Phương Pháp Lặp Tìm Điểm Bất Động Của Ánh Xạ Giả Co Mạnh Trong Không Gian Banach

Header Page 1 of 126.

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
----------------------------

TèNG V¡N HUY

PH¦¥NG PH¸P LỈP T×M §IĨM
BÊT §éng cđa ¸nh x¹ gi¶ co m¹nh
trong kh«ng gian banach

Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số

: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC

THÁI NGUN, 2013

Footer Page 1 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 2 of 126.

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

----------------------------

Tèng v¨n huy

PH¦¥NG PH¸P LỈP T×M §IĨM
BÊT §éng cđa ¸nh x¹ gi¶ co m¹nh
trong kh«ng gian banach
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số

: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC
Ngưới hướng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

Thái Ngun – 2013

Footer Page 2 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 3 of 126.

Mục lục

Mở đầu

3

1 Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động

6

1.1

1.2

Một số định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Khơng gian Banach lồi đều, trơn đều . . . . . .

6

1.1.2

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Ánh xạ giả co . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Bài tốn điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Bài tốn điểm bất động . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2

Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động . . .

11

2 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co
mạnh

14

2.1

Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp chính xác . . . . . .

14

2.2

Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp có nhiễu . . . . . . .

24

2.3

Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ khơng xác định trên
tồn khơng gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

1

Footer Page 3 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 4 of 126.

Bảng ký hiệu
X

Khơng gian Banach thực

X∗

Khơng gian liên hợp của X

∅

Tập rỗng

x := y

x được định nghĩa bằng y

∀x

Với mọi x

∃x

Tồn tại x

I

Ánh xạ đơn vị

J

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J

A∗

Tốn tử liên hợp của tốn tử A

x∗ , x

Giá trị của phiếm hàm x∗ tại điểm x

D(A)

Miền xác định của tốn tử A

R(A)

Miền ảnh của tốn tử A

N (A)

Tập các khơng điểm của tốn tử A

F ix(A)

Tập các điểm bất động của tốn tử A

xn → x∗ Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x∗

2

Footer Page 4 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 5 of 126.

Mở đầu

Một số định lý điểm bất động nổi tiếng xuất hiện từ đầu thế kỉ XX,
trong đó phải kể đến ngun lý điểm bất động Browder năm 1912
và ngun lý ánh xạ co Banach năm 1922. Các kết quả này được mở
rộng cho nhiều lớp ánh xạ khác nhau, chẳng hạn ánh xạ khơng giãn,
ánh xạ giả co ... Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong lý
thuyết tối ưu, bài tốn cân bằng, bất đẳng thức biến phân ... Do đó,
việc nghiên cứu phương pháp giải bài tốn điểm bất động là vấn đề
thời sự thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà tốn học trong nước
và trên thế giới.
Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu một số phương pháp xấp
xỉ điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh trong khơng gian Banach
trên cơ sở phương pháp lặp Mann và phương pháp lặp Ishikawa.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương
1 giới thiệu một số khái niệm về khơng gian Banach trơn đều, khơng
gian Banach lồi đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ giả co và
bài tốn điểm bất động. Một số phương pháp cổ điển xấp xỉ điểm
bất động trong khơng gian Hilbert được đề cập trong phần cuối của
chương. Chương 2 trình bày một số định lý hội tụ mạnh của dãy lặp
Mann và dãy lặp Ishikawa về điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh

trong khơng gian Banach. Phần đầu của chương nghiên cứu sự hội tụ
của dãy lặp được cho chính xác. Phần thứ hai nghiên cứu sự hội tụ
3

Footer Page 5 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 6 of 126.
Mở đầu

của dãy lặp được cho có nhiễu. Phần cuối của chương dành để trình
bày các nghiên cứu về điều kiện để dãy lặp Mann và Ishikawa xác định
khi miền xác định của ánh xạ là một tập con chính thường của tồn
khơng gian.
Đóng góp chính của tác giả là tìm đọc, dịch và tổng hợp các kiến
thức trong [1]-[4].

4

Footer Page 6 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 7 of 126.

Lời cảm ơn
Luận văn này được hồn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Ngun dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu
Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận
tâm và nhiệt tình của Cơ trong suốt q trình tác giả thực hiện luận
văn.
Trong q trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo
sư, Phó Giáo sư cơng tác tại Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng
tin thuộc Viện Hàn lâm và Khoa học Việt Nam, các Thầy Cơ trong
Đại học Thái Ngun, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức
phục vụ cho việc nghiên cứu và cơng tác của bản thân. Từ đáy lòng
mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cơ.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo
Khoa học và Quan hệ quốc tế, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa
học, Đại học Thái Ngun đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt
thời gian học tập tại trường.
Cuối cùng tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn
vị cơng tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt
nhất cho tơi khi học tập và nghiên cứu.
Tác giả

Tống Văn Huy
5

Footer Page 7 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 8 of 126.

Chương 1

Ánh xạ giả co và bài tốn điểm
bất động
Trong chương này chúng tơi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ
bản về ánh xạ giả co và một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động
trong khơng gian Banach. Các kiến thức của chương này được tổng
hợp từ các tài liệu [1]-[5].
1.1

Một số định nghĩa và ký hiệu

1.1.1

Khơng gian Banach lồi đều, trơn đều

Cho X là một khơng gian Banach thực, X ∗ là khơng gian liên hợp của
X và x∗ , x là ký hiệu giá trị của x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Ký hiệu 2X là
một họ các tập con khác rỗng của X. Cho T là một ánh xạ với miền
xác định là D(T ) và miền giá trị là R(T ) và N (T ) là tập các khơng
điểm và F ix(T ) là tập điểm bất động của ánh xạ T tương ứng, nghĩa
là
N (T ) = {x ∈ D(T ) : T x = 0},
F ix(T ) = {x ∈ D(T ) : T x = x}.
Ký hiệu mặt cầu đơn vị của X là SX , trong đó SX

=

{x ∈ X : x = 1}.
6

Footer Page 8 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 9 of 126.
Chương 1. Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động

Định nghĩa 1.1.1. Khơng gian Banach X được gọi là khơng gian
(i) lồi chặt nếu với x, y ∈ SX , x = y thì
(1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1),
(ii) lồi đều nếu với mọi ε thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, mọi x, y thỏa mãn
x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y ≥ ε suy ra tồn tại δ = δ(ε) ≥ 0 sao cho
x+y
2

≤ 1 − δ.

Chú ý rằng mọi khơng gian Banach lồi đều đều là khơng gian phản
xạ và lồi chặt.
Định nghĩa 1.1.2. Khơng gian Banach X được gọi là
(i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc khơng gian trơn) nếu giới hạn
lim
t→0

x + ty − x

t

tồn tại với mỗi x, y ∈ SX ;
(ii) có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu giới hạn trên đạt được đều
với x ∈ SX .
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là một khơng gian tuyến tính định chuẩn
thực với số chiều lớn hơn hoặc bằng 2, và x, y ∈ X. Mơ đun trơn của
X được xác định bởi
ρX (τ ) := sup

x+y + x−y
− 1 : x = 1, y = τ
2

.

(1.1)

Ta có định nghĩa khác về khơng gian trơn đều như sau:
Định nghĩa 1.1.4. Một khơng gian Banach X được gọi là trơn đều
nếu
ρX (τ )
= 0.
τ →0
τ →0
τ
Các khơng gian Lp , lp là các ví dụ về khơng gian trơn đều.
lim hX (τ ) := lim

(1.2)

7

Footer Page 9 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 10 of 126.
Chương 1. Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động

1.1.2

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

Định nghĩa 1.1.5. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của khơng gian Banach
∗

X là ánh xạ J : X → 2X xác định bởi
J(x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x x∗ , x∗ = x }

(1.3)

với mọi x ∈ X.
Ký hiệu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị là j. Ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc có tính chất sau đây.
Mệnh đề 1.1.1. Giả sử X là một khơng gian Banach. Khi đó,
(i) J(x) là tập lồi, J(λx) = λJ(x), với mọi λ > 0;
(ii) J là ánh xạ đơn trị khi X ∗ là khơng gian lồi chặt. Trong trường

hợp X là khơng gian Hilbert thì J ≡ I-ánh xạ đơn vị trong X.
Nếu X là khơng gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J
là đơn trị. Nếu X là khơng gian Banach trơn đều thì ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc J liên tục đều trên các tập con bị chặn của X.
Một bất đẳng thức đơn giản và thơng dụng thường được dùng để
thiết lập mối quan hệ giữa ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J và chuẩn .
trong khơng gian Banach là bất đẳng thức Petryshyn [5].
Định lý 1.1.1. Cho X là một khơng gian Banach thực, J : X → 2X

∗

là ánh xạ đối ngẫu của X. Khi đó
x+y

2

≤ x

2

+ 2 y, j(x + y)

(1.4)

với mọi x, y ∈ X và j(x + y) ∈ J(x + y).
Bất đẳng thức (1.4) được gọi là bất đẳng thức Petryshyn.
1.1.3

Ánh xạ giả co

Định nghĩa 1.1.6. Cho T : D(T ) ⊂ X → X là một ánh xạ. Ánh xạ
T được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L nếu với mọi
8

Footer Page 10 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 11 of 126.
Chương 1. Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động

x, y ∈ D(T ) ta có
Tx − Ty ≤ L x − y .
Nếu 0 ≤ L < 1 thì ta có định nghĩa ánh xạ co, nếu L = 1 thì ta có
định nghĩa ánh xạ khơng giãn.
Định nghĩa 1.1.7. Cho T : D(T ) ⊂ X → X là một ánh xạ.
(i) Ánh xạ T được gọi là accretive nếu với mỗi x, y ∈ D(T ), tồn tại
j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≥ 0.

(1.5)

(ii) Ánh xạ T được gọi là h-accretive (hemiaccretive) nếu với mỗi
x ∈ D(T ) và q ∈ N (T ), tồn tại j(x − q) ∈ J(x − q) sao cho
T x, j(x − q) ≥ 0.

(1.6)

(iii) Ánh xạ T được gọi là accretive mạnh nếu với mỗi x, y ∈ D(T ),
tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) và hằng số k ∈ (0, 1) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≥ k||x − y||2 .

(1.7)

Định nghĩa 1.1.8. Cho T : D(T ) ⊂ X → X là một ánh xạ.
(i) Ánh xạ T được gọi là giả co nếu với mỗi x, y ∈ D(T ), tồn tại
j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≤ x − y 2 .

(1.8)

(ii) Ánh xạ T được gọi là giả co mạnh nếu với mọi x, y ∈ D(T ) tồn
tại j(x − y) ∈ J(x − y) và hằng số l ∈ (0, 1) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≤ l x − y

2

(1.9)

(iii) Ánh xạ T được gọi là giả co chặt nếu với mọi x, y ∈ D(T ), tồn
tại một hằng số k > 0 và j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≤ x − y

2

− k (Ix − Iy) − (T x − T y) 2 ,
(1.10)

9

Footer Page 11 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 12 of 126.
Chương 1. Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động

ở đây I là ánh xạ đồng nhất trong X.
Chú ý rằng, bất đẳng thức (1.10) được viết dưới dạng
(I − T )x − (I − T )y, j(x − y) ≥ k (I − T )x − (I − T )y 2 . (1.11)
Trong khơng gian Hilbert, bất đẳng thức (1.10) và (1.11) tương đương
với
Tx − Ty

2

≤ x−y

2

+ λ (I − T )x − (I − T )y 2 ,

(1.12)

với mọi x, y ∈ D(T ) và λ = 1 − k < 1. Khi λ = 0 thì bất đẳng thức
(1.12) có dạng

T x − T y ≤ x − y , ∀x, y ∈ D(T ).

(1.13)

Như vậy lớp các ánh xạ giả co chặt chứa lớp các ánh xạ khơng giãn.
Ta có mối liên hệ giữa ánh xạ accretive và giả co như sau.
Bổ đề 1.1.1. Cho T : D(T ) ⊂ X → X là một ánh xạ. Khi đó,
(i) T là ánh xạ accretive khi và chỉ khi I − T là ánh xạ giả co;
(ii) T là ánh xạ accretive mạnh khi và chỉ khi I − T là ánh xạ giả
co mạnh, ở đây I là ánh xạ đơn vị trong X.
1.2

Bài tốn điểm bất động

1.2.1

Bài tốn điểm bất động

Định nghĩa 1.2.1. Phần tử x ∈ D(T ) trong khơng gian Banach X
được gọi là một điểm bất động của ánh xạ T nếu x = T x.
Ký hiệu tập các điểm bất động của ánh xạ T là F ix(T ). Chú ý rằng
tập điểm bất động của ánh xạ khơng giãn T trong khơng gian Banach
lồi chặt X nếu khác rỗng là một tập lồi và đóng. Bài tốn điểm bất
động được phát biểu như sau: Cho K là một tập con lồi của khơng
10

Footer Page 12 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 13 of 126.
Chương 1. Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động

gian Banach X, T : K → K là một ánh xạ.
Hãy tìm phần tử x∗ ∈ K sao cho T x∗ = x∗ .

(1.14)

Việc tìm nghiệm của bài tốn điểm bất động (1.14) tương đương
với việc giải phương trình ánh xạ
T x − x = 0.

(1.15)

Năm 1974, Deimling [2] đã chứng minh định lý điểm bất động cho
ánh xạ liên tục giả co chặt (giả co mạnh) trong khơng gian Banach.
Định lý 1.2.1. Giả sử X là một khơng gian Banach, K là một tập
con lồi đóng khác rỗng của X và T : K → K là một ánh xạ giả co
chặt (mạnh). Khi đó T có duy nhất điểm bất động trong K.
1.2.2

Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động

Trong mục này chúng ta nhắc lại một số phương pháp xấp xỉ điểm bất
động cổ điển, đó là phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa.
Định lý 1.2.2. Cho (X, d) là khơng gian mêtric đầy đủ và T : X → X
là ánh xạ co. Khi đó T có duy nhất điểm bất động q trong X và với mỗi
x0 ∈ X, dãy lặp {T n x0 } (dãy lặp {xn } được định nghĩa bởi xn+1 = T xn ,

với n ≥ 0) hội tụ tới q.
Năm 1953, Mann [4] đã đưa ra một dãy lặp hội tụ mạnh đến điểm
bất động của ánh xạ T .
Định lý 1.2.3. Cho T là một ánh xạ liên tục từ tập compact [a, b] vào
chính nó. Khi đó dãy {xn } trong [a, b] được xác định bởi:
n

x0 ∈ [a; b] ,

xn+1 = T xn ,

xn =
k=1

xk
,
k

n ≥ 0.

(1.16)

hội tụ tới một điểm bất động của T .
11

Footer Page 13 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 14 of 126.
Chương 1. Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động

Hầu hết các nghiên cứu về phương pháp lặp Mann với dãy {xn }
được xác định bởi:

x0 ∈ K,
x
n+1 = (1 − αn ) xn + αn T xn , n ≥ 0,

(1.17)

trong đó K là một tập lồi đóng của X và {αn } là dãy thực thỏa mãn:
(1) α0 = 1,
(2) 0 < αn < 1, n ≥ 1,
∞

αn = ∞.

(3)
n=0

Người ta gọi (1.16) là dãy lặp Mann tổng qt và (1.17) là dãy lặp
Mann.
Năm 1974, Ishikawa [3] đã nghiên cứu một suy rộng của dãy lặp
Mann, và được gọi là dãy lặp Ishikawa:
Định lý 1.2.4. Cho K là tập con compact lồi của khơng gian Hilbert
H và T : K → K là ánh xạ giả co, liên tục Lipschitz. Khi đó, dãy lặp
{xn } trong K xác định bởi:




 x0 ∈ C,

yn = (1 − βn ) xn + βn T xn , n ≥ 0,


x
n+1 = (1 − αn ) xn + αn T yn , n ≥ 0

(1.18)

hội tụ mạnh tới điểm bất động của T , trong đó {αn } và {βn } là dãy
thực trong [0, 1] thỏa mãn:
(1) 0 ≤ αn ≤ βn ≤ 1, n ≥ 1,
(2) lim βn = 0,
n→∞
∞

αn βn = ∞.

(3)
n=1

Bổ đề sau đây được sử dụng trong các chứng minh của các định lý
hội tụ mạnh trong tồn bộ Chương 2.

12

Footer Page 14 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 15 of 126.
Chương 1. Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động

Bổ đề 1.2.1. Cho {an }, {bn } và {cn } là dãy các số thực khơng âm
thỏa mãn điều kiện:
an+1 ≤ (1 − tn )an + bn + cn , n ≥ n0 ,
trong đó n0 là số ngun dương và {tn } là dãy trong [0; 1] sao cho
∞

∞

tn = ∞, bn = o(tn ) và
n=1

cn < ∞. Khi đó an → 0 khi n → ∞.
n=1

Việc nghiên cứu sự hội tụ mạnh của dãy lặp Mann và dãy lặp
Ishikawa với ánh xạ giả co mạnh được trình bày chi tiết trong Chương
2.

13

Footer Page 15 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 16 of 126.

Chương 2

Phương pháp lặp tìm điểm bất
động của ánh xạ giả co mạnh
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số phương pháp lặp tìm
điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh trong khơng gian Banach, trên
cơ sở các dãy lặp kiểu Mann và Ishikawa. Các kết quả và phần chứng
minh trong chương này được tập hợp từ tài liệu [1].
2.1

Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp chính xác

Cho L ≥ 1 và t > 1 tương ứng là hằng số Lipschitz và hằng số giả
co mạnh của ánh xạ T : K → K, ở đây K là một tập con lồi đóng
1
khác rỗng của khơng gian Banach X. Đặt k = 1 − . Cho r là hằng
t
số tùy ý nhưng cố định trong khoảng (0, k 2 ). Sự hội tụ mạnh của dãy
lặp Ishikawa đến điểm bất động của ánh xạ T được trình bày trong
định lý sau đây.
Định lý 2.1.1. Cho X là khơng gian Banach thực bất kỳ và K là tập
con lồi đóng khác rỗng của X. Cho T : K → K là ánh xạ liên tục
Lipschitz và giả co mạnh. Giả sử {αn } và {βn } là dãy số thực trong

[0, 1] thỏa mãn các điều kiện sau:
k(1 − k)
i) βn ≤
, n ≥ 0.
L(1 + L)
14

Footer Page 16 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 17 of 126.
Chương 2. Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh

k2 − r
ii) αn ≤
, n ≥ 0.
L(1 + L2 )
∞

αn = ∞.

iii)
n=0

Khi đó dãy lặp Ishikawa {xn } được định nghĩa bởi




x0 ∈ K



yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥ 0




 xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ 0.

(2.1)

hội tụ mạnh đến điểm bất động duy nhất của ánh xạ T.
Chứng minh. Vì T : K → K là ánh xạ Lipschitz và giả co mạnh nên
theo Định lý 1.2.1 ta suy ra T có duy nhất điểm bất động trong K.
Ký hiệu điểm bất động của T là x∗ . Nhận xét rằng:
xn+1 − x∗ =(1 − αn )(xn − x∗ ) + αn (T xn+1 − T x∗ )

(2.2)

− α(T xn+1 − T yn ).
Đặt
Kn = L(1 + L2 )αn + L(1 + L)βn .
Khi đó sử dụng (2.1) ta có
||T xn+1 − T yn || ≤ L||xn+1 − yn || ≤ Kn ||xn − x∗ ||.

(2.3)

Tác động j(xn+1 − x∗ ) ∈ J(xn+1 − x∗ ) trong đẳng thức (2.2) ta nhận
được
||xn+1 − x∗ ||2 ≤(1 − αn ) xn − x∗ , j(xn+1 − x∗ )
+ αn T xn+1 − x∗ , j(xn+1 − x∗ )
− αn T xn+1 − T yn , j(xn+1 − x∗ )
≤(1 − αn )||xn − x∗ ||.||xn+1 − x∗ ||

(2.4)

+ αn T xn+1 − T x∗ , j(xn+1 − x∗ )
+ αn ||T xn+1 − T yn ||.||xn+1 − x∗ ||.
15

Footer Page 17 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 18 of 126.
Chương 2. Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh

Ta thấy tồn tại j(xn+1 − x∗ ) ∈ J(xn+1 − x∗ ) sao cho
T xn+1 − T x∗ , j(xn+1 − x∗ ) ≤ (1 − k)||xn+1 − x∗ ||2 .

(2.5)

Vì vậy thay thế (2.3) và (2.5) trong (2.4) ta được
||xn+1 − x∗ ||2 ≤(1 − αn )||xn − x∗ ||.||xn+1 − x∗ ||
+ (1 − k)αn ||xn+1 − x∗ ||2

(2.6)

+ Kn αn ||xn − x∗ ||.||xn+1 − x∗ ||.
Tại đây ta có thể giả sử rằng ||xn+1 − x∗ || > 0. Từ (2.6) ta suy ra
||xn+1 − x∗ || ≤(1 − αn )||xn − x∗ || + (1 − k)αn ||xn+1 − x∗ ||
+ Kn αn ||xn − x∗ ||.

(2.7)

Từ điều kiện i) và ii) của định lý ta có Kn ≤ k − r với ∀n > 0. Từ
(2.7) ta suy ra
1 − αn + Kn αn
||xn − x∗ ||
1 − (1 − k)αn
r
≤ 1−
αn ||xn − x∗ ||
1 − (1 − k)αn

||xn+1 − x∗ || ≤

∗

(2.8)

≤(1 − rαn )||xn − x ||
∞

αj ||x0 − x∗ || → 0,

≤exp − r
j=0

khi n → ∞. Vậy định lý được chứng minh xong.
Hệ quả 2.1.1. Cho X, K, T và αn như trong Định lý 2.1.1 và định
nghĩa dãy lặp Mann {xn } như sau:

 x0 ∈ K
 x
n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ 0.
Khi đó dãy {xn } hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của ánh xạ
T.
16

Footer Page 18 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 19 of 126.
Chương 2. Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh

Chứng minh. Đặt βn = 0, ∀n ≥ 0. Khi đó từ Định lý 2.1.1 ta suy ra
ngay Hệ quả 2.1.1.
Hệ quả 2.1.2. Cho X, K và T như trong Định lý 2.1.1 và định nghĩa
dãy lặp Picard {xn } như sau:

 x0 ∈ K

 x
n+1 = (1 − λ)xn + λT xn , n ≥ 0,
k2 − r
ở đây λ =
. Khi đó dãy lặp Picard {xn } hội tụ mạnh đến
L(1 + L2 )
điểm bất động duy nhất của ánh xạ T.
k2 − r
Chứng minh. Đặt αn =
, với ∀n ≥ 0, từ Hệ quả 2.1.1 ta
L(1 + L2 )
suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 2.1.2. Cho X là khơng gian Banach thực và K là tập con lồi,
đóng, khác rỗng của X. Cho T : K → K là ánh xạ liên tục Lipschitz
và giả co mạnh. Giả sử {αn } và {βn } là hai dãy số thực trong [0, 1]
thỏa mãn các điều kiện sau:
1
k(1 − k)
i) αn ≤ min k 2 ,
,
, n ≥ 0.
(2 + k)(1 − k) 2L(1 + L1 )
k(1 − k)
ii) βn ≤
, n ≥ 0.
2L1
∞

αn = ∞,

iii)
n=0

trong đó L1 = L(1 + L). Khi đó dãy lặp Ishikawa {xn } được cho bởi



x0 ∈ K



(2.9)
xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ 0,




 yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥ 0,
hội tụ mạnh đến điểm bất động duy nhất của T . Hơn nữa
1
||xn+1 − q|| ≤
k

n

exp − k

αj ||x0 − T x0 ||, n ≥ 0.
j=0

17

Footer Page 19 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 20 of 126.
Chương 2. Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh

Chứng minh. Theo Định lý 1.2.1, ta suy ra T có duy nhất điểm bất
động, ký hiệu là q. Vì T : K → K là ánh xạ giả co mạnh nên tồn tại
j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≤ (1 − k)||x − y||2 ,

(2.10)

với ∀x, y ∈ K.
Đặt
Ln = L(1 + L1 )αn + L1 βn .
Sử dụng Định lý 1.4 và (2.10) ta có
||xn+1 − q||2 =||(1 − αn )(xn − q) + αn (T yn − q)||2
≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn T yn − q, j(xn+1 − q)
≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn T yn − T xn+1 , j(xn+1 − q)
+ 2αn T xn+1 − T q, j(xn+1 − q)
≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn ||T yn − T xn+1 ||.||xn+1 − q||
+ 2αn (1 − k)||xn+1 − q||2 .
(2.11)
Áp dụng (2.9) ta nhận được

||T yn − T xn+1 || ≤ L||yn − xn+1 ||
≤L||(αn − βn )(xn − q) + αn (q − T yn )
+ βn (T xn − q)||
≤L[(αn + βn )||xn − q|| + αn L||yn − q||

(2.12)

+ βn L||xn − q||]
≤L[αn (1 + L1 ) + βn (1 + L)]||xn − q||
=Ln ||xn − q||.

18

Footer Page 20 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 21 of 126.
Chương 2. Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh

Thay thế (2.12) vào (2.11) suy ra
||xn+1 − q||2 ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn Ln ||xn − q||.||xn+1 − q||
+ 2αn (1 − k)||xn+1 − q||2
≤[(1 − αn )2 + αn Ln ]||xn − q||2
+ [2αn (1 − k) + αn Ln ]||xn+1 − q||2 .
(2.13)
Sử dụng điều kiện i) và ii) của định lý ta có
||xn+1 − q||2 ≤[1 − αn (2 + k)]||xn − q||2

+ [αn (1 − k)(2 + k)]||xn+1 − q||2 .

(2.14)

Do đó
[1 − αn (2 + k)]
.||xn − q||2
[1 − αn (1 − k)(2 + k)]
k(2 + k)αn
= 1−
.||xn − q||2
1 − αn (1 − k)(2 + k)

||xn+1 − q||2 ≤

≤(1 − kαn )||xn − q||2
n

αj ||x0 − q||2 → 0,

≤exp − k
j=0
∞

khi n → ∞ vì

αn = ∞. Vì vậy ta có xn → q khi n → ∞. Hơn nữa
n=0

1

||xn+1 − q|| ≤
k

n

exp − k

αj .||x0 − T x0 ||,
j=0

với ∀n ≥ 0. Định lý được chứng minh xong.
Hệ quả 2.1.3. Cho X, K, T và {αn } như trong Định lý 2.1.2. Với
bất kì giá trị x0 ∈ K, định nghĩa dãy lặp Mann {xn } bởi

 x0 ∈ K
 x
n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ 0.

(2.15)

19

Footer Page 21 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 22 of 126.
Chương 2. Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh

Khi đó dãy lặp {xn } được xác định bởi (2.15) hội tụ mạnh đến điểm
bất động duy nhất q của T . Hơn nữa ta cũng có đánh giá sau:
1
||xn+1 − q|| ≤
k

n

exp − k

αj .||x0 − T x0 ||,
j=0

với ∀n ≥ 0.
Sự hội tụ mạnh của dãy lặp Ishikawa tới điểm bất động duy nhất
của ánh xạ liên tục đều và giả co mạnh được nghiên cứu trong định
lý sau đây.
Định lý 2.1.3. Giả sử X là khơng gian Banach thực bất kì và K là
tập con lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng của X. Cho T : K → K là ánh
xạ liên tục đều và giả co mạnh. Giả sử {αn } và {βn } là dãy số thực
thỏa mãn điều kiện sau:
i) 0 ≤ βn , αn < 1, n ≥ 0,
ii) αn → 0, βn → 0 khi n → ∞.
∞

αn = ∞.

iii)
n=0

Khi đó dãy lặp Ishikawa {xn } được định nghĩa bởi



x0 ∈ K



yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥ 0




 xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ 0

(2.16)

hội tụ mạnh đến điểm bất động duy nhất của T.
Chứng minh. Vì {xn }, {T xn } và {T yn } là các dãy bị chặn trong K,
ta có
yn − xn+1 = (αn − βn )xn + βn T xn − αn T yn → 0,
khi n → ∞. Sử dụng tính chất liên tục đều của ánh xạ T , ta suy ra
||T xn+1 − T yn || → 0,
20

Footer Page 22 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 23 of 126.
Chương 2. Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh

khi n → ∞. Từ đó suy ra
1 − αn
||xn+1 − x∗ || ≤
||xn − x∗ || + o(αn )
1 − (1 − k)αn
k
= 1−
αn ||xn − x∗ || + o(αn )
k − (1 − k)αn

(2.17)

≤ (1 − kαn )||xn − x∗ || + o(αn ).
Với n đủ lớn. Từ Bổ đề 2.1.1 ta suy ra xn → x∗ , khi n → ∞. Định lý
được chứng minh.
Hệ quả 2.1.4. Cho X, K, T , {αn } như trong Định lý 2.1.3 và định
nghĩa dãy lặp Mann {xn } như sau:

 x0 ∈ K
 x
n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ 0.
Khi đó dãy {xn } hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của T.
Chứng minh. Đặt βn = 0, với ∀n ≥ 0. Khi đó từ Định lý 2.1.3 ta
suy ra điều phải chứng minh.
Sự hội tụ mạnh của dãy lặp Ishikawa trong khơng gian Banach thực

trơn đều được nghiên cứu trong định lý sau đây.
Định lý 2.1.4. Cho X là khơng gian Banach thực trơn đều, K là tập
con lồi, bị chặn, khác rỗng của X và T : K → K là ánh xạ giả co
mạnh với tập điểm bất động F ix(T ) = ∅. Giả sử {αn } và {βn } là hai
dãy số thực trong (0, 1) thỏa mãn điều kiện sau:
i) αn → 0, βn → 0 khi n → ∞,
∞

αn = ∞.

ii)
n=0

Khi đó dãy lặp Ishikawa {xn } được định nghĩa bởi:



x0 ∈ K



yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥ 0




 xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ 0,

(2.18)

21

Footer Page 23 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 24 of 126.
Chương 2. Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh

hội tụ mạnh tới điểm bất động của T.
Chứng minh. Nếu F ix(T ) = ∅ thì F ix(T ) phải có một giá trị, giả
sử q là điểm bất động của T . Vì T : K → K là ánh xạ giả co mạnh,
t−1
nên tồn tạ một hằng số k =
∈ (0, 1) sao cho
t
T x − T y, j(x − y) ≤ (1 − k)||x − y||2 ,

(2.19)

với mọi x, y ∈ K.
Đặt
en = ||j(xn+1 − q) − j(yn − q)||.
Khi đó en → 0, khi n → ∞. Thật vậy, nhận xét rằng {xn }, {T xn } và
{T yn } là các dãy bị chặn trong K, khi n → ∞,
(xn+1 − q) − (yn − q) = (βn − αn )xn + αn T yn − βn T xn → 0.
Sử dụng tính liên tục đều của j trên tập con bị chặn của X ta suy ra
en → 0, khi n → ∞. Chú ý rằng:

xn+1 − q = (1 − αn )(xn − q) + αn (T yn − T q).
Tác động j(xn+1 − q) ở cả hai vế của đẳng thức trên ta được
||xn+1 − q||2 ≤(1 − αn ) xn − q, j(xn+1 − q)
+ αn T yn − T q, j(xn+1 − q)
≤(1 − αn )||xn − q||||xn+1 − q||
+ αn T yn − T q, j(xn+1 − q) − j(yn − q)

(2.20)

+ αn T yn − T q, j(yn − q)
≤(1 − αn )||xn − q||||xn+1 − q||
+ (1 − k)αn ||yn − q||2 + o(αn ).
Chú ý thêm

 ||yn − q|| ≤ ||xn − q|| + M βn ,
 ||y − q||2 ≤ ||x − q||2 + M β .
n
n
n

(2.21)

22

Footer Page 24 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Header Page 25 of 126.
Chương 2. Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh

Vì vậy thay thế (2.21) vào (2.20) ta được
||xn+1 − q||2 ≤(1 − αn )||xn − q||||xn+1 − q||
+ (1 − k)αn ||xn − q||2 + o(αn )
1 − αn
≤
(||xn − q||2 + ||xn+1 − q||2 )
2
+ (1 − k)αn ||xn − q||2 + o(αn ).

(2.22)

Từ (2.22) suy ra
||xn+1 − q||2 ≤

1−

kαn
1+αn
2

||xn − q||2 + o(αn )
(2.23)

≤ (1 − kαn )||xn − q||2 + o(αn ),
Suy ra xn → q khi n → ∞. Định lý được chứng minh xong.
Hệ quả 2.1.5. Cho X là khơng gian Banach thực, trơn đều và K là
tập con lồi đóng, bị chặn, khác rỗng của X. Cho T : K → K là ánh

xạ liên tục và giả co mạnh. Cho {αn }, {βn } và {xn } như trong Định
lý 2.1.4. Khi đó kết luận của Định lý 2.1.4 được giữ ngun.
Chứng minh. Sử dụng Định lý 1.2.1, ta suy ra T có điểm bất động
trong K, do đó F ix(T ) = ∅. Phần còn lại của chứng minh được suy
ra từ Định lý 2.1.4.
Hệ quả 2.1.6. Cho X, K, T và {αn } như trong Định lý 2.1.4 và Định
nghĩa dãy lặp Mann như sau

 x0 ∈ K
 x
n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ 0.
Khi đó dãy {xn } hội tụ mạnh đến điểm bất động duy nhất của T .
Chứng minh. Sử dụng Định lý 2.1.4 với βn = 0 với mọi n ≥ 0.

23

Footer Page 25 of 126.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>