SKKN Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN KRÔNG ANA
TRƯỜNG THCS BUÔN TRẤP
----------

TÊN SÁNG KIẾN:

MỘT SỐ KINH NGHIỆM
VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ TRONG GIẢI
BÀI TẬP HÌNH HỌC 7
Thuộc bộ môn Toán

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Kim Thoa
Chức danh: Giáo viên
Trình độ chuyên môn cao nhất: Đại học
Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Toán.

Krông Ana, tháng 03 năm 2017

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

1


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán cấp THCS, tôi
nhận thấy đa số học sinh đều rất sợ học Hình học. Không chỉ đối với các em học

sinh trung bình, yếu, kém sợ học môn Hình học mà ngay cả học sinh khá, giỏi cũng
vậy. Rất hiếm có học sinh thực sự yêu thích học Hình. Cứ đến các tiết Hình học các
em thường rất sợ và không thích học, cảm giác bị bắt buộc nên không có hứng thú
học tập vì thế chất lượng học Hình học của học sinh chưa cao.
Nguyên nhân chủ yếu là do các em chưa nắm vững được hệ thống kiến thức,
chưa biết cách vẽ hình cũng như chưa biết cách trình bày lời giải một bài toán Hình
học. Do nắm kiến thức chưa sâu, hiểu vấn đề một cách mơ hồ, chưa nắm vững bản
chất kiến thức, chưa có khả năng vận dụng tốt kiến thức để giải bài tập, chưa nắm
được nhiều phương pháp giải các dạng toán Hình học nên học sinh thường gặp khó
khăn khi giáo viên yêu cầu học sinh giải bài tập. Ngay cả đối với các bài toán Hình
học đã cho đầy đủ các yếu tố trên hình vẽ, vẫn còn nhiều học sinh chưa biết cách để
giải bài toán thế nào chứ chưa kể đến các bài toán đòi hỏi phải vẽ thêm yếu tố phụ
để giải hoặc chứng minh.
Có rất nhiều bài tập Hình học mà nếu chỉ sử dụng các yếu tố bài toán đã cho
thì chưa thể giải hoặc chứng minh được mà đòi hỏi phải vẽ thêm yếu tố phụ mới
tìm ra được lời giải. Cũng có nhiều bài toán Hình học mà việc vẽ thêm yếu tố phụ
làm cho việc giải bài toán trở nên dễ dàng và thuận tiện hơn. Ngoài ra, việc vẽ thêm
yếu tố phụ còn giúp giáo viên thuận lợi trong việc ra đề kiểm tra cũng như mở rộng
và phát triển bài toán. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc
giải toán thì lại không hề đơn giản, thậm chí là rất khó khăn và phức tạp mà không
phải giáo viên và học sinh nào cũng có thể làm được. Việc vẽ thêm yếu tố phụ đòi
hỏi phải có sự sáng tạo và phải đạt được mục đích làm cho việc giải toán được dễ
dàng, thuận tiện và ngắn gọn hơn. Tuy nhiên, qua thực tế dạy học cho thấy vẫn
chưa có phương pháp chung nào cho việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình
học, vì vậy nên tôi mạnh dạn trao đổi “Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ
trong giải bài tập Hình học 7” để giúp học sinh THCS nói chung và học sinh lớp 7
nói riêng có thể hiểu sâu và nắm vững kiến thức, biết thêm một số cách vẽ yếu tố
phụ để giải bài tập Hình học, nắm được nhiều phương pháp giải bài tập Hình học
khác nhau, giúp cho học sinh cảm thấy việc học nhẹ nhàng và có hiệu quả hơn, có
hứng thú với việc học Hình học hơn, nâng cao năng lực, phát triển trí tuệ và óc

sáng tạo cho học sinh, đồng thời cũng là để rèn luyện, nâng cao trình độ chuyên
môn nghiệp vụ của bản thân cũng như trao đổi một số kinh nghiệm cùng quý Thầy
cô, bạn bè, đồng nghiệp.

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

2


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Rất mong được sự góp ý và trao đổi chân thành của quý thầy cô để kinh
nghiệm nhỏ này hoàn thiện hơn và mang lại hiệu quả cao hơn trong dạy học Toán ở
trường THCS.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
*Mục tiêu: Giúp giáo viên và học sinh nắm được một số phương pháp vẽ
thêm yếu tố phụ để giải bài tập Hình học 7 mà việc tìm được lời giải đòi hỏi phải
vẽ thêm yếu tố phụ mới có thể giải quyết được hoặc giúp cho việc giải Toán được
thuận lợi, dễ dàng và ngắn gọn hơn. Mặt giúp học sinh khắc sâu và nắm vững kiến
thức tổng hợp, phong phú để vận dụng vào việc giải hoặc chứng minh Hình học.
Tạo niềm say mê, hứng thú học Hình học của học sinh, môn học mà nhiều học sinh
rất sợ và không thích học, đồng thời nâng cao năng lực, phát triển trí tuệ và óc sáng
tạo cho học sinh
Đưa ra một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ để giáo viên và học sinh có
thể áp dụng trong việc giải một bài tập Hình học nhằm nâng cao chất lượng giáo
dục và hiệu quả giảng dạy, phát huy được tính tích cực, chủ động và sáng tạo của
giáo viên cũng như của học sinh trong quá trình dạy học và bồi dưỡng học sinh
giỏi môn Hình học 7.
Bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, làm tài liệu tham khảo cho
giáo viên và học sinh. Giúp giáo viên và học sinh thấy được sự quan trọng của việc

vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7.
*Nhiệm vụ: Tìm tòi, nghiên cứu tài liệu tham khảo về một số phương pháp
vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài tập Hình học 7.
Tích lũy kinh nghiêm thực tế trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh giỏi và ra đề kiểm tra môn Hình học.
Học hỏi từ bạn bè, đồng nghiệp qua trao đổi kinh nghiệm, sinh hoạt chuyên
môn hoặc dự giờ thăm lớp.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7.
4. Giới hạn của đề tài:
Nghiên cứu về một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập
Hình học 7 ở trường THCS Buôn Trấp từ năm 20012 đến năm 2017.
5. Phương pháp nghiên cứu:
a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp phân tích - tổng hợp tài liệu;
- Phương pháp khái quát hóa các nhận định độc lập.
b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

3


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

- Phương pháp điều tra;
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giáo dục;
- Phương pháp nghiên cứu các sản phẩm hoạt động;
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia;
- Phương pháp khảo nghiệm, thử nghiệm.
c) Phương pháp thống kê toán học

II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận:
Trong Toán học, Hình học là phân môn đòi hỏi tư duy cao và có nhiều khả
năng nhất trong việc rèn luyện phương pháp suy luận khoa học. Muốn đạt hiệu quả
cao trong việc dạy và học Hình thì phải có phương pháp dạy và học tốt. Không có
phương pháp tốt, không có hiệu quả cao. Biết cách dạy Hình và biết cách học Hình,
hiệu quả dạy và học sẽ tăng gấp nhiều lần. Để dạy và học tốt môn Hình học thì đòi
hỏi cả giáo viên và học sinh phải nắm vững các kiến thức Hình học một cách sâu và
rộng; biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức từ đơn giản đến phức tạp để có
thể giải được bài toán Hình học.
Giúp học sinh nắm được phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài tập
Hình học 7 là vô cùng quan trọng vì trong chương trình Toán 7, học sinh bước đầu
được làm quen với việc chứng minh Hình học, rèn kỹ năng vẽ hình, suy luận để
chứng minh các định lý, tính chất cũng như giải bài tập Hình học. Vì vậy trong mỗi
tiết dạy bài mới, luyện tập, ôn tập, ôn thi học sinh giỏi, giáo viên cần linh động đưa
ra các dạng toán Hình học mà việc giải đòi hỏi phải vẽ thêm yếu tố phụ một cách
sáng tạo, hiệu quả, thuận lợi cho việc giải bài toán. Sau khi học xong các em sẽ tự
hệ thống hóa được các kiến thức và các phương pháp giải cần nhớ để áp dụng vào
bài tập và vào thực tế, việc học Hình học vì thế cũng sẽ nhẹ nhàng và có hiệu quả
hơn. Các em sẽ có thể tự giải được bài Toán Hình học dễ dàng và nhanh chóng,
không còn thụ động trông chờ vào người khác.
Việc đưa ra các dạng toán có vận dụng phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ một
cách hợp lý trong phần luyện tập, ôn tập, ôn thi học sinh giỏi sẽ có tác dụng rất lớn
trong việc phát triển tư duy đồng thời tạo hứng thú học tập cho HS. Phát triển trí
tuệ cho HS lớp 7 qua bộ môn Hình học là một vấn đề rất quan trọng, cần được thấu
triệt trong mọi khâu của việc giảng dạy Toán: cách đặt vấn đề, nội dung các câu hỏi
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

4

SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

gợi mở của GV khi giảng bài, cách GV kiểm tra và nội dung các câu hỏi, bài tập
kiểm tra, cách yêu cầu HS phân tích đề bài , phê phán các câu trả lời, các bài làm
của học sinh có tác dụng rất lớn đến việc giáo dục tư duy độc lập, sáng tạo, óc phê
phán cho HS, giúp các em biết thắc mắc, biết trình bày lập luận vấn đề một cách
chặt chẽ, logic, phát huy khả năng tìm tòi, nghiên cứu kiến thức mới...
Việc vẽ thêm yếu tố phụ phải nhằm mục đích tạo điều kiện cho việc giải bài
tập hình học được dễ dàng và ngắn gọn hơn chứ không phải là vẽ một cách tùy tiện,
đòi hỏi cả giáo viên và học sinh phải có sự tìm tòi, sáng tạo. Hơn nữa việc vẽ thêm
yếu tố phụ phải đảm bảo tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng
hình cơ bản.
“Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7” sẽ
giúp giáo viên trau dồi được kiến thức, kỹ năng ra đề kiểm tra, mở rộng và phát
triển bài toán Hình học, nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng dạy, giúp học sinh
phát triển tư duy, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong giải bài tập Hình
học, đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học Hình học cho
học sinh lớp 7.
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu:
Hình học là một môn học khó đối với học sinh, đặc biệt là học sinh trung
bình, yếu, kém. Chất lượng học Hình học thấp, rất nhiều học sinh bị hổng kiến
thức, nhiều em chưa nắm vững được các kiến thức cơ bản cần thiết. Khả năng tư
duy, phân tích tổng hợp của học sinh còn hạn chế, nhiều học sinh chưa có khả năng
vận dụng kiến thức cơ bản vào làm bài tập. Chính vì thế các em cảm thấy thực sự
khó khăn khi học Hình học, tâm lý e ngại, dẫn đến tư tưởng lười học, lười suy nghĩ,
thiếu tự tin, sợ học môn Hình học.
Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Hình học 7 cũng
như dự giờ bạn bè, đồng nghiệp, tôi nhận thấy khi giáo viên đưa ra các bài tập sử

dụng phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ để giải đã tạo ra những tình huống bất ngờ,
làm cho học sinh rất hứng thú với việc học tập. Tuy nhiên việc vẽ thêm yếu tố phụ
như thế nào để có lợi cho việc giải toán thì lại không hề đơn giản mà rất khó khăn
và phức tạp với cả giáo viên và học sinh bởi vì thực tế dạy học cho thấy không có
phương pháp chung nào cho việc vẽ thêm yếu tố phụ cả. Mỗi một bài toán lại có
cách vẽ thêm yếu tố phụ khác nhau khác nhau. Việc vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài
tập Hình học không chỉ khó khăn với học sinh trung bình, yếu, kém mà ngay cả học
sinh khá giỏi cũng cảm thấy ngại và lười suy nghĩ, tìm tòi. Khi đọc đề bài toán, học
sinh chưa phân tích được các yếu tố bài toán đã cho, không biết vẽ hình hoặc vẽ
hình không chính xác, chưa biết sử dụng kiến thức nào, phương pháp nào để giải
dẫn đến không làm được bài tập. Một số học sinh định hướng được cách giải nhưng
lại không biết cách trình bày bài như thế nào cho chặt chẽ, logic.

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

5


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Tuy nhiên trong quá trình dạy học, một số giáo viên chưa thường xuyên và
chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc vẽ thêm yếu tố phụ khi giải bài tập Hình học
7, không biết nên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào cho hợp lý nên khó khăn trong
việc hướng dẫn cho học sinh, do đó hiệu quả giảng dạy chưa cao. Nguyên nhân
chính là do giáo viên chưa thực sự đam mê nghiên cứu, tìm tòi, đào sâu và mở rộng
kiến thức, chưa nắm được nhiều phương pháp giải toán. Do tâm lý học sinh trung
bình, yếu sợ học môn Hình nên giáo viên khi dạy giáo viên thường chỉ dạy qua
kiến thức và bài tập trong sách giáo khoa ở mức độ áp dụng kiến thức cơ bản trong
bài mà không cần phải mở rộng, khai thác kiến thức theo nhiều khía cạnh khác
nhau, không đưa ra nhiều cách giải khác cho các bài tập, không đưa ra các bài tập

đòi hỏi phải vẽ thêm yếu tố phụ để giải. Chính vì thế việc giải bài toán bằng cách
vẽ thêm yếu tố phụ thường chỉ áp dụng với đối tượng học sinh khá giỏi. Để có thể
khai thác và mở rộng kiến thức theo nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó đưa ra các
bài toán và phương pháp giải một cách hợp lý, có hiệu quả, kích thích được sự phát
triển tư duy của học sinh và giúp học sinh nắm vững kiến thức hơn thì giáo viên
phải thường xuyên tìm tòi, nghiên cứu, bổ sung kiến thức mới và đổi mới phương
pháp dạy học.
Học sinh thường có hứng thú học hơn khi gặp các tình huống bất ngờ hoặc
có vấn đề và thường khắc sâu được kiến thức hơn, nhớ được lâu hơn khi tự tìm tòi
kiến thức mới, phương pháp giải mới cho một bài tập Hình học, mà việc giải một
bài tập Hình học bằng vẽ thêm yếu tố phụ lại rất có hiệu quả trong việc tạo bất ngờ
và gây hứng thú học tập cho học sinh, giúp học sinh khắc phục được những sai lầm
thường gặp do không nắm vững kiến thức trong quá trình giải toán.
Để giải được dạng toán này thì đòi hỏi cả giáo viên và học sinh đều phải
nắm vững kiến thức Hình học một cách sâu và rộng, nắm được phương pháp giải
của nhiều dạng toán khác nhau và nắm được các phương pháp dựng hình cơ bản.
Hơn nữa không phải lúc nào việc vẽ thêm yếu tố phụ cũng có hiệu quả, nếu không
áp dụng hợp lý thì càng làm cho học sinh tiếp nhận kiến thức một cách mơ hồ hơn
vì không biết nên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào, vận dụng kiến thức nào, cách
giải nào để giải bài tập cho phù hợp. Mặt khác không phải bài toán nào cũng cần
phải vẽ thêm yếu tố phụ để giải nên học sinh phải nhận biết được bài toán nào cần
và bài toán nào không cần vẽ thêm yếu tố phụ để giải.
Chính vì thế mà việc giúp HS nắm vững kiến thức, nắm vững được các dạng
toán và phương pháp giải của dạng toán đó để vận dụng vào làm bài tập và giải
quyết các vấn đề thực tế cuộc sống, tạo niềm say mê, hứng thú học Toán cho HS là
vô cùng quan trọng. Việc đưa ra một số dạng toán có thể giải bằng cách vẽ thêm
yếu tố phụ làm cho tiết học có những tình huống bất ngờ, sinh động và vui vẻ hơn,
tạo được hứng thú học tập cho học sinh, nhờ đó hiệu quả của tiết dạy cũng tăng lên,
khắc sâu được kiến thức cho học sinh, giúp học sinh tiếp thu kiến thức mới một
cách nhẹ nhàng hơn, nhớ được lâu hơn để từ đó áp dụng được vào bài tập tương tự

dễ dàng, biết chọn lựa phương pháp giải hay, hợp lý, ngắn gọn khi giải một bài
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

6


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

toán, phát triển tư duy và khả năng sáng tạo của học sinh. Bồi dưỡng năng lực tự
học, tự nghiên cứu và tìm tòi khám phá kiến thức mới cho học sinh.
Qua các vấn đề về thực trạng đã nêu ở trên có thể thấy được sự cần thiết của
việc hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ khi giải bài tập Hình học 7, có thể thấy
việc giải bài toán bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ mang lại hiệu quả rất lớn, ngoài ra
nó còn có tác dụng giáo dục học sinh về mọi mặt, đặc biệt là rèn khả năng tư duy,
phát huy tính sáng tạo, rèn tính cẩn thận và rèn kỹ năng sử dụng ngôn ngữ chính
xác, chính vì thế trong quá trình giảng dạy giáo viên thực sự nên đưa ra các bài tập
Hình học để hướng dẫn học sinh giải bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ một cách hợp
lý.
3. Nội dung và hình thức của giải pháp:
a. Mục tiêu của giải pháp:
- Giúp GV nhận biết được trường hợp nào nên đưa ra bài toán cần vẽ thêm
yếu tố phụ để giải khi dạy học môn Toán lớp 7 cho phù hợp để tạo hứng thú học
tập cho học sinh và nâng cao chất lượng, hiệu quả giảng dạy.
- Giúp HS nắm vững được bản chất kiến thức, khắc sâu, mở rộng và nâng
cao kiến thức cho HS, giúp học sinh biết vẽ hình theo yêu cầu đề bài, biết trường
hợp nào cần vẽ thêm yếu tố phụ để giải toán, từ đó có thể vận dụng vào giải bài tập
từ cơ bản đến nâng cao.
- Giúp HS tránh được những sai lầm thường gặp khi vẽ hình và khi giải bài
tập Hình học, nắm được nhiều phương pháp giải khác nhau cho một bài toán, biết
chọn lựa cách giải hay, ngắn gọn, hợp lý để vận dụng vào giải bài tập, làm cho học

sinh thấy được cái hay, cái đẹp của Toán học.
- Tạo ra các tình huống có vấn đề, khơi dậy trí tò mò, óc sáng tạo, niềm say
mê, hứng thú học tập môn Toán của HS.
- Tạo ra các tình huống bất ngờ, thú vị, làm tiết học nhẹ nhàng, vui vẻ hơn,
tạo sự thân thiện giữa GV và HS.
- Phát triển tư duy độc lập sáng tạo, óc phê phán cho HS, giúp các em biết
thắc mắc, biết lật đi lật lại vấn đề, biết tìm tòi, suy nghĩ, rèn kỹ năng vẽ hình và khả
năng suy luận, bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh...
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp:
b.1. Vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh các định lý, tính chất.
Trong chương trình Hình học 7, HS đã bước đầu được làm quen với việc
chứng minh định lý hoặc tính chất Hình học. Để chứng minh được các định lý, tính
chất trong bài mới thì thường phải vẽ thêm yếu tố phụ để sử dụng kiến thức đã học
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

7


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

trước đó. Do vậy giáo viên phải hướng dẫn, gợi ý để học sinh biết cách vẽ thêm yếu
tố phụ cho hợp lý.
Ví dụ 1: Trong bài “Hai đường thẳng song song”, GV yêu cầu HS làm
·
bài toán: “Cho hình vẽ sau, biết BAC
+ ·ACD = 1800 . Chứng tỏ rằng AB //CD”
HS biết được dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng
song “Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và
trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng
nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song

song với nhau”

A

C

B

D

Do vậy cần phải tạo ra một cặp góc so le trong hoặc
một cặp góc đồng vị mà sẽ chứng minh được gặp góc đó bằng nhau. Điều này gợi
cho ta nghĩ đến việc vẽ thêm tia đối của một trong bốn tia trên hình AB, AC, CA,
CD.
*Hướng dẫn giải:
A

Vẽ tia CE là tia đối của tia CA.

B

·
Ta có ECD
+ ·ACD = 1800 (vì hai góc kề bù)
·
· D = BAC
·
Ta lại có BAC
+ ·ACD = 1800 nên EC

1

C

· D và BAC
·
Mà EC
là hai góc đồng vị nên AB // CD.

D

2

E

Như vậy qua bài toán này, ta có thêm một tính chất
nữa về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
như sau: “Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo
thành có một cặp góc trong cùng phía bù nhau thì a và b song song với nhau”
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu hai góc nhọn xOy và mAn có Ox // Am,
·
· .
Oy // An thì xOy
= mAn
Vì bài toán cho các cặp đường thẳng song song nên Gv hướng dẫn học sinh
làm thế nào để có thể vận dụng được tính chất của hai đường thẳng song song.
Nghĩa là cần vẽ thêm yếu tố phụ là một đường thẳng cắt các cặp đường thẳng song
song để tạo ra các cặp góc so le trong, đồng vị hoặc trong cùng phía. Trong trường
hợp này ta có thể vẽ thêm yếu tố phụ là tia OA. Khi đó trên hình sẽ xuất hiện các
cặp góc đồng vị bằng nhau, giúp cho việc chứng minh dễ dàng hơn.

A
2

O

1

*Hướng dẫn giải:

m

x

Vẽ tia OA, ta có:
2

1

n
y

µ = µA (hai góc đồng vị) (1)
Oy // An ⇒ O
1
1
¶ =A
¶ (hai góc đồng vị) (2)
Ox // Am ⇒ O
2

2

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

8


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7
µ +O
¶ =µ
·
·
A1 + ¶A2 ⇒ xOy
Từ (1) và (2) ⇒ O
= mAn
1
2

* Tương tự ta cũng có thể chứng minh bài toán: “Nếu hai góc tù xOy và
·
·
mAn có Ox // Am, Oy // An thì xOy
.
= mAn
Hai góc xOy và mAn được gọi là hai góc có cạnh tương ứng song song.
Qua hai bài toán trên ta đã chứng minh được một tính chất về hai góc có
cạnh tương ứng song song: “Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì chúng
bằng nhau nếu cả hai đều nhọn hoặc đều tù” (1)
* Tương tự ta cũng có thể chứng minh bài toán: “Nếu
·

hai góc xOy và mAn có Ox // Am, Oy // An và xOy
= 900 thì

n

x

·
mAn
= 900 ”
m

A

Qua bài toán này ta cũng chứng minh được một tính
chất nữa về hai góc có cạnh tương ứng song song: “Nếu hai
góc có cạnh tương ứng song song thì góc này vuông nếu góc
kia vuông” (2)

y

O

* GV cũng có thể thay đổi nội dung bài toán trên như sau: “Chứng minh
rằng: Nếu góc xOy nhọn và mAn tù có Ox // Am, Oy // An thì
·
·
xOy
+ mAn
= 1800 ”

·
·
GV phân tích: vì mAn
tù nên góc kề bù với mAn
là góc nhọn, do đó ta có
thể vẽ tia At là tia đối của tia An để được góc mAt là góc nhọn.

Khi đó hai góc xOy và mAt đều nhọn có Ox //
·
· .
Am, Oy // At nên xOy
= mAt

·
·
Ta lại có: mAn
+ mAt
= 1800 (hai góc kề bù)
·
·
Từ đó suy ra xOy
+ mAn
= 1800

m

x

n
t

A
O

y

·
·
Nếu thay góc xOy tù và góc mAn nhọn thì ta cũng có xOy
+ mAn
= 1800
Qua bài toán trên ta cũng chứng minh được một tính chất nữa về hai góc có
cạnh tương ứng song song: “Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì chúng
bù nhau nếu một góc nhọn, một góc tù” (3)
Từ ba tính chất (1); (2) và (3) có được ở các bài toán trên ta có định lý sau:
“Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì:
a) Chúng bằng nhau nếu cả hai góc đều nhọn hoặc đều tù
b) Góc này vuông nếu góc kia vuông
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

9


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

c) Chúng bù nhau nếu một góc nhọn, một góc tù”
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh BC.
1
2

Chứng minh rằng: AM = BC .
1
2

Vì AM = BC ⇔ 2AM = BC, do đó ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng bằng 2AM
rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó. Trong trường hợp này, yếu tố
phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD.
*Hướng dẫn giải:
A

Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD =
MA.

1

B

M

1

C

2

Xét ∆ MAC và ∆ MDB có:
¶ =M
¶ (2 góc đối đỉnh), MC = MB (gt)
MD = MA, M
1

2

1

D

¶
⇒ ∆ MAC = ∆ MDB(c.g.c) ⇒ AC = DB, µ
A1 = D
2

¶ mà µ
¶ là hai góc so le trong nên AC // BD
A1 và D
Vì µA1 = D
2
2

Ta có:

AC / / BD 
0
·
 ⇒ BD ⊥ AB ⇒ ABD = 90
AC ⊥ AB 

·
Xét ∆ ABC và ∆ BAD có: AC = BD, BAC
= ·ABD ( = 900 ) , cạnh AB chung
⇒ ∆ ∆ ABC = ∆ BAD (c.g.c) ⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng)

1
2

1
2

Mà AM = AD ⇒ AM = BC
* Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của tam giác
vuông ABC. Do đó qua bài toán trên ta đã chứng minh được tính chất: “Trong
một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa
cạnh huyền”.
Trong quá trình dạy học Hình học, khi dạy một định lý hay tính chất nào đó,
giáo viên có thể đưa ra một bài toán có nội dung là định lý, tính chất trong bài học,
yêu cầu HS vận dụng kiến thức đã học để chứng minh, từ đó rút ra định lý, tính
chất qua bài toán. Bằng cách này giáo viên vừa có thể tạo tình huống có vấn đề,
vừa ôn lại được kiến thức đã học, vừa đưa ra được kiến thức của bài mới. Nhưng để
vận dụng được kiến thức đã học để giải bài toán thì thường phải vẽ thêm yếu tố
phụ. Do đó HS phải nắm vững được kiến thức đã học, biết cách vẽ thêm yếu tố phụ
phù hợp để đưa về dạng toán đã biết. Từ đó có thể giải bài toán dễ dàng.
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

10


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

b.2. Vẽ thêm yếu tố phụ để mở rộng và phát triển bài toán.
Trong các tiết luyện tập ôn tập hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi, sau khi cho HS
làm xong một bài toán hình nào đó, giáo viên có thể vẽ thêm yếu tố phụ trên hình
để khai thác, phát triển hoặc mở rộng bài toán, tạo ra các dạng bài toán mang tính

chất tổng hợp. Làm như vậy sẽ kích thích được trí tò mò, phát huy khả năng tư duy,
sáng tạo của học sinh, đồng thời làm cho học sinh hứng thú hơn với việc học Hình
học. Ngoài ra việc vẽ thêm yếu tố phụ để mở rộng bài toán còn giúp giáo viên ra đề
kiểm tra Hình học dễ dàng hơn.
Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên tia đối của các tia BA
và CA, lấy hai điểm D và E, sao cho BD = CE. Chứng minh DE //BC.
*Hướng dẫn giải:
A

B

D

Ta có: AB = AC (gt) và BD = CE (gt) nên AD = AE
⇒ ∆ADE cân tại A.
C

E

1800 − µA
∆ABC cân tại A ⇒ ·ABC =
2
∆ADE cân tại A ⇒ ·ADE =

1800 − µA
2

(1)
(2)

Từ (1) và (2) ⇒ ·ABC = ·ADE . Mà ·ABC và ·ADE là hai góc đồng vị nên BC // DE.
Sau khi HS giải xong bài toán trên, giáo viên vẽ thêm yếu tố phụ: Từ D kẻ DM
vuông góc với BC, từ E kẻ EN vuông góc với BC” sau đó yêu cầu HS chứng
minh:
+) DM = EN
+) Tam giác AMN là tam giác cân.
A

Hướng dẫn giải:
* Chứng minh DM = EN:
µ =C
µ
∆ABC cân tại A ⇒ B
1
1

Mà B¶ 2 = Bµ1; C¶ 2 = Cµ1 (hai góc đối đỉnh).
Do đó B¶ 2 = C¶ 2

B

M

1

2
1

D

1

C

N

2
1

E

∆DMB và ∆ENC có:

·
·
= ENC
= 900
BD = CE, B¶ 2 = C¶ 2 , DMB

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

11


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7
⇒ ∆DMB = ∆ENC (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ DM = EN (hai cạnh tương ứng)

* Chứng minh ∆AMN cân:
¶ =E

µ (hai góc tương ứng)
∆DMB = ∆ENC (cmt) ⇒ D
1
1
¶ =E
µ , DM = EN )
Ta có: ∆ AMD = ∆ ANE (vì AD = AE, D
1
1
⇒ AM = AN (hai cạnh tương ứng) ⇒ ∆AMN cân tại A.

GV tiếp tục mở rộng bài toán bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ như sau: Từ B
kẻ BH vuông góc với AM tại H, từ C kẻ CK vuông góc với AN tại K, chúng
cắt nhau tại I. Yêu cầu HS chứng minh:
+) BH = CK, AH = AK
+) AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.
+) AI là đường trung trực của BC
+) Tam giác IBC cân.

A

+) AI vuông góc với DE
Hướng dẫn giải:
*Chứng minh: BH = CK, AH = AK:
Ta có: ∆ AMD = ∆ ANE (cmt)

H
1

M

· D = NA
· E ⇒ HAB
·
· AC
⇒ MA
=K
·
· AC )
⇒ ∆ABH = ∆ACK (vì AB =AC, HAB
=K
⇒ BH = CK, AH = AK (hai cạnh tương ứng)

B

K

C1

2

1

1

D

N

2

I

E

*Chứng minh: AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.
·
· AI ⇒ MAI
·
·
Ta có: ∆ AHI = ∆ AKI (vì AI chung, AH = AK) ⇒ HAI
(1)
=K
= NAI
· D = NA
· E ⇒ HAB
·
· AC (2)
∆ AMD = ∆ ANE (cmt) ⇒ MA
=K
·
· AI (3)
Từ (1) và (2) ⇒ BAI
=C

Từ (1) và (3) ⇒ AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.
*Chứng minh: AI là đường trung trực của BC
Gọi O là giao điểm của AI và BC

A

= ∆ ACO (Vì AB = AC,
·
· AO , AO chung)
BAO
=C

Khi đó
H
M

1

B

1 2

O

2

µ =O
¶ (hai góc tương ứng)
⇒O
1
2

K

C1

2

∆ ABO

N

Người thực
hiện: Nguyễn Thị1 Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp
1
D

I

E

12


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7
µ +O
¶ = 1800 (hai góc kề bù) nên O
µ =O
¶ = 900 ⇒ AO ⊥ BC tại O (4)
Mà O
1
2
1
2

Ta lại có: ∆ ABO = ∆ ACO ⇒ OB = OC (2 cạnh tương ứng) (5)

Từ (4) và (5) ⇒ AO là đường trung trực của BC hay AI là đường trung trực
của BC.
*Chứng minh tam giác IBC cân:
·
· AI , AI chung) ⇒ IB = IC (2 cạnh tương
∆ ABI = ∆ ACI (Vì AB = AC, BAI
=C
ứng) ⇒ ∆ IBC cân tại I.

*Chứng minh AI vuông góc với DE:
Ta có:

DE / / BC (cmt ) 
 ⇒ AI ⊥ DE
AI ⊥ BC (cmt ) 

Bài toán trên vẫn có thể tiếp tục mở rộng theo hướng khác, chẳng hạn có
thể yêu cầu HS chứng minh AI là đường trung trực của MN và DE; chứng
minh HK // MN hoặc gọi P là trung điểm của DE, chứng minh ba điểm A, I, P
thẳng hàng,...
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia
đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Từ D kẻ đường vuông góc với BC
cắt AB ở M, từ E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC ở N. Chứng minh MD =
NE.
*Hướng dẫn giải:

A

Ta có: ∆ ABC cân tại A ⇒ Bµ = Cµ1

M

Mà Cµ1 = C¶ 2 (hai góc đối đỉnh) nên Bµ = C¶ 2
1

B

C

E
2

D

Hai tam giác vuông BDM và CEN có:
µ =C
¶ (cmt) và BD = CE (gt)
B
2

N

⇒ ∆ BDM = ∆ CEN (cgv – gnk)
⇒ MD = NE (2 cạnh tương ứng)

*Sau khi học sinh giải xong, GV vẽ MN cắt DE tại I. Yêu cầu HS chứng minh I
là trung điểm của DE.
¶ = IN
· E (2 góc so le trong)
Ta có: MD // NE ( ⊥ BC ) ⇒ M

1

A
M
1

1

B

D

I

C

E

2

¶ = IN
· E (cmt) và
Hai tam giác vuông DMI và ENI có: M
1
MD = NE (gt)
⇒ ∆ DMI = ∆ ENI (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

N

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

13


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7
⇒ DI = IE (2 cạnh tương ứng) hay I là trung điểm của DE.

* GV có thể tiếp tục vẽ thêm yếu tố phụ để tạo thêm hình như sau: Từ C
kẻ đường vuông góc với AC, từ B kẻ đường vuông góc với AB, chúng cắt nhau
tại O rồi yêu cầu HS chứng minh AO là đường trung trực của BC.
*Hướng dẫn giải:
Hai tam giác vuông ∆ ABO và ∆ ACO có: AB = AC, AO chung
⇒ ∆ ABO = ∆ ACO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
¶ (2 góc tương ứng)
⇒µ
A1 = A
2

Gọi H là giao điểm của AO và BC
Xét ∆ ABH và ∆ ACH có: AB = AC, µA1 = ¶A2 , AH chung
⇒ ∆ ABH = ∆ ACH (c.g.c)

A

¶ =H
¶ (2 góc tương ứng) và HB = HC
⇒H
1
2

12

M
1

(2 cạnh tương ứng)
¶ +H
¶ = 1800 (hai góc kề bù)
Mà H
1
2
¶ =H
¶ = 900 ⇒ AH ⊥ BC tại H
⇒H
1
2
⇒ AO ⊥ BC tại trung điểm H của BC

Vậy AO là đường trung trực của BC.

1 2

B

H

D

O

1

I

C

E
2

N

Qua hai bài toán trên có thể thấy việc vẽ thêm yếu tố phụ có thể giúp giáo
viên khai thác, mở rộng bài toán theo nhiều hướng khác nhau, tạo ra bài toán tổng
hợp được rất nhiều kiến thức và nhiều cách chứng minh Hình học giúp giáo viên
thuận lợi trong việc ôn tập hoặc ra đề kiểm tra.
Trong quá trình giảng dạy, khi giáo viên đưa ra các bài tập có hình vẽ phức
tạp và có nhiều câu hỏi ngay một lúc thì sẽ làm cho HS có cảm giác ngợp và vốn đã
sợ làm bài tập hình thì lại càng sợ hơn. Không giống như Số học hay Đại số, chỉ
cần nhìn đề bài là học sinh nhận ra được yêu cầu của bài toán, nhận biết được dạng
toán, biết bài toán dễ hay khó và có làm được hay không, còn bài tập hình học thì
bắt buộc học sinh phải vẽ được hình, dựa vào hình vẽ để giải, do mỗi bài lại có
cách giải khác nhau nên học sinh thực sự cảm thấy rất khó khăn và luôn có tư
tưởng ngại khó, sợ mình không làm được. Chính vì thế giáo viên không nên đưa ra
các dạng bài tập có nhiều câu, mà nên khéo léo vẽ dần thêm các yếu tố phụ để mở
rộng thêm bài toán sau khi học sinh làm xong từng câu, như vậy học sinh sẽ cảm
thấy đỡ áp lực và hứng thú hơn với bài học mà giáo viên lại đưa ra được nhiều kiến
thức tổng hợp cho học sinh.
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

14

SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

b.3. Vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài toán mà nếu không vẽ thêm yếu
tố phụ thì không thể tìm được lời giải.
Trong qua trình dạy và học Hình học, chắc chắn cả giáo viên và học sinh sẽ
gặp phải những bài toán hình học mà nếu chỉ dựa vào các yếu tố bài toán đã cho
thì chưa thể tìm được lời giải. Do đó cả GV và HS phải tìm cách vẽ thêm yếu tố
phụ đưa bài toán về dạng quen thuộc hoặc có thể sử dụng các kiến thức đã học để
giải. Việc vẽ thêm yếu tố phụ một cách hợp lý thực sự rất khó đối với nhiều học
sinh, đòi hỏi phải có sự sáng tạo để thuận lợi cho việc giải toán chứ không phải vẽ
một cách tùy tiện. Do đó giáo viên phải biết cách gợi ý, dẫn dắt học sinh để tìm ra
cách vẽ thêm yếu tố phụ cho phù hợp với bài toán đặt ra.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có ·ABC = 600 . Chứng minh
AB =

1
BC
2

Nếu chỉ dựa vào hình vẽ và các yếu tố đã cho thì chưa thể giải được bài
toán. Do đó phải tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải. Vì ·ABC = 600 nên ta nghĩ đến
việc tạo ra tam giác đều. Có thể vẽ thêm điểm D sao cho A là trung điểm của BD,
khi đó ∆ ABD là tam giác đều, từ đó có thể giải được bài toán dễ dàng.
*Hướng dẫn giải:
C

Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB.

1 2

Ta có ¶A2 = 900 (vì CA ⊥ DB )
¶ = 900, AC
Xét ∆ ABC và ∆ ADC có: AB = AD, µA1 = A
2
chung

1

B

2

A

D

⇒ ∆ ABC = ∆ ADC (c.g.c)
µ =D
µ (2 góc tương ứng)
⇒B

µ =D
µ = 600 nên là tam giác đều ⇒ BD = BC = DC
∆ BCD có B
1
2

1

2

Mà AB = AD ⇒ AB = BC
Qua bài toán này, giáo viên lưu ý HS: “Nếu ∆ ABC vuông tại A có
·ABC = 600 hoặc ·ACB = 300 thì AB = 1 BC ”. Đây là một tính chất quan trọng mà HS
2

có thể sử dụng để làm các bài toán liên quan đến nửa tam giác đều.
Ví dụ 2: Cho ∆ ABC có µA = 600 . Chứng minh BC2 = AB2 + AC2 – AB .
AC

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

15


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Bài toán chỉ cho duy nhất một yếu tố là µA = 600 , mà lại yêu cầu chứng minh
BC2 = AB2 + AC2 – AB . AC. Dựa vào yếu tố đã cho thì chưa giải được bài toán
nên ta nghĩ đến việc vẽ thêm yếu tố phụ là đường vuông góc để tạo ra nửa tam giác
đều và để có thể áp dụng được định lý Pi-ta-go. Trong trường hợp ta vẽ yếu tố phụ
là đường thẳng CH vuông góc với AB (H ∈ AB). Áp dụng định lý Pi-ta-go vào các
tam giác vuông HAC, HBC ta sẽ có điều phải chứng minh.
*Hướng dẫn giải:
A

Vẽ đường thẳng CH vuông góc với AB (H ∈ AB).

60°

H

∆ HAC vuông tại H có µA = 600 nên là nửa tam giác
AC
đều ⇒ AH =
2

2

1

B

C

Ta có: HB = AB – AH = AB -

AC
2

Áp dụng định lý Pi-ta-go vào ta giác vuông HAC , ta có:
2

 AC  3 AC 2
AC = AH + HC ⇒ HC = AC - AH = AC - 
÷=
 2  4
2

2

2

2

2

2

2

Áp dụng định lý Pi-ta-go vào ta giác vuông HBC, ta có:
BC2 = HB2 + HC2
2

AC  3
AC 
AC  3


2
2
=  AB −
÷ + AC =  AB −
÷ AB −
÷+ AC
2  4
2 
2  4



AC  AC 
AC  3
AC 2 3

2
2
= AB  AB −
+ AC 2
÷−
 AB −
÷+ AC = AB − AB. AC +
2  2 
2  4
4
4

= AB 2 + AC 2 − AB. AC

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC (AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ
đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt AB tại D và
AC tại E. Chứng minh rằng BD = CE.
Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba rồi chứng
minh chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Muốn vậy ta cần vẽ thêm yếu tố phụ là
đường thẳng qua B và song song với AC cắt DE ở F. BF chính là đoạn thẳng thứ ba
đó.
A

*Hướng

dẫn giải:
1

B

M
1

1

2

E
C

Người thực hiện:
H Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp
1

F

D

16


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Vẽ đường thẳng qua B và song song với CE, gọi F là giao điểm của đường
thẳng này với đường thẳng DE.

µ =C
µ (hai góc so le trong)
Khi đó B
1

Xét ∆ MBF và ∆ MCE có:
µ =C
µ , BM = MC (gt), M
¶ =M
¶ (hai góc đối đỉnh)
B
1
1
2

Do đó: ∆ MBF = ∆ MCE (c.g.c)
⇒ BF = CE (2 cạnh tương ứng) (1)
· E
DA

Mặt khác ∆ ADE có AH là đường cao (AH ⊥ DE) và là tia phân giác của
µ =E
µ
Nên ∆ ADE cân tại A ⇒ D
1

Mà BF // CE ⇒ Fµ1 = Eµ1 (2 góc đồng vị)
µ =F
µ
Do đó: ⇒ D

1

⇒ ∆ ADE cân tại A ⇒ BF = BD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ CE = BD.
Ví dụ 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có µA = 800 . Gọi D là điểm
·
·
· D.
= 100 , DCB
= 300 . Tính số đo BA
nằm trong tam giác sao cho DBC
·
·
µ =C
µ = 500 mà DBC
∆ ABC (AB = AC) có µA = 800 ⇒ B
= 100 , DCB
= 300 , cần tìm
· D . Từ giả thiết trên và qua kinh nghiệm giải các bài toán về tính số đo
số đo BA

góc, vẽ thêm tam giác đều là công cụ thường sử dụng nhất. Do vậy trên nửa mặt
phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tam giác đều BEC, từ đó ta xác định được số đo
· D.
BA
*Hướng dẫn giải:

E

Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC có
chứa điểm A, vẽ tam giác đều BEC.
∆ ABC cân tại A

A

·
180 − BAC
1800 − 800
⇒ ·ABC =
=
= 500
2
2
0

D

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia BC có

·
·
CBA
< CBE
(vì 500 < 600 )

B

C

⇒ Tia BA nằm giữa hai tia BC, BE.
·
·
·
·
⇒ CBA
+ ·ABE = CBE
⇒ ·ABE = CBE
− CBA
= 600 − 500 = 100

Xét ∆ EBA và ∆ ECA có:
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

17


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

EB = EC (vì ∆ EBC đều), EA chung, AB = AC(gt)
· A = CE
· A (2 góc tương ứng)
⇒ ∆ EBA = ∆ ECA(c.c.c) ⇒ BE
·
· E = 600 : 2 = 300
Mà BEC
= 600 ⇒ BA

Xét ∆ EBA và ∆ BDC có:
· A = DCB

·
·
BE
(= 300 ) , EB = BC (vì ∆ EBC đều), ·ABE = DBC
(= 100 )
⇒ ∆ EBA và ∆ BDC(g.c.g) ⇒ BA = BD (2 cạnh tương ứng)
⇒ ∆ BAD cân tại B
·
Mà ·ABD = ·ABC − DBC
= 500 − 100 = 400
· D=
⇒ BA

1800 − ·ABD 1800 − 400
=
= 700
2
2

· D = 700
Vậy BA

Qua các bài toán trên có thể thấy chỉ dựa vào giải thiết ta chưa thể tìm ra lời
giải bài toán, do đó phải tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ hợp lý để giải bài toán đã cho.
Tuy nhiên việc vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải bài toán hình
học lại là điều khó khăn và rất phức tạp đối với cả giáo viên và học sinh. Thực tế
cho thấy không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ, nó đòi hỏi sự
thông minh sáng tạo khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt mục
đích là tạo điều kiện để giải bài toán một cách ngắn gọn và dễ dàng hơn chứ không
phải tùy tiện thích vẽ thêm là vẽ. Do đó giáo viên phải thường xuyên đưa ra dạng

toán này để học sinh nắm được nhiều cách vẽ thêm yếu tố phụ khác nhau, từ đó áp
dụng làm bài ập tương tự.
b.4. Vẽ thêm yếu tố phụ để đưa ra nhiều cách giải khác nhau cho một
bài toán.
Trong quá trình giảng dạy, và bồi dưỡng học sinh giỏi, việc mở rộng và nâng
cao kiến thức đã học nhằm phát triển tư duy, phát huy tính độc lập, sáng tạo và bồi
dưỡng năng lực tự học cho học sinh là vô cùng quan trọng. Chính vì thế giáo viên
cần phải tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra các phương pháp giải hay cho một bài toán.
Hệ thống kiến thức và bài tập đưa ra phải đa dạng, phong phú, có sức hấp dẫn, lôi
cuốn, kích thích được trí tò mò và mong muốn khám phá của học sinh. Trong các
tiết luyện tập, ôn tập, bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên khéo léo chọn lựa, cho học
sinh làm một số bài toán có thể giải bằng nhiều cách bằng cách vẽ thêm các yếu tố
phụ khác nhau. Trong đó học sinh có thể dùng kiến thức và phương pháp giải đã
học để giải bài toán. Điều đó sẽ tạo yếu tố bất ngờ, thú vị, kích thích trí tò mò và
phát huy khả năng sáng tạo của học sinh. Học sinh sẽ cảm thấy rất hứng thú và say
mê học Toán khi phát hiện ra các cách giải mới cho một bài toán mà mình chưa
biết.
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

18


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

µ =C
µ ”
Ví dụ 1: “Cho tam giác ABC có AB = AC. Chứng minh : B

Học sinh đã được học bài trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh –
góc – cạnh nên có thể sử dụng để giải bài toán trên theo một trong các cách sau:

*Cách 1:
A

Xét ∆ ABC và ∆ ACB có:
AB = AC (gt); µA chung, AC = AB (gt)
⇒ ∆ ABC = ∆ ACB (c – g – c)
µ =C
µ (2 góc tương ứng)
⇒B

C

B

Cách giải này ít học sinh nghĩ đến vì để chứng minh hai góc bằng nhau
thường phải dựa vào số đo góc hoặc dựa vào chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Trong bài này giáo viên cũng chứng minh hai tam giác bằng nhau nhưng thực chất
vẫn là một tang giác nhưng thay vị trí các đỉnh tương ứng. Học sinh sẽ thấy rất bất
ngờ và thú vị khi giáo viên đưa ra cách giải này.
*Cách 2:

A

Kẻ AH là tia phân giác của µA , H ∈ BC

1 2

Xét ∆ ABH và ∆ ACH có:
¶ (theo cách vẽ)
AB = AC (gt); AH chung, µA1 = A

2
⇒ ∆ ABH = ∆ ACH (c – g – c)

B

C

H

µ =C
µ (2 góc tương ứng)
⇒B

Để chứng minh Bµ = Cµ trong trường hợp này thì học sinh phải vẽ thêm yếu tố
phụ là vẽ thêm tia phân giác của góc A để tạo ra hai tam giác bằng nhau rồi chứng
minh hai tam giác bằng nhau dựa vào trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh.
Đây là một cách vẽ yếu tố phụ đơn giản mà học sinh có thể thực hiện được.
Học sinh cũng có thể vẽ yếu tố phụ để giải bài toán trên theo hai cách sau:
* Cách 3:
Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao
cho BD = CE.
Ta có: AB = AC (gt) ; BD = CE (cách vẽ)
⇒ AB + BD = AC + CE ⇒ AD = AE

A

Xét ∆ ADC và ∆ AEB có:
AB = AC (gt); µA chung, AD = AE (cmt)
B

1

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp
D

1

C
E

19


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7
⇒ ∆ ADC và ∆ AEB (c – g – c)
µ =E
µ ; ·ACD = ·ABE ; DC = EB
⇒D

Xét ∆ BDC và ∆ CEB có:
µ =E
µ (cmt), DC = EB (cmt)
BD = CE (cmt); D
·
·
⇒ ∆ BDC = ∆ CEB (c – g – c) ⇒ DBC
(2 góc tương ứng)
= ECB
·
µ = 1800 (kb); ECB

·
µ = 1800 (kb) ⇒ B
µ =C
µ
+B
+C
Mà: DBC
1
1
1
1

*Cách 4:
Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của
tia AC lấy điểm N sao cho: AM = AN.

M

N

1

1
1

Xét ∆ ABN và ∆ ACM có:

2

AM = AN (cách vẽ); µA1 = ¶A2 (đđ), AB = AC (gt)

A

⇒ ∆ ABN = ∆ ACM (c – g – c)
1

¶ =M
¶ ;NB = MC
⇒N
1
1

1

C

B

¶ =M
¶ (cmt); NB = MC
Xét ∆ MBC và ∆ NCB có: N
1
1
(cmt); MB = NC ( vì AB = AC, AM = AN)
µ =C
µ (2 góc tương ứng)
⇒ ∆ MBC = ∆ NCB (c – g – c) ⇒ B
1
1

Cũng vẽ thêm yếu tố phụ để tạo ra hai tam giác bằng nhau, nhưng trong cách
3 và cách 4 mức độ khó và phức tạp cao hơn cách 2 rất nhiều, trong trường hợp này
không thể chứng minh ngay hai tam giác chứa góc B và góc C bằng nhau mà phải
chứng minh thêm cặp tam giác khác bằng nhau trước, từ đó sử dụng một số yêu tố
bằng nhau trong hai tam giác này để chứng minh hai tam giác chứa góc B và góc C
bằng nhau.
Qua bài toán này, giáo viên giúp học sinh thấy được đối với nhiều bài toán
hình học, nếu chỉ sử dụng giả thiết đề bài cho nhiều khi chưa giải được bài toán,
nhưng nếu biết cách vẽ thêm yếu tố phụ hợp lý, sáng tạo thì việc giải bài toán sẽ trở
nên dễ dàng và thuận lợi hơn chẳng hạn như cách 2 trong bài toán này. Học sinh sẽ
biết thêm một phương pháp giải toán hình học mới.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh
1
AB và AC. Chứng minh rằng: DE // BC và DE = BC .
2
* Cách 1:

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

20


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Nếu chỉ dựa các yếu tố đã cho trong hình vẽ thì chưa thể chứng minh được
1
DE // BC và DE = BC . Để giải bài toán trên ta có thể vẽ thêm yếu tố phụ là lấy
2
điểm M trên tia đối của tia ED sao cho EM = ED để tạo ra các cặp tam giác bằng
1

nhau, từ đó chứng minh được DE // BC và DE = BC .
2
*Hướng dẫn giải:
Trên tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho EM = ED.
Xét ∆ EAD và ∆ ECM có:

A

D

1

µ =E
¶ (đđ), ED = EM (theo cách vẽ)
EA = EC (gt), E
1
2
1

M

E
2

µ (2 góc
⇒ AD = CM (2 cạnh tương ứng); µA = C
1
2

B

⇒ ∆ EAD = ∆ ECM (c-g-c)

tương ứng)

1

C

Ta có : µA = Cµ1 , mà µA và Cµ1 là hai góc so le trong

· DC = MC
· D (hai góc so le trong )
⇒ AD // CM ⇒ B

Xét ∆ BDC và ∆ MCD có:
· D (cmt), DC chung.
BD = MC (= AD) , B· DC = MC
⇒ ∆ BDC = ∆ MCD (c – g – c)
¶ =C
¶ (2 góc tương ứng)
⇒ BC = DM (2 cạnh tương ứng); D
1
2
¶ =C
¶ , mà D
¶ và C
¶ là hai góc so le trong ⇒ DE // BC
Ta có : D
1

2
1
2

Vì DE =

1
1
DM mà DM = BC ⇒ DE = BC .
2
2

Vậy DE // BC và DE =

1
BC .
2

*Cách 2 : Ngoài cách vẽ thêm yếu tố phụ như cách 1, ta cũng có thể vẽ thêm
yếu tố phụ là trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ tia Cx // AB. Trên tia
Cx lấy điểm N sao cho CN = AD để tạo ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó chứng
1
minh được DE // BC và DE = BC .
2
Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ tia Cx // AB.
Trên tia Cx lấy điểm N sao cho CN = AD.
Xét ∆ EAD và ∆ ECN có:
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

21

SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7
A

D

1

1
3

x

E

EA = EC (gt), µA = Cµ1 (vì AD // CN), AD= CN (theo
cách vẽ)
⇒ ∆ EAD = ∆ ECN (c-g-c)

N

2

2

µ =E
¶ (2 góc tương ứng) và DE = EN (2 cạnh tương
⇒E
1

2

1

B

C

ứng);

µ +E
¶ = 1800 (kb) nên E
¶ +E
¶ = 1800
Mà E
1
3
2
3
⇒ ED và EN là hai tia đối nhau ⇒ D, E, N thẳng hàng.

Xét ∆ BDC và ∆ NCD có:
· D (BD // CN), DC chung.
BD = CN (= AD) , B· DC = NC
⇒ ∆ BDC = ∆ NCD (c – g – c)
¶ =C
¶ (2 góc tương ứng)
⇒ BC = DN (2 cạnh tương ứng); D
1
2

¶ =C
¶ , mà D
¶ và C
¶ là hai góc so le trong ⇒ DE // BC
Ta có : D
1
2
1
2

Vì DE =

1
1
DN mà DN = BC ⇒ DE = BC
2
2

Vậy DE // BC và DE =

1
BC .
2

Qua bài toán trên ta cũng chứng minh được một tính chất: Trong một tam
giác đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh thì song song và bằng một nửa
cạnh còn lại. Đoạn thẳng này được gọi là đường trung bình của tam giác mà ta sẽ
được học ở Hình học lớp 8.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A. D là trung điểm cạnh AB. Trên tia
1

đối của tia BA lấy E sao cho BE = AB. Chứng minh rằng CD = CE .
2
Trong bài toán ở ví dụ 2, ta đã chứng minh được trong một tam giác đoạn
thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại
mà trong bài toán này đã cho một yếu tố trung điểm và yêu cầu chứng minh độ dài
một đoạn thẳng bằng một nửa đoạn thẳng khác nên ta có thể vận dụng tính chất
được chứng minh ở ví dụ 2: Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung điểm của hai
cạnh thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại để giải. Có thể giải bài toán trên
theo các cách sau:
*Cách 1:
Gọi F là trung điểm của CE
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

22


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Xét ∆ AEC có B, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, CE, vận dụng
tính chất được chứng minh ở ví dụ 2: Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung
điểm của hai cạnh thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại, ta có :
1
AC , BF / / AC
2
¶ = ·ACB (SLT)
BF / / AC ⇒ B
2
BF =

µ = ·ACB ( ∆ ABC cân tại A ) ⇒ B

µ =B
¶
Mà B
1
1
2

Ta có :
1
2

1
2

AB =AC, BF = AC , BD = AB ⇒ BD = BF

A

Xét ∆ BDC và ∆ BFC có:

D

µ =B
¶ (cmt), BC chung
BD = BF (cmt); B
1
2

B

⇒ ∆ BDC = ∆ BFC (c – g – c)

1
2

F

⇒ CD = CF (2 cạnh tương ứng)
1
2

C

E

1
2

Mà CF = CE ⇒ CD = CE
*Cách 2:
Gọi M là trung điểm của cạnh AC

Xét ∆ AEC có B, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, AC, vận dụng
tính chất được chứng minh ở ví dụ 2: Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung
1
2

điểm của hai cạnh thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại, ta có : BM = CE
Ta có : AB =AC,
A

AM =
D
B

M
C

1
1
AC , AD = AB ⇒ AM = AD
2
2

Xét ∆ ABM và ∆ ACD có:
AM = AD (cmt); µA chung; AB =AC (gt)
⇒ ∆ ABM = ∆ ACD (c – g – c)
⇒ BM = CD (2 cạnh tương ứng)

E

1
2

1
2

Mà BM = CE ⇒ CD = CE
*Cách 3:
Trên tia đối của tia CA lấy điểm H sao cho CH = CA

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

23


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Xét ∆ ABH có D,C lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AH, vận dụng
tính chất được chứng minh ở ví dụ 2: Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung
1
2

điểm của hai cạnh thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại, ta có: CD = BH
1
2

1
2

Ta có : AB =AC, AB = AE , AC = AH ⇒ AE = AH
Xét ∆ ACE và ∆ ABH có:
AE = AH (cmt); µA chung; AB =AC (gt)
A

⇒ ∆ ACE = ∆ ABH (c – g – c)

D

⇒ BH = CE (2 cạnh tương ứng)
1

2

B

1
2

C

Mà CD = BH ⇒ CD = CE
E

H

* Cách 4:
Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CB. Xét ∆ ABN có D,C lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB, BN, vận dụng tính chất được chứng minh ở ví
dụ 2: Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh thì song song và
1
2

bằng một nửa cạnh còn lại, ta có: CD = AN
A
D
B

Ta có:

1

1
2

N

C

µ +B
¶ = 1800 (kb); ·ACB + C
µ = 1800 (kb)
B
1
2
1
µ = ·ACB ( ∆ ABC cân tại A )
Mà B
1

E

¶ =C
µ
⇒B
2
1

Xét ∆ BCE và ∆ CNA có:
BC = CN (cách vẽ); B¶ 2 = Cµ1 (cmt); BE = AC ( = AB)
⇒ ∆ BCE = ∆ CNA (c – g – c)
⇒ AN = CE (2 cạnh tương ứng)

1
2

1
2

Mà CD = AN ⇒ CD = CE
* Cách 5:
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BC, BE
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

24


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Xét ∆ BEC P và Q lần lượt là trung điểm của BC, BE, vận dụng tính chất được
chứng minh ở ví dụ 2: Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh
1
2

thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại, ta có: PQ = CE .
Xét ∆ BAC có P và D lần lượt là trung điểm của BC, BA, vận dụng kết quả
1
2

ở ví dụ 1 ta có: PD = AC (1)
∆ BAC cân tại A ⇒ AB = AC

B là trung điểm AE ⇒ AB = BE = AC (2)

A

1
1
Từ (1) và (2) ⇒ PD = AB = BE (3)
2
2

D

1
2

D là trung điểm AB ⇒ BQ = BE (4)

B

µ +P
µ = 1800 (kb); B
µ +B
¶ = 1800 (kb)
Ta có : P
1
2
1
2

∆ BDP cân tại D (vì PD = BD =

2

1

C

P

Q

Từ (3) và (4) ⇒ PD = BQ
(5)

2
1

E

1
¶ =D
¶ (6)
AB ) ⇒ B
2
2
2

Từ (5) và (6) ⇒ Bµ1 = Pµ1
Xét ∆ BQP và ∆ PDC có:
µ =P
µ (cmt); BP = PC (theo cách vẽ)

PD =BQ (cmt); B
1
1
⇒ ∆ BQP = ∆ PDC (c – g – c) ⇒ PQ = CD (2 cạnh tương ứng)
1
2

1
2

Mà PQ = CE ⇒ CD = CE
Trong các cách trên có thể thấy được với cùng một phương pháp giải là vận
dụng tính chất được chứng minh ở ví dụ 2: Trong một tam giác đoạn thẳng nối
trung điểm của hai cạnh thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại nhưng ta có
thể vẽ thêm yếu tố phụ theo nhiều cách khác nhau, tuy nhiên cần chọn cách vẽ
thêm yếu tố phụ sao cho việc giải bài toán được thuận lợi và dễ dàng nhất..
Ngoài 5 cách giải trên ta cũng có thể giải bài toán theo cách sau :
* Cách 6 :
Yếu tố phụ vẽ thêm trong cách này là Trên tia đối của tia DC lấy điểm I sao
cho: DI = DC. Với cách vẽ này ta sã giải bài toán trên mà không cần vận dụng tính
chất được chứng minh ở ví dụ 2 như sau:
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

25