SKKN dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh

Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
THễNG TIN CHUNG V SNG KIN
**********
1. Tờn sỏng kin:
DY HC CC BI TON THC TIN TOHNG TH CHO HC SINH THPT

2. Lnh vc ỏp dng sỏng kin:Chng trỡnh toỏn THPT c bn
3. Thi gian ỏp dng sỏng kin: T 9 - 2015 n 5 - 2016
4. Tỏc gi:
H v tờn

: Trnh Th Huyn

Nm sinh

: 1988

Ni thng trỳ

: Xó Yờn Tr, huyn í Yờn, Nam nh

Trỡnh chuyờn mụn: Thc s Toỏn hc
Chc v cụng tỏc: Giỏo viờn Toỏn
Ni lm vic: Trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong - Nam nh
T l úng gúp to ra sỏng kin : 50%
5. ng tỏc gi
H v tờn: V Ngc Sn
Nm sinh: 1991
Ni thng trỳ: í Yờn Nam nh.
Trỡnh chuyờn mụn: C nhõn.
Chc v cụng tỏc: Giỏo viờn Toỏn

Ni lm vic: Trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong Nam nh
T l úng gúp to ra sỏng kin : 50%
6. n v ỏp dng sỏng kin
Tờn n v: Trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong Nam nh
a ch: 76 ng V Xuyờn, TP Nam nh
in thoi: 0350640297


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Dạy học toán ở trường phổ thông theo định hướng gắn toán học với thực tiễn, thực hiện
nguyên tắc liên môn trong dạy học và tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh là xu
hướng đổi mới dạy học hiện nay. Quan điểm đổi mới dạy học trong tương lai (cụ thể là
quan
điểm
của
chương
trình,nộidung,sáchgiáokhoamớitừnăm2018)là“địnhhướngnănglực”,hay“định hướng kết
quả đầu ra”. Với quan điểm này, chương trình dạy học không quy định chi
tiếtnộidungdạyhọcmàquyđịnhnhữngkếtquảđầuramongmuốncủagiáodục.Từ
đótạođiềukiệnquảnlýchấtlượngtheokếtquảđầurađãquyđịnh,nhấnmạnhnăng lực vận dụng
của họcsinh.
Khi thực hành giảng dạy môn Toán, chúng tôi chung một suy nghĩ cũng là khó khăn
trong việc dạy học môn Toán là làm sao để HS cảm thấy vui vẻ hứng thú khi học toán.
Muốn vậy HS phải được biết học toán để làm gì, các kiến thức đưa ra trong sách giáo
khoa có ý nghĩa gì?...Sự thật là toán học có rất nhiều ứng dụng vào thực tế , rất gần gũi
với cuộc sống xung quanh mà chúng ta không để ý mà thôi. Nó cho HS những công cụ
đắc lực để giúp các em giải quyết các vấn đề, tình huống đơn giản trong thực tế.
Mục đích của dạy học toán nói chung, với lưu ý biết mô hình hoá toán học
cáctìnhhuốngthựctiễnđượcxemlàyếutốcơbảncủanănglựchiểubiếttoán–năng lực đã và đang

được chương trình đánh giá quốc tế PISA khảo sát ở nhiều nước trên thế giới trong đó Việt
Nam ta tham gia vào năm 2012 nhằm mục đích cải thiện chất lượng đàotạo.
Với những lý do trên, sáng kiến đãtậphợp,biênsoạnvàsángtạoramột số tình huống thực
tiễn, mang lại cho chúng tôi và các giáo viên một số ví dụ minh hoạ cho các nội dung
kiến thức SGK chương trình THPT và giúp HS có hứng thú hơn trong học tập môn Toán.

1


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
II.

C S Lí LUN V THCTIN
1. Thc trng dy v hc Toỏn vi ni dung gn vi thc tin

a.

Ni dung thc tin xut hin trong SGK v cỏc thi nc ta

Theo nh giỏo u tỳ Trn D Sinh : thc t cho thy chng trỡnh dy hc Toỏn
trng ph thụng vn cũn nng v tớnh hn lõm, thiu thc tin cuc sng.Chng trỡnh
v SGK Toỏn trong t thay CT v SGK ca ta gn õy nht ó cú nhiu c gng a vo
mt s bi toỏn thc tin, tuy nhiờn vn cũn tớnh im xuyt. . Chỳng tụi cho rng cú th
do nhng nguyờn nhõn chớnh sau õy:
Th nht, do nh hng trc tip ca sỏch giỏo khoa v ti liu tham kho: S lng bi
tp mang ni dung thun tỳy Toỏn hc cng nh kin thc dnh cho mi tit hc l khỏ
nhiu ó khin nhiu giỏo viờn vt v trong vic hon thnh k hoch bi ging; s lng
bi toỏn, cht lng v quy mụ bi toỏn ng dng vo thc tin rt ớt cỏc ch mụn
Toỏn trong ging dy; mt lý do na l do kh nng liờn h kin thc Toỏn hc vo thc
tin ca ca giỏo viờn Toỏn cũn gp nhiu khú khn.Trong khi ú thỡ ta thy i vi mt

s nc cú nn giỏo dc hin i trờn th gii nh M, Singapore, Anh, Phỏpthỡ trong
thi HSG ca h luụn cú cõu hi thc tin, suy lun logic
Th hai, do yờu cu vn dng Toỏn hc vo thc t khụng c t ra mt cỏch thng
xuyờn v c th trong quỏ trỡnh ỏnh giỏ (tc l trong cỏc thi khụng cú nhng ni dung
nh vy).Chỳng tụi qua tỡm hiu thy cú thi tuyn sinh vo lp 10 ca tnh Tha Thiờn
Hu v trng Quc hc Hu, mt s kỡ thi Mỏy tớnh cm tay cú cp ti cỏc bi toỏn
cú ni dung thc tin.
Mt khỏc, li dy phc v thi c (ch chỳ ý nhng gỡ hc sinh i thi) nh hin nay
cng l mt nguyờn nhõn gúp phn to nờn tỡnh trng ny.
Ngoi ra cú th k n mt nguyờn nhõn khỏc na: trong Chng trỡnh v quỏ trỡnh
o to cỏc trng i hc v cao ng S phm, tỡnh hỡnh "ng dng" (trong giỏo trỡnh,
trong ỏnh giỏ, trong dy hc,...) cng xy ra tng t. Do ú nh hng trc tip n
tim nng dy cỏc vn ng dng Toỏn hc ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo.
Nh vy, vic tng cng rốn luyn cho hc sinh ng dng Toỏn hc vo thc tin ó
c coi l xuyờn sut ton b quỏ trỡnh dy hc Toỏn ph thụng.
b.

Thc trng dy toỏn gn vi thc tin nc ta v nhu cuhiu bit toỏn hc
3


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
của HS hiện nay
Mục đích của dạy học toán, là phải mang lại cho học sinh những kiến thức phổ
thông, những kỹ năng cơ bản của người lao động, qua đó rèn luyện tư duy logic, phát
triển năng lực sáng tạo, góp phần hình thành thế giới quan và nhân sinh quan đúng đắn
cho các em. Quan điểm này đã dẫn đến khái niệm hiểu biết toán. Theo PISA, “hiểu biết
toán lànănglựccủamộtcánhân,chophépxácđịnhvàhiểuvaitròcủatoánhọctrongcuộc sống,
đưa ra những phán xét có cơ sở, sử dụng gắn kết với toán học theo những cách khác nhau
nhằm đáp ứng nhu cầu cuộc sống của cá nhân đó với tư cách là một công dân có tinh

thần xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh” .
Do đó, xu hướng đổi mới hiện nay là không nặng về mức độ nắm các nội dung có
mặt trong chương trình giảng dạy, mà chú trọng vào khả năng sử dụng các kiến thức đã
học vào thực tiễn và năng lực xử lý các tình huống mà họ có thể đối mặt trong cuộc sống
sau khi rời ghế nhà trường.
Chúng tôi đã làm một khảo sát nhỏ về việc Sự hiểu biết, quan tâm của HS với những ứng
dụng thực tế của toán học. ( Phiếu khảo sát Xem phần phụ lục)
Và kết quả thu được như sau:
Dựa vào Phiếu điều tra dành cho HS (xem phần phụ lục 1), chúng tôi đã tiến hành
điều tra 140 HS ở lớp 10trường THPT chuyên Lê Hồng Phong vào cuối tháng 4 năm học
2015-2016 thu được kết quả sau:
Bảng 1.Bảng thống kê về mức độ cần thiết của môn Toán trong cuộc sống

Mức độ

Tỉ lệ
(%)

Rất cần thiết

80%

Cần thiết

17%

Không cần thiết

3%

4


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh

Bảng 2. Bảng thống kê về nhu cầu muốn biết về những ứng dụng thực tế của Toán
họctrong cuộc sống

Nhu cầu biết về ứng dụng thực tế của môn Toán

Tỉ lệ (%)

Có

98

Không

2

Biểu đồ 1. Biểu đồ đánh giá mức độ khó của môn Toán

Dựa vào các thống kê, biểu đồ trên chúng ta thấy rằng đa số HS nhận thức được tầm quan
trọng của môn Toán (17% cho rằng Toán học là cần thiết và có đến 80 % cho rằng nó rất
cần thiết cho cuộc sống) cũng như rất muốn biết về ứng dụng của nó trong thực tế cuộc
sống (98%). Tuy nhiên có đến một nửa số HS được hỏi nghĩ rằng môn Toán là môn học khó
(40%) hoặc rất khó (10%).
Đối với câu hỏi số 8- một hoạt động trong bài học về góc và cung lượng giác chương
trình SGK Đại số nâng cao 10. Học sinh tỏ ra thích thú không chỉ biết về một khái niệm
địa lý được định nghĩa bởi toán học mà còn biết thêm về ý nghĩa của việc sử dụng đơn vị

hải lý trong ngành hàng hải.
5


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
Cõu hi s 9- cõu hi chỳng tụi ly t kho sỏt PISA to ra mt thỳ v nh bi cỏc cõu
tr li khỏc nhau ca cỏc em. Quan trng hn l cỏc em thớch thỳ vi vn rt gn gi
trong cuc sng nh vy.
2. Tỡm kim v tp hp cỏc vớ d thc tin ng dng toỏnhc
a.

Lm th no tỡm kim v tp hp cỏc vớ d thc tin ng dng toỏn hc?

õy l mt cõu hi m cỏc nh giỏo dc, giỏo viờn cũn bn khon. Hin nay, giỏo dc
Vit Nam khụng nhiu cỏc ti liu bn v lnh vc ny. Bn thõn chỳng tụi cng cha
c tip cn ti liu chớnh thng no ch rừ cỏc nguyờn tc, cỏc bc hoc cú nhiu cỏc
vớ d minh ho mt cỏch y v vic tỡm kim v xõy dng vớ d thc tin hoc tớch
hp liờn mụn ng dng toỏn hc.
Qua t tỡm hiu v kinh nghim, chỳng tụi nhn thy cỏc vớ d thc tin ng dng
toỏn hc cú th c tỡm thy thụng qua cỏc hot ng nh:
- Nghiờn cu khoa hc lun tri thc: lch s hỡnh thnh ca cỏc khỏi nim, quỏ
trỡnh phỏt trin ca tri thc, ý ngha thc tin ca trithc
- Tham kho t cỏc mụn hc khỏc, c bit l cỏc mụn khoa hc tnhiờn.
- Tỡmkimtrongcỏctiliu,cbitltiliu,sỏchgiỏokhoa
trờnInternet.

ncngoi,tỡm

- Thamkhocỏcvncucsngcúnhiuyuttoỏnhctrongúnhthng
hng, chng khoỏn, bo him

kờ,

kim
ngõn

b. Phng phỏp xõy dng vớ d thc tin toỏn hc

Mt phng phỏp xõy dng vớ d hiu qu nht l phng phỏp mụ hỡnh hoỏ.
Toỏn hc hoỏ cỏc tỡnh hung thc t (mụ hỡnh hoỏ)
Quỏ trỡnh mụ hỡnh hoỏ toỏn hc c mụ t gm 4 bc:
Bc 1: Xõy dng mụ hỡnh trung gian ca vn , tc l xỏc nh cỏc yu t cú
ý ngha quan trng nht trong h thng v xỏc lp cỏc quy lut m chỳng ta phi tuõn
theo.
Bc2:Xõydngmụhỡnhtoỏnhcchovnangxột,tcldintlidi dng ngụn
ng toỏn hc cho mụ hỡnh trung gian. Lu ý l ng vi vn ang xem xột cú th cú
nhiu mụ hỡnh toỏn hc khỏc nhau, tu theo ch cỏc yu t no ca h thng v mi
liờn h no gia chỳng c xem l quantrng.
Bc 3: S dng cỏc cụng c toỏn hc kho sỏt v gii quyt bi toỏn hỡnh
thnhbc2.Cncvomụhỡnhóxõydngcnphichnhocxõydngphng phỏp gii
cho phựhp.
6


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
Bc 4: Phõn tớch v kim nh li cỏc kt qu thu c trong bc 3. Trong
phn ny phi xỏc nh mc phự hp ca mụ hỡnh v kt qu tớnh toỏn vi vn
thc t hoc ỏp dng phng phỏp phõn tớch chuyờn gia.
Quỏ trỡnh mụ hỡnh hoỏ cú th c túm lc qua s sau:

Ging dy toỏn hin nay ti Vit Nam ang tp trung bc 3, bi vỡ:
- Chng trỡnh, ni dung, sỏch giỏo khoa ch yu trỡnh by bc3;
- Cỏc thi cng tp trung ni dung bc3;
- Giỏo viờn gii bc 3 v cha cú nhiu kinh nghim cỏc bc cũnli.
Vi tinh thn i mi, chỳng tụi ó ng dng tỡm kim, tham kho t nhiu ngun t liu
khỏc nhau , cú m bo s tụn trng, k tha, phỏt trin Chng trỡnh, sỏch giỏo khoa hin
hnh, xõy dng cỏc ng dng toỏn hc phc v ging dy v cng ó tp hp c
mt

s

tỡnh

hung.

Phn

tip

sau

strỡnhbynhngktqutctrongquỏtrỡnhtỡmkimvsỏngto ca chỳng tụi.

III. NI DUNG GII PHP
Vi phm vi thc hin ca ti, chỳng ti ch gii thiu mt s tỡnh hung thc
tin gn vi chng trỡnh toỏn THPT. Ni dung ca cỏc tỡnh hung c tỏc gi su tm
t nhiu ngun ti liu khỏc nhau: SGKhin hnh, SGK nc ngoi, din n khoa hc
trờn mng Internet, cỏc bỏo cỏo chuyờn , SKKN , tp chớ giỏo dc, , sỏch v phng
phỏp dy hc trongncvmtstỡnhhungdotỏcgitthitktrongthctgingdycabn
thõn.

Ni dung sỏng kin gm 2 phn:
Phn I: Bi toỏn cú ni dung thc tin trong chng trỡnh lp 10
7


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
Phn II: Bi toỏn cú ni dung thc tin trong chng trỡnh lp 11

Phn I: BI TON Cể NI DUNG THC TIN TRONG CHNG TRèNHLP 10
1.

Hm s cho bi nhiu cụng thc

Bi 1.Giỏ cc ca hóng Taxi Mai Linh c niờm yt nh sau trong giai on t
16/09/2015 ti TP H Chớ Minh

a) Hóy biu din hm s th hin s tin phi tr tớnh theo bin x l skm. Gi s
khỏch hng i mt chiu.
b) Tớnh s tin m khỏch hng phi tr khi i 550m, 8km,35km.
c) Nu khỏch phi tr 250.000, thỡ anh ta ó i bao nhiờukm?
2. Hm s bc hai
Bi 2.Dõy truyn nn Cu treo cú dng Parabol ACB nh hỡnh v. u cui ca dõy
c gn cht vo im A v B trờn trc AA' v BB' vi cao 30m. Chiu di nhp A'B' =
200m. cao ngn nht ca dõy truyn trờn nn cu l OC = 5m. Xỏc nh chiu di cỏc
dõy cỏp treo (thanh thng ng ni nn cu vi dõy truyn)?
B
A
M1
M2
8

D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
M3
C
y
x
B'
A'
y1
y2
y3
30m
(100;30)
200m
O
5m

Bài 3.Khi một vật được ném lên thì chiều cao h(m) so với mặt đất theo thời gian t (giây)
2
được tính bởi hàm số h(t ) = 5t + v0t + h0 (với � là vận tốc ban đầu, ℎ (m) là độ cao
0
0
ban đầu của vật).Một quả bóng được cầu thủ Di Maria đá lên từ mặt đất với vận tốc ban
đầu là 20m/giây.

a) Tính chiều cao cực đại của quảbóng.
b) Sau bao lâu, bóng sẽ rơi xuống mặtđất?
9

D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
3. Bất đẳng thức Cauchy

Bài 4. Người ta phải cưa một thân cây hình trụ để được một cây xà hình khối chữ nhật có
thể tích cực đại. Hỏi cây xà phải có tiết diện như thế nào?
Bài 5. Với một tấm kim loại hình chữ nhật, phải làm một cái máng mà tiết diện là một
hình thang cân. Bề rộng của mặt bên và góc giữa nó với một đáy phải bằng bao nhiêu để
tiết diện của máng có diện tích cực đại?
x
x
y
z
z

Bài 6. Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ
nhật, có chu vi là a mét (a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ
đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt). Hãy xác định các kích thước
2x
S1
S2
của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất?

Mặt cắt
ngang

Bài 7.Một tấm tôn rộng 32 cm được dùng để tạo thành máng xối bằng cách gập hai bên
10

D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
một góc 90° như hình vẽ. Diện tích mặt cắt ngang của máng xác định lưu lượng nước
chảy. Tìm x để lưu lượng nước chảy qua máng là nhiều nhất.
4. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 8.Theo biểu đồ phân bố chỉ số IQ test theo tỉ lệ dân số từ trang web testiq.vn thì chỉ số
x − 100 ≤ 15 , với �là chỉ số IQ. Xácđịnh khoảng
IQ của 68% dân số thỏa mãn công thức
IQ của 68% dân sốnày.
5.

Bất phương trình chứa căn thức

Bài 9.Người ta lắp đặt một hệ thống tích nước trên mái nhà bằng hệ thống ống dẫn như
sơ đồ bên. Hệ thống gồm hai ống nằm xiên để dẫn nước vào một ống thẳngđứng nối với
hồ chứa. Người ta chỉ có tổng cộng 11 mét ống. Tìm những vị trí có thể đặt điểmM.

6.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 10.Một đoàn thám hiểm vùng cực hiện cách căn cứ 240 km. Trong vòng 48 giờtới
sẽcómộtcơnbãotuyếtậpđến.Đoànphảidichuyểncàngnhiềucàngtốtbằngtàurồi đi bộ về căn
cứ đoạn đường còn lại trước khi cơn bão đến. Đoàn thám hiểm có thể
điềukhiểntàuphábăngvớivậntốc12km/hhoặcđibộvớivậntốc3km/h.Viếtvàvẽ
hệbấtphươngtrìnhxácđịnhkhoảngthờigianđoànthámhiểmcóthểđibằngtàuphá băng rồi đi bộ
để trở về căn cứ trước khi cơn bãođến.

7. Công thức lượng giác cơbản
Bài 11.Một công ty sản xuất dụng cụ trượt tuyết muốn kiểm tra độ ma sát của sản
phẩm trượt tuyết mới bằng cách đặt sản phẩm trên mặt phẳng băng. Mặt băng được nâng

dốc dần đến khi sản phẩm bắt đầu trượt xuống.
Tại thời điểm sản phẩm bắt đầu trượt, trọng lực thành phần chiếu lên phương di chuyển là
�� sin �, cân bằng với lực ma sát � = ��� cos �, với �là hệ số ma sát. Tính góc nghiêng của
mặt băng ngay khi dụng cụ trượt xuống, biết hệ số ma sát � =0,14.
8. Toạ độ của vectơ
Bài 12.Lớp chia thành từng nhóm bốn bạn thực hiện trò chơi tiếp sức như sau: Người thứ
nhất nhìn bức ảnh vẽ các vectơ, sau đó dùng lời, mô tả các vectơ đó trên một tờ
giấyrồichuyểnchongườithứhai.Ngườithứhaisửdụngthôngtinmôtảtrêntờgiấy
nhậnđượcrồivẽlạicácvectơnhưbanđầutrênmộttờgiấykẻô khác,sauđóchuyển hình vẽ cho
người thứ ba. Người thứ ba thực hiện như người thứ nhất rồi chuyển nội dung mô tả cho
người thứ tư. Người thứ tư vẽ lại các vectơ như mô tả của người thứ ba trên một tờ giấy
kẻ ô mới. Đội giành chiến thắng là đội vẽ đúng các vectơ bằng vectơ ban đầu trong thời
11


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
gian ngắnnhất.
Bạn hãy hướng dẫn để họ có thể giành chiến thắng.

9. Hệ thức lượng trong tam giácvuông
Bài 13.Sơn và Dung ở về hai phía của một cây thông và cách nhau 12m. Từ mặt đất,
Sơn nhìn chếch lên ngọn cây một góc 360, còn Dung nhìn lên một góc 420.
Tính chiều cao của cây.
Bài 14.Everest là ngọn núi cao nhất thế giới tính từ mặt nước biển (đây cũng là phần
lồicủangọnnúi).Tạihaiđiểmcáchnhau2.689mtrênmặtđất,ngườitanhìnlênđỉnh núi thấy góc
lệch lần lượt là 300 và 350. Tính chiều cao ngọnEverest.

10.Tích vô hướng của hai vectơ
⃗
⃗

Bài 15.Công của lực � làm một chất điểm chuyển động một đoạn đường � được tính
⃗ ⃗
bởicôngthức�=� .� .Hìnhvẽsaumôtảmộtngườiđẩychiếcxedichuyển một đoạn 20m với
lực đẩy 50N, góc đẩy là 60°. Tính công của lực đã nêu.
11. Định lý cosin
Bài 16.Để xácđịnhkhoảngcáchgiữahaicâyởbênkiabờsông,ngườitathựchiệnnhư sau: Tại một
vị trí bên này sông, dùng máy trắc địa xác định được khoảng cách từđiểm đặt máy đến từng
cây lần lượt là 75m và 100m, xác định được góc nhìn từ máy đến hai cây là 32 0. Người ta
đã tính toán thế nào để xác định khoảng cách giữa hai cây

Bài 17.Ở thành phố Pisa có một cái tháp nghiêng nổi tiếng, trở thành biểu tượng của
nướcItaliavàtụđiểmcủakháchdulịch.Thápcao56m.Năm1999,thápnghiêngmột góc 100 so
với mặt đất. Để ổn định tháp, một kỹ sư đã đề nghị nối một đoạn cáp từ
đỉnhthápđếnmộtđiểmtrênmặtđấtcáchchântháp40m.Hỏicầnphảisửdụngđoạn cáp dài bao
nhiêu? Đồng thời tính góc tạo bởi đoạn cáp và mặtđất.
12. Định lý sin
Bài 18.Tạimộttrạmkiểmlâm,ngườitapháthiệncóđámcháy.Cáchđàikiểmlâm50m có một bồn
nước. Bằng máy trắc địa, người ta đo được góc nhìn tại đài kiểm lâm giữa
bồnnướcvàđámcháylà340,gócnhìntạibồnnướcgiữađàikiểmlâmvàđámcháylà 970. Xác định
khoảng cách từ bồn nước đến đámcháy.
12


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
13.Phng trỡnh elip
Bi 19.Hỡnh v sau biu din qu o hỡnh Elip ca Sao thu, khong cỏch ngn nht
gia Sao thu v Mt tri l 47 triu km, khong cỏch xa nht gia Sao thu v Mt tri
l 69 triu km. Theo nh lut Kepler, khong cỏch trung bỡnh t mt hnh tinh trong
Thỏi dng h n Mt tri bng na di trc ln ca qu o Elip ca nú.
a) Tớnh khong cỏch trung bỡnh t Sao thu n Mttri.

b) VitphngtrỡnhbiudinquocaSaothu(gctoltõmcaqu o, Mt
tri l mt tiờu im ca quo).

14. Cỏc bi toỏn v H bt phng trỡnh bc nht hai n
Bi 20. Mt cụng ty cn thuờ xe vn chuyn 140 ngi v 9 tn hng húa. Ni cho thuờ
xe ch cú 10 xe hiu MITSUBISHI v 9 xe hiu FORD. Mt chic xe hiu MITSUBISHI
cú th ch 20 ngi v 0,6 tn hng. Mt chic xe hiu FORD cú th ch 10 ngi v 1,5
tn hng. Tin thuờ mt xe hiu MITSUBISHI l 4 triu ng, mt xe hiu FORD l 3
triu ng. Hi phi thuờ bao nhiờu xe mi loi chi phớ thp nht?
Bi 21. Mt xng sn xut hai loi sn phm. Mi kg sn phm loi I cn 2kg nguyờn
liu v 30 gi, em li mc li 40000 ng. Mi kg sn phm loi II cn 4 kg nguyờn liu
v 15 gi, em li mc li 30000 ng. Xng cú 200kg nguyờn liu v 120 gi lm vic.
Nờn sn xut mi loi sn phm bao nhiờu cú mc li cao nht?
Bi 22.Nhõn dp tt Trung Thu, Xớ nghip sn xut bỏnh Trng mun sn xut hai loi bỏnh: u
xanh, Bỏnh do nhõn u xanh. sn xut hai loi bỏnh ny, Xớ nghip cn: ng, u, Bt,
Trng, Mt, ... Gi s s ng cú th chun b c l 300kg, u l 200kg, cỏc nguyờn liu
khỏc bao nhiờu cng cú. Sn xut mt cỏi bỏnh u xanh cn 0,06kg ng, 0,08kg u v cho lói
2 ngn ng. Sn xut mt cỏi bỏnh do cn 0,07kg ng, 0,04kg u v cho lói 1,8 ngn ng.
Cn lp k hoch sn xut mi loi bỏnh bao nhiờu cỏi khụng b ng v
ng, u v tng s lói thu c l ln nht (nu sn xut bao nhiờu cng bỏn ht)?
Bi 23. Cụng ty Bao bỡ Dc cn sn xut 3 loi hp giy: ng thuc B 1, ng cao Sao
vng v ng "Quy sõm i b hon". sn xut cỏc loi hp ny, cụng ty dựng cỏc tm
bỡa cú kớch thc ging nhau. Mi tm bỡa cú hai cỏch ct khỏc nhau.
13


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
Cỏch th nht ct c 3 hp B1, mt hp cao Sao vng v 6 hp Quy sõm.
Cỏch th hai ct c 2 hp B1, 3 hp cao Sao vng v 1 hp Quy sõm. Theo k hoch, s
hp Quy sõm phi cú l 900 hp, s hp B1 ti thiu l 900 hp, s hp cao Sao vng ti

thiu l 1000 hp. Cn phng ỏn sao cho tng s tm bỡa phi dựng l ớt nht?
15. Cỏc bi toỏn v Phng trỡnh, Bt phng trỡnh, H phng trỡnh, H bt
phng trỡnh bc hai:
Bi 24. Mt on tu ỏnh cỏ d nh ỏnh bt 1800 tn cỏ trong mt s ngy nht nh.
Do b bóo nờn trong 3 ngy u tiờn on ỏnh bt c ớt hn k hoch mi ngy 20 tn.
Trong cỏc ngy cũn li, on ỏnh bt vt hn k hoch 20 tn mi ngy. Vỡ vy on ó
hon thnh k hoch ỏnh bt trc thi hn 2 ngy. Hi theo k hoch mi ngy on tu
ỏnh bt bao nhiờu tn cỏ v thi gian ỏnh bt theo k hoch l bao nhiờu ngy?
Bi 25. Mt nhúm sinh viờn chốo mt du thuyn xuụi dũng t A n B cỏch A 20km ri
chốo ngc tr v A mt tng cng 7gi. Khi bt u chuyn i h thy mt bố g trụi
ngang qua A v hng B. Trờn ng tr v h gp li bố g v trớ cỏch A 12km. Tớnh
vn tc ca du thuyn khi i xuụi dũng v vn tc ca dũng nc.
Bi 26. Mt nhúm bn hựn nhau t chc mt chuyn du lch sinh thỏi (chi phớ chia u
cho mi ngi). Sau khi ó hp ng xong, vo gi chút cú hai ngi bn vic t xut
khụng i c. Vỡ vy mi ngi cũn li phi tr thờm 30000 ng so vi d kin ban
u. Hi s ngi lỳc u d nh i du lch, mi ngi theo d kin ban u phi tr bao
nhiờu tin v giỏ ca chuyn i du lch sinh thỏi ú, bit rng Bn hp ng giỏ ny trong
khong t 700000 ng n 750000 ng.
Bi 27.Hai cụng nhõn cựng lm chung mt cụng vic trong 3 gi 36 phỳt thỡ xong. Nu

1
ngi th nht lm trong 3 thi gian m riờng ngi th hai lm xong cụng vic v ngi

14


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
1
thứ hai làm trong 3 thời gian mà riêng người thứ nhất làm xong công việc thì cả hai
13

người làm được 18 công việc. Tính thời gian mỗi người làm riêng xong công việc.
Bài 28. Bạn An đến cửa hàng mua 12 đôi tất với tổng giá tiền là 240 ngàn, trong đó gồm 3
loại: loại 10 ngàn 1 đôi, 30 ngàn/đôi và 40 ngàn/đôi. Nếu An mua ít nhất mỗi loại 1 đôi thì
An đã mua bao nhiêu đôi loại 10 ngàn/đôi?
Bài 29.Lan hoàn thành khóa luận khoảng 40 trang(đánh thứ tự từ 1 đến 40), mỗi trang
khoảng 240 từ. Nam và Bình cùng giúp Lan đánh máy bài khóa luận đó. Nam bắt đầu gõ
từ trang 1 trở đi(đến 40) với tốc độ 36 từ/phút, Bình bắt đầu gõ từ trang 40 trở lại(từ 40 về
1) với tốc độ 54 từ/phút. Nếu Nam và Bình bắt đầu gõ cùng lúc thì sau bao nhiêu phút sẽ
gõ xong bài giúp Lan?
Bài 30.Bà Vân mua bữa trưa cho 25 học sinh của mình. Một chiếc bánh pizza cho 3 người
ăn có giá 100 ngàn, chiếc bánh pizza dành cho 4 người ăn có giá 140 ngàn. Biết rằng
không thể mua một phần chiếc bánh, hỏi bà Vân phải dùng ít nhất bao nhiêu tiền để mua
bữa trưa cho 25 học sinh?

15


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
Phn II: BI TON Cể NI DUNG THC TIN TRONG CHNG TRèNH
I S V GII TCH 11
1. Dóy s Fibonacci

Bi 1:Th con dn n dóy s Fibonacci:

Mt nụng dõn mua mt ụi th nuụi. Thỏng u tiờn ụi th y sinh c mt
ụi th con, thỏng th hai sinh mt ụi na v dng li. Cỏc ụi th con n lt mỡnh li
sinh 2 ụi khỏc (mi thỏng sinh mt ụi) ri cng dng li. Hi c mi thỏng ngi nụng
dõn cú bao nhiờu ụi th?
1 4 Th h th 5 Th
ụi th b m Th h th nht Th h th 2 Th h th 3 Th h th

ụi
h th 6 Th h th 7
1 ụi

Hỡnh 4

2 ụi
tr li cõu hi ny, ta cú s cỏc ụi th k t ụi th mua v u tiờn
3 ụi
Trc ht vit s 1 cho ụi th mua v v mt s 1 na cho ụi th con
5 sinh thỏng th
nht (th h F1). Thỏng th 2 c 2 ụi th ny u sinh con nờn phi vit
ụi s 2 (th h F 2).
n õy ụi th ngi nụng dõn mua ban u ngng sinh.

8

Thỏng tip theo th h F1 sinh 1ụi, th h F2 sinh 2 ụi th nờn th h F3 cú 3 ụi nờn cú 5
ụi th h F4. Nh vy mi thỏng ch cú 2 th h sau cựng sinh , nờn s th tip theo l
tng ca s th sau cựng cng li. Nhng s c lp thnh nh vy c gi l dóy s
Fibonacci (Fibonacci l bit danh ca Lộonard Pisano-nh toỏn hc ngi í).

Bi 2: Dũng h loi ong: Ong c ch cú m v ong cỏi cú c b v m. Hi ong c cú bao

nhiờu t tiờn i th n?

16


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh

Đời thứ nhất (mẹ), đời thứ 2 (1 đực và 1 cái), đời thứ 3 có 3 (vì ở đời thứ 2 có 1 ong
đực và 1 ong cái. Ong đực thì có mẹ, còn ong cái có cả bố và mẹ) đời thứ tư có 5 (vì ở đời
thứ ba có 1 ong đực và 2 ong cái). Như vậy ta thấy rằng số ong ở đời thứ n nào đó bằng
tổng số ong của 2 đời liền trước đó nên ta có dãy số:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
2. Cấp số nhân

Bài 3: Qua điều tra chăn nuôi bò ở tỉnh Thanh Hóa ngày 01/10/2015 cho thấy số lượng đàn

bò khoảng 224 063 con, tăng 3,7% so với cùng kì năm 2014. Tính xem, sau một kế hoạch 3
năm, với tỷ lệ đàn bò tăng như trên đây, số lượng đàn bò sẽ đạt đến bao nhiêu con?
Sau đây là một số câu chuyện thú vị về cấp số nhân trong đời sống.
Câu chuyện 1: “Mộtphần thưởng thú vị”

Một người nông dân được nhà Vua thưởng cho một số tiền trả trong 30 ngày và cho
phép anh ta chọn 1 trong 2 phương án:
Theo phương án 1: nhà Vua cho anh ta nhận 1 xu trong ngày thứ nhất, 2 xu trong
ngày thứ 2, 4 xu trong ngày thứ 3,…Số tiền nhận được sau mỗi ngày tăng gấp đôi. Còn theo
phương án 2, nhà Vua cho anh ta nhận ngày thứ nhất 1 đồng, ngày thứ hai 2 đồng, ngày thứ
ba 3 đồng,…Mỗi ngày số tiền tăng thêm 1 đồng. Biết 1 đồng bằng 12 xu.
Hỏi phương án nào có lợi cho người nông dân?
Câu chuyện 2:“Một hào đổi lấy năm xu”

17


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
Tng truyn, vo mt ngy n, cú mt nh toỏn hc n gp 1 nh t phỳ v
ngh c bỏn tincho ụng theo cụng thc sau:

Liờn tc trong 30 ngy, mi ngy nh toỏn hc bỏn cho nh t phỳ 10 triu ng
vi giỏ 1 ng ngy u tiờn v k t ngy th hai, mi ngy nh t phỳ phi mua vi
giỏ gp ụi ca ngy hụm trc. Khụng mt chỳt n o, nh t phỳ ng ý ngay tc thỡ,
lũng thm cm n nh toỏn hc n ó mang li cho ụng ta mt c hi ht tin nm m cng
khụng thy.
Hi: nh t phỳ ó lói c bao nhiờu trong cuc mua bỏn k l ny?
Vn dng cp s nhõn trong lnh vc ti chớnh - ngõn hng.
Bi 4: Mt d ỏn u t ũi hi chi phớ hin ti l 100 triu ng v sau 3 nm nú s em

li 150 triu ng. Vi lói sut 8%, hóy ỏnh giỏ xem cú nờn thc hin d ỏn ny khụng?
Bi 5: Bn nh mua mt chic xe mỏy theo phng thc tr gúp. Theo phng thc ny

sau mt thỏng bn nhn c xe bn cn tr mt lng tin nht nh no ú, liờn tip trong
44 thỏng. Gi s giỏ xe mỏy thi im bn mua l 16triu ng v gi s lói sut ngõn hng
l 1% mt thỏng. Vi mc phi tr hng thỏng l bao nhiờu thỡ vic mua xe tr gúp l chp
nhn c?
Bi 6:Mt ngõn hng quy nh i vi vic gi tin tit kim theo th thc cú kỡ hn nh

sau: Khi kt thỳc kỡ hn m ngi g khụng n rỳt tin thỡ ton b s tin c vn v lói s
c chuyn gi tip vi kỡ hn m ngi ó gi.Gi s cú mt ngi gi 10 triu ng
vi kỡ hn 1 thỏng vo ngõn hng núi trờn v gi s lói sut ca loi kỡ hn ny l 0,4%
a, Hi sau 6 thỏng, k t ngy gi, ngi ú n ngõn hng rỳt tin thỡ s tin c
bao nhiờu?
b, Hi sau 1 nm, k t ngy gi, ngi ú n ngõn hng rỳt tin thỡ s tin c
bao nhiờu?

18


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh

Sinh hc l mụn khoa hc t nhiờn nờn nú liờn quan nhiu n Toỏn hc. Toỏn hc
giỳp cỏc nh sinh hc x lớ cỏc thụng s sinh hc trong nghiờn cu khoa hc cỏc cp
khỏc nhau ca th gii sinh sng cng nh ỏp dng toỏn hc vo dy hc mụn sinh hc
trng ph thụng.
Bi 7. Mi vi khun E.coli c sau 20 phỳt li tỏch lm ụi. Hi sau 24 gi t mt vi khun E.coli
ban u sn sinh ra tt c bao nhiờu vi khun?
Bi 8.Chu kỡ bỏn ró ca nguyờn t phúng x poloni 210 l 138 ngy (ngha l sau 138 ngy

khi lng ca nguyờn t ú ch cũn li mt na). Tớnh (chớnh xỏc n phn trm) khi
lng cũn li ca 20 gam poloni 210 sau 7314 ngy (khong sau 20 nm).
Bi 9. Trong phn ng phõn hch nguyờn t Urani 235. Gi s ban u cú N 0 ht nừtron, ln
n
phõn hch th n sinh ra N 0 .2 nừtron, bit mi phõn hch ta ra nóng lýng 200MeV. Hi nu ban
u cú 1 ht nừtron thỡ sau 10 ln phõn hch ta ra nóng lýng bao nhiờu MeV.

Bi 10: Trong mt tam giỏc cõn cú mt vũng trũn ni tip, phớa trờn cú mt vũng trũn th

2 tip xỳc vi hỡnh trũn th nht v tip xỳc vi cỏc cnh bờn ca tam giỏc. Phớa trờn hỡnh
trũn th 2 l hỡnh trũn th 3, c nh th, ton b gúc nh ca tam giỏc c lp y bi
mt dóy hỡnh trũn cú bỏn kớnh ngy cng nh. S lng ca chỳng l vụ hn. Lỳc ny
ng kớnh ca cỏc hỡnh trũn to thnh mt cp s nhõn lựi vụ hn (vỡ t s ca ng kớnh
hỡnh trũn th 2 vi hỡnh trũn th nht, gia hỡ nh trũn th 3 vi hỡnh trũn th 2, l mt s
khụng i v nh hn 1)

19


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
Vn t ra l nu ta cng liờn tip cỏc ng kớnh cỏc hỡnh trũn thỡ sao? Khụng
cn dựng cụng thc tớnh tng ca cp s nhõn lựi vụ hn. Ch cn xoay tt c cỏc hỡnh trũn

li sao cho ng kớnh ca chỳng thng ng. Nh vy tng vụ hn s hon ton bng mt
i lng hu hn-chiu cao ca tam giỏc.
3. Cp s cng

Bi 11: Ngi ta trng 3003 cõy theo mt hỡnh tam giỏc nh sau: hng thnht cú 1 cõy,

hng th hai cú 2 cõy, hng th 3 cú 3 cõy,Hi cú bao nhiờuhng cõy?
Bi 12: Lan mun mua vi mún qu tng m v ch nhõn ngy 8/3. Lan quyt nh tit kim

tin t ngy 1/1 ca nm ú vi ngy u l 500 ng, ngy sau cao hn ngy trc l 500
ng. Hi n ỳng ngy 8/3 Lan cú tin mua qu cho m v ch khụng? Bit mún
qu Lan d nh mua khong 800 ngn ng
Bi 13:Mt cụng ty trỏch nhim hu hn thc hin vic tr lng cho cỏc k s theo phng

thc sau:Mc lng ca quý lm vic u tiờn cho cụng ty l 4,5 triu ng/quý, k t quý
lm vic th 2, mc lng s c tng thờm 0,3 triu ng mi quý. Hóy tớnh tng s tin
lng mt k s nhn c sau 3 nm lm vic?
Bi 14: Em chn phng ỏn no?.

Khi ký hp ng lao ng di hn vi cỏc k s c tuyn dng, cụng ty liờn
doanh A xut hai phng ỏn tr lng ngi lao ng t la chn:
Phng ỏn 1: Ngi lao ng s nhn c 36 triu ng cho nm lm vic u
tiờn, v k t nm lm vic th hai, mc lng s c tng thờm 3 triu ng mi nm.
Phng ỏn 2: Ngi lao ng s nhn c 7 triu ng cho quý lm vic u tiờn,
v k t quý lm vic th hai, mc lng s c tng thờm 500000 ng mi quý.
Nu em l ngi kớ hp ng vi cụng ti liờn doanh A thỡ em s chn phng ỏn no?
Bi 15: Bi toỏn tin cụng khoan ging:

- c s A: giỏ ca một khoan u tiờn l 8000 ng v k t một khoan th hai, giỏ
ca mi một sau tng thờm 500 ng so vi giỏ ca một khoan ngay trc nú.

20


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
- c s B: giỏ ca một khoan u tiờn l 6000 ng v k t một khoan th hai, giỏ
ca mi một sau tng thờm 7% giỏ ca một khoan ngay trc nú.
a) Mt ngi mun chn mt trong hai c s núi trờn thuờ khoan ging sõu 20
một ly nc dựng cho sinh hot gia ỡnh. Hi ngi ú nờn chn c s no, nu cht
lng cng nh thi gian khoan ging ca 2 c s l nh nhau?
b) Cng nh cõu hi cõu b vi gi thit sõu ca ging cn khoan l 25một?
Bi 16. Bn Nam c 15 cun sỏch, mi ln c 1 cun, c ht cun ny mi c sang
cun khỏc. Cun u tiờn, Nam cn 1 ngy c xong, cun th 2 cn 2 ngy, cun th 3
cn 3 ngy, v c tip tc nh vy, mi cun sỏch c sau cn nhiu hn 1 ngy c
xong so vi cun c trc ú. Bit Nam c xong cun th nht trong ngy th Hai, ht
ngy th T thỡ c xong cun th 2. Vy lỳc Nam c xong cun th 15 thỡ ú l ngy th
my trong tun?
Ch 2: Gii hn ca dóy s:
Bi 17: Trong quõn s cú bi toỏn vt n trng bn: ta tng tng mi vt n trờn

mc tiờu trng bn nh mt im c ỏnh du bi s th t ca nú. Nhng hỡnh trũn
ca mc tiờu v cuc thi bn c xem nh kộo di vụ hn. Ta gi nhng phn t c
ỏnh s ca tp hp cỏc vt n l cỏc s hng ca mt dóy. Nh vy dóy l mt tp vụ hn
cỏc phn t c ỏnh s.
Nu tip tc theo dừi cuc thi bn thỡ s tỡm ra nhng hỡnh nh núi v dóy s v
v gii hn
-Vi x th gii, dự ly hỡnh trũn nh bao nhiờu, bt u t mt ln bn no ú tr
i cỏc vt n tip sau u ri vo hỡnh trũn ú. Theo cỏch núi ca Toỏn hccú ngha l dóy
cỏc vt n hng ti tõm bia, tõm bia l gii hn ca cỏc vt n.
- Cũn vi x th cũn non kinh nghim thỡ dự chn trc hỡ nh trũn cú bỏn kớnh no ú
bao gi cng cú mt viờn n cú s th t ln hn nm ngoi gii hn cahỡnh trũn ó trn.

Theo cỏch núi ca Toỏn thỡ dóy cỏc vt n khụng dn ti tõm hỡnh trũn

21


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
Bài 18: Nên chia kẹo cho các cậu bé như thế nào? Tất nhiên là phải cậu một nửa - mình một

nửa.
Người có kẹo phải chia nó làm hai phần bằng nhau để cho bạn. Phần thu được cũng
phải chia làm đôi để phân cho bạn của mình. Cứ như vậy có thể chia cái kẹo thành một
phân số tùy ý, độ lớn của các phần chia liên tiếp giảm dần tới không: Một cái kẹo, nửa cái
kẹo, phần tư cái kẹo, phần tám, phần mười sáu và cứ như vậy cái kẹo ban đầu cứ thế nhỏ
dần, dù cho trước một độ lớn nào, bắt đầu từ một phần chia nào đó tất cả các phần chia tiếp
sau sẽ nhỏ hơn độ lớn cho trước.
Sự kiện này được diễn đạt một cách chặt chẽ theo Toán học như sau: Sự dần tiến tới
không có nghĩa là với một lân cận nhỏ tùy ý của 0 (Độ dài thường được biểu thị bằng δ )
bao giờ cũng tìm được một số thứ tự mà mọi số hạng có số thứ tự lớn hơn của dãy phải nằm
trong lân cận đó
Bài 19 : Giới hạn về năng lượng thể thao của con người Trong [23, tr. 154] sgk Đại số và

giải tích lớp 11 nâng cao có trình bày (không chứng minh) định lý: “Dãy số giảm và bị chặn
dưới thì có giới hạn hữu hạn”. Bây giờ ta liên hệ định lý này vào lĩnh vực thể thao
Cách đây không lâu thì thành tích mà các vận động viên chạy 100m cần cố gắng là
9s và bây giờ đã đạt được. Có thể khẳng định một nhà quán quân tương lai nào đó sẽ rút
ngắn được thời gian thêm 1 đến 2 giây. Ta xem kỷ lục về chạy cự li 100m như các số hạng
của một dãy số nào đó. Nhà toán học gọi nó là dãy đơn điệu. Nếu khẳng định được rằng
không có ai có thể chạy 100m ít hơn 2 giây thì ta nói rằng các số hạng của dãy số của chúng
ta bị chặn ở dưới. Theo định lý trên thì trên bậc thang kết quả chạy 100m có một mốc mà
dãy các kỉ lục sẽ dần tới. Dù chọn một lân cận nhỏ tùy ý của mốc, mọi số hạng của dãy bắt

đầu từ một số hạng nào đó sẽ nằm trong lân cận. Dãy các kỷ lục có thể dần tới giới hạn mà
không đạt tới giới hạn đó. Kỷ lục hôm nay khác với giới hạn một phần mười giây thì kỉ lục
tiếp sau sẽ có thể khác năm phần trăm, kỉ lục tiếp theo khác một phần trăm, tiếp theo nữa là
một phần nghìn và mỗi kết quả đứng sau là một kỉ lục vì nó nhỏ hơn kết quả đứng trước. Ta
nói dãy số các kỷ lục chạy 100m của con người có giới hạn
Bài 20: Chiều cao của con người:

22


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
C mi ln sinh nht con ngi cha li ỏnh du chiu cao v cn thn ghi chiu cao
vo bờn cnh. Qua nm thỏng, cu bộ ln dn lờn ó to nờn mt bc thang ton b cỏc
vch du trờn khung ca. ú l dóy cỏc tng chiu cao t nm ny qua nm khỏc. Cỏc
vch du trờn khung ca xớch li gn nhau v n mt thi gian no ú chỳng ngng tng.
Núi theo Toỏn hc thỡ dóy cỏc chiu cao ghi trờn khung ca cú gii hn v dóy cỏc tng
chiu cao ca con ngi t nm ny qua nm khỏc gim dn n khụng
Bi 21: Ngi bỏn hng cũn thiu kinh nghim cõn hng:

Sau 2 ln xỳc v a gúi ng lờn cõn nhng ng quỏ nhiu phi xỳc bt ra.
Xỳc mt na muụi ra v gúi ng li c t lờn cõn. Ln ny thỡ s ng li ớt hn.
Li xỳc vo, li tha li xỳc ra, khi lng ng trc mi ln cụ bỏn hng thờm vo hoc
bt ra lp thnh mt dóy. Cỏc s hng ca dóy ny khi thỡ dng (lỳc cụ bỏn hng xỳc
ng ra) khi thỡ õm(lỳc thờm vo). Theo cỏch núi ca Toỏn hc, dóy ny tin dn ti
gii hn do ngi mua ng nh trc.
Ch 3:Gii hn, tớnh liờn tc v giỏn on ca hm s:
Hin nay gii hn cng c ng dng trong nhiu lnh vc khỏc nhau ca thc tin
cuc sng cng nh trong khoa hc k thut
Bi 22: (Bi toỏn tui th): Mt nc ang phỏt trin, tui th ca n ụng l 68 nm. Mt
222 x + 136

L ( x) =
3x + 2
chuyờn gia tớnh toỏn sau x nm k t bõy gi thỡ tui th s l:
nm. Hi

tui th ca con ngi s t ti mc gii hn l baonhiờu?
Bi 23: (Bi toỏn sc khe cng ng): Mt bnh truyn nhim xut hin vo mt cng

ng, mc dự bnh khụng quỏ nguy him nhng nu ai nhim bnh thỡ s tr thnh ngi
mang mm bnh. Cỏc nhõn viờn y t tớnh toỏn rng sau x thỏng k t bõy gi, s phn trm
ngi mang mm bnh s l:
mm bnh l bao nhiờu?

D ( x) =

120 x 2 + 43
2 x 2 + 30 . Hi cui cựng s phn trm ngi mang

Ch 4: o hm
o hm l cụng c rt quan trng trong vic tỡm cc tr, tỡm giỏ tr ln nht, nh
nht ca hm s

23


Dạy học các bài toán thực tiễn tạo hứng thú cho học sinh
Bi toỏn cc tr l mt trong cỏc dng toỏn gn gi vi cuc sng. Theo tỏc gi Trn
Kiu: Ti u húa cỏc hot ng va l nguyn vng, va l tiờu chun ca mi ngi lao
ng chõn chớnh, song ng thi cng l h thng tri thc m ngi lao ng cn c
trang b mc thớch hp v cú th c nhm vn ti cc tr khoa hc k thut v sn

xut hin i. Vỡ vy, trong dy hc núi chung v dy hc Toỏn núi riờng, cn phi tp dt
v rốn luyn cho hc sinh thúi quen cú ýthc luụn tỡm cỏch t ti cc tr trong hc tp,
lao ng sn xut v i sng. Chng hn tỡm cỏch tit kim nguyờn liu ớt nht, giỏ
thnh thp nht, cht lng sn phm tt nht,
Trờn c s nhng cuc tp dt nh trng m mt phn ch yu l nhng bi
toỏn cú ni dung thc tin .Do vy trong quỏ trỡnh dy hc o hm giỏo viờn nờn tng
cng a vo nhng bi toỏn cc tr gn lin vi thc tin t c mc ớch trong quỏ
trỡnh dy hc
Bi 24:Trờn mn hỡnh ca mt trũ chi in t, mt mỏy bay xut hin bờn trỏi mn hỡnh

ri bay sang
1 phi theo mt qu o (C) l th hm s y = f (x) trong ú
f ( x ) = 1 , x > 0
x

Bit rng tờn la c bnra t mỏy bay ti mt im thuc (C) theo phng tip tuyn ca
(C) ti im ú. Tỡm honh cỏc im thuc (C) sao cho tờn la bn ra t ú cú th bn
trỳng mt trong bn mc tiờu nm trờn mn hỡnh cú ta (1;0), (2;0), (3;0), (4;0)
Bi 25. Mt viờn n c bn lờn t mt t theo hng thng ng vi tc ban u v 0

= 196 m/s (b qua sc cn ca khụng khớ). Tỡm thi im ti ú tc ca viờn n bng 0.
Khi ú, viờn n cỏch mt t bao nhiờu một?
Bi 26.Vn tc ca mt cht im chuyn ng c biu th bi cụng thc v( t) = 8t + 3t2

trong ú t> 0 tớnh bng giõy (s), v v(t) tớnh bng (m/s). Tỡm gia tc ca cht im
a, Ti thi im t = 4.
b, Ti thi im m vn tc ca chuyn ng bng
Bi 27: Mt qu búng c nộm lờn t mt tũa nh cao 80m sao cho cao ca nú so vi

mt t sau ts l: h(t) = 80 + 64t - 16t2

24


D¹y häc c¸c bµi to¸n thùc tiÔn t¹o høng thó cho häc sinh
a) Hãy tính vận tốc trung bình của quả bóng từ t=0s đến t=2s
b) Hãy tìm vận tốc tức thời của quả bóng tại thời điểm ts?tại t=1s?
c) Khi nào thì vận tốc quả bóng bằng 0?
d) Độ cao lớn nhất mà quả bóng có thể đạt được là bao nhiêu?
e) Khi nào quả bóng chạm đất?
f) Vào những thời gian nào thì quả bóng rơi xuống đất?
g) Gia tốc ở thời điểm t bất kỳ là bao nhiêu?
Bài 28: Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1, 4m được đặt ở độ cao 1, 8m so vớitầm mắt(tính

từ đầu mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị tríđứng sao cho góc nhìn
lớn nhất. Hãy xác định vị trí góc đó?

Bài 29:Người ta phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích V(m 3), với hệ

số k cho trước(k là tỉ số giữa chiều cao của hố ga và chiều rộng của đáy). Hãy xác định các
kích thước của đáy để xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

Bài 30: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành một chiếc xà có thiết diện ngang hình

vuông và 4 miếng phụ như hình vẽ. Hãy xác định kích thước của miếng phụ để sử dụng
khối gỗ một cách tốt nhất (tức là diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn nhất)

Bài 31: Giá cước phải trả cho việc vận chuyển trong xây dựng là(6+0,004x) nghìn đồng cho

một km, nếu xe ôtô chạy với vận tốc x km/h. Đồng thời phải trả lương cho người lái xe ôtô
là:14, 4 nghìn đồng /h

25