SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

MỤC LỤC

Nội dung

Trang

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

2

2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

2

3. Đối tượng nghiên cứu

3

4. Giới hạn của đề tài

3

5. Phương pháp nghiên cứu

3

a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận

3

b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn

3

c) Phương pháp thống kê toán học

3

II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận

4

2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu

4

3. Nội dung và hình thức của giải pháp

5

a) Mục tiêu của giải pháp

5

b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp

5

c) Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp

27

d) Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu,
phạm vi và hiệu quả ứng dụng

27

III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận

28

2. Kiến nghị

29

I. PHẦN MỞ ĐẦU
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

1


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

1. Lý do chọn đề tài:
Toán học là một bộ mơn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu
tượng cao. Trong chương trình Tốn ở cấp THCS hiện nay thì phần lớn hệ

thống câu hỏi và bài tập đã được biên soạn khá phù hợp với trình độ kiến thức
và năng lực của số đơng học sinh.Tuy vậy có một số bài tập địi hỏi học sinh
phải có năng lực học nhất định mới có thể nắm được, đó là dạng tốn tìm giá trị
nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức đại số mà người ta thường gọi
chung là tìm cực trị của một biểu thức. Các bài toán này rất phổ biến trong các
đề thi học sinh giỏi văn hóa các cấp, các đề thi giải tốn trên máy tính cầm tay,
các đề thi giải toán bằng tiếng việt và đề thi giải toán bằng tiếng anh qua mạng
internet. Việc bồi dưỡng học sinh học tốn khơng đơn thuần chỉ cung cấp cho
các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều
bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng và thói quen suy nghĩ
tìm tịi lời giải của một bài tốn trên cơ sở các kiến thức đã học.
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 8 và
khối lớp 9, tôi nhận thấy học sinh còn lúng túng rất nhiều khi gặp phải dạng tốn
khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số và thường mắc
phải những sai sót khi giải dạng bài tập này, nhiều học sinh thi giải tốn qua
mạng internet chưa biết tính nhanh kết quả bài tốn bằng máy tính cầm tay nên
khơng đủ thời gian để hồn thành bài thi. Do đó người giáo viên cần phân loại
được các dạng bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng, sau mỗi
dạng toán cần cung cấp thêm cho học sinh phương pháp tìm cực trị của một biểu
thức bằng máy tính cầm tay để các em có thể vận dụng linh hoạt trong từng tình
huống cụ thể. giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất của từng dạng toán và giải
được các dạng bài tốn một cách thành thạo. Từ đó rèn luyện cho học sinh kĩ
năng giải toán và tư duy sáng tạo.
Với những lý do trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Một số kinh
nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại
số” với mong muốn được chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình trong cơng tác bồi
dưỡng học sinh giỏi để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong nhận được sự góp ý
chân thành của các đồng chí để đề tài được phát huy hiệu quả.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
Đề tài: “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm

cực trị của một biểu thức đại số” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của
từng dạng bài tốn tìm cực trị của một biểu thức, nắm vững phương pháp giải
của từng dạng, giúp cho học sinh biết phân loại và vận dụng phương pháp giải
một cách linh hoạt và có hiệu quả. Qua đó giúp học sinh phát huy được tính tích
cực và tinh thần sáng tạo trong học tập, phát triển năng lực tư duy toán học cho
học sinh, tạo động lực thúc đẩy giúp các em học sinh có được sự tự tin trong học
tập, hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán và niềm đam mê bộ mơn.
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

2


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phương
pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong q trình tìm tịi lời giải giúp
học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả năng
sáng tạo cho học sinh. Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí,
chặt chẽ, dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư phạm. Học sinh tự đọc có thể
giải được nhiều dạng tốn cực trị, giúp học sinh có những kiến thức tốn học
phong phú để học tốt mơn tốn và các mơn khoa học khác.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Một số kinh nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khi dạy
chuyên đề về tìm cực trị của một biểu thức đại số.
4. Giới hạn của đề tài:
Đề tài này được nghiên cứu trong khuôn khổ một số dạng tốn tìm cực trị
của một biểu thức
Đối tượng khảo sát: học sinh giỏi khối lớp 8 và khối lớp 9 trường THCS
Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk.
Thời gian nghiên cứu: Qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và

2016 - 2017
5. Phương pháp nghiên cứu:
a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu lí thuyết, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu các tài liệu
trên mạng internet, các bài toán tìm cực trị của một biểu thức trong các đề thi
học sinh giỏi các cấp qua các năm.
- Tiến hành phân theo từng dạng bài tập và đề xuất phương pháp giải cho
từng thể loại bài tập.
- Đưa ra tập thể tổ chun mơn thảo luận, thống nhất.
b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
- Điều tra, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
- Thực nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 8 và khối
lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh
ĐăkLăk qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 2016 - 2017
- Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy
c) Phương pháp thống kê toán học:
- Thống kê kết quả học tập của học sinh sau khi áp dụng đề tài.
- Đối chiếu so sánh giữa các năm học với nhau.

II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận:
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

3


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường
duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ

thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến
thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì mơn tốn là mơn học
đáp ứng đầy đủ những u cầu đó. Việc học tốn khơng phải chỉ là học trong
sách giáo khoa, không chỉ làm những bài tập do thầy, cô ra mà phải nghiên cứu
đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng qt hố vấn đề và rút ra được những điều
gì bổ ích. Dạng tốn về tìm giá trị lớn nhất và tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu
thức đại số là dạng toán rất quan trọng trong chương trình mơn đại số 8 và đại số
9 làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này. Có thể nói đây là những
bài tốn khó thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, các bài toán này rất
phong phú về thể loại và về cách giải, đòi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều kiến
thức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập luận và phát huy tối đa khả năng
phán đốn. Với mục đích nhằm nâng cao chất lượng dạy và học tốn, tơi thiết
nghĩ cần phải trang bị cho học sinh kiến thức về tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của một biểu thức đại số. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải
bài tốn cực trị một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực
hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng
như quan sát, phân tích, nhận dạng bài toán, lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
Từ đó, hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, kích thích tị mị ham
tìm hiểu và đem lại niềm vui cho các em, đồng thời khơi dậy cho các em sự tự
tin trong học tập và niềm đam mê bộ mơn. Hơn nữa, các bài tốn cực trị sẽ gắn
tốn học với thực tiễn vì việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất chính là việc
tìm những cái tối ưu thường đặt ra trong đời sống và kỹ thuật.
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu:
Trong những năm qua, tôi đã trực tiếp tham gia bồi dưỡng đội tuyển học
sinh giỏi khối 8 và khối 9 của trường THCS Lê Đình Chinh và cũng đã trải
nghiệm rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chun đề
“Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số” và tôi cũng đạt
được thành tích trong cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên, khi áp dụng
chuyên đề trên còn nặng về phương pháp liệt kê các bài toán, chưa phát huy
được hiệu quả học tập của học sinh. Chính vì vậy, để học sinh nắm vững và giải

thành thạo các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
đại số thì khi dạy chuyên đề đó giáo viên nên phân theo từng dạng bài tốn, qua
mỗi dạng có ví dụ minh chứng và xây dựng phương pháp giải chung cho từng
dạng, đồng thời lồng ghép kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay để tìm cực trị của
một biểu thức. Với những ý tưởng đó tơi đã thể hiện trong đề tài nghiên cứu:
“Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một
biểu thức đại số” sau khi đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng vào
thực tiễn tôi nhận thấy rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải tốn có khoa
học, lập luận logic và chặt chẽ. Học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập.
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

4


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

3. Nội dung và hình thức của giải pháp:
a) Mục tiêu của giải pháp:
Đề tài “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực
trị của một biểu thức đại số” nhằm mục đích tìm tịi, tích lũy các đề tốn ở nhiều
dạng khác nhau trên cơ sở vận dụng được các kiến thức cơ bản đã học, trang bị
cho học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9 một cách có hệ thống về phương pháp giải các
dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số từ cơ
bản đến nâng cao, giúp học sinh nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp
trong từng trường hợp cụ thể, giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo. Tạo
hứng thú, niềm đam mê, yêu thích các dạng tốn cực trị đại số thơng qua các bài
tốn có tính tư duy.
b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:
Dạng 1: Biểu thức có dạng tam thức bậc hai ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )
* Chú ý: Tam thức bậc hai ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất nếu

a > 0 và đạt giá trị lớn nhất nếu a < 0.
* Phương pháp giải:
Đặt A = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )
Trường hợp a > 0: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta thực hiện
qua ba bước sau:
Bước 1: Thêm bớt hạng tử và sử dụng một trong hai hằng đẳng thức:
2
2
( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 hoặc ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 để biến đổi biểu thức A sao cho
A ≥ k (với k là hằng số);
Bước 2: Tìm giá trị x0 để A = k
Bước 3: Kết luận AMin = k khi x = x0.
Trường hợp a < 0: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, ta thực hiện
qua ba bước sau:
Bước 1: Thêm bớt hạng tử và sử dụng một trong hai hằng đẳng thức:
2
2
( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 hoặc ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 để biến đổi biểu thức A sao cho
A ≤ k (với k là hằng số);
Bước 2: Tìm giá trị x0 để A = k
Bước 3: Kết luận AMã = k khi x = x0.
* Thủ thuật tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc
hai ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) trên máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS:
Ấn

Nhập giá trị của a, ấn phím
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

5

Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

Nhập giá trị của b, ấn phím
Nhập giá trị của c, ấn phím
Ấn phím
, máy tính sẽ cho kết quả X1 là nghiệm thứ nhất của tam
2
thức bậc hai ax + bx + c ( a ≠ 0 )
Ấn tiếp phím
, máy tính sẽ cho kết quả X 2 là nghiệm thứ hai của tam
2
thức bậc hai ax + bx + c ( a ≠ 0 )
Ấn tiếp phím
, máy tính sẽ cho kết quả X là giá trị x 0 để tam thức bậc
2
hai ax + bx + c ( a ≠ 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất
Ấn tiếp phím
, máy tính sẽ cho kết quả Y là giá trị nhỏ nhất hoặc giá
trị lớn nhất của tam thức bậc hai ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 − x + 3
Giải:
2

Ta có: A = x 2 − 2x.

1 1 1
1  11


+ − + 3 = x − ÷ +
2 4 4
2
4


2

1

Vì  x − ÷ ≥ 0 với mọi x ∈ R
2

2

1  11 11

nên  x − ÷ + ≥ với mọi x ∈ R
2
4 4

1
1
Dấu “=” xảy ra ⇔ x − = 0 ⇔ x =
2
2
1
11
Vậy AMin =
khi x =

4
2

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 9x2 + 6x + 5
Giải:
Ta có: B = (9x2 + 6x + 1) + 4 = (3x + 1)2 + 4
Vì (3x + 1)2 ≥ 0 với mọi x ∈ R
nên (3x + 1)2 + 4 ≥ 4 với mọi x ∈ R
Dấu “=” xảy ra ⇔ 3x + 1 = 0 ⇔ x = −
Vậy BMin = 4 khi x = −

1
3

1
3

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C = 1 – 6x – x2
Giải:
Ta có: C = - x2 – 6x + 1 = - (x2 + 6x + 9) + 9 + 1 = 10 – (x + 3 )2
Vì (x + 3 )2 ≥ 0 với mọi x ∈ R
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

6


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

nên 10 – (x + 3 )2 ≤ 10 với mọi x ∈ R
Dấu “=” xảy ra ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = -3

Vậy CMax = 10 khi x = − 3
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = - 2x2 + 5x +1
Giải:
2

5 
5 25  25
33
5



Ta có: D = −2  x 2 − x ÷+ 1 = −2  x 2 − 2x. + ÷+ + 1 = − 2  x − ÷
2 
4 16  8
8
4



2

2

5
33
5  33


− 2 x − ÷ ≤

Vì 2  x − ÷ ≥ 0 với mọi x ∈ R nên
với mọi x ∈ R
4
8
4
8


5
5
Dấu “=” xảy ra ⇔ x − = 0 ⇔ x =
4
4
5
33
Vậy DMax =
khi x =
8
4

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = ( x − 1) + ( x − 3)
Đối với biểu thức E ở trên, học sinh dễ bị mắc sai lầm như sau:
2
Vì ( x − 1) ≥ 0 với mọi x ∈ R
2

và ( x − 3)

2

2

≥ 0 với mọi x ∈ R

nên ( x − 1) + ( x − 3) ≥ 0 với mọi x ∈ R
2

2

x −1 = 0
x = 1
⇔
x − 3 = 0
x = 3
Vậy EMax = 0 khi x = 1 và x = 3

Dấu “=” xảy ra ⇔ 

Phân tích sai lầm trên như sau:
2
Vì ( x − 1) ≥ 0 (1) với mọi x ∈ R
và ( x − 3) ≥ 0 (2) với mọi x ∈ R
Nhưng không thể kết luận được giá trị nhỏ nhất của E bằng 0 vì khơng
đồng thời xảy ra dấu bất đẳng thức ở (1) và (2) .
Lời giải đúng như sau:
Ta có: E = x 2 − 2x + 1 + x 2 − 6x + 9 = 2x 2 − 8x + 10
2

= 2(x 2 − 4x + 4) + 2 = 2(x − 2) 2 + 2

Vì 2 ( x − 2 ) ≥ 0 với mọi x ∈ R
nên 2(x − 2) 2 + 2 ≥ 2 với mọi x ∈ R
Dấu “=” xảy ra ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2
2

Vậy EMin = 2 khi x = 2
* Bài tập tự rèn:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

7


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

a) x 2 − 4x + 5
b) 3x 2 − 11x + 6
c) 5x+2x 2 − 12
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) − x 2 + 6x + 15

b) −3x 2 − 2x-1

d) 49x 2 − 56x + 18
1
4

d) − x 2 − x

c) 4x − x 2 + 3

Dạng 2: Biểu thức có dạng là phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam
thức bậc hai
b

* Chú ý: Cho biểu thức A = Q ( x ) trong đó b là hằng số, Q ( x ) là tam thức

bậc hai. Khi đó: Nếu b và Q ( x ) đều có giá trị dương thì biểu thức A đạt giá trị
lớn nhất ⇔ Q ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất. Sẽ khơng chính xác nếu lập luận rằng
phân thức có tử là hằng số nên phân thức lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Lập luận
này có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn: Xét bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức A =

1
x −4
2

Với lập luận như trên: Vì tử thức có giá trị khơng đổi nên A đạt giá trị lớn
nhất khi x2 – 4 đạt giá trị nhỏ nhất, mà giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 – 4 là -4
⇔ x = 0. Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức A là −

1
khi x = 0 . Điều này
4

1
Không phải là giá trị lớn nhất của biểu thức A ,chẳng hạn với
4
1
1

x = 3 thì A = > −
5
4

khơng đúng vì −

* Phương pháp giải:
Biến đổi tam thức bậc hai ở mẫu giống như cách biến đổi ở dạng 1;
Từ đó xác định giá trị cực trị theo quy tắc so sánh hai phân thức cùng tử,
tử và mẫu đều dương.
* Thủ thuật tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
dạng 2 trên máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS:
Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai ở mẫu
thức bằng cách ấn máy như ở dạng 1 sau đó thay giá trị đó vào mẫu thức của
phân thức đã cho rồi tính ra kết quả
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
Giải:
2

2
x − 6x + 17
2

2

Ta có: A = x 2 − 6x + 17 = x − 3 2 + 8
(
)
Vì ( x − 3) ≥ 0 với mọi x ∈ R

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

8


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

nên (x – 3 )2 + 8 ≥ 8 với mọi x ∈ R
⇒

2

( x − 3)

2

+8

≤

2 1
= với mọi x ∈ R
8 4

Dấu “=” xảy ra ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3
Vậy AMax =

1
khi x = 3

4

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B =
Giải:

−5
x 2 − 2x + 6

−5
5
1
B
=
=
−
=
−
2
Ta có:
x 2 − 2x + 6
x 2 − 2x + 6
( x − 1) + 5

Vì ( x − 1) ≥ 0 Với mọi x ∈ R
nên ( x − 1) 2 + 5 ≥ 5 với mọi x ∈ R
2

5
5
≤ = 1 với mọi x ∈ R

2
(x − 1) + 5 5
5
≥ −1 với mọi x ∈ R
⇔ −
(x − 1) 2 + 5
Dấu “=” xảy ra ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1
Vậy BMin -1 khi x = 1
⇒

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =

2
6x − 5 − 9x 2
2

2
2
2
Giải: Ta có: C = 6x − 5 − 9x 2 = − 9x 2 − 6x + 5 = −
( 3x − 1) + 4

Vì ( 3x − 1) ≥ 0 với mọi x ∈ R
2

nên ( 3x − 1) + 4 ≥ 4 với mọi x ∈ R
2

⇒

2

( 3x − 1)

⇔ −

2

+4

≤

2 1
= với mọi x ∈ R
4 2

2

( 3x − 1)

2

+4

≥−

1
∈
2 với mọi x R

Dấu “=” xảy ra ⇔ 3x – 1 = 0 ⇔ x =
Vậy CMin = −

1
3

1
1
khi x =
2
3
b

Dạng 3: Biểu thức đưa được về dạng a + Q ( x ) trong đó a, b là các
hằng số, Q ( x ) là tam thức bậc hai.

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

9


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
b

* Dấu hiệu nhận biết: Biểu thức A đưa được về dạng A = a + Q ( x ) trong

đó a, b là các hằng số, Q ( x ) là tam thức bậc hai thì A phải có dạng:
a1 b1
a1 x 2 + b1x + c1
a

,a
≠
0;
=
A=
trong
đó
1
2
a 2 x 2 + b 2 x + c2
a 2 b2

* Phương pháp giải:
b

- Thực hiện chia tử thức cho mẫu thức, đưa về dạng A = a + Q ( x )
b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q ( x ) như ở dạng 2 sau đó thay vào
biểu thức A ta có kết quả cần tìm.
* Thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS:
a

1
Tìm a: a = a
2

 a1x 2 + b1x + c1

− a ÷.a 2 x 2 + b 2 x + c 2 rồi ấn dấu = cho kết quả bằng

Tìm b: Ấn  2
 a 2 x + b 2 x + c2

b
b. Khi đó ta có A = a + a x 2 + b x + c
2
2
2

Ấn máy tìm nhỏ nhất của biểu thức a 2 x 2 + b2 x + c 2 như ở dạng 1, sau đó
thay giá trị nhỏ nhất đó vào biểu thức A ta có kết quả cần tìm.
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
Giải:

3x 2 + 6x + 11
x 2 + 2x + 3

3x 2 + 6x + 11
2
2
A
=
= 3+ 2
= 3+
Ta có:
2
2
x + 2x + 3
x + 2x + 3

( x + 1) + 2

A đạt giá trị lớn nhất khi ( x + 1) + 2 đạt giá trị nhỏ nhất
2

( x + 1)

2

+ 2 đạt đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi x = −1
2
Vậy A Max = 3 + = 4 khi x = −1
2

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B =
Giải:

2x 2 + 8x + 10
x 2 + 4x + 3

2x 2 + 8x + 10
4
4
B
=
= 2+ 2
= 2+
Ta có:
2
2

x + 4x + 3
x + 4x + 3
( x + 2) −1
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

10


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

B đạt giá trị lớn nhất khi ( x + 2 ) − 1 đạt giá trị nhỏ nhất
2

( x + 2)

2

− 1 đạt đạt giá trị nhỏ nhất là -1 khi x = −2
4
Vậy BMax = 2 + = −2 khi x = −2
−1

Dạng 4: Biểu thức là phân thức có tử là tam thức bậc hai, mẫu là bình
phương của nhị thức bậc nhất.
* Phương pháp giải:
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức có dạng

ax 2 + bx + c

( ux+v )

trong đó x là biến. Ta thực hiện như sau:

- Biến đổi tử thức về dạng a ( ux+v ) + p ( ux+v ) + q (p, q là hằng số)
2

a ( ux+v ) + p ( ux+v ) + q
2

-Phân thức trở thành

( ux+v )

2

2

1
 1 
= a + p.
+q
÷
ux+v
 ux+v 

-Từ đó thực hiên tương tự như dạng 1
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

x2 − x +1

( x − 1)

2

Giải:
2
Ta có: x 2 − x + 1 = x 2 − 2x + 1 + x − 1 + 1 = ( x − 1) + ( x − 1) + 1
A=

( x − 1) + ( x − 1) + 1 = 1 + 1 + 1
=
2
2
x − 1 ( x − 1) 2
( x − 1)
( x − 1)
2

x2 − x +1
2

2

1
1 1
3  1
1 3
 1 
=

+ ÷ +
÷ + 2. x − 1 . 2 + 4 + 4 = 
 x −1 
 x −1 2  4
2

1
 1
+ ÷ ≥ 0 với mọi x ≠ 1
Vì 
 x −1 2 
2

1 3 3
 1
+ ÷ + ≥ với mọi x ≠ 1
nên 
 x −1 2  4 4
1
1
1
−1
⇔ x – 1 = -2 ⇔ x = -1
+ =0⇔
=
Dấu “=” xảy ra ⇔
x −1 2
x −1 2
3
Vậy AMin = khi x = − 1

4
3x 2 + 14x + 15
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 2
x + 4x + 4

Giải:

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

11

2

,


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

Ta có: 3x 2 + 14 x + 15 = 3( x 2 + 4 x + 4) + 2( x + 2) − 1 = 3( x + 2) 2 + 2( x + 2) − 1
2

3x 2 + 14x + 15 3(x + 2) 2 + 2(x + 2) − 1
1
 1 
B=
=
−
= 3 + 2.
2
2

÷
x + 4x + 4
(x + 2)
( x + 2)  x + 2 
2
 1  2

1
 1

= − 
−
2.
+
1
+
4
=
−
−
1

÷

÷ +4
x + 2 
x+2 
 x + 2 
2



− 1÷ ≥ 0 với mọi x ≠ −2
Vì 
x+2 
1

2

 1

− 1÷ + 4 ≤ 4 với mọi x ≠ −2
nên − 
x+2 
1
1
−1 = 0 ⇔
= 1 ⇔ x = −1 .
Dấu “=” xảy ra ⇔
x+2
x+2
Vậy BMax = 4 khi x = − 1

Cách khác:
Ta có: B =

3x 2 + 14x + 15 4(x 2 + 4x + 4) − (x 2 + 2x + 1)
=
x 2 + 4x + 4
(x + 2) 2

2

=

4(x + 2) 2 − (x + 1) 2
 x +1 
= 4−
÷
2
(x + 2)
x+2
2

 x +1 
Vì 
÷ ≥ 0 với mọi x ≠ −2
 x+2
2

 x +1 
nên 4 − 
÷ ≤ 4 với mọi x ≠ −2
 x+2
Dấu “=” xảy ra ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1
Vậy BMax = 4 khi x = − 1

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =
Giải:

(

3x 2 − 8x + 6
x 2 − 2x + 1

)

2
3x 2 − 8x + 6 3 x − 2x + 1 − 2(x − 1) + 1
2
1
=
=3+
Ta có: C = 2
2
x − 2x + 1
x-1 ( x − 1) 2
( x − 1)
2

2

1
 1 
 1

=
+1+ 2 = 
− 1÷ + 2
÷ - 2.
x-1

 x-1 
 x-1 
2

 1

Vì  − 1÷ ≥ 0 với mọi x ≠ 1
 x-1 
2

 1

nên  − 1÷ + 2 ≥ 2 với mọi x ≠ 1
 x-1 
1
1
−1 ⇔
= 1 ⇔ x −1 = 1 ⇔ x = 2
Dấu “=” xảy ra ⇔
x-1
x-1

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

12


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

Vậy CMin = 2 khi x = 2

Cách khác:

2
2
2
x − 2)
(
3x 2 − 8x + 6 ( 2x − 4x + 2 ) + (x − 4x + 4)
=
=2 +
Ta có: C = 2
2
x − 2x + 1
( x 2 − 2x + 1)
( x − 1)
2

 x−2
Vì 
÷ ≥ 0 với mọi x ≠ 1
 x −1 

( x − 2)
+
2
( x − 1)

2

nên 2

≥ 2 với mọi x ≠ 1

Dấu “=” xảy ra ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2
Vậy CMin = 2 khi x = 2
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D =
Giải:

8x 2 − 50x + 79
.
x 2 − 6x + 9
2

Ta có: D =

8x 2 − 50x + 79 8(x 2 − 6x + 9) − 2(x − 3) + 1
1
 1 
=
+
= 8 − 2.
2
2
÷
x − 6x + 9
(x − 3)
(x − 3)  x − 3 
2

2

1
 1 
 1

.1 + 1 + 7 = 
− 1÷ + 7
= 
÷ − 2.
x −3
 x −3
 x −3 
2



− 1÷ ≥ 0 với mọi x ≠ 3
Vì 
 x −3 
1

2

 1

− 1÷ + 7 ≥ 7 với mọi x ≠ 3
nên 
 x −3 
1
1

−1 = 0 ⇔
=1⇔ x = 4
Dấu “=” xảy ra ⇔
x −3
x −3

Vậy DMin = 7 khi x = 4

Dạng 5: Biểu thức là phân thức có tử là nhị thức bậc nhất hoặc tam
thức bậc hai, mẫu là tam thức bậc hai.
* Phương pháp giải:
ax 2 + bx + c
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của phân thức
,
dx 2 + ex + g
trong đó x là biến, ta sử dụng một phương pháp gọi là “Phương pháp miền giá
trị của hàm số”. Cụ thể như sau:
ax 2 + bx + c
y
=
Đặt
dx 2 + ex + g
Tìm tập xác định của y

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

13


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

y=

ax 2 + bx + c
⇔ y(dx 2 + ex + g) = ax 2 + bx + c
2
dx + ex + g

⇔ (yd − a)x 2 + (ye − b)x + yg − c = 0 ( 1)
a
d

Xét y = , thay vào (1) để tìm x
a
d

Xét y ≠ , phương trình (1) có nghiệm khi

V≥ 0

tức là:

(ye − b) 2 − 4(yd − a) ( yg − c ) ≥ 0

Giải bất phương trình trên ta được y1 ≤ y ≤ y 2
− ( y e − b)

− ( y e − b)

1

2
Với y = y1 thì x = 2 y d − a và với y = y 2 thì x = 2 y d − a
( 1 )
( 2
)

− ( y e − b)

1
Kết luận: y Min = y1 khi x = 2 y d − a
( 1 )

y Max = y 2 khi x =

− ( y2e − b )
2 ( y2d − a )

* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải: Đặt y =

4x − 3
x2 +1

4x − 3
x2 +1

Vì hàm số xác định với mọi x nên ta có: y =
Xét y = 0, ta có −4x + 3 = 0 ⇔ x =

4x − 3
⇔ yx 2 − 4x + y + 3 = 0
x2 +1

3
4

Xét y ≠ 0, phương trình yx 2 − 4x + y + 3 = 0 có nghiệm khi

V' ≥ 0 tức là:

4 − y ( y + 3) ≥ 0 ⇔ y 2 + 3y − 4 ≤ 0 ⇔ ( y − 1) ( y + 4 ) ≤ 0 ⇔ −4 ≤ y ≤ 1

Với y = −4 thì x =

2
1
=−
−4
2

2
1

Với y = 1 thì x = = 2
1
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là -4 khi x = − , giá trị lớn nhất
của biểu thức đã cho là 1 khi x = 2

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

14


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải: Đặt y =

8x + 3
4x 2 + 1

8x + 3
4x 2 + 1

Vì hàm số xác định với mọi x nên ta có:
y=

8x + 3
⇔ 4x 2 y + y = 8x + 3 ⇔ 4x 2 y − 8x + y − 3 = 0
4x 2 + 1

Xét y = 0, ta có −8x -3 = 0 ⇔ x = −

3
8

Xét y ≠ 0, phương trình 4x 2 y − 8x + y − 3 = 0 có nghiệm khi

V' ≥ 0 tức là:

16 − 4y ( y − 3) ≥ 0 ⇔ −4y 2 + 12y + 16 ≥ 0
⇔ y 2 − 3y − 4 ≤ 0 ⇔ ( y − 4 ) ( y + 1) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ y ≤ 4
4

Với y = −1 thì x = 4. ( −1) = −1
Với y = 4 thì x =

4
1
=
4.4 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là -1 khi x = −1 , giá trị lớn nhất
của biểu thức đã cho là 4 khi x =

1
4

2x 2 + 6x + 6
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2
x + 4x + 5
2
2x + 6x + 6
Giải: Đặt y = 2
x + 4x + 5

Vì hàm số xác định với mọi x nên ta có:
y=

2x 2 + 6x + 6
⇔ y ( x 2 + 4x + 5 ) = 2x 2 + 6x + 6 ⇔ x 2 y + 4xy + 5y = 2x 2 + 6x + 6
2
x + 4x + 5

⇔ (y − 2)x 2 + (4y − 6)x + 5y − 6 = 0

Xét y = 2, ta có ( 4.2 − 6 ) x + 5.2 − 6 = 0 ⇔ x = −2
Xét y ≠ 2, phương trình (y − 2)x 2 + (4y − 6)x + 5y − 6 = 0 có nghiệm khi V≥ 0
tức là: (4y – 6 )2 – 4.(y – 2 )(5y – 6 ) ≥ 0
⇔ 16y2 – 48y + 36 – 20y2 + 24y + 40y- 48 ≥ 0
⇔ -4y2 + 16y – 12 ≥ 0 ⇔ y2 - 4y + 3 ≤ 0 ⇔ (y – 1 )(y - 3 ) = 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 3
− ( 4.1 − 6 )

2

Với y = 1 thì x = 2. 1 − 2 = −2 = −1
( )
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

15


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
− ( 4.3 − 6 )

−6

Với y = 3 thì x = 2. 3 − 2 = 2 = −3

(
)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 1 khi x = −1 , giá trị lớn nhất
của biểu thức đã cho là 3 khi x = −3
* Lưu ý: Tìm cực trị bằng phương pháp miền giá trị của hàm số rất hay
và giải quyết nhiều bài tốn khó về cực trị.
* Bài tập tự rèn:
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a)

x2
x 2 − 5x + 7

b)

x2 − x +1
x2 + x +1

c)

x 2 − 8x + 7
x2 +1

d)

x 2 + 4 2x + 3
x2 +1

Dạng 6: Biểu thức là đa thức nhiều biến.
* Phương pháp giải:

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đa thức nhiều biến ta thực hiện
thêm bớt cùng một hạng tử hoặc tách một hạng tử thành hai hạng tử rồi áp dụng
hằng đẳng thức A 2 + 2AB + B2 = (A + B) 2 hoặc A 2 − 2AB + B2 = (A − B) 2 để biến đổi
biểu thức đã cho về dạng:
2
2
A = m + [ f (x, y) ] + [ g(x, y) ] ≥ m (m là hằng số)
2
2
Hoặc A = n − [ f (x, y) ] − [ g(x, y) ] ≤ n (n là hằng số).

f ( x, y ) = 0
Dấu “=” xảy ra ⇔ 

g ( x, y ) = 0

Kết luận: AMin = m hoặc AMax = n
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 3x 2 + y 2 + 10x − 2xy + 26
2
2
2
2
2
Giải: A = 3x + y + 10x − 2xy + 26 = ( x − 2xy + y ) + 2x + 10x + 26
2
2
 2

5 5 5

= ( x − y ) + 2 ( x + 5x + 13 ) = ( x − y ) + 2  x + 2x. +  ÷ −  ÷ + 13
2 2 2


2
2

5  27 
5  27
2
2

= ( x − y ) + 2  x + ÷ +  = ( x − y ) + 2  x + ÷ +
2
4 
2
2


2
Vì ( x − y ) ≥ 0 với mọi x, y
2

2

2

2

5


2  x + ÷ ≥ 0 với mọi x
2


Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

16


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
2

5  27 27
2

nên ( x − y ) + 2  x + ÷ + ≥
với mọi x, y
2
2
2

x − y = 0
x = y
5


⇔
Dấu “=” xảy ra ⇔  5
5⇔x=y=−

2
 x + 2 = 0
 x = − 2
27
5
Vậy AMin =
khi x = y = −
2
2
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 4x 2 + 3y 2 − 4x+30y + 78
77 
2
2
 2
2
2
Giải: B = ( 2x ) − 2.2x.1+1 +3y +30y + 77 = ( 2x − 1) + 3  y + 10y + ÷
3 

77 
2
2
2
2


= ( 2x − 1) + 3  y 2 + 2y.5 + 52 − 52 + ÷ = ( 2x − 1) + 3 ( y + 5 ) + 
3 
3



= ( 2x − 1) + 3 ( y + 5 ) + 2
2

2

Vì ( 2x − 1) ≥ 0 với mọi x
2

2 ( y + 5 ) ≥ 0 với mọi y
2

nên ( 2x − 1) + 3 ( y + 5 ) + 2 ≥ 2 với mọi x, y
2

2

1

 2x − 1 = 0
x =
⇔
2
Dấu “=” xảy ra ⇔ 
y + 5 = 0
 y = −5
1

x =
Vậy BMin = 2 khi  2

 y = −5

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = x2 – 2xy + 10y2 + 6y + 5
Giải:
A = (x2 – 2xy + y2) + (9y2 + 6y + 1) + 4 = (x – y )2 + (3y +1)2 + 4
2
Vì ( x − y ) ≥ 0 với mọi x, y

( 3y + 1)

2

≥ 0 với mọi y

nên (x – y )2 + (3y +1)2 + 4 ≥ 4 với mọi x, y
x − y = 0
1
⇔x=y=−
3
3y + 1 = 0
1
Vậy CMin = 4 khi x = y = −
3

Dấu “=” xảy ra ⇔ 

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = 15 − 10x − 10x 2 + 24xy − 16y 2
Giải:
D = − ( x 2 + 10x + 25 ) − ( 9x 2 − 24xy + 16y 2 ) + 40 = 40 − ( x + 5 ) − ( 3x − 4y )
2

2

Vì ( x + 5) ≥ 0 với mọi x
2

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

17


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

( 3x − 4y ) ≥ 0 với mọi x, y
2
2
nên 40 − ( x + 5 ) − ( 3x − 4y ) ≤ 40 với mọi x, y
2

 x = −5
x + 5 = 0

⇔
Dấu “=” xảy ra ⇔ 
15
3x − 4y = 0
 y = − 4
 x = −5

Vậy DMax = 40 khi 

15
 y = − 4

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = x 2 − 4xy + 5y 2 + 10x − 22y + 31
2
2
2
Giải: E = ( x - 4xy+4y ) + ( y -2y +1) +10 ( x – 2y ) + 25 + 5

= ( x – 2y ) + 2.5. ( x – 2y ) + 52 + ( y − 1) + 5 =
2

2

(x

– 2y + 5 ) + ( y − 1) + 5
2

2

Vì ( x − 2y + 5 ) ≥ 0 với mọi x, y
2

( y − 1) ≥ 0 với mọi y
2
2
nên ( x – 2y + 5 ) + ( y − 1) +
2

5 ≥ 5 với mọi x, y

 x − 2y + 5 = 0
 x = −3
⇔
y −1 = 0
y = 1
 x = −3
Vậy EMin = 2 khi 
y = 1

Dấu “=” xảy ra ⇔ 

Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
F = 19x 2 + 54y 2 + 16z 2 − 16xz − 24yz + 36xy + 5

Giải:
F = ( 9x 2 + 36xy + 36y 2 ) + ( 18y 2 − 24yz + 8z 2 ) + ( 8x 2 − 16xz + 8z 2 ) + 2x 2 + 5

= 9 ( x 2 + 4xy + 4y 2 ) + 2 ( 9y 2 − 12yz + 4z 2 ) + 8 ( x 2 − 2xz + z 2 ) + 2x 2 + 5
= 9 ( x + 2y ) + 2 ( 3y − 2z ) + 8 ( x − y ) + 2x 2 + 5
2

2

2

Vì 9 ( x + 2y ) ≥ 0 với mọi x, y
2

2 ( 3y − 2z ) ≥ 0 với mọi y, z
2

8 ( x − y ) ≥ 0 với mọi x, y
2

2x 2 ≥ 0 với mọi x

nên 9 ( x + 2y ) + 2 ( 3y − 2z ) + 8 ( x − y ) + 2x 2 + 5 ≥ 5 với mọi x, y, z
2

2

2

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

18


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
 x + 2y = 0
3y − 2z = 0

⇔
⇔x=y=z=0
Dấu “=” xảy ra

x
−

y
=
0

 x = 0
Vậy FMin = 2 khi x = y = z = 0

Dạng 7: Biểu thức là đa thức bậc cao.
* Phương pháp giải:
Thực hiện phương pháp tương tự như ở dạng 6
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 4 − 10x 3 + 26x 2 − 10x + 30
2
2
2
Giải: A = ( x 2 ) − 2x 2 .5x + 25x 2 + x 2 − 2x.5 + 25 + 5 = ( x 2 − 5x ) + ( x − 5 ) + 5
Vì ( x 2 + 5x ) ≥ 0 với mọi x
2

( x − 5)

2

≥ 0 với mọi x

nên ( x 2 − 5x ) + ( x − 5 ) + 5 ≥ 5 với mọi x
2

2

 x = 0
 x 2 − 5x = 0

⇔   x = 5 ⇔ x = 5
Dấu “=” xảy ra ⇔ 
x − 5 = 0
x = 5

Vậy AMin = 5 khi x = 5

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = ( x 2 + x + 2 )
Nhận xét: Ta thấy ngay B ≥ 0 nhưng giá trị nhỏ nhất của B khơng phải
bằng 0 vì x2 – x + 2 ≠ 0. Nếu ta khai triển đa thức trên theo hằng đẳng thức thì
ta được đa thức bậc 4, việc tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức bậc 4 rất phức tạp.
Do đó ta chỉ cần đi tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức x2 + x + 2 như ở dạng 1.
2

2

1
1 7
1 7

Giải: Ta có: x + x + 2 = x + 2. .x + + =  x + ÷ +
2
4 4
2 4

2


Vì  x +


2

2

1
÷ ≥ 0 với mọi x ∈ R
2
2

1 7 7

nên  x + ÷ + ≥ với mọi x ∈ R
2 4 4

1
1
Dấu “=” xảy ra ⇔ x + = 0 ⇔ x = −
2
2
Biểu thức b đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ Biểu thức x2 + x + 2 đạt giá trị nhỏ
1
7
nhất mà giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 + x + 2 là , đạt được khi x = −
4
2

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

19


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
2

49
7
Lúc đó B =  ÷ =
 4  16
1
49
Vậy BMin =
khi x = −
16
2

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 6 )

Giải: C = ( x − 1) ( x + 6 ) ( x + 2 ) ( x + 3) = ( x 2 + 5x − 6 ) ( x 2 + 5x + 6 ) = ( x 2 + 5x ) – 36
2

Vì ( x 2 + 5x ) ≥ 0 với mọi x
2

nên ( x 2 + 5x ) – 36 ≥ −36 với mọi x
2

x = 0

Dấu “=” xảy ra ⇔ x2 + 5x = 0 ⇔ 
 x = −5
x = 0

Vậy CMin = - 36 khi 
 x = −5
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = x 4 – 6x 3 + 10x 2 – 6x + 19
Giải: D = x 4 – 6x 3 + 10x 2 – 6x + 19 = x 4 – 6x 3 + 9x 2 + x 2 – 6x + 9 + 10
= ( x 2 – 3x

)

2

+

(x

– 3 ) + 10
2

Vì ( x 2 − 3x ) ≥ 0 với mọi x
2

( x − 3)

2

≥ 0 với mọi x

nên ( x 2 – 3x

)

2

+

(x

– 3) + 10 ≥ 10 với mọi x
2

 x = 0
 x 2 − 3x = 0

⇔   x = 3 ⇔ x = 3
Dấu “=” xảy ra ⇔ 
x − 3 = 0
x = 3

Vậy DMin = 10 khi x = 3
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = x 6 – 2x 3 + x 2 – 2x + 2

Giải:
E = x 6 – 2x 3 + x 2 – 2x + 2 = x 6 – 2x 3 + 1 + x 2 – 2x + 1
= ( x3 – 1

)

2

+

(

x – 1

)

2

Vì ( x 3 − 1) ≥ 0 với mọi x
2

( x − 1)

2

≥ 0 với mọi x

nên ( x 3 – 1 ) + ( x – 1 ) ≥ 0 với mọi x
2

2

x3 − 1 = 0
⇔ x =1

Dấu “=” xảy ra ⇔ 
x −1 = 0
Vậy EMin = 0 khi x = 1

Dạng 8: Biểu thức là đa thức có dấu giá trị tuyệt đối.
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

20


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

* Phương pháp giải:
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đa thức có dấu giá trị tuyệt
đối ta sử dụng một trong các bất đẳng thức sau đây:
a ≥ 0. Dấu “=” xảy ra ⇔ a = 0
a + b ≤ a + b . Dấu “=” xảy ra ⇔ ab ≥ 0 (a, b cùng dấu)
a −b ≥ a − b . Dấu “=” xảy ra ⇔ ab ≥ 0 (a, b cùng dấu)
a + b + c ≤ a + b + c . Dấu “=” xảy ra ⇔ ab ≥ 0; bc ≥ 0;ac ≥ 0 (a, b, c cùng
dấu).
* Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x − 2 + x − 5
Giải:
Với mọi x ∈ R, ta có: A = x − 2 + x − 5 = x − 2 + 5 − x ≥ x − 2 + 5 − x = 3
Do đó A ≥ 3. Dấu “=” xảy ra ⇔ (x - 2) (5 – x) ≥ 0
Lập bảng xét dấu:
x
2
5
x−2

0
+
+
5−x
+
+
0
( x − 2) ( 5 − x )
0
+
0
Từ bảng xét dấu ta thấy: (x + 2) (5 – x) ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 5
Vậy AMin = 3 khi 2 ≤ x ≤ 5
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x + 1 + x − 1
Giải:
Với mọi x ∈ R, ta có: B = x + 1 + x − 1 = x + 1 + 1 − x ≥ x + 1 + 1 − x = 2
Do đó B ≥ 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ (x + 1) (1 – x) ≥ 0
Lập bảng xét dấu:
x
-1
1
x +1
0
+
+
1− x
+
+
0

( x + 1) ( 1 − x )
0
+
0
Từ bảng xét dấu ta thấy: (x + 1) (1 – x) ≥ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1
Vậy BMin = 2 khi -1 ≤ x ≤ 1
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C = 3x + 5 − 3x − 7
Giải: Với mọi x ∈ R, ta có:
C = 3x + 5 − 3x − 7 ≤ ( 3x + 5 ) − ( 3x − 7 ) = 3x + 5 − 3x + 7 = 12
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

21


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

Do đó C ≤ 12.
Dấu “=” xảy ra ⇔ (3x + 5) (3x –7) ≥ 0
Lập bảng xét dấu:
−

x
3x + 5
3x − 7
( 3x + 5) ( 3x − 7 )

+

5
3

7
3

0

+
-

0

+
0
0

+
+

5

x
≤
−

3
Từ bảng xét dấu ta thấy: (3x + 5) (3x –7) ≥ 0 ⇔ 
x ≥ 7

3
5

7
Vậy CMax = 12 khi x ≤ − hoặc x ≥
3
3
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = x + 1 + 2x + 5 + 3x − 18

Giải:
Với mọi x ∈ R, ta có: D = x + 1 + 2x + 5 + 18 − 3x ≥ x + 1 + 2x + 5 + 18 − 3x = 24
Do đó D ≥ 24.
Dấu “=” xảy ra ⇔ x +1; 2x + 5; 18 - 3x cùng dấu
Lập bảng xét dấu:
x

−

5
2

-1

6

x +1
2x + 5
18 − 3x

0
+
0
+

+
+
+
+
0
Từ bảng xét dấu ta có x +1; 2x + 5; 18 - 3x cùng dấu ⇔ -1 ≤ x
Vậy DMin = 24 khi -1 ≤ x ≤ 6

+
+
≤ 6

Dạng 9: Biểu thức có chứa căn thức.
* Phương pháp giải:
Với dạng tốn này ta cần chú ý đặt điều kiện để cho các căn thức có
nghĩa, sau đó tùy theo đặc điểm của biểu thức chứa căn mà ta sử dụng một trong
các phương pháp sau đây:
Phương pháp 1: Nếu biểu thức đã cho có dạng ax 2 + bx + c thì ta biến đổi
biểu thức lấy căn giống như cách biến đổi ở dạng 1 để tìm giá trị cực trị.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = −x 2 + x +

3
4

Giải:

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

22

Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

Với mọi x ∈ R, ta có:
2

3
1 1
1


A = −x + x + = −  x 2 − 2x + ÷+1 = 1 −  x − ÷ ≤ 1 = 1
4
2 4
2


1
1
Dấu “=” xảy ra ⇔ x − = 0 ⇔ x =
2
2
1
Vậy AMin = 1 khi x =
2
2

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 4x 4 − 4x 2 (x + 1) + (x + 1) 2 + 9
Giải: Với mọi x ∈ R, ta có:
2

B = ( 2x 2 ) − 2.2x 2 (x + 1) + (x + 1) 2  + 9 =



(2x 2 − x − 1) 2 + 9 ≥ 9 = 3

1

x=−

2
Dấu “=” xảy ra ⇔ 2x − x − 1 = 0 ⇔ ( 2x + 1) ( x − 1) = 0 ⇔ 
x = 1
1
Vậy BMin = 3 khi x = − hoặc x = 1
2
2

Phương pháp 2: Nếu biểu thức có dạng f (x) + g(x) mà f(x) và g(x)
đều có dạng hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của
một hiệu thì ta áp dụng các hằng đẳng thức để khai căn và đưa biểu thức về dạng
có chứa dấu giá trị tuyệt đối rồi thực hiện như dạng 8.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x 2 − 4x + 4 + x 2 − x +
Giải: Với mọi x ∈ R, ta có:

1
4

2

1
1
1
2

C = x − 4x + 4 + x − x + = ( x − 2 ) +  x − ÷ = x − 2 + x −
4
2
2

1
1 3
= 2−x + x − ≥ 2−x+x − =
2
2 2
1
1
3

Do đó C ≥ . Dấu “=” xảy ra ⇔ ( 2 − x )  x − ÷ ≥ 0 ⇔ ≤ x ≤ 2
2
2
2

3
1
Vậy CMin = khi ≤ x ≤ 2
2
2
2

2

Phương pháp 3: Nếu biểu thức có dạng

f (x) + g(x) mà biểu thức

f (x) + g(x) có giá trị là một hằng số thì ta áp dụng bất đẳng thức

a + b ≥ a + b (a,b ≥ 0) để tìm giá trị nhỏ nhất. Dấu “=” xảy ra ⇔ a.b = 0

⇔ a = 0 hoặc b = 0.

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = x − 25 + 42 − x
Giải:
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

23


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
 x − 25 ≥ 0
⇔ 25 ≤ x ≤ 42
 42 − x ≥ 0

Biểu thức D có nghĩa khi: 
Với 25 ≤ x ≤ 42 , ta có:

D = x − 25 + 42 − x ≥ (x − 25) + (42 − x) = 17
 x − 25 = 0

 x = 25

⇔
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ 
 42 − x = 0
 x = 42
Vậy DMin = 17 khi x = 25 hoặc x = 42
Phương pháp 4: Nếu biểu thức có dạng

f (x) − g(x) mà biểu thức

f (x) − g(x) có giá trị là một hằng số thì ta áp dụng bất đẳng thức

a − b ≤ a − b (a ≥ b ≥ 0) để tìm giá trị lớn nhất. Dấu “=” xảy ra ⇔ b(a - b)
= 0 ⇔ b = 0 hoặc a = b
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
a) E = x + 1 − x − 8
b) F = 2x − 2006 − 2x − 2007
Giải:
x + 1 ≥ 0
⇔ x ≥8
x − 8 ≥ 0

a) Biểu thức E có nghĩa khi: 

Với x ≥ 8 , ta có: E = x + 1 − x − 8 ≤ (x + 1) − (x − 8) = 9 = 3
Dấu “=” xảy ra ⇔ x - 8 = 0 ⇔ x = 8
Vậy EMax = 3 khi x = 8
 2x − 2006 ≥ 0

2007
⇔x≥
2
 2x − 2007 ≥ 0

b) Biểu thức F có nghĩa khi: 

2007
, ta có: F = 2x − 2006 − 2x − 2007 ≤ (2x + 2006) − (2x − 2007) = 1
2
2007
Dấu “=” xảy ra ⇔ 2x - 2007 = 0 ⇔ x =
2
2007
Vậy FMax = 1 khi x =
2

Với x ≥

Phương pháp 5: Nếu biểu thức có dạng A = f (x) + g(x) , bậc f(x) và
g(x) bằng nhau mà giá trị của biểu thức f (x) + g(x) khơng là hằng số thì ta tính
A 2 rồi áp dụng bất đẳng thức Cơ-si để tìm max A 2 rồi suy ra max A.
* Bất đẳng thức Cơ-si:
2
Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì: a + b ≥ 2 ab hoặc ( a + b ) ≥ 4ab
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức G = 2 − x − 1 + x
Giải:

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk

24


Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.
2 − x ≥ 0
⇔ −1 ≤ x ≤ 2
1 + x ≥ 0

Biểu thức G có nghĩa khi: 

( x + 1)(2 − x) = 3 + 2 ( x + 1)(2 − x)

G2 = x + 1 + 2 - x + 2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm (x + 1) và (2 - x) ta có
2 ( x + 1)(2 − x) ≤ (x + 1) + (2 – x )
Dấu “=” xảy ra ⇔ x + 1 = 2 - x ⇔ x =
Do đó: G 2 ≤ 3 + (x + 1) + (2 – x ) = 6
⇒ G 2 Max = 6 khi x =

1
2

1
2

Vì G ≥ 0 nên suy ra GMax = 6 khi x =

1

2

2 − x ≥ 0
⇔ −1 ≤ x ≤ 2
Cách khác: Biểu thức G có nghĩa khi: 
1 + x ≥ 0

G 2 = x + 1 + 2 − x + 2 (x + 1)(2 − x) = 3 + 2 (x + 1)(2 − x) = 3 + 2 2x + 2 − x 2 − x
2

9 
1 1
9 
1
3
= 3 + 2 − x + x + 2 = 3 + 2 −  x 2 − 2x + ÷ = 3 + 2 −  x − ÷ ≤ 3 + 2. = 6
4 
2 4
4 
2
2
2

1
2

Dấu “=” xảy ra ⇔ x − = 0 ⇔ x =
⇒ G 2 Max = 6 khi x =

1

2

1
2

Vì G ≥ 0 nên suy ra GMax = 6 khi x =

1
2

Phương pháp 6: Nếu biểu thức có dạng A =

f (x)
, bậc f(x) bằng bậc g(x)
g(x)

thì ta nhân và chia f(x) với cùng một số khác 0, sau đó áp dụng bất đẳng thức
Cơ-si
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H =

x −9
5x

Giải:
x − 9 ≥ 0
⇔ x≥9
Biểu thức H có nghĩa khi: 
x ≠ 0

Ta có: H = x − 9 =

5x

x −9
.3
3
5x

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm

x −9
và 3 ta có:
3

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

25