Chuyên đề tích phân trong thi thpt quốc gia

Chuyên đề 7: Tích phân và ứng dụng
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email :
Yahoo: changtraipkt
Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 7:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

448
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


Chuyên đề 7: Tích phân và ứng dụng

449
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email :
Yahoo: changtraipkt
Mobile: 0976266202

Các bài toán tích phân trong đề thi TSĐH được đánh giá là bài toán quan trọng, luôn xuất hiện
dưới dạng tính tích phân trực tiếp hoặc là xác định diện tích, thể tích giới hạn bởi các đường

cong.
Để làm tốt dạng toán này học sinh nên lưu ý nhớ và vận dụng lịnh hoạt công thức các nguyên
hàm cơ bản, cách xác định công thức tính thể tích và diện tích giới hạn bởi các đường cong.
Hai phương pháp cơ bản được sử dụng xuyên suốt cho các bài toán tích phân là đổi biến và tích
phân từng phần( thường là kết hợp cả 2 phương pháp này).

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Khái niệm nguyên hàm của một hàm số:
Hàm số f ( x) xác định và liên tục trên khoảng D
Hàm số F ( x) được gọi là một nguyên hàm của f ( x) nếu F '( x)  f ( x), x  D
Và nguyên hàm của f ( x) được xác định theo công thức, thực chất đây chỉ là ký hiệu của nguyên
hàm của một hàm số:
F ( x)   f ( x) dx

Để tìm nguyên hàm của một hàm số chúng ta dựa vào nguyên hàm của một số hàm cơ bản:
Nguyên hàm của một số hàm cơ bản:

 x dx 



x 1
 c,   1
 1

dx
 ln x  c
x

 cos xdx  sin x  c
450
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

 sin xdx  cos x  c
sin x

 tan xdx   cos x dx   ln cos x  c
cos x

 cot xdx   sin x dx  ln sin x  c
x


2

dx
1
xa

ln
c
2
a
2a x  a
dx

2

 ln x  x 2  a  c

x a

Khái niệm tích phân của một hàm số:
Tích phân của một hàm số f ( x) được xác định trên một đoạn  a, b  là giá trị của F (b)  F (a) và
b

được ký hiệu là

 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a

MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN

Dưới đây sẽ trình bày một số bài toán cơ bản nhất của tích phân, cách thức tiến hành là đưa biểu
thức dưới dấu tích phân về dạng

 f (u)du .

1
100

Bài 1. Tính tích phân I    2 x  1 x  1

dx

0

Lời giải:
1

1
100

Ta có I    2 x  1 x  1
0

1
100

dx    2  x  1  1  x  1
0

dx  2   x  1
0

451
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1
101

dx    x  1
0

100

dx


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1

1
101

 2  x  1

100

d  x  1    x  1

0

d  x  1 

0

1
1
152
102 1
100 1

.
 x  1   x  1

51
0 101
0 5151

0

Bài 2. Tính tích phân I 

x

2 x  1dx

1
2

Lời giải:
0

Ta có I 



0

x 2 x  1dx 

1
2



 2 x  1  1

2 x  1dx 

2

1
2

0

0

2

2

3
1
1
1
 2 x  1 2 dx    2 x  1 2 dx

2 1
2 1

0
0
0

0
3
1
5
3
1
1
1
1
1
   2 x  1 2 d  2 x  1    2 x  1 2 d  2 x  1   2 x  1 2 1   2 x  1 2 1  .
4 1
4 1
10
6
15
2
2
2
2
1

Bài 3. Tính tích phân I  
0

x4  5
dx.
x 1

Lời giải:

1

Ta có I  
0

1

1

1

   x 3  x 2  x  1  
0

1

x4  5
x4 1  6
6 

dx  
dx    x  1  x2  1 
dx
x 1
x 1
x  1
0
0

0

1 7
1
1
6
1
x2
dx   x 4  x3   x   6 ln x  1 
.
x 1
3
2
0 12
4
0

Bài 4. Tính tích phân I  

dx
.
x  1  x 1

Lời giải:
Ta có I  

dx
1
 
x  1  x 1 2
4

Bài 5. Tính tích phân I  
1





x  1  x  1 dx 

1
x  ex

dx
4x
xe 2 x

452
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

1
3

 x  1

3



1
3

 x 1

3

 c.


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Lời giải:
4

Ta có I  
1

2

4

1
 1
 1

 x  dx   
 e x dx 

2 x e 


12 x



x  e x

4

 1  1  1e  e1

4

cos5 x
Bài 6. Tính tích phân I  
dx.
1  sin x

Lời giải:

cos3 x 1  sin 2 x 
cos5 x
Ta có I  
dx  
dx   cos3 x 1  sin x dx
1  sin x
1  sin x
  cos 3 xdx   cos 3 x sin xdx   1  sin 2 x  d  sin x    cos 3 xd  cos x 

1

1
 sin x  sin 3 x  cos 4 x  c.
3
4

4

Bài 7.Tính tích phân I  
0

x sin x   x  1 cos x
x sin x  cos x

dx.

Lời giải:


4

Ta

có

I 
0

x sin x   x  1 cos x
x sin x  cos x


4

dx  



x sin x  cos x

0



 4

d  x sin x  cos x  

 4 2
 x 4 
  ln x sin x  cos x 4   ln
.
x sin x  cos x
4
4
8
0
0
0
Bài 8. Tính tích phân I  



 x sin x  cos x   x cos x dx  4 dx  4

tan 3 x
dx.
cos2 x

453
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


0

x cos x

 x sin x  cos x dx
0


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Lời giải:

tan 3 x
tan 3 x
tan 3 x
tan 3 x
Ta có I  
dx  

dx  
dx  
d  tan x
cos2 x
cos2 x  sin 2 x
1  tan 2 x
cos 2 x 1  tan 2 x 
tan x
 tan x

 
 tan x d  tan x   
d  tan x    tan xd  tan x 
2
1  tan 2 x
 1  tan x

2
1 d 1  tan x  1 2
1
1
 
 tan x   ln 1  tan 2 x  tan 2 x  c.
2
2
1  tan x
2
2
2

2





Bài 9. Tính tích phân I   min x 2 , x dx.
0

Lời giải:




x  x .

Xét x 2  x  0  x x x  1  0  x  1.



Vậy với 0  x  1  min x 2 ,



2



Với 1  x  2  min x 2 , x  x .
2





1





2





Vậy I   min x 2 , x dx   min x 2 , x dx   min x 2 , x dx
0

0

1

1

2

2 4 2 1
1 1 2

  x dx   xdx  x 3  x x 
.
3 0 3
1
3
0
1
2


4

Bài 10. Tính tích phân I 

 min  tan x, x  dx.



4

Lời giải:
  
Xét hàm số f ( x)  tan x  x trên đoạn   ;  .
 4 4

454
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Ta có f '( x) 

1
  
 1  0, x    ;   f ( x ) là hàm số đồng biến trên đoạn
2
cos x
 4 4

  
 4 ; 4  .



Ta có f (0)  0. Từ đó suy ra
  
  
  
f ( x)  f (0)  0, x    ; 0   tan x  x, x    ; 0   min  tan x, x   tan x, x    ; 0 
 4 
 4 
 4 
 
 
 
f ( x)  f (0)  0, x  0;   tan x  x, x   0;   min  tan x, x   x, x  0;  .
 4
 4
 4


4


4

0

 min  tan x, x  dx   min  tan x, x  dx   min  tan x, x dx

Vậy I 




4




4

0


4

 0
0
1 2

sin x
2
2
2
  tan xdx   xdx  x 4  
dx 
 ln cos x  
 ln
.
2
32
32
2


 cos x
0

0 4
4
4
0

2

Bài 11. Tính tích phân I   x 1  x dx.
0

Lời giải:
Với 0  x  1  1  x  0  1  x  1  x.

Với 1  x  2  1  x  0  1  x  x  1.
2

1

2

Vậy I   x 1  x dx   x 1  x  dx   x  x  1 dx
0

0

1

1 1 1
1 2
1
  x 2  x 3    x 3  x 2   1.
3  0 3
2 1
2
3

Bài 12. Tính tích phân I  
0

x2  x
x2  3

dx .

L ời gi ải:

455
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1

Ta c ó I  
0

1

 
0

x2  x
x2  3

3

dx  
1

x2  x
x2  3

dx

3

x2  x
x2  x
dx

1 x 2  3 dx
x2  3

2
1
1
1
1
x2  x
x
3 
1 d  x  3
3

Xét K    2
dx     1  2
 2
dx    dx  
 2
dx

2

x 3
x 3 x 3
2 0 x 3
x 3
0
0
0
0
1

1

1 4
3dx
 1  ln   2
2 3 0 x 3

Đặt x  3 tan t  dx  3

dt

; x  0  t  0; x  1  t  .
2
cos t
6

6

1 4
1 4

3
Khi đó K  1  ln  3  dt  1  ln 
.
2 3
2
3
6
0
3

x2  x
1
3
Tương tự : L   2
.
dx  2  ln 3 
2
6
1 x 3

Vậy I  K  L  1  ln

2
.
3
1

Bài 13. Tính tích phân I  
0

x2  e x  2 x 2e x
dx.
1  2e x

Lời giải:
1 2
1
1
x 1  2e x   e x
x 2  e x  2 x 2e x
e x dx
2
Ta có I  
dx  
dx   x dx  
1  2e x
1  2e x
1  2e x
0
0
0
0
1

1 1 1 d 1  2e
 x3  
3 0 2 0 1  2e x
1

x

  1  1 ln 1  2e
3

2

e

Bài 14. Tính tích phân I  
1

x

1

1 1
1
  ln 1  2e  ln 3.
0 3 2
2

ln xdx
x



2  ln x  2  ln x

456
Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam



.


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Lời giải:
Đặt t  ln x  dt 
1

1
 2t  2t
tdt
  t 
2t
2t  2t 0 

Vậy I  
0



1
3

dx
; x  1  t  0; x  e  t  1

x

2  t 

3

1

1
0 3


2 t

3

Bài 15. Tính tích phân I  


11
dt  
20






2  t  2  t dt

1

1 4
 3 
2
0
3 3

xn
dx,  n  * 
x2 x3
xn
1  x    ... 
2! 3!
n!

Lời giải:
Đặt f n ( x )  1  x 

vậy I  

x2 x3
xn
x 2 x3
x n 1
  ...   f 'n ( x)  1  x    ... 
 f ( x)
2! 3!
n!
2! 3!

 n  1 ! n1

n ! f n ( x)  f n1 ( x) 


f ( x) 
f ' ( x) 
dx  n!  1  n1 dx  n!   1  n
dx
f n ( x)
f n ( x) 
f n ( x) 




x 2 x3
xn 
 n ! x  n !ln f n ( x)  C  n ! x  n !ln  1  x    ...    C
2! 3!
n! 


1

Bài 16. Tính tích phân I 

 1 x  x

1

dx
2

 x4  3x 2  1

.

Lời giải:

1  x  x   x
Ta có I  
1  x  x    x
1

1

2

2 2

4

 3x2  1

1

1

1  x  x2

x 4  3x2  1
dx  
dx  
dx
2
2
4
 3x 2  1
1 2 x 1  x 
1 2 x 1  x 

457
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

 




1
1 x  x
1
1
1
4  .




Xét tích phân M  
dx


dx

ln
x

arctan
t
  2 x 2 1  x 2   2  1
2

4
1 2 x 1  x 
1 

 

4

1

1

N

1

2

x4  3x2  1
dx , đặt x  t  dx  dt; x  1  t  1; x  1  t  1.
2 x 1  x 2 



1

4

Khi đó

2

1
 t   3  t   1
N
 dt    
2
2  t  1   t  
1
1
1

Vậy I  M  N 

t 4  3t 2  1
dt   N  N  0 .
2t 1  t 2 


.
4

1

Bài 17. Tính tích phân I  
0

dx

1  x 
n

n

1  xn

Lời giải:
Ta có



dx

1  x 

1 

  1  n 
 x 

n

1

1
n

n

x

1  xn

 n 1



dx
1 
1

x n 1  n  x n 1  n
x
 x 

1 
1 
dx     1  n 
n  x 

1 

Từ đó suy ra I   1  n 
 x 



1
n

1

1
n



x n 1 dx
1

1 

1  n 
 x 

1
n

1  
1 

d  1  n   1  n 
 x   x 



1
n

C

1
1
n .
0
2

Bình luận: ở ví dụ này ta không trực tiếp tính I luôn, bởi phép biến đổi trên không thể thực hiện
với mọi x   0,1 nên thong qua nguyên hàm sau đó tính tích phân sau( kỹ thuật giấu cận).

458
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

2

Bài 18. Tính tích phân I  

6

cos x  sin x
dx
 e sin x  1 sin x
x

Lời giải:

2


2

6

6

e x  cos x  sin x 
cos x  sin x
Ta có I   x
dx   x
dx

x
  e sin x  1 sin x
  e sin x  1 e sin x


1 6

Đặt t  e sin x  dt  e  sin x  cos x  dx; x   t  e ; x   t  e 2
6
2
2
x

x





Vậy I 

 

1
t
  e6  2 
dx  ln
ln
 


t  t  1
t  1 1 6 3  2
e
e  1 

2
e2

e2





1 6
e
2

ln 2

Bài 19. Tính tích phân I 



x

2

 2  e 2 x  x 2 1  e x   e x
e2 x  e x  1

0

dx

Lời giải:
ln 2

Ta có I 


0

x 2  e 2 x  e x  1  2e2 x  e x
e2 x  e x  1

ln 2

dx 



ln 2

x2 dx 

0

0

ln 2
1 ln 2
ln 3 2
 x3
 ln e 2 x  e x  1
 2
3 0
0
3

1

Bài 20. Tính tích phân I  
0

xdx
1  x2 



1  x2





3

.

459
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

2e 2 x  e x
dx
e2 x  e x  1


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Lời giải:
1

Ta có I  
0

x
1  x2

1

1

.

1  1  x2

dx  
0

1



1  1  x2

2

e

 ln x 
Bài 21. Tính tích phân I   
 dx .
2

ln
x


1

Lời giải:
e
4 ln x  4
I   1 
2

 ln x  2 
1

e

4  ln x  2   4 x  ln x  2  ' 
dx    1 
dx
2



ln
x

2


1



e
4x  
4x  e
e

 dx
x
1



ln x  2  
ln x  2  1
3

1

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1
100

Bài 1. Tính tích phân I   x 1  x 

dx

0
1
100

Bài 2. Tính tích phân I    2 x  1 x  1

dx

0

0

Bài 3. Tính tích phân I    x  1

2

100

 x  1

dx

1
0

Bài 4. Tính tích phân I 

 3x  4

2 x  1dx

1
2

0

Bài 5. Tính tích phân I 

  x  1

2

 

d 1  1  x2  1  1  x2

x  1dx

1
2

Bài 6. Tính tích phân I   x 2 x 2  1 dx
0

460
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

 10 

2 1


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

2

Bài 7. Tính tích phân I    cos3 x  1 sin 2 xdx
0


2

Bài 8. Tính tích phân I   max  sin x, cos x  dx
0


4

2 x cos x   x  2  sin x

Bài 9. Tính tích phân I  

x cos x  sin x

0

2

x 2 1  e x   e x

1

Bài 10.Tính tích phân I  

1  ex

0

ln 2

Bài 11. Tính tích phân I 

dx



0


3

Bài 12. Tính tích phân I  

dx

2e x  3
dx
e x  2e  x  3

xe x  4  4  sin x  cos x   sin 2 x 

1  cos x 

0

2


2

Bài 13. Tính tích phân I 

 min  tan x  2 sin x,3 x  dx.




2


4


x2
Bài 14. Tính tích phân I   max  e x  cos x, 2  x 
2

0


dx .


e

ln x 3 2  ln x
Bài 15. Tính tích phân I  
dx
x
1
x 1

ln  x  1  x  2 
Bài 16. Tính tích phân I   
 x  1 x  2 
1
2

3

Bài 17. Tính tích phân I 

e

x 2 1


 dx .

dx

x 1

0

Bài 18. Tính tích phân I  

x
2

x2

x
2

x  1 cos 4 x 2  1

dx .

461
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

dx


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Bài 19. Tính tích phân I  

x 2011

ln 5

Bài 20. Tính tích phân I 

 10e

dx
x

ln 2

0

Bài 21. Tính tích phân I 

dx

1005

1  x 2 

 1 e x  1

dx

 1

 x  x  1

1

2

.


4

Bài 22. Tính tích phân I 

.

 cos 2 x  sin x




4

dx
sin x  sin 2 x  cos2 2 x


4

cos 2 x
dx .


3

sin x sin  x  
6
4


Bài 23. Tính tích phân I  

2

dx

Bài 24. Tính tích phân I  

x  x 2012  1

1

3ln 2

Bài 25. Tính tích phân I 


0

dx



3

ln 3

Bài 26. Tính tích phân I 

e

ln 2

.



ex 1

2

e 2 x dx
x

 1  ex  2

3

2 x2  x  1
dx
x 1
0

Bài 27. Tính tích phân I  
5

Bài 28. Tính tích phân I  
1





x  2 x  1  x  2 x  1 dx


2

1
Bài 29. Tính tích phân I   sin x sin 2 x  dx
2


6

462
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

.


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

2

Bài 30. Tính tích phân I   10 1  cos 5 x sin x cos 9 xdx
0

1

Bài 31. Tính tích phân I  
0

xdx
2

x 1  x2  1

1

x  e2 x

dx
xe x  e 2 x

Bài 32. Tính tích phân I  
0
e

x 1
dx
x 1  xe x 

Bài 33. Tính tích phân I  
0

3

Bài 34. Tính tích phân I 

 1 x
1
3

2

dx
 x 98  x100

1

dx

Bài 35. Tính tích phân I  

2

0

Bài 36. Tính tích phân I 



x 1 x 1  x2 1

0



sin 4 x

 1  sin x 1  cos x  dx




4

2

Bài 37. Tính tích phân I  
1


2

Bài 38. Tính tích phân I  
0

1
2

Bài 39. Tính tích phân I  
0

1

Bài 40. Tính tích phân I  
0

dx
x2





x2 1 1

sin x 1  14 x cos x   x sin 4 x
7  2 cos 2 x

dx
x 1 x 2  x  1 x

x 2 e 2 x  3xe x  e x  1
dx
xe x  1

463
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

dx


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

2

Bài 41. Tính tích phân I  

x

2

 1 sin 2 x  x  cos x  sin 2 x   1
x sin x  cos x

0

2

Bài 42. Tính tích phân I  

x 3 x 3  8   3 x3  5 x 2  ln x
x

1

dx

dx



4 sin 2 x  cos 2 2 x  2 cos 2  2 x  
4

Bài 43. Tính tích phân I  
dx
4
4
sin x  cos x
0

2

 x  1 x2010 dx
2011
 x 2011
2  x  1

5

Bài 44. Tính tích phân I  

0

Bài 45. Tính tích phân I 



1

dx
1 1 x

Bài 46. Tính nguyên hàm của I  

dx
 x  a  x  b2  x 2  c2 
2

2

2

TÍCH PHÂN CÁC HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

Xét tích phân I  

I  G ( x)  

P* ( x )
dx thực hiện phép chia đa thức ta được
Q( x )

P ( x)
dx trong đó P* ( x), G( x ), P( x ), Q ( x) là các đa thức hệ số thực và bậc của P ( x)
Q ( x)

nhỏ hơn bậc của Q( x) .
Để tính tích phân các hàm phân thức hữu tỉ ta tiến hành phân tích

P ( x)
thành tổng của các hàm
Q( x )

phân thức đơn giản.
+ Nếu Q ( x)   x  x1  x  x2  ...  x  xn  , trong đó xi là các nghiệm của đa thức Q( x) thì ta giả sử
phân tích được:

464
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
P ( x)
A1
A2

An


 ... 
.
Q ( x) x  x1 x  x2
x  xn
k

+ Nếu Q( x)   x  x1  x  x2  ...  x  xi  ... x  xn  , trong đó xi là các nghiệm của đa thức Q( x)
và k là số nghiệm bội xi , thì ta giả sử
 A
A
A2
Ai 2
Aik 
A
P ( x)
 1 
 ...   i1 

...

 ... n .
2
k 
Q( x) x  x1 x  x2
 x  xi   x  xn
 x  xi  x  xi 
+ Nếu Q ( x)   x  x1  x  x2  ...  x 2  px  q  ... x  xn  , trong đó phương trình x 2  px  q  0

vô nghiệm, ta giả sử phân tích được
P ( x)
A1
A2
Bx  C
A


 ...  2
 ... n .
Q( x) x  x1 x  x2
x  px  q
x  xn
k

+ Nếu Q ( x)   x  x1  x  x2  ... x 2  px  q  ... x  xn  , trong đó phương trình x 2  px  q  0
vô

nghiệm,

ta

giả

sử

phân

tích

được



P ( x)
A
A
B x  C1
B2 x  C2
Bk x  Ck 
A
 1  2  ...   2 1


...

 ... n . Sau đó
2
k
 x  px  q  x 2  px  q 
Q( x) x  x1 x  x2
 x2  px  q   x  xn

đồng nhất hai vế của các đẳng thức và so sánh hệ số hai vế ta suy các hệ số cần xác định ở tử
thức mỗi phân thức đơn giản hoặc có thể thay các giá trị đặc biệt của x vào hai vế.
Cách nhớ phân tích là nếu mẫu là tam thức bậc hai thì tử thức có dạng Bx  C .

Một số khai triển nhanh( nên nhớ)



1

 x  a  x  b 



1  x  b   x  a
1  1
1 
.



.
a  b  x  a  x  b 
a b x b x  a 
2



1
2

 x  a   x  b


1

 a  b

2
  x  b   x  a 
1  1
1 

.

 

2 
2 
 a  b    x  a  x  b    a  b   x  b x  a 

1

2

2

 1
1
2  1
1 





 .

2
2
  x  a   x  b  a  b  x  b x  a  

465
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

BÀI TẬP MẪU

Bài 1.Tính tích phân I  

x3  1
dx .
x3  5 x2  6 x

Lời giải:
Ta có
Giả sử

x3  1
5x2  6 x  1

1

và x 3  5 x 2  6 x  x  x  2  x  3 .
x3  5 x 2  6 x

x3  5x 2  6 x
5x 2  6 x  1 A
B
C
 

, x
3
2
x  5x  6 x x x  2 x  3

 5 x 2  6 x  1  A  x  2 x  3  Bx  x  3  Cx  x  2 , x(*) .
1
Thay x  0 vào (*) suy ra 1  6 A  A  .
6
9
Thay x  2 vào (*) suy ra 9  2 B  B   .
2
Thay x  3 vào (*) suy ra 28  3C  C 

28
.
3


1
9
28 
Vậy I   1 



 dx
 6 x 2  x  2  3  x  3 

  dx 

1 dx 9 dx
28 dx
 
 

6 x 2 x2 3 x 3

1
9
28
 x  ln x  ln x  2  ln x  3  c.
6
2
3
Bài 2. Tính tích phân I  

3 x 2  3x  3

 x  2  x  1

2

dx .

Lời giải:

466
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Giả sử

3x 2  3x  3

 x  2  x  1



2

A

 x  1

2



B
C

, x

x 1 x  2
2

 3x 2  3 x  3  A  x  2  B  x  1 x  2   C  x  1 , x (*)

Thay x  1 vào (*) suy ra 9  3 A  A  3.
Thay x  2 vào (*) suy ra 9  9C  C  1.
Thay x  0 vào (*) suy ra 3  2 A  2 B  C  B  2.
 3
2
1 
Vậy I   


dx
2
  x  1

x

1
x

2


 3



dx

 x  1

2

 2

dx
dx

x 1
x2

3
 2 ln x  1  ln x  2  c.
x 1
1

Bài 3. Tính tích phân I  
0

x2 1
dx.
x4  1

Lời giải:
2







Ta có x 4  1   x 2  1  2 x 2  x 2  x 2  1 x 2  x 2  1 .

x2  1
Ax  B
Cx  D
Giả sử 4
 2
 2
, x
x 1 x  x 2 1 x  x 2 1









 x 2  1   Ax  B  x 2  x 2  1   Cx  D  x 2  x 2  1 , x

467
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG









 x 2  1   A  C  x 3   A 2  B  C 2  D x 2  A  B 2  C  D 2 x  B  D, x


2
A  
2

A  C  0
1


B


A
2

B


C
2

D

1


2


A  B 2  C  D 2  0
C  2
 B  D  1

2


D   1

2
1
 2 2x  2
2 2x  2 
Vậy I   

dx
2
4 x  x 2  1 4 x 2  x 2  1 
0



2 1 2x  2
2 1 2x  2
dx

dx
4 0 x 2  x 2  1
4 0 x 2  x 2  1



1
2
2
ln x 2  x 2  1  ln x 2  x 2  1 
ln 3  2 2 .
0 4
4





2

Bài 4. Tính tích phân I  
1

dx
.
x  x 3  1

Lời giải:
Ta có x  x3  1  x  x  1  x 2  x  1
Giả sử

1
A
B
Cx  D
 
 2
, x .
3
x  x  1 x x  1 x  x  1

 1  A  x 3  1  Bx  x 2  x  1   Cx  D  x  x  1 , x(*)

Thay x  0 vào (*) suy ra 1  A  A  1.

1
Thay x  1 vào (*) suy ra 1  3B  B   .
3
Đồng nhất hệ số của x3 , x 2 ở hai vế ta được

468
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam






TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
2

C

A  B  C  0

3


 B  C  D  0
D  1

3
2
1
1
1 2x  1 
Vậy I    
 2
dx
x 3  x  1 3 x  x  1 
1

2


1

dx 1 2 dx 1 2 2 x  1


dx
x 3 1 x  1 3 1 x2  x  1

1
1

2 2 4
  ln x  ln x  1  ln x 2  x  1   ln .
3
3

1 3 3

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1

3x  1
dx .
x  1 x  2 
0 

Bài 1. Tính tích phân I  

1

3x  1

Bài 2. Tính tích phân I  

 x  1

0

1

3

dx.

x2  1
dx.
x 4  x2  1

Bài 3. Tính tích phân I  
0

2

x4  1
Bài 4. Tính tích phân I   6
dx.
x 1
1

2

x 2  10
dx.
x3  2 x 2  5x

Bài 5. Tính tích phân I  
1

2

dx
.
x  x2 1

Bài 6.Tính tích phân I  

4

1

3

Bài 7. Tính tích phân I 


0

4

Bài 8. Tính tích phân I  
3

x3
dx.
x2  1

3x 3
dx.
x2  3x  2

469
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
2

Bài 9. Tính tích phân I  
1

x3

 x  1
3

Bài 10. Tính tích phân I 

2

dx

 x x

3

dx.

.

0

2

Bài 11. Tính tích phân I  
1

1

Bài 12. Tính tích phân I  
0
1

Bài 13. Tính tích phân I  
0

dx
.
x  x3

5

dx
.
x 1
3

x5
dx.
x2 1

1

Bài 14. Tính tích phân I  
0

x

1  2 x 

3

dx.

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CÓ MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC

Xin đề cập dưới đây các bài toán kèm theo kỹ thuật biến đổi tương ứng với mỗi ví dụ. Những kỹ
thuật biến đổi dưới đây rất tự nhiên và dễ hiểu.Vì vậy khi đọc kỹ các ví dụ này các bạn có thể
nắm bắt được kỹ thuật và áp dụng vào các bài toán tương tự.

BÀI TẬP MẪU

2

dx
.
x  1 x  2 
0 

Bài 1.Tính tích phân I  

Lời giải:
dx
1  x  2    x  1
1  1
1 
Ta có I  
 
dx   

dx
x  1 x  2  3 0  x  1 x  2 
3 0  x 1 x  2 
0 
2

2

2

470
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1  2 dx 2 dx  1 x  1 2
 

  ln 2.
  ln
3  0 x  1 0 x  2  3 x  2 0
3

dx
.
x  3  x  6  x  9 
0 

Bài 2. Tính tích phân I  

Lời giải:
3
 x  9    x  3 dx
dx
1
Ta có I  
 
x  3 x  6  x  9  6 0  x  3 x  6  x  9 
0 

3



3
3
 1  3  x  6    x  3
1 3
dx
dx
 x  9    x  6 dx 


dx







6  0  x  3 x  6 0  x  6  x  9  18  0  x  3 x  6
x  6 x  9
0 




3
 x  3 x  9 3  ln 32 .

1  1
1
1
1 
1




 dx  ln
2

0
18 0  x  3 x  6 x  6 x  9 
18
27
 x  6

Bài 3. Tính tích phân

10

 3 x  5 dx.
I 
12
0  x  2
1

Lời giải:
Ta có

10

10
1
3x  5 

dx
 3x  5 
I 
dx   

12
x  2   x  2 2
0  x  2
0
1

10

11

1
1  3 x  5   3x  5  1  3x  5  1
 
 d



11 0  x  2   x  2  121  x  2  0

Bài 4. Tính tích phân

99

 7 x  1 dx.
I 
101
0  2 x  1
1

Lời giải:
Ta có

99

99
1
7 x  1

dx
 7x 1 
I 
dx   

101
2 x  1   2 x  1 2
0  2 x  1
0
1

471
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam


TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
99

1

100

1  7 x 1 
1  7x 1 
 7 x 1 
 
 d



9 0  2x  1 
 2 x  1  900  2 x  1 

Bài 5. Tính tích phân I  

dx
5

 x  3  x  5 

3

1
0



2100  1
.
900

.

Lời giải:
Ta có I  

dx
5

 x  3  x  5 

3



dx
5

8

 x 3

  x  5
 x5



1
 x3


 x5

5

.

1
6

.

dx

 x  5  x  5

6

2

  x  3   x  5    x  3  1 1
1
1
x3
6
 7
.
.
 d
  7  5  t  1 dt , t 
5 
2  x3 
x5
x5
  x 5 2 t


 x5



1 t 6  6t 5  15t 4  20t 3  15t 2  6t  1
dt
27 
t5



1  t2
20 15 2 1 

 6t  15ln t   2  3  4   c .
7 
2 2
t 2t t
4t 
3

Bài 6. Tính tích phân I  
1

dx
.
x  3x
3

Lời giải:
2
3
3 2
3
3
dx
dx
1 x   x  3
1  xdx
dx 
Ta có I   3

 
dx    2

 
2
2
x  3 x 1 x  x  3  3 1 x  x  3
3 1 x 3 1 x 
1
3

2
3
3
1  1 d  x  3
dx  1  1
1
3
   ln x 2  3  ln x    ln 3.
  

2

3 2 1 x 3
x  32
6
1
1



Bài 7.Tính tích phân I  

dx
.
x  3x5
9

Lời giải:

472
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam