Phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit

Header Page 1 of 126.

1

2
Công trình ñược hoàn thành tại

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHYLABOUD INPANH

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

Người hướng dẫn khoa học: TS.NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1: TS. Cao Văn Nuôi

Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Gia Định

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số : 60.46.40

Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ toán học họp tại Đại học Đà Nẵng, vào
ngày…..tháng …… năm …….

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Có thể tìm hiểu tại:
- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

Đà Nẵng – Năm 2012
Footer Page 1 of 126.

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng


Header Page 2 of 126.

3
MỞ ĐẦU

4
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Các phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số

1. Lý do chọn ñề tài:

lôgarit.

Phương trình, bất phương trình là một trong những nội dung
cơ bản và quan trọng của chương trình toán bậc trung học phổ thông.
Đặc biệt các phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số

- Các bài toán về phương trình, bất phương trình hàm số mũ và
hàm số lôgarit thuộc chương trình phổ thông trung học.

4. Phương pháp nghiên cứu:

lôgarit là một nội dung hay nhưng cũng khá khó ñối với học sinh và
thường xuất hiện trong các ñề thi ñại học, thi học sinh giỏi.
Hiện nay, Nước cộng hòa Dân chủ Nhân dân (CHDCND)

- Thu thập, phân tích, khảo sát, tổng hợp các tài liệu, sách giáo
khoa, có liên quan ñến phương trình, bất phương trình hàm số mũ,
hàm số lôgarit.

Lào ñang ñặc biệt quan tâm phát triển nền giáo dục. Trong chương
trình môn toán bậc trung học phổ thông của nước CHDCND Lào, nội
dung phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit ñược ñưa vào giảng
dạy từ lớp 10. Tuy nhiên các tài liệu phục vụ cho học tập và giảng
dạy về phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit
chưa nhiều. Là một sinh viên Lào, với mục ñích tìm hiểu các phương
pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số
lôgarit và hệ thống một số lớp bài toán thuộc dạng này, tôi chọn ñề
tài luận văn thạc sĩ của mình là "phương trình, bất phương trình hàm
số mũ và hàm số lôgarit"
2. Mục ñích và nhiệm vụ nghiên cứu:
- Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số
mũ và hàm số lôgarit.
- Hệ thống một số lớp bài toán về phương trình, bất phương
trình hàm số mũ và hàm số lôgarit.

Footer Page 2 of 126.

- Trao ñổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn ñể thực hiện ñề
tài.

5. Cấu trúc của luận văn:
Nội dung của luận văn ñược chia thành 3 chương
Chương 1. Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương này nhắc lại một cách sơ lượt hàm số mũ, hàm số
lôgarit cùng những tính chất của chúng. Các chi tiết liên quan có thể
xem trong các tài liệu
Chương2. Phương trình, bất phương trình hàm số mũ
Chương này trình bài một số phương pháp giải phương trình,
bất phương trình hàm số mũ cùng một số thí dụ minh họa.
Chương3. Phương trình, bất phương trình hàm số lôgarit
Chương này trình bài một số phương pháp giải phương trình,
bất phương trình hàm số lôgarit cùng một số thí dụ minh họa.


Header Page 3 of 126.
CHƯƠNG 1.

5

6
a >1

HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

0 < a <1

Chương này nhắc lại một cách sơ lượt hàm số mũ, hàm số
lôgarit cùng những tính chất của chúng. Các chi tiết liên quan có thể
xem trong các tài liệu [1], [4], [5] và [9].

x

−∞

0

+∞

x

+∞

1.1. Hàm số mũ

y

1

−∞

+∞

+∞

y

1.1.1. Định nghĩa
Hàm số xác ñịnh bởi công thức y = a x , trong ñó a là một số

0

0

1

0

dương khác 1 , ñược gọi là hàm số mũ cơ số a .
Số 0 < a ≠ 1 gọi là cơ số của hàm số mũ.

Đồ thị của hàm số mũ

Miền xác ñịnh của hàm số mũ là toàn bộ trục số, tức là khoảng

Bảng biến thiên ở trên cho ta hình dạng tổng quát của ñồ thị

( −∞ , + ∞ ) .

hàm số mũ trong hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1

1.1.2. Tính chất của hàm số mũ
a) Hàm số y = a x liên tục tại mọi ñiểm x = x0 .
b) Miền giá trị của hàm số y = a x là ( 0, + ∞ ) .
c) Hàm số y = a x tăng khi a > 1 và giảm khi 0 < a < 1 .
1.1.3. Bảng biến thiên và ñồ thị của hàm số mũ
Bảng biến thiên của hàm số mũ

Đồ thị hàm số y = a x với a >1

Đồ thị hàm số y = a x với 0 < a <1

1.1.4. Mệnh ñề Cho a , b là hai số thực dương khác 1 , và x , y là
những số thực
tùy ý. Ta có
a)

Footer Page 3 of 126.

a x . a y = a x+ y


Header Page 4 of 126.

7

( −∞ , + ∞ )

b)

ax
= a x− y
y
a

c)

( )

d)

( ab )

e)

ax
a
=
 
bx
b

f)

Nếu a > 1 , thì x > y

g)

Nếu 0 < a < 1 , thì x > y

h)

ax = a y

i)

Nếu 0 < b < a , thì

ax

y

x

8
xác ñịnh trên khoảng ( 0, + ∞ ) và có tập giá trị là ( −∞ , +∞ )

= a xy

Để tìm công thức của hàm số ngược này ta xuất phát từ công
thức của hàm số mũ y = a x , rồi biểu thị x qua y . Theo ñịnh nghĩa

= a x bx

của lôgarit, ta có

x

x = log a y

⇔

⇔

ax > a y

⇔

ax < ay

y = log a x là hàm số ngược của hàm số mũ y = a x . Hàm số ngược

Cho số a > 0 , a ≠ 1 , hàm số lôgarit theo cơ số a xác ñịnh với

⇔

bx < a x

x<0

⇔

bx > a x

1.2. Hàm số lôgarit

mọi giá trị dương của biến số x và cho bởi công thức
y = log a x

1.2.3. Tính chất của hàm số lôgarit
Căn cứ vào các tính chất của hàm số mũ y = a x và từ chỗ hàm

1.2.1. Định nghĩa
Cho số a > 0 và a ≠ 1 . Lôgarit cơ số a của số b > 0 là một
số c mà lũy thừa của a với số mũ c thì bằng b . Ký hiệu lôgarit cơ

số y = log a x là hàm số ngược của hàm số y = a x , ta suy ra các tính
chất sau ñây của hàm số lôgarit
a) Hàm số y = log a x

số a của b là log a b

Vậy c = log a b

Thay thế các kí hiệu của x và y cho nhau, ta ñược hàm số

này ñược gọi là hàm số lôgarit cơ số a . Như vậy ta có ñịnh nghĩa sau

x=y

x>0

⇔

ac = b

1.2.2. Định nghĩa
Cho số a > 0 và a ≠ 1 . Ta ñã biết hàm số mũ y = a x là một
hàm số ñơn ñiệu xác ñịnh trên toàn bộ tập số thực, tức là khoảng

Footer Page 4 of 126.

và có tập giá trị là ( 0, + ∞ ) . Do ñó nó có hàm số ngược,

( x > 0, a ≠ 1)

là hàm số xác ñịnh và liên

tục tại mọi ñiểm x0 > 0 , và khi x = 1 thì y = 0
b) Miền giá trị của hàm số y = log a x là ( −∞ , + ∞ )
c) Khi a > 1 hàm số y = log a x là một hàm số tăng, còn khi
0 < a < 1 hàm số y = log a x giảm

Header Page 5 of 126.

9

10

1.2.4. Bảng biến thiên và ñồ thị của hàm số lôgarit

1.2.6. Số e và lôgarit tự nhiên

Bảng biến thiên của hàm số y = log a x

x

a >1

0 < a <1

0

x

 1
Ta biết số e là lim  1 +  , e ≈ 2,718281...
x →∞
x


1

+∞

x

0

+∞
y = log a x

+∞

1.2.7. Tính chất của lôgarit

0

−∞

Lôgarit cơ số e của một số dương x ñược gọi là lôgarit tự
nhiên ( hay lôgarit Nê – pe) của số x , và ký hiệu ln x

+∞
y = log a x

0

1

a)

−∞

Một số công thức cơ bản
Với 0 < a ≠ 1 , ta có
log a 1 = 0 , log a a = 1

Đồ thị của hàm số y = log a x

log a a b = b , ∀b ∈

Bảng biến thiên ở trên cho ta hình dạng tổng quát của ñồ thị

a loga b = b ,

hàm số lôgarit trong hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1

∀b > 0

Với 0 < a ≠ 1 , và b , c > 0 , ta có
log a ( bc ) = log a b + log a c

y

y

b
log a   = log a b − log a c
c

log a bα = α log a b

0

x

1

0

a logb c = c logb a , b ≠ 1 , c ≠ 1

x

1

Khi a > 1 thì log a b > log a c

⇔

Khi 0 < a < 1 thì log a b > log a c
a >1

0 < a <1

1.2.5. Định nghĩa Lôgarit cơ số 10 của một số dương x ñược gọi
là lôgarit thập phân của x và ký hiệu là log x hoặc lg x

Footer Page 5 of 126.

log a b = log a c

b)

⇔

b>c

⇔ b
b = c

Công thức ñổi cơ số
Với a , b là 2 số dương khác 1 , và c là một số dương, ta có


Header Page 6 of 126.

11

( log a b )( logb c )

= log a c

( log a b )( log b a )

=1

log aα c =

1

α

log a c , ∀α ≠ 0

12
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
HÀM SỐ MŨ
Chương này trình bày một số phương pháp giải phương trình,
bất phương trình hàm số mũ cùng một số thí dụ minh họa.

2.1. Phương pháp giải phương trình hàm số mũ
2.1.1. Phương pháp ñưa về cùng một cơ số
a f ( x ) = a g ( x )

a > 0, a ≠ 1

⇔ f ( x) = g ( x)

a) Quy trình của phương pháp
Bước 1 : Đặt ñiều kiện (nếu có) ñể phương trình ñược xác ñịnh.
Bước 2 : Biến ñổi các hàm số mũ có trong phương trình về
cùng một cơ số.
Bước 3 : Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số mũ ñể giải.
b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau
x +5

x +17

32 x − 7 = 0, 25.128 x −3

Bước 1 : Điều kiện của phương trình: x ≠ 3, x ≠ 7
2

⇔

2

Bước 3 : Phương trình
⇔

Footer Page 6 of 126.

5( x + 5 )

Bước 2 : Phương trình ⇔

⇔

x −7
5( x + 5 )
x −7

= 2−2 . 2
= 2

5 ( x + 5)
x−7

7( x +17 )
x−3

5 x+125
x−3

=

5 x + 125
x−3

5 ( x + 5 )( x − 3) = 5 ( x + 25 )( x − 7 )


Header Page 7 of 126.

13

14

⇔

16 x − 160 = 0

⇔

x = 10 thỏa ñiều kiện

2.1.3. Phương pháp ñặt ẩn phụ

2.1.2. Phương pháp lôgarit hóa

Khi trong phương trình hàm số mũ có các số hạng, hoặc các
biểu thức có quan hệ với nhau, chẳng hạn như: giống nhau, ñối nhau,

f ( x ) = log a b

⇔

lượng liên hiệp nhau, nghịch ñảo nhau . . . thì người ta thường ñặt ẩn
phụ ñể giải, và gọi là giải phương trình bằng phương pháp ñặt ẩn

a) Quy trình của phương pháp
Bước 1 : Đặt ñiều kiện ( nếu có ) ñể phương trình ñược xác
Bước 2 : Biến ñổi phương trình về dạng a f ( x ) = b hoặc
f ( x)

phụ.
a) Quy trình của phương pháp

ñịnh

a

2
x = log 30
24

2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = log 30
24 .

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 10 .

f ( x)
= b
a

0 < a ≠ 1, b > 0

⇔

Bước 3 : Phương trình

=b

g ( x)

. Lấy lôgarit hai vế, tách ẩn số ra khỏi số mũ của hàm lũy

thừa

Bước 1 : Đặt ñiều kiện (nếu có) ñể phương trình ñược xác ñịnh.
Bước 2 : Biến ñổi phương trình ñể làm xuất hiện ẩn phụ. Chọn
ẩn phụ, ñặt ñiều kiện cho ẩn phụ, biểu diễn phương trình qua ẩn phụ.
Bước 3 : Giải phương trình theo ẩn phụ. Thay giá trị của ẩn

Bước 3 : Giải phương trình thu ñược

phụ vừa tìm ñược rồi giải phương trình theo ẩn chính ban ñầu.

b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau

2

x

.3

x −1

.5

x +1

b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau

= 40

4 x − 2.6 x = 3.9 x

Bước 1 : Điều kiện của phương trình: x ≥ 0
⇔

Bước 2 : Phương trình
⇔

x

.3

x

⇔

30

⇔

log 30 30

⇔

Footer Page 7 of 126.

2

x

2

.5

x

x

=

.

1

.3
3

.5.5

x

= 40

Bước 2 : Chia 2 vế của phương trình cho 4 x , ta ñược
1− 2 .

3
. 40
5

= log 30 24

x = log 30 24

6x
9x
=
3
.
4x
4x
x

⇔

= 24
x

x

Bước 1 : Phương trình xác ñịnh với mọi x

x
 3  2 
3
3    + 2   −1 = 0
2
 2  
x

3
Đặt t =   , ñiều kiện t > 0 , phương trình trở thành
2


Header Page 8 of 126.

15

16

3t 2 + 2t −1 = 0

Bước 3 : Phương trình ⇔

b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau
 t = − 1 loaïi

t = 1

3

x

1
3
1
t=   =
⇒ x = log 3  
2
3
3
 
2  

1
3
2  

Vậy phương trình có nghiệm x = log 3   .

1
2

x2 − 2 x

≤ 2 x −1

Bước 1 : Điều kiện của bất phương trình là
x ≥ 2

Bước 2 : Bất phương trình

⇔

2−

Bước 3 : Bất phương trình

⇔

− x 2 − 2 x ≤ x −1

2.2. Phương pháp giải bất phương trình hàm số mũ

như giải phương trình hàm số mũ
2.2.1. Phương pháp ñưa về cùng một cơ số
a > 1
⇔ f ( x) ≥ g ( x)
 f ( x)
g x
≥ a ()
a

ñịnh.
Bước 2 : Biến ñổi các hàm số mũ có trong bất phương trình về
cùng một cơ số.
Bước 3 : Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số mũ ñể giải.

Footer Page 8 of 126.

≤ 2 x −1

x2 − 2 x ≥ 1 − x

⇔

 1 − x ≤ 0
 2
 x − 2 x ≥ 0

 1 − x > 0
2
 2
  x − 2 x ≥ (1− x )

⇔

x ≥ 2 thỏa ñiều kiện

Vậy nghiệm của bất phương trình là mọi x ≥ 2 .
2.2.2. Phương pháp lôgarit hóa

a) Quy trình của phương pháp

Bước 1 : Đặt ñiều kiện (nếu có) ñể bất phương trình ñược xác

x2 − 2 x

⇔

Phương pháp giải bất phương trình hàm số mũ cũng tương tự

0 < a < 1
⇔ f ( x) ≤ g ( x)
 f ( x)
g x
≥ a ()
a

x ≤ 0 hoặc

f ( x)
< b
a

b > 0

⇔

 a > 1

  f ( x ) < log a b

 0 < a < 1

  f ( x ) > log a b



Header Page 9 of 126.

a

f ( x)

17

>b

18

 b ≤ 0

  f ( x ) coù nghóa

 b > 0, a > 1
  f ( x ) > loga b

 b > 0, 0 < a < 1

  f ( x ) < loga b

⇔

⇒

0 ≤

⇒

0 ≤ x <1

3

3

x <1

x <1

thỏa ñiều kiện

Khi trong bất phương trình hàm số mũ có các số hạng, hoặc
Bước 2 : Biến ñổi bất phương trình về dạng a f ( x ) < b , hoặc

f ( x)

− 2 − log3 8 <

3

2.2.3. Phương pháp ñặt ẩn phụ

ñịnh

a

⇔

2

Vậy nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ [ 0, 1) .

a) Quy trình của phương pháp
Bước 1 : Đặt ñiều kiện ( nếu có ) ñể bất phương trình ñược xác

⇔

( x ) + x (1 + log 8) − 2 − log 8 < 0
( x − 1)( x + 2 + log 8) < 0

⇔

> b , hoặc a

f ( x)

< b

g( x)

các biểu thức có quan hệ với nhau, chẳng hạn như: giống nhau, ñối
nhau, lượng liên hiệp nhau, nghịch ñảo nhau . . . thì người ta thường

. Lấy lôgarit hai vế, tách ẩn số ra khỏi

số mũ của hàm lũy thừa

ñặt ẩn phụ ñể giải, và gọi là giải bất phương trình bằng phương pháp
ẩn phụ.

Bước 3 : Giải bất phương trình thu ñược

a) Quy trình của phương pháp

b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau

3x +

x

.8

x

Bước 1 : Đặt ñiều kiện (nếu có) ñể bất phương trình ñược xác

< 72

ñịnh.

Bước 1 : Bất phương trình xác ñịnh ∀x ≥ 0

Bước 2 : Biến ñổi bất phương trình ñể làm xuất hiện ẩn phụ.

Bước 2 : Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế, ta ñược

Chọn ẩn phụ, ñặt ñiều kiện cho ẩn phụ, biểu diễn bất phương trình

(

log3 3x +
⇔

Bước 3 : ⇔

x+

x+

( x)

2

x

)

+ log3 8

x

< log3 72

(

x log3 8 < log3 32 . 8

)

qua ẩn phụ.
Bước 3 : Giải bất phương trình theo ẩn phụ. Thay giá trị của ẩn
phụ vừa tìm ñược rồi giải bất phương trình theo ẩn chính ban ñầu.
b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau

+

x +

x log3 8 < 2 + log3 8

32 x − 8 . 3x +

x+4

− 9.9

x+4

> 0

Bước 1 : Điều kiện của bất phương trình x ≥ − 4

Footer Page 9 of 126.

Header Page 10 of 126.

19

20

Bc 2 : Chia v bt phng trỡnh cho

9

x+4

= 32

x+4

, ta

CHNG 3. PHNG TRèNH, BT PHNG TRèNH HM
S LễGARIT

ủc

(

2 x x+ 4

3

t t = 3x

x+4

)

8 . 3x

x+4

9 > 0

Chng ny trỡnh bi mt s phng phỏp gii phng trỡnh,
bt phng trỡnh hm s lụgarit cựng mt s thớ d minh ha.

, ủiu kin t > 0 , bt phng trỡnh tr
3.1. Mt s phng phỏp gii phng trỡnh hm s lụgarit

thnh:

3.1.1. Phng phỏp ủa v cựng mt c s

t2 8t 9 > 0


Bc 3 :

t < 1 khoõng thoỷa ủieu kieọn

t > 9

t = 3x

x+4

> 9 = 32



x x + 4 > 2



x + 4 < x2








a) Quy trỡnh ca phng phỏp
Bc 1 : t ủiu kin (nu cú) ủ phng trỡnh ủc xỏc ủnh.

x 2 > 0

2
x + 4 < x 4x + 4

x > 2
2
x 5x > 0

0 < a 1

b
f ( x ) = a
0 < a 1
log a f ( x ) = log a g ( x )
f ( x ) = g ( x ) > 0
log a f ( x ) = b



Bc 2 : Bin ủi cỏc hm s lụgarit cú trong phng trỡnh v
cựng mt c s.
x > 2

x < 0

x > 5

x > 5 tha ủiu kin

Vy nghim ca bt phng trỡnh l x > 5 .

Bc 3 : S dng tớnh ủn ủiu ca hm s lụgarit ủ gii.
b) Thớ d minh ha: Gii phng trỡnh sau

(

)

(

log2 4 x + 4 = x log 1 2 x +1 3
2

)

Bc 1 : iu kin ca phng trỡnh
2 x +1 3 > 0 2 x >

3
2

Bc 2 : Phng trỡnh


Footer Page 10 of 126.

(

)

(

log2 4 x + 4 = log2 2 x log21 2 x +1 3

)


Header Page 11 of 126.

Bc

21

(
(4

22

)
+ 4 ) = log

(



log2 4 x + 4 = log2 2 x + log2 2 x +1 3



log2

3 : Phng trỡnh

(2 )
(2 )
x

x

2

2

x

2

(

(

( )

+ 4 = 2 2x

t

t = log2 x 1 ( x + 1) , ủiu kin t > 0 ( vỡ x >

2 x 2 x +1 3

4 x + 4 = 2 x 2 x +1 3
2

)

)

)

Phng trỡnh tr thnh

3.2 4 = 0
x



2 x = 1 loaùi
x
2
2 = 4 = 2



x = 2 tha ủiu kin

Vy phng trỡnh cú nghim l

Bc

3 : Nu t = 1


Nu

t 2 3t + 2 = 0



t = 1
tha ủiu kin

t = 2


log2 x 1 ( x + 1) = 1

x + 1 = 2x 1



t = 2 log2 x 1 ( x + 1) = 2



x + 1 = ( 2 x 1)

4 x 5x = 0

1 : t ủiu kin (nu cú) ủ phng trỡnh ủc xỏc ủnh.
2 : Bin ủi phng trỡnh ủ lm xut hin n ph. Chn n ph, ủt

2

3 : Gii phng trỡnh theo n ph. Thay giỏ tr ca n ph va tỡm ủc
vy phng trỡnh cú

ri gii phng trỡnh theo n chớnh ban ủu.
b) Thớ d minh ha: Gii phng trỡnh sau

(

)

log2 x 1 2 x 2 + x 1 + log x +1 ( 2 x 1) = 4
Bc
Bc

1 : iu kin ca phng trỡnh l

2

1
< x 1
2

x = 0 loaùi

x = 5 thoỷa ủieu kieọn

4

2 nghim x = 2 v x =



Phng phỏp gii bt phng trỡnh hm s lụgarit cựng tng
t nh gii phng trỡnh hm s lụgarit

log2 x 1 ( x + 1)( 2 x 1) + 2 log x +1 ( 2 x 1) = 4
log2 x 1 ( x + 1) + 2 log x +1 ( 2 x 1) = 3

Footer Page 11 of 126.

5
.
4

3.2. Mt s phng phỏp gii bt phng trỡnh hm s lụgarit

2 : Phng trỡnh

2

2

ủiu kin cho n ph, biu din phng trỡnh qua n ph.
Bc

x = 2 tha ủiu kin

= log2 x 1 ( 2 x 1)

a) Quy trỡnh ca phng phỏp

Bc



x = 2.

3.1.2. Phng phỏp ủt n ph

Bc

2
= 3
t

t+

3 . 2x

1
).
2

3.2.1. Phng phỏp ủa v cựng mt c s


Header Page 12 of 126.

23

log a f ( x ) < loga g ( x )

log a f ( x ) < b

⇔

⇔

  a > 1

  0 < f ( x ) < g ( x )

  0 < a < 1
 f ( x ) > g ( x ) > 0
 

  a > 1


b
  0 < f ( x ) < a

  0 < a < 1
  f ( x ) > ab
 

⇔

log a f ( x ) > b

24
9 x − 72 > 0

x
log3 9 − 72 > 0

0 < x ≠ 1

(

⇔

x > log9 73 > 1

ñương với

(

)

log3 9 x − 72 ≤ x = log3 3x

Bước 3 : Bất phương trình

⇔

9 x − 72 ≤ 3x

⇔

(3 )
x

2

− 3x − 72 ≤ 0

⇔ 0 < 3x ≤ 9
⇔

x ≤ 2

Đối chiếu ñiều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là

a) Quy trình của phương pháp

ñịnh.

0 < x ≠ 1

 x
9 > 73

⇔

Bước 2 : Vì ñiều kiện x > 1 , nên bất phương trình tương

  a > 1

b
  f ( x ) > a

  0 < a < 1
 0 < f ( x ) < a b
 

Bước 1 : Đặt ñiều kiện (nếu có) ñể bất phương trình ñược xác

)

log9 73 < x ≤ 2 .

3.2.2. Phương pháp ñặt ẩn phụ
Bước 2 : Biến ñổi các hàm số lôgarit có trong bất phương trình

a) Quy trình của phương pháp

về cùng một cơ số.

Bước 1 : Đặt ñiều kiện (nếu có) ñể bất phương trình ñược xác

Bước 3 : Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số lôgarit ñể giải.
b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau

(

)

log x  log3 9 x − 72  ≤ 1



Bước 1 : Bất phương trình ñược xác ñịnh với mọi x thỏa mãn

ñịnh.
Bước 2 : Biến ñổi bất phương trình ñể làm xuất hiện ẩn phụ.
Chọn ẩn phụ, ñặt ñiều kiện cho ẩn phụ, biểu diễn bất phương trình
qua ẩn phụ.
Bước 3 : Giải bất phương trình theo ẩn phụ. Thay giá trị của ẩn
phụ vừa tìm ñược rồi giải bất phương trình theo ẩn chính ban ñầu.

Footer Page 12 of 126.


Header Page 13 of 126.

25

26

b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau

KẾT LUẬN

2 log5 x − log x 125 < 1

Bước 1 : Điều kiện của bất phương trình là: 0 < x ≠ 1
Qua một thời gian tìm hiểu, khảo sát, tiếp cận ñề tài, luận văn

Bước 2 : Bất phương trình
⇔

ñã hoàn thành và ñạt ñược mục tiêu ñã ñề ra. Cụ thể luận văn ñã thực

2 log5 x − 3log x 5 − 1 < 0

hiện ñược các vấn ñề sau:

Đặt t = log5 x , ñiều kiện t ≠ 0
2t −

Bất phương trình ⇔

⇒

3
0 < t = log5 x <
2

125 .

Footer Page 13 of 126.

dụ minh họa và bài tập tương tự cũng ñã ñược trình bày.
2) Tuyển tập, phân loại một số lớp phương trình, bất phương
trình hàm số lôgarit, cùng những phương pháp giải tương ứng. Một

t < − 1

0 < t < 3

2

số ví dụ minh họa và bài tập tương tự cũng ñã ñược trình bày.
Hy vọng rằng nội dung của luận văn còn tiếp tục ñược bổ sung
và hoàn thiện hơn nữa, nhằm trở thành một tài liệu tham khảo hữu

1
0 < x <
5

ích cho tác giả khi trở về giảng dạy tại nước cộng hòa dân chủ nhân
dân Lào.

⇒

1< x <

Vậy nghiệm của bất phương trình là
1< x <

trình hàm số mũ, cùng những phương pháp giải tương ứng. Một số ví

2t − t − 3
< 0
t

⇔

t = log5 x < − 1

3
−1 < 0
t

2

⇔

Bước 3 :

1) Tuyển tập, phân loại một số lớp phương trình, bất phương

125

0 < x <

1
5

hoặc