Một số bài toán tìm giói hạn của dãy truy hồi HCH

Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

1

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN DÃY TRUY HỒI

Huỳnh Chí Hào
Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp

A. Một số kiến thức có liên quan.

Định nghĩa 1
Dãy số

n
u được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có
1nn
uu



Dãy số

n
u được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có
1nn
uu



Định nghĩa 2

Dãy số

n
u được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho , *
n
uM n


Dãy số

n
u được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho , *
n
um n
Dãy số

n
u được gọi là dãy số bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho , *
n
mu M n 

Định lý 1: (Tiêu chuẩn Weierstrass)
1) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
2) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
3) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.

Định lý 2: (Nguyên lý kẹp)
Cho ba dãy số
 
,,

nn n
uvw sao cho:
00
,,
lim
lim lim
nn n
n
n
nn
nn
nnnnuvw
va
uwa

 
     










Định lý 3: Nếu
lim
n

n
ua

 thì
lim
n
n
ua




Định lý 4: Nếu 1q  thì
lim 0
n
n
q




Định lý 5: Cho dãy

n
u xác định bởi công thức truy hồi
1
()
nn
ufu



, trong đó ()
f
x là hàm số liên tục. Khi
đó, nếu

n
ua thì a là nghiệm của phương trình ()
f
xx

.

Định lý 6: Cho dãy số

n
u với
1
ua là một số thực cho trước và
1
()
nn
ufu


. Khi đó
1) Nếu
()
f
x là hàm số đồng biến và

12
x
x

thì


n
u là dãy số tăng.
2) Nếu ( )
f
x là hàm số đồng biến và
12
x
x thì


n
u là dãy số giảm.

Định lý 7: Cho dãy số

n
u với
1
ua là một số thực cho trước và
1
()
nn
ufu



. Khi đó
Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

2
1) Nếu ( )
f
x là hàm số nghịch biến và
12
x
x

thì


2n
u là dãy số tăng và

21n
u

là dãy số giảm.
2) Nếu ( )
f
x là hàm số nghịch biến và
12
x
x thì



2n
u là dãy số giảm và

21n
u

là dãy số giảm.

Định lý 8: (LAGRANGE)
Nếu ()
f
x là hàm số liên tục trên đoạn


;ab , có đạo hàm trong khoảng


;ab thì tồn tại

;cab sao cho

() ()
'( )
f
bfa
fc
ba




hay ( ) ( ) '( )( )
f
bfa fcba


 Hệ quả: Giả sử hàm số ()
f
x có đạo hàm trên miền xác định D, thỏa mãn điều kiện '( ) 1
f
xc

 với c
là hằng số và phương trình ( )
f
xx có nghiệm duy nhất

thuộc D, khi đó dãy số

n
u ( 1,2, n

)
xác định bởi
0
x
D và
1
()
nn

ufu

 có giới hạn là

khi n dần tới vô tận.

Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

3
B. Các bài toán.

Bài toán 1 (Giáo trình giải tích 1 của Jean-Maria Monier)

Cho dãy số thực

n
u xác định bởi:
1
1
2
1
1
, 2 (1)
1

n
n
n
u
u
un
u











Chứng minh rằng dãy số

n
u có giới hạn hữu hạn khi n .

Lời giải

 Đây là dãy truy hồi dạng
1
()
nn
ufu




Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 0
n
u  , 1n

 , vậy


n
u bị chặn dưới.

Xét tính đơn điệu của

n
u
: Từ hệ thức (1) ta suy ra được
n

 ,
3
1
21
0
11
nn
nn n
nn
uu

uu u
uu

  

, vậy


n
u giảm.

Do

n
u giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Giả sử lim
n
n
ua


thì 0a 

Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:
2
0
1
a
aa
a






Vậy dãy số

n
u có giới hạn hữu hạn khi n  và lim 0
n
n
u





Bài toán 2 (Giáo trình giải tích 1 của Jean-Maria Monier)

Cho dãy số thực

n
u xác định bởi:
1
1
1
1
1 2011
, 2 (1)
2
nn

n
u
uu n
u













Chứng minh rằng dãy số

n
u
có giới hạn hữu hạn khi n .

Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 0
n
u  , 1n



Mặt khác ta lại có:
11
11
1 2011 1 2011
.2 . 2011
22
nn n
nn
uu u
uu



 


, vậy

n
u bị chặn dưới.

Xét tính đơn điệu của

n
u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

n

 ,
2

1
2011
1 2011
0
22
n
nn n n
nn
u
uu u u
uu



   


, vậy

n
u
giảm.

Do

n
u
giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Giả sử lim
n
n

ua


thì 2011a 

Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:
1 2011
2011
2
aa a
a

 



Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

4
 Vậy dãy số

n
u có giới hạn hữu hạn khi n  và lim 2011
n
n
u




Bài toán 3 (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK)

Cho dãy số thực

n
u xác định bởi:
1
1
3
2
3 2, 2 (1)
nn
u
uu n









Chứng minh rằng dãy số

n
u có giới hạn hữu hạn khi n .

Lời giải

 Bằng phép quy nạp ta chứng minh được rằng:
3
2
2
n
u

 , 1n



Xét tính đơn điệu của

n
u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được
n

 ,
1
32 0
nn n n
uu u u

 , vậy


n
u tăng.


Do

n
u tăng và bị chặn nên nó có giới hạn. Giả sử
lim
n
n
ua


thì
3
2
2
a



Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có: 32 2aa a



Vậy dãy số

n
u có giới hạn hữu hạn khi n  và lim 2
n
n
u






Bài toán 4 (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK)

Cho dãy số thực

n
u
xác định bởi:
1
1
0
6 , 2 (1)
nn
u
uun





 



Chứng minh rằng dãy số

n

u có giới hạn hữu hạn khi n .

Lời giải

 Bằng phép quy nạp ta chứng minh được rằng: 0 3
n
u

 , 1n



Xét tính đơn điệu của

n
u
: Từ hệ thức (1) ta suy ra được

n


,
22 2
1
60
nn nn
uu uu


(do 0 3

n
u

 )
1
0
nn
uu

, vậy


n
u tăng.

Do

n
u tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử
lim
n
n
ua


thì 03a

Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có: 63aaa




Vậy dãy số

n
u
có giới hạn hữu hạn khi n  và lim 3
n
n
u










Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

5
Bài toán 5 (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK)

Cho dãy số thực

n
u xác định bởi:

1

1
1
1
22 1
, 2 (1)
3
n
n
n
u
u
un
u












Chứng minh rằng dãy số

n
u có giới hạn hữu hạn khi n .

Lời giải

 Bằng phép quy nạp ta chứng minh được rằng: 0 2
n
u

 , 1n



Xét tính đơn điệu của

n
u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

n


,




1
12
0
3
nn
nn
n

uu
uu
u


 

(do 0 2
n
u

 )
1
0
nn
uu

,
vậy

n
u
tăng.

Do

n
u tăng và bị trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim
n
n

ua


thì 02a



Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:


22 1
2
3
a
aa
a





 Vậy dãy số

n
u có giới hạn hữu hạn khi n  và
lim 2
n
n
u






Bài toán 6 (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK)

Cho dãy số thực

n
u xác định bởi:

1
01
1
1 , 1 (1)
4
n
nn
u
uu n









Chứng minh rằng dãy số


n
u có giới hạn hữu hạn khi n .

Lời giải

 Từ cách cho dãy số ta suy ra: 0 1
n
u, 1n



Xét tính đơn điệu của

n
u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

n


,



1
1
1
1
1
22

nn
nn
uu
uu




1
0
nn
uu

, vậy


n
u giảm.

Do

n
u
giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Giả sử lim
n
n
ua


thì 01a


Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:
 
2
11
1210
42
aa a a

  


Vậy dãy số

n
u
có giới hạn hữu hạn khi n  và
1
lim
2
n
n
u




Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

6
Bài toán 7 (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK)

Cho dãy số thực

n
u xác định bởi:
1
2
11
1
2
, 2 (1)
nnn
u
u
uuun








 




Chứng minh rằng dãy số

n
u có giới hạn hữu hạn khi n .

Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 0
n
u  , 1n



Xét tính đơn điệu của

n
u
: Ta chứng minh
1
, 1, 2,
nn
uu n


 (2) bằng phương pháp quy nạp
+ Với
1n  thì (2) đúng
+ Giả sử (2) đúng khi

nk . Ta chứng minh (2) cũng đúng khi 1nk

 .Tức là chứng minh:
12kk
uu




Thật vậy: Theo công thức truy hồi xác định dãy thì

1112kkk kkk
uuuuuu

  
+ Vậy (2) cũng đúng với
1nk. Theo nguyên lý quy nạp thì (2) đúng với mọi 1, 2, n

Như thế

n
u tăng.

Mặt khác khi 3n  , ta có:
2
11
244
nn n nnnn
uu u uuuu




Do

n
u tăng và bị trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim
n
n
ua


thì 04a



Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có: 24aaa



Vậy dãy số

n
u có giới hạn hữu hạn khi n  và
lim 4
n
n
u




Bài toán tương tự
Cho dãy số thực

n
u xác định bởi:
1
2
11
9
6
, 2 (1)
nnn
u
u
uuun








 



Chứng minh rằng dãy số


n
u có giới hạn hữu hạn khi n .
Hướng dẫn
Chứng minh dãy trên giảm và bị chặn dưới bởi 4. Kết quả lim 4
n
n
u


.

Bài toán 8 (Các bài toán về dãy số - Phan Huy Khải)

Cho dãy số thực

n
u xác định bởi:
1
1
1
1
, 2 (1)
3
n
n
u
un
u












Chứng minh rằng dãy số

n
u có giới hạn hữu hạn khi n .

Lời giải
Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

7
 Bằng quy nạp chứng minh được
35
2
n
u

 với mọi 1,2, n

(Bạn đọc tự kiểm tra)

Xét tính đơn điệu của


n
u : Từ hệ thức (1) ta suy ra được
n

 ,
2
1
31
1
0
33
nn
nn n
nn
uu
uu u
uu



   


1
0
nn
uu

,
vậy


n
u giảm.

Do

n
u giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Giả sử lim
n
n
ua


thì
35
2
a



Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:
2
135
310
32
aaaa
a

      



Vậy dãy số

n
u có giới hạn hữu hạn khi n  và
35
lim
2
n
n
u






Bài toán 9 (HSG Đồng Tháp năm 2009)

Cho dãy số (u
n
) xác định bởi

1
23
1
1
2
31

n1
22







 


nnn
u
uuu

Chứng minh rằng dãy số (u
n
) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số.

Lời giải
 Xét hàm số
23
31
()
22

f
xxx với



x0;1 , ta có


2
3
f'(x) 3x x 0 x 0;1
2
 
 f(x) tăng trên


0;1 và


0f(x)1 x 0;1

Chứng minh:


n
u0;1,n1.
Thật vậy:

1
1
u0;1
2
 .
Giả sử



k
u0;1,k1thì


23
k1 k k
k1 k1
k
31
uuu
0u 1 u 0;1
22
0u 1





  





Vậy


n

u0;1,n1.
Do f tăng nên
  
nn1
fu fu

 cùng dấu với
nn1
uu



Suy ra:
n1 n
uu

 cùng dấu với
nn1
uu

 . Lập luận tiếp tục ta đi đến
n1 n
uu


cùng dấu với
21
uu


 Vì
21 n1n n1 n
51 3
uu 0u u0u u
16 2 16

    
n1



Suy ra

n
u là dãy giảm
Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

8
 Lại do
1
1
u
2
 nên suy ra được
n
1
u0;
2









 Do

n
u giảm và bị chặn nên nó có giới hạn. Giả sử
lim
n
n
ua


thì
1
0
2
a


 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:





 




23
a0
31
aaaa1
22
a2

 Do 
1
0a
2
nên a0. Vậy dãy số


n
u
có giới hạn hữu hạn khi n  và lim 0
n
n
u




Bài toán 10 (Giải tích những bài tập nâng cao – Tô Văn Ban)

Cho dãy số (u

n
) xác định bởi

1
1
2
2,n1
nn
u
uu





 



Chứng minh rằng dãy số (u
n
) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số.
Lời giải

 Bằng quy nạp chứng minh được 0 2
n
u

 với mọi 1,2, n


(Bạn đọc tự kiểm tra)
 Xét hàm số () 2
f
xx với





x0;2, ta có






1
f'(x) 0 x 0;2
4x2 x
 f(x) tăng trên




0;2

 Vì   
4
21
u222u, suy ra



n
u là dãy tăng
 Do

n
u tăng và bị chặn nên nó có giới hạn. Giả sử lim
n
n
ua


thì 02a


 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:


a2a
(2)
Chứng minh phương trình (2) có nghiệm duy nhất


0; 2a  (Bạn đọc tự chứng minh)
 Vậy dãy số

n
u có giới hạn hữu hạn khi n 


Bài toán 11 (Giải tích những bài tập nâng cao – Tô Văn Ban)
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
2
1
2
2,n 1
n
u
n
u
u









Chứng minh rằng dãy số (u
n
) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số.

Lời giải

 Bằng quy nạp chứng minh được 1 2
n
u với mọi 1,2, n

(Bạn đọc tự kiểm tra)
Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

9
 Xét hàm số
2
() 2
x
fx với



x1;2, ta có






x
2
1
f'(x) .2 .ln2 0 x 1;2
2

 f(x) tăng trên




1; 2
 Vì 
2
2
21
u2 2u, suy ra

n
u là dãy tăng
 Do

n
u tăng và bị chặn nên nó có giới hạn. Giả sử lim
n
n
ua


thì 12a


 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:




a
2
2aa2

 Vậy dãy số

n
u
có giới hạn hữu hạn khi n  và lim 2
n
n
u





Bài toán 12 (Các bài toán về dãy số - Phan Huy Khải)

Cho dãy số thực

n
u xác định bởi:
1
2
1
1
3
1
1, 1 (1)

2
nn
u
uun











Hãy tìm
lim
n
n
u

.
Lời giải
 Ta thấy với mọi 2n  thì 1 0
n
u  . Giả sử rằng


n
u

có giới hạn là a thì 10a  và a là nghiệm
của phương trình
22
1
122013
2
xxxx x
      
. Do 10a

 nên chọn 13a 
 Xét hiệu sau đây:

  


2
1
1
1
13 113 13 13
22
1
3 1 1 3
2
33
1 3
22
n
nnn

nn
n
n
u
uuu
uu
u



     









2
3
13
2
n
u

 






Như thế ta có:

1
3
013
2
n
n
u






mà
3
lim 0
2
n
n





nên






11 1
lim 1 3 0 lim 1 3 0 lim lim 1 3
nnnn
nn nn
uuuu
 
   
     


Vậy dãy số

n
u
có giới hạn hữu hạn khi n  và lim 1 3
n
n
u




Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

10
Bài toán 13 (Các bài toán về dãy số - Phan Huy Khải)

Cho dãy số thực

n
u xác định bởi:
1
2
1
3
2
1 , 1 (1)
2
nn
u
u
uu n








  



Hãy tìm lim
n
n
u

.

Lời giải

 Bằng quy nạp chứng minh được 1 2
n
u với mọi 1, 2, n

(Bạn đọc tự kiểm tra)

Giả sử rằng

n
u có giới hạn là a thì 12a

 và a là nghiệm của phương trình

2
2
122

2
x
xxx x    . Do 12a

 nên chọn 2a 
 Xét hiệu sau đây:



2
1
1
21 2 2 2 2
22
1
2 2 2
2
1
= 2 2 2
2
2

2
n
nn nn
nn
nn
u
uu uu
uu

uu

  
 


11
1
223
2 2 2
222
nn
n
uu

 

  
 

 

 


Như thế ta có:
1
1
23
02 2

22
n
n
u




 





mà
1
23
lim 2 0
22
n
n












nên


11 1
lim 2 0 lim 2 0 lim lim 2
nnnn
nn nn
uuuu
 
   
    


Vậy dãy số

n
u có giới hạn hữu hạn khi n  và lim 2
n
n
u





Bài toán 14 (Các bài toán về dãy số - Phan Huy Khải)

Cho dãy số thực


n
u xác định bởi:
1
1
2
2011
3 , 1 (1)
1
n
n
n
u
u
un
u





 




Hãy tìm lim
n
n
u


.

Lời giải

 Bằng quy nạp chứng minh được 3
n
u  với mọi 1,2, n

(Bạn đọc tự kiểm tra)

Giả sử rằng

n
u có giới hạn là a thì 3a  và a là nghiệm của phương trình
Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

11

 
2
22
22
2
2
2
2
33 32330
1
1

31
315

2
33
aa
a a aa aa
a
a
aa
a
aa
       












Xét hàm số
2
() 3
1
x

fx
x


trên


3;

 , thì
1
()
nn
ufu


và ( )
f
aa
Ta có:



3
2
11
'( ) '( ) , 3;
22
1
fx fx x

x
     



Xét hiệu sau đây và kết hợp với định lý Lagrange ta suy ra:


 


1
1
( ) ( ) '( ) = '( ) (c ; c ; )
11
< < <
22 22
nn nnnnnnnn
n
n
u a fu fa fc u a fc u a ua au
ua ua

      







Như thế ta có:
11
1
0
22
n
n
ua ua


 


mà
1
1
lim 0
22
n
n
ua






nên



11 1
lim 0 lim 0 lim lim
nnnn
nn nn
ua ua u u a
 
   
    


Vậy dãy số

n
u có giới hạn hữu hạn khi n  và
315
lim
2
n
n
u





Bài toán 15 (OLP TOÁN SINH VIÊN)

Cho dãy số thực

n

u xác định bởi:

1
2
1
2011
1
ln 1 2012, 1 (1)
2
nn
u
uun









Chứng minh rằng dãy số (u
n
) có giới hạn hữu hạn.

Lời giải
 Xét hàm số

2
1

( ) ln 1 2012
2
fx x
với
x

 , ( )
f
x là hàm số liên tục trên  và ta có

22
1
'( ) '( ) ,
112
xx
fx fx x
xx
  


 Giả sử rằng

n
u có giới hạn là a thì và a là nghiệm của phương trình

2
1
ln(1 ) 2012
2
xx (2)


Ta chứng minh (2) có nghiệm duy nhất. Thậy vậy

22
11
ln(1 ) 2012 ( ) 2012 ln(1 ) 0
22
xx gxx x (3)
Ta có:
()gx
là hàm số liên tục và
2
2
1
'( ) 0,
1
xx
gx x
x





Suy ra: ( )gx đồng biến trên
 .
Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

12
Mặt khác:


2
1
(0). ( 2012) 2012. ln 1 2011 0
2
gg  
Suy ra: phương trình (3) có nghiệm duy nhất. Gọi nghiệm đó là a

Theo định lý Lagrange, tồn tại c  sao cho

1
1 1
11
( ) ( ) '( )
22
n
nn nn
u a fu fa fcua ua ua



     




Như thế ta có:
1
11
1

0
2
n
n
ua ua



 


mà
1
1
1
lim 0
2
n
n
ua







nên



11 1
lim 0 lim 0 lim lim
nnnn
nn nn
ua ua u u a
 
   
    

Vậy dãy số

n
u có giới hạn hữu hạn khi n 







TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Huy Khải. Các bài toán về dãy số. NXBGD 2007.

[2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh. Giới hạn dãy số & hàm số. NXBGD 2002.

[3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến.
Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT. NXBGD 2009.

[4] Phạm Văn Nhâm. Một số lớp bài toán về dãy số . Luận văn thạc sĩ khoa học 2011.

[5] Tuyển tậ
p đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009.

[6] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010.


[7] Tô Văn Ban. Giải tích những bài tập nâng cao. NXBGD 2005

[8] W.J.KACZKOR – M.T.NOWAW.
Đoàn Chi (Biên dịch) – GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến (hiệu đính).
Bài tập giải tích I – Số thực – Dãy số và chuổi số. NXBĐHSP2003.

[9] Jean - Maria Monier . Giáo trình giải tích 1. NXBGD 1999.