Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai

Header Page 1 of 126.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

THÂN NGỌC THÀNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:

60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

Mục lục
Mở đầu

2

1

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

4
4
4
5
6
7
7
7
8
8
8

.

8

2

Các kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian hàm Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞ . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . . . . . . . . . .
1.1.3 Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . . . . . . . . . .
1.2 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Không gian C(Ω), C l (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Không gian C 0,γ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Không gian C l,γ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Định lý Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định lý Arzelá-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Đánh giá Schauder đối với nghiệm của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Định lý Leray-Schauder về điểm bất động của một họ các
ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . .

. 9
. 10

Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic á tuyến tính
cấp hai
2.1 Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Bài toán Dirichlet
2.1.1 Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai . . . . . . . .
2.1.2 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Đánh giá chuẩn Holder của đạo hàm cấp l của nghiệm qua các
độ lớn và đạo hàm cấp một của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Đánh giá chuẩn Holder của ẩn hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp một của nghiệm trên biên . . . . .
2.5 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp một của nghiệm trên toàn miền . .
2.6 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . .

12
12
12
12
13
14
17
19
22

Kết luận

26

Tài liệu tham khảo

27
1

Footer Page 2 of 126.


Header Page 3 of 126.

MỞ ĐẦU
Mục tiêu của Luận văn là trình bày sự mở rộng các kết quả về tính giải được

của bài toán Dirichlet cho một phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai sang
trường hợp hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Dưới sự hướng dẫn
của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả đã hoàn thành luận văn với đề tài
"Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai".
Luận văn được chia làm hai chương:
• Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2: Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp

hai.
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị như các không gian Sobolev,
Holder, Định lí Leray-Schauder để làm cơ sở chứng minh định lí tồn tại nghiệm
cho hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Chương 2 - nội dung chính
của Luận văn, trình bày bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic á tuyến
tính cấp hai. Xây dựng và chứng minh các đánh giá tiên nghiệm cho hệ. Cuối
cùng chỉ ra sự tồn tại nghiệm của hệ bằng cách áp dụng Định lí Leray-Schauder.
Tài liệu tham khảo chính cho luận văn là tài liệu [2].
Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận
văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp
ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Qua luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Tiến
Ngoạn. Thầy luôn tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt quá trình tìm hiểu đề
tài. Sự nhiệt tình đó đã động viên em rất nhiều để có thể hoàn thành luận văn
này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học,
Khoa Toán-Cơ-Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành
bản luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn!
2

Footer Page 3 of 126.

Header Page 4 of 126.
MỞ ĐẦU

Hà Nội, ngày 7 tháng 12 năm 2016
Tác giả

Thân Ngọc Thành

3

Footer Page 4 of 126.


Header Page 5 of 126.

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian Sobolev

1.1.1

Không gian hàm Lp (Ω),

1≤p<∞

Định nghĩa 1.1. Lp (Ω) là không gian Banach các hàm đo được u xác định trên
Ω, nhận giá trị thực và p - khả tích sao cho
|u(x)|p dx < +∞.
Ω

Chuẩn được định nghĩa trong không gian Lp (Ω) là

 p1
|u(x)|p dx ,

||u(x)||Lp (Ω) = 
Ω

trong đó |u(x)| là giá trị tuyệt đối của u(x).
Khi p = +∞, L∞ (Ω) là không gian Banach các hàm bị chặn trên Ω với chuẩn
||u||∞ = ess sup |u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤ M hầu khắp nơi trong Ω}.
Ω

Khi p = 2, L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v)L2 (Ω) =

u(x).v(x)dx,
Ω

|u(x)|2 dx.

(u, u) = ||u||2 =
Ω

Nhận xét 1.1. Nếu f ∈ L2 (Ω); g ∈ L2 (Ω) thì


f gdx ≤
Ω

Ω

4

Footer Page 5 of 126.

 12

|f |2 dx 

|f g|dx ≤ 
Ω

 21 

|g|2 dx
Ω


Header Page 6 of 126.
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị

(f, g là các hàm bình phương khả tích).
Nếu a ∈ L∞ (Ω) và f, g ∈ L2 (Ω) thì
af gdx ≤ ||a||∞
Ω

Ω

1.1.2

|f g| dx.

Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N)

Định nghĩa 1.2. Với ∀l ∈ N; 1 ≤ p < +∞, ta có
W l,p (Ω) = {u(x) ∈ Lp (Ω); Dα u(x) ∈ Lp (Ω), ∀α : |α| ≤ l},

trong đó
α = (α1 , α2 , . . . , αn ); αj ∈ N; |α| = α1 + α2 + · · · + αn ;
Dα u = D1α1 D2α2 . . . Dnαn ; Dj =

Khi đó, chuẩn của u(x) ∈

∂
∂xj .
W l,p (Ω)

được định nghĩa bởi

 p1
|Dα u|p dx .

||u||W l,p (Ω) = 
Ω |α|≤l

Một chuẩn tương đương là
||u||pW l,p (Ω) =

|Dα u|pLp (Ω) .
|α|≤l

Nhận xét 1.2. Giả sử Ω ⊂ Rn ; l ∈ N; 1 ≤ p < +∞ thì W l,p (Ω) là một không gian
Banach.
Khi l = 1, p = 2 thì
W 1,2 (Ω) = u ∈ L2 (Ω); D1 u ∈ L2 (Ω) .

Không gian W 1,2 (Ω) được trang bị tích vô hướng
(u, v) = (u, v)L2 (Ω) +
1≤l≤n

∂u ∂v
;
∂xl ∂xl

,
L2 (Ω)

và chuẩn tương ứng
||u||2W 1,2 (Ω) =

|∇u(x)|2 + u(x)2 dx.
Ω

Khi đó W 1,2 (Ω) là không gian Hilbert.
Nhận xét 1.3. Nếu l < m thì

W m,p (Ω) ⊂ W l,p (Ω).
5

Footer Page 6 of 126.


Header Page 7 of 126.
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị

1.1.3

Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N)

a) Không gian C0∞ (Ω)
C0∞ (Ω) = {u(x) ∈ C ∞ (Ω), u(x) có giá compact}.

b) Không gian W0l,p (Ω)
Định nghĩa 1.3. Không gian W0l,p (Ω) với 1 ≤ p < +∞ là bao đóng của C0∞ (Ω)
trong chuẩn của không gian W l,p (Ω).
Kí hiệu
W0l,p (Ω) = C0∞ (Ω).

Khi đó,
W0l,p (Ω) = {u(x); u(x) ∈ W l,p (Ω), Dα u|∂Ω = 0; |α| ≤ l − 1}.

Nhận xét 1.4.

i) Đối với các hàm u(x) ∈ W01,p (Ω), v(x) ∈ W 1,p (Ω) ta có
uxi vdx = −

uvxi dx,
Ω

Ω

trong đó

1
p

+

1
p

= 1.

ii) Hai chuẩn tương đương trong W 1,p (Ω)
||u||pW 1,p (Ω) =

||Dα u||pLp (Ω) ,
|α|≤l

||Dα u||Lp (Ω) .

||u||W 1,p (Ω) =
|α|≤l

Hai chuẩn là tương đương, nếu tồn tại c1 , c2 ∈ R∗+ sao cho
c1 ||u|| ≤ |||u||| ≤ c2 ||u||.

iii) Hai chuẩn sau là tương đương trên W0l,p (Ω)
n

||u|| = ||u||Lp (Ω) +

||Dj u||Lp (Ω) ,
j=1

n

|||u||| =

||Dj u||Lp (Ω) ,
j=1

trong đó Dj u = Dxj u.

6

Footer Page 7 of 126.


Header Page 8 of 126.
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị

iv) Khi l = 1, p = 2
Chuẩn của W01,2 (Ω) xác định bởi
n

||u||2W 1,2 (Ω)

=

||u||2L2 (Ω)

||uxj ||2L2 (Ω) .

+
j=1

Chuẩn mới tương đương là
n

|||u|||2W 1,2 (Ω)
0

=

||u||2W 1,2 (Ω)

=

aij (x)uxi uxj dx,
Ω i,j=1

n

trong đó aij = aji , c1 |ξ|2 ≤

aij (x)ξi ξj ≤ c2 |ξ|2 , (c1 , c2 = const)∀ξ ∈ Rn .

i,j=1

1.2

Không gian Holder

Cho Ω là một tập mở trong Rn . Ta định nghĩa một số không gian
1.2.1

Không gian C(Ω), C l (Ω)

Định nghĩa 1.4.
C(Ω) = {u(x); u(x) liên tục trong Ω},
C l (Ω) = {u(x) ∈ C(Ω) : Dα u ∈ C(Ω); ∀|α| ≤ l},

với l ∈ N.
Trong không gian C l (Ω) xác định chuẩn
|Dα u|.

|u|l,Ω = sup
Ω |α|≤l

1.2.2

Không gian C 0,γ (Ω)

Định nghĩa 1.5. C 0,γ (Ω) là không gian Banach các hàm u(x) liên tục trong Ω
với |u|γ,Ω xác định

C 0,γ (Ω) = {u(x) ∈ C 0 (Ω); |u|γ,Ω = sup
x,y∈Ω
x=y

|u(x) − u(y)|
< +∞},
|x − y|γ

với 0 < γ ≤ 1.
Chuẩn của C 0,γ (Ω) được định nghĩa bởi
|u|γ,Ω = max |u| + |u|γ,Ω .
Ω

7

Footer Page 8 of 126.


Header Page 9 of 126.
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị

Chú ý 1.1. Hàm u(x) ∈ C 0,γ (Ω) nếu u(x) ∈ C 0,γ (Ω ) với ∀Ω, ⊂ Ω.

Không gian C l,γ (Ω)

1.2.3

Định nghĩa 1.6.
C l,γ (Ω) = {u(x) ∈ C l (Ω); Dα u ∈ C 0,γ (Ω); ∀|α| = l}.

Chuẩn trong C l,γ (Ω)
|Dα u|γ,Ω .

|u|l,γ,Ω = |u|l,Ω +
|α|=l

1.3

Định lý Leray-Schauder

1.3.1

Định lý Arzelá-Ascoli

Giả sử (X, d) là một không gian metric compact và C(X) là không gian vecto
các hàm liên tục f : X → R.
Không gian C(X) được trang bị chuẩn f = max{|f (x)| x ∈ X}, chuẩn này xác
định khoảng cách trong C(X) như sau
σ(f, g) = f − g = max{|f (x) − g(x)|, x ∈ X}.

Định nghĩa 1.7. Họ F các hàm số thuộc C(X) được gọi là liên tục đồng bậc
nếu với mọi > 0, tồn tại δ > 0 sao cho |f (x) − f (y)| < đúng với mọi x, y ∈ X
thỏa mãn d(x, y) < δ và với mọi f ∈ F.
Họ F được gọi là bị chặn đều nếu tồn tại hằng số M sao cho
|f (x)| ≤ M

với mọi x ∈ X, f ∈ F.
Định lý 1.1. (Định lý Arzelá-Ascoli). Giả sử (X, d) là một không gian compact. Tập con F của C(X) là tập compact tương đối nếu F bị chặn đều và liên
tục đồng bậc.
1.3.2

Đánh giá Schauder đối với nghiệm của phương trình elliptic tuyến
tính cấp hai

Trong phần này sẽ trình bày Định lý Schauder về đánh giá chuẩn |u|2,γ,Ω với
u(x) là nghiệm của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Cụ thể ta xét định
lý sau
8

Footer Page 9 of 126.


Header Page 10 of 126.
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị

Định lý 1.2. (Định lý Schauder). Giả sử Ω ⊂ Rn là tập mở bị chặn có biên
S ∈ C 2,γ với γ ∈ (0, 1). Xét toán tử L xác định bởi
Lu = aij (x)uxi xj + bi (x)uxi + c(x)u

trong đó từ đây về sau khi gặp các chỉ số lặp trong một biểu thức, thì ta sẽ hiểu
là lấy tổng theo chỉ số lặp đó và ta giả thiết các hệ số thỏa mãn
1. aij (x)ξi ξj ≥ λ|ξ|2

∀x ∈ Ω, ξ ∈ Rn , λ = const > 0;

2. |aij |0,γ,Ω , |bi |0,γ,Ω , |c|0,γ,Ω ≤ µ,

µ = const > 0.

Giả sử f ∈ C γ (Ω) và φ ∈ C 2,γ (Ω). Khi đó, nghiệm u(x) ∈ C 2,γ (Ω) của bài toán

Dirichlet
Lu = f, u S = φ

thỏa mãn đánh giá
|u|2,γ,Ω ≤ C(|u|0,Ω + |φ|2,γ,Ω + |f |0,γ,Ω ),

trong đó C là hằng số phụ thuộc n, γ, λ, µ, Ω và không phụ thuộc vào u.
1.3.3

Định lý Leray-Schauder về điểm bất động của một họ các ánh xạ

Dưới đây trình bày định lý điểm bất động Leray-Schauder để chứng minh sự
tồn tại nghiệm. Trước tiên ta trình bày định nghĩa liên quan.
Định nghĩa 1.8. Cho B1 , B2 là hai không gian Banach. Ánh xạ Φ : B1 → B2
được gọi là hoàn toàn liên tục nếu nó liên tục và biến mọi tập bị chặn trong B1
thành tập compact tương đối trong B2 .
Định lý 1.3. (Định lý Leray-Schauder). Giả sử H là không gian Banach
đầy đủ và M là tập mở, bị chặn trong H . Đặt M1 = M × [0, 1]. Khi đó phương
trình
u = Φ(u, t)
(1.1)
có ít nhất một nghiệm trong M với mọi t ∈ [0, 1] nếu các điều kiện sau được thỏa
mãn
(1) Φ(u, t) xác định và hoàn toàn liên tục trên M1 ,
(2) Φ(u, t) liên tục đều theo t trên M1 ,
(3) Với mọi t ∈ [0, 1] thì phương trình (1.1) không có nghiệm trên biên của M,
(4) Phương trình (1.1) có nghiệm với t = 0.
9

Footer Page 10 of 126.

Header Page 11 of 126.
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị

1.4

Phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai

Trong phần này sẽ trình bày về bài toán Dirichlet cho một phương trình
elliptic á tuyến tính cấp hai.
Với x ∈ Ω ⊂ Rn , xét phương trình dạng bảo toàn
Lu ≡

d
(ai (x, u, ux )) + a(x, u, ux ) = 0
dxi

(1.2)

với điều kiện biên
u S = ϕ(x)

(1.3)

S

Khi đó, bài toán Diriclet là bài toán tìm hàm u(x) thỏa mãn (1.2), (1.3). Để
nghiên cứu tính giải được của bài toán, ta sẽ nhúng nó vào họ bài toán sau
Lτ u =

d
(ai (x, u, ux , τ )) + a(x, u, ux , τ ) = 0,
dxi

u S = τ ϕ, (τ ∈ [0, 1]),

(1.4)

trong đó ai (x, u, ux , τ ), a(x, u, ux , τ ) là các hàm trơn của τ trên [0, 1] thỏa mãn
ai (x, u, ux , 1) = ai (x, u, ux ), a(x, u, ux , 1) = a(x, u, ux ).

Ta cũng giả sử thêm các điều kiện sau đối với các hệ số đúng với mọi x ∈ Ω, |u| ≤
M, τ ∈ [0, 1] và p bất kỳ
λ(1 + |p|2 )

m−2
2

|a(x, u, p, τ )|+

m−2
∂ai (x, u, p, τ )
ξi ξj ≤ µ(1 + |p|2 ) 2 |ξ|2
∂pj

(1.5)

m
1

∂ai
∂ai
≤ µ(1 + |p|2 ) 2
+|ai | (1 + |p|2 ) 2 +
∂u
∂xj

(1.6)

|ξ|2 ≤

trong đó λ, µ là các hằng số dương và m > 1. Khi đó, ta có các đánh giá tiên
nghiệm
n

max |∇u(x, τ )| ≤ M1 ,
Ω

|uxi |β,Ω ≤ M2

(1.7)

i=1

với các hằng số M1 , M2 và β được xác định từ các đại lượng n, M, m, λ, µ trong
(1.5), (1.6). Xét định lý tồn tại nghiệm cho bài toán (1.4).
Định lý 1.4. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn
(a) Với x ∈ Ω, |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] và p bất kỳ, ai (x, u, p, τ ), a(x, u, p, τ ) là các hàm
đo được, ai (x, u, p, τ ) khả vi theo x, u, p và thỏa mãn điều kiện (1.4), (1.5);
(b) Với x ∈ Ω, |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] và |p| ≤ M1 (M1 là hằng số trong đánh giá (1.7)),

∂ai ∂ai ∂ai
,
,
, a là các hàm liên tục theo x, u, p, τ và thỏa mãn điều
∂pj ∂u ∂xi
kiện Holder theo x, u, p với số mũ α > 0 đều theo τ ∈ [0, 1];

các hàm ai ,

10

Footer Page 11 of 126.


Header Page 12 of 126.
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị

∂ai ∂ai ∂ai
,
,
là các phần tử thuộc C 0,γ {x ∈
∂pj ∂u ∂xi
Ω, |u| ≤ M, |p| ≤ M1 } liên tục đều theo tham số τ ∈ [0, 1].

(c) Các hàm ai (x, u, p, τ ), a(x, u, p, τ ) và

(d) S ∈ C 2,γ , ϕ ∈ C 2,γ .
Đồng thời, giả sử rằng nghiệm u(x, τ ) thỏa mãn max |u(x, τ )| ≤ M
Ω

∀τ ∈ [0, 1].

Khi đó, nếu với τ = 0, bài toán (1.4) có nghiệm thì (1.4) sẽ có ít nhất một nghiệm
u(x, τ ) ∈ C 2,γ (Ω) ∀τ ∈ [0, 1].
Ta viết lại phương trình (1.2) dưới dạng
Lu ≡ aij (x, u, ux )uxi xj + A(x, u, ux ) = 0

trong đó
aij (x, u, p) =

và
A(x, u, p) = a(x, u, p) +

∂ai (x, u, p)
∂pj

∂ai (x, u, p) ∂ai (x, u, p)
+
.
∂u
∂xi

Giả sử thêm rằng
A(x, u, 0) ≤ −b1 |u|2 + b2 ,

b1 = const > 0, b2 ≥ 0

aij (x, u, 0)ξi ξj ≥ 0

(1.8)

(1.9)

Khi đó, cùng với kết quả của Định lý 1.4, ta có định lý tồn tại nghiệm của bài
toán (1.2), (1.3).
Định lý 1.5. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn
(a) Với x ∈ Ω và u, p bất kỳ, các hàm ai (x, u, p), a(x, u, p) là các hàm đo được,
ai (x, u, p) khả vi theo x, u, p và các bất đẳng thức (1.8), (1.9) được thỏa mãn;
(b) Với x ∈ Ω, |u| ≤ M = max{max |ϕ|,
Ω

b2
} và p bất kỳ, các hàm ai (x, u, p), a(x, u, p)
b1

thỏa mãn đánh giá (1.5), (1.6);
(c) Các hàm ai ,

∂ai ∂ai ∂ai
,
,
, a liên tục Holder với số mũ γ > 0 theo x, u, p trên
∂pj ∂u ∂xi

tập
{x ∈ Ω, |u| ≤ M, |p| ≤ M1 };

trong đó M1 có được từ đánh giá tiên nghiệm max |∇u| ≤ M1 .
Ω

(d) S ∈ C 2,γ và ϕ ∈ C 2,γ (Ω).

Khi đó, bài toán biên (1.2), (1.3) có ít nhất một nghiệm thuộc C 2,γ (Ω).
11

Footer Page 12 of 126.


Header Page 13 of 126.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] D.Gillarg, N. Trudinger (2001), Elliptic partial differential equations of
second order, Springer .
[2] O. Ladyzhenskaya, N. Ural’tseva, (1968), Linear and quasilinear elliptic
equations, Univerrsity of Southern California.

27

Footer Page 13 of 126.