TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC VÀ VÉC TƠ PHÂN CỰC CỦA CÁC NƠTRON TÁN XẠ TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ PHÂN CỰC TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ TOÀN PHẦN

Header Page 1 of 126.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ THU HOÀN

TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC VÀ VÉC TƠ
PHÂN CỰC CỦA CÁC NƠTRON TÁN XẠ TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ
PHÂN CỰC TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ TOÀN PHẦN

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Hà Nội – 2014

Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ THU HOÀN

TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC VÀ VÉC TƠ
PHÂN CỰC CỦA CÁC NƠTRON TÁN XẠ TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ
PHÂN CỰC TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ TOÀN PHẦN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Hà Nội – 2014
1

Footer Page 2 of 126.


Header Page 3 of 126.

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo,
PGS.TS Nguyễn Đình Dũng. Cảm ơn thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức
chuyên ngành hết sức cần thiết, đã chỉ bảo em nhiệt tình trong suốt quá trình học tập
môn học và quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến ban chủ nhiệm khoa Vật lý, các
thầy cô trong khoa Vật lý, các thầy cô trong tổ Vật lý trường Đại học Khoa học Tự
nhiên đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt thời gian làm khóa luận cũng
như trong suốt quá trình học tập, rèn luyện tại trường.
Em xin được gửi lời cảm ơn đến các anh chị nghiên cứu sinh, các bạn học
viên cao học khóa 2012 – 2014 đang học tập và nghiên cứu tại Bộ môn Vật lý lý
thuyết và vật lý toán – Khoa Vật lý – Trường ĐH KHTN – ĐHQGHN đã nhiệt tình
hướng dẫn và giúp đỡ em trong quá trình học tập.
Cuối cùng em xin được bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động
viên, quan tâm, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 8 tháng 9 năm 2014
Học viên

Nguyễn Thị Thu Hoàn

Footer Page 3 of 126.


Header Page 4 of 126.

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG
TINH THỂ ............................................................................................................ 3
1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể. ............................... 3
1.2. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể ............................................. 8
CHƯƠNG 2 TIẾN ĐỘNG HẠT NHÂN CỦA SPIN CỦA CÁC NƠTRON
TRONG MÔI TRƯỜNG PHÂN CỰC ............................................................... 12
2.1. Tính góc tiến động bằng phương pháp toán tử. .......................................... 12
2.2. Tính góc tiến động bằng phương pháp hàm sóng ....................................... 14
2.3. Sử dụng bảo toàn năng lượng để tính góc tiến động ................................... 18
CHƯƠNG 3 TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRÊN
BỀ MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC TRONG ĐIỀU
KIỆN CÓ PHẢN XẠ ........................................................................................... 20
3.1. Tiết diện tán xạ hiệu dụng của tán xạ không đàn hồi của các nơtron trên
tinh thể có các hạt nhân phân cực. ..................................................................... 20
3.2. Tiết diện tán xạ bề mặt hiệu dụng của các nơtron trong trường hợp có
phản xạ toàn phần. .............................................................................................. 27
CHƯƠNG 4 VÉC TƠ PHÂN CỰC CỦA CÁC NƠTRON TÁN XẠ HẠT
NHÂN TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC
TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ TOÀN PHẦN ......................................... 31
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 46

1

Footer Page 4 of 126.


Header Page 5 of 126.

MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, sự tán xạ của nơtron chậm đã được sử dụng rộng
rãi để nghiên cứu vật lý các chất đông đặc [12, 13, 18].
Các nơtron chậm là một công cụ độc đáo trong việc nghiên cứu động học của
các hạt nhân nguyên tử vật chất và các cấu trúc từ của chúng [2, 13, 15, 19, 21]
Hiện nay, để nghiên cứu cấu trúc tinh thể, đặc biệt là cấu trúc từ của tinh thể
phương pháp quang học nơtron phân cực đã được sử dụng rộng rãi. Chúng ta dùng
chùm nơtron chậm phân cực bắn vào bia (năng lượng cỡ dưới 1 MeV và không đủ
để tạo ra quá trình sinh, hủy hạt).
Nhờ nơtron có tính trung hòa điện, đồng thời momen lưỡng cực điện vô cùng
nhỏ (gần bằng 0) nên nơtron không tham gia tương tác điện dẫn đến độ xuyên sâu
của chùm nơtron vào tinh thể là rất lớn, và bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ
cho ta thông tin về cấu trúc tinh thể, cấu trúc từ của bia và hiểu rõ hơn về sự tiến
động spin của các nơtron trong bia có các hạt nhân phân cực [2, 15, 16]
Các nghiên cứu và tính toán về tán xạ phi đàn hồi của các nơtron phân cực
trong tinh thể phân cực cho phép chúng ta nhận được các thông tin quan trọng về
tiết diện tán xạ của các nơtron chậm trong tinh thể phân cực, hàm tương quan spin
của các hạt nhân…[11, 12, 13, 23]. Ngoài ra các vấn đề về nhiễu xạ bề mặt của các
nơtron trong các tinh thể phân cực đặt trong trường ngoài biến thiên tuần hoàn và sự
thay đổi phân cực của nơtron trong tinh thể cũng đã được nghiên cứu [7, 9, 10, 15].
Trong luận văn này, chúng tôi đã nghiên cứu: Tán xạ hạt nhân của các
nơtron phân cực và véc tơ phân cực của các nơtron tán xạ trên bề mặt tinh thể

phân cực trong điều kiệu có phản xạ toàn phần.

1

Footer Page 5 of 126.


Header Page 6 of 126.

Nội dung của luận văn được trình bày trong 4 chương:
Chương 1: Lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể
Chương 2: Tiến động hạt nhân của spin của các nơtron trong môi
trường phân cực.
Chương 3: Tán xạ hạt nhân của các nơtron phân cực trên bề mặt tinh
thể có các hạt nhân phân cực trong điều kiện có phản xạ toàn phần
Chương 4: Véctơ phân cực của các nơtron tán xạ hạt nhân trên bề mặt
tinh thể có các hạt nhân phân cực trong điều kiện có phản xạ toàn phần.

2

Footer Page 6 of 126.


Header Page 7 of 126.

CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM
TRONG TINH THỂ
1.1.

Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể.
Hiện tượng: Dùng một chùm nơtron chậm phân cực chậm bắn vào bia (năng

lượng dưới 1MeV và không đủ để tạo ra quá trình sinh hủy hạt), nhờ tính chất trung
hòa về điện, đồng thời moment lưỡng cực điện vô cùng nhỏ (gần bằng 0) nên
nơtron không tham gia tương tác điện, dẫn đến độ xuyên sâu của chùm nơtron vào
tinh thể là lớn và bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ cho ta thông tin về cấu trúc
tinh thể và cấu trúc từ của bia.
Một chùm hạt nơtron phân cực khi đi vào trong tinh thể sẽ chịu tác dụng của
tương tác hạt nhân, tương tác trao đổi spin và tương tác từ gây ra bởi phân cực của
chùm nơtron và sự chuyển động của các electron, cả electron tự do và electron
không kết cặp trong bia tinh thể.
Nguyên nhân gây ra tương tác từ:
Nếu tính trung bình trong 1 chùm nơtron không phân cực thì moment spin sẽ

ur
r r
m
=
m
mag
bằng 0, moment từ trung bình của chùm cũng bằng 0 (
o s , s là spin của
nơtron, m = -1.1913mo với mo là manheton của hạt nhân m o =

eh

2 m proton c

. Còn

trong trường hợp nơtron phân cực sẽ tồn tại một moment từ xác định. Sự chuyển
động của các electron tự do và các electron không kết cặp trong nguyên tử sẽ tạo ra
từ trường (từ trường của các electron kết cặp triệt tiêu nhau), từ trường này và
moment từ do sự phân cực của chùm nơtron đó sẽ là hai nguyên nhân gây ra tương
tác từ giữa tinh thể và chùm nơtron. Chính tương tác từ này sẽ cho ta thông tin về
tính chất từ của bia.
Nguyên nhân sinh ra tương tác spin:
3

Footer Page 7 of 126.


Header Page 8 of 126.

Do nơtron có spin khi đi vào mạng tinh thể sẽ xảy ra tương tác trao đổi giữa
nơtron với hạt nhân và giữa nơtron với các electron trong nguyên tử, tương tác này
tỷ lệ với tích vô hướng véc tơ spin của nơtron với hạt nhân, cũng như giữa nơtron
với electron.
Từ những phân tích định tính trên, để tính toán tiết diện tán xạ của chùm
nơtron một cách thuận tiện ta có thể chọn lý thuyết nhiễu loạn với phép xấp xỉ gần
đúng Born.
Giả sử ban đầu hạt nhân bia được mô tả bởi hàm song | nñ , là hàm riêng của
toán tử Hamilton của bia với năng lượng tương ứng là En :

H | nñ = En | nñ
Sau khi tương tác nơtron, sẽ chuyển trạng thái khác | n ñ
,

Còn nơtron có thể thay đổi xung lượng và spin của nó. Giả sử trạng thái ban

đầu của nơtron được mô tả bởi hàm song | p, lñ , | p, lñ là hàm riêng của toán tử
Hamilton và toán tử năng lượng E p : H| p, lñ = Ep | p, lñ và có véc tơ song là ⃗

,
,
Trạng thái của nơtron sau khi tương tác là | p , l ñ với năng lượng E p, và véc

tơ sóng là ⃗ ′

Theo lý thuyết nhiễu loạn, xác định xác suất để nơtron chuyển từ trạng thái | p, l ñ

sang trạng thái | p , l ñ mà không cần quan tâm tới trạng thái của bia được tính theo
'

'

công thức:

Wp, l, \ pl =

2p
rm | án, , p, , l, | V | n, p, lñ |2 d(Ep, + En, - Ep - En )
å
h n,n,

Trong đó:
4

Footer Page 8 of 126.

(1.1.1)


Header Page 9 of 126.

V: là toán tử tương tác của nơtron với hạt nhân bia (thế nhiễu loạn gây ra sự
chuyển trạng thái, thế này bao gồm thế hạt nhân, thế trao đổi spin và thế từ)

rm : thành phần chéo của ma trận mật độ hạt nhân bia

En , En, , Ep , Ep, là các năng lượng tương ứng của hạt nhân bia và nơtron trước
và sau khi tán xạ

d (Ep, + En, - Ep - En ) - Hàm delta Dirac
¥

i

- ( E , +E , -Ep -En )t
1
h p n
d (Ep, + En, - Ep - En ) =
e
dt
ò
2p h -¥

Ở đây chúng ta đưa vào kí hiệu hỗn hợp để cho yếu tố ma trận

uur

ur
| án p, | V| n pñ |=| án' | Vp, p | nñ |
,

Như vậy là các yếu tố ma trận của toán tử trong tương tác của nơtron với hạt
bia lấy theo các trạng thái của nơtron và V p, p là toán tử tương đối với các biến số
hạt bia.
`

Viết (1.1.1) dưới dạng tường minh:
+¥

Wp, l, \ pl

i

- (E , +E , -Ep -En ) t
1
= 2 ò årnn | án, | V , , | nñ* án, | V , , | nñe h p n
dt
p l \ pl
p l \ pl
h -¥ n,n,

+¥

i

i

(E , -En )t
(E , -Ep )t
1
= 2 ò årnn | án | V +, , | n, ñeh n
án, | V , , | nñeh p
dt
p l \ pl
p l \ pl
h -¥ n,n,
+¥ i

i

( E , -Ep )t
( E , -En )t
1
= 2 ò eh p
rnn | án | V +, , | n, ñán, | V , , | nñeh n
dt (1.1.2)
å
p l \ pl
p l \ pl
,
h -¥
n,n

5

Footer Page 9 of 126.

Header Page 10 of 126.

E n , En, là các giá trị riêng của toán tử Hamilton với các hàm riêng | nñ,| n, ñ , ta viết
lại trong biểu diễn Heisenberg.
i
(E , -En )t
h n

án | V , , | nñe
,

p l \ pl

Với

V,

p l , \ pl

(t) = e

i
Ht
h

=án, | V , , (t)| nñ

(1.1.3)

p l \ pl

V,

e

p l , \ pl

i
- Ht
h

Thay (1.1.3) vào (1.1.2), chú ý rằng trong trường hợp này ta không quan tâm
tới sự khác nhau của hạt bia trước và hạt bias au tương tác, vì vậy công thức lấy
tổng theo n’, n chính là vết của chúng và được viết lại:

Wp, l , \ pl

1
= 2
h

+¥

òe

i
( E , - Ep ) t
h p

år
n , n,

-¥

+

nn

| án | V ,

| n ñá n | e
,

p l, \ pl

+¥

,

i
Ht
h

V,

p l , \ pl

e

i
- Ht
h

| nñ dt

i

( E , -Ep )t
1
dt
= 2 ò årnn | án | V +, , V , , (t) | n, ñeh p
p l \ pl
p l \ pl
h -¥ n,n,

{

+¥ i

}

( E , -Ep ) t
1
= 2 ò eh p
Sp rV +, , V , , (t) dt
p l \ pl
p l \ pl
h -¥

1
= 2
h

+¥

òe

-¥

i
( E , -Ep ) t
h p

áV +, , V ,
p l \ pl

p l , \ pl

(t )ñ dt

Ở biểu thức trên, dưới dấu vết có chứa toán tử thống kê của bia

(1.1.4)

r , các phần

tử đường chéo của ma trận của nó chính là xác suất r n
Theo quy luật phân bố Gibbs nếu hạt bia nằm ở trạng thái cân bằng nhiệt
động ta có hàm phân bô trạng thái:

6

Footer Page 10 of 126.


Header Page 11 of 126.

r =

e-b H
1
b
=
với
kzT
Sp ( e - b H )

(1.1.5)

Trong đó k z - hằng số Boltzman, T – Nhiệt độ tuyệt đối
Giá trị trung bình thống kê của đại lượng Vật lý được tính theo các hàm phân
bố là:

á Añ = å n rn A = Sp( r A) =

Sp {e- b H A}
Sp {e- b H }

(1.1.6)

Do các detector hiện tại của chúng ta thường “mù” đối với sự định hướng
spin nên thong thường chúng ta lấy trung bình cho tất cả các trạng thái phân cực của
nơtron sau khi tán xạ:

Wp, p = åWp, l, \ pl
l,

Trong đó: rs =

uur

+¥ i

( E , -Ep ) t
1
= 2 ò eh p
Sp(rs áV +, , V , , (t)ñ)dt (1.1.7)
p l \ pl
p l \ pl
h -¥

uurur
1
( I + po s ) là ma trận mật độ của nơtron tới, I là ma trận
2

ur

ur

đơn vị, po = Sp( rs s ) là véc tơ phân cực của nơtron, s là các ma trận
Pauli.
Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị thì tiết diện tán xạ hiệu
dụng được tính trên một đơn vị góc khối và một khoảng đơn vị năng lượng
æ d 2s ö
ç
÷ là:
è d W dE ø

æ d 2s ö
m
k,
=
W p, p
ç
÷
2
è d W dE ø ( 2p h ) k

7

Footer Page 11 of 126.


Header Page 12 of 126.

m2

k,
=

3
( 2p ) h5 k

+¥

òe

i
( E , - Ep ) t
h p

Sp(rs áV +, , V , , (t )ñ)dt
p l \ pl

-¥

p l \ pl

(1.1.8)

Như vậy với một cấu trúc tinh thể xác định, về mặt nguyên tắc chúng ta có
thể tính toán được tiết diện tán xạ của chùm nơtron phân cực tán xạ trên bia tinh thể.
Trên đây chúng ta đã xem xét hiện tượng, các loại tương tác tham gia và đi tới công
thức tổng quát của tiết diện tán xạ của chùm nơtron phân cực trong bài toán nghiên
cứu.
1.2.

Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể
Thế tương tác của nơtron chậm và bia tinh thể gồm ba phần: thế tương tác

hạt nhân, thế tương tác từ và thế tương tác trao đổi giữa nơtron và hạt nhân, giữa
nơtron và electron tự do và electron không kết cặp trong bia tinh thể.
Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân
Thế tương tác hạt nhân và tương tác trao đổi giữa nơtron và hạt nhân được
cho bởi giả thiết Fermi:

Vnuclear º Vnu =

ur ur
r uur
é
ù
a
b
s
I
d
r
+
ål ë l l l û - Rl

( ) (

)

(2.1.1)

Ở đây lấy tổng theo tất cả các hạt nhân trong bia

r

r - véc tơ tọa độ của nơtron
uur
Rl - véc tơ tọa độ của hạt nhân thứ l

al , bl - là các hằng số ứng với hạt nhân thứ l
Il - là spin hạt nhân thứ l

urur
s
I l là phần tương tác trao đổi spin giữa nơtron và hạt
Phần gắn với tích

( )

nhân thứ l
8

Footer Page 12 of 126.


Header Page 13 of 126.

Yếu tố ma trận của tương tác từ.
Tương tác từ của nơtron trong mạng tinh thể xuất hiện do các điện tử tự do
chuyển động. Và bản thân nơtron cũng có mômen từ sinh ra.
Mômen từ của nơtron là:

ur
ur
r

m neutron º m neu = g gm nu s

Trong đó:

g = -1.913 - độ lớn mômen từ hóa trên manheton Bohr hạt nhân

g = 2; mnu =

eh
2mproton c

r
s - spin của nơtron tới
Thế véc tơ do các electron tự do và các electron không kết cặp gây ra là:

ur
r ur
ur
mo melectron ´ (r - R j ) mo
A(r ) = å
=
r ur 3
4p
j 4p
r - Rj
gm m
= o B
4p

é

ur
1
åj S j ´Ñ êê rr - uRr
j
ë

ur
r ur
g m B S j ´ (r - R j )
åj
r ur 3
r - Rj

ù
ú
ú
û

m B là manheton Borh
mo là hệ số từ thẩm của chân không
ur
R j là tọa độ của electron thứ j

ur
S j là véc tơ moment spin của electron thứ j
r

Vậy từ trường do các electron gây ra tại vị trí có tọa độ r là:
9

Footer Page 13 of 126.


Header Page 14 of 126.

éur
é
ur r
ur r g mo mB
1
ê
B(r) = Ñ´ A(r) =
Ñ´ S j ´Ñ ê r ur
å
ê
ê r - Rj
4p j
ë
ë

ùù
úú
úú
ûû

Dùng công thức giải tích véc tơ:

r r
r r r r r r r r
Ñ ´ a ´ b = bÑ a - aÑ b + a Ñb - b Ña

(

) ( ) ( )

( ) ( )

Ta có:

é
ur r -gmo mB é ur
1
ê
- S j Ñ Ñ ê r ur
B(r) =
ê r - Rj
4p ê
ë
ë

( )

é
1
Ta lại có: Ñ ê r ur
ê r - Rj
ë
2

ù ur é

ú + S j Ñ2 ê r 1ur
ú
ê r - Rj
û
ë

ùù
úú
úú
ûû

ù
ú=0
ú
û

é
ur r g mo mB ur
1
S j Ñ Ñ ê r ur
Nên: B(r ) =
ê r - Rj
4p
ë

( )

ù
ú
ú

û

Vậy thế tương tác từ gây ra bởi sự phân cực của nơtron và từ trường của các
electron trong bia là:

Vmag

é
ur
ur
g mo m B r
1
= - m neu B = - g gm nu
s å S j Ñ Ñ ê r ur
ê r - Rj
4p
j
ë

(

gm m m
= nu o B
p
Dấu

å

é
r ur

1
åj s S j Ñ Ñ êê rr - uRr
j
ë

(

)

ù
ú
ú
û

lấy tổng theo tất cả các electron tự do lẫn các electron không kết

j

cặp trong bia tinh thể.
10

Footer Page 14 of 126.

)

ù
ú
ú
û

Header Page 15 of 126.

Tương tác trao đổi spin giữa eletron và nơtron tới được cho bởi công thức:

rur
r ur
Vexchange = F å sS j d r - R j

(

j

)

Trong đó F là hằng số
Vậy thế tương tác tổng cộng là:

urur
r uur
Vint = Vnu + Vmag + Vexchange = å éal + bl s Il ùd r - Rl
ë
û
l

( ) (

gm m m
+ nu o B
p

å(
j

é
ur
1
S j Ñ Ñ ê r ur
ê r - Rj
ë

)

ù
rur r ur
ú + F å sS j d r - R j
ú
j
û

(

)

)

Như vậy khi xét bài toán của một chùm nơtron chậm không phân cực tán xạ
trong tinh thể, ngoài tương tác hạt nhân chúng còn tương tác từ và tương tác trao
đổi giữa nơtron và electron tự do và electron không kết cặp trong bia tinh thể. Tiết
diện tán xạ vi phân sẽ gồm đóng góp ba phần được đặc trưng bởi ba loại tương tác ở

trên.

11

Footer Page 15 of 126.


Header Page 16 of 126.

CHƯƠNG 2
TIẾN ĐỘNG HẠT NHÂN CỦA SPIN CỦA CÁC NƠTRON TRONG MÔI
TRƯỜNG PHÂN CỰC
2.1. Tính góc tiến động bằng phương pháp toán tử.
Giả sử hạt tới và bia đều có spin. Chúng ta xem xét quá trình chuyển động
của nơtron chậm qua vật chất.
Trong trường hợp này, hàm sóng mô tả quá trình va chạm đàn hồi của nơtron
với hạt nhân được gắn ở điểm Ri có dạng:
r r uur

i k r - Ri
r uur
rr
r
e
ik r
µ
y r = e c n c n 0 + f r uur e i k Ri c n c n 0
r - Ri

()

(2.1.1)

Trong đó, c n là hàm sóng spin của nơtron tới, cn0 là hàm sóng spin của hạt
nhân.
Trong trường hợp các nơtron chậm, bước sóng lớn hơn nhiều so với kích
thước của hạt nhân, vì vậy biên độ tán xạ không phụ thuộc vào góc tán xạ và có thể
viết dưới dạng:
ur
µf = a + bs J

(2.1.2)

ur

Trong đó: s = 2S , S là toán tử spin của nơtron
ur
s là toán tử ma trận được tạo bới các ma trận Pauli

J là toán tử spin của hạt nhân
a=

I +1 +
I
a+ - aa +
a - và b =
2I + 1
2I + 1
2I + 1

12

Footer Page 16 of 126.


Header Page 17 of 126.

a + là biên độ tán xạ trong trạng thái ứng với momen tổng cộng của nơtron và

hạt nhân là I +

1
2

a - là biên độ tán xạ trong trạng thái ứng với momen tổng cộng của nơtron và

hạt nhân là I -

1
2

Trong quá trình tán xạ trên hệ hạt nhân, hàm sóng viết lại có dạng như sau:
r r uur

ik r - Ri
r uur
rr
r
e
y r = ei k r c n Õ c nuc.m + å µ

f i r uur ei k Ri c n Õ c nuc.m
r - Ri
l
m
m

()

Trong đó

Õ

(2.1.3)

c nuc.m là hàm sóng pin của các hạt nhân với giả thiết rằng các

m

hạt nhân không tương tác với nhau.
Để tìm sóng kết hợp trong trường hợp này, chúng ta làm trung bình cộng
công thức (2.1.3) theo phân bố của các hạt nhân bia và theo trạng thái spin của
chúng.
Sự trung bình hóa đó dẫn đến biểu thức sau của hàm sóng:
r
y r

()

rr
ik r

= e cn + å
l

r r uur
ik r - R

i
r uur
e
µ
fi r uur ei k Ri c n
r - Ri

(2.1.4)

ur
ur
Trong đó: µf = a + bs J = a + b I s p

ur
ur J
p=
: Véc tơ phân cực của hạt nhân
I

I: spin của hạt nhân
Nếu các hạt nhân được phân bố hỗn loạn trên mặt phẳng z = zo thì chúng ta
sẽ nhận được biểu thức sau cho sóng kết hợp đi qua mặt phẳng trên:

13

Footer Page 17 of 126.


Header Page 18 of 126.

r
y r

()

ur ö r r
æ 2p i r
= ç1 +
a + b I s p ÷ eik r c n
kz
è
ø

(

)

(2.1.5)

Trong công trình [16], toán tử:
B =1+

ur uur

i
dq s h p
2

(2.1.6)

uur
được gọi là toán tử spin quay xung quang một trục đặc trưng bởi véc tơ đơn vị h p

một góc dq , dq = 1
So sánh (2.1.5) và (2.1.6) ta có thể kết luận: sau khi đi qua mặt phẳng phân
cực, spin của nơtron đã quay đi một góc:
dq =

4pr
Ip Re( b )
kz

(2.1.7)

Nếu hàm sóng của các nơtron đi qua m mặt thì góc quay tổng cộng là:
qm =

4pr
Ipm Re( b )
kz

(2.1.8)

Hay, khi đi qua một tấm bia có độ dạy L xác định, chúng ta sẽ thu được: khi

nơtron đi qua bia phân cực này, spin của nó sẽ quay một góc:
q =

4pr
IpL Re( b )
kz

Kết quả này có thể nhận được bằng các phương pháp khác
2.2. Tính góc tiến động bằng phương pháp hàm sóng
ur

Chọn trục lượng tử song song với véc tơ phân cực của hạt nhân p . Nếu nơtron tới
ur

r

mặt phẳng có spin song song với véc tơ p ( c n = æç 1 ö÷ ), thì sóng kết hợp y ( r ) có
+
è0ø
dạng:

14

Footer Page 18 of 126.


Header Page 19 of 126.

r
y r

()

+

æ 2p i r µ ö ikr rr æ1 ö
f- ÷ e ç ÷
= ç1 +
kz
è0ø
è
ø

(2.2.1)

Trong đó:
µ
f - = a - b Ip là biên độ tán xạ kết hợp đàn hồi dưới góc bằng 0 của nơtron với

spin phản song song với véc tơ phân cực của hạt nhân p
Nếu hàm sóng đi qua một lớp vật chất có độ dày xác định thì lặp lại tất cả
các lý luận dẫn đến biểu thức của hệ số khúc xạ đối với bia phân cực mà ta đã biết
thì chúng ta sẽ nhận được hệ số khúc xạ của các nơtron có spin song song với véc tơ
ur
p như sau:

n+ = 1 +

2p i r µ
2pr

f + = 1 + 2 (a + b Ip )
2
kz
kz

(2.2.3)

Đối với các nơtron với sự phân cực ngược lại thì:
n- = 1 +

2p i r µ
2pr
f - = 1 + 2 (a - b Ip )
2
kz
kz

Hiệu số n+ - n- =

(

2pr µ µ
f+ - fk z2

(2.2.4)

)

(2.2.5)

được xác định bởi hiệu các biên độ tán xạ của sóng kết hợp tương ứng và khác 0 chỉ
trong bia phân cực.
Như vậy, trong hạt nhân bia phân cực, nơtron có hai hệ số khúc xạ.
Xét trường hợp nơtron có véc tơ phân cực tạo thành một góc tương đối với
hướng của véc tơ phân cực hạt nhân. Chọn một hướng của p tạo thành một góc
tương đối với trục z. Véc tơ phân cực của hạt nhân bia có phương vuông góc với bề
mặt.
Hàm sóng cơ sở có dạng:

15

Footer Page 19 of 126.


Header Page 20 of 126.

rr
r
æ c1 ö
y r = ei k r c n , c n = ç ÷
è c2 ø

()

(2.2.6)

rr 1
rr 0
r
æ ö

æ ö
Hay: y r = c1eik r ç ÷ + c2 ei k r ç ÷
è 0ø
è1 ø

()

æ1 ö
Trạng thái spin ç ÷ có liên quan đến chỉ số khúc xạ n+
è0ø
æ0ö
Trạng thái spin ç ÷ có liên quan đến chỉ số khúc xạ nè1 ø

Hàm sóng của nơtron trong trạng thái phân cực thay đổi theo chiều sâu xác
định theo biểu thức sau:

r
uuruur
uur
uuruur
uur
r æ c1y + r ö
÷ = c eik^ r^ c eikz n+ z æ1 ö + c eik^ r^ c eikz n- z æ 0 ö
y r =ç
r
1
1
ç ÷ 2
ç ÷
çç c y r ÷÷ 1

è0ø
è1 ø
2 è
ø

()
()

()

(2.2.7)

ur

Véc tơ phân cực của nơtron là: pn = y s y

(2.2.8)

có các thành phần là:
pny = 2 Im c1*c2y +*y 2

pnz = c1y + - c2y -

(2.2.9)
2

Giả thiết rằng spin của nơtron có phương vuông góc với véc tơ phân cực của
hạt nhân và có phương song song với trục x, ta được c1 = c2 =

1

2

Sử dụng các đẳng thức (2.2.9) ta có:

pnx = cos éëkz Re ( n+ - n- ) z ùû e-kz Im(n+ -n- ) z

pny = sin éëkz Re( n+ - n- ) zùû e-kz Im(n+ -n- ) z
16

Footer Page 20 of 126.

(2.2.10)


Header Page 21 of 126.

pnz = e-2kz Im(n+ )z -e-2kz Im(n- )z
Suy ra, vộc t phõn cc ca ntron hp vi vộc t phõn cc ca ht nhõn mt
gúc:

(

)

2pr
q = ộở k z Re ( n+ - n- ) z ựỷ =
Re à
f+ - à
f- z
kz

(2.2.11)

Biu thc ca (2.2.11) phự hp vi (2.2.10)
Trong trng hp tng quỏt, vộc t phõn cc ca ht nhõn khụng xỏc nh.
mụ t hiu ng quay ca spin ntron ta dựng toỏn t quay spin i mt gúc q no
ú.
S dng (2.1.5) ta cú: sau khi i qua m mt phng phõn cc, hm súng ca
ntron l:
r
y r

ur ửm ikr rr
ổ 2p i r
= ỗ1 +
a + b I s p ữ e cn
kz
ố
ứ

()

(

)

(2.2.12)

Sau khi ntron i qua lp vt cht cú b dy l z = ma (a l b dy ca mt
r

()

lp) thỡ y r

c vit nh sau:
uuruur
uur
r
$
ik^ r^
ikz nz
y r = e c1e cn

()

(2.2.13)

2pr
n$ = 1 + 2 à
f (0)
kz

(2.2.14)

à
f ( 0 ) l biờn tỏn x n hi trờn ht nhõn vi mt gúc bng 0. So sỏnh

vi vic mụ t bng toỏn t quay spin ca ntron i mt gúc trong [16]:
q ur

i sn

B = e 2 , ta thy, trong trng hp ny, toỏn t quay spin ntron c mụ t

bi:

17

Footer Page 21 of 126.


Header Page 22 of 126.

ur ử
ổ 2pr
Bn = exp ỗ i
Re ( b ) I s n p z ữ
ố kz
ứ

(2.2.15)

Ngoi ra, s quay spin ca ntron trong bia phõn cc cú th nhn c bng
cỏch khỏc.
2.3. S dng bo ton nng lng tớnh gúc tin ng
Gi nng lng ca súng kt hp l Ekh'
Nng lng ca súng t do trong chõn khụng l Etk
Theo nh lut bo ton nng lng thỡ th nng cú dng:
U = Etk - Ekh' =

2p h 2
h 2 k z2
(1 - n 2 ) = r f ( 0)
2m
m

(2.3.1)

Nh vy, trong ht nhõn bia phõn cc, súng ntron cú kh nng khỳc x vi
cỏc mc nng lng l:
h 2 k z2
2p h 2
2
U=
(1 - n ) = r f ( 0)
2m
m

(2.3.2)

So sỏnh vi (2.2.14) ta vit li nng lng di dng toỏn t:
U =-

ur
2p h 2 à
2p h 2
r f ( 0) = a + b Is p
m
m

(

)

(2.3.3)

Khi ntron chuyn ng trong t trng, nng lng tng tỏc ca thnh
uur

phn spin song song vi H c tớnh theo cụng thc: W+ = - m H
Tng t vi thnh phn spin ngc li ta cú nng lng bng W- = m H
Hiu nng lng l: W+ -W- = -2m H
Gii hn ca tn s chuyn ng tin ng ca ntron trong t trng H l:
wR =

2m H
h
18

Footer Page 22 of 126.


Header Page 23 of 126.

Hoàn toàn tương tự, trong từ trường tồn tại hiệu số thế U + -U - , pin của
nơtron chuyển động tiến động quanh trục song song với véc tơ phân cực của hạt
nhân với tần số:
w = Re

U + -U - 4p hr

=
Re b Ip
h
m

(2.3.4)

Trong thời gian t, spin của nơtron quay đi một góc ¶ = wt
Nếu phần có từ trường có độ dài l, thời gian để nơtron đi qua là: t =

l
nz

Vậy spin của nơtron quay đi một góc:
¶ =w

l
mw l 4pr
=
=
Re b Ipl
nz
kz
kz

Điều này hoàn toàn phù hợp với công thức (2.1.9)
Trong từ trường thì tương tác giữa spin của nơtron với hạt nhân có từ trường
hiệu dụng:
H eff =

hw
2m

Tương tự, nếu như bia phân cực có từ trường phụ thuộc vào thời gian B (t ) và
véc tơ phân cực của hạt nhân cũng phụ thuộc vào thời gian P = P(t) thì từ trường
hiệu dụng tổng hợp là:
G (t ) = B (t ) + H eff (t )

Trong đó: H eff (t ) =

2p h 2 rb I
p(t )
mm

Như vậy, năng lượng tương tác spin trong từ trường hiệu dụng là:
urur
V = - m G = - m ( B (t ) + H eff (t ) )

(2.3.5)

19

Footer Page 23 of 126.


Header Page 24 of 126.

CHƯƠNG 3
TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC
TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC

TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ
3.1. Tiết diện tán xạ hiệu dụng của tán xạ không đàn hồi của các nơtron trên
tinh thể có các hạt nhân phân cực.
Chúng ta đi xem xét tán xạ không đàn hồi của các nơtron phân cực trong tinh
thể khi có các hạt nhân phân cực khi có phản xạ và khúc xạ.
Giả sử chùm nơtron tiến tới tinh thể có các hạt nhân phân cực, được đặt ở
nửa không gian x > 0 và mặt của tinh thể trùng với mặt phẳng y0z.
Như chúng ta đã biết, trong tinh thể phân cực tác động lên chùm nơtron có
trường tổng cộng:

ur
ur uur nuc
G eff = B + H eff

uur nuc

ở đó H eff là giả từ trường hiệu dụng hạt nhân [15]
Theo giả thuyết trên thì trong một nửa không gian x > 0, trong tinh thể có các

ur

hạt nhân phân cực có từ trường hiệu dụng đồng nhất G eff ( x ) dạng:

ur
ur
ur
ur
ì1, x f 0
G effx = G effy = 0; G effz = G eff × q ( x ) , ở đó q ( x) = í
î0, x p 0

Quá trình tán xạ phi đàn hồi của các nơtron phân cực trong tinh thể có các
hạt nhân phân cực được xác định bởi Hamilton [22,25]:
H = Ho + Hk + W1 + W2
ở đó: Ho = -

(3.1.1)

h2Ñ2
2m
20

Footer Page 24 of 126.


Header Page 25 of 126.

Hk: Hamilton của tinh thể - bia tán xạ

urur
W1 = Vo ( x ) - ms G eff ( x)

m : Moment từ của nơtron
ur
s tương ứng với các thành phần s x ,s y,s z là các ma trận Pauli

Số hạng thứ 2 của W1 mô tả thế năng tương tác của nơtron với từ trường hiệu
dụng

ur ur ur ur
ur

r ur
W2 = åé Al + Bl s J l - J l ùd r - Rl mô tả phần thế nhỏ tương tác của
ë
û
j

(

) (

)

nơtron với hạt nhân.

r ur
r, Rl : Véc tơ vị trí của nơtron, hạt nhân

ur
J : Toán tử spin hạt nhân
Sử dụng phương pháp các sóng méo ta đi tính yếu tố ma trận chuyển Tk , k
của quá trính tán xạ trên
Theo [3,23]:

Tk,k = jk(,-) | W2 | jk( + )
( -)
Ở đó jk , và

(3.1.2)

jk(+) là nghiệm của phương trình schrodinger sau:

é h 2
ù
êë- 2m Ñ + Vo (x) - ms z Geff (x)úû jk = Ekjk
Với tiệm cận ở vô cùng trong dạng sóng phân kì và sóng hội tụ
Biểu diễn j k trong dạng:

21

Footer Page 25 of 126.

(3.1.3)