Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (NCKH)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

VỀ XÁC ĐỊNH HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
QUA ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM
Mã số: ĐH2013-TN04-08

Chủ nhiệm đề tài: ThS Lê Quang Ninh

Thái Nguyên, 5/2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

VỀ XÁC ĐỊNH HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
QUA ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM
Mã số: ĐH2013-TN04-08
Xác nhận của tổ chức chủ trì

Chủ nhiệm đề tài

(ký, họ tên, đóng dấu)

(ký, họ tên)

Thái Nguyên, 5/2017


i

DANH SÁCH THÀNH VIÊN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

TT
1

Họ và tên
ThS Lê Quang Ninh

Đơn vị công tác

Trách nhiệm

Trường ĐH Sư phạm - Chủ nhiệm
ĐHTN

2

ThS Nguyễn Xuân Lai Trường CĐ Hải Dương

Thành

viên

nghiên cứu

3

ThS Phạm Ngọc Hoa

Trường CĐ Hải Dương

Thành
nghiên cứu

viên



iii

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của
tập hợp điểm
- Mã số: ĐH2013-TN04-08.
- Chủ nhiệm đề tài: ThS Lê Quang Ninh.
- Tổ chức chủ trì: Trường Đại học sư phạm-Đại học Thái Nguyên.
- Thời gian thực hiện: 24 tháng.
2. Mục tiêu:
- Đưa ra các tập hợp điểm xác định hàm phân hình khác hằng.
- Xây dựng các lớp siêu mặt xác định các đường cong chỉnh hình không suy

biến tuyến tính.
- Đưa ra các tập hợp điểm và các lớp siêu mặt trong không gian xạ ảnh p-adic có
tính chất đề ra ở trên.
3. Tính mới và sáng tạo: Có một số kết quả mới trong 2 bài báo khoa học xuất bản
trên tạp chí trong nước và quốc tế, trong đó có 1 bài trong danh mục SCIE.
4. Kết quả nghiên cứu: Thu được 2 lớp đa thức thuần nhất xác định duy nhất
đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính và chỉ ra rằng nếu X là một siêu
mặt được xác định bởi lớp đa thức này thì X là tập xác định duy nhất cho đường
cong chỉnh hình p-adic không suy biến tuyến tính.
5. Sản phẩm:
5.1. Sản phẩm khoa học (Bài báo khoa học):
5.1.1. Vu Hoai An and Lê Quang Ninh (2016), “On functional equations of the


iv

Fermat-Waring Type for non- Archimedean vectorial entire functions”, Bulletin of
the Korean Mathematical Society, Vol.53 (No.4), pp.1185-1196.
5.1.2. Le Quang Ninh (2015), “Uniqueness polynomials for linearly nondegenerate p-adic holomorphic curves”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ Đại học
Thái Nguyên, tập 144 (số 14), pp179-185.
5.2. Sản phẩm đào tạo:
5.2.1. Vũ Thị Hạnh (2015), Một số dạng định lý chính thứ hai cho hàm phân
hình p-adic, khóa luận tốt nghiệp của sinh viên Trường Đại học sư phạm.
5.2.2. Nguyễn Thị Thanh Hương và Nguyễn Thùy Linh (2017), Phương trình
kiểu Fermat-Waring đối với hàm phân hình, đề tài nghiên cứu khoa học của sinh
viên Trường Đại học sư phạm.
6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của
kết quả nghiên cứu: phục vụ cho công tác đào tạo và nghiên cứu của sinh viên và
học viên cao học ngành toán giải tích.

Ngày

tháng

Tổ chức chủ trì

Chủ nhiệm đề tài

(ký, họ và tên, đóng dấu)

(ký, họ và tên)

năm


v

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General information:
Project title: On determine holomorphic function and mapping through inverse
mapping of point sets.
Code number: ĐH2013-TN04-08.
Coordinator: ThS Lê Quang Ninh.
Implementing institution: Thai Nguyen University of Education
Duration: 24 months.
2. Objective(s):
- Give point sets that determine meromorphic function.
- Give classes of hypersurface that determine linearly non-degenerate
holomorphic curves.

- Construction point sets and classes of hypersurface in  N   p  of the nature
set forth above.
3. Creativeness and innovativeness: There are some new results in two scientiflic
articles published in the national journal of science and international journal, where
one paper belongs to the SCIE.
4. Research results:
Obtained two classes of homogeneous polynomial with the uniqueness property for
linearly non-degenerate holomorphic curves and show that if X is hypersurface
defined by a polynomial in this class, then X is a unique range set for linearly nondegenerate p-dic holomorphic curves.
5. Products:
5.1. Scientific products:
5.1.1. Vu Hoai An and Lê Quang Ninh (2016), “On functional equations of the
Fermat-Waring Type for non- Archimedean vectorial entire functions”, Bulletin of


vi

the Korean Mathematical Society, Vol.53 (No.4), pp.1185-1196.
5.1.2. Le Quang Ninh (2015), “Uniqueness polynomials for linearly nondegenerate p-adic holomorphic curves”, Journal of science and technology Thai
Nguyen University, Vol 144 (No 14), pp179-185.
5.2. Training products:
5.2.1. Vu Thi Hanh (2015), Some the second main theorem type for p-adic
meromorphic functions, Graduation thesis of students of Thai Nguyen University of
Education.
5.2.2. Nguyen Thi Thanh Huong và Nguyen Thuy Linh (2017), The equations
of Fermat-Waring type for meromorphic functions, Scientific research project of
the students of Thai Nguyen University of Education.
6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of
research results: the training and research of students and graduate students of
Thai Nguyen University.

✶

▼ð ✤➛✉
✶✳ ❚➼♥❤ ❝➜♣ t❤✐➳t ✤➲ t➔✐
❚r♦♥❣ t♦→♥ ❤å❝✱ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✤↕✐ sè ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ ♠å✐ ✤❛
t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ ✈î✐ ❤➺ sè ♣❤ù❝ ❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ♣❤ù❝✳ ❚ø
✤â s✉② r❛ ♠å✐ ✤❛ t❤ù❝ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ ✈î✐ ❤➺ sè ♣❤ù❝ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ♣❤ù❝ ❜➜t
❦ý✳ P✐❝❛r❞ ❧➔ ♥❣÷í✐ ✤➛✉ t✐➯♥ ♠ð rë♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✣↕✐ sè ❝❤♦ ❤➔♠
♥❣✉②➯♥ ♣❤ù❝ ♠➔ ♥❣➔② ♥❛② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✣à♥❤ ❧þ P✐❝❛r❞✳ ✣à♥❤ ❧þ P✐❝❛r❞
♥ê✐ t✐➳♥❣ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤✿ ♠å✐ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ ♠ët ❜✐➳♥ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ ♠➦t
♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝

C ♥❤➟♥ ♠å✐ ❣✐→ trà ♣❤ù❝✱ trø r❛ ❝ò♥❣ ❧➢♠ ❧➔ ♠ët ❣✐→ trà✳ ❱➔♦

♥❤ú♥❣ t❤➟♣ ♥✐➯♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ t❤➳ ❦✛ ❳❳✱ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✤➣ ①➙② ❞ü♥❣ ❧þ
t❤✉②➳t ♣❤➙♥ ❜è ❣✐→ trà ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥

C

♠➔ ♥❣➔② ♥❛② ✤÷ñ❝

❣å✐ ❧➔ ❧þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✳ ❑➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❧➔
❤❛✐ ✤à♥❤ ❧þ ❝❤➼♥❤✳
✣à♥❤ ❧þ ❝❤➼♥❤ t❤ù ♥❤➜t ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✤↕✐ sè✱ ♠æ
t↔ sü ♣❤➙♥ ❜è ✤➲✉ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥

C.

✣à♥❤ ❧þ

❝❤➼♥❤ t❤ù ❤❛✐ ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ P✐❝❛r❞✱ ♠æ t↔ ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ❝õ❛ ✤↕♦
❤➔♠ ✤➳♥ sü ♣❤➙♥ ❜è ❣✐→ trà ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳
❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐ ❧➔ ♥❣÷í✐ ✤➛✉ t✐➯♥ ①➙② ❞ü♥❣ t÷ì♥❣ tü ▲þ t❤✉②➳t ♣❤➙♥
❜è ❣✐→ trà ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣

p✲❛❞✐❝✳

➷♥❣ ✈➔ ❝→❝ ❤å❝ trá ✤➣ ①➙② ❞ü♥❣ t÷ì♥❣

tü ❧þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ tr÷í♥❣ sè
❧➔ ❧þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛

p✲❛❞✐❝✳

p✲❛❞✐❝

♠➔ ♥❣➔② ♥❛② t❤÷í♥❣ ❣å✐

❍å ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❤❛✐ ✣à♥❤ ❧þ ❝❤➼♥❤ ❝❤♦ ❤➔♠

♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ →♥❤ ①↕ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤

p✲❛❞✐❝✳

▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ù♥❣ ❞ö♥❣ s➙✉ s➢❝ ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t ♣❤➙♥ ❜è ❣✐→ trà ✭♣❤ù❝

p✲❛❞✐❝✮ ❧➔ ✈➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣
✭♣❤ù❝ ✈➔ p✲❛❞✐❝✮ q✉❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ↔♥❤ ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ ✤✐➸♠ ♠➔ ♥❣➔②

✈➔

♥❛② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✣à♥❤ ❧þ ✺ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✭❤♦➦❝ t÷ì♥❣ tü ❝õ❛ ✣à♥❤
❧þ ✺ ✤✐➸♠ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣

p✲❛❞✐❝✮✳ ❈â ❤❛✐ ❤÷î♥❣ ♠ð rë♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✺ ✤✐➸♠✳




ữợ tự t s sỹ rở tỹ ừ ỵ
t r r ừ ừ
s s t tr trữớ ủ
ự

p ố ợ t


t t ữợ tự t ữủ ự
tử ợ t q ừ t t
rs P r
t ộ ự r ự
ssst P t ự r Pữỡ
rss ữ r ởt ỵ tữ ợ ổ t ữủ
ừ r r t ữủ ừ t ủ tr

C {} .

ữ r ọ s

ỗ t ổ t ừ

ợ t ý

Ef (S) = Eg (S) t õ f = g?
ỗ t ổ t Si , i = 1, 2 ừ C {} ợ t ý
f, g tọ Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, 2 t
õ f = g?



f, g

C {}

tọ

ổ tr tr ớ ọ ừ rss t t tr
ữợ tự s
t ừ t ủ tr trữớ
ủ ự

p

ố ợ

ữợ tự ữủ t q s s ừ rss
s rs
P t rs ssst
P

q t ừ
tự t tự t ữỡ tr

P (z) C[z] ữủ ồ tự t
tr C ợ ồ f, g
tr C tọ P (f ) = P (g) t õ f = g.
ữỡ tỹ ởt tự P (z) C[z] ữủ ồ tự
t tr C ợ ồ
ởt tự




f, g tr C số c = 0 tọ P (f ) = cP (g)
t õ f = g.
tự t tữỡ ự t ố ợ
ữủ ỵ P tữỡ ự P
ữỡ tỹ t õ tự t ữớ
ổ s t t ữủ ỵ P

ự ổ tỗ t
t

f, g

tọ

P (f ) = P (g).

t

ỹ ợ tự t t ừ õ
t t ụ
ự ố ợ ữỡ tr

P (f ) = Q(g).



P ổ t ố ợ ữỡ
tr

P (f ) = Q(g).

ỹ ợ

tự t t ừ ú t
t
ứ t q tr ú tổ t ổ ỹ t
t ỗ ữợ

Ef (S) = Eg (S) E f (S) =
E g (S) ữ ữỡ tr P (f ) = cP (g); é õ S t
ừ tự P ổ õ ở c = 0.
ữợ ứ ữủ

ữợ ũ ỵ tt ự

c = 1 ự ữỡ tr P (f ) = P (g) õ
t f = g ũ t r r ừ ữớ ự

ữỡ tr P (f ) = cP (g), c = 0 õ t f = g.
r rs ỹ s t X t



ữớ ổ s t t ổ ỹ
s t

X

ỗ ữợ

ởt ũ ở ữ r ữỡ tr
ố ợ

f1 , . . . , fN +1 ; g1 , . . . , gN +1 .

ự ừ ữỡ tr õ

(f1 , . . . , fN +1 , g1 , . . . , gN +1 ).


✹

Ð ❞↕♥❣ ♥➔②

γ

❧➔ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ❝â ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠✳

❚ø ✤â✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝â ♥❤➟♥ ①➨t r➡♥❣✿ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠
✭P (f1 , . . . , fN +1 )

= P (g1 , . . . , gN +1 )✮

P (f ) = P (g)

❣➢♥ ❜â ♠➟t t❤✐➳t ✈î✐ ❱➜♥ ✤➲ ①→❝

✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✭✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥
t✉②➳♥ t➼♥❤✮✳ ❈â t❤➸ ♥â✐ r➡♥❣✿ ♠é✐ t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ✭t❤❡♦ ❤÷î♥❣
t❤ù ❤❛✐✮ ✤➲✉ ♥↔② s✐♥❤ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠

P (f ) = P (g)

✈➔ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✳ ❚ø ✤➙②✱ ♥↔② s✐♥❤ ❤❛✐ ❝➙✉ ❤ä✐✳

❈➙✉ ❤ä✐ ✶✿ ❱➜♥ ✤➲ ✈æ ♥❣❤✐➺♠✱ ❝â ♥❣❤✐➺♠✱ ❝â ❤ú✉ ❤↕♥ ♥❣❤✐➺♠✱ ❝â
♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t✱ ♠æ t↔ ♥❣❤✐➺♠✱✳ ✳ ✳ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠

P (f ) = Q(g)

❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ↔♥❤ ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛ ❝→❝ t➟♣ ✤è✐ ✈î✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ♥❤÷ t❤➳
♥➔♦❄
❈➙✉ ❤ä✐ ✷✿ ❱➜♥ ✤➲ ✈æ ♥❣❤✐➺♠✱ ❝â ♥❣❤✐➺♠✱ ❝â ❤ú✉ ❤↕♥ ♥❣❤✐➺♠✱ ❝â
♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t✱ ♠æ t↔ ♥❣❤✐➺♠✱✳ ✳ ✳ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥
✤è✐ ✈î✐ ❝→❝ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥

P (f1 , . . . , fN +1 ) = Q(g1 , . . . , gN +1 )

❧✐➯♥ q✉❛♥

✤➳♥ ↔♥❤ ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛ ❝→❝ s✐➯✉ ♠➦t ✤è✐ ✈î✐ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♥❤÷ t❤➳
♥➔♦❄
◆➠♠ ✷✵✵✼✱ ❋✳P❛❦♦✈✐❝❤ ✤➣ ❝â þ t÷ð♥❣ ①➨t ↔♥❤ ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❝♦♠✲
♣❛❝t ❤ú✉ ❤↕♥ ❤♦➦❝ ✈æ ❤↕♥

K1 , K2 ∈ C

✤è✐ ✈î✐ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ ♣❤ù❝

f1 , f2 .

➷♥❣ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❝➙✉ ❤ä✐ s❛✉✿
✐✐✐✮ ❱î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥➔♦ ❝õ❛

f1 , f 2 , K 1 , K 2

t❤➻

f1−1 (K1 ) = f2−1 (K2 )❄

❈➙✉ ❤ä✐ ❝õ❛ ❋✳P❛❦♦✈✐❝❤ ❝â ❣è❝ ❣→❝ tø ❝➙✉ ❤ä✐ s❛✉ ✤➙② ❝õ❛ ❈✳ ❈✳ ❨❛♥❣✳

f1 , f2 ❧➔ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝
f1 = f2 ❤♦➦❝ f1 = −f2 ❄

✐✈✮ ❈❤♦
❑❤✐ ✤â

♣❤ù❝✱

S = {−1, 1}

✈➔

f1−1 (S) = f2−1 (S).

❈→❝ ❝➙✉ ❤ä✐ ❝õ❛ ●r♦ss✱ ❝õ❛ P❛❦♦✈✐❝❤ ✈➔ ❈➙✉ ❤ä✐ ✶✱ ✷ ♥➯✉ tr➯♥ ✤➣ ❣ñ✐
þ ✈➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s❛✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐✿
❱➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ❳→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ ✈➔ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ q✉❛ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ↔♥❤ ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ ✤✐➸♠✳ ❈ö t❤➸ ❧➔✿ ❳→❝ ✤à♥❤ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤
❤➻♥❤ ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ q✉❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ↔♥❤ ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛

Xi , Yi

♥➔♦

✤â✳
❚÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ✈➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr➯♥ ❧➔ ♠ö❝ t✐➯✉ ✈➔ ♥❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ s❛✉✿
✶✳ ❚➻♠ ❝→❝ t➟♣

Si

✤➸ tø

❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤

E f (Si ) = E g (Si )

p✲❛❞✐❝✳

①→❝ ✤à♥❤ ✤÷ñ❝

f, g

✈î✐

f, g




s t

X

t ữớ

p

ổ s
ổ ử ữủ ũ qt tr ỵ
ừ ỵ tt tữỡ tỹ ừ õ ờ r
tữỡ tỹ ừ õ tr trữớ ủ
tr trữớ ủ t

Si , Ti

p

ỷ ử ổ ử

s t

Xi , Yi

t ý rt

õ tr t ú tổ t t
ổ ừ tự s t

Xi , Yi

Si , Ti

t

rtr

ợ ổ ử õ tr ự ữủ tỹ t s

P (f ) = Q(g); ữỡ tr
P (f1 , . . . , fN +1 ) = Q(g1 , . . . , gN +1 ), õ P, Q

t ữỡ tr
ợ

ố

tự ởt rtr
ũ t q tr ợ ữủ ừ t ủ
ữủ ừ s t ữ r t q tữỡ ự ố ợ
ữớ
ỵ

K

p

ởt trữớ õ số ợ số ổ ừ ợ

tr tt ố ổ st ổ t tữớ ữủ ỵ

| . |.

ú tổ tt ởt s t t ữớ


p

ổ s t t tứ tự rtr

ợ tự rtr ữủ ỹ ữ s
ởt ồ

q

tự ừ

tr tờ qt

KN +1

N +1

ợ số tở

K

ữủ ồ



N + 1 tự tr ồ ổ
N +1
õ ổ tr K
{0}.
Li = Li (z1 , . . . , zN +1 ) = i,1 z1 + i,2 z2 + ã ã ã + i,N +1 zN +1 , i =
1, 2, . . . , q q t t ừ N + 1 q > N + 1 tr tờ
N +1
qt tr K
. ợ n, m, số ữỡ m < n, a, b K,
a, b = 0. tự s ữủ ồ tự Y i(m, n)
tr

t

Y(m,n) (z1 , z2 ) = z1n az1nm z2m + bz2n .
t

q

tự t t

n
P1 = P1 (z1 , . . . , zN +1 ) = Y(m,n) (L1 , L2 ) = Ln1 aLnm
Lm
2 + bL2 ,
1
ợ

q i 2,

t
i1

Pi = Pi (z1 , . . . , zN +1 ) = Y(m,n) (Pi1 , Lni+1 ).




t tự rtr õ

nq

s

P (z1 , z2 , . . . , zN +1 ) = Pq (z1 , . . . , zN +1 ).
P (z1 , z2 , . . . , zN +1 ) ữủ ồ ởt q ừ tự Y i(m, n).
f1 , . . . , fN +1 g1 , . . . , gN +1 tr K, t ữỡ
tr P (f1 , . . . , fN +1 ) = P (g1 , . . . , gN +1 ).
N
ồ X ởt s t rtr tr P (K) ữủ
ữỡ tr P (z1 , . . . , zN +1 ) = 0.
P (z1 , z2 , . . . , zN +1 ) tự qtrt
n 2m + 8 m 3 f1 , . . . , fN +1 ; g1 , . . . , gN +1 ồ
ử tở t t tr K, tọ ữỡ tr P (f1 , . . . , fN +1 ) =
q
P (g1 , . . . , gN +1 ). õ gi = cfi , cn = 1, i = 1, . . . , N + 1.
f g ổ s t
t tứ K PN (K). X ởt s t rtr
ữỡ tr P (z1 , . . . , zN +1 ) = 0, ợ P (z1 , . . . , zN +1 )
tự qtrt ừ n 2m + 8, m 3. õ
àf (X) = àg (X) t f g.
tự

ỵ
ỵ

ỵ t ữỡ tr ố ợ

P (f1 , . . . , fN +1 ) = P (g1 , . . . , gN +1 ), õ P

tự

Yi (m, n)

rtr tứ õ
ỵ s õ tr ớ ọ ừ rss ố ợ ữớ
ổ s t t tứ

ử t ự

K



PN (K).

ữ r t ủ


ỹ ợ s t ữớ ổ
s t t
ỹ t ủ ợ s t tr ổ


p

õ t t tr

ở ự ữỡ ự
Pt tr ỵ tt t tr trữớ
ủ

p

ứ õ ử ự ý ữớ số

tr ổ ự
r

p

qt t


✼

❈❤÷ì♥❣ ✶

▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ ❧þ
t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✲❈❛rt❛♥ p✲❛❞✐❝
✶✳✶ ❍➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ p✲❛❞✐❝
✶✳✶✳✶ ❍➔♠ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛
❈❤♦ ❤➔♠ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝❤✉é✐ ❧✉ÿ t❤ø❛

p✲❛❞✐❝

∞

an z n ,

f (z) =

(an ∈ Cp ).

✭✶✳✶✮

n=0
❇→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö

ρ

❝õ❛ ❝❤✉é✐ ✭✶✮ ✤÷ñ❝ t➼♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝
1
1
= lim sup |an | n .
ρ
n→∞

ρ = 0 ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ρ = +∞✮
ù♥❣✱ tr➯♥ Cp ✮✳
◆➳✉ 0 < ρ < +∞ t❤➻ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö

◆➳✉

∞

●✐↔ sû ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛

f (z) =

t❤➻ ❝❤✉é✐ ❝❤➾ ❤ë✐ tö t↕✐

✈î✐

|z| < ρ

an z n

z=0

✈➔ ♣❤➙♥ ❦ý ✈î✐

❝â ❜→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö ❧➔

✭t÷ì♥❣

|z| > ρ✳
ρ✿ 0 < ρ

n=0

+∞✳

❱î✐ ♠é✐

r ∈ R+ ✿ 0 < r < ρ.

❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛

sè ❤↕♥❣ ❧î♥ ♥❤➜t

❜ð✐

µ(r, f ) = max |an |rn

n 0

✈➔

❝❤➾ sè tr✉♥❣ t➙♠

ν(r, f ) = max{n : |an |rn = µ(r, f )}.
n 0

∞
❚❛ t❤➜②✱ ♥➳✉ ❝❤✉é✐

an z n

❤ë✐ tö t↕✐

z ∈ Cp : |z| = r < ρ

t❤➻

n=0

lim |an |rn = 0✱

n→∞

❦➨♦ t❤❡♦ ❞➣②

❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿

{|an |rn }

❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣

R+ ✳

❉♦ ✤â✱ t❛ ❝â




ợ ộ s ộ ụ tứ t õ

1. ợ ộ r : 0 < r < à(r, f ) ổ tỗ t ỳ
2. à(r, f ) tử t r
3. ợ ộ r số tr t (r, f ) ổ tỗ t ỳ ởt

số ổ t õ

à(r, f ) = |a(r,f ) |r(r,f ) .
4. z Cp |z|

r t

max |an ||z|n

|f (z)|

n 0

max |an |rn = à(r, f ).
n 0



à(0, f ) = lim+ à(r, f ),
r0

(0, f ) = lim+ (r, f ).
r0

số tr t (r, f ) t t r r t


r

log à(r, f ) = log |a(0,f ) | +
0

+ (0, f ) log r,

(t, f ) (0, f )
dt
t
(0 < r < )



tr õ log rt tỹ ỡ số e

ừ ộ tứ

f (z) =

an z n

(an Cp )

t

n=0


lim |an |r2n = 0

n

lim |an |rn = 0

n
t



lim |an |r1n = 0.

n

Ar (Cp ).

r1 < r2



õ

Ar2 (Cp ) Ar1 (Cp ).


A(r (Cp )

t ủ ộ tứ ừ

ở tử ợ ỡ

f
s
As (Cp ).

r



f A(r (Cp )

z

t ồ

A(Cp ) = A( (Cp ).

t
f A(Cp )

ứ ổ tự tr s r ợ ộ

à(r, f ) t r
tở A(Cp ) ữủ ồ



ộ tỷ

ởt tr

Cp .




ỵ ợ r > 0 à(r, .) : Ar (Cp) R+ t t
t s

1. à(r, f ) = 0 f 0
2. à(r, f + g) max{à(r, f ), à(r, g)};
3. à(r, f g) = à(r, f )à(r, g).

ỵ sỷ ộ tứ õ ở tử > 0 ợ
ộ z Cp f (z) ở tử t tỗ t f (z) ữủ t t
ổ tự



nan z n1 .

f (z) =



n=1

ở tử ừ ộ (1.4) tử ừ f ỡ ỳ f t


1
à(r, f ) (0 < r < ).
r
f A (Cp ) õ ỗ t
à(r, f )

q

õ

ợ ộ r > 0 Ar (Cp) ừ ợ à(r, .)
tự Cp[z] trũ t tr Ar (Cp)
ỵ
ợ r > 0 f
ỵ rstrss



Ar (Cp ) {0} õ tỗ t tự

g(z) = b0 + b1 z + ã ã ã + b z Cp [z]
ợ = (r, f ) ởt ộ tứ h(z) = 1 +



cn z n ợ số

n=1

tr Cp t

f (z) = g(z)h(z)
à(r, g) = |b |r
h Ar (Cp )
à(r, h 1) < 1
à(r, f g) < à(r, f ).
t h(z) ổ õ ổ tr Cp [0; r] f (z) õ ổ
tr Cp [0; r].
1.

2.
3.
4.
5.

t
tr

ỵ t

Cp [0; r]

(r, f )

số ổ ừ

f




p
r ú t s ự ởt số t t
tr

D

ữủ ồ t
số

an Cp

D Cp ổ õ ổ f : D Cp
+
ữỡ ợ ộ a D tỗ t ởt r R

s



an (z a)n , z D Cp [a; r].

f (z) =
n=0

f ởt
Cp (z0 ; r) D õ


t tr

D z0 D



r R+

s



an (z z0 )n ,

f (z) =

z Cp (z0 ; r).

n=0


f (z0 ) = 0



f

t t ởt số ữỡ

q

aq = 0.



ố

ừ

q

f

ữủ ồ ở ừ

õ

f

Cp (z0 ; r)

ổ ỗ t ổ tr

z0

s

z0

an = 0

ợ ồ

t tỗ

n

ữủ ồ ổ ở

q

õ t ữợ

f (z) = (z z0 )q g(z) (g(z0 ) = 0),
tr õ

g

ú ỵ r

ộ ở tử ở tử ợ ỡ

g

ừ ừ

tử tr

g

s r

z0

Cp (z0 ; r).

ứ

g(z0 ) = 0

r

t tử

ổ ổ ừ

f

sỷ f t tr t D õ ợ

ộ n n ừ õ f (n) ổ tỗ t tr D z0 ổ
ở q ừ f t t õ f (n) (z0 ) = 0 ợ ồ n < q f (q) (z0 ) = 0.

r R+ f (z) = n=1 anzn ởt ộ ụ tứ


ợ số tr Cp õ s tữỡ ữỡ

1) f A(r (Cp );
2) f s3) ộ ụ tứ f ở tử tr Cp [0; r].

D ởt t ừ Cp ổ õ ổ
ởt f : D Cp {} ữủ ồ ởt tr
D tỗ t ởt t ổ q ữủ S D s S ổ
õ ợ tr D f ởt t tr D \ S
M(D) t tr D
D ởt t ừ Cp ổ õ ổ
ởt f : D Cp {} ữủ ồ ởt
ữỡ tr D ợ ồ a D tỗ t r > 0 q Z+ an Cp s




an (z a)n , z D Cp [0; r].

f (z) =
n=q


M er(D)

t ủ ữỡ tr

ứ t t
t

a

ở

q





a

aq = 0 ợ q > 0 t t õ f

D

õ ỹ

ỹ ổ

D ởt t ừ Cp ổ õ ổ
ởt f : D Cp {} ữủ ồ t t a D tỗ
+
t R {} an Cp s Cp (a; ) D Cp (a; ) =
ợ ộ > tọ

an (z a)n , z Cp (0; ).

f (z) =
n=0


D

f

t ữỡ t ồ ừ



H(D)

D

t t õ

t ủ t tr

t tr

D

H(D) M(D)
tr D f

rữớ tự ừ tr

f M(D) ữủ ồ ởt
ỹ tr D t t ồ f

ởt tỷ
ổ õ

f



t

M( (Cp ) = M(Cp (0; )).
t ởt tỷ ừ t ủ

M( (Cp ) = M(Cp (0; )) = M(Cp )




ữủ ồ ởt
t tr

tr Cp Cp (z) t ỳ

Cp õ Cp (z) M(Cp ) ộ tỷ tr t M(Cp ) Cp (z)

ữủ ồ s t
ớ t ự t ởt số t t ừ số ợ t

M(Cp ) f M( (Cp ) (0 < ) õ tỗ t
g
g, h A( (Cp ) s f = tr õ g h ổ õ tỷ
h
tr A( (Cp ). ỵ ú t õ t rở ởt
g
t à f =

h
à(r, g)
à(r, f ) =
(0 r < ).
à(r, h)
ừ tr

t ú t õ

à r,

1
f

=

1
.
à(r, f )

õ ỵ õ t ữủ t ữ s

ỵ ợ ộ r : 0 < r < à(r, .) : M((Cp) R+
t t t s

1) à(r, f ) = 0 f 0
2) à(r, f1 + f2 ) max{à(r, f1 ), à(r, f2 )};
3) à(r, f1 f2 ) = à(r, f1 )à(r, f2 )

trữ t t
r t ổ q ữợ số tỹ

0 < r <





f A( (Cp ),



f

0 , r,

tọ

0 <

ữợ



an z n ,

f (z) =

(am = 0, m 0).

n=m

am ỏ ữủ ỵ f (0) ợ a Cp tũ ỵ ỵ
1
n(r, f a
) số ổ ở ừ f a tr {|z| r} .
1
t n(0, ) = m. ố ở số tỹ 0 s 0 < 0 < .
f
ừ f t a
số

r

1
N r,
f a

=

1
n(t, f a
)

t
0

dt

ợ

0 < r < .






r

N (r, f = a) =

1
1
n(t, f a
) n(0, f a
)

t

1
) log r,
f a

dt + n(0,

0
ợ

0 < r <

ú ỵ r ợ

ổ tr

N (r,

1
)
f a

Cp [0, 0 ]

0

f a õ ỳ
N (0 , f = a) s

ố

ởt ữủ ỳ

r

N (r, f = a) N (0 , f = a) = N (r,
ứ ỵ t õ

1
) 0.
f a

1
= (v, f ).
f

n r,

t ổ tự s

N (r, f = 0) = log à(r, f ) log |am |,



õ

1
N (r, ) = N (r, f = 0) N (0 , f = 0) = log à(r, f ) log |am |,

f
tr õ

am

số ừ ỡ tự ọ t

f a t ụ số
1
Cp [0; r] n
(r, f a
)

tr ừ ộ

f a

tr

r

1
N r,
=
f a

1
n
(r, f a
)

t

am = 0



tr

ổ t ừ

dt ( < r < ).

0

ỵ f A(r (Cp) õ k ổ tr Cp[0, r] ợ
k 1 ở b f (Cp [0, r]) õ f b ụ õ k ổ
tr (Cp [0, r]) ở

q sỷ f A(r (Cp)(0 < ) ổ
õ ợ ộ b Cp t õ

N r,

1
1
= N (r,
f b
f

+ O(1) (r ).




ứ q tr t ữủ

q f ởt tr Cp õ
ợ ộ b Cp t õ

N r,

1
1
= N (r,
f b
f

+ O(1) (r ).



f M( (Cp ) ởt õ tỗ t
f0 , f1 Ar (Cp ) s f1 , f0 ổ õ tỷ tr Ar (Cp )
f1
f =
f0 ợ a Cp {} t số ổ
1
n(r, f a
) ừ f t a ỏ ồ số a ừ f

sỷ

1
n r,
f a


=

n(r, f ) = n(r, f10 ) : a = ,
1
n(r, f1 af
)
: a = .
0

1
)
N (r, f a

1
N r,
f a

=

ừ

f

t

a



N (r, f ) = N (r, f10 ) : a = ,
1
N (r, f1 af
)
: a = .
0



N (r, f = a) =

N (r, f = ) = N (r, f0 = 0) : a = ,
N (r, f1 af0 = 0)
: a = .

ữỡ tỹ t ụ ữủ


1
N (r, f a
)

sỷ

m0 , m1 N




n

f1 =
tr õ

1
n(r, f ), N (r, f ), n(r, f a
)

an z ;

bn z n ,

f0 =

n=m1

n=m0

am1 = 0, bm0 = 0

ổ tự s t

õ

N (r, f = 0) = N (r, f1 = 0) = log à(r, f1 ) log |am1 |,
N (r, f = ) = N (r, f0 = 0) = log à(r, f0 ) log |bm0 |.
t

|am1 |
|bm0 |
= log à(r, f ) log |f (0)|,

N (r, f = 0) N (r, f = ) = log à(r, f ) log




✶✺

tr♦♥❣ ✤â

f ∗ (0) =

am1
✳
bm0

❈â t❤➸ t❤➜②

f ∗ (0) = lim z m0 −m1 f (z) ∈ Cp∗ .
z→0

❍ì♥ ♥ú❛✱ sû ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✹✮ ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠

f1

✈➔

f0

t❛ ❝â

1
1
1
N (r, ) − N (r, f ) = N (r, ) − N (r, )
f
f1
f0
= log µ(r, f1 ) − log µ(ρ0 , f1 ) − log µ(r, f0 ) + log µ(ρ0 , f0 )
µ(r, f1 )
µ(ρ0 , f1 )
= log
− log
µ(r, f0 )
µ(ρ0 , f0 )
= log µ(r, f ) − log µ(ρ0 , f ).
✭✶✳✼✮
❈æ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✻✮ ✈➔ ✭✶✳✼✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❏❡♥s❡♥✳
❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➔♠ ❜ò ✭❤❛② ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ①➜♣ ①➾✮ ❝õ❛ ❤➔♠

f

❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝

m(r, f ) = log+ µ(r, f ) = max{0, log µ(r, f )}.
✣➦❝ ❜✐➺t

m r,

1
f

= log+ µ r,

1
f

= log+

1
= max{0, − log µ(r, f )}.
µ(r, f )

❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ①❡♠ ①➨t ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ✤➳♠ ✈➔ ❤➔♠
①➜♣ ①➾✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶✾✳ ●✐↔ sû fi ∈ M(ρ(Cp) (i = 1, 2, . . . , k)✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠é✐
r > 0✱ t❛ ❝â

k

N r,

k

fi

N (r, fi );

i=1
k

m r,

fi

N (r, fi );

i=1

i=1
k

max m(r, fi );

m r,

i∈{1,...,k}

i=1

Ar (Cp )✳

k

N r,

i=1

fi

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

k

❱î✐ ♠é✐

i = 1, . . . , k ✱

k

fi
i=1

❦➼ ❤✐➺✉

fi =

m(r, fi ).
i=1

fi1
✱
fi0

tr♦♥❣ ✤â

❑❤✐ ✤â

k

i=1

F
fi =
;
f10 . . . fk0

k

fi =
i=1

G
,
f10 . . . fk0

fi1 , fi0 ∈


✶✻

k
tr♦♥❣ ✤â

F, G ∈ Ar (Cp )✳

k

fi

❉♦ ✤â✱ ♠é✐ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❤➔♠

i=1
❝❤➾ ❝â t❤➸ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❤➔♠

fi ✳

tr♦♥❣ ❝→❝ ❤➔♠

i=1

f10 . . . fk0 ✱ ♥➯♥ ♥â ❧➔ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♠ët

❙✉② r❛

k

k

n r,

fi

❤♦➦❝

fi

k

n(r, fi )

i=1

k

n r,

✈➔

fi

n(r, fi ).

i=1

i=1

i=1

k

k

k

✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦

k

N r,

fi

N (r, fi )

i=1

✈➔

N r,

i=1

fi

N (r, fi ).

i=1

◆❣♦➔✐ r❛✱ t❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠

µ(r, .)

i=1

t❛ ❝â

k

log µ r,

fi

log max µ(r, fi ) = max log µ(r, fi ),
i∈{1,...,k}

i=1
♥➯♥

i∈{1,...,k}

k

m r,

fi

max m(r, fi ).

i∈{1,...,k}

i=1
❱➔

k

k

log µ r,

fi

= log

i=1

k

µ(r, fi ) =
i=1

❦➨♦ t❤❡♦

k

m r,

log µ(r, fi ),
i=1

k

fi
i=1

m(r, fi ).
i=1

▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝

T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) (ρ0 < r < ∞).
❈❤ó þ r➡♥❣

log µ(r, f ) = log+ µ(r, f ) − log+

1
1
= m(r, f ) − m r,
.
µ(r, f )
f

◆➯♥ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❏❡♥s❡♥ ✭✶✳✼✮ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ ❧➔

T r,

1
f

= T (r, f ) − log µ(ρ0 , f ).

✭✶✳✽✮






f

tr

Cp

t

f

õ ổ

ỹ õ

1
N (r, )
f



N (r, f ) (r ).

r ộ trữớ ủ t ổ õ

T (r, f ) .

s

ởt t t ỡ ừ trữ

sỷ f, fi M((Cp) (i = 1, 2, . . . , k) õ ợ
ộ r > 0 t õ
k

T r,

k

k

fi
i=1

T (r, fi ),

T r,

i=1

k

fi
i=1

T (r, fi ).



i=1

ỡ ỳ T (r, f ) ởt t t r

sỷ f M((Cp) õ f M((Cp)
T (r, f )

q ởt f tr Cp s t


T r, f )
= .
r log r
lim

q sỷ a Cp {} õ ởt ỳ t

R tr Cp tọ

N r,

1
Ra

= T (r, R) + O(1),

trứ t ởt tr ừ a

ỵ ỡ
r ú tổ s ợ t ỵ ỡ tr ỵ
tt ố tr


|.|p

tr

Cp

p

|.| t
0 < 0 < <

ồ t

ố số tỹ





0

s

rữợ t t ự ỵ ỡ tự t ỵ tữỡ
tỹ ợ trữớ ủ ự