Skkn Một số giải pháp khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

MỤC LỤC


THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến:
“MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN CHO HỌC SINH KHI
GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT
PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN”.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến được áp dụng trong giảng dạy môn
Toán nội dung Hình học không gian lớp 11cho đối tượng học sinh lớp 11.
3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 15 tháng 10 năm 2015 đến ngày 25
tháng 04 năm 2015.
4. Tác giả:
Họ và tên : Lê Thị Hà.
Năm sinh: 1985
Nơi thường trú: Thôn Ba Trung-Yên Minh-Ý Yên- Nam Định.
Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ
Chức vụ: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT Lý Nhân Tông
Điện thoại: 0979.054.196
Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%.
5. Đồng tác giả: Không có.
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Tên đơn vị: Trường THPT Lý Nhân Tông
Địa chỉ: Xã Yên Lợi- Huyện Ý Yên – Tỉnh Nam Định
Điện thoại: 03503. 963. 939

2
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông

BÁO CÁO SÁNG KIẾN
I. Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến.
Nội dung hình học không gian thường xoay quanh ba đối tượng điểm,
đường thẳng, mặt phẳng. Mở đầu nội dung hình học không gian chương II trong
sách giáo khoa hình học lớp 11 ban cơ bản đã trình bày “Đại cương về đường
thẳng và mặt phẳng”. Mặt khác hầu hết các bài toán hình học không gian đều liên
quan đến hai đối tượng này. Do vậy nếu học sinh thành thạo giải bài toán tìm giao
điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian thì sẽ góp phần giải quyết
được rất nhiều bài toán hình học không gian khác như: bài toán tìm giao tuyến, bài
toán tìm thiết diện, bài toán liên quan đến khoảng khoảng cách, bài toán phân chia
và lắp ghép khối đa diện,… Như vậy nội dung của bài toán là một trong những nội
dung cơ sở, nội dung mở đầu của hình học không gian, nên nó đóng vai trò quan
trọng trong hình học không gian. Nếu học sinh không thành thạo bài toán này sẽ
dẫn đến sự lúng túng khi học các nội dung tiếp theo (chẳng hạn như không vẽ
được hình, không xác định được giao tuyến, thiết diện,..).
Bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng không phải là bài
toán khó trong mảng hình học không gian, nhưng không phải học sinh nào cũng
thành thạo bài toán này. Trong quá trình dạy học và quan sát học sinh giải bài
toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng tác giả thấy các em còn mắc
phải một số khó khăn như: khả năng tưởng tượng hình không gian chưa tốt, chưa
có con đường rõ ràng để chỉ ra mặt phẳng phụ chứa đường thẳng và cắt mặt phẳng
theo giao tuyến nào đó, chưa biết cách quan sát và kiểm tra một đường thẳng có
thuộc một mặt phẳng hay không … Bên cạnh đó các em còn có tâm lí tránh né các
câu hình trong các bài kiểm tra cũng như trong các đề thi tập trung. Nguyên nhân
của thực trạng này là do các em không có kiến thức nền tảng vững chắc về hình
học không gian, chưa có phương pháp tư duy phù hợp, khả năng tư duy trừu tượng
và tưởng tượng hình không gian của các em chưa tốt,… Thêm vào đó là còn một
số giáo viên có quan niệm chỉ tập trung dạy phần Đại số và giải tích mà coi nhẹ
phần Hình học. Với lí do phần Đại số và giải tích chiếm nhiều điểm hơn phần
Hình học trong các đề thi, và cho rằng học sinh khó lấy điểm nội dung Hình học

hơn là nội dung Đại số và giải tích, dẫn đến việc các em ít được rèn luyện nội dung
này.
Từ điều kiện hoàn cảnh như vậy tác giả đã nảy sinh sáng kiến: “Một số giải
pháp khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải bài toán tìm giao điểm của đường
thẳng và mặt phẳng trong không gian”. Với mong muốn giúp các em giảm bớt khó
khăn khi bắt đầu làm quen với nội dung hình học không gian. Tác giả hy vọng
rằng sáng siến kinh nghiệm của bản thân sẽ góp một phần nhỏ để nâng cao chất
lượng giảng dạy môn Toán cho nhà trường nói riêng và cho các em học sinh nói
chung. Từ đó góp phần nhỏ bé của mình nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện
của trường THPT Lý Nhân Tông nói riêng của tỉnh Nam Định nói chung .

3
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


II. Mô tả giải pháp.
1. Thực trạng trước khi tạo ra sáng kiến.
d

Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng
mặt phẳng

(α )

và

các giáo viên thường hướng dẫn học sinh làm theo hai cách:
(α )
d'
d

Cách 1: Tìm trong
một đường thẳng
cắt tại I. Khi đó điểm I chính
(α )
d
là giao điểm của và
.
Cách 2: Tìm một mặt phẳng phụ

(β )

chứa

d'

và cắt

(α )

theo giao tuyến
(α )
d
d
∆
.Sau đó tìm giao điểm I của và . Điểm I chính là giao điểm của và
.

∆

Trong quá trình giảng dạy, bên cạnh việc nêu phương pháp giải thì việc

nhận xét,dự đoán các khó khăn, những sai sót mà học sinh trong quy trình giải
toán là việc rất cần thiết.
Bản thân tác giả cũng hướng dẫn học sinh giải bài toán này theo hai cách
trên, đồng thời tiến hành quan sát trong quá trình giải toán của học sinh và rút ra
những nhận xét sau:
Ưu điểm của giải pháp này là: Học sinh dễ hiểu và dễ ghi nhớ. Cả hai cách
đều quy về tìm giao điểm của hai đường thẳng trong cùng một mặt phẳng, điều
này rất quen thuộc khi các em học trong hình học phẳng.
Nhược điểm của giải pháp này là:
Trong cách 1: Học sinh gặp khó khăn khi tìm và phát hiện ra đường thẳng
d'

, đôi khi còn ngộ nhận

nhưng thực tế

d'

không cắt

d'
d

( tức là học sinh chỉ ra một đường thẳng

d'

cắt

d

).

Trong cách 2: Học sinh gặp khó khăn khi tìm và phát hiện ra mặt phẳng

(β )

.

Như vậy hướng dẫn học sinh khắc phục một số khó khăn khi giải bài toán
tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là rất cần thiết.

4
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:
2.1. Nêu vấn đề cần giải quyết:
Trong báo cáo sáng kiến, tác giả xin trình bày giải pháp để khắc phục một số khó
khăn thường gặp của học khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt
phẳng.
2.2. Chỉ ra tính mới:
Báo cáo chỉ rõ và hướng dẫn cho học sinh cách khắc phục một số khó khăn
thường gặp khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đó là:
d'

-Học sinh hiểu và tìm được đường thẳng , tránh ngộ nhận
β
-Học sinh hiểu và tìm được mặt phẳng ( ) trong cách 2.

d'

trong cách 1.

2.3. Sự khác biệt của giải pháp mới so với giải pháp cũ:
Trong giải pháp cũ học sinh không được chỉ ra khó khăn và cách khắc phục
khó khăn trong quá trình giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Còn trong báo cáo này tác giả đưa ra việc chú trọng làm rõ và hướng dẫn học sinh
giải quyết một số khó khăn trong quy trình giải toán tìm giao điểm của đường
thẳng và mặt phẳng, góp phần giúp các em tự tin trong quá trình giải toán hình học
không gian.
2.4. Cách thức thực hiện, các bước thực hiện của giải pháp một cách cụ thể,
rõ ràng, cũng như các điều kiện cụ thể để áp dụng giải pháp.
2.4.1: Chuẩn bị các kiến thức liên quan.
*Một số tính chất thừa nhận:
− Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
− Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không

thẳng hàng.
− Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một
mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.
− Tính chất 4: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một
điểm chung khác nữa.
Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một
đường thẳng chung đi qua điểm chung đó. Đường thẳng chung đó gọi là giao
tuyến của hai mặt phẳng. Mọi điểm chung của hai mặt phẳng đều nằm trên giao
tuyến của hai mặt phẳng.
*Một số cách xác định một mặt phẳng:

5

Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


− Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng

hàng.
− Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa
một đường thẳng không đi qua điểm đó.
− Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt
nhau.
− Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng song
song.
*Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian:
Cho hai đường thẳng
trường hợp:

a

và

b

trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong hai

− Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa

Ta nói
b

a

và

song song,

b

a

a

b

và .

đồng phẳng, và có ba khả năng xảy ra:
trùng với

b

.

− Trường hợp 2: Không có một mặt phẳng nào chứa

a
a

b

và

và

b

cắt nhau,

.Ta nói

a

a

và

và
b

chéo nhau.
*Một số các định lí và hệ quả:
Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho
trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Định lí 2 ( về giao tuyến của ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một
cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi
một song song với nhau.
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì
giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng
với một trong hai đường thẳng đó.
Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì
song song với nhau.

Định lí 4: Nếu đường thẳng

d

không nằm trong mặt phẳng
(α )
(α )
d'
d
với đường thẳng
nằm trong
thì song song với
.

(α )

và

d

song song

6
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


a

(α )

Định lí 5: Cho đường thẳng song song với mặt phẳng
.Nếu mặt phẳng
(α )
(α )
a
b
b
chứa và cắt
theo giao tuyến thì song song với
.

(β )

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì
giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
(α )

Định lí 6: Nếu mặt phẳng
chứa hai đường thẳng cắt nhau
(β )
(α )
(β )
song song với mặt phẳng
thì
song song với
.

a b

, và

a b
,

cùng

Định lí 7: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt này thì cũng
cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
2.4.2. Nêu, phân tích và giải pháp khắc phục một số khó khăn mà học sinh
thường gặp khi giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong
không gian.
a) Khó khăn thứ nhất: Học sinh lúng túng không biết với bài toán cụ thể thì nên
dùng theo cách 1 hay cách 2.
Sở dĩ các em gặp khó khăn này là do các em chưa phân biệt được khi nào thì
nên làm theo cách 1 và khi nào thì nên làm theo cách 2. Để khắc phục khó khăn
(α )
này giáo viên có thể gợi ý cho các em: Hãy quan sát trong mặt phẳng
, nếu có
d'

d'

ngay đường thẳng
thì ta dùng cách 1 còn nếu không có
thì ta chuyển sang
cách 2. Ở đây lại đặt ra vấn đề là hướng dẫn các em nên quan sát như thế nào để
d'

tránh ngộ nhận hình? Vì thực tế có nhiều học sinh chỉ ra đường thẳng
chưa

đúng?
Tác giả xin nêu ra giải pháp cho khó khăn này như sau:
Thứ nhất : Giáo viên cần nhấn mạnh hai đặc điểm của đường thẳng d’ là : d’ nằm
(α )
d'
d
trong mặt phẳng
và
cắt .
Thứ hai : Nếu một đường thẳng có hai điểm nằm trên một mặt phẳng thì đường
thẳng nằm trong mặt phẳng. Từ đó HS chỉ cần nối hai điểm sẵn có hoặc những
(α )
điểm đặc biêt như trung điểm của đoạn thẳng ,… trong mặt phẳng
thì sẽ có
(α )
được một số đường thẳng nằm trong mặt phẳng
.

7
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


d'

d

Thứ ba :
và
cắt nhau tức là hai đường thẳng này phải cùng nằm trên một
mặt phẳng.

VD1 : Cho tứ diện ABCD,gọi M,N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh
AB,AC của tứ diện sao cho MN không song song với BC. Tìm giao điểm của
đường thẳng MN với mặt phẳng (BCD)

Phân tích bài toán: Trong mặt phẳng (BCD) sẵn có các điểm B,C,D. Nối hai điểm
trong ba điểm này ta có một số đường thẳng sẵn có trong mặt phẳng (BCD) là:
BC,BD,CD. Trong ba đường thẳng này chỉ có BC thuộc cùng mặt phẳng (ABC)
với MN, mặt khác theo giả thiết BC và MN không song song với nhau nên BC cắt
d'

MN. Vậy BC chính là đường thẳng .
Lời giải:
Trong (ABC) có: MN không song song với BC nên ta gọi MN cắt BC tại I
 I ∈ MN
 I ∈ MN
⇒
⇒
⇒ I = MN ∩ ( BCD)
 I ∈ BC
 I ∈ ( BCD)
VD2: Cho tứ diện ABCD, gọi K là trung điểm của AD, G là trọng tâm của tam
giác ABC. Tìm giao điểm của GK và mặt phẳng (BCD).
A

K

B

G
D

I

M
C

8
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


Phân tích bài toán:
Trong mặt phẳng (BCD) sẵn có các điểm B, C, D. Nối hai điểm trong ba điểm này
ta có một số đường thẳng sẵn có trong mặt phẳng (BCD) là: BC, BD, CD. Trong
ba đường thẳng này không có đường thẳng nào đồng phẳng với GK. Nhưng theo
giả thiết G là trọng tâm của tam giác ABC nên chúng ta có thể nghĩ đến điểm đặc
biệt ở đây là trung điểm M của BC. Nối M với D ta có thêm đường thẳng MD của
mặt phẳng (BCD). Nhận thấy MD và GK cùng thuộc mặt phẳng (AMD) và
AG AK
≠
d'
GM KD
do đó GK và MD cắt nhau. Vậy MD chính là đường thẳng
AG AK
≠
GM KD
Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC.Trong (AMD) có :
nên ta gọi
 I ∈ ( BCD)
 I ∈ MD
⇒

⇒
⇒ I = GK ∩ ( BCD)
 I ∈ GK
 I ∈ GK
MD cắt GK tại I
*Khó khăn thứ hai là: Khi học sinh đã xác định làm theo cách 2 thì học sinh lại
(β )
gặp khó khăn khi đi tìm mặt phẳng
, các em cũng thường mắc phải lỗi ngộ
nhận hình vẽ.
Biện pháp khắc phục: Giáo viên gợi ý cho học sinh nhớ lại một số cách xác định
mặt phẳng:
- Hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau xác định một mặt phẳng.
- Ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.
- Một điểm và một đường thẳng không đi qua nó xác định một mặt phẳng.
(β )
Từ đó có thể hướng dẫn học sinh tìm mặt phẳng
bằng một trong các cách sau:
Cách 1: Chúng ta quan sát xem

d

có thể cắt hoặc song song với những đường
(β )
d'
d
d'
thẳng
nào thì mặt phẳng chứa và
có thể là mặt phẳng

.
Cách 2: Tìm những cặp đường thẳng

a

b

cắt nhau hoặc song song lần lượt
(β )
chứa hai điểm của đường thẳng d. Khi đó mặt phẳng
có thể là mặt phẳng chứa

a

và

b

và .

Cách 3: Chúng ta chú ý đến hai điểm nằm trên

d

chẳng hạn hai điểm A và B. Sau

a

đó quan sát tiếp một trong hai điểm đó có nằm trên đường thẳng nào đó không
(β )

a
a
(Ví dụ A thuộc ). Khi đó mặt phẳng
có thể là mặt phẳng chứa và B.
9
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


VD3: Cho tứ diện ABCD, gọi K là trung điểm của AD, G là trọng tâm của tam
giác ABC. Tìm giao điểm của GK và mặt phẳng (BCD).
A

K

P
G

N

D

B
M
I
C

Phân tích và hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
Trước hết chúng ta cần quan tâm xem GK có thể nằm trên mặt phẳng nào?
Cách 1: Quan sát GK có thể song song hoặc cắt những đường thẳng nào?
Dễ thấy GK có thể cắt các đường thẳng như: AD, BN,AM,CP.

-Nếu ta kết hợp GK với AM hoặc AD thì ta có được mp (AMD) chứa GK và cắt
(BCD) theo giao tuyến DM. Từ đó giao điểm của MD với GK chính là giao điểm
của đường thẳng GK với (BCD).
-Nếu ta kết hợp GK với CP thì ta mặt phẳng (CPK) chứa GK chứa PK//BD nên
∆
∆
cắt (BCD) theo giao tuyến
đi qua C và song song với BD.
cắt GK tại I thì I
là giao điểm của GK với
mp(BCD).
A
K

P

B

G
D
M

I

C

-Nếu ta kết hợp GK với BN thì ta A
được mặt phẳng (BNK) chứa GK, chứa
∆
∆

NK//CD nên cắt (BCD) theo giao tuyến
đi qua B và song song với CD.
cắt
GK tại I thì I là giao điểm của GK với mp(BCD). K

B

G

N
D

M
Giáo viên: LêIThị Hà – THPT Lý Nhân Tông

10

C


Cách 2: Dựa vào hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau lần lượt chứa hai điểm
(β )
của đường thẳng GK để xác định mặt phẳng
.
Phân tích và tìm lời giải:
Ta có K là trung điểm của AD như vậy K thuộc đường thẳng AD, G là trọng tâm
của tam giác ABC nên G có thể thuộc các đường trung tuyến AM,BN,CP của tam
giác ABC. Nhưng trong ba đường AM,BN,CP thì chỉ có đường thẳng AM là cắt
đường thẳng AD do đó chúng xác định một mặt phẳng đó là mặt phẳng (AMD),
hai đường thẳng còn lại thì không đồng phẳng với đường thẳng AK. Vậy GK nằm

trên mặt phẳng (AMD). Mặt phẳng (AMD) chứa đường thẳng DM của mặt phẳng
(BCD). Tiếp theo chúng ta xét xem hai đường thẳng GK và DM có thể cắt nhau
AG
AK
= 2 ≠1=
GM
DK
được không? Do tỉ số
nên DM cắt GK tại I. Vậy I chính là giao
điểm của GK với (BCD)
A

K

P
G

N

D

B
M
I
C

Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC. Xét tam giác AMD có:
AG
AK
= 2 ≠1=

GM
DK
Suy ra GK không song song với DM.
11
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


 I ∈ DM

GK ∩ DM = I ⇒ 

 I ∈ GK

Gọi

 I ∈ ( BCD)

⇒

 I ∈ GK

⇒ GK ∩ ( BCD) = I

Cách 3: Ta có K là trung điểm của AD như vậy K thuộc đường thẳng AD, G là
trọng tâm của tam giác ABC nên A, G, D không thẳng hàng do đó xác định mặt
phẳng (AGD) hay (AMD) chứa GK và cắt (BCD) theo giao tuyến MD. Từ đó giao
điểm I của GK và MD chính là giao điểm của GK với (BCD).
Tương tự như vậy chúng ta có thể chỉ thêm các mặt phẳng (CPK), (BNK) chứa
GK và cắt (BCD) theo những giao tuyến đã chỉ ra trong cách 1. Từ đó dễ dàng xác
định được giao điểm của đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD).

VD4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm giao điểm của AC’ với mặt phẳng
(BDD’B’).
A

B

D
C

I

A'

B'

C'

D'

Phân tích:
Cách 1: Tìm trong mặt phẳng (BDD’B’) một đường thẳng cắt đường thẳng AC’.
Thật vậy: Trong mặt phẳng (BDD’B’) có BD’ cùng thuộc mặt phẳng (ABC’D’)
với đường thẳng AC’. Nên giao điểm I của AC và đường thẳng BD’ chính là giao
điểm của AC với (BDD’B’).
Lời giải:
AC '∩ BD ' = I

Trong mặt phẳng (ABC’D’) gọi
 I ∈ ( BDD ' B ')
 I ∈ BD '

⇒
⇒
⇒ AC '∩ ( BDD ' B ') = I
 I ∈ AC '
 I ∈ AC '
Cách 2:

12
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


Phân tích: Hai điểm A, C’ của đường thẳng AC’ lần lượt nằm trên hai đường
thẳng song song AC và A’C’. Do đó AC’ nằm trong mặt phẳng (ACC’A’). Mặt
phẳng này cắt nhau theo giao tuyến OO’. Với O, O’ lần lượt là giao điểm của AC
với BD và A’C’ với B’D’. Vậy giao điểm I của AC’ với OO’ chính là giao điểm
của AC’ và mặt phẳng (BDD’B’).

A

B
O

D
C

I

A'

B'

O'

D'

C'

Lời giải:
AC ∩ BD = O; A ' C '∩ B ' D ' = O ' ⇒ ( ACC ' A ') ∩ ( BDD ' B ') = OO '
Gọi
 I ∈ (BDD ' B ')
 I ∈ OO '
AC '∩ OO ' = I ⇒ 
⇒
⇒ AC '∩ ( BDD ' B ') = I
 I ∈ AC '
 I ∈ AC '
gọi
*Chú ý: Nếu chúng ta quan sát không có sẵn đường thẳng

d'

thỏa mãn thì chúng
(α )
d'
ta cũng có thể tạo ra
bằng cách kéo dài các đường thẳng của mặt phẳng
(α )
hoặc kẻ thêm đường thẳng song song nằm trong mặt phẳng
.
VD5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M,N,P lần lượt

là trung điểm của AB,AD,SC. Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các cạnh
của hình chóp.
Phân tích và hướng học sinh tìm lời giải: Tìm giao điểm của đường thẳng SB và
mp(MNP):

13
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


Cách 1: Kéo dài đường thẳng MN của mặt phẳng (MNP). MN nằm trên mặt
phẳng (ABCD), MN không song song với BC và CD nên MN cắt BC, CD lần lượt
tại hai điểm J, I. Nối PJ, PI ta có thêm hai đường thẳng của mặt phẳng (MNP).
Đường thẳng PJ và SB cùng thuộc mp(SBC) và cắt nhau tại F. Khi đó F là giao
điểm của SB và (MNP). Tương tự ta cũng tìm được giao điểm E của (MNP) và
SD.
S

P
E
I

C

F

D
N

B

J

M

A

MN ∩ BC = J ; MN ∩ CD = I

Lời giải: Trong mặt phẳng (ABCD) gọi
 J ∈ (MNP)
 JP ⊂ (MNP)
 J ∈ MN
⇒
⇒
⇒
 J ∈ BC
 J ∈ (SBC )
 JP ⊂ ( SBC )
JP ∩ SB = F

Trong mặt phẳng (SBC) gọi
 F ∈ ( MNP)
 F ∈ JP
⇒
⇒
⇒ F = SB ∩ (MNP)
 F ∈ SB
 F ∈ SB
Tương tự ta có IP cắt SD tại I. Điểm I chính là giao điểm của mặt phẳng (MNP)
với SD. Các cạnh SC, AB, AD lần lượt cắt (MNP) tại các điểm P, M, N. Các cạnh

BC, CD, SA của hình chóp không cắt mặt phẳng (MNP).
Cách 2 (Sử dụng định lí giao tuyến của ba mặt phẳng):
Giả sử SB cắt mặt phẳng (MNP) tại F. Khi đó PF chính là giao tuyến của mặt
phẳng (MNP) với mặt phẳng (SBC). Xét ba mặt phẳng (MNP), mặt phẳng (SBC),
mặt phẳng (ABCD) cắt nhau theo baSgiao tuyến là BC, MN, FP. Mà MN và BC
không song song nên chúng cắt nhau tại J. Do đó PF cũng đi qua J. Vậy F chính là
giao điểm của PJ với SB. Hoàn toàn tương tự ta cũng có giao điểm E của PI với
P
SD chính là giao điểm của SD với mặt
phẳng (MNP).
E
I

C

F

D
N

J

B

M

Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông

A

14


Lời giải: Gọi E, F lần lượt là giao điểm của SD,SB với mặt phẳng (MNP).
Xét ba mặt phẳng (MNP), mặt phẳng (SBC), mặt phẳng (ABCD) có:
( MNP) ∩ ( ABCD) = MN ;
( SAB) ∩ ( ABCD) = AB;
( MNP) ∩ (SAB) = PF
MN ∩ AB = J ⇒ J ∈ PF ⇒ F = PJ ∩ SB
Hoàn toàn tương tự ta cũng có giao điểm E của đường thẳng SD với mặt phẳng
(MNP).
VD5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N,P lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh CB,
DB, DA sao cho NP song song với AB. Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với
đường thẳng AC.
Phân tích:
Cách 1:
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ MQ//AB, điểm Q thuộc đoạn AC. Có AB//NP nên
NP//MQ. Do đó M,N,P,Q đồng phẳng hay Q thuộc mặt phẳng (MNP). Vậy Q
chính là giao điểm của AC với (MNP).
D

N

P

B

A
M

Q
C

Lời giải:
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ MQ//AB,Q thuộc đoạn AC
NP / / AB ⇒ NP / / MQ
Lại có:

15
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


⇒

M,N,P,Q đồng phẳng
⇒ Q ∈ ( MNP) ⇒ AC ∩ (MNP ) = Q
Cách 2: (Sử dụng hệ quả định lí giao tuyến của ba mặt phẳng):
Giả sử AC cắt (MNP) tại điểm Q. Khi đó MQ chính là giao tuyến của mặt phẳng
(MNP) và (ABC) . Xét hai mặt phẳng (MNP), mặt phẳng (ABC) lần lượt chứa hai
đường thẳng NP và AB song song với nhau, do đó giao tuyến MQ song song hoặc
trùng với AB. Mặt khác MQ không trùng với AB nên MQ song song với AB. Vậy
trong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại Q.
Khi đó Q chính là giao điểm của (MNP) với AC.
D

N

P

B

A
M

Q
C

Lời giải:
AC ∩ ( MNP) = Q ⇒ (MNP) ∩ ( ABC ) = MQ
Gọi
Xét ba mặt phẳng (MNP), (ABD),(ABC) có:
( MNP) ∩ ( ABC ) = MQ
NP / / AB, NP ⊂ (MNP), AB ⊂ ( ABC ) ⇒ MQ / / AB
Qua M kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AC tại Q.
BÀI TẬP HỌC SINH TỰ HỌC.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I
và J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với
CD.
a) Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD).
b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB
tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC).
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I và lấy các điểm J, K lần lượt
là điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK
với mặt phẳng (ABC).
a) Hãy xác định điểm L.
b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt của tứ diện ABCD.
16
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD. M và N tương ứng là các điểm thuộc các cạnh SC
và BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).
Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm
của BC, B’C’, K là một điểm trên đoạn MM’. Tìm giao điểm của đường thẳng
A’K với mặt phẳng (ABC).

α

Bài 5: Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng ( ) có hai cạnh AB và CD không

α

song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng ( ) và M là trung điểm đoạn SC.
Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB).
Bài 6: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm
của CD và mặt phẳng (MNP).
Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và
CD, trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD.
a) Tìm giao điểm E của MP và mặt phẳng (BCD).
b) Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng (MNP).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng
đáy vẽ đường thẳng
d

d

đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình

hành,

cắt đoạn BC tại E. Gọi C’ là một điểm trên cạnh SC. Tìm giao điểm M
của CD và mặt phẳng (C’AE).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một
điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM).
b) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM với mặt phẳng (SAC).
c) Tìm giao điểm P của SC với mặt phẳng (ABM).
Bài 10: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD,
BC. Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp:
a) PR song song với AC
b) PR cắt AC
Bài 11: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD
và G là trung điểm của đoạn MN. Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG với mặt
phẳng (BCD).

α

Bài 12: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho ( ) là mặt
phẳng đi qua M và song song với hai đường thẳng AC và BD. Tìm giao điểm của (

α

) với các cạnh của tứ diện.
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm
của hai đường chéo AC và BD. Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với

α

mặt phẳng ( ) đi qua O, song song với AB và SC.

17
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


α

Bài 14: Trong mặt phẳng ( ) cho hình bình hành ABCD. Qua A,B,C,D lần lượt
vẽ bốn đường thẳng

a, b, c, d

α

song song với nhau không nằm trên ( ). Trên

a, b, c
d

lần lượt lấy ba điểm A’,B’,C’ tùy ý. Xác định giao điểm D’ của đường thẳng
với mặt phẳng (A’B’C’).
Bài 15: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung
điểm của các cạnh BC và B’C’,

d

là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’C’) và
d

(BA’C’). Tìm giao điểm G của đường thẳng
với mặt phẳng (AM’M). chứng

minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.
Bài 16: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
a) Tìm các giao điểm G1, G2 của AC’ với các mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C).
b) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P theo
thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng SA, BC, CD.
a) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD, hãy tìm giao
điểm của đường thẳng SO với mặt phẳng (MNP).
Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N theo
thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).
b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN).

a

Bài 19: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB= . Các cạnh bên SA,
SB, SC tạo với đáy một góc 60 0. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua
BC và vuông góc với SA.
a) Tính thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC.
b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC.
Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc

a

b

c

với đáy và AB= , AD= ,SA= . Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB,SD

sao cho AB’ vuông góc với SB, AD’ vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt
SC tại C’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.

a

Bài 21: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên
tạo với đáy một góc 600. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và
song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
* Điều kiện áp dụng giải pháp:
-Về phía học sinh: Yêu cầu học sinh nắm chắc các kiến thức đại cương về đường
thẳng và mặt phẳng, nắm chắc cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, nắm
chắc các tiên đề và các tính chất của hình học phẳng, nắm chắc một số định lí về
18
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


quan hệ song song trong không gian, có niềm yêu thích môn Toán, yêu thích hình
học không gian.
-Về phía giáo viên: Hướng dẫn tỉ mỉ cho học sinh và thường xuyên nhắc lại các
kiến thức lí thuyết cũ có liên quan, nhất là các kiến thức về hình học phẳng mà các
em đã biết, đồng thời vừa giới thiệu kiến thức mới vừa mô hình hóa những kiến
thức mới thông qua những hình ảnh thực tế trong phòng học để học sinh dễ dàng
chiếm lĩnh và trải nghiệm kiến thức.
Quá trình tôi nghiên cứu đưa ra kết quả của giải pháp như sau:
Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy thực tế ở lớp 11A 4,
năm học 2014 – 2015 thì trong đề thi kiểm tra 45’ hình học có câu:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của
hai đường chéo AC và BD. Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với mặt

α

phẳng ( ) đi qua O, song song với AB và SC.
Kết quả kiểm tra :

Lớp 11A4
Tỉ lệ

Số học sinh làm được câu tìm
giao điểm của đường thẳng và
mặt phẳng
15/37
40,54%

Số học sinh làm không làm
được câu tìm giao điểm của
đường thẳng và mặt phẳng
22/37
59,46%

Sở dĩ đạt kết quả như trên là do:
- Thời gian làm quen và luyện tập bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và
mặt phẳng chưa nhiều.
- Là phần kiến thức mới nên các em chưa hình thành được thao tác tư duy cho
dạng toán này.
- Học sinh lớp 11A4 chủ yếu có học lực trung bình.
- Khi tiếp cận các bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đòi hỏi
các em phải nắm chắc các kiến thức tương giao trong hình học phẳng, và đòi
hỏi khả năng phân tích, tưởng tượng và khái quát hóa cao độ.
- Khả năng tưởng tượng hình không gian của các em còn kém.
Rút kinh nghiệm từ kết quả bài kiểm tra ấy tôi đã tập trung suy nghĩ, tìm tòi và

hoàn thiện sáng kiến : “Một số biện pháp khắc phục khó khăn khi giải bài toán tìm
giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian” giảng dạy trên lớp
11A3 trong năm học 2015 – 2016 thì đã đạt được kết quả thiết thực sau:
Trong đề trong đề thi kiểm tra 45’ hình học có câu:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của
hai đường chéo AC và BD. Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với mặt

α

phẳng ( ) đi qua O, song song với AB và SC.
Kết quả kiểm tra:
Số học sinh làm được câu Số học sinh làm không làm được
tìm giao điểm của đường câu tìm giao điểm của đường
19
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


Lớp 11A3
Tỉ lệ

thẳng và mặt phẳng.
24/29
82,75%

thẳng và mặt phẳng.
5/29
17,25%

Biểu đồ so sánh kết quả kiểm tra của hai lớp 11A4 và lớp 11A3.
Như vậy tỉ lệ phần trăm các em học sinh làm được bài toán tìm giao điểm của

đường thẳng và mặt phẳng tăng, tỉ lệ các em không làm được bài giảm.
Hơn nữa sau mỗi kì thi hoặc bài kiểm tra học sinh đã không tránh né với các
bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, cũng như các bài toán hình
học không gian nói chung. Một số học sinh còn tỏ ra rất thích thú với những bài
toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Từ đó các em hoàn toàn tự tin
và làm chủ các bài toán liên quan như tìm thiết diện, tính thể tích, và các bài toán
có liên quan đến khoảng cách,…
2.5. Nêu rõ khả năng áp dụng vào thực tế của giải pháp mới và mang lại lợi
ích thiết thực.
Từ những kết quả trên đây cho thấy sáng kiến hoàn toàn có khả năng áp dụng vào
việc giảng dạy và học tập nội dung hình học không gian ở lớp 11.
2.6. Giải pháp mới này còn có thể áp dụng cho đối tượng, cơ quan, tổ chức
nào nữa không ?
Sáng kiến hoàn toàn có thể áp dụng vào việc giảng dạy và học tập nội dung hình
học không gian ở tất cả các đối tượng học sinh lớp 11, lớp 12 ở tất cả các trường
THPT khác.
III. Hiệu quả do sáng kiến đem lại:
1. Hiệu quả về kinh tế: Không tính bằng tiền.
2. Hiệu quả về mặt xã hội:
Sáng kiến góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán trong trường THPT,
góp phần tạo hứng thú cho học sinh khi học toán, giúp các em yêu thích môn học
hơn.
IV. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền:
ÁP DỤNG
SÁNG
TôiCƠ
xinQUAN
cam đoan
sang kiến
này KIẾN

là do chính tôi suy nghĩ và biên soạn, thực
Trường
THPT
Lý
Nhân
Tông
xác
nhận
nghiệm. Tôi xin chịu trách nhiệm trước đã
các cơ quan quản lý và pháp luật của nhà
áp
dụng
sáng
kiến
kinh
nghiệm
của
tác
giả
nước về lời cam đoan này!
Lê Thị Hà thuộc lĩnh vực môn Toán
HIỆU TRƯỞNG
TÁC GIẢ

20
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), 2006, Hình học 11, NXB Giáo Dục.
2. Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2006, Bài tập Hình học 11, NXB Giáo Dục.
3. Nguyễn Phú Khánh, 2013, Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải hình học
không gian, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội.
4. Nguyễn Văn Nho,2011, Các dạng toán trong những kì thi tuyển sinh vào đại
học hiện nay, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
5. Đỗ Thanh Sơn, 1999, Phương pháp giải Toán Hình học không gian 11 , NXB
Thành Phố Hồ Chí Minh.
6. Nguyễn Bá Kim, 2007, Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư
phạm Hà Nội.
7. Trần Đình Thì, 2007, Phân dạng và phương pháp giải Hình học 11, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội.
8. Các diễn đàn Toán học trên internet:
bachkim.violet.vn, diendantoanhoc.net, vnmath.vn, ......

21
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông