Phương pháp chiếu siêu phẳng cải biên giải bài toán cân bằng Nash suy rộng (LV thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

VŨ THỊ LUYẾN

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU SIÊU PHẲNG CẢI BIÊN
GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG NASH SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ LUYẾN

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU SIÊU PHẲNG CẢI BIÊN
GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG NASH SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS.NGUYỄN VĂN QUÝ

Hà Nội – Năm 2016


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất
tới thầy giáo hướng dẫn TS. Nguyễn Văn Quý, người thầy đã định hướng chọn đề
tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận
văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô
giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ,
động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2016
Tác giả

Vũ Thị Luyến


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Quý, luận
văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “ Phương pháp chiếu siêu phẳng
cải biên giải bài toán cân bằng Nash suy rộng ” được hoàn thành bởi sự
nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết
quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2016
Tác giả

Vũ Thị Luyến

Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU

1

1 Kiến thức cơ bản

3

Tập lồi và hàm lồi trong không gian Rn . . . . . . . . .

3

1.1.1

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . .

14

1.1.4

Hàm lồi khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.1.5

Cực trị của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.2

Phép chiếu trực giao trên tập lồi . . . . . . . . . . . . .

26

1.3

Tính liên tục Lipschitz và tính đơn điệu của ánh xạ . .

31

1.4

Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . .

34

1.5

Bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu .

35

1.5.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.5.2

Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1.5.3

Sự tồn tại nghiệm và tính chất tập nghiệm của

1.1

bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . .
1.6

2

Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân

. . . . . . . . .

Phương pháp chiếu siêu phẳng để giải bài toán cân
i

38
44


bằng Nash suy rộng
2.1

46

Bài toán cân bằng Nash tổng quát và bài toán bất đẳng
thức tựa biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.1.1

Bài toán cân bằng Nash tổng quát . . . . . . .

46

2.1.2

Bài toán cân bằng Nash tổng quát với bài toán
bất đẳng thức tựa biến phân . . . . . . . . . . .

2.2

50

Phương pháp chiếu siêu phẳng cải biên giải bài toán
cân bằng Nash tổng quát

. . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.2.1

Các giả thiết cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.2.2

Các bổ đề cơ bản liên quan đến thuật toán . . .

53

2.2.3

Nội dung thuật toán chiếu . . . . . . . . . . . .

61

2.2.4

Giải thích tính chất hội tụ của Thuật toán 2.1 .

62

2.2.5

Ví dụ minh họa Thuật toán . . . . . . . . . . .

71

Kết luận

81

Tài liệu tham khảo

82

ii


LỜI MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Bài toán cân bằng Nash-Cournot là một trong những lớp bài toán

được ứng dụng rộng trong nhiều lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật. Vì vậy
việc nghiên cứu về cấu trúc nghiệm và phương pháp giải bài toán đã
và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm.
Bài toán cân bằng Nash suy rộng hình thành là do trong nhiều mô
hình kinh tế - kỹ thuật, tập chiến lược của các người chơi trong trò
chơi không hợp tác không độc lập và phụ thuộc nhau do một số điều
kiện khách quan nào đó. Bài toán cân bằng Nash suy rộng sẽ dẫn tới
lớp bài toán bất đẳng thức tựa biến phân hay bài toán cân bằng. Đây
là các lớp bài toán rất khó giải và hiện đang có rất ít các thuật toán
để giải các lớp bài toán này. Đề tài luận văn đề cập tới một thuật toán
giải bài toán cân bằng Nash suy rộng là một đề tài có ý nghĩa khoa
học và thực tiễn cao.

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu mô hình bài toán cân bằng Nash, cân bằng
Nash suy rộng dưới dạng bất đẳng thức tựa biến phân, sự tồn tại và
duy nhất nghiệm, thuật toán của phương pháp chiếu siêu phẳng cải
biên để giải bài toán bất đẳng thức tựa biến phân.

1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán cân bằng Nash suy rộng dưới dạng bài toán
bất đẳng thức tựa biến phân và các thuật toán của phương pháp chiếu
siêu phẳng cải biên.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trong luận văn sử dụng các kiến thức bổ trợ chủ yếu là giải tích
lồi và ứng dụng, lý thuyết tối ưu lồi, phép chiếu trực giao trên tập lồi,

bài toán bất đẳng thức biến phân. Đối tượng áp dụng chính là phương
pháp chiếu siêu phẳng cải biên giải bài toán bất đẳng thức tựa biến
phân.

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu từ giảng viên hướng dẫn. Tìm tòi thu thập
các tài liệu từ sách, internet,..., từ đó xắp xếp hình thành nội dung đề
tài.

6. Đóng góp của luận văn
Luận văn trình bày một cách hệ thống về mô hình cân bằng Nash
suy rộng trong thực tế, về bài toán bất đẳng thức tựa biến phân và
đặc biệt là phương pháp chiếu siêu phẳng cải biên.

2


Chương 1
Kiến thức cơ bản
1.1

Tập lồi và hàm lồi trong không gian Rn

1.1.1

Tập lồi

Định nghĩa 1.1. [1] Tập D ⊂ Rn được gọi là lồi nếu mọi đoạn thẳng
đi qua hai điểm nằm trong D đều thuộc D.
Tức là, với mọi x, y ∈ D và với mọi 0 ≤ λ ≤ 1 ta đều có:

λx + (1 − λ)y ∈ D.
Định nghĩa 1.2. [1] Ta nói x là tổ hợp lồi của các véc tơ x1 , ..., xk ∈
Rn nếu:
k

x=

λj xj ,

j=1
k

trong đó λj ≥ 0 với mọi j = 1, 2, ..., n và

λj = 1.
j=1

Mệnh đề dưới đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Mệnh đề 1.1. [1]
(i) Giao của một họ hữu hạn hoặc vô hạn các tập lồi là một tập
lồi.
3


(ii) Tích Đề-Các của một họ hữu hạn các tập lồi là một tập lồi.
(iii) Cho A và B là hai tập lồi trong không gian Rn . Khi đó, tổng
đại số của A và B được định nghĩa và ký hiệu bởi:
A + B := {x + y : x ∈ A, y ∈ B}
cũng là một tập lồi.
(iv) Cho C là một tập lồi trong không gian Rn và λ là một số thực

bất kỳ. Khi đó, tập:
Cλ := {λx : x ∈ C}
cũng là một tập lồi.
(v) Ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua một ánh xạ tuyến tính
cũng là một tập lồi.
Định nghĩa 1.3. [1] Cho D là một tập khác rỗng trong không gian
Rn . Tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của một số hữu hạn các điểm thuộc
D được gọi là bao lồi của D và ký hiệu bởi CoD.
Mệnh đề 1.2. [1] Cho D là một tập khác rỗng trong không gian Rn .
(i) CoD là một tập lồi.
(ii) CoD là một tập lồi nhỏ nhất chứa D.
(iii) D lồi khi và chỉ khi D = CoD.
Định nghĩa 1.4. [1] Cho a ∈ Rn là một véc tơ khác 0 và b ∈ R.
(a) Tập {x ∈ Rn | aT x ≥ b (≤ b)} được gọi là nửa không gian
đóng.
(b) Tập {x ∈ Rn | aT x > b (< b)} được gọi là nửa không gian
mở.
4


Định nghĩa 1.5. [2] Siêu phẳng trong không gian Rn là tập hợp các
điểm có dạng:
{x ∈ Rn | aT x = b}
trong đó a ∈ Rn là một véc tơ khác 0 và b ∈ R.
Véc tơ a thường được gọi là véc tơ pháp tuyến của siêu phẳng. Một
siêu phẳng sẽ chia không gian ra thành hai nửa không gian.
Nhận xét: Các nửa không gian và siêu phẳng cũng là các tập lồi.
Định nghĩa 1.6. [2] Một tập được gọi là tập lồi đa diện, nếu nó là
giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng.
Do mỗi phương trình tuyến tính có thể biểu diễn tương đương bằng

hai bất phương trình tuyến tính, nên một tập lồi đa diện cũng là tập
hợp các nghiệm của một hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính:
D = {x ∈ Rn | aT x ≤ b}.
Định nghĩa 1.7. [2] Điểm x∗ được gọi là điểm cực biên của tập lồi
D nếu không tồn tại hai điểm khác nhau x1 , x2 ∈ D sao cho:
1
1
x∗ = x1 + x2 .
2
2
Điều này tương đương với, nếu x1 , x2 ∈ D thỏa mãn:
1
1
x∗ = x1 + x2 ,
2
2
thì x∗ = x1 = x2 .
Tập các điểm cực biên của tập lồi D ký hiệu là Ext(D).
5


Định nghĩa 1.8. [1] Cho K là một tập khác rỗng trong Rn .
(a) K được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu với mọi x ∈ K và với mọi
λ > 0 ta đều có:
λx ∈ K.
(b) K được gọi là nón có đỉnh tại x0 , nếu K − x0 là nón có đỉnh
tại 0.
(c) Nón K (đỉnh tại 0 hoặc x0 ) được gọi là nón lồi nếu K là một
tập lồi.
(d) Nón K (đỉnh tại 0 hoặc x0 ) được gọi là nón lồi đóng nếu K

là một tập lồi đóng.
Mệnh đề 1.3. [1] K là một nón lồi, có đỉnh tại 0 khi và chỉ khi với
mọi x, y ∈ K và với mọi λ, µ > 0 ta đều có:
λx + µy ∈ K.
Ví dụ 1.1.1. Các tập trong Rn sau đây:
Rn+ := {(ξ1 , ..., ξn ) ∈ Rn : ξi ≥ 0, ∀i = 1, ..., n}

(orthan không âm),

Rn++ := {(ξ1 , ..., ξn ) ∈ Rn : ξi > 0, ∀i = 1, ..., n}

(orthan dương),

đều là các nón lồi có đỉnh tại 0. Đây là các nón lồi quan trọng trong
Rn .
Hệ quả 1.1. [1] Tập K khác rỗng trong Rn là nón lồi có đỉnh tại 0
khi và chỉ khi K chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính dương của một số
hữu hạn các phần tử trong K. Tức là, với mọi x1 , ..., xm ∈ K (m là
một số tự nhiên bất kỳ) và với mọi λ1 , ..., λm > 0 thì:
m

λi xi ∈ K.
i=1

6


Hệ quả 1.2. [1] Giả sử D là tập bất kỳ khác rỗng trong Rn , K là tập
tất cả các tổ hợp tuyến tính dương của D. Khi đó, K là nón lồi nhỏ
nhất chứa D.

Định nghĩa 1.9. [2] Cho C là một tập lồi khác rỗng trong Rn và
điểm x0 ∈ C.
(a) Điểm x∗ ∈ Rn được gọi là véc tơ pháp tuyến ngoài (hay pháp
tuyến ngoài) của C tại x0 nếu:
x∗ , x − x0 ≤ 0 ∀x ∈ C.
(b) Tập tất cả các véc tơ pháp tuyến ngoài của C tại x0 được gọi
là nón pháp tuyến của C tại x0 , ký hiệu là NC (x0 ). Như vậy,
Nc (x0 ) = {x∗ ∈ Rn | x∗ , x − x∗ ≤ 0, ∀x ∈ C}.
Mệnh đề 1.4. [2] Cho C là một tập lồi khác rỗng trong Rn và điểm
x0 ∈ C. Tập NC (x0 ) là một nón lồi đóng có đỉnh tại 0.
Chứng minh.
Hiển nhiên 0 ∈ NC (x0 ) nên suy ra NC (x0 ) là khác rỗng. Mặt khác, giả
sử u, v ∈ NC (x0 ) và λ, µ > 0. Từ định nghĩa ta có:
u, x − x0 ≤ 0 và

v, x − x0 ≤ 0,

và dẫn đến:
λu + µv, x − x0 = λ u, x − x0 + µ v, x − x0 ≤ 0,

∀x ∈ C.

Từ đó suy ra λu + µv ∈ NC (x0 ) và theo Mệnh đề 1.3 thì NC (x0 ) là
một nón lồi có đỉnh tại 0.
7


Để chứng tỏ NC (x0 ) là một tập đóng ta giả sử {un } là một dãy nằm
trong NC (x0 ) và un → u khi n → ∞. Ta phải chứng minh u ∈ NC (x0 ).
Thực vậy, với mỗi x ∈ C cố định thì:

fx (u) = u, x − x0 ≤ 0,

∀u ∈ NC (x0 ),

và là một hàm liên tục trên NC (x0 ). Từ đó và theo tính chất của giới
hạn suy ra:
lim fx (un ) = u, x − x0 ≤ 0.

n→∞

Điều này đúng với mọi x ∈ C.
Vậy u ∈ NC (x0 ) và ta có điều cần chứng minh.
1.1.2

✷

Hàm lồi

Trước tiên chúng ta trình bày một số khái niệm thông thường. Cho
¯ Ta ký hiệu các
D ⊆ Rn là tập lồi khác rỗng và hàm số f : D → R.
tập:
domf := {x ∈ D | f (x) < +∞}
gọi là miền hữu hiệu của hàm f ;
epif := {(x, µ) ∈ D × R | f (x) ≤ µ}
gọi là trên đồ thị của hàm f .
Một hàm f được gọi là chính thường nếu:

domf = ∅ và f (x) > −∞ với mọi x.
8

Bằng cách cho f (x) = +∞ nếu x ∈
/ D, ta có thể coi f được xác
định trên toàn không gian và hiển nhiên. Khi đó:
domf = {x ∈ Rn | f (x) < +∞},
và
epif = {(x, µ) ∈ Rn × R | f (x) ≤ µ}.
Khi làm việc với hàm số nhận cả giá trị −∞ và +∞, như thường
lệ ta quy ước: nếu λ = 0 thì λf (x) = 0 với mọi x.
Định nghĩa 1.10. [2] Cho D ⊆ Rn là một tập lồi, khác rỗng và
¯ Ta nói f là hàm lồi trên D nếu epif là một tập lồi trong
f : D → R.
Rn+1 .
Mệnh đề 1.5. [2] Cho D ⊆ Rn là một tập lồi, khác rỗng và hàm
f : D → R ∪ {+∞}. Khi đó, f là hàm lồi trên D khi và chỉ khi:
f (λx+(1−λ)y) ≤ λf (x)+(1−λ)f (y), (Bất đẳng thức Jensen) (1.1)
với mọi x, y ∈ D và với mọi λ ∈ [0, 1].
Chứng minh.
Với λ = 0 hay λ = 1 thì (1.1) luôn đúng, nên ta chỉ xét với 0 < λ < 1.
Giả sử f là hàm lồi trên D. Nếu x ∈
/ domf hoặc y ∈
/ domf thì hiển
nhiên (1.1) là đúng vì vế phải bằng +∞ .
Bây giờ ta xét với x, y ∈ domf . Do:
(x, f (x)) ∈ epif,

(y, f (y)) ∈ epif,

9

mà epif lồi nên:
(λx + (1 − λ)y, λf (x) + (1 − λ)f (y)) ∈ epif.
Theo định nghĩa của epif suy ra (1.1).
Ngược lại, giả sử (1.1) đúng, ta cần chứng minh epif là lồi. Thực
vậy, với mọi (x, µ), (y, ν) ∈ epif ta phải chứng minh:
λ(x, µ) + (1 − λ)(y, ν) = (λx + (1 − λ)y, λµ + (1 − λ)ν) ∈ epif.
Điều này đúng vì theo định nghĩa của epif và λ > 0, (1 − λ) > 0 nên :
λf (x) ≤ λµ ; (1 − λ)f (y) ≤ (1 − λ)ν,
kết hợp với (1.1) suy ra:
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ≤ λµ + (1 − λ)ν.
✷

Vậy mệnh đề được chứng minh.

Hệ quả 1.3. [2] Nếu f là hàm lồi và nhận giá trị hữu hạn trên tập
lồi D thì với mọi số tự nhiên m, mọi x1 , ..., xm ∈ D và với mọi bộ số:
m

λ1 ≥ 0, ..., λm ≥ 0,

λj = 1,
j=1

ta đều có:
m

f(

λj xj ) ≤

j=1

m

λj f (xj ) (Bất đẳng thức Jensen).

j=1

Định nghĩa 1.11. [2] Cho D là một tập lồi khác rỗng trong Rn và
ánh xạ f : D → R.
10


(a) Hàm f được gọi là lồi chặt trên D nếu:
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y),

(1.2)

với mọi x, y ∈ D và với mọi λ ∈ (0, 1).
(b) Hàm f : Rn → R ∪ {+∞} được gọi là lồi mạnh trên D với hệ
số η > 0, nếu ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ (0, 1) có:
1
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ) x − y 2 .
2
(c) Hàm f được gọi là một hàm lõm trên D, nếu −f là hàm lồi
trên D.
(d) Hàm f được gọi là tựa lồi trên D nếu ∀λ ∈ R tập mức dưới:
Lλ f := {x ∈ D : f (x) ≤ λ}

là tập lồi.
(e) Hàm f được gọi là tựa lõm trên D nếu −f là hàm tựa lồi trên
D.
Mệnh đề 1.6. [2] Cho D là một tập lồi khác rỗng trong Rn . Hàm f
lồi mạnh trên D với hệ số η > 0 khi và chỉ khi hàm:
h(.) := f (.) −

η
.
2

2

lồi trên D.
¯ là lồi trên D khi và chỉ khi:
Mệnh đề 1.7. [2] Một hàm f : D → R
∀x, y ∈ D, ∀α > f (x), ∀β > f (y), ∀λ ∈ [0, 1]
thì
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λα + (1 − λ)β.
11


Chứng minh.
Điều kiện cần:
Giả sử f lồi. Chọn x, y, α, β như đã nêu trong mệnh đề. Chọn
α ∈ (f (x), α) và β ∈ (f (y), β), thì (x, α ) và (y, β ) thuộc epif . Do
epif lồi nên:
((1 − λ)x + λy, (1 − λ)α + λβ ) ∈ epif .
Do đó:
f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)α + λβ < (1 − λ)α + λβ.

Điều kiện đủ:
Chọn (x, µ) và (y, ν) thuộc epif và λ ∈ (0, 1). Thế thì với mọi
ε > 0, ta có:
f (x) < µ + ε, f (y) < ν + ε.
Do đó:
f [(1 − λ)α + λβ ] < (1 − λ)(µ + ε) + λ(ν + ε)
= (1 − λ)µ + λν + ε.
Điều này đúng với mọi ε > 0. Cho ε → 0, ta được:
f [(1 − λ)α + λβ ] ≤ (1 − λ)µ + λν.
Chứng tỏ:
(1 − λ)(x, µ) + λ(y, ν) ∈ epif.
✷

Vậy f là hàm lồi.
12


Mệnh đề 1.8. [2] Cho C là một tập lồi khác rỗng trong Rn . Khi đó,
hàm chỉ của tập C được định nghĩa trên toàn Rn theo công thức:

δC (x) =



0, x ∈ C;

+∞, x ∈
/ C.

là hàm lồi trên Rn .

Định nghĩa 1.12. [2] Cho A là một ma trận vuông, đối xứng cấp
n × n.
(a) Ma trận A được gọi là xác định dương nếu:
xT Ax > 0 với mọi x ∈ Rn , x = 0.
(b) Ma trận A được gọi là nửa xác định dương nếu:
xT Ax ≥ 0 với mọi x ∈ Rn ,
và tồn tại x = 0 để xT Ax = 0.
Mệnh đề 1.9. [2] Cho A là một ma trận vuông, đối xứng cấp n × n.
(i) Ma trận A là xác định dương khi và chỉ khi tất cả các giá trị
riêng của A đều dương.
(ii) Ma trận A là nửa xác định dương khi và chỉ khi tất cả các giá
trị riêng của A đều không âm và có tồn tại ít nhất một giá trị riêng
bằng không.
Mệnh đề 1.10. [2] Cho A là một ma trận vuông, đối xứng cấp n × n,
và véc tơ c ∈ Rn .
13


(i) Nếu A là ma trận xác định dương thì hàm toàn phương:
q(x) = xT Ax + cT x
là một hàm lồi mạnh trên Rn .
(ii) Nếu A là ma trận nửa xác định dương thì hàm toàn phương:
q(x) = xT Ax + cT x
là một hàm lồi trên Rn .
1.1.3

Dưới vi phân của hàm lồi

Định nghĩa 1.13. [2] Cho f : Rn → R ∪ {+∞}. Ta nói x∗ ∈ Rn là
dưới đạo hàm của f tại x nếu:

x∗ , z − x + f (x) ≤ f (z), ∀z.

Tương tự như đối với hàm lồi khả vi thông thường, biểu thức này
có nghĩa là phương trình tiếp tuyến nằm dưới đồ thị của hàm số. Tuy
nhiên khác với trường hợp khả vi, tiếp tuyến ở đây có thể không tồn
tại duy nhất.
Ký hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f (x). Nói
chung, đây là một tập (có thể bằng rỗng) trong Rn . Khi ∂f (x) = ∅,
thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại x.
Theo định nghĩa, một điểm x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi nó thỏa mãn
một hệ vô hạn các bất đẳng thức tuyến tính. Như vậy ∂f (x) là giao
của các nửa không gian đóng. Vì thế ∂f (x) luôn là một tập lồi đóng
14


(có thể rỗng). Như trong lý thuyết toán tử đa trị, ta sẽ ký hiệu:
dom(∂f ) := {x | ∂f (x) = ∅}.
Ví dụ 1.1.2. Xét hàm chuẩn: f (x) = x , x ∈ Rn . Tại điểm x = 0
hàm này không khả vi, nhưng nó khả dưới vi phân.
Thực vậy, theo định nghĩa ta có:
∂f (0) = {x∗ ∈ Rn | x∗ , x ≤ x , ∀x ∈ Rn }.
Từ bất đẳng thức này ta có thể suy ra ∂f (0) chính là hình cầu đơn vị
có tâm tại 0.
Mệnh đề 1.11. [2] Cho f : Rn → R ∪ {+∞} lồi, chính thường. Khi
đó:
(i) Nếu x ∈
/ domf , thì ∂f (x) = ∅.
(ii) Nếu x ∈ int(domf ), thì ∂f (x) = ∅ và com-pắc. Ngược lại,
nếu ∂f (x) = ∅ và com-pắc thì x ∈ ri(domf ). Trong đó ri(domf ) là
phần trong tương đối của tập domf (nghĩa là phần trong của tập ứng

với không gian con nhỏ nhất của tập chứa domf .
Chứng minh.
(i) Nếu z ∈ domf thì f (z) < +∞, nếu x ∈
/ domf thì f (x) = +∞
và do đó không thể tồn tại x∗ thỏa mãn:
x∗ , z − x + f (x) ≤ f (z) < +∞.
Vậy ∂f (0) = ∅.
(ii) Trước hết ta giả sử x ∈ int(domf ). Ta có điểm (x, f (x)) nằm
trên biên của epif .
15


Do f lồi, chính thường nên tồn tại siêu phẳng tựa của bao đóng
của epif đi qua (x, f (x)), tức là tồn tại p ∈ Rn , t ∈ R không đồng thời
bằng 0 thỏa mãn:
p, x + tf (x) ≤ p, y + tµ, ∀(y, µ) ∈ epif.

(1.3)

Ta có t = 0, vì nếu t = 0 thì:
p, x ≤ p, y , ∀y ∈ domf.
Nhưng do x ∈ int(domf ) nên điều này kéo theo p = 0. Vậy t = 0.
Hơn nữa t > 0, vì nếu t < 0 thì trong bất đẳng thức (1.3), khi cho
µ → ∞ ta suy ra mâu thuẫn vì vế trái cố định.
Chia hai vế của (1.3) cho t > 0, đồng thời thay µ = f (y) và đặt
p
x∗ = − , ta được:
t
x∗ , y − x + f (x) ≤ x∗ , y + f (y), ∀y ∈ domf,
hay là:

x∗ , y − x + f (x) ≤ f (y), ∀y.
✷

Chứng tỏ x∗ ∈ ∂f (x).

Cách chứng minh trên cho thấy dưới đạo hàm của f tại x chính
là véc tơ pháp tuyến của siêu phẳng tựa của bao đóng của epif tại
(x, f (x)). Thực ra f khả dưới vi phân tại mọi điểm x ∈ ri(domf ).
Điều này có thể chứng minh ngắn gọn như sau:

16


Do x ∈ ri(domf ), nên theo Mệnh đề 1.11 có:
f (x, y) = ∗max x∗ , y ,
x ∈∂f (x)

và f (x, y) hữu hạn, nên ∂f (x) = ∅.
Bây giờ ta chỉ ra tập ∂f (x) com-pắc. Do x ∈ domf , theo Mệnh đề
1.11, x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi:
f (x, d) ≥ x∗ , d , ∀d.

(1.4)

Lấy ei véc tơ đơn vị thứ i(i = 1, ..., n) của Rn (tọa độ thứ i của ei
bằng 1 và mọi tọa độ khác là 0). Áp dụng (1.4) lần lượt với d = ei với
i = 1, ..., n, ta có:
x∗i ≤ f (x, ei ).
Tương tự, áp dụng với d = −ei với i = 1, ..., k, ta có:
−x∗i ≤ f (x, −ei ),

hay:
x∗i ≥ −f (x, −ei ).
Ta kết hợp lại:
−f (x, −ei ) ≤ x∗i ≤ f (x, +ei ), ∀i = 1, ..., n.
Theo Mệnh đề 1.11, do x ∈ ri(domf ), nên f (x, y) hữu hạn với mọi
y. Nói riêng f (x, −ei ) và f (x, ei ) hữu hạn với mọi i = 1, ..., n.
Vậy ∂f (x) bị chặn, và do tính đóng, nên nó com-pắc.
17


Ngược lại, giả sử rằng ∂f (x) khác rỗng và com-pắc. Ta chỉ ra rằng
x ∈ ri(domf ). Do ∂f (x) = ∅, nên x ∈ domf .
Nếu trái lại x ∈
/ ri(domf ), thì x ở trên biên tương đối của domf . Do
domf lồi, theo Mệnh đề về siêu phẳng tựa, tồn tại một siêu phẳng tựa
của bao đóng của domf tại x, tức là tồn tại một véc tơ p ∈ Rn , p = 0
sao cho:
pT x ≥ pT z, ∀z ∈ domf.
Lấy x∗ ∈ ∂f (x). Từ đây và theo định nghĩa dưới vi phân ta có:
f (z) − f (x) ≥ x∗ , z − x ≥ x∗ + λp, z − x , ∀λ ≥ 0, ∀z.
Chứng tỏ x∗ + λp ∈ ∂f (x), ∀λ ≥ 0. Điều này mâu thuẫn với tính bị
chặn của ∂f (x). Vậy x ∈ ri(domf ).
1.1.4

✷

Hàm lồi khả vi

Cho một hàm f xác định trên một lân cận của x ∈ Rn . Theo định
nghĩa, hàm f được gọi là khả vi tại x, nếu tồn tại x∗ ∈ Rn sao cho:

f (z) − f (x) − x∗ , z − x
= 0.
z→x
z−x
lim

Có thể kiểm tra được một điểm x∗ như thế này, nếu tồn tại sẽ duy
nhất và được gọi là đạo hàm của f tại x. Thông thường đạo hàm này
được ký hiệu là

f (x) hoặc f (x).

Giả sử f : Rn → R ∪ {+∞} chính thường và x ∈ domf . Nếu f khả

18


vi tại x, thì với mọi y = 0, ta có:
f (x + λy) − f (x) −
0
λ y

lim

λ

f (x), λy

= 0,

hay là:
f (x, y) −

f (x), y
y

Suy ra f (x, y) =

= 0.

f (x), y với mọi y = 0. Lấy y = ei

(i = 1, ..., n)

là véc tơ đơn vị thứ i của Rn , ta có:
f (x), ei = (

∂f (x)
)(x) (i = 1, ..., n).
∂xi

Vậy:

n

f (x, y) =

yi (
i=1

∂f (x)
)(x).
∂xi

Tiếp tục ta có các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.12. [2] Giả sử f : Rn → R ∪ {+∞} lồi, chính thường
và x ∈ domf . Khi đó f khả vi tại x khi và chỉ khi tồn tại x∗ ∈ Rn
sao cho f (x, y) = x∗ , y với mọi y. Ngoài ra, nếu x ∈ int(domf ) thì
f (x) = x∗ và là duy nhất.
Chứng minh.
Nếu f khả vi tại x thì như ở trên ta đã chỉ ra rằng:
f (x, y) =

f (x), y

với mọi y.

Vậy f (x, y) hữu hạn trên toàn Rn , nên x ∈ int(domf ).
Giả sử ngược lại ta có f (x, y) = x∗ , y với mọi y.
19