Chuyên đề tích phân trong thi thpt quốc gia
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.28 MB, 120 trang )
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN
(ĐÁP ÁN CHI TIẾT)
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
Toàn bộ tài liệu của thầy ở trang:
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP
:………………………………………………………………….
TRƯỜNG
:…………………………………………………………………
HÀ NỘI, 4/2014
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Toàn bộ tài liệu luyện thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng:
HT 1.Tính các tích phân sau:
1
a) I1 =
∫
1
x 3dx
b) I 2 =
0
∫
1
(2x + 1)3 dx
0
∫ (1 − 4x ) dx
3
0
1
d) I 4 =
c) I 3 =
1
∫ (x − 1)(x
2
3
− 2x + 5) dx
e) I 5 =
0
∫ (2x − 3)(x
2
− 3x + 1)3 dx
0
Bài giải
1
a) I1 =
∫
0
x 3dx =
x4 1 1
=
4 0 4
1
b) I 2 =
1
∫ (2x + 1) dx Chú ý: d(2x + 1) = 2dx ⇒ dx = 2 d(2x + 1)
3
0
1
⇒ I2 =
∫
(2x + 1)3 dx =
0
1
2
1
∫
(2x + 1)3 d(2x + 1) =
0
1 (2x + 1)4
2
4
1
c) I 3 =
1
0=
81 1
− = 10
8
8
1
∫ (1 − 4x ) dx Chú ý: d(1 − 4x ) = −4dx ⇒ dx = − 4 d(1 − 4x )
3
0
1
⇒ I3 =
∫
0
1
(1 − 4x ) dx = −
4
3
1
d) I 4 =
∫ (x − 1)(x
2
0
1
⇒ I4 =
∫
0
=
1
∫
(1 − 4x )3 d(1 − 4x ) = −
0
1
0=
−
81
1
+
= −5
16 16
1
− 2x + 5)3 dx Chú ý: d(x 2 − 2x + 5) = (2x − 2)dx ⇒ (x − 1)dx = d (x 2 − 2x + 5)
2
1
(x − 1)(x − 2x + 5) dx =
2
1 (x 2 − 2x + 5)4
.
2
4
1 (1 − 4x )4
4
4
2
3
1
0 = 162 −
1
∫ (x
2
− 2x + 5)3 d(x 2 − 2x + 5)
0
615 671
=
8
8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 1
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
1
e) I 5 =
∫ (2x − 3)(x
2
− 3x + 1)3 dx Chú ý: d (x 2 − 3x + 1) = (2x − 3)dx
0
1
⇒ I5 =
1
∫ (2x − 3)(x
2
3
− 3x + 1) dx =
0
=
∫ (x
2
− 3x + 1)3 d (x 2 − 3x + 1)
0
(x 2 − 3x + 1)4
4
1
0=
1 1
− =0
4 4
HT 2.Tính các tích phân sau:
1
a) I 1 =
7
∫
b) I 2 =
xdx
0
c) I 3 =
2
1
d) I 4 =
∫
4
x + 2dx
∫x
1 + x dx
e) I 5 =
0
∫x
1
2
1 − x dx
∫
f) I 6 =
0
∫ (1 − x )
x 2 − 2x + 3dx
0
1
g) I 7 =
2x + 1dx
0
1
2
∫
1
x 2 x 3 + 1dx
h) I 8 =
0
∫ (x
2
− 2x ) x 3 − 3x 2 + 2dx
0
Bài giải
1
a) I 1 =
∫
0
xdx =
2
2
x x 10 =
3
3
7
b) I 2 =
∫
x + 2dx =
2
4
c) I 3 =
∫
0
2
16 38
(x + 2) x + 2 27 = 18 −
=
3
3
3
1
2x + 1dx =
2
1
d) I 4 =
∫
x 1 + x 2 dx =
0
1
e) I 5 =
∫
0
1
f) I 6 =
∫
0
4
∫
2x + 1d (2x + 1) =
0
1
2
1
∫
1 + x 2 d (1 + x 2 ) =
0
1
x 1 − x dx = −
2
2
1
∫
0
1 2
. (1 + x 2 ) 1 + x 2
2 3
1
0=
1 2
1 − x 2 d (1 − x 2 ) = − . (1 − x 2 ) 1 − x 2
2 3
1
(1 − x ) x − 2x + 3dx = −
2
2
1 2
1 26
. (2x + 1) 2x + 1 40 = 9 − =
2 3
3
3
2 2 1
−
3
3
1
0=
0+
1 1
=
3 3
1
∫
x 2 − 2x + 3d (x 2 − 2x + 3)
0
1 2
2 2
= − . (x 2 − 2x + 3) x 2 − 2x + 3 10 = −
+ 3
2 3
3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 2
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
1
g) I 7 =
∫x
1
x + 1dx =
3
2
3
0
1
h) I 8 =
∫
0
=
0968.393.899
1
∫
x 3 + 1d (x 3 + 1) =
0
1
(x − 2x ) x − 3x + 2dx =
3
2
3
2
1 2 3
4 2 −2
. (x + 1) x 3 + 1 10 =
3 3
9
1
∫
x 3 − 3x 2 + 2d (x 3 − 3x 2 + 2)
0
1 2 3
4 2
4 2
. (x − 3x 2 + 2) x 3 − 3x 2 + 2 10 = 0 −
=−
3 3
9
9
HT 3.Tính các tích phân sau:
4
a) I1 =
∫
1
∫
0
b) I 2 =
x
1
d) I 4 =
1
dx
0
dx
∫
c) I 3 =
2x + 1
0
∫
−1
1
(x + 1)dx
e) I 5 =
2
x + 2x + 2
∫
0
dx
1 − 2x
(x − 2)dx
x 2 − 4x + 5
Bài giải
4
a) I 1 =
∫
1
dx
x
1
b) I 2 =
∫
0
0
c) I 3 =
∫
−1
dx
2x + 1
∫
0
1
e) I 5 =
∫
0
=
1
2
1
∫
(x + 1)dx
2
x + 2x + 2
d(2x + 1)
= 2x + 1 10 = 3 − 1
2x + 1
0
1
=−
2
1 − 2x
dx
1
d) I 4 =
= 2 x 14 = 4 − 2 = 2
0
∫
d (1 − 2x )
=
1
2
1 − 2x
−1
1
∫
0
= − 1 − 2x −
1 = −1 + 3
d(x 2 + 2x + 2)
0
2
x + 2x + 2
= x 2 + 2x + 2 10 = 5 − 2
1
1 d (x 2 − 4x + 5)
=
= x 2 − 4x + 5 10 = 2 − 5
2
2
2
x − 4x + 5
x − 4x + 5
0
(x − 2)dx
∫
HT 4.Tính các tích phân sau:
0
e
a) I 1 =
∫
dx
x
1
1
d) I 4 =
(x + 1)dx
∫ x 2 + 2x + 2
0
b) I 2 =
∫
−1
1
dx
1 − 2x
c) I 3 =
0
1
e) I 5 =
xdx
∫ x2 + 1
x −2
∫ x 2 − 4x + 5 dx
0
Bài giải
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 3
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
e
a) I 1 =
∫
dx
= ln x e1 = ln e − ln 1 = 1
x
1
0
b) I 2 =
∫
−1
1
c) I 3 =
∫
0
1
d) I 4 =
∫
0
dx
1
=−
1 − 2x
2
1
=
2
2
x +1
xdx
∫
−1
1
∫
d(1 − 2x )
1
1
ln 3
0
= − ln 1 − 2x −
1 = − (ln 1 − ln 3) =
1 − 2x
2
2
2
(
2
x +1
0
1
1
=
2
2
x + 2x + 2
x −2
∫ x 2 − 4x + 5
) = 1 ln x
d x2 + 1
(x + 1)dx
1
e) I 5 =
0
∫
0
1
2
+1
d(x 2 + 2x + 2)
x + 2x + 2
1
∫
d (x 2 − 4x + 5)
2
x − 4x + 5
0
1
ln 2
(ln 2 − ln 1) =
2
2
1
0=
1
1
1 5
ln x 2 + 2x + 2 10 = (ln 5 − ln 2) = ln
2
2
2 2
=
2
0
dx =
2
2
=
1
ln x 2 − 4x + 5
2
1
0=
1
1 2
(ln 2 − ln 5) = ln
2
2 5
HT 5.Tính các tích phân sau:
2
a) I 1 =
0
dx
∫ x2
b) I 2 =
1
dx
∫ (2x − 1)2
c) I 3 =
−1
1
dx
∫ (3x + 1)2
0
Bài giải
2
a) I 1 =
1
dx
∫ x2 = − x
1
2
1= −
2
1
0
+1 =
1
2
0
1 d(2x − 1)
1
1
=
=− .
b) I 2 =
2
2
2 (2x − 1)
2 2x − 1
(2x − 1)
−1
−1
dx
∫
1
c) I 3 =
∫
dx
∫ (3x + 1)2
0
=
1
3
1
d (3x + 1)
1
0
−1 =
1
1 1 1
− =
2 6 3
1
1
1
∫ (3x + 1)2 = − 3 . 3x + 1 0 = − 12 + 4 = 6
1
0
HT 6.Tính các tích phân sau:
1
a) I 1 =
1
∫e
3x
b) I 2 =
dx
0
∫ ex + 1
e) I 5 =
0
(2e + 1) dx
c) I 3 =
∫ (e2x − 1)2
f) I 6 =
e
x
2e + 1dx
h) I 8 =
∫
x
(1 − 4e x )3 dx
∫ (1 − 3e2x )3
1
e
2x
e 2x dx
1
1
x
∫e
2
e 2x dx
1
1
∫
3
0
2
e x dx
0
g) I 7 =
∫e
x
0
1
d) I 4 =
1
x
2x
1 + 3e dx
i) I 9 =
0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
∫
0
e x dx
ex + 1
Page 4
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
1
a) I 1 =
∫
0
1
b) I 2 =
∫
0
1
e 3x dx = e 3x
3
0968.393.899
e3 1
−
3
3
1
0=
1
1
e (2e + 1) dx =
2
x
1 (2e x + 1)4
(2ex + 1)3 d(2ex + 1) = .
2
4
∫
3
x
0
1
0
1 (2e + 1)4 81 (2e + 1)4 81
=
− =
−
2
4
4
8
8
1
c) I 3 =
∫
ex (1 − 4e x )3 dx = −
0
1
4
1
∫ (1 − 4e
x 3
) d(1 − 4e x )
0
1 (1 − 4ex )4 1
1 (1 − 4e)4 81 81 − (1 − 4e)4
=− .
=
−
−
=
0
4
4
4
4
4
16
1
d) I 4 =
1
e x dx
∫ ex + 1 ∫
=
0
1
2
f) I 6 =
e +1
e2x dx
∫ (e2x
1
=
2
2
− 1)
e 2x dx
∫ (1 − 3e2x )3
g) I 7 =
∫e
x
0
1
h) I 8 =
∫e
0
1
i) I 9 =
∫
0
2x
2
2
1
ex + 1
1
∫
0
e +1
2
2
1=
1
4
12(1 − 3e )
−
1
12(1 − 3e 2 )
1 2
1
2e x + 1d (2e x + 1) = . (2e x + 1) 2e x + 1 10 = (2e + 1) 2e + 1 − 3
2 3
3
∫
2x
=
−1
1
1
0
1
1 + 3e dx =
6
e x dx
d(1 − 3e 2x )
∫ (1 − 3e2x )3 = − 6 . 2(1 − 3e2x )2
1
2e + 1dx =
2
x
ln(e + 1) − ln 2 = ln
1
1
1
1
e2
2
=− .
=
−
+
=
2 e 2x − 1 1
− 1)2
2(e 4 − 1) 2(e 2 − 1) 2(e 4 − 1)
1
1
6
1
0=
d (e2x − 1)
∫ (e2x
=−
1
1
= ln e x + 1
x
0
2
e) I 5 =
d (e x + 1)
1
∫
0
d(ex + 1)
ex + 1
1 2
1 + 3e 2x d (1 + 3e2x ) = . (1 + 3e 2x ) 1 + 3e 2x
6 3
1
0=
1
8
(1 + 3e2 ) 1 + 3e 2 −
9
9
= 2 e x + 1 10 = 2 e + 1 − 2
HT 7.Tính các tích phân sau:
e
a) I1 =
∫
e
ln x
dx
x
b) I 2 =
1
e
d) I 4 =
∫
1
∫
3 ln x + 1
dx
x
e
c) I 3 =
1
4 ln3 x + 3 ln2 x − 2 ln x + 1
dx
x
1
e2
e) I 5 =
∫
(3 ln x + 1)3
dx
x
∫
e
e
dx
x ln x
f) I 6 =
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
dx
∫ x(3 ln x + 1)
1
Page 5
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
e
g) I 7 =
0968.393.899
e
3 ln x + 1dx
x
∫
h) I 8 =
1
∫x
1
dx
3 ln x + 1
Bài giải
e
a) I1 =
∫
e
ln x
dx =
x
∫
1
e
b) I 2 =
∫
ln xd (ln x ) =
1
3 ln x + 1
dx =
x
1
e
c) I 3 =
∫
1
e
d) I 4 =
∫
ln2 x
2
e
1=
3
5
3 ln2 x
(3 ln x + 1)d (ln x ) =
+ ln x e1 = ( + 1) − 0 =
2
2
2
e
∫
1
(3 ln x + 1)3
1
dx =
x
3
e
∫
(3 ln x + 1)3 d (3 ln x + 1) =
1
4 ln 3 x + 3 ln2 x − 2 ln x + 1
dx =
x
e2
e
∫
1
∫
∫ (4 ln
e
e
∫
1
3 ln x + 1dx
1
=
x
3
∫
1
e
1
x + 3 ln2 x − 2 ln x + 1)d (ln x )
= (1 + 1 − 1 + 1) − 0 = 2
d(3 ln x + 1) 1
1
ln 4
= ln(3 ln x + 1) e1 = (ln 4 − ln 1) =
3 ln x + 1
3
3
3
e
∫
3 ln x + 1d(3 ln x + 1) =
1
e
h) I 8 =
3
2
d (ln x )
= ln(ln x ) ee = ln(ln e 2 ) − ln(ln e ) = ln 2
ln x
dx
1
=
3
x (3 ln x + 1)
e
g) I 7 =
64
1
85
−
=
3 12
4
e2
dx
=
x ln x
e
f) I 6 =
e
1=
1
= (ln4 x + ln 3 x − ln2 x + ln x )
∫
1 (3 ln x + 1)4
.
3
4
e
1
e) I 5 =
ln2 e ln2 1 1
−
=
2
2
2
e
dx
∫x
3 ln x + 1
1
==
1
3
∫
1
d(3 ln x + 1)
3 ln x + 1
=
1 2
16 2 14
. (3 ln x + 1) 3 ln x + 1 e1 =
− =
3 3
9
9
9
1
4 2 2
.2 3 ln x + 1 e1 = − =
3
3 3 3
HT 8.Tính các tích phân sau:
π
2
a) I 1 =
d) I 4 =
∫ cos
2
π
2
x sin xdx
b) I 2 =
∫ sin
2
π
4
x cos xdx
c) I 3 =
∫ sin
0
0
0
π
4
π
2
π
2
sin x
∫ cos x dx
0
e) I 5 =
∫ sin x
3 cos x + 1dx
0
f) I 6 =
∫
0
3
2x cos 2xdx
cos x
dx
3 sin x + 1
Giải
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 6
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
π
2
a) I1 =
∫
π
2
∫
cos2 x sin xdx = −
0
0
π
2
π
2
b) I 2 =
∫ sin
2
x cos xdx =
0
∫
0
π
4
c) I 3 =
∫
sin 3 2x cos 2xdx =
0
π
4
d) I 4 =
∫
0
cos2 xd(cos x ) = −
sin x
dx = −
cos x
π
4
∫
0
sin3 x
sin xd (sin x ) =
3
2
1
2
π
4
∫
∫
d (cos x )
= − ln(cos x )
cos x
sin x 3 cos x + 1dx =
0
π
2
f) I 6 =
∫
0
cos x
sin 3 2xd (sin 2x ) =
0
π
2
e) I 5 =
1
dx =
3
3 sin x + 1
cos3 x
3
π
2
∫
0
1
3
π
2
∫
0
π
2
0=
π
2
0=
1
3
sin4 2x
8
π
4
0 = − ln
1
3
π
4 1
0=
8
2
2
+ ln 1 = − ln
2
2
1 2
3 cos x + 1d(3 cos x + 1) = . (3 cos x + 1) 3 cos x + 1
2 3
d(3 sin x + 1)
2
3 sin x + 1
=
3
3 sin x + 1
π
2
0=
π
2
0=
1 4
− = −1
3 3
4 2 2
− =
3 3 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 7
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
PHẦN II TÍCH PHẦN HÀM HỮU TỶ
I.DẠNG 1:
1
dx
∫ ax + b = a ln ax + b + C
HT 1.Tính các tích phân sau:
1
a)
∫
0
0
dx
3x + 1
b)
∫
−1
1
dx
1 − 3x
c)
∫
0
1
3
dx
−
2x + 1 4 − 2x
Giải
1
a)
1
dx
1
ln 4
3
∫ 3x + 1 = 3 ln 3x + 1 0 = 3 (ln 4 − ln 1) =
1
0
0
b)
1
dx
∫ 1 − 3x = − 3 ln 1 − 3x
0
−1
−1
1
c)
∫
0
=
1
ln 4
= − (ln 1 − ln 4) = −
3
3
1
1
1
1
3
3
3
3
dx = ln 2x + 1 + ln 4 − 2x 10 = ln 3 + ln 2 − ln 1 + ln 4
−
2
2
2
2x + 1 4 − 2x
2
2
2
1
3 1
ln 3 + ln
2
2 2
HT 2.Tính các tích phân sau:
2
a) I1 =
∫
x 4 + 3x 3 − 2x 2 + 5x − 1
x2
1
1
dx
b) I 2 =
∫
0
x 3 − 3x 2 + 2x − 1
dx c) I 3 =
x −2
0
∫
−1
2x 3 − 3x 2 + 4x − 1
1 − 2x
Giải
2
a) I1 =
∫
1
x 4 + 3x 3 − 2x 2 + 5x − 1
x2
2
dx =
∫ (x
2
+ 3x − 2 +
1
5
1
− )dx
x x2
3
8
13
3x 2
1
1 1 3
x
= +
− 2x + 5 ln x + 12 = + 6 − 4 + 5 ln 2 + − + − 2 + 5 ln 1 + 1 =
+ 5 ln 2
3
2
x
2 3 2
3
3
1
b) I 2 =
∫
0
x 3 − 3x 2 + 2x − 1
dx =
x −2
1
∫
0
1
dx
x 2 − x −
x − 2)
3
1 1
x2
1
x
= −
− ln x − 2 10 = − − ln 1 − (− ln 2) = ln 2 −
3
2
3
2
6
0
c) I 3 =
∫
−1
2x 3 − 3x 2 + 4x − 1
=
1 − 2x
0
∫ −x
−1
2
+x −
3
1
dx
+
2 2(−2x + 1)
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 8
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
3
x2 3
1
x
0
= −
+
− x − ln −2x + 1 −
1
3
2
2
4
1
1 1 3 1
ln 3 7
= (− ln 1) − ( + + − ln 3) =
−
4
3 2 2 4
4
3
II.DẠNG 2:
dx
∫ ax 2 + bx + c
HT 3.Tính các tích phân sau (mẫu số có hai nghiệm phân biệt)
1
a)
∫
0
1
dx
(x + 1)(x + 2)
b)
∫
0
1
dx
(x + 1)(3 − x )
dx
∫ (x + 1)(2x + 3)
c)
0
Giải
1
a)
∫
0
1
dx
=
(x + 1)(x + 2)
(
1
b)
∫
0
=
0
) 10 = ln xx ++ 21
dx
1
=
4
(x + 1)(3 − x )
1
∫
0
(
1
− ln 3 − x + ln x + 1
4
1
c)
(x + 2) − (x + 1)
dx =
(x + 1)(x + 2)
∫
= ln x + 1 − ln x + 2
∫
0
dx
=
(x + 1)(2x + 3)
(
= ln x + 1 − ln 2x + 3
1
1
∫
0
1
0=
∫
0
1
1
−
dx
x + 1 x + 2
2
1
4
ln − ln = ln
3
2
3
(x + 1) + (3 − x )
1
dx =
(x + 1)(3 − x )
4
) 10 = 14 ln x3 −+ x1
1
0
=
1
0=
1
1
∫ 3 − x + x + 1dx
0
1
1
ln 3
ln 1 − ln = −
4
3
4
(2x + 3) − 2(x + 1)
dx =
(x + 1)(2x + 3)
) 10 = ln 2xx ++13
1
1
1
2
∫ x + 1 − 2x + 3 dx
0
2
1
6
ln − ln = ln
5
3
5
HT 4.Tính các tích phân sau:
1
a)
0
dx
∫ x 2 − x − 12
b)
2
dx
∫ 2x 2 − 5x + 2
c)
−1
0
dx
∫ 1 − 2x − 3x 2
1
Giải
1
a)
dx
∫ x 2 − x − 12 ∫
0
=
=
1
7
0
1
1
dx
1
=
(x + 3)(x − 4) 7
1
1
∫
0
(x + 3) − (x − 4)
dx
(x + 3)(x − 4)
x −4
∫ x − 4 − x + 3 dx = 7 (ln x − 4 − ln x + 3 ) 0 = 7 ln x + 3
1
1
1
1
0
0
1
3
4
1
9
(ln − ln ) = ln
7
4
3
7 16
0
b)
1
=
dx
0
∫ 2x 2 − 5x + 2 = ∫
−1
−1 2(x
dx
1
− 2)(x − )
2
0
=
∫
−1
dx
1
=
(x − 2)(2x − 1) 3
0
∫
−1
(2x − 1) − 2(x − 2)
dx
(x − 2)(2x − 1)
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 9
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0
1
=
3
=
∫
−1
1
2
1
0
−
x − 2 2x − 1 dx = 3 ln x − 2 − ln 2x − 1 −1
(
)
x −2 0
1
1
ln 2
= (ln 2 − ln 1) =
ln
3 2x − 1 −1 3
3
2
c)
0968.393.899
2
dx
1
1 −3(x + 1)(x − )
3
1
2
2
dx
∫ 1 − 2x − 3x 2 ∫
=
1
=
∫
1
dx
1
=
4
(x + 1)(1 − 3x )
2
∫
1
3(x + 1) + (1 − 3x )
dx
(x + 1)(1 − 3x )
x +1 2 1
3
1 3
1 = (ln − ln 1) = ln
4
5
4 5
∫ 1 − 3x + x + 1dx = 4 (− ln 1 − 3x + ln x + 1 ) 1 = 4 ln 1 − 3x
1
=
4
3
1
1
2
1
HT 5.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép)
2
a)
1
dx
∫ x2
b)
1
0
dx
∫ (3x + 1)2
c)
0
dx
∫ (1 − 2x )2
d)
−1
0
dx
∫ 9x 2 − 6x + 1
0
e)
−1
dx
∫ −16x 2 + 8x − 1
−1
Giải
2
a)
dx
∫ x2
=−
1
1
1 2
1
1
= − +1 =
x 1
2
2
1
dx
1
1
1
1
∫ (3x + 1)2 = − 3 . (3x + 1) 0 = −12 − 3 = 4
b)
1
0
0
c)
0
dx
−1
1
1
0
1
1
−1
0
dx
0
1
dx
1
1
1
1
∫ 9x 2 − 6x + 1 = ∫ (3x − 1)2 = − 3 . 3x − 1 −1 = −− 3 + 12 = 4
d)
−1
0
−1
0
e)
1
dx
∫ (1 − 2x )2 = ∫ (2x − 1)2 = − 2 . 2x − 1 −1 = −− 2 + 6 = 3
0
dx
0
dx
dx
1
1
1
1
1
∫ −16x 2 + 8x − 1 = −∫ 16x 2 − 8x + 1 = −∫ (4x − 1)2 = 4 . 4x − 1 −1= − 4 + 20 = − 5
−1
−1
0
−1
HT 6.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
1
a) I1 =
3
dx
∫ x2 + 1
b)
2
2
dx
∫ x2 + 3
c)
0
0
0
dx
∫ 2x 2 + 3
Giải
1
a) I1 =
dx
∫ x2 + 1
0
π π
Đặt: x = tan t t ∈ − ;
2 2
⇒ dx =
dt
cos2 t
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 10
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
Với x = 1 ⇒ t =
π
4
⇒ I1 =
0968.393.899
π
4
π
4
dt
cos2 t .
0
3
b) I 2 =
dt
∫ cos2 t(tan2 t + 1) = ∫
0
π
4
∫ dt = t
=
1
π
4
0
=
0
cos2 t
π
4
dx
∫ x2 + 3
0
π π
Đặt: x = 3 tan t Với t ∈ − ;
2 2
3dt
⇒ dx =
cos2 t
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 ; Với x = 3 ⇒ t =
π
4
⇒ I2 =
3dt
3
=
2
2
3
cos t(3 tan t + 3)
∫
0
2
2
c) I 3 =
dx
2
2
dx
∫ 2x 2 + 3 = ∫
2 3
0 2 x +
2
0
∫
0
=
1
2
3
=
3
dt
cos2 t.
2
2
∫
0
1
cos2 t
π
4
∫
0
3
t
dt =
3
π
4
0=
3π
12
dx
3
2
x2 +
π π
3
tan t Với t ∈ − ;
2
2 2
Đặt: x =
6 dt
2 cos2 t
⇒ dx =
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0; Với x =
⇒ I3 =
π
4
π
4
1
2
π
6
∫
0
6dt
3
3
2 cos2 t ( tan2 t + )
2
2
=
2
π
⇒t =
2
6
6
6
π
6
∫
0
dt
cos2 t .
1
=
6
6
cos2 t
π
6
∫
0
π
dt =
6 6
6π
t 0=
6
36
HT 7.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
0
a) I 1 =
dx
∫ (x + 1)2 + 1
4
b) I 2 =
−1
1
dx
∫ x 2 − 4x + 8
2
c) I 3 =
dx
∫ x2 + x + 1
0
Giải
0
a) I 1 =
dx
∫ (x + 1)2 + 1
−1
π π
Đặt: x + 1 = tan t Với t ∈ − ;
2 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 11
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
dt
⇒ dx =
cos2 t
Đổi cận: Với x = −1 ⇒ t = 0; Với x = 0 ⇒ t =
π
4
⇒ I1 =
π
4
dt
∫ cos2 t(tan2 t + 1) = ∫
0
4
0
4
dx
π
4
dt
cos2 t.
π
4
∫ dt = t
=
1
0
cos2 t
π
4
0=
π
4
dx
∫ x 2 − 4x + 8 ∫ (x − 2)2 + 4
b) I 2 =
=
2
2
π π
Đặt: x − 2 = 2 tan t Với t ∈ − ;
2 2
2dt
⇒ dx =
cos2 t
Đổi cận: Với x = 2 ⇒ t = 0; Với x = 4 ⇒ t =
π
4
2dt
∫ cos2 t(4 tan2 t + 4)
⇒ I2 =
=
0
1
1
dx
∫ x2 + x + 1 ∫
c) I 3 =
=
0
0
1
2
π
4
∫
0
dt
cos2 t.
⇒ dx =
3 dt
.
2 cos2 t
⇒ I3 =
2 3
3
π
3
∫
π
6
cos2 t
∫
0
1
dt = t
2
π
4
0=
π
8
π
π
;Với x = 1 ⇒ t =
6
3
3dt
∫
1
1
2
2
1
3
x + +
2
4
π π
1
3
=
tan t Với t ∈ − ;
2
2
2 2
π
3
=
π
4
dx
Đặt: x +
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t =
π
4
3
2 3
2
π 2 cos t ( tan t + )
4
4
6
=
2 3
3
π
3
∫
dt
2
π cos t .
6
1
=
cos2 t
π
2 3 3
2 3π 2 3π 2 3π
dt =
t =
−
=
π
3
9
18
18
6
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 12
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
mx + n
∫ ax 2 + bx + c dx
III.Dạng 3:
HT 8.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt)
1
a) I 1 =
0
x −1
∫ x 2 + 4x + 3 dx
b) I 2 =
2x + 10
∫ −x 2 + x + 2 dx
0
c) I 3 =
−1
0
7 − 4x
∫ −2x 2 − 3x + 2 dx
−1
Giải
1
a) I 1 =
1
x −1
(x − 1)dx
∫ x 2 + 4x + 3 dx = ∫ (x + 1)(x + 3)
0
0
Xét đồng nhất thức:
x −1
A
B
Ax + A + Bx + 3B (A + b)x + A + 3B
=
+
=
=
(x + 3)(x + 1) x + 3 x + 1
(x + 3)(x + 1)
(x + 3)(x + 1)
A + B = 1
A = 2
Đồng nhất thức hai vế ta được:
⇔
A + 3B = −1
B = −1
1
Vậy, I 1 =
2
1
∫ x + 3 − x + 1dx = (2 ln x + 3 − ln x + 1 ) 0
1
0
= (2 ln 4 − ln 2) − (2 ln 3 − ln 1) = 2 ln
0
b)
0
2x + 10
4
− ln 2
3
2x + 10
∫ −x 2 + x + 2 dx = ∫ (x + 2)(1 − x ) dx
−1
−1
Xét đồng nhất thức:
(B − A)x + A + 2B
2x + 10
A
B
A − Ax + Bx + 2B
=
+
=
=
(x + 2)(1 − x ) x + 2 1 − x
(x + 2)(1 − x )
(x + 2)(1 − x )
B − A = 2
A = 2
⇔
Đồng nhất thức hai vế ta được:
A + 2B = 10
B = 4
0
Vậy, I 2 =
2
4
∫ x + 2 + 1 − x dx = (2 ln x + 2 − 4 ln 1 − x ) −1
0
−1
= (2 ln 2 − 4 ln 1) − (2 ln 1 − 4 ln 2) = 2 ln 2 + 4 ln 2 = ln 4 + ln 16 = ln 64
0
c) I 3 =
7 − 4x
0
∫ −2x 2 − 3x + 2
dx =
−1
Xét đồng nhất thức:
7 − 4x
∫ (x + 2)(1 − 2x ) dx
−1
(B − 2A)x + A + 2B
7 − 4x
A
B
A − 2Ax + Bx + 2B
=
+
=
=
(x + 2)(1 − 2x ) x + 2 1 − 2x
(x + 2)(1 − 2x )
(x + 2)(1 − 2x )
B − 2A = −4
A = 3
Đồng nhất thức hai vế ta được:
⇔
A + 2B = 7
B = 2
0
Vậy, I 3 =
3
∫ 1 − 2x + x + 2 dx = (− ln 1 − 2x + 3 ln x + 2 ) −1
2
0
−1
3
2
= (− ln 1 + 2 ln 2) − (− ln 3 + 3 ln 2) = ln 3 − ln 2 = ln
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 13
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
HT 9.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép)
1
a) I 1 =
0
(3x + 1)dx
∫ x 2 + 2x + 1
b) I 2 =
1
3x − 1
∫ 4x 2 − 4x + 1
c) I 3 =
dx
−1
0
3x + 2
∫ 4x 2 + 12x + 9 dx
0
Giải
1
a) I 1 =
(3x + 1)dx
1
3x + 1
∫ x 2 + 2x + 1 ∫ (x + 1)2
0
=
1
∫
dx =
0
3(x + 1) − 2
(x + 1)2
0
1
dx =
∫
0
2
3
−
dx
2
x + 1 (x + 1)
2 1
= 3 ln x + 1 +
= (3 ln 2 + 1) − (3 ln 1 + 2) = 3 ln 2 − 1
x + 1 0
0
b) I 2 =
0
3x − 1
3
1
2x − 1) +
(
2
2 dx
2
(2x − 1)
0
3x − 1
∫ 4x 2 − 4x + 1 dx = ∫ (2x − 1)2 dx = ∫
−1
−1
−1
3
1
1
1
1
1
3
+ .
dx = ln 2x − 1 − .
.
2
4 2x − 1
4
2 2x − 1 2 (2x − 1)
−1
0
=
∫
0
−1
3
1 3
1
3
1
= ln 1 + − ln 3 + = − ln 3 +
4
4 4
12
4
6
1
c) I 3 =
1
3x + 2
∫ 4x 2 + 12x + 9 dx = ∫ (2x + 3)2 dx = ∫
0
1
=
∫
0
1
3x + 2
0
0
3
5
(2x + 3) −
2
2 dx
(2x + 3)2
3
1
5
1
3
5
1
− .
dx = ln 2x + 3 + .
.
2
4 2x + 3
4
2 2x + 3 2 (2x + 3)
1
0
3
1 3
5 3 5 1
= ln 5 + − ln 3 + = ln −
4
4 4
12 4 3 6
HT 10.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
1
a) I 1 =
3
3x + 1
∫ x2 + 1
b) I 2 =
dx
0
3x + 2
1
∫ x 2 − 4x + 5
c) I 3 =
dx
1
3x − 1
∫ 4x 2 − 4x + 2 dx
0
Giải
1
a) I 1 =
3x + 1
∫ x 2 + 1 dx
0
1
2
Chú ý: (x + 1)' = 2x Nên: I 1 =
∫
0
Xét: M =
3
2
1
Xét: N =
1
2x
∫ x2 + 1
0
dx =
3
2
1
∫
0
3
.2x + 1
2
dx =
x2 + 1
d (x 2 + 1)
2
x +1
=
1
∫
0
3 2x
1
3
.
+
dx =
2 2
2
2
x + 1 x + 1
3
ln x 2 + 1
2
1
0=
1
2x
∫ x2 + 1
0
1
dx +
dx
∫ x2 + 1
0
3
3 ln 2
(ln 2 − ln 1) =
2
2
dx
∫ x2 + 1
0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 14
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
π π
Đặt: x = tan t t ∈ − ;
2 2
dt
⇒ dx =
cos2 t
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0
Với x = 1 ⇒ t =
π
4
⇒M =
π
4
π
4
dt
cos2 t .
0
3
=
1
∫ dt = t
cos2 t
π
4
0
=
0
π
4
3 ln 2 π
+
2
4
Vậy, I 1 = M + N =
b) I 2 =
dt
∫ cos2 t(tan2 t + 1) = ∫
0
π
4
3x + 2
∫ x 2 − 4x + 5 dx
1
Chú ý: (x 2 − 4x + 5)' = 2x − 4
3
Khi đó: I 2 =
∫
1
3
=
2
3
3
(2x − 4) + 8
2
dx =
x 2 − 4x + 5
3
2x − 4
3
3
2x − 4
1
∫ 2 x 2 − 4x + 5 + 8. x 2 − 4x + 5 dx
1
1
∫ x 2 − 4x + 5 dx + 8 ∫ x 2 − 4x + 5 dx
1
1
3
+ Xét: M =
2
3
∫
1
3
+ Xét: N = 8
2x − 4
3
dx =
2
x 2 − 4x + 5
1
∫ x 2 − 4x + 5
3
∫
1
3
dx = 8
1
d (x 2 − 4x + 5) 3
= ln x 2 − 4x + 5
2
2
x − 4x + 5
3
1=
3
(ln 2 − ln 2) = 0
2
dx
∫ (x − 2)2 + 1
1
π π
Đặt: x − 2 = tan t Với t ∈ − ;
2 2
⇒ dx =
dt
cos2 t
π
π
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = − ; Với x = 3 ⇒ t =
4
4
π
4
⇒N =8
∫
dt
cos2 t(tan2 t + 1)
−π
4
π
4
=8
∫ dt = 8t
−
π
4
π
4 =
−π
4
4π
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 15
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
Vậy, I 2 = M + N = 4π
1
3x − 1
∫ 4x 2 − 4x + 2 dx
c) I 3 =
0
Chú ý: (4x 2 − 4x + 2)' = 8x − 4
1
∫ 4x 2 − 4x + 2 dx = ∫
Ta có: I 3 =
0
3
=
8
1
∫
0
3
1
(8x − 4) +
8
2 dx
4x 2 − 4x + 2
1
3x − 1
0
8x − 4
1
dx +
2
2
4x − 4x + 2
3
+) Xét: M =
8
1
+) Xét: N =
2
1
∫
0
1
1
dx
∫ 4x 2 − 4x + 2
0
3
dx =
2
8
4x − 4x + 2
1
=
4x 2 − 4x + 2 2
dx
∫
0
1
8x − 4
∫
d (4x 2 − 4x + 2)
0
1
2
4x − 4x + 2
=
3
ln 4x 2 − 4x + 2
8
1
0=
3
(ln 2 − ln 2) = 0
8
dx
∫ (2x − 1)2 + 1
0
π π
Đặt: 2x − 1 = tan t Với t ∈ − ;
2 2
⇒ 2dx =
dt
2
⇔ dx =
cos t
dt
2 cos2 t
π
π
Đổi cận:Với x = 0 ⇒ t = − ; Với x = 1 ⇒ t =
4
4
⇒N =
1
2
π
4
∫
π
−
4
dt
2 cos2 t(tan2 t + 1)
=
1
2
π
4
∫
−
π
4
π
1
π
dt = t 4 =
2 −π 4
4
π
Vậy, I 3 = M + N =
4
HT 11.Tính các tích phân sau:
0
a) I1 =
∫
−1
0
c) I 3 =
∫
−1
x 3 − 5x 2 + 6x − 1
x 2 − 3x + 2
x 3 + 3x 2 − 6x + 1
x 2 + 2x + 2
1
dx
b) I 2 =
∫
0
2
dx
d) I =
x 4 + 5x 3 − 3x 2 + 2x − 1
x 2 + 2x + 1
dx
x2
∫ x 2 − 7x + 12dx
1
Giải
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 16
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0
a) I 1 =
∫
0968.393.899
0
0
0
−2x + 3
−2x + 3
dx = x − 2 +
dx
dx = (x − 2)dx +
2
2
x
−
x
+
x
x
3
2
−
+
3
2
−1
−1
−1
x 3 − 5x 2 + 6x − 1
∫
x 2 − 3x + 2
−1
∫
∫
2
1
5
x
0
(x − 2)dx = − 2x −
= − + 2 = −
1
2
2
2
−1
0
+) Xét: M =
∫
0
+) Xét: N =
−2x + 3
∫ x 2 − 3x + 2
0
−2x + 3
∫ (x − 1)(x − 2) dx
dx =
−1
−1
Dùng đồng nhất thức ta tách được:
0
N =
−1
−1
∫ x − 1 + x − 2 dx = (− ln x − 1 − ln x − 2 ) −1 = (− ln 1 − ln 2) − (− ln 2 − ln 3) = ln 3
0
−
5
Vậy, I 1 = M + N = ln 3 −
2
1
b) I 2 =
∫
x 4 + 5x 3 − 3x 2 + 2x − 1
2
x + 2x + 1
0
1
dx =
∫ (x
2
+ 3x −10 +
0
19x + 9
2
x + 2x + 1
)dx
3
3x 2
1 3
49
x
(x 2 + 3x − 10)dx = +
− 10x 10 = ( + − 10) − 0 = −
3
2
3 2
6
0
1
+) Xét: M =
∫
1
+) Xét: N =
1
19x + 9
∫ x 2 + 2x + 1
19(x + 1) − 10
∫
dx =
0
(x + 1)2
0
10
19
−
dx
x + 1 (x + 1)2
0
1
dx =
∫
10 1
= 19 ln x + 1 +
= (19 ln 2 + 5) − (19 ln 1 + 10) = 19 ln 2 − 5
x + 1 0
79
6
Vậy, I 2 = M + N = 19 ln 2 −
0
c) I 3 =
∫
x 3 + 3x 2 − 6x + 1
x 2 + 2x + 2
−1
0
dx =
2
x
(x + 1)dx = + x
2
−1
∫
0
+) Xét: N =
10x + 1
∫ x 2 + 2x + 2
0
dx =
−1
0
P =5
2x + 2
∫ x 2 + 2x + 2
−1
10x + 1
−1
0
+) Xét: M =
∫ x + 1 − x 2 + 2x + 2 dx
0
dx = 5
∫
−1
∫
−1
1
− 1 =
2
2
0
1
−1 = −
5(2x + 2) − 9
x 2 + 2x + 2
d(x 2 + 2x + 2)
2
x + 2x + 2
0
dx =
5(2x + 2)
9
dx
−
x 2 + 2x + 2 x 2 + 2x + 2
−1
∫
= 5 ln x 2 + 2x + 2
0
−1 =
5(ln 2 − ln 1) = 5 ln 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 17
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0
Q=9
0968.393.899
0
dx
dx
∫ x 2 + 2x + 2 = 9∫ (x + 1)2 + 1
−1
−1
π π
Đặt: x + 1 = tan t Với t ∈ − ;
2 2
⇒ dx =
dt
cos2 t
Đổi cận: Với x = −1 ⇒ t = 0; Với x = 0 ⇒ t =
π
4
⇒Q = 9
π
4
dt
∫ cos2 t(tan2 t + 1) = 9∫ dt = 9t
0
0
⇒ N = P − Q = 5 ln 2 −
2
π
4
π
4
0=
9π
4
9π
1
9π
⇒ I 3 = M + N = + 5 ln 2 −
4
2
4
9
16
2
∫ 1 + x − 4 − x − 3 dx = (x + 16 ln x − 4 − 9 ln x − 3 ) 1 = 1 + 25 ln 2 − 16 ln 3 .
d) I =
1
HT 12.Tính các tích phân sau:
2
dx
∫ x5 + x3
a) I =
b) I =
1
1
xdx
∫0 (x + 1)3
Giải
2
dx
∫ x5 + x3
a) I =
1
Ta có:
1
3
2
x (x + 1)
=−
1
1
x
+
+
3
2
x x
x +1
2
1
1
3
1
3
+ ln(x 2 + 1) = − ln 2 + ln 5 +
⇒ I = − ln x −
2
2
2
2
8
2x
1
b) I =
Ta có:
⇒I =
1
xdx
∫0 (x + 1)3
x
3
(x + 1)
1
x + 1−1
=
3
(x + 1)
∫0 (x + 1)
−2
= (x + 1)−2 − (x + 1)−3
1
− (x + 1)−3 dx =
8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 18
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
0968.393.899
Page 19
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
HT 13.Tính các tích phân sau: (Đổi biến số)
1
1. I =
2
x7
∫ (1 + x 2 )5
9. I =
dx
∫
∫ 1 + x 4 dx
1
0
1
2. I =
2
5
3 6
10. I =
x (1 − x ) dx
3. I =
3
1
∫ x(x 4 + 1)dx
1
2
4. I =
11. I =
∫ x.(x 10 + 1)2
12. I =
∫ x(1 + x 7 )dx
13. I =
7. I =
14. I =
x2
∫ x 4 − 1 dx
xdx
∫ x4 + x2 + 1
1+ 5
2
0
8. I =
∫ x 6 + 1 dx
0
(x − 1)2
∫ (2x + 1)4 dx
1
x4 +1
0
1
dx
∫ x 6 (1 + x 2 )
1
1
∫ x + x 3dx
3
3
1− x7
3
1 − x2
0
1
6. I =
∫ 1 + x 4 dx
1
1
dx
1
2
5. I =
1− x2
1
2
0
4
1 + x2
15. I =
(7x − 1)99
∫ (2x + 1)101 dx
∫
1
x2 + 1
x4 − x2 + 1
dx
0
Bài giải
1
1. I =
x
1
7
∫ (1 + x 2 )5
(x )
2
3
xdx
∫ (1 + x 2 )5
dx =
0
0
Đặt t = 1 + x 2 ⇒ dt = 2xdx
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 1; Với x = 1 ⇒ t = 2
1
⇒I =
2
2
∫
(t − 1)3
t5
1
1 1
.
4 25
dt =
1
2. I =
1
∫x
5
∫x
3 6
(1 − x ) dx =
0
3
(1 − x 3 )x 2dx
0
Đặt t = 1 − x 3 ⇒ dt = −3x 2dx ⇒ x 2dx = −
dt
3
Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 1; Với x = 1 ⇒ t = 0
1
⇒I =
3
4
3. I =
3
∫
1
1 t 7 t 8
1
− =
3 7
8
168
1
∫
t 6 (1 − t )dt =
0
4
1
dx =
x (x 4 + 1)
3
x 3dx
∫ x 4 (x 4 + 1)
1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 20
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
Đặt t = x 4 ⇒ dt = 4x 3dx ⇒ x 3dx =
dt
4
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 1; Với x = 4 3 ⇒ t = 3
1
⇒I =
4
3
∫
1
2
4. I =
3
dt
1
=
t(t + 1) 4
1
1
1 t 3 1 3
dt = ln
= ln
−
4 t + 1 1 4 2
t t + 1
∫
1
2
dx
x 9dx
∫ x.(x 10 + 1)2 ∫ x 10 (x 10 + 1)2
=
1
1
Đặt t = x 10 + 1 ⇒ dt = 10x 9dx ⇒ x 9dx =
dt
10
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2 ; Với x = 2 ⇒ t = 210 + 1
1
⇒I =
5
=
210 +1
∫
2
1
=
2
5
(t − 1)t
dt
210 +1
∫
2
1
1 1
− − dt
t − 1 t t 2
1
1 10
1
1
1
1
) − (− ln 2 + )
ln(t − 1) − ln t + 22 +1 = (10 ln 2 − ln(210 + 1) +
5
t
5
5
2
210 + 1
2
5. I =
2
(1 − x 7 ).x 6
dx =
dx .
7
7
7
x
+
x
x
+
x
(1
)
.(1
)
1
1
∫
1− x7
∫
dt
7
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 1; Với x = 2 ⇒ t = 128
Đặt t = x 7 ⇒ dt = 7x 6dx ⇒ x 6dx =
⇒I =
=
1
7
128
∫
1
1−t
1
dt =
t(1 + t )
7
128
∫
1
1 − 2 dt = 1 (ln t − 2 ln 1 + t ) 128
1
7
t 1 + t
1
1
10
2
(7 ln 2 − 2 ln 129) − (−2 ln 2) =
ln 2 − ln 129
7
7
7
7
3
6. I =
dx
3
∫ x 6 (1 + x 2 ) = ∫
1
Đặt t =
1
dx
1
x 2 .x 6 ( + 1)
x2
1
1
⇒ dt = − dx
x
x2
: Đổi cận:Với x = 1 ⇒ t = 1; Với x = 3 ⇒ t =
1
3
3
3
⇒I =−
1
t 4 − t 2 + 1 − 1 dt = 117 − 41 3 + π
dt =
2
2
135
12
t
+
1
t
+
1
1
3
∫
t6
∫
3
1
7. I =
(x − 1)2
∫ (2x + 1)4
0
1
dx =
∫
0
x − 1 2
2x + 1
dx
(2x + 1)2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 21
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
x − 1 '
3
=
Chú ý:
2x + 1
(2x + 1)2
Đặt:
3dx
x −1
dx
dt
=t ⇒
= dt ⇒
=
2
2
2x + 1
3
(2x + 1)
(2x + 1)
Đổi cận: Với: x = 0 ⇒ t = −1 ; Với x = 1 ⇒ t = 0
1
3
⇒t =
8. I =
−1
2
0
1
1
∫
∫
7x − 199
dx
1
=
2
2x + 1 (
9
2x + 1)
0
0
=
2
9. I =
t 3 −1
1
=−
9 0
9
∫ t dt =
7x − 199 7x − 1
d
2x + 1
2x + 1
100
1 1 7x − 1 1
1 100
⋅
=
2 − 1
0
9 100 2x + 1
900
1 + x2
∫ 1 + x 4d x
1
Ta có:
1+x
2
1+ x4
Đặt t = x −
1+
=
1
x2 .
1
x2 +
x2
1
1
⇒ dt = 1 + dx
x
x 2
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 0; Với x = 2 ⇒ t =
3
2
dt
∫ t2 − 2
⇒I=
=
2 2
0
2
10. I =
1
3
2
∫
0
3
2
3
1
1
1
t− 2
1
−
dt
=
=
.
ln
ln(3 − 2 2)
2
t − 2 t + 2
2 2
t+ 2 0
2
1− x2
∫ 1 + x 4d x
1
1
−1
2
x
=
Ta có:
.
1
1+ x4
x2 +
x2
1−x
2
Đặt t = x +
1
1
⇒ dt = 1 − dx
x
x 2
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2; Với x = 2 ⇒ t =
5
2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 22
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
5
2
0968.393.899
dt
∫ t2 + 2 .
⇒I =−
2
du
Đặt t = 2 tan u ⇒ dt = 2
2
cos u
u2
2
⇒I =
2
2
11. I =
∫ du =
u1
; tan u = 2 ⇒ u1 = arctan 2;
5
5
⇒ u2 = arctan
2
2
tan u =
2
2
5
(u2 − u1 ) =
arctan − arctan 2
2
2
2
1 − x2
∫ x + x 3dx
1
1
2
Ta có: I =
∫
1
−1
1
1
x2
dx . Đặt t = x + ⇒ dt = 1 − dx
1
x
x 2
+x
x
Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2; Với x = 2 ⇒ t =
5
2
∫
I =−
2
dt
= − ln t
t
1
12. I =
5
5
2
2 = − ln
2
+ ln 2 = ln
5
2
4
5
x4 +1
∫ x 6 + 1 dx
0
Ta có:
x4 +1
x6 + 1
1
⇒I =
=
1
(x 4 − x 2 + 1) + x 2
∫ x2 + 1
x6 + 1
dx +
0
3
3
13. I =
1
3
1
d (x 3 )
=
x4 − x2 + 1
(x 2 + 1)(x 4 − x 2 + 1)
1 π
+
x2
x6 + 1
=
1
x2 + 1
+
x2
x6 + 1
∫ (x 3 )2 + 1 dx = 4 + 3 . 4 = 3
π
π
0
x2
∫ x 4 − 1 dx
0
3
3
I =
x
2
∫ (x 2 − 1)(x 2 + 1)
0
1
14. I =
dx =
1
2
3
3
∫
0
1
1
1
π
+
dx = ln(2 − 3) +
2
2
4
12
x − 1 x + 1
xdx
∫ x4 + x2 + 1 .
0
Đặt t = x 2 ⇒ dt = 2xdx ⇒ xdx =
dt
2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 23
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
GV. Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; Với x = 1 ⇒ t = 1
⇒I =
1
2
1
dt
∫ t2 + t + 1
0
1+ 5
2
∫
15. I =
1
Ta có:
x2 + 1
x4 − x2 + 1
x2 + 1
x4 − x2 + 1
Đặt t = x −
1
⇒I =
1
2
=
1
∫
0
2
t + 1 + 3
2
2
=
π
6 3
dx
1+
=
dt
2
1
x2
.
1
2
−1
x +
x2
1
1
⇒ dt = 1 + dx
x
x 2
dt
∫ t2 + 1 .
0
Đặt t = tan u ⇒ dt =
du
cos2 u
π
4
⇒ I =
∫ du = 4
π
0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 24
