f ∇ (t)g ρ (t).
iii) Nếu g(t)g ρ (t) ̸= 0 thì hàm số
là

f
có ∇-đạo hàm tại t và quy tắc đạo hàm của thương
g

( )∇
f
g

(t) =

f ∇ (t)g(t) − f (t)g ∇ (t)
.
g(t)g ρ (t)

Sau đây là quy tắc tính đạo hàm của lũy thừa bậc n.
Định lý 1.1.4. Giả sử α là một hằng số và n ∈ N. Khi đó,
i) Nếu f là hàm số xác định bởi f (t) = (t − α)n thì
∇

f (t) =

n−1
∑

(ρ(t) − α)i (t − α)n−i−1 .

i=0

Footer Page 9 of 126.

9


Header Page 10 of 126.

ii) Nếu g là hàm số xác định bởi g(t) =
∇

g (t) = −

1
thì
(t − α)n

n−1
∑

1

i=0

(ρ(t) − α)n−i (t − α)i+1

,

với điều kiện (t − α)(ρ(t) − α) ̸= 0.
Định nghĩa 1.1.7. Hàm số p xác định trên thang thời gian T được gọi là hồi quy (regressive) nếu
1 + µ(t)p(t) ̸= 0, với mọi t ∈ Tk .
Kí hiệu

{

}

{

}

R = p : T → R : p là rd-liên tục và 1 + µ(t)p(t) ̸= 0 .
R+ = p : T → R : p là rd-liên tục và 1 + µ(t)p(t) > 0 .
Tiếp theo, tôi giới thiệu sơ bộ về độ đo Lebesgue-Stieltjes trên thang thời gian.
Giả sử A là hàm tăng, liên tục phải, xác định trên T. Kí hiệu M1 = {(a; b] : a, b ∈ T} là
họ tất cả các khoảng mở bên trái và đóng bên phải của T. Khi đó, M1 là nửa vành các
tập con của T. Lấy m1 là hàm tập xác định trên M1 và được xác định bởi
m1 ((a, b]) = Ab − Aa .

(1.1.2)

Chúng ta thấy rằng m1 là hàm cộng tính đếm được trên M1 . Kí hiệu µA
∇ là mở rộng
Carathéodory của hàm tập m1 liên kết với họ M1 và nó được gọi là ∇A -độ đo Lebesgue
- Stieltjes liên kết với A trên thang thời gian T. Chúng ta chứng minh được kết quả sau:
Với t ∈k T, tập một điểm {t} là ∇A -đo được và
µA

∇ ({t}) = At − At− .
Với a, b ∈ T và a ≤ b,
A
A
µA
∇ ((a, b)) = Ab− − Aa ; µ∇ ([a, b)) = Ab− − Aa− ; µ∇ ([a, b]) = Ab − Aa− .

Chứng minh chi tiết cho các kết quả này có thể xem trong [5].
A
Lấy E ⊂ k T là một tập µA
∇ -đo được và f : T → R là một hàm số µ∇ -đo được. Kí

hiệu

∫

f ∇Aτ
E τ

là tích phân của hàm số f liên kết với độ đo µA
∇ trên E và được gọi là

∇A -tích phân Lebesgue - Stieltjes. Nếu A(t) = t với mọi t ∈ T ta có µA
∇ là ∇-độ đo
Lebesgue trên T và

Footer Page 10 of 126.

∫

f ∇Aτ
E τ

là ∇-tích phân Lebesgue. Trong luận văn, tôi sử dụng kí
10


Header Page 11 of 126.

hiệu

∫b

f (τ )∇τ thay cho

∫
(a,b]

a

f (τ )∇τ . Sau đây là một số tính chất quen thuộc của ∇-tích

phân.
Định lý 1.1.5. Giả sử a, b, c ∈ T, α ∈ R và f : T → R, g : T → R là các hàm số
ld-liên tục. Khi đó:
i)

∫b

(f (τ ) + g(τ ))∇τ =

a

ii)

∫b
∫b

αf (τ )∇τ = α

iv)

f (τ )∇τ = −

∫b

g(τ )∇τ ;

a

f (τ )∇τ ;

∫a

f (τ )∇τ ;

b

f (τ )∇τ +

a

v)

∫b

∫b

a

a

∫c

f (τ )∇τ +

a

a

iii)

∫b

∫b

f (τ )∇τ =

c

∫b

f (τ )∇τ ;

a

f (ρ(τ ))g ∇ (τ )∇τ = f (b)g(b) − f (a)g(a) −

∫b

a

vi)

∫b

f ∇ (τ )g(τ )∇τ ;

a

f (τ )g ∇ (τ )∇τ = f (b)g(b) − f (a)g(a) −

∫b

a

f ∇ (τ )g(ρ(τ ))∇τ .

a

Ví dụ 1.1.3. Giả sử a, b ∈ T, f : T → R là hàm số xác định trên T và ld-liên tục.
i) Nếu T = R thì

∫b

∫b

f (τ )dτ .

f (τ )∇τ =
a

a

ii) Nếu T là thang thời gian sao cho một điểm t ∈ T là điểm cô lập thì

∫b
f (τ )∇τ =
a

 ∑
f (t)ν(t)



t∈(a,b]

nếu a < b

0

∑


f (t)ν(t)

−

nếu a = b
nếu a > b

t∈(b,a]

iii) Nếu T = hZ thì

 b

h
∑


f (kh)h



k= ha +1

∫b
f (τ )∇τ =
a

0

a


h

∑



− b f (kh)h

k= h +1

Footer Page 11 of 126.

11

nếu a < b
nếu a = b
nếu a > b


Header Page 12 of 126.
iv) Nếu T = Z thì

 b
h


∑


f (k)


k=a+1

∫b
f (τ )∇τ =
a

nếu a < b

0

nếu a = b


a

h

∑


f (k)
−

nếu a > b

k=b+1

Các bước xây dựng ∆-tích phân Lebesgue tương tự như xây dựng ∇-tích phân Lebesgue
(xem [2]). Trong trường hợp tổng quát ta không có mối liên hệ nào giữa ∆-tích phân và
∇-tích phân. Trường hợp đặc biệt hàm số dưới dấu tích phân là chính quy ta có bổ đề
sau:
Bổ đề 1.1.1. Giả sử f : T → R là hàm số chính quy trên T, lấy b ∈ Tk , a ∈ k T, a < b.
Khi đó đẳng thức sau đúng

∫b

∫b
f (τ− )∇τ =

a

f (τ )∆τ

(1.1.3)

a

Chứng minh. Áp dụng Định lý 6.5 trong [4], ta có

∫b

∫
f (τ )∆τ =

∫

a

∑

f (τ )∆τ +
[a,b)

=

f (s)µ(s)

a≤s
f (τ− )∆τ +
(a,b]

∑

f (s− )ν(s)

a
∫b
f (τ− )∇τ .

=
a

Ta có điều phải chứng minh.
Từ định lý 2.33 trong [1] và Bổ đề 1.1.1 suy ra, nếu p ∈ R thì ep (t, t0 ) là nghiệm của
phương trình

∫t
x(t) = 1 +

p(τ )y(τ )∆τ ,
a

cũng là nghiệm của bài toán Cauchy:

{

Footer Page 12 of 126.

y ∇ (t) = p(t− )y(t− )
y(a) = 1

12

∀t ∈ Ta

(1.1.4)


Header Page 13 of 126.
Với hàm số hk : T × T → R; k ∈ N0 được xác định bởi

∫t

hk (τ, s)∆τ với k ∈ N0 .

h0 (t, s) = 1 và hk+1 (t, s) =
s

Khi đó, hk (t, s) là hàm số liên tục theo t. Do đó ta có

∫t
hk+1 (t, s) =

hk (τ− , s)∇τ .
s

Hơn nữa, ta có ước lượng sau
0 ≤ hk (t, s) ≤

(t − s)k
,
k!

(1.1.5)

với bất kì k ∈ N và t > s.
Bổ đề 1.1.2. Giả sử u(t) là một hàm số chính quy, ua , p ∈ R+ . Khi đó,

∫t
u(t) ≤ ua + p

u(τ− )∇τ

∀t ∈ Ta ,

a

kéo theo
∀t ∈ Ta .

u(t) ≤ ua ep (t, a)
Chứng minh. Bằng cách thế liên tiếp, ta có

∫t
u(τ1 −)∇τ1

u(t) ≤ ua + p
a

∫t
≤ ua + p


ua + p

a



∫τ1 −

u(τ2 −)∇τ2 ∇τ1

a

∫t
= ua + ua ph1 (t, a) + p2

τ −

∫1
 u(τ2 −)∇τ2 ∇τ1 .

a

a

Vì u(t) là một hàm số có tính chính quy nên tồn tại một hằng số dương K ∗ sao cho
|u(t)| ≤ K ∗ ∀t ∈ [a, T ]. Tiếp tục quá trình này ta có

∫ t ∫τ1 −∫τ2 −
u(t) ≤ ua + ua ph1 (t, a) + ua ph2 (t, a) + . . . + p

n

≤

ua pk hk (t, a) + K ∗ hn+1 (t, a) ≤

k=0

Footer Page 13 of 126.

∞
∑

u(τn+1 −)∇τn . . . ∇τ2 ∇τ1

...
a

n
∑

∫τn −

a

a

a

ua pk hk (t, a) + lim K ∗ hn+1 (t, a).
n→∞

k=0

13


Header Page 14 of 126.
Từ (1.1.5) suy ra lim hn+1 (t, a) = 0, áp dụng công thức khai triển Taylor, ta có
n→∞

u(t) ≤ ua

∞
∑

pk hk (t, a) = ua ep (t, a) với mọi t ∈ Ta .

k=0

Do đó ta có điều phải chứng minh.

Footer Page 14 of 126.

14


Header Page 15 of 126.

1.2. Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian
Thông thường, chúng ta định nghĩa quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số là tập con nào
đó của tập số thực R. Thang thời gian là một tập con đóng của tập số thực R. Chính
vì vậy, việc định nghĩa quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian cũng được định nghĩa
theo cách thông thường.
Trong mục này, tôi trình bày một số kết quả về quá trình ngẫu nhiên trên thang thời
gian. Các kết quả được trình bày trong mục này được dựa trên các tài liệu tham khảo [5,
6, 7, 8].
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (Ω, F) là không gian đo. Cho (Ft )t∈Ta là họ σ-trường con của
F. Khi đó, (Ft )t∈Ta được gọi là không giảm, nếu
Fs ⊂ Ft , ∀s, t ∈ Ta và s ≤ t.

Với mỗi t ∈ Ta đặt
Ft+ =

∩

Fs , Ft− = σ(

s>t

∪

Fs ), Fa− = Fa , F∞ = σ(

s
∪

Fs )

a
trong đó σ(C) là σ-trường bé nhất của F chứa lớp các tập con C ⊂ F .
Nếu (Ft )t∈Ta không giảm thì
Ft− ⊂ Ft ⊂ Ft+ .
Ta nói rằng họ σ-trường con (Ft )t∈Ta liên tục phải nếu Ft = Ft+ với mọi t ∈ T.
Xét không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) với bộ lọc (Ft )t∈Ta thỏa mãn các điều kiện
thông thường (Fa chứa các tập có độ đo 0, Ft liên tục phải Ft =

∩

Fs ), B(R) là σ-trường

s>t

các tập con Borel của tập số thực R.

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử T là một thang thời gian. Khi đó, ánh xạ
X :T × Ω → R
(t, ω) → Xt (ω),
được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếu thỏa mãn:
1) Với mỗi t ∈ T thì Xt : Ω → R là ánh xạ F-đo được.
2) Với mỗi ω ∈ Ω thì X. (ω) : T → R là hàm số xác định trên T.

Footer Page 15 of 126.

15


Header Page 16 of 126.
X. (ω) được gọi là quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X với mỗi ω.
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử X = (Xt )t∈T là một quá trình ngẫu nhiên trên T. Khi đó,
X = (Xt )t∈T được gọi là:
1) Liên tục ( rd-liên tục, ld-liên tục) nếu với mọi ω ∈ Ω thì X. (ω) là hàm số liên tục
(rd-liên tục, ld-liên tục) .
2) (Ft )-phù hợp nếu với mỗi t thì Xt là Ft -đo được.
3) Đo được nếu B(T) × F -đo được.
4) Cadlag nếu quỹ đạo của X liên tục phải và có giới hạn trái tại mọi điểm.
5) Đo được dần nếu với mọi T ∈ Ta , (Xt )t∈[a,T ] là quá trình B([a, T ]) × FT -đo được.
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, X : Ω → R là biến ngẫu
nhiên và G là σ-trường con của F. Khi đó, kì vọng có điều kiện của X đối với σ-trường

G là biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn:
i) Y là biến ngẫu nhiên G-đo được.
ii) Với mỗi A ∈ G, ta có

∫

∫
Y dP =
A

XdP.
A

Ta kí hiệu Y = E(X|G).
Định nghĩa 1.2.5. Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt )t∈Ta được gọi là (Ft ) − martingale
nếu
i) X = (Xt )t∈Ta là quá trình (Ft )-phù hợp;
ii) E|Xt | < ∞ với mọi t ∈ Ta ;
iii) Với mọi s, t ∈ Ta , s ≤ t,

E(Xt |Fs ) = Xs h.c.c.
Martingale (Xt )t∈Ta được gọi là martingale bình phương khả tích nếu E|Xt |2 < ∞ ∀t ∈

Ta . Kí hiệu tập tất cả các martingale bình phương khả tích là M2 .

Footer Page 16 of 126.

16

Header Page 17 of 126.
Định nghĩa 1.2.6. Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt )t∈Ta được gọi là (Ft )−supermartingale
nếu các điều kiện i) và ii) được thỏa mãn và
iii’) Với mọi s, t ∈ Ta , s ≤ t,

E(Xt |Fs ) ≤ Xs h.c.c.
Định nghĩa 1.2.7. Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt )t∈Ta được gọi là (Ft )−submartingale
nếu các điều kiện i) và ii) được thỏa mãn và
iii”) Với mọi s, t ∈ Ta , s ≤ t,

E(Xt |Fs ) ≥ Xs h.c.c.
Định lý 1.2.1. (Bất đẳng thức Doob). Giả sử (Mt )t∈Ta là (Ft )-submartingale, không
âm, liên tục phải với E|Mt |p < ∞, 1 < p < +∞ và T ∈ Ta . Khi đó,

)

(

E

sup
a≤t≤T

Mtp

(

≤

p

p−1

)p

EMTp .

Kí hiệu L là tập tất cả các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực (ϕt )t∈Ta xác định
trên Ta × Ω với quỹ đạo liên tục trái trên Ta và (Fρ(t) )-phù hợp.
Lấy P là σ-trường các tập con của Ta × Ω sinh bởi các quá trình ngẫu nhiên trên L.
Dễ dàng thấy rằng P được sinh bởi họ các tập {(s, t] × F : s, t ∈ Ta , s < t, F ∈ Fs } .
Định nghĩa 1.2.8. Mỗi phần tử của σ-trường P được gọi là một tập khả đoán. Một quá
trình ngẫu nhiên ϕ được gọi là khả đoán nếu nó đo được đối với σ-trường P.
Trong trường hợp tổng quát, một quá trình liên tục trái chưa chắc đã là quá trình khả
đoán.
Chú ý 1.2.1.

i) Nếu T = N thì quá trình ϕt là khả đoán nếu ϕt là quá trình Ft−1 -đo

được.
ii) Nếu T = R thì quá trình ϕt là khả đoán nếu ϕt là quá trình đo được đối với σ-trường
sinh bởi họ các quá trình ngẫu nhiên liên tục trái.
Mệnh đề 1.2.1. Giả sử Φ là không gian tuyến tính gồm các quá trình ngẫu nhiên
ϕ : Ta × Ω → R đo được, bị chặn thỏa mãn:
i) Φ chứa tất cả các quá trình ϕ bị chặn và ϕ ∈ L;

Footer Page 17 of 126.

17

Header Page 18 of 126.
ii) Mọi dãy đơn điệu {ϕn } ⊂ Φ sao cho lim ϕn = ϕ là quá trình bị chặn thuộc Φ.
n→∞

Khi đó, Φ chứa tất cả các quá trình khả đoán.
Định nghĩa 1.2.9. Giả sử Ω, F, P là không gian xác suất với lọc là (Ft )t∈Ta . Khi đó, ánh
xạ τ : Ω → Ta được gọi là thời điểm dừng (stopping time) đối với họ σ-trường (Ft )t∈Ta
nếu biến cố (τ ≤ t) ∈ Ft , với mọi t ∈ Ta .
Định nghĩa 1.2.10. Giả sử (Xt )t∈Ta , Xa = 0 là một quá trình (Ft )-phù hợp. Khi đó,
(Xt )t∈Ta được gọi là martingale địa phương bình phương khả tích nếu tồn tại một dãy thời
điểm dừng {τn } , τn ↗ ∞ sao cho (Xt∧τn )t∈Ta là (Ft )-martingale bình phương khả tích.
Định nghĩa 1.2.11. Giả sử (Xt )t∈Ta , Xa = 0 là một quá trình (Ft )-phù hợp. Khi đó
(Xt )t∈Ta được gọi là semimartingale nếu với mọi t ∈ Ta ta có
Xt = Mt + At ,
trong đó (At )t∈Ta là quá trình liên tục phải, (Ft )-phù hợp, với quỹ đạo có biến phân giới
nội và (Mt )t∈Ta là martingale địa phương bình phương khả tích.
Định nghĩa 1.2.12. Giả sử H ⊂ L1 . Họ H được gọi là khả tích đều nếu

∫

|X|dP → 0 khi c → ∞.

sup
X∈H

(1.2.6)

[|X|>c]

Định lý 1.2.2. (Dunford - Pettis). Giả sử (Yn )n∈N là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích

đều. Khi đó tồn tại một dãy con (Ynk )k∈N của (Yn )n∈N hội tụ yếu về biến ngẫu nhiên Y ,
nghĩa là với mọi biến ngẫu nhiên bị chặn ξ ta có
lim E(ξYnk ) = E(ξY ).

k→∞

Bổ đề 1.2.1. Giả sử (Yn )n∈N là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích xác định trên không
gian xác suất (Ω, F, P) hội tụ yếu đến biến ngẫu nhiên khả tích Y, khi đó với mỗi σ-trường
G ⊂ F , dãy các biến ngẫu nhiên (E [Yn |G])n∈N hội tụ yếu đến biến ngẫu nhiên E [Y |G] .
Chứng minh. Với bất kì biến ngẫu nhiên ξ bị chặn, xác định trên không gian xác suất
(Ω, F, P) ta có

E [ξ E(Yn |G)] = E[E{ξ E(Yn |G)|G}] = E[E(ξ|G)E(Yn |G)]
= E[E{Yn E(ξ|G)|G}] = E[Yn E(ξ|G)].

Footer Page 18 of 126.

18


Header Page 19 of 126.
Mặt khác,
lim E[Yn E(ξ|G)] = E[Y E(ξ|G)}] = E[ξ E(Y |G)].

n→∞

Điều đó kéo theo
lim E[ξ E(Yn |G)] = E[ξ E(Y |G)].

n→∞

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.2.13. Quá trình ngẫu nhiên X được gọi là thuộc lớp (DL) nếu với mỗi
T ∈ Ta thì

{

Footer Page 19 of 126.

Xτ : τ là thời điểm dừng thỏa mãn a ≤ τ ≤ T

19

}

khả tích đều.


Header Page 20 of 126.

Chương 2

Tích phân ngẫu nhiên trên thang
thời gian
Trong chương này, Mục 2.1, tôi trình bày cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên theo
martingale bình phương khả tích. Mục 2.2 và 2.3, tôi trình bày công thức Itô đối với bộ
d−semimartingale trên thang thời gian và phát biểu bài toán martingale.

2.1. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử M ∈ M2 là một martingale bình phương khả tích. Vì M 2

là submartingale, nên theo khai triển Doob - Meyer trong [18], tồn tại duy nhất một quá
trình tăng tự nhiên ⟨M ⟩ = (⟨M ⟩t )t∈Ta sao cho Mt2 − ⟨M ⟩t là một martingale. Quá trình
tăng tự nhiên ⟨M ⟩t được gọi là đặc trưng của martingale M .
Kí hiệu L2 (M ) là không gian tất cả các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực, khả
đoán ϕ = {ϕt }t∈Ta thỏa mãn

∫T
∥ϕ∥2T,M

=E

ϕ2τ ∇⟨M ⟩τ < ∞,

∀T > a.

a

Với mỗi b > a cố định, gọi L2 ((a, b] ; M ) là hạn chế của không gian L2 (M ) trên (a, b].
Trên không gian L2 ((a, b] ; M ) xét chuẩn xác định bởi

∫b
∥ϕ∥2b,M = E

ϕ2τ ∇⟨M ⟩τ < ∞.
a

Hai quá trình ϕ, ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M ) được gọi là trùng nhau nếu ϕ − ϕ

b,M

= 0.

Một quá trình ϕ xác định trên [a, b] được gọi là quá trình đơn giản, nếu tồn tại một
phân hoạch π : a = t0 < t1 < . . . < tn = b của [a, b] và dãy các biến ngẫu nhiên bị chặn

Footer Page 20 of 126.

20


Header Page 21 of 126.
(fi ) sao cho fi là Fti−1 -đo được với mọi i = 1, n và
ϕ(t) =

n
∑

t ∈ (a, b] .

fi 1(ti−1 ,ti ] (t);

(2.1.1)

i=1

Chúng ta kí hiệu tập hợp tất cả các quá trình đơn giản là L0 .
Bổ đề 2.1.1. L0 trù mật trong L2 ((a, b] ; M ) với metric xác định bởi

∫b
d(ϕ, φ)2 = ∥ϕ − φ∥2b,M = E

|ϕτ − φτ |2 ∇⟨M ⟩τ .
a

Chứng minh. Rõ ràng, L0 ⊂ L2 ((a, b] ; M ). Lấy ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M ). Đặt
ϕK (t, ω) := ϕ(t, ω)1[−K,K] (ϕ(t, ω)).
Khi đó, ϕK ∈ L2 ((a, b] ; M ) và

ϕ − ϕK

b,M

→ 0 khi K → +∞. Do đó, chúng ta

cần chỉ ra với mỗi quá trình ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M ) bị chặn thì có thể xác định được dãy
ϕ(n) ∈ L0 , n = 1, 2, . . . sao cho ϕ − ϕ(n)

→ 0 khi n → ∞. Lấy

b,M

Υ = {ϕ ∈ L2 ( (a, b] ; M) :ϕ bị chặn và tồn tại ϕ(n) ∈ L0
sao cho ϕ − ϕ(n)

b,M

→ 0 khi n → ∞}.

Υ là không gian tuyến tính và nếu ϕ(n) ∈ Υ, ϕ(n) < K với hằng số K > 0 nào đó và
ϕ(n) ↑ ϕ thì ϕ ∈ Υ. Với mỗi ϕ ∈ L2 , đặt

ϕ(n) (t) := ϕ(σ(ti )), nếu t ∈ (ti , ti+1 ] với i = 0,kn − 1,
trong đó {ti } là một phân hoạch của [a, b] sao cho max(ρ(ti+1 ) − ti ) ≤ 2−n . Điều này dẫn
i

tới ϕ ∈

L0

và

ϕ(n)

−ϕ

b,M

→ 0 khi n → ∞. Từ Mệnh đề 1.2.1, suy ra Υ chứa tất cả

các quá trình khả đoán bị chặn. Do đó, Υ = L2 ((a, b] ; M ).
Định nghĩa 2.1.2. Giả sử ϕ là một quá trình thuộc L0 , có dạng (2.1.1). Khi đó,

∫b
ϕτ ∇Mτ :=
a

kn
∑

fi .(Mti − Mti−1 ),

(2.1.2)

i=1

được gọi là ∇-tích phân ngẫu nhiên của ϕ ∈ L0 theo martingale bình phương khả tích M
trên (a, b].
Chúng ta chứng minh được rằng ∇-tích phân ngẫu nhiên
Fb -đo được và mệnh đề sau đây được thỏa mãn.

Footer Page 21 of 126.

21

∫b
a

ϕτ ∇Mτ là biến ngẫu nhiên


Header Page 22 of 126.
Mệnh đề 2.1.1. Giả sử ϕ là một quá trình ngẫu nhiên thuộc L0 và α, β là các số thực.
Khi đó,
i) E

∫b

ϕτ ∇Mτ = 0,

a

ii) E

[
∫b

]2
ϕτ ∇Mτ

=E

a

iii)

∫b

[
∫b

]
ϕ2τ ∇⟨M ⟩τ ,

a

[αϕτ + βξτ ] ∇Mτ = α

a

∫b

ϕτ ∇Mτ + β

a

∫b

ξτ ∇Mτ h.c.c.

a

Với mỗi ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M ), từ Bổ đề 2.1.1 suy ra tồn tại dãy {ϕ(n) } ⊂ L0 sao cho
ϕ(n) − ϕ

b,M

→ 0 khi n → ∞. Mặt khác,

 b
2
∫
∫b
(m)
E ϕ(n)
ϕτ ∇Mτ  = ϕ(m) − ϕ(n)
τ ∇Mτ −
a

điều này đảm bảo {

∫b

2

,
b,M

a

ϕ(n) (τ )∇Mτ } là dãy Cauchy. Do đó, {

a

∫b

ϕ(n) (τ )∇Mτ } hội tụ đến

a

biến ngẫu nhiên ξ trong L2 (Ω, F, P). Tức là

∫b
ξ = L2 − lim

ϕ(n) (τ )∇Mτ .

n→∞
a

{

}

Giới hạn ξ không phụ thuộc vào việc chọn dãy ϕ(n) .
Định nghĩa 2.1.3. Giả sử ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M ), ∇-tích phân ngẫu nhiên của quá trình ϕ
theo martingale bình phương khả tích M ∈ M2 trên (a, b], kí hiệu là

∫b

ϕτ ∇Mτ và được

a

xác định bởi

∫b

∫b
(n)

ϕτ ∇Mτ = L2 − lim

ϕτ ∇Mτ ,

n→∞

{

trong đó ϕ

}

(n)

a

(2.1.3)

a

là dãy các quá trình thuộc L0 sao cho

∫b
(n)

lim E

ϕτ − ϕτ

n→∞

2

∇⟨M ⟩τ = 0.

a

Ví dụ 2.1.1.

i) Nếu T = N và ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M ) thì (ϕn ) là dãy các biến ngẫu nhiên

(Fn−1 )-phù hợp và

∫b
ϕτ ∇Mτ =
a

Footer Page 22 of 126.

b
∑
i=a+1

22

ϕi (Mi − Mi−1 ).


Header Page 23 of 126.
ii) Nếu T = R thì L2 ((a, b] ; M ) chứa tất cả các quá trình khả đoán (quá trình đo được
đối với σ-trường sinh bởi các quá trình liên tục trái). Hơn nữa,

∫b

∫b
ϕτ ∇Mτ =

a

trong đó

∫b

ϕτ dMτ ,
a

ϕτ dMτ là tích phân ngẫu nhiên Ito được xác định theo nghĩa thông thường

a

như trong [6].
Sau đây là một số tính chất cơ bản của ∇-tích phân ngẫu nhiên.
Mệnh đề 2.1.2. Giả sử ϕ, ξ ∈ L2 ((a, b] ; M ) và α, β là hai số thực. Khi đó các khẳng
định sau được thỏa mãn.
i)

∫b

ϕτ ∇Mτ là Fb -đo được;

a

ii) E

∫b

ϕτ ∇Mτ = 0

a

iii) E

[
∫b

]2
ϕτ ∇Mτ

a

iv)

∫b

=E

∫b

ϕ2τ ∇⟨M ⟩τ ;

a

[αϕτ + βξτ ] ∇Mτ = α

a

∫b

ϕτ ∇Mτ + β

a

∫b

ξτ ∇Mτ h.c.c.

a

v) Nếu ξ là biến ngẫu nhiên bị chặn và Fa -đo được, thì ϕξ ∈ L2 ((a, b] ; M ) và

∫b

∫b
ξϕτ ∇Mτ = ξ

a

ϕτ ∇Mτ .h.c.c.

(2.1.4)

a

Chứng minh. Các tính chất trên luôn đúng với ϕ ∈ L0 . Bằng cách lấy giới hạn qua dấu
tích phân ta có các tính chất trên đúng với ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M ).
Định lý 2.1.1. Giả sử M ∈ M2 và ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M ). Khi đó,


 b

∫
E   ϕτ ∇Mτ  Fa  = 0



E 

(2.1.5)

a

∫b
a

Footer Page 23 of 126.

h.c.c.




 b

∫

ϕτ ∇Mτ  Fa  = E   ϕ2τ ∇⟨M ⟩τ  Fa 
2

a

23

h.c.c.

(2.1.6)


Header Page 24 of 126.
Chứng minh. Đẳng thức (2.1.5) suy ra trực tiếp từ định nghĩa ∇-tích phân ngẫu nhiên
và tính chất của kì vọng có điều kiện. Hơn nữa, với mọi A ∈ Fa ta có




E 1A


2 
2 
b
∫






1A ϕτ ∇Mτ
ϕτ ∇Mτ
 = E






 b
∫


a

a

∫b
=E



1A ϕ2τ ∇⟨M ⟩τ = E 1A

a

Như vậy,



E 1A

nghĩa là

 b
∫





E 



a



2
ϕτ ∇⟨M ⟩τ  .



2 
  b


∫

2


ϕ
∇⟨M
⟩
ϕτ ∇Mτ

=
E
1

A
τ
τ




∀A ∈ Fa ,

a

a

∫b

 b
∫




 b

∫

ϕτ ∇Mτ  Fa  = E   ϕ2τ ∇⟨M ⟩τ  Fa 

2

h.c.c.

a

a

Ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2.1.4. Giả sử ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M ). Với mỗi t ∈ [a, b], đặt

∫b
I(a) = 0;

1(a,t] ϕτ ∇Mτ

I(t) =

∀a < t ≤ b.

a

Khi đó, I(t) được gọi ∇-tích phân ngẫu nhiên của quá trình ϕ theo martingale bình phương
khả tích M , kí hiệu là

∫t

ϕτ ∇Mτ .

a

Định lý 2.1.2. Giả sử ϕ là một một phần tử bất kì thuộc L2 ((a, b] ; M ). Khi đó, ∇-tích
phân ngẫu nhiên {I(t)}t∈[a,b] là một (Ft )-martingale bình phương khả tích. Hơn nữa, ta
có ước lượng sau



E  sup

2

∫b
ϕτ ∇Mτ

a≤t≤b



 ≤ 4E

∫b
|ϕτ |2 ∇⟨M ⟩τ .

(2.1.7)

a

a

Chứng minh. Rõ ràng {I(t)}t∈[a,b] là một quá trình (Ft )-phù hợp, bình phương khả tích.

Tính chất martingale của I(t) được suy ra từ


 t

∫
E (I(t)|Fs ) = E (I(s)|Fs ) + E   ϕτ ∇Mτ  Fs  = I(s).
s

Footer Page 24 of 126.

24


Header Page 25 of 126.
Bất đẳng thức (2.1.7) được suy ra từ Định lý 1.2.1 và Mệnh đề 2.1.2(iii).

Footer Page 25 of 126.

25