www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Li
eu
On
Th
iD
ai
Ho
c0
1. Tính đơn điệu
a) Cho hàm số y f ( x); f '( x) trên D : f '( x) 0( f '( x) 0); x D f ( x) đồng biến
(hoặc nghịch biến) trên D .
b) Cho hàm số y f ( x); f '( x) trên khoảng (a; b) : f '( x) 0( f '( x 0); x (a; b) f ( x)
đồng biến (hoặc nghịch biến)trên (a; b) , với f '( x) 0 tại hữu hạn điểm của D. Đây
là định lý mở rộng cho định lý trên và áp dụng mạnh hơn trong các trường hợp
biện luận tính đơn điệu của hàm số , điều kiện khi đó đối với hàm đa thức thì sẽ
lấy được dấu bằng, cịn hàm phân thức thì không lấy được dấu bằng .
2. Cực trị
a) (ĐỊNH LÝ LA-GRĂNG) Hàm số y f ( x) liên tục trên a; b và f '( x) trên
1
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
1
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
20/03/2017
Ngơ Quang Chiến
VẤN ĐỀ 1: TỔNG QUAN VỀ HÀM SỐ
ai
khoảng (a; b) c (a; b) sao cho: f (b) f (a) f '(c)(b a) hay
f (b) f (a )
f '(c)
(b a )
/T
b) Hàm số y f ( x) đạt cực trị tại x0 x0 là điểm cực trị của hàm số, hay x0 là
ps
điểm thuộc tập xác định D ; f ( x0 ) là giá trị cực trị của hàm số; điểm M ( x0 ; f ( x0 ))
ou
là điểm cực trị của đồ thị hàm số.
c) Hàm số y f ( x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 f '( x0 ) 0 (đ/lí FERMAT)
m/
gr
Chú ý :
+) Đạo hàm có thể triệt tiêu tại điểm x0 nhưng hàm số không đạt cực trị tại đó,
.c
o
nên điều ngược lại định lý trên khơng đúng , ví dụ hàm số y 5 có đạo hàm
bằng 0 tại mọi điểm x0 nào đó, nhưng rõ ràng hàm này ln khơng đổi nên
bo
ok
khơng tồn tại cực trị.
+) Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó khơng có đạo hàm, ví dụ hàm
ce
số y x x 2 y '
x
x2
nên đạo hàm không tồn tại 0, nhưng y x 0, x , hàm
ww
w.
fa
số có giá trị cực tiểu là 0 tại x 0 .
+) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng
0 hoặc không tồn tại đạo hàm của hàm số .
d) Giả sử hàm số y f ( x) liên tục trên khoảng D ( xo h; xo h) và f '( x) D
hoặc trên D \ x0 , h 0 thì f '( x) 0( f '( x) 0); x ( x0 h; x0 ) và f '( x) 0( f '( x) 0);
x ( x0 ; x0 h) x0 là CĐ (hoặc CT)
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
TRẮC NGHIỆM TOÁN 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
2
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
20/03/2017
Ngơ Quang Chiến
e) Giả sử hàm số y f ( x) , f ''( x) D ( x0 h; x0 h), h 0 ,khi đó:
c0
1
+) f '( x0 ) 0; f ''( x0 ) 0 x0 là CT, đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó
+) f '( x0 ) 0; f ''( x0 ) 0 x0 là CĐ, đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó
VẤN ĐỀ 2: CÁC LOẠI HÀM SỐ
a 0
+) Hàm số luôn đồng biến trên R :
Li
' b 3ac 0
a 0
+) Hàm số luôn nghịch biến trên R :
2
' b 3ac 0
eu
On
Th
LOẠI 1: Hàm số bậc 3 : y ax3 bx2 cx d ,(a 0)
LÝ THUYẾT VÀ TÍNH CHẤT
+) Hàm số có cực đại, cực tiểu : ' b 2 3ac 0
iD
ai
Ho
+) x0 D; f ''( x0 ) đổi dấu qua x0 M ( x0 ; f ( x0 )) là điểm uốn của đồ thị
/T
ai
2
+) Phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị :
gr
ou
ps
2
2c 2b 2
bc 6ac 2b x 9ad bc
y
xd
9a
9a
3 9a
.c
o
m/
Cách khác : Viết phương trình đường thẳng
Gọi là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :
1
y ''
Ta có : 9ay . y ' , thật vậy :
9
2
ok
* y ' 3ax 2bx c; y '' 6ax 2b
y ''
3ax b
2
* y
(3ax 2bx c) 9ay . y ' Ax B , ta khơng cần quan tâm A, B có dạng
2
9a
ce
bo
2
gì , ta tìm A, B :
fa
y ''
. y ' ,CALC 0 ta thu được B : T (0) B
2
*Lưu T (0) B , CALC 1 rồi trừ đi B thu được A : T (1) T (0) A
ww
w.
*Nhập vào CASIO T ( x) 9ay
2
+) Hàm số ln cắt trục hồnh tại ít nhất 1 điểm, và đồ thị hàm số nhận điểm uốn
x0 ; y( x0 ) làm tâm đối xứng, với y ''( x0 ) 0
LÝ THUYẾT, CÔNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
ĐỒ THỊ
m/
gr
ou
ps
+) a 0 , ' b2 3ac 0 y ' 0 , hàm số
luôn tăng trên R :
x
y’
+
/T
ai
Li
eu
On
Th
iD
BẢNG BIẾN THIÊN
+) a 0 , ' b 2 3ac 0 , hàm số có 2 cực trị:
x2
x1
x
y’
0
0
+
CĐ
y
CT
ai
Ho
b
0
y
+)Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành một CSC khi : 3a
y .y 0
CT CD
c0
1
LÝ THUYẾT, CÔNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
3
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
20/03/2017
Ngơ Quang Chiến
+) M thuộc (C), nếu M là điểm uốn thì có đúng một tiếp tuyến của (C) qua M và
tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất ( a 0 ), lớn nhất ( a 0 ), M khác điểm uốn
thì có hai tiếp tuyến qua M
.c
o
y
bo
ok
ww
w.
fa
ce
+) a 0 , ' b 2 3ac 0 , hàm số có 2 cực trị :
x2
x1
x
y’
0
+
0
CĐ
y
CT
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
3
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
giảm trên R :
x
y’
1
LÝ THUYẾT, CÔNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
4
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
20/03/2017
Ngơ Quang Chiến
+) a 0 , ' b2 3ac 0 y ' 0 , hàm số luôn
c0
Ho
-
ai
y
On
Th
iD
ps
/T
ai
Li
eu
LOẠI 2: Hàm số bậc 4 trùng phương : y ax4 bx2 c,(a 0)
LÝ THUYẾT VÀ TÍNH CHẤT
+) Hàm số có 1 cực trị : ab 0 (đồ thị khơng có điểm uốn).
* a 0 : 1 cực tiểu
* a 0 : 1 cực đại
+) Hàm số có 3 cực trị : ab 0 (đồ thị có 2 điểm uốn).
gr
ou
* a 0 : 1 cực đại, 2 cực tiểu
* a 0 : 1 cực tiểu, 2 cực đại
*Xét : b 2 4ac , hàm số có 3 cực trị A, B, C với
ce
bo
ok
.c
o
m/
b
b
b4
b
b
, BC 2
A(0; c), B ;
, C ;
AB AC
2
16a 2a
2a
2a 4a
2a 4a
b3 8a
* Gọi BAC cos 3
b 8a
1 b2
b
* Diện tích tam giác ABC : S . .
4 a
2a
* Phương trình đuờng cong đi qua 3 cực trị A, B, C của đồ thị :
2
b 4a
w.
fa
x2 y 2 (c n) x cn 0 với n
ww
Cách khác : viết phương trình đường cong
b
x ,mà y ax4 bx2 c (C ) : y ax.x3 bx 2 c
2a
b
b
x.(
x) bx 2 c (C ) : y (b ) x 2 c .
2a
2a
Ta có y ' 4ax3 2bx; y ' 0 x3
LÝ THUYẾT, CÔNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
4
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
VÍ DỤ
m ? hàm số y x (m 2015) x2 5 có 3 cực trị tạo
8a b 0
3
iD
4
thành một tam giác vuông cân, với a 1, b m 2015 .
24a b3 0
8a b3 0 8 (m 2015)3 0 m 2017
9
m ? hàm số y x 4 3(m 2017) x 2 có 3 cực trị tạo
8
9
thành một tam giác đều, với a , b 3(m 2017)
8
3
24a b 0 27 27(m 2017)3 0 m 2016
m ? hàm số y 3x4 (m 7) x2 có 3 cực trị tạo thành
một tam giác có một góc 1200 , với a 3, b m 7 .
8a b3 .tan 2 0 24 (m 7)3 .3 0 m 5
2
m ? hàm số y mx4 2x2 m 2 có 3 cực trị tạo thành
một tam giác có diện tích bằng 1 , với a m, b 2 .
32a3 ( S0 ) 2 b5 0 32m3 32 0 m 1
ai
2
0
32a 3 ( S0 ) 2 b5 0
Max(SABC )
b5
32a 3
sau đó biện luận
.c
o
S ABC
m/
gr
SABC S0
/T
ps
8a b3 .tan 2
ou
BAC
Li
eu
Tam giác
đều
ai
CƠNG THỨC
On
Th
DỮ KIỆN
Tam giác
vng cân
Ho
c0
+) Nếu đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị thì đường thẳng d’ đối xứng với d
qua trục Ox cũng là tiếp tuyến của đồ thị .
+) Bài toán tham số với hàm số có 3 cực trị .(Nguồn : Thầy Nguyễn Phú Khánh)
1
LÝ THUYẾT, CÔNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
5
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
20/03/2017
Ngơ Quang Chiến
+) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt lập thành một CSC khi
phương trình aX 2 bX c 0 có hai nghiệm dương phân biệt thoả mãn X1 9 X 2 .
bo
ok
SABC
R0
w.
ww
rABC r0
r0
b5
(1 m 2 )5 1 Max( S ABC ) m 0
3
32a
b3 8a
8ab
m ? hàm số y mx4 x2 2m 1 có 3 cực trị tạo thành
9
một tam giác nội tiếp đường trịn bán kính R ,
8
1 8m 9
m 1 do m 0
với a m, b 1 . R0
8m
8
b2
3
có 3 cực trị tạo thành một
2
tam giác ngoại tiếp đường trịn bán kính r 1 ,
với a 1, b m .
fa
ce
RABC R0
m ? hàm số y x4 2(1 m2 ) x2 m 1 có 3 cực trị tạo
thành tam giác có diện tích max , với a 1, b 2(1 m2 )
b3
a 1 1
a
m ? hàm số y x 4 mx 2
LÝ THUYẾT, CÔNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
5
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
6
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
20/03/2017
Ngơ Quang Chiến
BC m0
1 1 m3
1 m 2
1
c0
b3
a 1 1
a
m2
Ho
r0
b2
m ? hàm số y m2 x4 mx2 1 m có 3 cực trị trong đó
am02 2b 0
iD
ai
BC 2 , với a m2 , b m .
am02 2b 0 2m2 2m 0 m 1 vì m 0
AB AC
8a b3 0
O là trực
tâm tam
giác ABC
8a b3 4ac 0
ok
.c
o
m/
b 2 6ac 0
bo
b3 8a 8abc 0
b 2 6ac 0 m 6 do m 0
m ? hàm số y x4 mx2 m 2 có 3 cực trị tạo thành
một tam giác trực tâm O , với a 1, b m, c m 2 .
m ? hàm số y mx4 x2 2m 1 có 3 cực trị tạo thành
một tam giác nội tiếp đường tròn tâm O , với
fa
ce
8a b3 0 b 2 2 m 2
m ? hàm số y x4 mx2 m có 3 cực trị tạo thành một
tam giác nhận O làm trọng tâm , với a 1, b m, c m .
8a b3 4ac 0 m 2 do m 0
a m, b 1, c 2m 1 b3 8a 8abc 0 m
w.
Góc ở đỉnh
của tam
giác cân :
3
b
và AB, AC : y
BC : y
xc
2a
4a
m ? hàm số y x4 (m2 6) x2 m 2 có 3 cực trị tạo
thành một tam giác nhọn , với a 1, b (m2 6) .
O là trọng
tâm tam
giác ABC
O là tâm
đường trịn
ngoại tiếp
tam giác
ABC
ww
Li
Tam giác
ABC nhọn
ai
Phương trình qua
điểm cực trị :
/T
Tam giác
ABC cân
m ? hàm số y x4 mx2 1 có 3 cực trị tạo thành một
tam giác có B, C Ox , với a 1, b m
b 2 4ac 0 m 2 do m 0
ps
b 2 4ac 0
ou
B, C Ox
gr
n0
eu
On
Th
16a 2 n02 b 4 8b 0 m ? hàm số y mx4 x2 m có 3 cực trị trong đó
1
AC , với a m, b 1 .
4
16a 2 n02 b 4 8b 0 m 3 do m 0
do m 0
cos
b3 8a
b3 8a
1
4
Công thức mở rộng cho trường hợp điều kiện tam giác tạo
từ 3 điểm cực trị là : đều, vng, hay có một góc bất kì
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
6
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
7
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
20/03/2017
Ngơ Quang Chiến
m ? hàm số y 2 x4 mx2 4 có 3 cực trị cùng với O
tạo thành hình thoi, với a 2, b m, c 4 .
b 2 2ac 0 m 4 do m 0
eu
0 + 0 - 0
CĐ
ĐỒ THỊ
+
Li
-
On
Th
iD
ai
b 2 2ac 0
BẢNG BIẾN THIÊN
+) a 0, b 0 hàm số có 3 cực trị:
0 x2
x1
x
y’
Ho
do m 0
c0
tam giác ngoại tiếp đường tròn tâm O ,
với a m, b 2, c 2 b3 8a 4abc 0 m 1
1
m ? hàm số y mx4 2 x2 2 có 3 cực trị tạo thành một
b3 8a 4abc 0
ai
O là tâm
đường tròn
nội tiếp
tam giác
ABC
4 điểm A,
B, C, O tạo
thành 1
hình thoi
CT
+
0 - 0 + 0
CĐ
CĐ
.c
o
y’
m/
gr
+) a 0, b 0 hàm số có 3 cực trị:
0 x2
x1
x
ou
ps
CT
/T
y
CT
bo
ok
y
fa
w.
-
ce
+) a 0, b 0 hàm số có 1 cực trị:
x
0
y’
0
+
ww
y
CT
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
7
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
ai
Ho
c0
iD
ax b
, (ac 0)
cx d
eu
LOẠI 3: Hàm số nhất biến (bậc 1/bậc 1) : y
On
Th
+) a 0, b 0 hàm số có 1 cực trị:
x
0
y’
+
0
CĐ
y
1
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
8
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
20/03/2017
Ngơ Quang Chiến
Li
LÝ THUYẾT VÀ TÍNH CHẤT
/T
ps
c
ad bc
, đặt m ad bc
+) Đạo hàm : y '
(cx d ) 2
ai
d
+)Tập xác định : D R \
ou
* m 0 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định .
* m 0 hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định .
d
c
m/
gr
+) Tiệm cận đứng x , tiệm cận ngang y
a
c
ok
.c
o
+)Tổng khoảng cách từ điểm M trên đồ thị đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất
Min(d )
ad bc
c2
bo
+)Tương giao : giả sử d : y kx m cắt đồ thị y
ax b
tại hai điểm M, N, với
cx d
ce
ax b
cho ta phương trình có dạng : Ax2 Bx C 0,(cx d 0) có
cx d
B 2 4 AC :
w.
fa
kx m
k 2 1
. , MN ngắn nhất khi tồn tại min , k const
A2
* OMN cân tại O : ( x1 x2 )(1 k 2 ) 2km 0
ww
* MN
LÝ THUYẾT, CÔNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
ai
d a
I ( ; ) là giao điểm của hai đường tiệm cận .
c c
iD
+)Hàm số nhất biến khơng có cực trị
BẢNG BIẾN THIÊN
+) m 0
d
x
On
Th
ĐỒ THỊ
+
eu
c
+
a
c
a
c
ai
y
Li
y’
c0
Ho
+)M thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt 2 tiệm cận ln tạo ra một
tam giác có diện tích khơng đổi .
+)Đồ thi hàm số nhất biến gọi là một hypebol vng góc có tâm đối xứng
1
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
9
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
20/03/2017
Ngơ Quang Chiến
* OMN vuông tại O : ( x1.x2 )(1 k 2 ) ( x1 x2 )(1 k 2 )km m2 0
.c
o
m/
gr
ou
ps
/T
x
y’
bo
ok
+) m 0
d
c
+
+
ce
ww
w.
fa
y
a
c
a
c
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
TRẮC NGHIỆM TOÁN 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
9
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
On
Th
iD
ai
Ho
c0
CHÚ Ý(áp dụng cho nhưng bài vận dụng nâng cao) :
1) Từ đồ thị (C): y f ( x) ta suy ra các dạng đồ thị sau :
+) y f ( x) bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành .
+) y f ( x) bằng cách lấy đối xứng qua trục tung .
+) y f ( x) bằng cách lấy đối xứng qua gốc toạ độ .
+) y f ( x) bằng cách lấy phần đồ thị phía trên trục hồnh, cịn phần phía dưới
1
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
10
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
20/03/2017
Ngơ Quang Chiến
trục hồnh thì lấy đối xứng qua trục hoành .
+) y f ( x ) là hàm số chẵn, bằng cách lấy phần đồ thị phía bên phải trục tung, rồi
gr
ou
ps
/T
ai
Li
eu
lấy phần đối xứng phần đó qua trục tung .
2) Bài tốn biện luận số nghiệm của phương trình dạng g ( x, m) 0 , đưa phương
trình về dạng f ( x) h(m) trong đó vế trái là hàm số đang xét đã vẽ đồ thị (C):
y f ( x ) . Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y h(m) . Chú
ý , do ta đang xét ở đây với m là tham số nên cho dù hàm y h(m) là hàm số bậc
bao nhiêu với m thì cũng chỉ là 1 tham số, và đường thẳng y h(m) là đường song
song hoặc trùng với trục Ox .
3) Điểm đặc biết của họ đồ thị (Cm ) : y f ( x, m) , với m là tham số
+) Điểm cố định của họ đồ thị là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua :
m/
M 0 ( x0 ; y0 ) (Cm ), m y0 f ( x0 , m), m
.c
o
+) Điểm mà họ đồ thị khơng đi qua là điểm mà khơng có đồ thị nào của họ đi qua
với mọi tham số : M 0 ( x0 ; y0 ) (Cm ), m y0 f ( x0 , m), m
ww
w.
fa
ce
bo
ok
Nhóm theo tham số và áp dụng các mệnh đề sau :
* Am B 0, m A 0, B 0
* Am2 Bm C 0, m A 0, B 0, C 0
* Am B 0, m A 0, B 0
* Am2 Bm C 0, m A 0, B 0, C 0 hoặc A 0, B2 4ac 0
+)Hai đồ thị của hai hàm số y f ( x) và y g ( x) tiếp xúc nhau khi hệ pt:
f ( x) g ( x)
có nghiệm và nghiệm của hệ là toạ độ tiếp điểm .
f '( x) g '( x)
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
TRẮC NGHIỆM TOÁN 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
10
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
11
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
20/03/2017
Ngơ Quang Chiến
c0
1
VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ MŨ, LOGARIT
Ho
LOẠI 1: HÀM SỐ MŨ
a
a
a
iD
a b
+)Với , R
* a 1; a a
+) Cho 0 a b, m R
* a m bm m 0
+) Cho a, b 0; a b
* a b 0
+)Chú ý :
Li
* 0 a 1; a a
eu
a
a
b
b
* a 0; a a
/T
* a m bm m 0
a
ai
ab
a
On
Th
a a a
ai
1. Hàm luỹ thừa
+)Các đẳng thức cơ bản : (với a, b 0, , R )
ou
ps
* a n b n a b, n a n b a b; a, b, n lẻ
m
n
a.b n a . n b
a m. n a
ok
n m
.c
o
n
m/
gr
*Cho số thực a 0; m, n Z , n 0 thì a n a m
Với a, b 0; m, n 0; m, n Z và hai số p, q tuỳ ý :
a na
(b 0)
b nb
p p
Nếu n a p m a q (a 0)
n m
n
n
ap
a
n
p
ww
w.
fa
ce
bo
*Luỹ thừa với số mũ nguyên âm và mũ khơng thì cơ số khác khơng
*Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và số thực thì cơ số dương
+) Bảng biến thiên và đồ thị :
11
LÝ THUYẾT, CÔNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
eu
2 . Hàm số mũ
+) Có dạng y a x (0 a 1)
+) Tập xác định : R và tập gía trị 0; , liên tục trên R
On
Th
iD
ai
Ho
c0
1
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
12
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
20/03/2017
Ngơ Quang Chiến
ex 1
1
1
x 0
x 0
x
x
+) Đạo hàm : a x ' a x ln a nên ta có au ' au ln a.u '
/T
ai
+) Giới hạn : lim(1 ) x e và lim
Li
+) Tính đơn điệu : a 1 hàm đồng biến, 0 a 1 hàm nghịch biến
ww
w.
fa
ce
bo
ok
.c
o
m/
gr
ou
ps
+) Bảng biến thiên và đồ thị :
LOẠI 2: HÀM SỐ LOGARIT
1. Công thức Logarit
+) Logarit : Cho 0 a 1, b 0 thì a b a log a b
LÝ THUYẾT, CÔNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
13
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
20/03/2017
Ngơ Quang Chiến
ln b b e
* lg b b 10
+) Tính chất :
* log a 1 0;log a a 1; a log ;log a a
loga (b.c) loga b log a c,(b, c 0)
a logb c c logb a
log c b
log c a
log a b
On
Th
iD
* log a b
1
ai
log a b log a b;log a b
Ho
b
c
* log a ( ) log a b log a c, (b, c 0)
c0
a
eu
2. Hàm số Logarit :
+) Có dạng y loga x(0 a 1)
Li
+) Tập xác định : 0; và tập gía trị R .
+) Tính đơn điệu : a 1 hàm đồng biến, 0 a 1 hàm nghịch biến
ai
ln(1 x)
1
x
1
u'
u'
+) Đạo hàm : log a x '
mở rộng log a u '
log a u '
x ln a
u ln a
u ln a
1
u'
u'
Đặc biệt : (ln x) ' (ln u ) ' mở rộng (ln u ) '
( x, u 0)
x
u
u
+) Giới hạn : lim
gr
ww
w.
fa
ce
bo
ok
.c
o
m/
+) Bảng biến thiên và đồ thị :
ou
ps
/T
x 0
13
LÝ THUYẾT, CÔNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
14
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
20/03/2017
Ngơ Quang Chiến
VẤN ĐỀ 4: TỐN LÃI XUẤT
ai
Ho
Gửi a đồng, lãi r%/tháng (lãi đơn). Số tiền A có được sau n tháng A a.(1 r.n)
c0
1
LÃI ĐƠN
iD
LÃI KÉP
On
Th
+)Gửi một lần : gửi a đồng, lãi r%/tháng (lãi kép). Số tiền A có được sau n tháng
: A a.(1 r )n
A
a ;r
Ta suy ra được các đại lượng khác như sau: n
ln(1 r )
n
A
A
1; a
a
(1 r ) n
Li
eu
ln
ai
+) Gửi, trả theo định kỳ :
ps
đồng vào đầu mỗi tháng, lãi r%/tháng.
/T
*Gửi vào đầu tháng: Tháng đầu gửi a đồng, mỗi tháng sau cũng gửi thêm a
a
r
m/
gr
ou
Số tiền A thu được sau n tháng : A (1 r ) (1 r ) n 1
.c
o
Ta suy ra được các đại lượng khác : a
A.r
;n
(1 r ) (1 r ) n 1
ln(
A.r
1)
a (1 r )
ln(1 r )
ok
*Gửi vào cuối tháng: Tháng đầu gửi a đồng, mỗi tháng sau cũng gửi thêm a
đồng vào cuối mỗi tháng, lãi r%/tháng.
a
r
w.
fa
ce
bo
Số tiền A thu được sau n tháng : A (1 r )n 1
A.r
ln(
1)
A.r
a
;n
Ta suy ra được các đại lượng khác : a
ln(1 r )
(1 r ) n 1
ww
*Trả dần vào cuối tháng (Trả góp): Vay A đồng, trả a đồng vào cuối mỗi tháng,
a
r
lãi r%/tháng. Số tiền còn nợ sau n tháng : A(1 r )n (1 r )n 1
Để hết nợ sau n tháng thì số tiền a phải trả hàng tháng là:
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
14
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
A(1 r ) n
a
A.r.(1 r ) n
(1 r ) n 1 a
r
(1 r ) n 1
On
Th
iD
ai
Ho
c0
Chú ý : các bài toán về vay tiền, gửi tiền, phức tạp hay đơn giản sẽ dựa vào
những bài toán gốc trên để phát triển, vì vây cần hiểu rõ bản chất các bài tốn
mẫu cho đến cách xây dựng công thức cho từng trường hợp để có thể vận dụng
cơng thức, xử lý bài toán một cách nhanh nhất và hiệu quả .
1
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
15
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
20/03/2017
Ngơ Quang Chiến
VẤN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
6
Khối lập
phương
Khối bát diện
đều
8
12
6
Khối mười
hai mặt đều
20
4
{3;3}
6
{4;3}
a3 2
12
a3
12
8
{3;4}
30
12
{5;3}
30
20
{3;5}
m/
.c
o
ps
ok
12
bo
ce
fa
Thể tích
ai
4
Số mặt
/T
Số cạnh
Khối hai
mươi mặt
đều
Ký hiệu
ou
Số đỉnh
gr
Khối đa diện
đều
Tứ diện đều
Li
eu
Khối đa diện : loại {n;p} (mỗi mặt có n cạnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của p mặt)
có D đỉnh, C cạnh, M mặt thì ta có : n.M = p.D = 2C hay theo Euler D + M = 2 + C
a3 2
3
3
a (15 7 5)
4
3
a (15 5 5)
12
CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH
SA a, SB b.SC c
BSC , CSA , ASB
ww
w.
Hình chóp S.ABC có :
Thể tích V
abc
1 (cos 2 cos 2 cos 2 ) 2cos cos cos
6
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
15
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
LÝ THUYẾT, CƠNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
16
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
20/03/2017
Ngơ Quang Chiến
Tứ diện S.ABC có các cạnh đáy BC = a, CA = b, AB = c và góc giữa các mặt bên
(SBC), (SCA), (SAB) với mặt đáy (ABC) lần lượt là , , .
c0
1
a b c a b c b c a c a b
24( a cot b cot c cot )
Ho
Thể tích khối tứ diện S.ABC : V
2
b2 c 2 a 2 b2 c 2 a 2 b2 c 2
iD
a
2
3.V
Stp
Li
eu
Bán kính mặt cầu nội tiếp (nếu có) của khối đa diện : r
On
Th
1
gọi là tứ diện gần đều có thể tích : V
6
ai
Tứ diện ABCD có các cạnh đáy AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c, được
/T
ai
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
Loại 1: Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh cịn lại dưới một
ps
gốc vuông, gọi d là độ dài đoạn thẳng đó thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp R
d
2
Loại 2 : Hình chóp đều, gọi h là độ dài chiều cao của hình chóp, k là chiều dài
gr
ou
k2
cạnh bên thì ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp : R
2h
m/
Loại 3 : Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, gọi h là chiều cao hình
h
chóp, và Rd là bán kính của đáy thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp : R Rd2
2
.c
o
2
ok
Loại 4 : Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy, gọi h là chiều cao hình
chóp, và Rb , Rd là bán kính của mặt bên và đáy, a là độ dài giao tuyến của mặt
2
2
ww
w.
fa
ce
bo
a
bên và đáy thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp : R Rb2 Rd2
16
LÝ THUYẾT, CÔNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH
TRẮC NGHIỆM TỐN 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01