sáng kiến tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Chương trình Toán lớp 10 và 11 chuyên
3. Thời gian áp dụng sáng kiến:Từ 9 - 2015 đến 5 - 2016
4. Tác giả:
Họ và tên: Nguyễn Thị Giang
Năm sinh: 1986
Nơi thường trú: 19/36 xóm 1, Mỹ Trọng, Mỹ Xá, Nam Định
Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ
Chức vụ công tác: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định
Điện thoại: 0976138529
5. Đồng tác giả (nếu có): không
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị:Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong
Địa chỉ: 76 đường Vị Xuyên, TP Nam Định
Điện thoại: 0350640297

1 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ

2016


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

I.

2016

BÁO CÁO SÁNG KIẾN
ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Trong chương trình toán chuyên, dãy số là một nội dung rất quan trọng và nó
thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi tỉnh, khu vực, quốc gia và quốc tế.
Trong quá trình tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi quốc gia của trường, tôi được phân
công dạy mảng tính chất số học của dãy số. Chính vì thế tôi đã chọn nội dung tính chất số
học của dãy số để làm nội dung cho sáng kiến của tôi. Mảng kiến thức về tính chất số học
của dãy số là một mảng tương đối rộng và khó. Trong khuôn khổ sáng kiến này, tôi
nghiên cứu sâu hơn về tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai và một số dãy
số có thể biến đổi về dãy truy hồi tuyến tính cấp hai. Nội dung này xuất hiện rất nhiều
trong các đề thi học sinh giỏi.
Một số bài toán về tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai trong các
đề thi học sinh giỏi:
Đề thi VMO năm 2011: Cho dãy số nguyên ( an ) xác định bởi
a0 = 1, a1 = −1, an = 6an −1 + 5an − 2 với mọi n ≥ 2.
Chứng minh rằng a2012 − 2010 chia hết cho 2011.
Đề thi TST năm 2012: Cho dãy số nguyên dương ( xn ) xác định bởi
 x1 = 1, x2 = 2011

 xn + 2 = 4022 xn +1 − xn , n ∈ N *.
x2012 + 1
là số chính phương.
2012
Đề thi VMO năm 1997: Cho dãy số nguyên (an ) được xác định bởi
a0 = 1, a1 = 45, an + 2 = 45an +1 − 7an với mọi n=0,1,2...
Chứng minh rằng

a) Tìm số ước dương của an2+1 − an .an + 2 theo n.

Chứng minh rằng vớ mọi n thì 1997.an2 + 4.7 n +1 là số chính phương.
Đề thi TST năm 2011. Cho dãy số nguyên dương ( an ) xác định bởi:
a0 = 1, a1 = 3 và an + 2

 an2+1 
= 1+ 
 với mọi n ≥ 0 .
 an 

2 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


2016

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
Chứng minh rằng an + 2 an − an2+1 = 2n với mọi số tự nhiên n .
Trong đó [ x ] kí hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá x .
Đề thi VMO năm 1989. Xét dãy số Fibonacci xác định bởi
a1 = a2 = 1, an + 2 = an +1 + an với mọi n ≥ 1.

Đặt f ( n ) = 1985n 2 + 1956n + 1960.

1. Chứng minh rằng có vô hạn số hạng F của dãy sao cho

f ( F)

chia hết cho 1989.

2. Chứng minh rằng không tồn tại một số hạng G của dãy sao cho f(G)+2 chia hết cho

1989.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Tính chất số học của dãy số là một trong những nội dung khó và lý thú của dãy số
và số học. Đây là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán chuyên cũng như
trong việc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi. Để giải quyết các bài toán về tính chất số
học của dãy số mà cụ thể là dãy truy hồi tuyến tính cấp hai đòi hỏi học sinh phải có các
kiến thức đa dạng, tổng hợp về dãy số và số học. Khi tìm hiểu về một số tính chất của dãy
truy hồi tuyến tính cấp hai tôi nhận thấy rằng việc áp dụng các tính chất này đã giải quyết
được rất nhiều bài toán hay và khó.
Là một giáo viên dạy trường chuyên, tôi nhận thấy rằng cần phải có một đề tài
nghiên cứu sâu hơn về dạng toán này để giúp các em học sinh lớp chuyên Toán bổ sung
các kiến thức cơ bản đồng thời phát triển tư duy và kĩ năng giải toán, giúp các em không
còn lúng túng khi gặp các bài toán dạng này. Trong sáng kiến này tác giả nghiên cứu sâu
hơn về một số tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai, từ các tính chất này các em
học sinh có thể sáng tạo ra rất nhiều bài toán khác nhau. Hy vọng những nội dung trong
sáng kiến sẽ giúp các em học sinh tìm ra được các phương pháp hợp lí để giải quyết các
bài toán dạng này.
Trong sáng kiến này, tác giả đã nghiên cứu các nội dung: nội dung thứ nhất cách
tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai, sau khi tìm được số hạng tổng
quát của dãy số thì suy ra được các tính chất số học của dãy số đó. Tuy nhiên có rất nhiều
3 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

bài toán khi tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số thì việc xử lí các tính chất số học
của nó tương đối khó khăn và mất nhiều thời gian nên nội dung thứ hai tác giả đã đưa ra

một số tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai và nó đã giải quyết được rất nhiều bài
toán hay và khó. Nội dung tiếp theo, tác giả nghiên cứu về một dãy truy hồi tuyến tính
cấp hai đặc biệt và nó có rất nhiều ứng dụng trong toán học cũng như trong thực tiễn, đó
là dãy Fibonacci.
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này gồm hai phần
Phần thứ nhất: Kiến thức cơ bản
I.1.

Số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

I.2.

Một số tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

I.3.

Dãy Fibonacci

Phần thứ hai: Một số phương pháp giải các bài toán về tính chất số học dãy truy hồi
tuyến tính cấp hai
2.1.
2.1.
2.3.

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
Sử dụng các tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
Một số tính chất số học của dãy Fibonacci

NỘI DUNG

1. Kiến thức cơ bản
Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai ( un ) được xác định như sau:
u1 = p, u2 = q và un + 2 = aun +1 + bun (*) với mọi n ∈ ¥ * , trong đó a và b là các hằng số
thực.
1.1.

Số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

Cách xác định số hạng tổng quát của dãy như sau:
Xét phương trình ẩn t sau đây: t 2 − at − b = 0 (**) được gọi là phương trình đặc trưng của
(*). Phương trình có biệt thức ∆ = a 2 + 4b .

4 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

Trường hợp 1: ∆ = a 2 + 4b > 0 khi đó (**) có hai nghiệm thực phân biệt t1; t2 . Số
hạng tổng quát của (*) có dạng un = x.t1n + y.t2 n , với mọi n ∈ ¥ * và x, y là hai số thực
tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước u0 và u1 .
Trường hợp 2: ∆ = a 2 + 4b = 0 khi đó (**) có một nghiệm kép thực t. Số hạng
tổng quát của (*) có dạng un = x.t n + y.nt n −1 , với mọi n ∈ ¥ * ( ở đây ta qui ước 0−1 = 0 )
và x, y là hai số thực tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước u0 và u1 .
Trường hợp 3: ∆ = a 2 + 4b < 0 , ( **) có hai nghiệm phức. Thuật toán làm trong
trường hợp này như sau:
Bước 1: Giải phương trình t 2 − at − b = 0 và nhận được nghịêm phức
a + i −∆
z=

.
2
Bước 2: Đặt r = | z | là module của z, còn ϕ = Argz , ta nhận được
un = r n ( p cos nϕ − q sin nϕ ) với mọi p, q là các số thực.
Bước 3: Xác định p, q theo các giá trị cho trước u0 ; u1 .
Về cơ sở lí thuyết của cách làm trên được chứng minh bằng kiến thức của đại số
tuyến tính. Ở đây, tôi xin trình bày chứng minh trường hợp 1 và trường hợp 2 bằng kiến
thức trung học phổ thông.
Trường hợp 1: ∆ > 0 (**) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 khi đó theo định lí Vi-et
t1 + t2 = a
ta có: 
. Khi đó
t1t2 = −b
un +1 = (t1 + t2 )un − t1t 2un −1
⇔ un +1 − t1un = t2 (un − t1un −1 ) = t2 2 (un −1 − t1un − 2 ) = ... = t2 n (u1 − t1u0 ) .
Như vậy

un +1 − t1un = t2 n (u1 − t1u0 ) (1);

Tương tự un +1 − t2un = t1n (u1 − t2u0 ) (2). Trừ từng vế (2) cho (1) ta có:
(t1 − t2 )un = (u1 − t2u0 )t1n − (u1 − t1u0 )t2 n . Do t1 ≠ t 2 nên

5 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


2016

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
un =

(u1 − t2u0 ) n (u1 − t1u0 ) n
t1 −
t2 .
t1 − t2
t1 − t2
Vậy un có dạng un = x.t1n + y.t2 n với x, y là hai số thực.
Trường hợp 2: ∆ = 0 khi đó b =

a
−a2
, (**) có nghiệm kép t = . Ta có
2
4

un +1 = 2t.un − t 2un −1 ⇔ un +1 − tun = t (un − tun −1 ) = ... = t n (u1 − tu0 )
Như vậy

un +1 − tun = t n (u1 − tu0 )

(3);

Tương tự

un − tun −1 = t n −1 (u1 − tu0 )

(4);

un −1 − tun − 2 = t n − 2 (u1 − tu0 )

(5);

…………………………….
u1 − tu0 = u1 − tu0

(n+3).

Nhân hai vế của (4) với t, hai vế của (5) với t 2 , …, hai vế của (n+3) với t n và
cộng lại ta được: un +1 = t n +1.u0 + n.t n .(u1 − tu0 ) . Do đó un có dạng xt n + yn.t n −1 với x, y
là hai số thực.
1.2.

Một số tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

Tính chất 1: Cho dãy số (un ) thỏa mãn un + 2 = aun +1 + bun với mọi n ∈ ¥ * . Khi đó ta

(

)

2
n −1
2
*
có hằng đẳng thức sau un + 2 .un − un +1 = (−b) . u3u1 − u2 , ∀n ∈ N (1)

(

)

2

2
Chứng minh: Trước hết ta sẽ chứng minh un + 2 .un − un +1 = −b. un +1un −1 − un (2)

Thật vậy ta có:

(

un + 2 .un − un2+1 + b. un +1un −1 − un2

)

= un ( un + 2 − bun ) − un +1 ( un +1 − bun −1 )
= un .a.un +1 − un +1.a.un = 0
Bằng cách áp dụng liên tiếp (2) ta dễ dàng thu được hằng đẳng thức (1).
6 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

Tính chất 2: Cho dãy (un ) được xác định bởi u1 = m, u2 = p, u3 = q (m, p, q ≠ 0) và
un + 2 =

un2+1 + c
, ∀n ≥ 1
un

Trong đó c = mq − p 2 . Khí đó ta có (un ) là dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 dạng
un + 2 = a.un +1 − un với a =

q+m
.
p

Chứng minh: Từ giả thiết ta suy ra c = un + 2 .un − un2+1
Thay n bởi n − 1 ta được c = un +1.un −1 − un2
Suy ra un + 2 .un − un2+1 = un +1.un −1 − un2
Hay un ( un + 2 + un ) = un +1 ( un +1 + un −1 )
Hay

un + 2 + un un +1 + un −1
=
un +1
un

Thay n lần lượt bởi n − 1, n − 2,..., 2 ta được
un + 2 + un un +1 + un −1
u +u
q+m
=
= ... = 3 1 =
=a
un +1
un
u2
p
Suy ra un + 2 = a.un +1 − un .
Tính chất 3: Cho dãy số (un ) thỏa u1 = m, u2 = p, un + 2 = aun +1 − un , ∀n ∈ ¥ *.
Ta có un + 2 .un − un2+1 = u3.u1 − u22 = c

un + 2 + un = a.un +1
Suy ra 
2
un + 2 .un = c + un +1
Vậy (un + 2 ) , (un ) chính là nghiệm của phương trình bậc hai:

7 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


2016

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
X 2 − a.un +1 X + un2+1 + c = 0

(

∆ = ( a.un +1 ) − 4. un2+1 + c
2

(

)

(c = u3.u1 − u22 )

)

= a 2 − 4 un2+1 − 4c

(

)

2
2
Nếu un ∈ ¢ , ∀n và a ∈ ¢ thì ∆ = a − 4 un +1 − 4c là số chính phương.

Tính

chất

4:

Mọi

(

)

dãy

số

(un )

thỏa

mãn:

u1 = m ,

a
1
un + 2 = .un +1 +
a 2 − 4 un2+1 + 4c ( ac ≠ 0 ) luôn có thể đưa về dãy số truy hồi tuyến
2
2
tính cấp 2 có dạng như sau: un + 2 = a.un +1 − un
Chứng minh: Chuyển
un2+ 2

a
.un +1 sang vế trái và bình phương 2 vế
2

a2 2
1
− a.un + 2 .un +1 + un +1 =  a 2 − 4 un2+1 + 4c 

4
4

(

)

Hay un2+ 2 − a.un + 2 .un +1 + un2+1 − c = 0
Thay n bởi n − 1 ta có
un2+1 − a.un +1.un + un2 − c = 0
Suy ra un + 2 và un là các nghiệm của phương trình

X 2 − a.un +1 X + un2+1 − c = 0

Suy ra un + 2 + un = a.un +1
Chú ý:
Xét dãy số (un ) thỏa mãn un + 2 = a.un +1 − un và c = u1u3 − u22 . Ta có un + 2un − un2+1 = c .
Xét tiếp dãy số ( vn ) sao cho vn = un2 , ∀n
Ta sẽ có

8 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

vn + 2 = un2+ 2 = a 2un2+1 − 2a.un +1.un + un2
= a 2un2+1 − 2un ( a.un +1 − un ) − un2
= a 2un2+1 − un2 − 2unun + 2

( )
(
= ( a 2 − 2 ) vn +1 − vn − 2c

)

= a 2 − 2 un2+1 − 2 unun + 2 − un2+1 − un2

(

)

2
Suy ra vn + 2 = a − 2 vn +1 − vn − 2c

Mặt khác bằng cách sử dụng quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh được điều ngược lại
đúng, tức là nếu hai dãy

(

( un ) , ( vn )

thỏa mãn v1 = u12 , v2 = u22 , c = u1u3 − u22 và

)

un + 2 = a.un +1 − un , vn + 2 = a 2 − 2 vn +1 − vn − 2c thì ta có vn = un2 , ∀n .
1.3. Dãy Fibonacci
1.3.1. Dãy Fibonacci ( Fn ) mang tên chính nhà toán hoc Pisano Fibonacci. Dãy cho bởi
 F1 = F2 = 1
hệ thức truy hồi đơn giản 
 Fn + 2 = Fn +1 + Fn ∀n ≥ 1
Dễ dàng thấy công thức tổng quát của dãy ( Fn ) là:
n
n

1  1 + 5   1 − 5  
Fn =

÷ −

÷ (Công thức Binet)
5  2   2  



Từ sau, để thuận tiện cho việc tính toán, ta quy ước F0 = 0 .
1.3.2. Một vài hệ thức cơ bản của dãy Fibonacci:
1. F1 + F2 + ... + Fn = Fn + 2 − 1
2. F1 + F3 + ... + F2 n −1 = F2 n
9 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


2016

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
3. F2 + F4 + ... + F2 n = F2 n +1 − 1
4. Fn −1.Fn +1 − Fn2 = (−1) n
5. F12 + F22 + ... + Fn2 = Fn .Fn +1
5. F0 − F1 + F2 − F3 ... − F2 n −1 + F2 n = F2 n −1 − 1
6. Fn2+1 − Fn2 = Fn −1.Fn + 2 .
7. F1F2 + F2 F3 + ... + F2 n −1F2 n = F22n
8. Fn +1.Fn + 2 − Fn .Fn + 3 = (−1) n
9. Fn4 − 1 = Fn − 2 Fn −1Fn +1Fn + 2
10. Fn + m = Fn −1Fm + Fn Fm +1

2. Một số phương pháp giải các bài toán về tính chất số học dãy truy hồi tuyến tính
cấp hai
2.1. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
Bài toán 1. Cho dãy
mọi

thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

và

với
số

số chính phương.
Hướng dẫn giải
Hướng thứ nhất. Ta tính được

nên ta dự đoán

, trong đó

10 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ

là một


2016

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
Ta sẽ tìm tính chất của dãy
thử dự đoán dãy

là tuyến tính tức là

. Đầu tiên ta

với mọi

Do đó ta có hệ sau:

⇔

⇔

Từ đó ta có hướng giải như sau: Ta lập dãy
và

.

được xác định như sau:

với mọi

Sau đó ta sẽ chứng minh

với mọi
Cách 1. Từ dãy truy hồi của

và

ta được:

. Khi đó ta

kiểm tra được ngay đẳng thức

với mọi

Cách 2. Ta chứng minh bằng quy nạp đẳng thức trên. Thật vậy, từ cách xác định của dãy
ta chỉ ra được:

(1)
Theo công thức truy hồi của dãy

hay

và (1) ta có:

.
11 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


2016

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
Do đó

với mọi

Hướng thứ hai. Từ công thức truy hồi của dãy

ta tìm được công thức tổng quát:

. Khi đó ta chứng minh được:

Bài toán 2. Cho dãy số ( an ) , ( n = 1, 2,...) được xác định như sau:
a0 = 1, a1 = 2,

an + 2 = 4an +1 − an , ∀n ∈ ¥ .
Tìm n để an − 1 là số chính phương.
Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của dãy
an =

(

1
2+ 3
2 

) + ( 2 − 3)
n

(

ta tìm được công thức tổng quát:

n

 .

1
Nên suy ra an − 1 =  2 + 3
2


+ 2 − 3  − 1 = 



) (
n

)

n

an − 1 là số chính phương khi và chỉ khi A =

(

(

) ( 3 − 1)
n +1
( 2)
n

3 +1 −

) ( )
n +1
2
( )

n

3 +1 −

3 −1

n

.



n

Ta xét các trường hợp sau
Nếu n = 0 thì A = 0 ∈ ¥ .
12 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ

là số tự nhiên.


2016

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
Nếu n = 1 thì A = 1 ∈ ¥ .
Nếu n > 1 và n = 2k , k ∈ ¥ * thì ta xét dãy ( bk ) với

( 2 + 3) − ( 2 − 3)
=
k

bk

(
=

k

2

) ( 3 − 1)
n +1
( 2)
n

3 +1 −

n

.

Ta có 2 ± 3 là nghiệm của phương trình đặc trưng t 2 − 4t + 1 = 0. Nên ( bk ) thỏa mãn
bk + 2 = 4bk +1 − bk . Mà b0 = 0, b1 = 6 suy ra bk ∉ ¢ , ∀k .
Do đó n = 2k , k ∈ ¥ * ta có an − 1 không là số chính phương.
Nếu n = 2k − 1, k ∈ ¥ * ta có:

(

) ( 3 − 1)
n+1

( 2)
n

3 +1 −

2k
2k

 3 −1  
3 + 1  3 + 1 
3 +1 
=

÷ −
÷ =
 2 + 3
2  2 

2
2

 


(

3 +1 
2+ 3
2 

(

) − ( 2 − 3)
k

) − ( 2 − 3)
k

k

k

 . Ta có ( ck ) thỏa mãn
= 4ck +1 − ck . Mà c0 = 0, c1 = 5 suy ra ck ∈ N , ∀k ∈ ¥ *.

Xét dãy ( ck ) : ck =
ck + 2

n

Suy ra A ∈ N , khi đó an − 1 là số chính phương.
Vậy an − 1 là số chính phương khi và chỉ khi n là số tự nhiên lẻ hoặc n = 0 .
Chú ý: Một số dãy số dãy số công thức của số hạng tổng quát tương đối cồng kềnh thì ta
có thể sử dụng một dãy số khác có tính chất số học tương tự như dãy ban đầu nhưng công
thức số hạng tổng quát của nó đơn giản hơn. Khi đó lời giải của bài toán sẽ đơn giản và
dễ hiểu hơn. Sau đây là một số bài toán sử dụng hướng làm này.
Bài toán 3. Dãy ( xn ) , ( n = 1, 2,...) được xác định như sau:
 x1 = 7, x2 = 50,

 xn +1 = 4 xn + 5 xn −1 − 1975, ∀n ≥ 2.

Chứng minh rằng x1996 chia hết cho 1997.
13 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ

 .


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

Hướng dẫn giải
Xét dãy ( yn ) , ( n = 1, 2,3...) được xác định như sau:
 y1 = 7, y2 = 50,

 yn +1 = 4 yn + 5 yn −1 + 22, ∀n ≥ 2.

Dễ thấy yn ≡ xn ( mod1997 ) . Do đó chỉ cần chứng minh y1996 ≡ 0 ( mod1997 )
Ta có 4 yn +1 + 11 = 4 ( 4 yn + 11) + 5 ( 4 yn −1 + 11) .
Đặt zn = 4 yn + 11 ta được zn +1 = 4 zn + 5 zn −1 với z1 = 39, z2 = 211. Dùng phương
trình đặc trưng của dãy truy hồi cấp 2 ta được
8 × ( −1) + 25 × 5n
8 + 25 × 51996
zn =
⇒ z1996 =
.
3
3
Theo định lí nhỏ Fermat 51996 ≡ 1( mod1997 ) .
Vậy
n

8 + 25 × 51996 ≡ 33 ( mod1997 )
⇒ 3 z1996 ≡ 33 ( mod1997 )
⇒ z1996 ≡ 11( mod1997 )

⇒ 4 y1996 ≡ 0 ( mod1997 )
⇒ y1996 ≡ 0 ( mod1997 )

Bài toán 4. (VMO 2011). Cho dãy số nguyên ( an ) xác định bởi
a0 = 1, a1 = −1, an = 6an −1 + 5an − 2 với mọi n ≥ 2.
Chứng minh rằng a2012 − 2010 chia hết cho 2011.
Hướng dẫn giải
Hướng thứ nhất.
Xét phương trình đặc trưng của dãy số an + 2 = 6an +1 + 5an là:
x 2 − 6 x − 5 = 0 ⇔ x = 3 ± 14 , ta thấy nghiệm này lẻ nên công thức của an sẽ phức tạp.
Do bài toán chỉ yêu cầu chứng minh a2012 − 2010 chia hết cho 2011 nên ta có thể thay
dãy ( an ) bởi dãy ( bn ) sao cho an ≡ bn ( mod 2011) , ∀n=0,1,2,...
Bây giờ ta sẽ chọn dãy ( bn ) thỏa mãn: b0 = 1, b1 = −1 và bn + 2 = 6bn +1 + ( 5 + k ) bn với mọi
n ≥ 0 và k

là số ta sẽ chọn sau. Khi đó phương trình đặc trưng sẽ là:

14 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


2016

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

x 2 − 6 x − 5 − k = 0 ⇒ ∆ ' = 14 + k , để ∆ ' là số chính phương ta sẽ chọn k = 2011 . Như

vậy

ta

xây dựng dãy

( bn )

được

xác định

như sau:

b0 = 1, b1 = −1

và

bn + 2 = 6bn +1 + 2016bn với mọi n ≥ 0 .
Phương

trình

đặc

trưng

x 2 − 6 x − 2016 = 0 ⇔ x = 48; x = −42 ,

khi

đó

n
bn = c1 48n + c2 ( −42 ) và kết hợp với b0 = 1, b1 = −1 suy ra

bn =

41 n 49
n
n
48 + ( −42 ) ⇔ 90bn = 41.48n + 49. ( −42 )
90
90

(1)

suy ra 90b2012 = 41.482012 + 49.422012 .
Do 2011 là số nguyên tố nên theo định lí Fecma nhỏ ta có: 482011 ≡ 48 ( mod 2011) ,
422011 ≡ 42 ( mod 2011) do vậy ta thu được:
90 ( b2012 + 1) ≡ 41.482 + 49.422 + 90 ( mod 2011) ≡ 0 ( mod 2011) ⇒ b2012 + 1 ≡ 0 ( mod 2011)
hay b2012 − 2010 chi hết cho 2011.
Từ cách xác định của dãy ( an ) và ( bn ) ta có: an ≡ bn ( mod 2011) , ∀n=0,1,2,... Do đó
a2012 − 2010 chi hết cho 2011.
Hướng thứ hai.
Từ dãy truy hồi an + 2 = 6an +1 + 5an ta sẽ tìm công thức tổng quát cho an .
+) Phương trình đặc trưng của dãy trên là:
, sử dụng giả thiết

. Khi đó

ta được:

(2)
+) Đặt

ta được:

15 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


2016

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

Chú ý:

, trong đó:
(3)

Và

(4)

Dễ dàng chứng minh được:

(5)

Ta có
với mọi

suy ra
. Do đó theo (3) và (4) ta được:

và

, từ đây kết hợp

với (5) ta thu được:
Ta có

(6)
nên theo định lí Fecma nhỏ và (6) ta được:
hay ta được

chia hết cho

.
Nhận xét 1. Trong (1) nếu ta thay n = 2011 ta được:
90b2011 = 41.482011 + 49. ( −42 )

2011

≡ 41.48 − 49.42 ( mod 2011) ≡ −90 ( mod 2011) ,

suy ra b2011 + 1M2011 ⇒ a2011 + 1M2011 . Từ đó ta có bài toán sau:
Bài 4.1 Cho dãy số nguyên ( an ) xác định bởi:
16 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


2016

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
a0 = 1, a1 = −1 và an + 2 = 6an +1 + 5an với mọi n ≥ 0 .
Chứng minh rằng a2011 − 2010 chia hết cho 2011 .
Nhận xét 2. Nếu trong (1) thay n bởi số nguyên tố p > 5 ta được:

90b p = 41.48 p + 49. ( −42 ) ≡ 41.48 − 49.42 ( mod p ) ≡ −90 ( mod p ) ⇒ b p + 1Mp . Từ đó ta
p

có bài toán sau:
Bài 4.2 Cho dãy số nguyên ( an ) xác định bởi:
a0 = 1, a1 = −1 và an + 2 = 6an +1 + 2016an với mọi n ≥ 0 .
Chứng minh a p + 1 chia hết cho p , trong đó p là một số nguyên tố lớn hơn 5.
Nhận xét 3. Nếu trong (1) thay n bởi số p + 1 , trong đó p là số nguyên tố lớn hơn 5 ta
được:
90b p +1 = 41.48 p +1 + 49. ( −42 )

(

p +1

)

≡ 41.482 + 49.422 ( mod p ) ≡ 180900 ( mod p )

⇒ 90 b p +1 − 2010 Mp ⇒ b p +1 − 2010Mp
Bài 4.3 Cho dãy số nguyên ( an ) xác định bởi:
a0 = 1, a1 = −1 và an + 2 = 6an +1 + 2016an với mọi n ≥ 0 .
Chứng minh rằng a p +1 − 2010 chia hết cho p ,trong đó p là một số nguyên tố lớn hơn 5.
Bây giờ ta tiếp tục suy nghĩ bài toán 4 xem nó phục thuộc vào giá trị ban đầu

như thế nào? Ta có bài toán sau:
Bài 4.4 Cho

là các số nguyên cho trước. Dãy số nguyên
và

Tìm tất cả các số nguyên

sao cho

được xác định như sau:

với mọi số tự nhiên .
chia hết cho

Lời giải.
17 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ

.


2016

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

( bn )

Ta xây dựng dãy

được xác định như sau:

b0 = 1, b1 = −1

và

bn + 2 = 6bn +1 + 2016bn với mọi n ≥ 0 .
Phương

trình

đặc

trưng

x 2 − 6 x − 2016 = 0 ⇔ x = 48; x = −42 ,

khi

đó

n
bn = c1 48n + c2 ( −42 ) và kết hợp với b0 = a, b1 = b suy ra

bn =

42a + b n 48a − b
48 +
( −42 ) n ⇔ 90bn = ( 42a + b ) .48n + ( 48a − b ) .( −42 ) n
90
90

(1)

suy ra 90b2012 = ( 42a + b ) .482012 + ( 48a − b ) .422012 .
Do 2011 là số nguyên tố nên theo định lí Fecmat nhỏ ta có: 482011 ≡ 48 ( mod 2011) ,
422011 ≡ 42 ( mod 2011) do vậy ta thu được:
90 ( b2012 + 1) ≡ ( 42a + b ) .482 + ( 48a − b ) .422 + 90 ( mod 2011) ≡ 0 ( mod 2011)
⇒ 90 ( b2012 + 1) ≡ 90 ( 5a + 6b + 1) ( mod 2011)

hay b2012 − 2010 chi hết cho 2011 khi và chỉ khi

.

Từ cách xác định của dãy ( an ) và ( bn ) ta có: an ≡ bn ( mod 2011) , ∀n=0,1,2,... Do đó
a2012 − 2010 chi hết cho 2011 khi và chỉ khi

. Từ phương

trình đồng dư này ta tìm được

, trong đó

là

các số nguyên tùy ý.
Tương tự lời giải của các bài toán trên ta có thể đưa ra các bài tập sau:
Bài 4.5 Cho

là các số nguyên cho trước. Dãy số nguyên
và

Tìm tất cả các số nguyên

được xác định như sau:

với mọi số tự nhiên .
sao cho

chia hết cho

Xét dãy số nguyên ( bn ) xác định bởi
b0 = 1, b1 = −1, bn = 6bn −1 + 2016bn − 2 với mọi n ≥ 2.
18 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ

.


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

Dễ thấy với mọi n ≥ 0 , ta có an ≡ bn ( mod 2011) .
Dễ dàng suy ra số hạng tổng quát của dãy ( bn ) là
49. ( −42 ) + 41.48n
bn =
, ∀n ≥ 0.
90
Vì 2011 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có
n

( −42 ) 2010 ≡ 482010 ≡ 1( mod 2011) .
Do đó
90b2012 ≡ 49. ( −42 )

2012

+ 41.482012 ≡ 49. ( −42 ) + 41.482 ≡ 90b2 ( mod 2011) .
2

Suy ra b2012 ≡ b2 ( mod 2011) (vì (90,2011)=1).
Mà b2 = 6b1 + 2016b0 = 2010 nên b2012 ≡ 2010 ( mod 2011) .
Vì thế a2012 ≡ 2010 ( mod 2011) .
u1 = 0, u2 = 1
Bài toán 5. Cho dãy ( un ) xác định: 
un + 2 = un + un +1 + 1

Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 5 thì u p .(u p +1 + 1) chia hết cho p.
Hướng dẫn giải
Xét dãy: xn = un + 1 ⇒ xn + 2 = xn + xn +1
n +1
n +1

1− 5  
1  5 +1
Suy ra số hạng tổng quát: xn =

÷ −
÷ ÷.

2

2
5 


 ÷


n +1
n +1

1− 5  
1  5 +1
⇒ un =

÷ −
÷ ÷− 1
2
5  2 

 ÷



(

)

⇒ u p + 1 .2 p =
=

(

1
2

((
5

)

5 + 1) p ( 5 + 1) − ( 5 − 1) p ( 5 − 1) .

)

(

1
1
( 5 + 1) p − ( 5 − 1) p +
( 5 + 1) p + ( 5 − 1) p
2
2 5

)

19 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

p
p
p
1 p k
1
k
k
k
p−k
k
k
= ( ∑ C p ( 5) − ∑ C p ( 5) ( −1)
)+
( ∑ C p ( 5) − ∑ C kp ( 5) k ( −1) p − k )
2 k =0
2 5 k =0
k =0
k =0
p −1
2

( u p + 1) .2 p = 12 ( ∑ C 2pk 2(

5) 2 k +

k =0

( u p + 1) .2

p

(

p

=

p −1
2

∑

k =0

)

(C 2pk

≡ C 0p .50

2 . up +1

1
2 5

p −1
≡5 2

Ta có 5 p−1 ≡ 1 (mod p) ⇒ (5

p−1
5 2

Nếu

+1 ≡ 0

( ∑ C 2pk +1 2( 5) 2 k +1
k =0

C kp =

+ C 2pk +1 )5k ;

p −1
p
+ C p .5 2

p −1
2

p!
≡ 0 (mod p)∀1 ≤ k ≤ p − 1
( p − k )!k !

+ 1 (mod p) (2)

p −1
2

p −1
− 1)(5 2

+ 1) ≡ 0

(

(mod p) .

)

(mod p) Từ (2) ⇒ 2 p. u p + 1 ≡ 0 (mod p) mà (2;p)=1.

⇒ u p + 1 ≡ 0 (mod p) ⇒ u p (u p + 1)Mp (đpcm)
p−1
5 2

Nếu

≡1

(

(mod p)

p−1
⇒5 2

+1 ≡ 2

(mod p)

)

p
Từ (2): 2 . u p + 1 ≡ 2 (mod p) ; (2,P)=1 ⇒ 2 p = 2(mod p) ⇒ 2 p.u p ≡ 0(mod p) ,

(2,p)=1 ⇒ u p ≡ 0(mod p ) ⇒ u p (u p + 1)Mp (Đpcm).
Bài toán 6. (TST 2012). Cho dãy số nguyên dương ( xn ) xác định bởi
 x1 = 1, x2 = 2011

 xn + 2 = 4022 xn +1 − xn , n ∈ N *.
Chứng minh rằng

x2012 + 1
là số chính phương.
2012

Bài toán tổng quát: Cho p là số nguyên dương lẻ lớn hơn 1. Xét dãy số nguyên dương
( xn ) xác định bởi

20 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

 x1 = 1, x2 = p


 xn + 2 = 2 pxn +1 − xn , n ∈ N *.
Chứng minh rằng

x p +1 + 1

là số chính phương.

p +1

Hướng dẫn giải
Phương trình đặc trưng t 2 − 2 pt + 1 = 0 có nghiệm t1 = p +
Suy ra số hạng tổng quát của dãy: xn =

⇒

x p +1 + 1
p +1

(t
=

p /2
1

+ t2p /2

2 ( p + 1)

)

p 2 − 1, t2 = p − p 2 − 1.

t1n −1 + t2n −1
.
2

2

.

Ta có t1 + t2 = 2 p, t1.t2 = 1 ⇒ t1 + t2 = t1 + t2 + 2 t1t2 = 2 ( p + 1) .
Lại có Sn = t1n + t2n ∈ ¥ , ∀n ≥ 1 vì S1, S 2 ∈ ¥ và Sn + 2 = 2 pSn +1 − S n .
t1 = a, t2 = b ⇒ a + b = 2 ( p + 1) , ab = 1 và t1p / 2 + t2p / 2 = a p + b p .

Đặt

p/2
p/2
Ta chứng minh t1 + t2 = N 2 ( p + 1) , ( N ∈ ¥ *) bằng phương pháp quy nạp theo p.

Ta có a + b = ( a + b )
p

p

p −1

∑ ( −1)

i i p −1−i

ab

.

i =0

+ Với p = 3 , ta có đẳng thức đúng.
+ Giả sử đẳng thức đúng đến p lẻ, p > 3. Ta chứng minh đẳng thức đúng với p + 2.
Ta có

(

)(

)

(

a p + 2 + b p + 2 = a p + b p a 2 + b 2 − a 2b 2 a p − 2 + b p − 2

(

)

)

= N1 2 ( p + 1) a 2 + b 2 − a 2b 2 N 2 2 ( p + 1)
= N 2 ( p + 1) .
21 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

Từ đó ta có điều phải chứng minh.
2.2. Sử dụng các tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
Việc tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai tương đối đơn giản.
Tuy nhiên cái khó của bài toán là ở phần tính chất số học của nó. Trong quá trính nghiên
cứu cũng như tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi quốc gia, tôi nhận thấy rằng việc sử
dụng các tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai đã xử lí được rất nhiều bài toán hay
và khó về tính chất số học của dãy số mà lời giải của bài toán lại rất ngắn gọn và dễ hiểu.
Từ các tính chất này các em học sinh có thể sáng tác ra rất nhiều bài toán khác nhau, từ
đó tạo cho các em có hứng thú và say mê trong học tập. Sau đây là một số bài toán sử
dụng các tính chất này.
Bài toán 1. Cho dãy số (an ) được xác định như sau:
a0 = 1, a1 = 1

an +1 = 14an − an −1, ∀n ≥ 1.
Chứng minh rằng mọi n ≥ 0 thì 2an − 1 là số chính phương.
Hướng dẫn giải
Cách 1 : áp dụng tính chất 1
Ta có 2a1 − 1 = 1, 2a2 − 1 = 52 , 2a3 − 1 = 19 2 , 2a4 − 1 = 712.
u1 = 1, u2 = 5

Kết quả trên gợi ý ta đi xét dãy (un ) : 
un + 2 = xun +1 + yun , ∀n ≥ 2
 5 x + y = 19
Với u3 = 19, u4 = 71 ⇒ 

19 x + 5 y = 71

 x=4
⇔
 y = −1

⇒ un + 2 = 4un +1 − un .

Ta chứng minh : 2an − 1 = un2 , ∀n ≥ 1. ( 1)
Ta có (1) đúng với n = 1. .
Giả sử 2ak − 1 = uk2 , ∀k = 1, 2,..., n, ta có :

22 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

un2+1 = ( 4un − un −1 ) = 16un2 − 8unun −1 + un2−1
2

= 14 ( 2an − 1) + 2un2 − 8unun −1 + 2un2−1 − 2an −1 + 1

(

)

= 2 ( 14an − an −1 ) + 2 un2 − 4unun −1 + un2−1 − 6 − 1

(

)

= 2an +1 − 1 + 2 un2 − 4unun −1 + un2−1 − 6 .
Tiếp theo, ta chứng minh : un2 − 4unun −1 + un2−1 − 6 = 0 ( 2 )
Thật vậy :
un2 − 4unun −1 + un2−1 − 6 = 0 ⇔ un2 − un −1 (4un − un −1 ) − 6 = 0 ⇔ un2 − un −1un +1 − 6 = 0 ( 3 )
(3) đúng theo tính chất 1. Từ đó ta có đpcm.
Cách 2 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số
x = 7 − 4 3
2
x
−
14
x
+
1
=
0
⇔
Xét phương trình đặc trưng :

 x = 7 + 4 3

(

Suy ra an = x 7 + 4 3

)

n

(

)

n

+ y 7−4 3 .

x + y =1

Dựa vào a0 = a1 = 1, ta có : 
(7 + 4 3) x + (7 − 4 3) y = 1

Suy ra a =
n

(

2+ 3

(

(

+ 2− 3

)

2 n −1

.

4


Do đó 2an − 1 = 

Đặt vn =

)

2 n −1


2− 3
x =

4
⇔
y = 2 + 3

4

)

3 +1

(

)

3 +1

2 n −1

−

(

2 n −1

−

2n

)

3 −1

(

)

3 −1

2 n −1

2 n −1  2

 , n ≥ 0.



, ta chứng minh với mọi n ≥ 1 thì vn M2n.

23 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ


Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2016

Từ công thức tổng quát của vn ta có được hệ thức truy hồi : vn = 2 ( vn −1 + vn − 2 ) .
Bằng quy nạp và dựa vào hệ thức truy hồi ta chứng minh được với mọi n ≥ 1 thì vn M2n.
Do đó : 2an − 1 là số chính phương với mọi n ≥ 0.
Cách 3 : Áp dụng tính chất 3.
Ta có an2 − 14an an −1 + an2−1 + 12 = 0. (4)
Thay n bởi n + 1 ta có : an2+1 − 14an +1an + an2 + 12 = 0. (5)
Từ (4) và (5), ta có an +1, an −1 là nghiệm của phương trình : t 2 − 14ant + an2 + 12 = 0.

(

)

2
Suy ra ∆ ' = 12 4an − 1 là số chính phương nên tồn tại m ∈ ¥ sao cho

(

)

12 4an2 − 1 = m 2 ⇒ m 2 M6 ⇒ mM6 ⇒ m = 6m1.
Do đó 4an2 − 1 = 3m12 ⇔ ( 2an − 1) ( 2an + 1) = 3m12 . (6).
Ta có : ( 2an − 1, 2an + 1) = ( 2an − 1, 2 ) = 1.
Mặt khác, bằng quy nạp ta chứng minh được 2an − 1M3, n ≥ 0.
2an − 1 = a 2
ab = m1.
Do đó, từ (6) ta suy ra 
2
2
a
+
1
=
3
b
,
 n
Vậy 2an − 1 là số chính phương.
Bài toán 2. Cho dãy số (an ) được xác định bởi a1 = 1, a2 = 2, an + 2 = 3an +1 − an , ∀n ≥ 1 .
an2+1
, ∀n ≥ 1
Chứng minh rằng an + 2 + an ≥ 2 +
an
Hướng dẫn giải
Ta có: a3 = 3.2 − 1 = 5; a2 > a1
24 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ

Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai
Giả sử:
an > an −1 > 0
an +1 = 3an − an −1
an +1 − an = 2.an − an −1 > 0
Vậy (an ) tăng và an > 0, ∀n. Lại có c = a1.a3 − a22 = 5.4 = 1 .
Nên an + 2 =

an2+1 + 1
(theo tính chất 3).
an

Suy ra an + 2 + an =

an2+1 + 1
a2
a2
1
+ an = n +1 +
+ an ≥ 2 + n +1 .
an
an
an
an

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 3. Cho dãy số (un ) thỏa mãn đồng thời các tính chất sau:
1. un ≠ 0, ∀n = 1, 2...

2. u1, u2 ∈ ¢
u12 + u22 + a
3.
∈¢
u1.u2
4. un + 2 =

un2+1 + a
, ∀n = 1, 2...
un

Chứng minh rằng dãy (un ) chỉ chứa toàn số nguyên.
Hướng dẫn giải
Ta có un + 2 .un − un2+1 = a
Suy ra

un + 2 + un
u +u
= ... = 3 1 = k
un +1
u2

Nên un + 2 = kun +1 − un , ∀n ≥ 1

25 Nguyễn Thị Giang – THPT chuyên Lê Hồng Phong - NĐ

2016