Tích phân ngẫu nhiên Ito và một số hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito

Header Page 1 of 126.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ KHUYÊN

TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO
VÀ MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG TÍCH PHÂN
NGẪU NHIÊN ITO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2017

Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ KHUYÊN

TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO
VÀ MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG TÍCH
PHÂN NGẪU NHIÊN ITO

Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ
TOÁN HỌC

Mã số: 60 46 01 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thịnh

Hà Nội - 2017

Footer Page 2 of 126.


Header Page 3 of 126.

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học
Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thịnh.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Nguyễn Thịnh,
người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Phòng Đào Tạo, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà
Nội, các thầy cô giáo đã giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập
và hoàn thành luận văn cao học tại trường.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân
đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình
học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 2 năm 2017
Học viên
Vũ Thị Khuyên

Footer Page 3 of 126.


Header Page 4 of 126.
i

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Tích phân ngẫu nhiên Ito

1
3

1.1

Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Quá trình Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Tích phân Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1

Tích phân Wiener của các hàm số đơn giản . . . . . . . . .

8

1.3.2

Tính chất cơ bản của tích phân Wiener của hàm đơn giản

9

1.3.3

Tích phân Wiener của hàm số bình phương khả tích . . . . 11

1.4

1.5

Tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1

Xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2

Một số tính chất của tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . 16

1.4.3

Tích phân Ito tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Công thức Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito

27

2.1

Phương pháp ồn trắng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2

Phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên của K.Ito . . . . . . . 33

2.3

Một phương pháp mở rộng tích phân Ito mới . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1

Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.2

Tích phân ngẫu nhiên mới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.3

Công thức Itô và phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . 41

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Footer Page 4 of 126.


Header Page 5 of 126.
1

Mở đầu
Giải tích ngẫu nhiên, hay giải tích trong môi trường ngẫu nhiên, là một hướng
nghiên cứu rất quan trọng trong lý thuyết xác suất đồng thời cũng được ứng
dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác bên ngoài Toán học như Vật lý (lý
thuyết chuyển động hỗn loạn, lý thuyết trường bảo giác ...), Sinh vật (động lực
học dân số ...), Công nghệ (lý thuyết học, ổn định và điều khiển hệ động lực
ngẫu nhiên ...) và đặc biệt trong kinh tế tài chính (định giá quyền lựa chọn trong
thị trường chính khoán ...). Nó trở thành một công cụ tối quan trọng khi cần xử
lý, phân tích và mô hình hóa các hiện tượng có sự can thiệp của nhân tố ngẫu
nhiên. Giải tích ngẫu nhiện hiện đang được giảng dạy ở hầu hết các trường đại
học trong và ngoài nước, nó thu hút nhiều nhà khoa học không ngừng nghiên
cứu và phát triển về nó.
Trong đó vi tích phân ngẫu nhiên Ito là một trong những khái niệm quan trọng
của giải tích ngẫu nhiên. Từ khái niệm đó người ta đã xây nên một lớp các quá
trình ngẫu nhiên Ito.
Luận văn này hệ thống lại một số kết cơ bản về tích phân ngẫu nhiên Ito và
trình bày một hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito, đưa ra một số kết quả

mới trong công thức Ito và phương trình vi phân ngẫu nhiên.
Luận văn được chia làm 2 chương cụ thể như sau:
1. Chương 1: Tích phân ngẫu nhiên Ito. Chương này trình bày một số khái
niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, các kiến thức cơ sở cần cho các
chương tiếp theo; xây dựng định nghĩa tích phân Wiener, một số tính chất
của tích phân Wiener; xây dựng định nghĩa tích phân Ito, một số tính chất
cơ bản của tích phân Ito, công thức Ito.

Footer Page 5 of 126.


Header Page 6 of 126.
2

2. Chương 2: Mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito. Chương này trình bày một
số phương pháp để mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito. Trong đó, trước khi
trình bày một phương pháp mở rộng chính của luận văn, tác giả giới thiệu
tóm tắt hai cách tiếp cận khác để mở rộng tích phân ngẫu nhiên. Một
là phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên cho quá trình ngẫu nhiên
không thích nghi của Kiyosi Ito với ý tưởng mở rộng bộ lọc Ft và phân
tích bội lấy tích phân (integrator) thành một semi-martingale đối với bộ
lọc mới. Hai là phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên của Masuyuki
Hitsuda theo cách tiếp cận ồn trắng (white noise).
Sau đó, tác giả trình bày sâu hơn một hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên
Ito mới được đưa ra bởi Wided Ayed và Hui-Hsiung Kuo. Ta giới thiệu lớp
các quá trình ngẫu nhiên độc lập tức thì (the class of instantly independent
stochastic processes) và lấy nó như một bản sao của quá trình ngẫu nhiên
thích nghi (adapted stochastic processes). Sau đó định nghĩa tích phân của
quá trình ngẫu nhiên là tích của một quá trình ngẫu nhiên độc lập tức thì
và một quá trình ngẫu nhiên thích nghi. Điểm cốt yếu của ý tưởng này

là sử dụng điểm đầu mút bên phải là điểm ước lượng cho quá trình ngẫu
nhiên độc lập tức thì và điểm đầu mút bên trái là điểm ước lượng cho quá
trình ngẫu nhiên thích nghi. Cuối cùng, đưa ra một số kết quả mới và ví dụ
về công thức Ito và phương trình vi phân ngẫu nhiên cho tích phân mới.

Footer Page 6 of 126.


Header Page 7 of 126.
3

Chương 1
Tích phân ngẫu nhiên Ito
1.1

Kiến thức cơ sở

Cho (Ω, F, P ) là một không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm
• Ω là một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử w ∈ Ω đại diện cho

một yếu tố ngẫu nhiên. Mỗi tập con của Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên
nào đó.
• F là một họ con nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phép

hợp đếm được và phép lấy phần bù; nói cách khác F là một σ -trường các
tập con của Ω. Mỗi tập hợp A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên.
• P là một độ đo xác suất xác định trên không gian đo (Ω, F).

Định nghĩa 1.1.1 (Biến ngẫu nhiên). Cho không gian xác suất (Ω, F, P ). Không
giảm tổng quát ta có thể giả thiết (Ω, F, P ) là không gian xác suất đủ tức là nếu

A là biến cố có P (A) = 0 thì mọi tập con B ⊂ A cũng là biến cố (tức B ∈ F ).

1. Giả sử E là không gian metric, ánh xạ X : Ω → E được gọi là một biến
ngẫu nhiên với giá trị trên E (hay biến ngẫu nhiên E - giá trị) nếu với mỗi
tập Borel B của E ta có X −1 (B) ∈ F .
2. Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên E = Rn ta nói X là véctơ ngẫu
nhiên n-chiều.
3. Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên tập số thực R ta nói X là biến
ngẫu nhiên.
Footer Page 7 of 126.


Header Page 8 of 126.
4

Định nghĩa 1.1.2 (Hàm ngẫu nhiên). Cho T là một tập nào đó. Một ánh xạ
X : T × Ω → R sao cho mỗi t ∈ T ánh xạ w ∈ X(t, w) là đo được gọi là một hàm

ngẫu nhiên trên T và ta viết X = {Xt , t ∈ T }.
Như vậy một hàm ngẫu nhiên T chẳng qua là một họ các biến ngẫu nhiên X =
Xt , t ∈ T được chỉ số hóa bởi tập tham số T .

Định nghĩa 1.1.3 (Bộ lọc). Một bộ lọc {Ft }t∈T trong không gian xác suất
(Ω, F, P ) là một dãy tăng các σ -trường con của F .

Định nghĩa 1.1.4 (Quá trình ngẫu nhiên thích nghi). Một quá trình ngẫu nhiên
{Xt }t∈T được gọi là thích nghi với bộ lọc {Ft }t∈T nếu với mọi t ∈ T , biến ngẫu

nhiên Xt là Ft -đo được.
Định nghĩa 1.1.5 (Kì vọng có điều kiện). Cho X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng

(X ∈ L1 ). Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên khả tích X đối với A ∈ F

ký hiệu là E(X|A) là một biến ngẫu nhiên M thỏa mãn:
1. M là A- đo được,
2. Với mọi A ∈ A ta có
M dP =
A

XdP.
A

Định lý sau đây cho ta các tính chất của E(X|A).
Định lý 1.1.6. E(X|A) có các tính chất sơ cấp sau
1. E(aX + bY |A) = aE(X|A) + bE(Y |A),
2. E(X) = E(E(X|A)),
3. Nếu X và A độc lập thì E(X|A) = E(X),
4. Nếu Y là A- đo được thì E(XY |A) = Y E(X|A),
5. Nếu D ⊂ A thì E(E(X|A)|D).
Định nghĩa 1.1.7 (Martingale). Cho Xt là một quá trình ngẫu nhiên thích nghi
với bộ lọc {Ft } và E|Xt | < ∞ với ∀t ∈ T . Khi đó Xt được gọi là một martingale
đối với bộ lọc {Ft } nếu với s ≤ t ∈ T bất kỳ,
E{Xt |Fs } = Xs

Footer Page 8 of 126.

(h. c.c).

(1.1)

Header Page 9 of 126.
5

Định nghĩa 1.1.8 (Thời điểm dừng). Một biến ngẫu nhiên τ : Ω → [a, b] được
gọi là thời điểm dừng đối với bộ lọc {Ft , a ≤ t ≤ b} nếu {w; τ (w) ≤ t} ∈ Ft với
∀t ∈ [a, b].

Định nghĩa 1.1.9 (Martingale địa phương). Một quá trình ngẫu nhiên {Fn }thích nghi Xt , a ≤ t ≤ b được gọi là một martingale địa phương đối với {Ft } nếu
tồn tại một dãy thời điểm dừng τn , n = 1, 2, ... thỏa mãn
(1) τn đơn điệu tăng tới b hầu chắc chắn khi n → ∞;
(2) Với mỗi n, Xt∧τn là một martingale đối với {Ft , a ≤ t ≤ b}.
Dễ thấy, một martingale là một martingale địa phương vì ta có thể chọn
τn = b với mọi n. Tuy nhiên, một martingale địa phương thì có thể không là một

martingale.
Định nghĩa 1.1.10 (Không gian hàm cơ bản D(Ω)). Không gian D(Ω) là không
gian gồm các hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕj }∞
j=1 các hàm
trong C0∞ (Ω) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) nếu
• (i) có một tập compact K ⊂ Ω mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, ...,
• (ii) limj→∞ supx∈Ω |Dα ϕj (x) − Dα ϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ .

Định nghĩa 1.1.11 (Không gian hàm suy rộng D (Ω) ). Ta nói rằng f là hàm
suy rộng trong Ω nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω).
Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là f, ϕ . Hai hàm
suy rộng f, ϕ ∈ D (Ω) được gọi là bằng nhau nếu
f, ϕ = g, ϕ , ∀ϕ ∈ D(Ω).

Tất cả các hàm suy rộng trong Ω lập thành không gian D (Ω).
Định nghĩa 1.1.12 (Không gian các hàm giảm nhanh (Schwartz) S(Rn ) ).

Không gian S(Rn ) là tập hợp
S(Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn ) |xα Dβ ϕ(x)| < cα,β , ∀x ∈ Rn , ∀α, β ∈ Zn+ }
n
với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau: dãy {ϕk }∞
k=1 trong S(R ) được gọi

là hội tụ đến ϕ ∈ S(Rn ) trong S(Rn ) nếu
lim sup |xα Dβ ϕk (x) − xα Dβ ϕ(x)| = 0, ∀α, β ∈ Zn+ .

k→∞ x∈Rn

Footer Page 9 of 126.


Header Page 10 of 126.
6

1.2

Quá trình Wiener

Giả sử (Ω, F, P ) là một không gian xác suất.
Định nghĩa 1.2.1. Cho quá trình W = {Wt , t ∈ [0; ∞)}. Ta nói rằng W là quá
trình Wiener nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau
1. W0 = 0.
2. W có gia số độc lập tức là: Với 0 < t1 < t2 < ... < tn thì các biến ngẫu nhiên
Wt1 − Wt0 , Wt2 − Wt1 , ..., Wtn − Wtn−1 là độc lập.

3. Với 0 ≤ s < t thì biến ngẫu nhiên Wt − Ws có phân bố chuẩn N (0, t − s).
4. W là quá trình liên tục, tức là hầu hết các quỹ đạo Wt của W là hàm liên

tục.
Sự tồn tại của quá trình Wiener được lập luận như sau. Vì K(s, t) = min(s, t)
là covariance của quá trình Poisson nên min(s, t) là hàm xác định không âm. Do
đó tồn tại hàm ngẫu nhiên Gauss W = {Wt , t ∈ [0; ∞)} sao cho
EWt = 0,

∀t ∈ [0, ∞),

EWt Ws = min(s, t)

∀s, t ∈ [0, ∞).

Nói riêng EXt2 = t. Ta chứng minh W là hàm ngẫu nhiên Wiener.
• Đặt t = 0 ta có EW02 = 0, suy ra W0 = 0.
• Giả sử 0 = t0 < t1 < ... < tn . Đặt ξi = Wti − Wti−1 , i = 1, 2, ..., n. Khi

đó với i < j thì j − 1 ≥ i nên ti−1 < ti ≤ tj−1 < ti suy ra cov(ξi , ξj ) =
EWti Wtj − EWti Wtj−1 − EWti−1 Wtj + EWti−1 Wtj−1 = ti − ti − ti−1 − ti−1 = 0.

Do đó ma trận covariance là ma trận đơn vị. Vậy ξ1 , ..., ξn độc lập.
• Vì W là quá trình Gauss nên Xt − Xs có phân bố Gauss với E(Xt − Xs ) = 0

và
V ar(Xt − Xs ) = E(Xt − Xs )2
= EXt2 − 2EXt Xs + EXs2
= t − 2s + s = t − s.

Định lý 1.2.2. 1. Hàm ngẫu nhiên Wiener có bản sao liên tục.
Footer Page 10 of 126.

(1.2)


Header Page 11 of 126.
7

2. Với mỗi phân hoạch I : a = t0 < t1 < ... < tn = b của đoạn [a, b] đặt
n−1

(Wti+1 − Wti )2 .

S(I) =
i=0

Khi đó S(I) hội tụ bình phương trung bình tới (b − a) khi |I| → 0, ở đó
|I| = max{ti+1 − ti , i = 0, 1, ..., n − 1}.

3. Đặt
n−1

|Wti+1 − Wti |.

V (I) =
i=0

Khi đó V (I) hội tụ theo xác suất tới +∞ khi |I| → 0.
4. Trên đoạn [a; b], hầu hết các quỹ đạo của hàm ngẫu nhiên Wiener không có
biến phân giới nội.
Ta chú ý một vài tính chất đặc sắc của quá trình Wiener
• Tồn tại bản sao mà tất cả các quỹ đạo của nó là hàm liên tục nhưng không

đâu khả vi.
• Luật loga lặp
P

lim sup √
t→∞

|Wt |
2t ln ln t

=1

= 1.

• Điều kiện Holder





|Wt+h − Wt |
P lim sup
= 1 = 1.
1
h→0
2h ln ln h
• Nguyên lý phản xạ
P

max Ws ≥ x

0≤s≤t

= 2P (Wt ≥ x) = √

2
2πt

∞

e−y

2

/2t

dy.

x

Định lý 1.2.3. Quá trình Wiener là một martingale đối với bộ lọc Ft = σ(Ws , s ≤
t).

Chứng minh.
• Rõ ràng, Wt là Ft đo được.
• E(|Wt |) < ∞ do (E(|Wt |))2 ≤ E(|Wt |2 ) = t < ∞.

Footer Page 11 of 126.

Header Page 12 of 126.
8
• Với s < t ta có
E(Wt |Fs ) = E(Wt − Ws + Ws |Fs )
= E(Wt − Ws |Fs ) + E(Ws |Fs )
= Ws .

Vậy quá trình Wiener là một martingale đối với Ft = σ(Ws , s ≤ t).

1.3

Tích phân Wiener

Ta xét tích phân dưới đây
b

f (t)dWt ,
a

trong đó f là một hàm tất định và Wt là quá trình Wiener.

1.3.1

Tích phân Wiener của các hàm số đơn giản

Giả sử (Ω, F, P ) là một không gian xác suất cơ sở.
Ký hiệu L2 (Ω) là không gian của các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích, tức
là
L2 (Ω) =

|X(w)|2 dP (w) < ∞ ,

X:Ω→R:
Ω

L2 ([0, T ]) là không gian các hàm bình phương khả tích, nghĩa là
T

L2 ([0, T ]) =

|f (t)|2 dt < ∞

f : [0, T ] → R :

.

0

Định nghĩa 1.3.1. Hàm f : [0, T ] → R là hàm số đơn giản trên [0, T ], nếu nó
có dạng
n−1

λk 1Ak ,

f=

(1.3)

k=0

trong đó 0 = t0 < t1 < ... < tn = T là một phân hoạch hữu hạn của [0, T ],
λk , k = 0, 1, ..., n − 1 là các số hữu hạn, Ak = [tk , tk+1 ), k = 0, 1, ..., n − 1 và 1A là

hàm chỉ tiêu của tập A.
Footer Page 12 of 126.


Header Page 13 of 126.
9

Kí hiệu S là không gian các hàm số đơn giản trên [0, T ]. Ta biết rằng S là
không gian tuyến tính và là tập trù mật trong không gian Hilbert của các hàm
bình phương khả tích L2 ([0, T ]). Nếu f ∈ S có dạng (1.3), đặt
n−1

λk (Wtk+1 − Wtk ).

I(f ) =

(1.4)

k=0

trong đó {Wt , t ∈ [0, T ]} là quá trình Wiener. Khi đó, ta gọi I(f ) là tích phân
Wiener của f trên đoạn [0, T ], và dùng ký hiệu
n−1

T

I(f ) =

λk (Wtk+1 − Wtk ).

f (t)dWt :=
0

(1.5)

k=0

Với 0 ≤ s ≤ t ≤ T , ta đặt
t

t

f (u)dWu −

f (t)dWt =
s

1.3.2

s

0

f (u)dWu .
0

Tính chất cơ bản của tích phân Wiener của hàm đơn
giản

Tính chất 1.3.2. Với f ∈ S , I(f ) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với
trung bình bằng 0 và phương sai bằng ||f ||2L2 ([0,T ]) , tức là
T
0

1. E

f dWt = 0,

T
0

2. E

2

f dWt

= ||f ||2L2 ([0,T ]) :=

T
0

|f (t)|2 dt.

Chứng minh. Do Wt là quá trình Wiener nên Wtk+1 − Wtk (k =0, 1, ..., n-1) là
các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng 0 và phương sai tk+1 − tk .

Khi đó ta có
n−1

T

E

λk (Wtk+1 − Wtk ) =

f dWt = E
0

n−1

k=0

λk E(Wtk+1 − Wtk ) = 0.
k=0

n−1

λk (Wtk+1 − Wtk )

V ar(I(f )) = V ar
k=0
n−1

λ2k V ar(Wtk+1 − tk )

=

k=0
n−1

=
k=0

Footer Page 13 of 126.

T

λ2k (tk+1

f 2 (t)dt.

− tk ) =
0


Header Page 14 of 126.
10

Tính chất 1.3.3. Ánh xạ I : S → L2 (Ω) là ánh xạ tuyến tính, tức là
T

T

T

(af + bg)dWt = a

f dWt + b

0

gdWt .

0

0

Chứng minh. Tính chất này hiển nhiên.
Tính chất 1.3.4. Ánh xạ I : S → L2 (Ω) đẳng cự, bảo toàn tích vô hướng của
hai không gian Hilbert L2 ([0, T ]), L2 (Ω) tức là
||I(f )||L2 (Ω) = ||f ||L2 ([0,T ])

và
T

< I(f ), I(g) >L2 (Ω) := E

T

f (t)dWt
0

g(t)dWt

=

0

T

< f, g >L2 (Ω) :=

f (t)g(t)dt.
0

Chứng minh. +) Chứng minh tính chất đẳng cự.
Ta có
T

||I(f )|| =

< I(f ), I(f ) > =

E

T

f (t)dWt
0

f (t)dWt
0

T

=

E(I(f )2 )

f 2 (t)dt =

=
0

||f ||2L2 ([0,T ]) = ||f ||L2 ([0,T ]) .

+) Chứng minh tính bảo toàn tích vô hướng
Từ đẳng thức hình bình hành, tính tuyến tính và tính đẳng cự của I ta có:
||I(f + g)||2 − ||I(f − g)||2
||I(f ) + I(g)||2 − ||I(f ) − I(g)||2
< I(f ), I(g) > =
=
4
4
||f + g||2 − ||f − g||2
=
=< f, g > .
4

Footer Page 14 of 126.


Header Page 15 of 126.
11

1.3.3

Tích phân Wiener của hàm số bình phương khả tích

Ta xây dựng tích phân Wiener cho hàm số (không ngẫu nhiên) f ∈ L2 ([0, T ]).
Do S là tập trù mật trong L2 ([0, T ]) nên từ ánh xạ I : S → L2 (Ω) ta thác triển
thành một ánh xạ I : L2 ([0, T ]) → L2 (Ω) tuyến tính, đẳng cự, bảo toàn vô hướng.
Xét hàm f ∈ L2 ([0, T ]), khi đó tồn tại dãy fn ∈ S sao cho
||fn − f ||L2 ([0,T ]) → 0.

Đặc biệt, {fn } là dãy Cauchy trong L2 ([0, T ]). Thật vậy
||fn − fm ||L2 ([0,T ]) ≤ ||fn − f ||L2 ([0,T ]) + ||fm − f ||L2 ([0,T ]) .

Do đó khi m, n → ∞ ta có:
||fn − fm ||L2 ([0,T ]) → 0.

Theo tính chất (1.3.3) và (1.3.4), ta suy ra
||I(fn ) − I(fm )||L2 ([0,T ]) → 0.

Suy ra, {I(fn )} là dãy Cauchy trong L2 (Ω) (là không gian đủ), nên tồn tại giới
hạn (theo nghĩa bình phương trung bình)
T

T

f (t)dWt := l.i.mn→∞
0

fn (t)dWt

(1.6)

0

(l.i.m là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình).
Ta gọi biến ngẫu nhiên trong (1.6) là tích phân ngẫu nhiên Wiener của f hoặc
tích phân Wiener, và kí hiệu là I(f ). Hơn nữa, với 0 ≤ s ≤ t ≤ T ta định nghĩa
t

t

s

s

f (u)dWu −

f (u)dWu =
0

f (u)dWu .

(1.7)

0

Dễ dàng chứng tỏ rằng I(f ) không phụ thuộc vào cách chọn dãy {fn } (ở trên),
và I(f ) có tính chất:
• I(f ) là biến ngẫu nhiên Gauss có trung bình bằng 0 và phương sai bằng
||f ||2 =

T
0

|f (t)|2 dt;

• I là ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng giữa không gian Hilbert
L2 ([0, T ), L2 (Ω).

Footer Page 15 of 126.


Header Page 16 of 126.
12

1.4

Tích phân ngẫu nhiên Ito

Tích phân Wiener là tích phân của hàm tất định theo độ đo Wiener, ta sẽ
mở rộng hàm dưới dấu tích phân là một hàm ngẫu nhiên f : [0, T ] × Ω → R, với
T không âm. Ta sẽ định nghĩa tích phân dạng
T

I(f ) =

f (t, w)dWt
0

cho một lớp các hàm ngẫu nhiên.
Kí hiệu Ft = σ(Ws , s ≤ t) là sigma trường tự nhiên sinh ra từ quá trình Wiener
{Wt , t ∈ [0, T ]}. Ta gọi đó là lọc tự nhiên sinh từ quá trình (Wt ).

1.4.1

Xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito

Bây giờ ta xây dựng tích phân ngẫu nhiên của hàm ngẫu nhiên f : [0, T ]×Ω →
R.
Ký hiệu NT là lớp các hàm ngẫu nhiên
f : [0, T ] × Ω → R

sao cho
(i) f (t, w) là hàm đo được theo hai biến.
(ii) ft là tương thích đối với Ft , tức là, với mỗi t ∈ [0, T ] hàm w → f (t, w) là Ft đo được.
(iii)

T
0

E|f (t, w)|2 dt < ∞.

Việc xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô cũng tương tự như việc xây dựng tích
phân Wiener. Do đó để xây dựng khái niệm tích phân ngẫu nhiên thuộc lớp NT
trước hết ta xét các hàm sơ cấp đơn giản.
Định nghĩa 1.4.1. Hàm φ ∈ NT được gọi là hàm sơ cấp nếu nó có dạng
n−1

φ(t, w) =

λk (w)1Ak (t)

(1.8)

k=0

trong đó 0 = t0 < t1 < ... < tn = T là một phân hoạch hữu hạn của [0, T ], λk (w)
là biến ngẫu nhiên Ftk -đo được, Ak = [tk , tk+1 ), k = 0, 1, ..., n − 1 và 1A là hàm chỉ
tiêu của tập A.
Footer Page 16 of 126.


Header Page 17 of 126.
13

Nếu φ có dạng (1.8), đặt
n−1

T

I(φ) =

λk (w)(Wtk +1 − Wtk ).

φ(t, w)dWt :=
0

(1.9)

k=0

Tính chất 1.4.2. (1)
T

T

(aφ + bψ)dWt = a

T

φdWt + b

0

0

ψdWt
0

(2)
T

E[I(φ)] = E

φ(t, w)dWt = 0
0

(3)
T
2

E (I(φ))

φ(t, w)2 dt .

=E
0

Ta cần đến kết quả xấp xỉ sau:
Bổ đề 1.4.3. (1) Với g ∈ NT bị chặn và g(., w) liên tục với mỗi w, thì tồn tại
dãy hàm sơ cấp φn ∈ NT sao cho
T

(φn − g)2 dt = 0.

lim E

n→∞

0

(2) Với h ∈ NT bị chặn thì tồn tại một dãy hàm gn ∈ NT bị chặn sao cho
gn (., w) liên tục với mỗi w và
T

(gn − h)2 dt = 0.

lim E

n→∞

0

(3) Với f ∈ NT tồn tại hãy hàm hn ∈ NT sao cho hn (., w) bị chặn với mỗi n và
T

(hn − f )2 dt = 0.

lim E

n→∞

0

Nhờ các kết quả xấp xỉ trên ta kết luận: Với f ∈ NT tồn tại dãy hàm sơ cấp
φn ∈ NT bị chặn sao cho
T

(φn − f )2 dt = 0.

lim E

n→∞

Footer Page 17 of 126.

0


Header Page 18 of 126.
14

Khi đó, I(φn ) =

T
0

φn dWt là dãy Cauchy trong L2 (Ω).

Do L2 (Ω) là không gian đầy đủ nên I(φn ) hội tụ đến một giới hạn nào đó
trong. L2 (Ω), kí hiệu là I(f ). Khi đó, ta định nghĩa một tích phân ngẫu nhiên
Ito theo công thức sau
T

I(f ) =

T

f (t, w)dWt := limn→∞
0

φn dWt

(1.10)

0

Ta xét một vài ví dụ đơn giản sau
Ví dụ 1.4.4.

1. I =

b

dWt .
a

Tích phân này có f ≡ 1 nên theo định nghĩa

b

I=

n − 1(Wti+1 − Wti ) = Wb − Wa

dWt =
a

i=0

trong đó, a = t0 < t1 < ... < tn = b là một phân hoạch của đoạn [a, b].
2. Với W = {Wt , t ∈ [0, T ]} là một chuyển động Brown bắt đầu từ 0, xét
t

I=

Ws dWs
0

Ta đi xấp xỉ W bởi một hàm sơ cấp. Với mỗi n, đặt
ti = i

t
, i = 0, 1, ...., 2n − 1.

n
2

Đặt
2n −1

φn (t) =

Wti 1[ti ,ti+1 )
i=0

Footer Page 18 of 126.


Header Page 19 of 126.
15

Ta đi kiểm tra xem φn (t) có hội tụ đến Wt khi n → ∞ hay không. Ta có:
2n −1

T

ti+1

(Wti − Ws )2 ds

(φn (s) − Wt )2 ds = E

E
0

ti

i=0
2n −1

ti+1

(Wti − Ws )2 ds

E

=

ti

i=0
2n −1

ti+1

E(Wti − Ws )2 ds

=
i=0
2n −1

ti

i=0

2n −1

ti

ti+1

(s − ti )ds

=
2−n

sds

=
0

=

i=0
2n −1 2
s
i=0
2n −1

2

2−n
0

2−2n−1

=
i=0

= 2−n−1

→0

khi

n→∞

Do đó
t

t

Ws dWs = lim

n→∞

0

φn (s)dWs
0

2n−1 Wti (Wti+1 − Wti )

= lim

n→∞

i=0

2n−1 Wti ∆Wti

= lim

n→∞

i=0

trong đó ∆Wti = Wti+1 − Wti .
Tương tự, đặt Wt2i = Wt2i+1 − Wt2i .
Do W0 = 0 = W02 nên ta có
2n−1 ∆Wti

Wt =
i=0

2n−1 ∆Wt2i

Wt2 =
i=0

Footer Page 19 of 126.


Header Page 20 of 126.
16

Mặt khác
∆Wt2i = Wt2i+1 − Wt2i
= (∆Wti + Wti )2 − Wt2i
= (∆Wti )2 + 2∆Wti Wti + Wt2i − Wt2i
= (∆Wti )2 + 2∆Wti Wti

Từ đó

2n −1

[(∆Wti )2 + 2∆Wti Wti ]

Wt2 =
i=0
n

2 −1

i=0

1
1
∆Wti Wti = Wt2 −
2
2

2n −1

(∆Wti )2

i=0

Theo tính chất của chuyển động Brown,
2n −1

(∆Wti )2 = t

lim E

n→∞

i=0

Vì vậy
2n −1

t

Ws dWs = lim
0

n→∞

Wti ∆Wti
i=0
2n −1

1 2 1
W −
2 t

2

= lim

n→∞

i=0

1
1
= Wt2 − lim
2
2 n→∞

2n −1

(∆Wti )2
i=0

2n −1

(∆Wti )2
i=0

1
t
= Wt2 −
2
2

1.4.2

Một số tính chất của tích phân ngẫu nhiên Ito

Định lý 1.4.5. Cho f, g ∈ NT . Khi đó
(1)
T

T

[f (t, w) + g(t, w)]dWt =
0

Footer Page 20 of 126.

T

f (t, w)dWt +
0

g(t, w)dWt
0


Header Page 21 of 126.
17

(2)
T

T

cf (t, w)dWt = c

∀c ∈ R

f (t, w)dWt

0

0

(3)
T

u

f (t, w)dWt =
0

T

f (t, w)dWt +
0

f (t, w)dWt

∀0 < u < T

u

Định lý 1.4.6. Cho f, g ∈ NT . Khi đó
(1)
T

E

f (t, w)dWt

=0

0

(2)


2

T

E



T

f (t, w)2 dt

=E

f (t, w)dWt

0

0

(3)
T

E

T

f (t, w)dWt
0

T

g(t, w)dWt = E
0

f (t, w)g(t, w)dt
0

Định nghĩa 1.4.7. Giả sử f ∈ Nt . Ta đặt
t

Xt =

f (s, w)dWs .

0

Khi đó hàm ngẫu nhiên Xt được gọi là tích phân Ito bất định của f .
Định lý 1.4.8. Giả sử f ∈ Nt . Khi đó
(1) Xt là Ft -đo được.
(2) Xt là một martingale đối với họ Ft .
(3) Xt có bản sao liên tục, tức là tồn tại một quá trình ngẫu nhiên Jt liên tục
theo t trên (Ω, F, P ) sao cho
P [Jt = Xt ] = 1

∀t, 0 ≤ t ≤ T.

Chứng minh.
(1) Giả sử 0 = t0 < t1 < ... < tn = t là một phân hoạch của đoạn [0, t]. Khi đó,
n−1

t

Xt =

λi (w)(Wti+1 − Wti ).

f (s, w)dWs = lim
0

n→∞

i=0

Vì λi (w)(Wti+1 − Wti ) là một Ft đo được nên với mọi ti+1 ≤ t nên Xt là Ft

đo được
Footer Page 21 of 126.


Header Page 22 of 126.
18

(2) Xt là một martingale vì:
– E[|Xt |] < ∞. Thật vậy, ta có
2

t

E[Xt2 ]

=E

f (s, w)dWs

t

f (s, w)2 dt < ∞

=E

0

0

(E[|Xt |])2 ≤ E[|Xt |2 ] < ∞

Do đó, E[|Xt |] < ∞
– Xt là Ft - đo được (chứng minh ở trên).
– E[Xt |Ft ] = Xs với s < t.
Thật vậy,
t

f (s, w)dWs Fs

E
0

s

t

=E

f (u, w)dWu +
0
s

f (u, w)dWu
t

f (u, w)dWu Fs + E

=E

Fs

s

0

f (u, w)dWu Fs
s

s

=

f (u, w)dWu .
0

(3) Giả sử 0 = t0 < t1 < ... < tn = T là một phân hoạch của đoạn [0, T ],
Ak = [tk , tk+1 ), k = 0, 1, ..., n − 1. Đặt
n−1

φn = φn (t, w) =

λk (w)1Ak (t)
k=0

là một hàm sơ cấp sao cho
T

(f − φn )2 dt → 0 khi n → ∞

E

0

Đặt

t

In (t, w) =

φn (s, w)dWs
0

và

t

It = I(t, w) =

f (s, w)dWs ,
0

Footer Page 22 of 126.

0 ≤ t ≤ T.


Header Page 23 of 126.
19

Khi đó, In (., w) liên tục với mọi n. Hơn nữa, In (t, w) là một martingale
tương thích với lọc Ft với mọi n. Thật vậy, với t < s ta có:

E[In (s, w)|Ft ]
t

=E

s

φn dWs Ft

φn dWs +
0

t





φn dWs + E 

λj (w)(Wtj+1 − Wtj ) Ft 

t

=
0

t≤tj t

=

Ft ]

E E[λj (Wtj+1 − Wtj )|Ftj

φn dWs +
0

do(Ft ⊂ Ftj )

j
t

=

E λj E[(Wtj+1 − Wtj ) Ftj ] Ft

φn dWs +
0

j
t

=

φn dWs
0

= In (t, w).

Do đó In − Im cũng là một martingale tương thích với Ft . Theo bất đẳng
thức martingale ta có
P

sup |In (t, w) − Im (t, w)| > ε
0≤t≤T

≤

1
E[|In (T, w) − Im (T, w)|2 ]
ε2

=

1
E
ε2

T

(φn (t, w) − φm (t, w))2 ds → 0

khi n, m → ∞

0

vì
T

(φn (t, w) − φm (t, w))2 ds

E
0

T

T
2

≤ 2E
0

→0

(f − φm )2 ds

(f − φn ) ds + 2E
0

khi n, m → ∞.

Do đó, ta có thể chọn được dãy con nk → ∞ sao cho
P

sup |Ink+1 (t, w) − Ink (t, w)| > 2−k < 2−k
0≤t≤T

Footer Page 23 of 126.

Header Page 24 of 126.
20

Theo bổ để Borel-Cantelli
sup |Ink+1 (t, w) − Ink (t, w)| > 2−k đối với vô sốk = 0

P

0≤t≤T

Khi đó, với hầu hết w, tồn tại k1 (w) sao cho khi k ≥ k1 (w)
sup |Ink+1 (t, w) − Ink (t, w)| ≤ 2−k
0≤t≤T

Do đó, Ink (t, .) hội tụ đều với mỗi t ∈ [0, T ] với hầu hết w, ký hiệu giới hạn
đó là Jt (w). Khi đó Jt (w) là một hàm liên tục theo t, t ∈ [0, T ].
Do Ink (t, .) → I(t, .) trong L2 với mỗi t nên
It = Jt

1.4.3

hầu chắc chắn với mọit ∈ [0, T ].

Tích phân Ito tổng quát

Tổng quát hơn, ta sẽ định nghĩa tích phân ngẫu nhiên

b

f (t)dWt
a

cho quá

trình ngẫu nhiên f (t) thỏa mãn các điều kiện dưới đây
(a) f (t) thích nghi với bộ lọc {Ft },
(b)

b
|f (t)|2 dt
a

< ∞ hầu chắc chắn.

Điều kiện (b) nghĩa là hầu hết các quỹ đạo mẫu là các hàm trong không gian
Hilbert L2 [a, b]. Do đó ánh xạ w → f (., w) là một hàm đo được từ Ω vào L2 [a, b].
Ta ký hiệu Lad (Ω, L2 [a, b]) là không gian các quá trình ngẫu nhiên f (t, w) thỏa
mãn điều kiện (a), (b).
Ở trên, ta ký hiệu lại L2ad ([a, b] × Ω) là không gian của các quá trình ngẫu nhiên
f (t) thỏa mãn
• f (t) thích nghi với {Ft },
•

b
E(|f (t)|2 )dt
a

< ∞.

Theo định lý Fubini, E

b
|f (t)|2 dt
a

=

b
E(|f (t)|2 )dt
a

< ∞ nên

Từ đó ta có
L2ad ([a, b] × Ω) ⊂ Lad (Ω, L2 [a, b]).

Footer Page 24 of 126.

b
|f (t)|2 dt
a

< ∞.


Header Page 25 of 126.
21

Do đó ta có một lớp rộng hơn của các hàm dưới dấu tích phân f (t, w) cho tích

phân ngẫu nhiên

b
f (t)dWt .
a

Bổ đề 1.4.9. Cho f ∈ Lad (Ω, L2 [a, b]). Khi đó tồn tại một dãy {fn } trong
L2ad ([a, b] × Ω) thỏa mãn
b

|fn (t) − f (t)|2 dt = 0

lim

n→∞

a

hầu chắc chắn, và do đó cũng đúng theo xác suất.
Bổ đề 1.4.10. Cho f (t) là một quá trình ngẫu nhiên bậc thang trong L2ad ([a, b] ×
Ω). Khi đó
b

≤

f (t)dB(t) >

P

C

2

a

với hằng số dương

b

|f (t)|2 dt < C

+P
a

và C bất kỳ.

Để định nghĩa tích phân ngẫu nhiên tổng quát ta cần bổ đề xấp xỉ sau
Bổ đề 1.4.11. Cho f ∈ Lad (Ω, L2 [a, b]). Khi đó tồn tại một dãy {fn (t)} các quá
trình ngẫu nhiên bậc thang trong L2ad ([a, b] × Ω) sao cho
b

|fn (t) − f (t)|2 dt = 0,

lim

n→∞

(1.11)

a

theo xác suất.
Bây giờ ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên tổng quát
b

f (t)dWt
a

với f ∈ Lad (Ω, L2 [a, b]).
Áp dụng bổ đề (1.4.11) ta chọn được một dãy {fn (t)} của quá trình ngẫu nhiên
bậc thang trong L2ad ([a, b] × Ω) sao cho
b

|fn (t) − f (t)|2 dt = 0.

lim

n→∞

a

Với mỗi n, tích phân ngẫu nhiên
b

I(fn ) =

fn (t)dWt
a

Footer Page 25 of 126.